Sesión 3

Curso MIN265“Fluidodinámica en Minería”

Sesión 3: Estática de fluidos

Profesor: Sebastián Rayo Villanueva ([email protected]; [email protected])

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mailto:[email protected]


Calendario académicoEsquema: cátedras, trabajo grupal y presentaciones de avance.

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Sem. Fecha Actividad

1 28/9 LIBRE

1 2/10 Introducción

2 5/10 Propiedades de los fluidos

2 9/10 LIBRE

3 12/10 FERIADO

3 16/10 Estática de fluidos

4 19/10 Movimiento de fluidos

4 23/10 Movimiento de fluidos

5 26/10 Enfoque integral y diferencial

5 30/10 LIBRE

6 2/11 Flujos internos y externos

6 6/11 Flujos transientes

7 9/11 Flujos compresibles

7 13/11 Flujo en canales abiertos

8 16/11 Flujo en canales abiertos

8 20/11 Máquinas hidráulicas

Sem. Fecha Actividad

9 23/11 Mecánica de suspensiones

9 23/11 LIBRE

10 30/11 Mecánica de suspensiones

10 4/12 Separación líquido – sólido

11 7/12 FERIADO

11 11/12 Transporte hidráulico de pulpas

12 14/12 Transporte hidráulico de pulpas

12 18/12 Reología de suspensiones

13 21/12 Ventilación

13 25/12 FERIADO

14 28/12 Ejemplos prácticos

14 1/1 FERIADO

15 4/1 EXAMEN

CERTAMEN 2

CERTAMEN 1

Propiedades de los fluidosRESUMEN• La presión absoluta es la suma entre la presión atmosférica y

la presión relativa.

• Siempre que la presión relativa sea menor a cero, se habla devacío.

• La gravedad específica es la relación entre la densidad de unapartícula y la del agua.

• El agua es un fluido newtoniano, las pulpas mineras espesadasson fluidos de Bingham (tienen un esfuerzo de corteasociado).

• El alto módulo de compresibilidad del agua hace suponer quelos fluidos son incompresibles.

• La disminución en la tensión superficial (mediante espumante)genera burbujas más pequeñas y estables en el proceso deflotación.

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Propiedades de los fluidosRESUMEN• La presión de vapor depende de la temperatura del líquido.

• Hay tres leyes fundamentales:

• Conservación de la masa

• Conservación de la cantidad de movimiento

• Conservación de la energía

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Contenidos • Presión en un punto

• Variación de presión

• Fluidos en reposo

• Fuerzas sobre áreas planas

• Fuerzas sobre superficies curvas

• Flotabilidad

• Recipientes linealmente acelerados

• Recipientes giratorios

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• Flotabilidad



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Estática de fluidosPresión en un puntoDefinición de presión: fuerza de compresión normal(infinitesimal) dividida entre el área (infinitesimal) sobre la cualactúa.

¿La presión en un punto varía cuando la normal al área cambiade dirección?

• Considerar triángulo con una presión ‘p’ actuando sobre lahipotenusa.

• Dos presiones diferentes actúan sobre cada una de las otrasáreas.

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Estática de fluidosPresión en un punto

Aplicando segunda ley de Newton:

• 𝑝𝑥∆𝑦 − 𝑝∆𝑠 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝜌Δ𝑥·Δ𝑦

2𝑎𝑥

• 𝑝𝑦∆𝑥 − 𝜌𝑔Δ𝑥·Δ𝑦

2− 𝑝∆𝑠 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝜌

Δ𝑥·Δ𝑦

2𝑎𝑦

Sustituyendo: Δ𝑠 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 = Δ𝑦, Δ𝑠 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 = Δ𝑥

• 𝑝𝑥 − 𝑝 =𝜌·𝑎𝑥

2Δ𝑥

• 𝑝𝑦 − 𝑝 =𝜌 𝑎𝑦+𝑔

2Δ𝑦

Para un punto, Dx -> 0 y Dy ->0

𝑝𝑥 = 𝑝𝑦 = 𝑝 8

Estática de fluidosPresión en un puntoComo el ángulo q es arbitrario, esta relación se cumple paratodos los ángulos en un punto.

Se concluye que la presión en un fluido es constante en unpunto, es decir, es una función escalar. Actúa igualmente entodas las direcciones en un punto dado, tanto para un fluidoestático como también en uno en movimiento.

