Soluciones de Practicas Mate3

8/10/2019 Soluciones de Practicas Mate3

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PRCTICA N11) Un segmento fijo de longitud h es la altura relativa a la

hipotenusa de un triangulo rectngulo variable. Determine la

ecuacin vectorial y su grafica de los puntos de interseccinde uno de los catetos con la circunferencia de centro en elvrtice a dicho cateto de radio r.

SOLUCIN:

Reemplazando 2 en 1

. /

Ecuacin de la curva es la de una hiprbola


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2) Determine las ecuaciones del plano normal y osculador en

la curva de interseccin de las superficies ; en el punto (-1,1,2).SOLUCIN

Evaluando en el punto (-1,1,2):

, - , - , - Evaluando en el punto (-1,1,2) y de (1):

Para el plano normal:

, -


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3) Sea C la curva descrita por . /; a R. Hallela torsin , si es la medida del ngulo que determina la

Binormal con el eje

.

SOLUCIN

Sea:

Sea: Tomando modulo al producto

escalar:

Reemplazando (2) en (1):

4) La circunferencia : es osculatriz en el puntoA(1,2) a una parbola cuyo eje es paralelo al eje .Determine la ecuacin de la parbola.

SOLUCIN

Sea: Definimos la ecuacin de la

parbola:

Entonces derivando y evaluandoen A=(1,2):

Del dato:

||, -


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, -

, - Reemplazando en la ecuacin de

la parbola y en el punto A=(1,2):

Entonces, la ecuacin de la

parbola es:

5) Una partcula se desplaza a lo largo de la curva : de tal manera que las componentes vertical yhorizontal del vector aceleracin son iguales. Si invierte Tsegundos en ir (C,0) al punto (0,D). Cunto tiempo invertir

en ir desde (C,0) a la mitad del camino . /?SOLUCIN

Tomamos:

, - Como nos dice que las componentes

de la aceleracin son iguales:

, -

. / Para:

Ahora para el punto . /


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6) Determine las ecuaciones intrnsecas de la curva deinterseccin de las superficies

.

SOLUCIN

Sea:

Ahora:

()

()

(()() ) (() () )Entonces:

(

)

7) Sea la curva C: donde s es elparmetro longitud de arco. Calcule k(s):

SOLUCIN

Sea:

,-

,- ,-Sea:

,

-

Entonces: | |


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8) Sea la curva C: Determine su curvatura en los puntos de abcisa x=1 yordenada racional

SOLUCIN

Sea: Evaluamos la curva en x=1

Como posee solucinirracional

Entonces:

9) Sea una curva descrita por Determinela indicatriz esfrica de sus Binormales.

SOLUCINSea: Entonces definimos:


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10) Determine la Torsin y la Binormal de lainvoluta de una curva definida por

SOLUCIN

De la forma de la involuta: Sea y ,- Tomando modulo:

.(I)

Derivando (I):

Tomando modulo:


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PRCTICA N2

1) Una partcula seguidora de calor parte del origen. Su ladistribucin de temperatura viene dad por la funcin escalar definida por entonces Cul es la ecuacin de la trayectoria descritapor la partcula?

SOLUCIN

Sea: Entonces

seala la mayor

variacin de temperatura

=> Sea la ecuacin de la

trayectoria => =>

Para => Entonces al igualar:

2) Suponga que una cierta regin del espacio el potencialelctrico V esta definido por la funcin escalar tal que a) Determine la razn de cambio del potencial en el punto

P=(3,4,5) en la direccin del vector b) Cul es la razn mxima de cambio en el punto P?

SOLUCIN

a) De la definicin de la derivada direccional:

Entonces evaluando en el punto P=(3;4,5): b) De la definicin del producto escalar:

Ahora, para que la derivada direccional sea mxima

=>


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3) Un cilindro cuya ecuacin es es tangente a lasuperficie en todos los puntos comunes alas dos superficies. Calcule

SOLUCIN

Sea

4) En que puntos de la superficie el plano tangente

es paralelo al plano ?SOLUCIN

Sea la superficie:

, -

Ahora reemplazando en la

superficie obtenemos los puntos:


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5) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones,justificando su respuesta.

I. Si es una funcin escalar, entonces II. Si es la funcin escalare definida por , entonces III. Si para todo en alguna vecindad del origen, entonces | | para todo en esa vecindadSOLUCIN

I.FALSO

El lmite no necesariamente cumple ya que solo cumple en polinomios y la

funcin tendra que ser continua en ese punto. Comprobemos con uncontraejemplo:

Sea: Por trayectorias:

Para Para Como no es continua en(2,5)

II. VERDADERO

Partimos de la definicin de la derivada direccional y sea Como: Tenemos que:

Tomando modulo:

|| Pero: Entonces concluimos que:

III.VERDADERO

De la expresin: | | ||


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6) Sea la funcin escalar definida por {

. Es diferenciable en ?

Justifique su respuesta.

