ABACOM Boletín Matemático

SEPTIEMBRE 2011SEPTIEMBRE 2011SEPTIEMBRE 2011SEPTIEMBRE 2011

AÑO 10 N°40AÑO 10 N°40AÑO 10 N°40AÑO 10 N°40

Editorial 10 AÑOS … 40 EDICIONES

En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

pág

Reflexiones • De lo Tradicional a lo Inconmen-

surable. .................................... .2

El Péndulo de Foucault .................. .3

Cuerpos Sólidos ............................. .4

Las Matemáticas y el Deporte ....... .5

ABACOM: del Ábaco al Compu-tador ............................................... .6

Dinámicas con GeoGebra .............. .8

Poesía Matemática ......................... .9

Anécdotas Matemáticas

• Nicolás Bourbaki: El Matemáti-

co Virtual.. .............................. .9

Ciencia Entrete

• El 123: Un Agujero Negro Nu-

mérico……………..…………10

• Son-Risas Científicas………..10

• Humor…………………....….10

Concurso

• Desafío a tu Ingenio………....11

• Alumnos Participantes…….....11

• Sopa Matemática………….....11

Noticias

• ABACOM Boletín Matemático

10 años - 40 ediciones.............11

• Cartas a Marie Curie…...........12

• Marie Curie (1867 - 1934)…..12

• Programa Explora Conicyt en

Los Ríos….......…………..…..12

Fue un día lluvioso de Agosto de 2001 en que ABACOM Boletín Matemático hizo su aparición en el mundo de la enseñanza media de esta región austral. Nacía como una idea, sin mayores am-biciones, pero que gracias al apoyo de autoridades, colegas que se han ido su-mando al equipo y la respuesta tanto de profesores(as) como alumnos(as), ha permitido que no sólo perdure sino que crezca en el tiempo.

Ya son diez años, que en cuarenta edi-ciones hemos tratado de mostrar lo her-moso de la matemática, su aplicación y utilidad, biografías de los constructores de esta ciencia, anécdotas, curiosidades y también una visión humorística.

La Dirección de Extensión y el Instituto de Matemáticas de la Facultad de Cien-cias de la UACh, nos dieron el apoyo inicial, pero ya va un año y medio que

el auspicio nos lo brinda el Centro de Docencia de Ciencias Básicas para In-geniería de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la UACh.

En el boletín hemos expuesto una gran cantidad de temas que sirven como complemento al plan de estudios de matemáticas. Últimamente nos hemos extendido un poco a otras ciencias - física y química - con lo que creemos podemos brindar un apoyo más com-pleto al profesorado y alumnado en sus estudios.

Esperamos seguir contribuyendo, por muchos años más, a que tanto la mate-mática como la ciencia en general, sea algo más cercano a todo el mundo, que se aprecie la utilidad que ella tiene, cuánto ha servido para que, en este si-glo XXI, contemos con los adelantos que tanto nos ayudan y maravillan.

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Daniel Sánchez Ibáñez1

ABACOM Boletín Matemático

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la

Universidad Austral de Chile.

Director: Juan Leiva V. / Director Alterno: Víctor Alvarado A. / Redacción Perio-dística: Carolina Leiva C./ Colaboradora: Andrea Cárcamo B. / Web Master: Edinson Contreras R. Centro de Docencia de CCBB / Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. / Casilla 567 Valdivia.

E.mail: abacom@uach.cl / Fono (63)221828 / Fax (63)293730 www.uach.cl/abacom

REFLEXIONES

En muchas ocasiones, al obtener

cierto conocimiento y visualizar res-

puestas como ciertas por el resto de

la sociedad, el hombre �ende a con-

formarse e imitar lo realizado tantas

veces sea necesario, ya que piensa,

por defecto, que siempre le dará re-

sultado. Esta sucesión co�diana se

entrelaza con lo tradicional de la co-

munidad en la que se encuentra el

hombre inmerso y genera un gran

acostumbramiento. Ahora bien, pen-

sando en las matemá�cas, como

ciencias exactas, nos podemos pre-

guntar: ¿son bases sólidas, siempre

medibles y sin ningún error? Pues

no, al igual que muchas otras cien-

cias aplicadas, las matemá�cas, pre-

sentaron históricamente fragilidades,

baches y caídas de las cuales el hom-

bre ha logrado y sigue intentando

superar.