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• Flotabilidad



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Estática de fluidosVariación de presiónEcuación general para predecir la variación de presión de fluidosen reposo o de fluidos que experimentan una aceleración.

Se supone una presión p en el centro del elemento.

𝑑𝑝 =𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑧

La presión en una cara queda dada por:

𝑝 𝑥 +𝑑𝑥

2, 𝑦, 𝑧 = 𝑝 𝑥, 𝑦, 𝑧 +

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥

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Estática de fluidosVariación de presiónLas presiones en todas las caras se expresan de esta manera.Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:

• −𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

• −𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌𝑎𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

• −𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝜌 𝑎𝑧 + 𝑔 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

El diferencial de presión en cualquier dirección se puede

determinar a partir de la ecuación 𝑑𝑝 =𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑝

𝜕𝑦𝑑𝑦 +

𝜕𝑝

𝜕𝑧𝑑𝑧.

𝑑𝑝 = −𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 − 𝜌𝑎𝑦𝑑𝑦 − 𝜌 𝑎𝑧 + 𝑔 𝑑𝑧12






• Flotabilidad



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Estática de fluidosFluidos en reposoUn fluido en reposo no experimenta ninguna aceleración. Solose ve sometido al efecto de la gravedad.

𝑑𝑝 = −𝜌𝑔𝑑𝑧𝑑𝑝

𝑑𝑧= −𝜌𝑔 = −𝛾

• Esta ecuación implica que no hay variación de presión en lasdirecciones x e y (plano horizontal).

• La presión varía en la dirección z (vertical).

• Dado el signo negativo, la presión disminuye cuando uno semueve hacia arriba, y aumenta cuando uno se disminuye haciaabajo.

Si la densidad se asume constante (caso del agua), la ecuaciónanterior se puede integrar.

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Estática de fluidosFluidos en reposo

Δ𝑝 = −𝛾Δ𝑧

𝑝 + 𝛾𝑧 = 𝑐𝑡𝑒

𝑝

𝛾+ 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒

Considerando el cálculo de presiones relativas, la presión en lasuperficie libre de un líquido es 0. Se puede obtener la siguienteexpresión:

𝑝 = 𝛾ℎ

Ojo que la profundidad h tiene distinto signo que la coordenadaz.

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Estática de fluidosFluidos en reposoManómetros

• Son instrumentos que usancolumnas de líquido para medirpresiones.

• Estos instrumentos puedenutilizar uno o varios líquidos dedistintas densidades.

• En las interfases entre loslíquidos se cumple la siguienterelación:

𝑝1 = 𝑝2

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Estática de fluidosFluidos en reposoEfecto en operación de tuberías de pulpa en larga distancia

• Caso partida

• Caso lavado

• Caso operación ‘batch’ (flujos alternados de pulpa y agua)

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Estática de fluidosFluidos en reposoEJEMPLO

Circulan agua y aceite en unas tuberías horizontales. Unmanómetro de doble tubo en U (ver figura) está conectadoentre las tuberías. Calcule la diferencia de presión entre el tubode agua y el de aceite.

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AguaS = 1

AceiteS=0,9

AireS aprox. 0

LíquidoS = 1,6

25 cm

5 cm

10 cm






• Flotabilidad



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Estática de fluidosFuerzas sobre áreas planasLa fuerza total de un líquido sobre una superficie plana se encuentraintegrando la presión sobre el área.

𝐹 =

𝐴

𝑝 · 𝑑𝐴

Suponiendo que p = 0 en h = 0, se sabe que:𝑝 = 𝛾ℎ

𝑝 = 𝛾 · 𝑦 · 𝑠𝑒𝑛𝛼

La fuerza se expresa como

𝐹 =

𝐴

𝛾 · ℎ · 𝑑𝐴

𝐹 = 𝛾 · 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝐴

𝛾 · 𝑑𝐴20

Estática de fluidosFuerzas sobre áreas planasLa distancia a un centroide se define como

𝑦 =1

𝐴

𝐴

𝑦 · 𝑑𝐴

Por lo tanto, la expresión para la fuerza queda dada por𝐹 = 𝛾 · 𝑦 · 𝐴 · 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝐹 = 𝑝𝐶𝐴

En general, la fuerza no actúa sobre el centroide.

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Estática de fluidosFuerzas sobre áreas planasPara encontrar la ubicación de la fuerza resultante F se aplicaigualdad de momentos asociados a las fuerzas de presión conrespecto al momento de la fuerza resultante.

