Docente: José Noé Sánchez Sierra

TRIGONOMETRIA – TALLER MAT 10 - P1 - 1

INSTITUCIÓN EDUCATIVA NARANJAL Vereda Naranjal – Quimbaya Quindío

¿Qué es trigonometría? La palabra trigonometría indica el objetivo original de esta rama de las matemáticas. Las tres palabras griegas de la cuales proviene significan “tres-ángulos-medida” indica que, cuando se adoptó el nombre, el tema que principalmente trataba estaba relacionado con las medidas de los triángulos. El triángulo La suma de los tres ángulos internos de un triángulo siempre dará 180º. Ejemplo hallar el ángulo que falta en el siguiente triángulo:

Solución: sabemos que la suma de los ángulos internos da 180º, por tanto:

X+90º+30º=180º, despejo X obteniendo:

X=180º-90º-30º X= 60º

El plano cartesiano Las funciones trigonométricas se utilizan en la actualidad para describir y analizar fenómenos periódicos como mareas, ondas sonoras y voltaje eléctrico. El concepto básico para poder aplicar la trigonometría en casos como los anteriores, es el sistema de coordenadas dentro de un plano. Un ejemplo de aplicación del sistema de coordenadas se encuentra en la geología, cuando hay que representar gráficamente los sitios de exploración petrolera cercanos a la costa. Hallar la distancia entre B y C.

= √52

= 7.21푑푒푐푎푚푒푡푟표푠

Formula de distancia La distancia entre dos puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2), se obtiene de la siguiente expresión:

푃푄 = (푥 − 푥 ) + (푦 − 푦 ) Cuadrantes del plano cartesiano

Los ángulos Llamamos ángulo a la región comprendida entre dos semirrectas que tienen el punto de origen en común. A ese punto se le llama vértice y a cada semirrecta se le llama lado inicial y lado final.

La cantidad y dirección de rotación es la medida del ángulo, cuya unidad más común es el grado. Si la

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rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, la medición es positiva; pero si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, la medición será negativa. Si la rotación es completa en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se tendrá un ángulo cuya medida será 360º, con los lados inicial y final coincidentes. ¿CÓMO SE NOMBRAN LOS ÁNGULOS? Podemos nombrar un ángulo de dos maneras: a) con la letra mayúscula que representa su vértice y el símbolo encima, o b) con tres letras mayúsculas y el símbolo encima: las dos letras de los extremos representan a los lados y la de en medio al vértice.

Se representa como o . CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Según su amplitud, un ángulo puede ser:

Agudo: si es menor de 90°. Recto: si es igual a 90°. Obtuso: si es mayor de 90°.

Un ángulo recto (90° de amplitud) tiene sus dos lados perpendiculares. POSICIONES RELATIVAS DE DOS ÁNGULOS Según las posiciones que presenten dos ángulos entre sí, estos pueden ser: 1. Ángulos externos: si no tienen nada en común.

y son ángulos externos. 2. Ángulos consecutivos: si tienen en común un lado y el vértice

y son ángulos consecutivos. 3. Ángulos adyacentes: si además de ser consecutivos, tienen el lado no común sobre la misma recta.

y son ángulos adyacentes. 4. Ángulos opuestos por el vértice: si tienen el vértice común, y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud, son iguales.

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y son ángulos opuestos por el vértice. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a 90°:

y son complementarios: + = 90°. Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a 180°:

y son suplementarios: + = 180°. Ángulos coterminales Los ángulos coterminales son ángulos en posición estándar (ángulos con el lado inicial en el eje positivo de las x) que tienen un lado terminal común. Por ejemplo 30°, –330° y 390° son todos coterminales.

Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, puede sumar y restar 360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el ángulo es medido en radianes. Ejemplo 1: Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de 30°. 30° – 360° = –330° 30° + 360° = 390° Un ángulo de –330° y un ángulo de 390° son coterminales con un ángulo de 30°.

Ejemplo 2: Encuentre el ángulo coterminal positivo más pequeño para el ángulo 840º

840º - 360º = 480º como aún es mayor que 360º Vuelvo a restar 480º - 360º = 120º.

Medida de ángulos La medida de un ángulo es una magnitud que depende de la amplitud y el sentido de la rotación. Para medir ángulos se utilizan tres sistemas diferentes: el sistema centesimal, el sistema cíclico o circular y el sistema centesimal. Sistema circular.- En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Como la longitud de una circunferencia es 2 radianes, es decir 6.28 radianes, dándole a el valor de 3.14 Un radián equivale a 57°18' (se obtiene dividiendo 360° entre 2 ) Sistema sexagesimal.- Se considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamadas segundos. Los símbolos para esta unidad son: grado °, minuto ´, segundo " Equivalencia entre grados y radianes Las dos relaciones siguientes permiten calcular de grados a radianes o viceversa la medida de un ángulo.

360º grados = 2 π radianes 180º grados = π radianes

Ejemplo 1: Un ángulo mide 45º, calcular su amplitud en radianes.

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Se plantea la proporción: 휋

180º =푥

45º

푥 =45º휋180º =

휋4

El ángulo de 45º equivale a radianes. Ejemplo 2: Expresar en grados sexagesimales la amplitud de un ángulo de radianes. Se plantea la proporción:

휋180º =

푥5휋3

푥 =5휋3 (180º)

휋 푥 = 300º

Actividad Copie las preguntas y resuelva 1. Explique a qué se refiere el término trigonometría 2. Dé mínimo cinco ejemplos de cálculos de ángulos

de un triángulo. 3. Encuentre la distancia en metros entre cada par de

puntos dados. Grafique en cada caso el plano cartesiano

a. A(-5, 4); B(3, -2) b. C(-2, 3); D(-4, -1) c. E(-2, 5); F(6, -1) d. G(10, -5); H(-8, -3)

4. ¿Qué es un ángulo? Dibújelo 5. Dibuje dos ejemplos de ángulos positivos y dos de

ángulos negativos. 6. Indique en que cuadrante se encuentran los

siguientes ángulos: a) −15° b) −45° c) 175° d) −340°

e) 142° f) 130° g) −160° h) 28°

i) −20° j) 180° k) 270° l) 135°

7. ¿Cómo se nombran los ángulos? 8. ¿Cómo se clasifican los ángulos? Elabore los

dibujos. 9. Explique y dibuje las posiciones relativas de dos

ángulos. 10. Explique qué son ángulos complementarios y

suplementarios. De cinco ejemplos de cada uno. 11. Explique ángulos coterminarles, de cinco ejemplos.

12. Para cada rotación encuentre la medida del ángulo y dibújelo en un plano cartesiano.

a. ¼ de rotación en sentido de las manecillas del reloj.

b. 3/4 de rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

c. 5/12 de rotación en sentido de las manecillas del reloj.

d. 3/10 de rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

13. Escribe el equivalente en grados del ángulo medido en radianes:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

14. Escribe el equivalente en radianes de cada ángulo indicado:

a) 15° b) 45° c) 75° d) 340°

e) 42° f) 30° g) 60° h) 285°

i) 210° j) 18° k) 90° l) 45°

15. En un plano cartesiano, construye los ángulos dados en el punto anterior. Dibuja un plano para cuatro ángulos. Utilice transportador.

Tarea – Proyecto Elaborar un juego para tipo dominó sobre radianes y ángulos.