Por ejemplo2, remontándonos muchos

siglos atrás, para los pitagóricos (de la

escuela pitagórica), toda la naturaleza

podía ser representada por números,

pero cuando el triángulo rectángulo,

cuyos catetos miden una unidad, ge-

neró una hipotenusa de unidades

de longitud, apareció un profundo

descontento entre ellos, pues la re-

presentación geométrica de los núme-

ros debería trasmi�r armonía y felici-

dad, sin embargo esa extraña diagonal

podía ser trazada pero no podía ser

medida, era inconmensurable. Así,

debido al mis�cismo que predomina-

ba entre los pitagóricos, el descubri-

miento de un número como fue

guardado en secreto, y lo llamaron

“indivisible”. Se cuenta que Hipasos,

discípulo de Pitágoras, reveló el escán-

dalo y fue asesinado. Además, otros,

que se arriesgaron a contar tal revela-

ción, murieron en un naufragio.

Ahora bien, ¿es para Ud. extraño el

símbolo y lo que representa? Lo

más probable es que no, ya que se

presenta como un conocimiento gene-

ral básico (verificable con el Teorema

de Pitágoras en un triángulo rectángu-

lo) en muchas sociedades y pasa a ser

parte, ahora, de algo co�diano y tradi-

cional. Con todo lo anterior, podemos

sacar muchas conclusiones acerca de

cómo abordar los “nuevos” y los

“an�guos” conocimientos, sea cual

sea el área de estudios, ya que estos

abundan y nos invaden en esta época

súper tecnológica de la historia de la

humanidad; u�lizarlos sabiamente (lo

cual no implica tener un pensamiento

limitado), nunca “acostumbrarnos”

creyendo que serán por siempre váli-

dos.... y medibles.

1 Profesor de Bachillerato de Ingeniería UACh,

Campus Patagonia, Coyhaique.

2

Ejemplo sobre los pitagóricos extraído desde

“A matema�ca na arte e na vida” de Paulo

Mar�ns Contador, 2da Edición. Editora Livra-

ria da Fisica, Sao Paulo, Brasil, 2011.

De lo Tradicional a lo Inconmensurable

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ABACOM Boletín Matemático

En la Costanera de la Ciencia en la ciudad de Valdivia, fren-te al CECs, (Centro de Estudios Científicos), se ubicó una estructura de vidrio en cuya parte superior se instaló el pri-mer faro de Valdivia, y en el interior una esfera de plomo cromada, con una masa de 100 [kg], la que está suspendida por medio de un cable trenzado de 4 [mm] de grosor y 13 [m] de largo. Este artefacto se denomina péndulo matemático o simple, ya que la masa está concentrada en la esfera, es decir la masa del cable es despreciable con respecto a la masa de la esfera. El período de oscilación de este péndulo es de 7 [s], debido a su ubicación que es la siguiente: latitud sur 39° 48’ 50.57’’; longitud oeste 73° 14’ 55.13’’. En la parte superior de este péndulo existe un sistema de recuperación de energía y un estabilizador. El sistema de recuperación de energía permite que el movimiento sea con-tinuo, ya que el péndulo pierde energía por el roce con el aire lo que lo detendría, y el estabilizador no permite que el péndulo describa una elipse, por lo que siempre oscila en un plano vertical. En la base de la estructura se encuentran los puntos cardina-les, se observa que el plano de oscilación se desplaza. Para medir este desplazamiento, la base se encuentra graduada. Este péndulo se denomina Péndulo de Foucault en honor a su creador, León Foucault.