𝑦𝑝 · 𝐹 =

𝐴

𝑦 · 𝑝 · 𝑑𝐴

𝑦𝑝 = 𝑦 + 𝐼

𝐴 · 𝑦 𝐼 se obtiene a partir de tablas, y es función de la geometría del

área plana.

• Rectángulo 𝐼 =𝑏·ℎ3

12

• Triángulo 𝐼 =𝑏·ℎ3

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• Círculo 𝐼 =𝜋·𝐷4

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Estática de fluidosFuerzas sobre áreas planasCaso especial de una compuerta rectangular:

• La fuerza que ejerce el líquido sobre una compuerta rectangular,con su borde superior a nivel con la superficie del líquido, actúa ados tercios de la distancia hacia abajo.

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Estática de fluidosFuerzas sobre áreas planasPara ubicar la fuerza F en la coordenada x se utiliza la siguienterelación:

𝑥𝑝 · 𝐹 =

𝐴

𝑥 · 𝑝 · 𝑑𝐴

𝑥𝑝 = 𝑥 +𝐼𝑥𝑦

𝐴 · 𝑦

𝐼𝑥𝑦 se obtiene a partir de tablas, y es función de la geometría

del área plana.

• Rectángulo 𝐼𝑥𝑦 = 0

• Triángulo 𝐼𝑥𝑦 =𝑏−2𝑑 𝑏·ℎ3

72 24

Estática de fluidosFuerzas sobre áreas planasEJEMPLO

Un área plana de 80 x 80 cm actúa como escotilla en unsubmarino. Si forma un ángulo de 45° c/r a la horizontal, ¿quéfuerza normal se debe aplicar a la escotilla, en su parte inferior,para poder abrirla? Considerar que el borde superior de laescotilla está a 10 m por debajo de la superficie libre, y quedentro del submarino hay presión atmosférica.

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F

Patm

10 m

Pbisagra

Fx

Fy

ypy






• Flotabilidad



26

Estática de fluidosFuerzas sobre superficies curvasNo se utiliza un método directo de integración para encontrar lafuerza debido a la presión hidrostática.

En vez de esto, se identifica un diagrama de cuerpo libre quecontiene la superficie curva y los líquidos directamente arriba odebajo de esa superficie.

El diagrama de cuerpo libre solo contiene superficies planas,sobre las cuales actúan fuerzas de fluidos desconocidas.

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Estática de fluidosFuerzas sobre superficies curvasEJEMPLO

Calcule la fuerza P necesaria para mantener la compuerta de 4m de ancho en la posición mostrada en la figura. Se desprecia elpeso de la compuerta.

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bisagra

2m

P

0,5m

agua

aire𝐴1 = 𝑏 · ℎ

𝑥1 =𝑏

2

x1x2

𝐴2 =𝜋 · 𝐷2

16

𝑥2 =2𝐷

3𝜋


Calcule la masa mínimo del recipiente de vidrio para asegurarque éste se mantiene estable. ¿Qué pasa si la altura del líquidoaumenta 50 cm dentro del tubo superior?

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50 cm

vidrio


¿Cuál es la magnitud de la fuerza P que se requiere paramantener la compuerta estable? Considerar que uncompartimiento está lleno de agua y el otro de aceite (S = 0,9).La compuerta tiene un ancho de 2 m.

¿Qué pasa si la altura del agua baja a la mitad?

303 m

rótula

P

2 m

aguaaceite






• Flotabilidad



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Estática de fluidosFlotabilidadSi se sumerge un cuerpo en un fluido, éste ejerce una fuerzasobre el cuerpo. Estas fuerza vale la resultante de las presionessobre toda el área.

𝐹 = −

𝐴

𝑝 · 𝑑𝐴

Se puede demostrar que la fuerza de empuje quedadeterminada por la siguiente expresión:

𝐹 = 𝛾 · 𝑉𝑠𝑢𝑚𝑒𝑟𝑔𝑖𝑑𝑜

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Estática de fluidosFlotabilidadPrincipio de Arquímedes:

“Un cuerpo sumergido experimenta un empujevertical ascendente igual al peso del fluidodesplazado”

• Si el cuerpo está parcialmente inmerso, elprincipio se aplica a la parte sumergida.

