Solucion_ASC_jun0506

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Obtener la Función de Transferencia de un filtro paso de banda con las siguientes especifi-

caciones:

• Banda pasante máximamente plana, comprendida entre 1kHz y 1.44kHz con A p ≤ 3dB.• Un cero de transmisión, al menos, en f z1 = 1.72kHz. La atenuación a altas frecuencias crece al

menos con 20dB/década.

Solución detallada

Los pasos a seguir son los siguientes: obtener las especificaciones del paso de baja prototipo (nor-

malizadas), obtener (aproximar) la función de transferencia del LPP y aplicar la transformación

en frecuencia para tener la expresión del paso de banda que se nos pide.

Tomamos como frecuencia central del filtro paso de banda,

y como ancho de banda

Como no nos especifican el valor de los límites de las bandas de rechazo, ni mínimos de atenu-

ación en ellas, no hay necesidad de redefinir las especificaciones. Sí nos indican la frecuencia de

un cero de transmisión en la banda de rechazo superior. Podemos calcular su posición en el pro-

totipo paso de baja normalizado utilizando la transformación en frecuencia de LPP a BP (desnor-

malizada en frecuencia),

o lo que es lo mismo, haciendo y ,

que para , resulta en

Necesitamos por tanto un LPP máximamente plano en la banda pasante, con y un cero

de transmisión en . La atenuación a altas frecuencias debe crecer al menos con .

No nos especifican ni el borde de la banda ni la atenuación mínima en la banda de rechazo.

Puesto que tenemos (al menos) un cero de transmisión finito, y una atenuación a altas frecuencias

de , el orden debe ser como mínimo .

Si intentamos una aproximación máximamente plana genérica, nos encontraremos con la

necesidad de encontrar las raíces de un polinomio de 6 orden (de tercer orden en ) para separar

y . Una alternativa es recurrir a la utilización de un chebyshev inverso, que es un caso

particular de aproximaciones máximamente planas con cero(s) de transmisión finitos, y que

además podemos resolver analíticamente. El crecimiento de la atenuación a altas frecuencias

es compatible con filtros chebyshev inversos de orden impar, lo que se corresponde

0 1000 1440⋅ Hz 1200Hz= =

ω0

2π f 0rad/s 7540rad/s= =

f Δ 1440Hz 1000Hz – 440Hz= =

B 2π 1440 1000 – ( )rad/s 2765rad/s= =

s

p2 ω0

2+

pB------------------=

s jω= p jΩ=

jω Ω2 – ω0

2+

jΩ B------------------------= ⇒ ω

Ω2 ω02

–

Ω B-------------------=

Ω z 2π1720rad/s 10807rad/s= =

ω z 2=

A p 3dB≤

ω z 2= 20dB/dec

20dB/dec n 3=

s2

D s( ) D s – ( )

20dB/dec( )


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bien con el orden mínimo determinado previamente. Buscaremos por tanto un chebyshev inverso

de orden 3.

Las funciones de transferencia de los filtros chebyshev inversos, en la forma habitual, están nor-

malizadas respecto al borde de la banda de rechazo, mientras que la posición del cero de trans-misión ha sido calculada para un LPP normalizado respecto al borde de la banda de paso,

como es habitual. Por tanto, la posición del cero de transmisión en el filtro chebyshev inverso será

donde es el factor de selectividad del filtro chebyshev inverso (que es el mismo que el del LPP

o del PB que buscamos).

La posición de los ceros de transmisión de los chebyshev inversos (normalizados respecto al

borde de la banda de rechazo) es la inversa de los ceros de reflexión de los chebyshev directos

(normalizados respecto al borde de la banda de paso) de los que se derivan. La posición de estosceros de reflexión está dada por

en nuestro caso, con ,

y los ceros de transmisión del chebyshev inverso,

Igualando el único valor finito con el resultado anterior, tenemos

Este valor será necesario, aparte de para conseguir que el cero de transmisión esté en la posición

especificada, para renormalizar la función de transferencia del chebyshev inverso de manera que

quede normalizado respecto al borde de la banda pasante, como es habitual en los prototipos paso

de baja.

