Universidad Simn BolvarDepartamento de Matemticas

Puras y AplicadasSeptiembre-Diciembre 2013

Nombre:Carn: Seccin:

Duracin: 1 hora 50 minutos

3er. Parcial de Matemticas I (40%)

1. [Total: 12 puntos] Sea f la funcin denida por

f(x) =4x 12(x 2)2 :

Entonces se tiene que

f 0(x) =4(x 4)(x 2)3 y f

00(x) =8x 40(x 2)4 :

(a) [2 puntos] Determine el dominio de f y los puntos en los que f es derivable.(b) [2 puntos] Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f .(c) [2 puntos] Encuentre los valores extremos, tanto locales (relativos) como globales (absolutos),

de f .(d) [2 puntos] Halle los intervalos de concavidad y los puntos de inexin de f .(e) [2 puntos] Halle las asntotas horizontales, verticales y oblicuas de la grca de f .(f) [2 puntos] Haga un bosquejo de la grca de f y determine su rango (imagen).

Solucin:(a) Dom(f) = R n f2g; Dom(f 0) = R n f2g.(b) El anlisis del signo de la derivada se aprecia en

(1; 2) (2; 4) (4;+1)4(x 4) + + (x 2)3 + +

f 0 + f & % &

lo que nos permite concluir que f es creciente en (2; 4) y es decreciente en (1; 2) y en(4;+1). Por favor observe que es incorrecto armar que f es decreciente en (1; 2) [(4;+1) puesto que f(1) = 8 y f(5) = 8/9 (lo que implica que f(1) < f(5) a pesar deque 1 < 5).

(c) El nico punto crtico es x = 4 (x = 2 no est en el dominio de f) y corresponde a unpunto estacionario (la derivada se anula). Del signo de la derivada (criterio de la primeraderivada) concluimos que la funcin alcanza un valor mximo local (ms an, globaldebido, adicionalmente, a que limx!1 f(x) = 0) en x = 4. Como limx!2 f(x) = 1entonces concluimos que x = 2 es una asntota vertical de f y que f no alcanza valormnimo global (ni local).

(d) Para obtener la concavidad de la funcin, estudiamos el signo de su segunda derivada:

(1; 2) (2; 5) (5;+1)8(x 5) +

f 00 +f \ \ [

As, la grca de f es cncava hacia abajo en (1; 2) [ (2; 5), cncava hacia arriba en(5;+1) y el nico punto de inexin es (5; f(5)) = (5; 89 ).

(e) La nica asntota vertical es la mencionada en la parte anterior (la unicidad se debe aque f es una funcin racional cuyo denominador slo se anula en x = 2).Como el grado del denominador de f es estrictamente mayor que el grado del numeradorentonces limx!1 f(x) = 0 = limx!+1 f(x) y, por lo tanto, y = 0 es asntota horizontal(a izquierda y a derecha) de la grca de f . Adems, la grca de f no presenta asntotasoblicuas.

(f) La grca queda

5

4

3

2

1

1

y

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7x

Pto. inexin

Criterio de Correccin: Partes (a)(e) sern calificados con 2 puntos, cuando la respuesta est com-pletamente correcta, o con 0 puntos si no. Parte (f) podr tener una calificacin de 1 punto cuandola grfica, a pesar de no estar 100% correcta, sea consistente con las conclusiones obtenidas por elestudiante.

2. [Total: 10 puntos](a) [5 puntos] Sea f : [0; /2]! R denida por f(x) =p7 + 4 sen2(x). Halle (f1)0(3) sabiendo

que el punto (/4; 3) pertenece al grco de f .(b) [5 puntos] Halle la(s) ecuacin(es) de la(s) recta(s) tangente(s) a la circunferencia de ecuacin

(x 1)2 + (y + 1)2 = 17 en los puntos que tienen abscisa x = 2.