León Foucault nació el 19 de septiembre de 1818 en París y murió el 11 de febrero de 1868 en la misma ciu-dad. Uno de sus princi-pales logros, junto a Armand Fizeau, fue la determinación de la velocidad de la luz, demostrando que la velocidad de la luz en el aire es superior a la del agua. En 1851, Foucault, realizó el

experimento del péndulo en el Panteón de París, poniendo en manifiesto la rotación de la Tierra. Se cuenta que Foucault, inventó el péndulo, en 1848, por una casualidad, él realizaba un trabajo en su taller intentando acoplar una pesada barra metálica a un torno, mientras era sostenida por un cable, formando un péndulo que oscilaba en un plano vertical que permanecía invariable (en tiempos pe-queños), Foucault, observó que este plano se mantenía inal-terable, incluso cuando el sistema de sustentación rotaba,

marcando una diferencia entre el sistema tierra y el de sustentación, para el primero se conservaba el plano de oscila-ción, pero para el segundo no. Foucault, puso en movimiento un péndulo for-mado por una esfera con un pe-so de 28 [kgf], suspendida por un cable de 67 [m] de largo, y observó que el nivel de oscila-ción del péndulo giraba lentamen-te, pero en forma continua en la dirección del movimiento de las manecillas del reloj. Se determinó que la causa de este movimiento es la llamada fuerza de Coriolis (Gaspard Co-riolis, físico francés que vivió entre 1792 y 1843), que resul-ta del movimiento de rotación de la Tierra, provocando una desviación de las masas hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el hemisferio sur. Este fenó-meno influye en las corrientes de aire y del mar en forma global, también se puede determinar que el periodo de osci-lación, es de 24 horas en los polos, mientras que en el ecua-dor no experimenta ningún sentido la rotación. La pieza más destacable del péndulo de Foucault fue entre-gada a las Naciones Unidas por los Países Bajos y está for-mada por una esfera de cobre bañada en oro, suspendida por un cable de acero inoxidable de 23[m] de largo. En el trans-curso del día, la dirección en que se mueve el péndulo cam-bia debido a la rotación de la Tierra y su ciclo demora 36 horas con 45 minutos.

Referencias:

Péndulo de Foucault en Wikipedia la enciclopedia libre: http://es.wikipedia.org/wiki/Péndulo_de_Foucault

Péndulo de Foucault en el CECs: www.cecs.cl/pendulo/

El Péndulo de Foucault y los eclipses de Sol: http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-4/foucault.html

EL PÉNDULO DE FOUCAULT EL PÉNDULO DE FOUCAULT Joaquín Castellano de la Torre

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Víctor Alvarado Alvarado

Los cuerpos sólidos se clasifican básicamente en polie-

dros y cuerpos redondos.

Poliedro: Cuerpo geométrico tridi-

mensional cuyas caras son planas - en

realidad son polígonos - que encie-

rran un volumen finito. (Los poliedros

están limitados por superficies pla-

nas).

Cuerpo Redondo: Cuerpo geométri-

co tridimensional cuyas caras son

superficies curvas o superficies

curvas y superficies planas.

Los poliedros se clasifican a su vez

en poliedros regulares y poliedros

irregulares.

Los poliedros regulares ya fueron estudiados en los nú-

meros anteriores de ABACOM.

Ahora nos dedicaremos a los otros sólidos.

POLIEDROS IRREGULARES Los poliedros irregulares tienen caras que son polígonos

que no son todos iguales.

Los poliedros irregulares se pueden clasificar de varias

formas.

Una forma es considerando el número de caras. En este

caso, se nombran mediante un prefijo que indica el núme-

ro de caras, seguido de la terminación edro. Es de esta

manera que tenemos poliedros irregulares llamados por

ejemplo: tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro,

octaedro (Así, el hexaedro irregular tiene seis caras,

pero no todas iguales).

Estos poliedros también se pueden clasificar respecto a

sus formas. En este contexto podemos decir que los po-

liedros irregulares más comunes son los Prismas y las

Pirámides.

Prisma: Poliedro limitado por dos polí-

gonos congruentes paralelos (llamados

bases), y por caras laterales que son

paralelogramos.