Ahora debemos obtener la función de transferencia del filtro chebyshev inverso. Lo primero es

obtener los polos del chebyshev directo del que deriva, para lo que necesitamos conocer su , que

llamaremos . Este se obtiene, como sabemos, de

ω z 2=

ω zCIω zLPPωs

-----------2

ωs------= =

ωs

ωr k 2k 1+

n---------------

π2---⎝ ⎠

⎛ ⎞cos= k 0 … n 1 – , ,=

n 3=

ωr 0π6---

⎝ ⎠⎛ ⎞cos 3

2-------= =

ωr 1π2---

⎝ ⎠⎛ ⎞cos 0= =

ωr 25π6

------⎝ ⎠⎛ ⎞cos π

6---

⎝ ⎠⎛ ⎞cos – 3

2------- – = = =

ω z0 2,1

ωr 0 2,----------

2

3-------±= =

ω z11

ωr 1------- ∞= =

ωs 2 32---------- 1 732,= =

εεCD( )


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donde es el correspondiente a nuestro filtro objetivo (que es chebyshev inverso),

Por otra parte1,

y evaluando en ,

De donde,

Ahora, los polos del chebyshev directo están dados por

con

donde lógicamente . En nuestro caso, y

Los polos son, entonces

(1.1)

dónde se ha utilizado que 2

1. La obtención de este polinomio puede hacerse de múltiples maneras: a partir de una tabla, a partir de la

expresión de los ceros de reflexión del chebyshev directo y de la constante del coeficiente, o a partir de la

ley recursiva en función de los dos polinomios de chebyshev de orden inmediatamente inferior.

εCD1

εCIC 3 ωs( )------------------------=

εCI

εCI εObjetivo 10

A p

10------

1 – 100,3

1 – 0,997= = = =

C 3 ω( ) 4ω3

3ω – =

ωsC 3 ωs( ) 15 587,=

εCD 1εCIC 3 ωs( )------------------------ 0,0643= =

sk α2k 1+

n---------------

π2---

⎝ ⎠⎛ ⎞sin – jβ 2k 1+

n---------------

π2---

⎝ ⎠⎛ ⎞cos+=

k 0 1 2, ,=

α1

2--- ξ

1

ξ--- – ⎝ ⎠

⎛ ⎞= β1

2--- ξ

1

ξ---+⎝ ⎠

⎛ ⎞=

ξ ε n,( ) 1ε---

1

ε2----- 1++

⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞

1n---

=

ε εCD= ξ ε n,( ) 3 1460,=

α 1 4266,= β 1 7194,=

s0 α π

6---

⎝ ⎠⎛ ⎞sin – jβ

π6---

⎝ ⎠⎛ ⎞cos+=

s1 α π2---⎝ ⎠⎛ ⎞sin – jβ π2---⎝ ⎠⎛ ⎞cos+ α – = =

s2 α5π6

------⎝ ⎠⎛ ⎞sin – jβ

5π6

------⎝ ⎠⎛ ⎞cos+ α

π6---

⎝ ⎠⎛ ⎞sin – jβ

π6---

⎝ ⎠⎛ ⎞cos – = =


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y finalmente,

Los polos del chebishev inverso son los inversos,

y el denominador del chebishev inverso será

El numerador tendrá el cero de transmisión finito, que como hemos visto estará situado (normal-

izado respecto al borde de la banda de rechazo) en

es decir que,

La función de transferencia será, obviamente

La constante multiplicativa (el coeficiente de la potencia de mayor orden) del denominador la

podemos obtener de

de donde,

Ahora normalizamos las funciones respecto al borde de la banda pasante, que es como suelen

emplearse los paso de baja prototipo

usando , y cambiando ya la notación de la variable de frecuencia compleja,

2. De aquí se deduce que sólo es necesario calcular la mitad (uno más o menos, según sea de orden par o

impar) de los polos, ya que aparecen siempre por pares complejos conjugados.

