ACTIVIDAD: TALLER UNIDAD CERO

Objetivos / competencias 1. Formula, compara y ejercita procedimientos y algoritmos propios de la Matemática. 2. Identifica y usa el lenguaje propio de la matemática para comunicar sus ideas en forma clara y

coherente. 3. Plantea, analiza, resuelve, y argumenta problemas en contextos de la disciplina o reales,

mediante modelos matemáticos. 4. Reconoce fortalezas y debilidades a nivel actitudinal y cognitivo, para potencializar la confianza

en sí mismo, logrando avanzar en su formación profesional, a través de la matemática. 5. Identifica objetivos comunes permitiendo la asignación de responsabilidades que conlleven a la

producción colectiva de resultados, mediante el trabajo en equipo.

Introducción: En esta actividad aparecen las tablas de derivadas, logaritmos e identidades trigonométricas, las cuales les servirán para resolver los ejercicios propuestos en el presente taller, con el fin de relizar un diagnóstico sobre los conceptos y aprendizajes en la asignatura anterior. Se sugiere resolverlo de manera individual o grupal (aprendizaje colaborativo). Recuerde utilizar el video chat OOVOO para despejar dudas con sus compañeros. Nota: Copiar las fórmulas de las tablas en una ficha bibliográfica.

TTAALLLLEERR DDEE RREEPPAASSOO CCAALLCCUULLOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL

TTAABBLLAA DDEE DDEERRIIVVAADDAASS FFUUNNCCIIÓÓNN DDEERRIIVVAADDAA

Sea: F(X); G(X); Y(X); U(X); V(X); Sea: F’(X); G’(X); Y’(X)= ; U’(X) ; V’(X);

Y(X)= C Y’(X)= 0 Y(X)= X Y’(X)= 1 Y(X)= Xn Y’(X)= nXn-1 Y(X)= C . F(X) Y’(X)= C . F’(X) Y(X)= U(X) V(X) Y’(X)= U’(X) V’(X) Y(X)= U(X) V(X) Y’(X)= U’(X) V(X) V’(X) U’(X)

Y(X)= Y’(X)=

Y(X)= Y’(X)=

yx alog= si y sólo si xay =

Y(X)= Un(X) Y’(X)= nUn-1 . U’ Y(X)= Y’(X)= . U’ Y(X)= Y’(X)= U’ Ln(α) Y(X)= Ln(u) Y’(X)=

Y(X)= ULogα Y’(X)= αLnU

U

.

'

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS FFUUNNCCIIÓÓNN DDEERRIIVVAADDAA

Y(X)= Y’(X)= U’. Y(X)= Y’(X)= - U’. Y(X)= Y’(X)= U’. Sec2 (U) (1+Tg2 (u)). U’ Y(X)= Y’(X)= -U’. . U’

Y(X)= Y’(X)= U’. U’

Y(X)= Y’(X)= -U’ .Csc2 (U) (1+Ctg2 (u)). U’

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FFUUNNCCIIÓÓNN DDEERRIIVVAADDAA

Y(X)= Y’(X)=

Y(X)= Y’(X)=

Y(X)= Y’(X)=

Y(X)= Y’(X)=

Y(X)= Y’(X)=

Y(X)= Y’(X)=

( ) vuuv aaa logloglog += vuvu

aaa logloglog −=

( ) unu an

a loglog = n

uu an loglog =

Propiedad para cambio de base:

abb

oabb

a

a

logloglog

,lnlnlog

=

=

Ej: 3

2log8log8log

32ln8ln8log

2

2

==

==

xa xa =log Ej: kk =3log3

NOTA: En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los logaritmos antes de derivar, ya que simplificamos el cálculo.

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS. RECIPROCAS:

111α

αα

αα

αTan

CotSen

CscCos

Sec ===

ααα

ααα

sen cos Cot ,

Cos Sen ==Tan

IDENTIDADES PITAGÓRICAS

El triángulo de la figura es rectángulo, y la circunferencia es el círculo trigonométrico de radio (r = 1) y según el Teorema De Pitágoras tenemos: y2 + x2 = r2 a.- Sen2 α + Cos2 α = 12 entonces: Sen2 α + Cos2 α = 1 (Identidad pitagórica)

Despeje: Sen2 α = ______________ y Cos2 α= ________________

b.- Si la identidad fundamental se divide miembro a miembro entre el Cos2 α, tenemos:

ααα

αα

22

2

2

2

Cos 1 Cos

Cos Sen

=+Cos

Según las identidades iniciales: Tan2 α + 1 = Sec2 α Despeje: Tan2 α = __________________

c.- Dividiendo la identidad fundamental entre Sen2 α, nos queda:

ααα

αα

22

2

2

2

Sen 1 Cos

Sen Sen

=+Sen

Entonces: 1 + Cot2 α = Csc2 α

Despeje: Cot2 α = ________________

SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS:

αββαβα CosSen±=± CosSen )(Sen βαβαβα SenSenmCosCos )Cos( =±

) - ( ) - (Sen

Tan . Tan 1 Tan - Tan ) - (

) ( ) (Sen

Tan . Tan - 1 Tan Tan ) (Tan

βαβα

βαβαβα

βαβα

βαβαβα

CosTag

Cos

=+

=

++

=+

=+

ANGULO DOBLE

Tan - 1 Tan 2 22Cos2Sen 2Sen 2

22

ααααααααα =−== TanSenCosCos

FORMULAS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE PARA EL ANGULO MEDIO (MITAD).

2

Cos 1 2

2

Cos - 1 2

αααα +±=±= CosSen

αα

αα

ααα

sC - 1

Cos 1 Sen

Cos 1 Cos - 1

2

SenoTan =

+=

+±=

OTRAS IDENTIDADES IMPORTANTES para calcular integrales:

221Cos

221Sen 22 αααα CosCos +

=−

=

EJERCICIOS

1. Elabore un mapa conceptual sobre los contenidos y aplicaciones de la derivada.

2. Compruebe si las siguientes derivadas están resueltas de manera correcta.

( )

+++=′⇒+=

xxxxexfxxxf xx

2333)(e)3()(

323a)

xxxxfxxf sen·cos

23)(cos)(

23 −=′⇒=b)

112)(

1eln)(

2

2

2 −−−

=′⇒

−=

xxxxf

xxf

x

c)

11)(

11arctg)(

2 +−

=′⇒

−+

=x

xfxxxfd)

( ) [ ] xx xxxxxfxxf )sen(cotg)sen(ln)(sen)( +=′⇒=e)

[ ] [ ] [ ])3(lnsen·))3((lncos5

1)()3(lncos)( 5/45 xxx

xfxxf −−=′⇒=f)

3. Ejercicios complementarios:

Escribir la fórmula(s) de derivación utilizada para la resolución de cada uno de los siguientes ejercicios:

a) Encuentre todos los puntos de la gráfica 23 xxy −= , donde la tangente sea horizontal.

b) Encuentre la derivada de la función: ( )zezzf 27tanln)( +=

c) Encontrar la derivada de la función: xxxxxf 2sec2tan)( 2 −=

d) Derivar la función: 2

23 43)(xxxxf +−

=

e) Hallar la derivada de: )(1 xTany −=

f) Hallar la derivada de: 52

31

59 −+−= xxy

g) Para qué valores de x la gráfica 8632)( 23 +−−= xxxxf tiene una tangente horizontal.

h) Hallar derivada de t

tg43

8)(+

= y encentre )1('f

i) Derive la función

++=

303200100)( 2 rr

rf

j) Hallar la derivada de: ).2(cos)( 1 wwf −=

k) Derive la función xx

xf 24)( += y halle )4('f

l) Derive la función

−

=z

zzf2cos

13ln)(

m) hallar la derivada de: senxexsenxy −= cos.

n) hallar la derivada de: )sec.()( 2 xxsenLnrS =

o) Encontrar la derivada de la función: xxexf 23 2

)( −=

p) Sea la función:

=

xxLnxf

2cos2sec)(

q) Un objeto se mueve a lo largo del eje coordenado, de modo que su posición satisface :

8122)( 2 +−= tttS Donde s se mide en cm. Y t en segundos. Determine:

ü La velocidad y la rapidez del objeto cuando t=1 ü Cuando es cero la velocidad? ü Cuando es positiva?.

NOTA: Utilice las siguientes identidades para simplificar el resultado de algunas derivadas.

En los ejercicios con logaritmos es más fácil utilizar las propiedades de logaritmos antes de derivar.