SOLUCIN

( ) Por trayectorias, se demuestra que es continua:

Para Para

Para Por trayectorias, se demuestra que es continua:

Para

Para Para Por lo tanto, si es diferenciable en


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7) Determine todos los valores extremos absolutos y relativos y los

puntos de silla para la funcin escalar definida por de la regin cuadrada

SOLUCIN

Para hallar los puntos crticos:

Obtenemos el punto: Ahora, hallamos:

Por el criterio de la segunda

derivada:

Entonces, 8 es su mximo relativo

y no existe un punto de

ensilladura.

8) Suponer que una montaa tiene forma de un paraboloide

elptico

siendo a, b y c constantes

positivas, x e y son las coordenadas este-oeste y norte-sur,y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y, z estn medidasen metros). a) En el punto (1;1), en que direccin aumentamas rpido la altitud? b) Si se suelta una canica en (1;1),en que direccin comenzara a rodar?

SOLUCIN

a) Al momento de tomar la gradiente negativa obtenemos la direccin de

aumento de la altitud evaluando en el punto (1;1):

b)Ahora la direccin en que comienza a rodar solo es la gradienteevaluada en el punto (1;1):


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9) Sea la curva suave que es la solucin de la ecuacindiferencial . Calcule la curvaturade la curva .

SOLUCIN

Sea: Despejando de la ecuacin dada:

( )

|| ( ) 10) Grafique mediante las curvas de nivel, la superficie cuyas

ecuaciones paramtricas son:

. / SOLUCIN

Elevando al cuadrado hallamos una relacin: Entonces para hallar sus curvas de nivel

hacemos La cual es una familia de elipses

Entonces, su grafica en el espacio ser:

Hiperboloide de una hoja


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PRCTICA N31) Calcule

* , - , -+ SOLUCIN

Entonces transformando la integral doble:

2) Deducir la ecuacin del cono circular recto cuya altura mideH y el radio de la base mide R, y luego calcule su momentode inercia.

SOLUCIN

Calculando el momento de inercia del cono, como es simtrico al plano XY

solo actuaria en el eje Z:

Ahora, transformamos a coordenadas cilndricas:

* +


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3) Grafique la regin de integracin y evale en coordenadascilndricas

SOLUCIN

De la expresin obtenemos el dominio:

* +Ahora hallamos las superficies:

Como: De la definicin:

Entonces, transformamos a cilndricas:

* +

4) Resolver

a) Demuestre que la ecuacin de Euler para la funcional

se

puede escribir de la siguiente manera: b) Calcule la funcin estacionaria para SOLUCIN

a) De la ecuacin de Euler:


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b) de la integral:

La ecuacin de Euler seria:

5) Calcule

* + SOLUCIN

Del grafico obtenemos:

* +

Entonces, transformando a polares:

* +


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6) Evale ,- SOLUCIN

Redefiniendo la integral iterada:

,-

,- ,-

,-

7) La carga se distribuye sobre el disco de modo

que la densidad de carga es . Calculela carga total sobre el disco.

SOLUCIN

De la definicin de carga elctrica:

Transformando a polares tenemos: * +

, -


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8) Complete los espacios en blanco, justificando susrespectivas respuestas:

a)

asume la forma _____________ en coordenadas

cilndricas y la forma ________________ en coordenadas

esfricas.

b) se convierte en _________________en coordenadas cilndricas.

c) Si S es la bola unitaria con centro en el origen, entonces , escrita como integral iterada en coordenadasesfricas se convierte en _______________.

d) El valor de la integral de la pregunta (c) es___________________.

SOLUCIN

a)asume la forma en coordenadas cilndricas y la forma en coordenadas esfricas.Para las coordenadas cartesianas:

Para coordenadas cilndricas:

Para coordenadas esfricas:


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se convierte en en coordenadas cilndricas.De la grafica obtenemos que es un cilindro:

* +

c)Si S es la bola unitaria con centro en el origen, entonces ,escrita como integral iterada en coordenadas esfricas se convierte en d)

9) Responda verdadero o falso a cada una de las siguientes

afirmaciones. Preprese para justificar sus respuestas.

a) Si

, entonces

.

b) Hay tres posible ordenes de integracin para una integral triple.

c) Si * +, entonces d) SOLUCIN

a) VERDADERO

Si en una regin R, entonces grficamente se cumple:


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b)FALSO

Dependiendo de las condiciones a las que se adecue el problema, existen

6 posibles ordenes de integracin:c) VERDEDERO

d)VERDADERO

10) Considere el solido acotado en el primer octantesuperiormente por el plano

, los planos

. Calcule su volumen de dos maneras:a) mediante una integracin b) mediante una integracin SOLUCIN

=4


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EXAMENPARCIAL

1) Existe el siguiente limite

? Justifique

su respuesta.SOLUCIN

Reduciendo para Entonces el lmite seria:

Ahora demostrando la existenciadel lmite por trayectorias:

Para Para

Para Por lo que obtenemos que:

Entonces, generalizando:

2) Determine, si existe una funcin armnica

tal que

./, si es una funcin real de variable realdiferencial.SOLUCIN

Para que sea una funcinarmnica se tendra que cumplir:

Sea ,- []

Entonces, de la ecuacin de

Laplace:

Se nota que no se puede expresar

con una funcin que dependa de t

=>no es una funcin armnica.


