SOJE_SSPMMI_Ac5
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Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías.
Universidad de Guadalajara
Seminario de Solución de Problemas de Métodos
Matemáticos I
Actividad 5: Transformaciones Lineales
Sandoval Olivares Jesús Eduardo Código: 215254521
Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica Mtra. Miriam Ileana Flores Sandoval
Introducción. En esta actividad aplicaremos transformaciones lineales a distintas funciones que se nos dan; al igual que veremos si algunas transformaciones ya dadas son lineales o no. Así mismo; determinaremos el rango, dimensión y núcleo de las transformaciones. Marco Teórico. En grandes rasgos las transformaciones lineales son aquellas que salen del
resultado de una multiplicación matricial con un vector, dándonos
ecuaciones lineales, donde podemos sacar algunas propiedades de este
tema. Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa
el cuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo (ker) y la imagen (Im) de de la
siguiente manera:
Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el
conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector
nulo del codominio. El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio
vectorial del dominio:
1. dado que (para probar esto, observar
que ).
2. Dados
3. Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de
todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos
algún vector del dominio.
La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del
codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.
Para la transformación lineal 𝑇 ∶ ℝ3 → ℝ3 definida por: (𝑥,y,z) = (3𝑥
+𝑦,6𝑥 −𝑧,2𝑦 +𝑧) Obtener:
a. El kernel (𝑇) y su dimensión
Ker T= {(x, y, z)/ T(x, y, z)= (0, 0, 0)}
= {(x, y, z)/ (3x + y =0)
(6x – z= 0)
( 2y + z= 0)}
Ker T = {(x, y, z)/ = z (z/6 + -x/5 + z)
= 0.16+ (-0.2)+1 = 1.36
b. El rango o recorrido de 𝑇 y su dimensión.
Su dimensión es 3.
Verifica que la transformación 𝑇 ∶ ℝ2 → ℝ3 tal que (𝑥, 𝑦) = (𝑥 +𝑦, 𝑦, −𝑦) es
una transformación lineal.
Es transformación lineal
F(A) = TA= T
T (1, 0)= (1, 0, 1)
T (0, 1)= (1, 1, -1) T= [
] T= [
]
Determine la transformación lineal 𝑇 ∶ ℝ2 → ℝ2 tal que
𝑇 (1,1) = (0, 2)
𝑇 (3,1) = (2, −4)
T= [
] T = [
]
T (x, y)= (x-y,-3x +5y); esta es la transformación lineal, ya que f(A), nos
da esta ecuación por la matriz cuadrada que se genera.
Probar que existe una única transformación lineal 𝑓∶ ℝ2 → ℝ2 tal que (1,1) = (−5,3) 𝑦 𝑓(−1,1) = (5,2). Para dicha 𝑓, determinar (5,3) 𝑦 𝑓(−1,2).
⟾
a(1,1)+b(-1,1) x=a-b x=a-b y=a+b -x+y=2b
a= ⁄ x + ⁄ y b= ⁄ x + ⁄ y
( ⁄ x + ⁄ y)(-5,3)+( ⁄ x + ⁄ y)(5,2)
T(f)=(-5x, ⁄ x + ⁄ y)
f(5,3)= (-25,10)
f(-1,2)= (5, ⁄ )
¿Existirá una transformación lineal 𝑓∶ ℝ2 → ℝ2 tal que (1,1)= (2,6), 𝑓(−1,1)= (2,1) 𝑦 𝑓(2,7) = (5,3) ? a(1,1)+b(-1,1)+c(2,7) x=a-b+2c y=a+b+7c
⟾
⁄
El conjunto {(1,1) (2,7)} no es base de R2 No existe transformación lineal. Sean 𝑓,𝑔∶ ℝ3 → ℝ3 transformaciones lineales tales que 𝑓(1,0,1) = (1,2,1), 𝑓(2,1,0) = (2,1,0), 𝑓(−1,0,0) = (1,2,1), 𝑔(1,1,1) = (1,1,0), 𝑔(3,2,1) = (0,0,1), 𝑔(2,2,−1) = (3,−1,2). Determinar si 𝑓 = 𝑔
T(f)=(-x+4y+2z, -2x+5y+4z, -x+2y-2x)
T(g)=(- ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄
F ≠ G
Conclusión.
Una actividad; parecida a las anteriores en el sentido en que tuve que
reforzar temas vistos en la cátedra de la materia y aplicarlos para resolver los
distintos problemas.
En mi caso, no pude hacer uso extenso del software Máxima; no sé si por
limitantes del propio software o falta de conocimientos a profundidad de mi
parte.
Bibliografía.
Rudin, W. (1980). Análisis Funcional, Reverté.
Lang, S. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano.