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Soluci on de Ecuaciones No-lineales De UnaVariable: Aplicaci on

Asign: An alisis Num ericos

Prof. Dr.-Ing. G. Guti errez

Facultad de Ingenierıas y Tecnol ogicasUNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR

Enero del 2012Valledupar

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Planteamiento del problema.

Se debe fabricar una lata de forma cil ındrica que contenga 1000 cm3

, es decir,π R2 H = 1000 , vea la gura. Las tapas circulares superior e inferior debentener un radio de 0,25 cm m as que el radio de la lata R, tal que el sobrantese use para sellar. La hoja del material para la parte lateral debe ser 0,25 cmmas grande que la circunferencia o per ımetro de la lata, es decir, 2 π R + 0 , 25 ,de modo que pueda hacerse un sello. Calcule con una exactitud de 10 − 4 la

cantidad mınima de material necesaria para fabricar la lata.2 / 1

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Paso 1. Modelizaci on

El area total de material requerida At para construir se predice considerandolas areas lateral y las dos tapas, ası:

At ( R, H ) = ( 2 π R + 0 ,25 ) H + 2 π ( R + 0 ,25 )2

, para R, H > 0

El area lateral se indica en la gura. Esta funci on de dos variables se puederestringir a una variable R, usando la restricci on del volumen 1000 = π R2 H .Entonces:

At ( R) = ( 2 π R + 0 , 25 )1000

π R2 + 2 π ( R + 0 , 25 )2

, para R > 0

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Paso 1. Modelizaci on• Notese que la funci on At ( R) es de tipo racional, donde su dominio lo

forman todos los n umeros reales donde no se haga cero el denomina-dor. En particular, interesa R > 0 por el sentido fısico que representa.Las funciones racionales se caracterizan por ser funciones continuas y diferenciables en su dominio .

• Para establecer el mınimo de material a trav es del modelo de At ( R), sedeben encontrar los puntos cr ıticos y caracterizar quienes de ellos sonpuntos m ınimos del modelo.

• Los puntos cr ıticos se deben establecer usando la derivada de At ( R),ası:

d dR

At ( R) =1000

π

2 π R2 − 2 R(2 π R + 0 ,25 ) R4 + 4 π ( R + 0 , 25 ) = 0

Llevando a cabo algunas simplicaciones se puede llegar a la siguienteecuaci on polinomial de grado 4:

f ( R) = − 1000

π(2 π R − 0 , 5 ) + π R

3 + 4 π R4 = 0

Cuantas ra ıces tiene (a su vez, puntos cr ıticos)?, tiene 4 que pueden

ser reales y complejas (teorema fundamental del algebra). Para estaaplicaci on solo tienen sentido aquellas que sean reales. 4 / 1

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Paso 2. El m etodo num erico

Es bien sabido que, la soluci on de las ecuaciones polinomiales de grado su-perior a 2 deben encararse con m etodos num ericos. Para usar un m etodo deestos se deben tener pistas de buenos valores de arranque o iniciales a partirde los cuales se inicia la b usqueda. Como establecemos un buen valor inicialpara este problema?.

Debe notarse que la no linealidad fuerte, en este caso la combinaci on determinos R4 y R3 , surge porque se considera material sobrante en el modelode At . Si este no fuese el caso, se puede determinar una raız con soluci onanal ıtica, as ı:

Rraiz − a =3 2000

4 π

Que m etodo escogemos? uno abierto o cerrado?. Como la funci on asociadaa la ecuaci on f ( R) es continua y diferenciable en principio podemos aplicarcualquier m etodo. Aqu ı proponemos la funci on intr ınseca de Matlab fzero conel valor de arranque dado por Rraiz − a .

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Paso 3. Implementaci on del m etodo num erico

function lataoptima

% Programa que implementa la solucion al problema de aplicacionR_o=(2000/(4 * pi ))ˆ(1/3); % define el valor inicialoptions=optimset(’Display’,’iter’,’TolX’,1e-5); % se fija la Tolx_r= fzero (@modelo,R_o,options); % llama al metodo numerico%% Para analizar la solucionx= linspace (x_r * (1-.1),x_r * (1+.1),20);% define un dominio x_r-10 %<x<x_r+10 %

y=material(x); % se evalua A_t(x) plot (x,y,’k’), xlabel (’R’), ylabel (’A_t(R)’)figure plot (x,modelo(x),’k’,x, zeros ( length (x)),’r’,x_r,modelo(x_r),’dk’)xlabel (’R’), ylabel (’f(R)’)fprintf (1,’\n\t El radio minimo es %9.6f\n’,x_r)fprintf (1,’\t correspondiendole un area minima de %9.6f\n’,...material(x_r))fprintf (1,’\t la dimension de H es %9.6f\n’,1000/( pi * x_rˆ2))returnfunction f=modelo(R) % implementa f(R)f=-(1000/ pi ) * (2 * pi * R-0.5)+ pi * R.ˆ3+4 * pi * R.ˆ4;function f=material(R) % implementa A_t(R)f=(2

* pi

*R+0.25).

*(1000./( pi

*R.ˆ2))+2

* pi

*(R+0.25).ˆ2;

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Paso 4. An alisis de resultados

Para analizar los resultados de la modelizaci on y del m etodo num erico, sedespliegan dos guras en Matlab. En la primera se gr aca At contra R, es de-cir, la cantidad de material en funci on del Radio de la lata. En esta se pretendeuna vericaci on visualizando la posici on del radio que produce el area mınimade material. Tal como puede apreciarse.

En la segunda gura se pretende vericar la existencia de una raız (puntocr ıtico) con la representaci on de f ( R) contra R, tal punto critico garantiza laexistencia del punto m ınimo en la funci on At ( R). Tal como puede apreciarse.

ResultadosLos resultados del problema son los siguientes:

Rmin = 5 , 309996 cm

At ( Rmin ) = 573 , 70600 cm 2

H = 11 , 2891 cm

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Referencias

• Burden, R. & Faires, J.R., An alisis num erico , 6a edici on,Thomson, 1998.

• Gerald, F. & Wheatley, O., An alisis num erico con aplica-ciones , 6a edici on, Pearson, 2000.

• Gutierrez, G., Notas de Clase: an alisis num erico , U.P.C.,2011.

•

Ayuda de Matlab. 2007a.

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