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3) Enuncie y demuestre la segunda ley de Kepler.

SOLUCIN

La segunda Ley de Kepler nos dice:

Una recta imaginaria (radio vector) que une el so, con el planeta barre

reas iguales en tiempos iguales.

Ahora para demostrarla tendremos que:

Sea:

Obtenemos:


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4) Indique el valor de verdad de las siguientes preposiciones:

a) Si una funcin

es diferenciable, entonces

es un vector unitario. Fundamente surespuesta.b) Existe una funcin tal que . Fundamente su respuesta.SOLUCIN

a)Sean los puntos de la recta que pasa por en direccin del vector

:

Como:

( )

( ) b) Por teora, la gradiente de una funcin es un vector y se puede expresar

en una forma cartesiana.


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5) Sea la funcin escalar definida por Si es diferenciable en el punto , entoncesdemuestre:

SOLUCIN

De la definicin de diferenciabilidad:( ) ( ) ( ) Luego hacemos: Reemplazando: ( ) Despejando la ecuacin y tomando lmite tenemos:

( ) 6) Determine la ecuacin del plano tangente a las superficies

en el punto que contiene al punto de tangencia de lasdos superficies: SOLUCIN

De las superficies obtenemos: , -

Operando: Entonces, para el plano tangente: , -

, -


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7) Demuestre que la evoluta de la curva ; a>0 y b>0,es una espiral logartmica.

SOLUCIN

Sea la evoluta:

8) Una partcula se desplaza en con vector de posicin , - 0 1En el instante la posicin de lapartcula es . /y su velocidad es . Encada instante la aceleracin de la partcula es . Encuentre la curvatura de la curva descrita por el vector de la posicin en cualquier instante t.

SOLUCIN

De los datos del problema tenemos: [ ] [ ]

,

-


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9) Sea la funcin escalar definida por lasiguiente regla de correspondencia

Analice la derivada direccional de en el punto , en ladireccin del vector segn los valores de SOLUCIN

De la definicin de la derivada direccional:

Para: Para: 10) Transformar la ecuacin

pasando a lascoordenadas polares

SOLUCIN

Sea:

Reemplazando:


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PRACTICA N5

1) Determine el flujo del campo (x;y;z)=(y;-x;z) a travs de lasuperficie de la esfera de centro en el origen y radio R.

x2+y2+z2=R2

2) Use el teorema de Stokes, para calcular el rea de la reginacotada por el polgono convexo cuyos vrtices son(x1;y1),(x2;y2),,(xn;yn)

y-y1=()x+c

dy=(

)dx

+ = dx+ dx=

3) Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones,

fundamente su respuesta.

I)Existe un campo vectorial tal que II)Sean los campos vectoriales =(x;y;z), (x;y;z)=(x;y-1;z).Calcule div(

|| ||)I)Si existe


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II)=(x;y;z), (x;y;z)=(x;y-1;z)div(

|| ||)=div(

|| ||)

=div(|| ||)=+

=div(|| ||)= +

4) Sean H: x2+y2+z2=4, T:z=4-y2-x2,z0.Calcule.(x;y;z)=(x;y;z)

= ds=0- =-24

5) Si F y G son funciones escalares de clase C2, entoncesdemuestre que(FG)=F

Sugerencia: use notacin de ndices

() (FG)=F


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6) Evalue la integral de superficie , siendo S lasuperficie del paraboloide z= x2+y2 que esta debajo delplano z=4.

ds= ds= I= Haciendo r=

dr=

I=( )7) evalue la integral de lnea , siendo C una curva

suave por tramos simple y cerrada que encierra al origen decoordenadas y el campo vectorial es .

Como F no es continua en el origenTomando una circunferencia que encierra el origen

x2+y2=a2

entonces

x=ay=a

t ,- =(acost,asent) =(-asent,acost) )dt


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8) Calcule el rea de la superficie dada. L a parte delparaboloide hiperblico z= y2-x2 que esta entre los cilindrosy x2+y2=4

A= ds=secdAds= A= A= . / dA= . /9) Evalue usando el teorema de Stokes y el teorema de la

divergencia, siendo el campo vectorial =(x2+y-4;3xy;2xz+z2) y S la superficie z=4- (x2+y2) por encima delplano xy.

ds=

=-4 =-4


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10) Demuestre que , S es unasuperficie regular orientada y C es una curva suave simple ycerrada. Fundamente su demostracin.

Usando el teorema de Stokes y haciendo F=

Entonces

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