SEMANA 5

Resolvemos situaciones sobre sistemas de ecuaciones

DÍA 4

5. ° grado: Matemática

Los recursos que utilizaremos serán:

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvemos problemas 5_día 4, páginas 33, 35, 36 y 38.

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Estimadas(os) estudiantes iniciaremos el desarrollo de las actividades de las páginas 33, 35, 36 y 38 de tu

cuaderno de trabajo Resolvamos problemas 5 (disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma)

Situación 1 – Página 33

El director de una institución educativa organizó un proyecto de presentación teatral con sus estudiantes de quintogrado, con la finalidad de reunir fondos y terminar de construir el comedor estudiantil, por lo cual recibió el apoyode los padres de familia y el de la Municipalidad, que le brindó gratuitamente su anfiteatro.El costo de las entradas fue de 30 soles para los adultos y 20 soles para los niños. Si el sábado pasado asistieron 248personas y se reunieron 5930 soles, ¿cuántos adultos y cuántos niños, respectivamente, asistieron a esa función?

a) 151 adultos y 97 niños b) 124 adultos y 124 niños c) 97 adultos y 151 niños d) 69 adultos y 179 niños

Resolución

Cantidad de adultos: x Cantidad de niños: yCosto de la entrada por adulto: 30 soles Costo de la entrada por niño: 20 soles

El total de personas que asistieron el sábado fue:

x + y = 248

• Representamos los datos y las preguntas de la situación:

El total de dinero reunido fue:

30x + 20y = 5930

Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 248

30x + 20y = 5930

Multiplicamos por 30 la ecuación α:

30(x + y) = (248)30

30x + 30y = 7440

Restamos las ecuaciones µ y β:

α

β

µ

30x + 30y = 7440

30x + 20y = 5930

0 + 10y = 1510y = 151

Reemplazamos el valor de y en la ecuación α:

x + y = 248

x + 151 = 248

x = 97

Asistieron a la función 97 adultos y 151 niños.

Respuesta:

Clave c).

Por lo tanto, los adultos que asistieron son 97 y losniños asistentes son 151.

• Calculamos la cantidad de adultos y niños:

Situación 2 – Página 33Escribe verdadero (V) o falso (F), según corresponda, en cada una de las siguientes proposiciones.I. Cuando dos rectas se cortan en un punto, es totalmente seguro que encontramos una solución al sistema de ecuaciones, al cual se

denomina sistema compatible determinado. ( )II. Cuando dos rectas son paralelas en un plano, se encuentran infinitas soluciones al sistema lineal, al cual se denomina sistema

indeterminado. ( )III. En un sistema de ecuaciones lineales, cuando hay más incógnitas que ecuaciones, existe más de una solución. ( )

a) V V V b) V F V c) F F F d) F V F

Resolución

• Recordamos sobre el sistema de ecuaciones:

Sistema de ecuaciones

cbyax =+feydx =+

▪ Compatible

▪ Incompatible

▪ Determinado

▪ Indeterminado

(Sí hay solución)

(No hay solución)

(Única solución)

(Infinitas soluciones)

f

c

e

b

d

a==

• De los enunciados y el esquema podemos afirmar que:

I. (V)

II. (F)

III. (V)

VFVRespuesta:

Clave b).

L1

L2

Las rectas no se cortan, son paralelas.

L1L2

Las rectas se cortan en un punto.

L1

L2

Las rectas coinciden

e

b

d

a

f

c

e

b

d

a=

Situación 3 – Página 35

Un comerciante de algodones de azúcar gana 40 céntimos por cada algodón vendido, pero sino logra venderlo pierde 50 céntimos. Un día en que fabricó 120 algodones, obtuvo unaganancia de 39 soles. ¿Cuántos algodones no logró vender ese día?

a) 10 algodones b) 7 algodones c) 9 algodones d) 12 algodones

Resolución

x y

120 algodones fabricados

Cantidad de algodones vendidos

Cantidad de algodones no

vendidos

(0,40) x

(0,50) y

39 solesGanancia final

• Representamos los datos y las preguntas de la situación:

Ganancia por los algodones vendidos

Pérdida por los algodones no vendidos

La cantidad de algodones fabricados es:

x + y = 120

La ganancia final es:

(0,40)x – (0,50)y = 39

Sabemos que: 40 céntimos = S/ 0,40 y 50 céntimos = S/ 0,50.

Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 120

(0,40)x – (0,50)y = 39

Multiplicamos por (0,50) a la ecuación α:

(0,50)(x + y) = (120)(0,50)

(0,50)x + (0,50)y = 60

Sumamos las ecuaciones µ y β:

α

β

µ

(0,90)x + 0 = 99x = 110

Reemplazamos el valor de x en la ecuación α:

x + y = 120

110 + y = 120

y = 10

El comerciante no logró vender 10algodones.

Respuesta:(0,50)x + (0,50)y = 60

(0,40)x – (0,50)y = 39

Clave a).

Por lo tanto, la cantidad de algodones vendidos es de 110y la cantidad de algodones no vendidos es 10.