π x – ( )cos x( )cos – =

s0 2, 0 7133, – j1 4890,±=

s1 1 4266, – =

s'0 2, 0,2617 – j0,5462±=

s'1 0,7010 – =

D s( ) K s s'i – ( )

i 1=

3

∏= =

K s 0,2617+( )2 0,54622+( ) s 0,7010+( )= =

K s3 1 2244s2, 0,7337s 0,2571+ + +( )=

ω zCIω zLPPωs

-----------2

3-------= =

N s( ) s2

4 3 ⁄ +=

D s( ) N s( )

D s( )----------=

H 0( ) 14 3 ⁄

K 0,2571--------------------= = K ⇒ K 5 186,=

D s( ) 5 186s3, 6 3497s2, 3 805s, 4 3 ⁄ + + +=

H LPP s'( ) H CI s( )s

s'

ωs-----=

=

ωs 3 1 7321,= =

H LPP s( ) s

24+

2 9941s3, 6 3497s2, 6 5905s, 4+ + +-------------------------------------------------------------------------------------=


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Por último, sólo nos queda aplicar la transformación en frecuencia pertinente:

s p

2w0

2+

pB------------------=


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ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE CIRCUITOS

3er Curso Ingeniería de Telecomunicación - Curso 2005/2006

Convocatoria de Junio

1.– En la figura puede verse una red LBT que se usará en una topología ENF.

Sabiendo que la función de transferencia T cb es

(1)

y que la condición para minimizar la sensibilidad de una topología ENF es a0=a2ω 12

.

Demostrar que la única posibilidad es que Y 5 sea 0.

Solución:

La función de transferencia de la red LBT debe tener la forma

(2)

comparando las ecuaciones (1) y (2) puede verse que tanto en el numerador como en el

denominador deben ser polinomios de segundo orden con todos los términos distintos de cero.

Por lo tanto, tanto en el numerador como en el denominador deben existir términos que

correspondan a dos condensadores, que darán lugar a los términos en s2; dos resistencias, que

T cb s( ) N cb s( )

D1 s( )----------------

Y 2Y 3 Y 4 Y 1 Y 2 Y 3+ +( )+

Y 1 Y 2 Y 3+ +( ) Y 4 Y 5+( ) Y 3 Y 1 Y 2+( )+---------------------------------------------------------------------------------------------= =

T cb s( ) N cb

D1 s( )--------------

a2 s2

a1 s a0+ +

s2

sω1 q p ⁄ ω12

+ +------------------------------------------= =


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2. La otra posibilidad es que Y 4 sea un condensador: . En este caso, para que

exista término independiente distinto de cero es obligatorio que Y 2 e Y 3 sean

resistencias. y y para que exista el término cuadrático

. Por lo tanto el numerador será:

(7)

y el denominador

(8)

Ahora nuevamente caben dos posibilidades para Y 5.

2.a.- Que Y 5 sea una resistencia . En este caso el término independiente en

el denominador será y el término en s2 . Compa-

rando los términos de D1( s) con N cb( s) vemos que:

(9)

que para que sean iguales es necesario que

2.b.- La otra posibilidad es que Y 5 sea un condensador . En este caso el tér-

mino cuadrático en el denominador será y el término indepen-

diente . Comparando con el numerador se tendrá

(10)

y para que sean ambos coeficientes iguales es necesario que .

Por lo tanto en todos los casos debe cumplirse que la admitancia Y 5 sea nula.

Y 4 sC 4=

Y 2 G2= Y 3 G3=

Y 1 sC 1=

N cb s( ) Y 2Y 3 Y 4 Y 1 Y 2 Y 3+ +( )+ G2G3 sC 4 sC 1 G2 G3+ +( )+= = =

s2

C 1C 4 sC 4 G2 G3+( ) G2G3++=

D1 s( ) Y 1 Y 2 Y 3+ +( ) Y 4 Y 5+( ) Y 3 Y 1 Y 2+( )+= =

sC 1 G2 G3+ +( ) sC 4 Y 5+( ) G3 sC 1 G2+( )+= =

s2

C 1C 4 G4 sC 1 G2 G3+ +( ) G1 sC 3 G1 sC 2 sC 3+ +( )Y 5+ + + =

s2C 1C 4 s C 4G2 C 4G3 C 1G3+ +( ) G3G2 Y 5 sC 1 G2 G3+ +( )+ ++ =

Y 5 G5=

G3G2 G5 G2 G3+( )+ C 1C 4

a2 1=a0

ω12

------G2G3

G3G2 G5 G2 G3+( )+----------------------------------------------------=

G5 0=

Y 5 sC 5=

C 1C 4 C 1C 5+

G3G2

a2C 1C 4

C 1C 4 C 1C 5+---------------------------------=

a0

ω12

------ 1=

C 5 0=


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2.– Hacer una comparativa razonada de los distintos biquad multiamplificador.