Solucin:(a) Es fcil probar que f es estrictamente creciente (sto debido a que la composicin de

funciones crecientes es creciente, que la funcin raz cuadrada es creciente y a que sen2(x)es creciente en [0; /2]) y, por lo tanto, invertible. Siendo invertible, el hecho de que elpunto (/4; 3) est en la grca de f implica que f1(3) = 4 (y tambin, por supuesto,que f(/4) = 3). Luego, de f(f1(y)) = y 8y obtenemos, gracias a la regla de la cadena,que

f 0(f1(3)) (f1)0(3) = 1:As,

(f1)0(3) =1

f 0(4 )=

11p

7+4 sen2(x)4 sen(x) cos(x)

x=4

=1

1p9

42

= 32:

Criterio de Correccin: Dos puntos por relacionar (correctamente) la derivada de f1 con laderivada de f (regla de la cadena). Un punto por determinar f1(3). Un punto por calcularf 0(/4). Carpintera final: 1 punto.

(b) Los puntos de la circunferencia que tienen abscisa 2 vienendados por la ecuacin (2 1)2 + (y + 1)2 = 17, es decir,(y + 1)2 = 16, cuyas soluciones son y1 = 3 y y2 = 5.Luego, la circunferencia tiene dos puntos con abscisa 2:P1 = (2; 3) y P2 = (2;5).Sabemos que la pendiente de la recta tangente a la cir-cunferencia viene dada por la derivada dydx (evaluada en elpunto de tangencia), derivada que podemos hallar impl-citamente:

(1,-1)

P1(2, 3)

P2(2,5) ,

ddx

(x 1)2+ ddx (y + 1)2 = ddx [17]) 2(x 1) + 2(y + 1)dydx = 0

) dydx = x 1y + 1

=1 xy + 1

:

De esta manera, las pendientes m1;m2 de las rectas tangentes a la circunferencia en lospunto P1; P2 (denotemos estas rectas L1; L2, respectivamente) son

m1 =1 23 + 1

= 14

; m2 =1 25 + 1 =

1

4:

Finalmente, con las pendientes y los puntos construimos las rectas L1 y L2 pedidas:

L1 : y 3 = 14(x 2)

L2 : y + 5 =1

4(x 2):

Criterio de Correccin:

8>>>:Hallar los (dos) puntos con abscisa 2 1 pto.Derivacin implcita 2 ptos.Clculo de las (dos) pendientes 1 pto.Obtener ecuaciones de las (dos) rectas 1 pto.

3. [8 puntos] Halle las dimensiones del rectngulo de mayor area que tiene diagonal de longitud 2.

Solucin: Si x y y denotan la longitud de los lados del rectngulo entonces, por un lado,stas vienen relacionadas (debido al teorema de Pitgoras, ver gura) mediante la ecuacinx2 + y2 = 4 ( y =

p4 x2) y, por el otro, el area viene dado por xy.

2

x

y

Se pide entonces hallar el valor mximo de la funcin h : (0; 2) ! R, denida porh(x) = x

p4 x2 (note que h(x) = xy es el area del rectngulo).

Para hallar los puntos crticos calculamos

h0(x) =p

4 x2 x2

p4 x2 =

4 2x2p4 x2 ;

el cual se anula nicamente en x1 =p2 (observe que p2 no pertenece al dominio de h) y,

evidentemente, est denido en todo el dominio de h. Como el denominador de h0 es siemprepositivo entonces el signo de la derivada de h viene dado, nicamente, por el signo de sunumerador, es decir, de

4 2x2 =2

p2x

2 +p2x

| {z }> 0 en (0; 2)

:

As, h0(x) > 0 si 0 < x >>>>>>>>>>>>>>:

Planteamiento del problema: 2 puntos.Obtencin de funcin a maximizar: 1 punto.Clculo de la derivada: 1 punto.Obtencin de los puntos crticos: 1 punto.Justificacin existencia mx. abs.: 1 punto.Obtencin punto donde se alcanza mx. abs.: 1 punto.Conclusin: 1 punto.

4. [Total: 10 puntos] Sea f la funcin real denida por

f(x) =

(x7/3 si x < 01 cos(x) si x 0:

(a) [3 puntos] Calcule f 0(0).(b) [3 puntos] Halle la (funcin) derivada de f .(c) [4 puntos] Calcule f 00(0).

Solucin:(a) El clculo de f 0(0) debe hacerse por denicin:

f 0(0) = limh!0

f(h)*0

f(0)

h=

8>>>>>:limh!0+

1 cos(h)h

= 0

limh!0

h7/3

h= 0:

Por lo tanto, f 0(0) = 0.

Criterio de Correccin:

8:73x

4/3 si x < 00 si x = 0sen(x) si x > 0

0@o tambin8