1.er grado: Matemática

SEMANA 6

Resolvemos situaciones utilizando progresiones aritméticas

DÍA 4

La situación que te proponemos tiene como propósito que refuerces

lo trabajado en el día 3

Participamos en la cosecha de mi comunidad

Rosa vive en la comunidad de Chara, en laprovincia de Canchis, Cusco, y para ir a comprarsus víveres a la feria más cercana tiene quecaminar un trayecto largo; por lo que ha decidocomprarse una bicicleta. Para ello, ha empezado aparticipar en las cosechas de maíz que hay en sucomunidad, recibiendo la primera vez 15 soles.Como es época de cosecha, se ha propuestoparticipar todos los días y recibirá cada día 5 solesmás que el día anterior.

Situación

A partir de la situación respondemos:

1. Elabora una tabla con los datos, considerando 5 días de trabajo y responde:a) ¿Cuál es la razón de la progresión aritmética que se forma

a partir de la situación? b) ¿Cuánto recibe el quinto día?

2. Representa la regla de formación, mediante una expresión matemática que indique el pago que recibe por un día cualquiera de cosecha.

3. ¿Cuánto dinero recibirá Rosa hasta el día 12?

4. ¿Qué día será posible que reciba S/ 100?

5. Se sabe que el costo de la bicicleta es 600 soles y Rosa participa en 14 jornadas (días) de cosecha. Con el monto total recibido, ¿le alcanzará para comprar la bicicleta?

6. Después de comprar su bicicleta, Rosa continúa trabajando, hasta el día 20. ¿Cuánto habrá ahorrado?

Resolución

Elabora una tabla con los datos, considerando 5 días de trabajo y responde:a) ¿Cuál es la razón de la progresión aritmética que se forma

a partir de la situación? b) ¿Cuánto recibe el quinto día?

Pregunta 1:

+5

Día de cosecha 1 2 3 4 5

Pago (soles) 15 20 25 30 35

+5 +5 +5

Respuesta: La razón es 5 y el quinto día recibe 35 soles.

+5

Representa la regla de formación, mediante una expresión matemática que indique el pago que recibe por un día cualquiera de cosecha.

Para hallar el pago que recibe Rosa el enésimo día, usamos la fórmula del término general: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛−1) ∙ r.

𝑎𝑛 = 15 + 𝑛 − 1 × 5

𝑎𝑛 = 15 + 5𝑛 − 5

𝑎𝑛 = 5n + 10

Respuesta: La regla de formación que permite calcular el pago por el día es: 𝒂𝒏= 5n + 10.

A partir de la situación se tiene los siguientes datos:

𝑎1 = 15r = 5

𝑎𝑛 = ?

Resolución

Pregunta 2:

Recordamos algunas nociones básicas

Tenemos los siguientes datos:𝑎1: es el primer término. 𝑎𝑛: es el término enésimo de la progresión.𝑆𝑛: es la suma de los primeros n términos consecutivos de la progresión.

Ejemplo: Calcula S = 3 + 5 + 7 + 9 + … + 49 + 51.

Suma de los términos de una progresión aritmética

Cuando conocemos el primer término y el término enésimo de la progresión.

25 términos

Tenemos los siguiente datos: a1 = 3, a25 = 51, n = 25.

La suma de los 25 términos es 675.

Reemplazamos en la fórmula:

𝑆𝑛 =𝑎1+𝑎𝑛 ∙𝑛

2𝑆25=

3+51 ∙25

2𝑆25=

54 ∙25

2𝑆25= 675

𝑆𝑛 =𝑎1 + 𝑎𝑛 ∙ 𝑛

2

¿Cuánto dinero recibirá Rosa hasta el día 12?

Primero hallaremos el término 12 de la progresión, a partir de la regla de formación: 𝑎𝑛 = 5n + 10.

Luego, hallamos la suma de los 12 primeros términos, empleando la fórmula:

𝑆𝑛 =𝑎1+𝑎𝑛 ∙𝑛

2y reemplazamos los datos de la situación. Así tenemos:

𝑆12 =𝑎1+𝑎12 ∙12

2𝑆12 =

15+70 ∙12

2𝑆12 =

85 ∙12

2𝑆12 =

85 ∙12

2𝑆12 = 510

𝑎12 = 5 12 + 10

𝑎12 = 60 + 10

𝑎12 = 70

Respuesta: En 12 días Rosa recibirá 510 soles.

A partir de la situación, tenemos que:𝑎1 = 15

r = 5𝑎12 = ?

Resolución

Pregunta 3:

¿Qué día será posible que reciba S/ 100?

Resolución

De la situación, tenemos:

𝑎1 = 15r = 5

𝑎𝑛 = 100

Además, el término general de la progresión es 𝑎𝑛 = 5n + 10.

Reemplazamos los valores yrealizamos las operaciones.

100 = 5n + 10100 − 10 = 5n

90 = 5n90

5= n

18 = n

Pregunta 4:

Respuesta: El día 18, recibirá S/ 100 por su trabajo.

Se sabe que el costo de la bicicleta es 600 soles y Rosa participa en 14 jornadas (días) de cosecha. Con el monto total recibido, ¿le alcanzará para comprar la bicicleta?

Luego, hallamos la suma de los 14 primeros términos, empleando la fórmula:

𝑆𝑛 =𝑎1+𝑎𝑛 ∙𝑛

2y reemplazamos los datos de la situación, tenemos:

𝑆14 =𝑎1 + 𝑎14 ∙ 14

2𝑆14 =

15 + 80 ∙ 14

2𝑆14 =

95 ∙14

2𝑆14 =

85 ∙14

2𝑆14 = 665

Respuesta: Rosa sí podrá comprar la bicicleta, porque en total recibe 665 soles.

Resolución

Pregunta 5:

A partir de la situación, tenemos que:

𝑎1 = 15

r = 5

𝑎14 = ?

𝑎14 = 5 14 + 10

𝑎14 = 70 + 10

𝑎14 = 80

Primero hallaremos el término 14 de la progresión, a partir de la regla de formación: 𝑎𝑛 = 5n + 10.

Después de comprar su bicicleta, Rosa continua trabajando, hasta el día 20. ¿Cuánto habrá ahorrado?

𝑎20 = 5(20)+10

𝑎20 = 100 + 10

𝑎20 = 110

Tenemos que:𝑎1 = 15, r = 5 y 𝑎20 = ?Además, la regla de formación es:

𝑎𝑛 = 5n + 10.

Resolución

Pregunta 6:

1.° Hallamos 𝒂𝟐𝟎 .

2.° Hallamos la suma de los montos recibidos, hasta el día 20.

𝑆𝑛 =(𝑎1+ 𝑎𝑛)

2. 𝑛

𝑆20 =(15+110) ×20

2

𝑆20 =(125) ×20

2

𝑆20 = 1250

3.° Calculamos lo que ahorró Rosa.Como la bicicleta le costó S/ 600 entonces lo restamos de S/1250 :

1250 − 600 = 650

Respuesta: Rosa ahorra S/ 650 soles.

Gracias