Solución:

Existen muchas topologías de biquads que utilizan más de un amplificador. Pero la mayoría

pueden englobarse en dos grupos: 1) Los que se basan en la emulación de elementos y 2) Losque utilizan simulación funcional.

1. Los de este primer grupo se basan en partir de un circuito RLC pasivo y sustituir los

inductores (los elementos menos convenientes para implementaciones prácticas) por

circuitos activos que emulan su funcionamiento. En este caso lo habitual es usar el

convertidor genérico de inmitancias de Antoniou que se muestra en la Fig. 1.

En este circuito la admitancia equivalente vista desde la puerta 1 es:

(11)

Como la admitancia de un inductor es para que el circuito de la Fig. 1 simule

el comportamiento de un inductor caben dos posibilidades:

1) que y todos los demás resistencias , , e, ó

2) que y todos los demás resistencias , , e

. Si tomamos como referencia el primer caso, la autoinducción equiva-

lente es

(12)

Las ventajas de esta aproximación son:a.- La síntesis es sencilla puesto que deriva de un circuito pasivo que ya ha sido

Fig.4.33 Schauman

Figura 1: Convertidor genérico de inmitancias de Antoniou

Y in I 1 s( )

V 1 s( )-------------

Y 1Y 3Y 5

Y 2Y 4------------------= =

Y L1

sL------=

Y 2 sC 2= Y 1 G1= Y 3 G3= Y 5 G5=Y 4 G4=

Y 4 sC 4= Y 1 G1= Y 3 G3= Y 5 G5=

Y 2 G2=

LC 2G4

G1G3G5---------------------=


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dimensionado y únicamente hay que dimensionar los elementos del convertidor genérico de inmitancias.

b.- Como viene de un circuito pasivo que si ha sido diseñado correctamente poseeuna sensibilidad óptima, el circuito activo heredará parte de esa robustez aunquees necesario tener en cuenta un análisis de sensibilidad para dimensionar loselementos del GIC.

c.- Existen muchos grados de libertad para emular el inductor. Con ellos se puedellegar a compensar efectos de segundo orden como son: mejorar la sensibilidadde la ωo y de la Q, con respecto a la ganancia finita del amplificador operacional

y a su producto ganancia-ancho de banda finito. También se pueden usar paraconseguir valores muy variados de la L tanto muy grandes como muy pequeñossin necesidad de usar valores muy diferentes en los elementos pasivos.

d.- Se pueden aprovechar los nudos de baja impedancia de las salidas de losamplificadores operaciones para poner en cascada varios biquads para construir filtros de alto orden. Esta propiedad es común a casi todos los biquads basadosen amplificadores operacionales de tensiones.

Algunos de los inconvenientes son:

a.- Con esta técnica sólo se pueden emular inductores a tierra y por lo tanto sóloestán permitidos filtros paso de baja o paso de banda.b.- Podrían emularse inductores en ramas serie pero usando alguna transformación

como la de Gorski-Popiel la cual necesitará muchos amplificadores para emular un sólo inductor.

2. Los que utilizan simulación funcional. En este caso lo que se pretende es construir un

circuito que tenga la misma función de transferencia que la deseada aunque no se

basa en ninguna síntesis pasiva previa. El ejemplo que hemos considerado en clase es

el que se basa en la obtención de la función de transferencia paso de alta

(13)

la cual puede obtenerse mediante un diagrama de bloque como el de la Fig. 2

Para construir este biquad es necesario el empleo de amplificadores/sumadores e inte-gradores con peso negativo.El caso más directo es la aproximación KHN que da como resultado el circuito de laFig. 3.

Las ventajas de este biquads son:a.- Diseño muy sencillo.

H s( )

V o

V i------

H 0

s2

sωo

Q------ ωo

2+ +

---------------------------------= =

Figura 2: Biquads basado en integradores

Natarajan, Fig.6.21


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b.- Se obtienen simultáneamente las tres funciones de transferencia básicas. Paso de baja, paso de banda y paso de alta.

c.- Las tres salidas se pueden combinar posteriormente con un bloque sumador generalizado para conseguir cualquier función de transferencia de segundoorden, por lo tanto es completamente general.