• Si el cuerpo sumergido tiene una densidadhomogénea, la fuerza neta en dirección verticalascendente queda definida por:

𝐹 = 𝜌 − 𝜌𝑠 𝑔 · 𝑉

Esta fuerza se denomina “boyancia” o flotabilidad.

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Estática de fluidosFlotabilidadEJEMPLO

Para un cubo de hielo de 10 cm de arista dentro de un recipientede agua, calcule la fracción que queda sumergida. Considerarque la densidad del hielo es igual a 920 gr/cm3, y que ladensidad del agua es igual a 1.000 gr/cm3.

34


Se desea conocer el peso específico y la gravedad específica deun cuerpo de composición desconocida. Se encuentra que supeso en el aire es de 100 kg, y en el agua pesa 75 kg.

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• Flotabilidad



36

Estática de fluidosRecipientes linealmente aceleradosSe considera que el fluido está en reposo con respecto a unmarco de referencia que es linealmente acelerado, con unacomponente horizontal ax y una componente vertical az.

𝑑𝑝 = −𝜌𝑎𝑥𝑑𝑥 − 𝜌 𝑎𝑧 + 𝑔 𝑑𝑧

Integrando entre dos puntos, se obtiene:

𝑝2 − 𝑝1 = −𝜌𝑎𝑥 𝑥2 − 𝑥1 − 𝜌 𝑎𝑧 + 𝑔 𝑧2 − 𝑧1

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Estática de fluidosRecipientes linealmente aceleradosSi los puntos están en una línea de presión constante (porejemplo la superficie libre), se tiene:

𝑧2 − 𝑧1𝑥2 − 𝑥1

= 𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑎𝑥

𝑔 + 𝑎𝑧

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Estática de fluidosRecipientes linealmente aceleradosEJEMPLO

El tanque que se presenta en la figura es acelerado hacia laderecha. Calcule la aceleración necesaria para que la superficielibre toque el punto A. También encuentre pB y la fuerza totalsobre el fondo del tanque, si el ancho de éste es de 1 m.

39






• Flotabilidad



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Estática de fluidosRecipientes giratoriosSi se considera un líquido contenido en un recipiente giratorio,éste alcanza un equilibrio estático respecto al recipiente y almarco de referencia giratorio rz.

La rotación horizontal no altera la distribución de la presión en ladirección vertical.

−𝜕𝑝

𝜕𝑟𝑑𝑟 · 𝑟𝑑𝜃 · 𝑑𝑧 − 𝑝𝑟 · 𝑑𝜃 · 𝑑𝑧 − 𝑝 · 𝑑𝑟 · 𝑑𝜃 · 𝑑𝑧 −

𝜕𝑝

𝜕𝑟𝑑𝑟 2𝑑𝜃 · 𝑑𝑧

+ 2𝑝𝑑𝜃

2𝑑𝑟 · 𝑑𝑧 + 𝑝𝑟 · 𝑑𝜃 · 𝑑𝑧 = −𝜌 · 𝑟𝑑𝜃 · 𝑑𝑟 · 𝑑𝑧 · 𝑟 · 𝜔2

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Estática de fluidosRecipientes giratoriosDesarrollando la ecuación se encuentra:

𝑝2 − 𝑝1 =𝜌𝜔2

2𝑟2

2− 𝑟1

2− 𝜌𝑔 𝑧2 − 𝑧1

Para una superficie de presión constante (superficie libre), laexpresión se simplifica a:

𝜔2𝑟22

2= 𝑔 𝑧2 − 𝑧1

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Estática de fluidosRecipientes giratoriosEJEMPLO

El cilindro que se muestra en la figura se gira respecto a su líneade centro. Calcule la velocidad rotacional que es necesaria paraque el agua apenas toque el origen O. También encuentre laspresiones en A y B.

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Estática de fluidosRESUMEN• La presión en un fluido actúa igualmente en todas las

direcciones en un punto determinado.

• La ley hidrostática de presiones permite calcular la presión enun punto, como función de la densidad y la profundidad.

• La fuerza sobre una superficie plana es la presión en elcentroide multiplicada por el área.

• Para el cálculo de fuerzas sobre superficies curvas, seconstruye un diagrama de cuerpo libre basado en fuerzasdesconocidas que actúan sobre superficies planas.

• Un cuerpo sumergido experimenta un empuje verticalascendente igual al peso del fluido desplazado.

• La rotación horizontal no altera la distribución de la presión enla dirección vertical.

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