La altura de un prisma es un segmento

perpendicular a las bases y de extre-

mos puntos de las dos bases. Un Pris-ma Recto tiene rectángulos como ca-

ras laterales. Si no, se denomina prisma oblicuo. Un Pris-ma Regular tiene por bases polígonos regulares. Podemos

tener prismas regulares rectos u oblicuos. Un Paralele-pípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. Po-

demos tener paralelepípedos rectos u oblicuos.

Pirámide: Poliedro limitado por un polígono, llamado ba-

se, y por caras laterales que son

triángulos que tienen un vértice

común que no está en el plano de la

base, llamado vértice de la pirámi-

de. Una Pirámide Regular es una

pirámide que tiene por base un po-

lígono regular. En caso contrario,

la pirámide se dice Pirámide Irre-gular. La apotema (lateral) de una

pirámide regular es la altura de

cualquiera de sus caras laterales. La altura de una pirá-

mide es el segmento perpendicular a la base y que une el

vértice con la base. Una Pirámide Recta es una pirámide

en que todas las caras laterales son triángulos isósceles.

La pirámide se dice oblicua si al menos alguna de sus ca-

ras no es triángulo isósceles.

Para una pirámide recta regular, la altura desde el vérti-

ce cae al centro de la base.

Las pirámides podemos clasificarlas según el número de

lados de los polígonos de la base: pirámides triangulares,

cuadradas, pentagonales, etcétera.

CUERPOS REDONDOS Los principales cuerpos redondos son los Sólidos de Re-volución, que se obtienen rotando una región plana alre-

dedor de una recta que no está contenida en el plano de

la región.

El Cilindro (Circular), el Cono (Circular) y la Esfera son

superficies de revolución. El cilindro se obtiene al rotar

un rectángulo alrededor de uno de sus lados, el cono al

rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus

catetos y la esfera, rotando un semicírculo alrededor de

su diámetro. Un cilindro (circular) tiene tres caras: dos

círculos congruentes paralelos –denominadas bases- y la

otra cara curva (superficie cilíndrica). Un cono (circular)

tiene dos caras: una plana que es un círculo –denominado

base- y otra cara curva (superficie cónica).

Una esfera tiene sólo una cara que es curva (superficie

esférica, cuyos puntos equidistan de un punto, llamado

centro de la esfera, y la distancia común se denomina

radio de la esfera).

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ABACOM Boletín Matemático

VOLÚMENES DE PRISMA Y PIRÁMIDE

ÁREAS Y VOLÚMENES DE CILINDRO, CONO Y ESFERA

CONO TRUNCADO Si un cono circular se corta por un plano paralelo a su

base, se obtiene un sólido denominado Cono Truncado.

Si las bases tienen radios a y b y la altura es h, entonces

el área lateral (AL) y el volumen

(V) son:

CASQUETE ESFÉRICO Si una esfera se corta por un

plano que no pasa por su cen-

tro, se obtiene un Casquete Esférico. Si el radio de la es-

fera es r y la altura del cas-

quete es h, entonces el área

(A) y el volumen (V) son:

B = área basal

h = altura

Área Total Volumen

Cilindro

22πr +2πrh

2πr h

Cono

2 2 2πr + πr r +h

213 πr h

Esfera

24πr

343 πr

( ); ≤ ≤213V = πh 3r-h 0 h 2rA =2πrh

( )2 2π3V = h a + ab + b

( ) 2 2

LA =π a+b h +(b-a)