Los inconvenientes principales son:

a.- Se necesitan tres amplificadores para implementar las funciones de transferencia básicas y uno más para conseguir la función de transferencia completa, en totalcuatro amplificadores.

b.- El amplificador del sumador tiene un modo común a la entrada que cambia conla señal, esto hace que el amplificador deba ser diseñado con más cuidado y quesea más costoso que uno en el que el modo común no cambia con la señal.

c.- Los errores de fase de los distintos amplificadores debidos al GB finito de losamplificadores operacionales van todos en el mismo sentido por lo que seacumulan y provocan errores de fase en el lazo completo muy importantes,

pudiendo llegar incluso a provocar inestabilidad. Aunque no causeninestabilidad provocan unas variaciones de los parámetros nominales (wo y Q)que pueden ser muy fuertes. Para que estas variaciones no sean importantes es

necesario diseñar los amplificadores con un GB muy grande comparado con lasfrecuencias de interés, lo que implica el uso de amplificadores muy costosos entérminos de potencia y en el caso de circuitos integrados de área y por lo tanto

de coste.

Una variación del biquad KHN es el de Tow-Thomas que se muestra en la Fig. 4.

En este caso, el primer integrador y el sumador se han fundido en un sólo bloque inte-grador-sumador, pero como el amplificador-sumador hacía una inversión, esta debe ser compensada con otra inversión en el lazo, la cual se consigue mediante la inclusión deun amplificador inversor con ganancia -1 ubicado después del segundo integrador. Deesta forma la función de transferencia permanece inalterada.Las ventajas de este biquads son las mismas que las del biquads KHN pero ademása.- Todos los amplificadores operacionales tienen su modo común fijo, por lo que

se pueden utilizar amplificadores más económicos.Los inconvenientes principales son:a.- Se tienen sólo la versión paso de banda y la paso de baja pero no la paso de alta.b.- Serán necesarios técnicas un poco más complejas para conseguir implementar

funciones de transferencia arbitrarias y puede que no se puedan conseguir todas

las posibles.c.- Sigue teniendo el problema de la acumulación de los errores de fase en la mismaforma que el biquad KHN

Figura 3: El biquad KHN.

Natarajan, FIg. 6.22


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Otra variante es el biquad de Ackerberg-Mossberg que se ilustra en la Fig. 5.

En este caso el segundo integrador y el inversor que está a continuación en el biquadde Tow-Thomas se ha sustituido por un integrador no inversor.Las ventajas son las mismas que las del biquad de Tow-Thomas pero resuelve, en

parte, el problema de la acumulación d errores de fase, ya que el error de fase intro-ducido por el segundo integrador es de la misma magnitud y de signo contrario al intro-ducido por el primero. Por lo tanto en este caso se pueden utilizar amplificadores conGB significativamente menores que en los casos anteriores para conseguir los mismoserrores.

3. Un último caso que se puede considerar como biquads multiamplicador son los

basados en OTAs. Aunque esto no es necesario para el examen. Dos ejemplos de

estos biquads se muestran en la Fig. 6.Las ventajas principales son:a.- Son especialmente adecuados para filtros integrados, ya que sólo utilizan OTAs

y condensadores a tierra. Estos elementos están normalmente disponibles en

tecnologías CMOS standard lo que los hace más baratos para producciómmasiva.

Figura 4: Biquad Tow-Thomas

V i R/k

C

QR

R

V o1

r

V o2

A1A2

A3

R

r C

a

b

Figura 5: Biquad Ackerberg-Mossberg.


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b.- Como la transconductancia de los OTA puede controlarse mediante alguna señaleléctrica, como una tensión o una intensidad, se pueden ajustar fácilmentedespués de fabricarlos.

c.- Son especialmente adecuados para trabajar a altas velocidades, puesto que no se basan en amplificadores de compensación interna como en el caso de losamplificadores operacionales de tensiones.

d.- No requieren proporcionar bajas impedancias de salida lo qeu simplifica eldiseño y ahorra potencia.

e.- Son más eficientes en cuanto al consumo de potencia, porque su funcionamientoes parecido al de los elementos activos fundamentales, los transistores.

Los inconvenientes son:a.- Son menos lineales, al intentar hacerlos lineales el diseño se complica y puede

llegar a no compensar. Por lo tanto son especialmente adecuados paraaplicaciones en las que no se requieran distorsiones muy bajas.

b.- Se requieren muchos elementos activos para un filtro relativamentesimple.diferentes

c.- No es fácil conseguir alta precisión en las relaciones de pesos que se basan enrelaciones de transconductancias.

Figura 6: Biquads con OTAs.

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