• Calculamos la cantidad de algodones no vendidos:

Situación 4 – Página 35

En el río Amazonas, un bote recorre 76 kilómetros en 1 hora con la corriente a su favor. De regreso, con lacorriente en contra, tarda 4 horas para recorrer la misma distancia. ¿Cuál es la velocidad promedio de la corrientesabiendo que la distancia se calcula con d = v ∙ t? (d: distancia, v: velocidad y t: tiempo).

a) 47,5 km/h b) 28,5 km/h c) 57 km/h d) 19 km/h

Resolución

BoteV

horast 42=

kmd 76=

BoteV

horat 11=

kmd 76=

• Calculamos la distancia con la corriente a favor: • Calculamos la distancia con la corriente en contra:

Usamos :

Reemplazamos:

Usamos:

Reemplazamos:

VRío VRío

d = v ∙ tkm km

hora horas

d = v ∙ t76 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 … (1) 76 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑅 ∙ 4 … (2)

La velocidad promedio de lacorriente es 28,5 km/h.

Respuesta:

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

Igualamos la ecuación (1) y (2):

Reemplazamos la ecuación (3) en (1):

• Calculamos la velocidad promedio de la corriente:

Clave b).

76 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 … (1)76 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑅 ∙ 4 … (2)

𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 1 = 𝑉𝐵 − 𝑉𝑅 ∙ 4𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 = 4𝑉𝐵 − 4𝑉𝑅5 𝑉𝑅= 3 𝑉𝐵53𝑉𝑅 = 𝑉𝐵…(3)

76 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝑅 ∙ 176 = 53𝑉𝑅 + 𝑉𝑅 ∙ 13(76) = 5𝑉𝑅 + 3𝑉𝑅

228 = 8𝑉𝑅2288 = 𝑉𝑅28,5 km/h = 𝑉𝑅

Situación 5 – Página 36

Sergio contrató dos camiones cuyas capacidades de carga son, respectivamente, 3 y 4 toneladas, los cualeshicieron en total 23 viajes para transportar 80 toneladas de varillas de hierro de construcción. Él necesita sabercuántos viajes realizó cada camión para adicionar los gastos por combustible.

Resolución

Realiza x viajes

3 toneladas

Logra transportar 3x toneladas.

4 toneladas

Realiza y viajes Logra transportar 4y toneladas.

El total de viajes realizados entrelos dos camiones es:

x + y = 23

El total de varillas de hierro transportado por los dos camiones es:

3x + 4y = 80

• Representamos los datos y las preguntas de la situación:

Capacidad del camión:

Capacidad del camión:

Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales:

x + y = 23

3x + 4y = 80

Multiplicamos por 4 a la ecuación α:

4 (x + y) = (23) 4

4x + 4y = 92

Restamos las ecuaciones µ y β:

αβ

µ

4x + 4y = 92

3x + 4y = 80

x + 0 = 12x = 12

Reemplazamos el valor de x en la ecuación α:

x + y = 23

12 + y = 23

y = 11

El camión de 3 toneladas realizó 12viajes y el camión de 4 toneladas realizó11 viajes.

Respuesta:

Por lo tanto, el camión de tres toneladas realizó 12viajes y el de cuatro toneladas realizó 11 viajes.

• Calculamos la cantidad de viajes realizados por cada camión:

• Es decir, analiza si es que hubiera 1 empleado, luego analiza para 2 empleados, luego para 3, así sucesivamente hasta que

cumpla con los datos de la situación.

• Si no utilizas ecuaciones, una estrategia de solución sería particularizar, familiarizarte con el problema, de este modo observa el caso más sencillo y trata de llegar a la respuesta.

Situación 6 – Página 38

Un empresario textil de Gamarra desea distribuir un bono de productividad entre sus empleados por su buendesempeño en la semana. Haciendo cálculos, se percata de que si entregara a cada uno 800 soles, lesobrarían 200, y si les diera 900 soles, le faltarían 400. ¿Cuántos empleados hay en su fábrica? ¿Cuántodinero tiene para repartir? ¿Cómo resolverías el problema sin usar ecuaciones?

Resolución• Nos piden calcular el número de empleados y el dinero que

tiene el empresario para repartir.• Nos solicitan realizarlo sin ecuaciones.

Si el n.° de

empleados

fuera…

Dinero que

necesita el

empresario para

pagar un bono de

S/ 800

El dato que

le sobra es

S/ 200

Dinero que el

empresario tiene

para pagar a sus

empleados

Si el empresario

les diera a cada

empleado S/ 900

necesitaría …

Realizamos una

comparación entre

lo que tiene y lo que

necesitaría

Lo que le sobra o

falta al empresario si

quiere dar a cada

empleado 900 soles.

1 800(1) = 800 800 + 200 1000 900(1) = 900 1000 – 900 = 100 1000 – 900 = 100

Sobra 100 soles2 800(2) = 1600 1600 + 200 1800 900(2) = 1800 1800 – 1800 = 0 1800 – 1800 = 0

No sobra ni falta3 800(3) = 2400 2400 + 200 2600 900(3) = 2700 2600 – 2700 = –100 2600 – 2700 = –100

Faltaría 100 soles4 800(4) = 3200 3200 + 200 3400 900(4) = 3600 3400 – 3600 = –200 3400 – 3600 = –200

Faltaría 200 soles5 800(5) = 4000 4000 + 200 4200 900(5) = 4500 4200 – 4500 = –300 4200 – 4500 = –300

Faltaría 300 soles6 800(6) = 4800 4800 + 200 5000 900(6) = 5400 5000 – 5400 = –400 5000 – 5400 = –400

Faltaría 400 soles

El empresario tiene 6 empleados y5000 soles para repartir.

Respuesta:

Cumple con el dato de lainformación.

Gracias