Volumen

Prisma

B h

Pirámide

13 Bh

La mayoría ha escuchado del potencial de Usain Bolt, un atleta que sustenta dos records mundiales, en 100 y 200 metros planos. Pero ha habido casos en que un atleta es especialista en 200 metros y no lo es en 100 metros. Para personas que estamos lejanos al atletismo resulta un tanto incomprensible pensar que un atleta sea especialista en 200 metros y no en los 100 metros, puesto que al recorrer 200 metros se necesita una mayor capacidad muscular, aeróbi-ca, mental, etc. debido a la mayor distancia a recorrer. ¿Por qué un corredor puede desenvolverse “mejor” en 200 metros que en 100 metros planos? Consultando con un atleta juvenil especialista en 200 me-tros planos, entrega una respuesta sencilla pero no menos curiosa: “porque la salida es muy lenta”. Para revertir tal efecto se requiere un trabajo en la postura de la salida “la más óptima”, pero ¿Cuál es la más óptima? O equivalentemente ¿Cuál es el ángulo que optimiza esa salida? Es sabido que el músculo desarrolla su mayor po-tencial cuando el ángulo formado es de 90°, de ser así uno puede pensar que un ángulo de 90° en las piernas del atle-ta resultaría una posición óptima, sin embargo, debemos considerar que el atleta al momento de la salida ya pierde esos 90° por lo que el máximo potencial se pierde en el instante de la salida, en otras palabras, no se aprovecha el máximo potencial.

Otra opción sería que el atleta se situara en una posición de tal forma que el ángulo que se forma sea menor a 90° (ver atleta 8) para que al momento de la salida el tiempo en donde el ángulo esté en torno a los 90° sea mayor, pero lo desfavorable es la fuerza y energía que se necesitan (mayores). Cuál será entonces una posición que sea cómo-da pero donde se aproveche el mayor potencial, la respues-ta es sencilla: es aquella en donde la posición de 90° se mantenga por un tiempo prolongado. Esta posición se con-sigue acercando un poco los tacos a la línea de partida (ver atleta 7). Debemos aclarar que una mejor postura de salida no hará un atleta ganador, pero sí mejorará sus tiempos.

Las Matemáticas y el Deporte Juan Francisco Herrera Tobar

Profesor de Matemáticas del Centro de Docencia de Ciencias Básicas de la Facultad de Ciencias de

la Ingeniería de la UACh.

h

r

a

b

h

r = radio

h = altura

Juan Leiva Vivar

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En estos 10 años de publicación, ABACOM Boletín Mat emático ha hecho un recorrido por épocas fascinantes de la historia de las Matemática s, desde el Ábaco al Computador. En este conciso recuento repasaremos algunos hitos que marcaron el desarrollo de esta cien-cia y también de la humanidad, hasta llegar a esta civilización tecnológica, la que nuestros antepasados ni siquiera soñaron.

Época a.C. 530 a. C.: Pitágoras estudia las relacio-nes entre las medias aritmética, geométri-ca y armónica; su grupo también descubre la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos.

300 a. C.: Euclides en su obra Los Ele-mentos desarrolla la geometría como un sistema axiomático, demuestra la infini-tud de los números primos, el Lema de Euclides (sobre la divisibilidad por núme-ros primos), y el Teorema de la Altura (acerca de la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo).

300 a. C.: En Irak, los Babilonios in-ventan el ábaco.

260 a. C.: Arquímedes desarrolla un método para demostrar que el valor de π permanece entre 3 + 1/7 (3.1429 aprox.) y 3 + 10/71 (3.1408 aprox.) utilizando polí-gonos inscritos y circunscritos en una circunferencia, calcula el área bajo un segmento parabólico.

225 a. C.: Apolonio escribe Sobre Sec-ciones Cónicas y nombra la elipse, la parábola y la hipérbola.

140 a. C.: Hiparco desarrolla las bases de la Trigonometría.

Época d.C.

Siglo I a Siglo XV s. I d. C.: Herón de Alejandría, hace la más temprana referencia a las raíces cuadra-das de números negativos (números complejos).

250: Diofanto de Alejandría escribe su obra Aritmética, el primer tratamiento siste-mático sobre álgebra.

300: En India, matemáticos indios introducen el más temprano uso conocido del cero como un dígito decimal.

820: Al-Juarismi es considerado el padre de la moderna álgebra, escribió Al-jabr, introdujo técnicas algebraicas para la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas aplicadas en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

1202: Leonardo de Pisa (más conocido como Fibonacci) publica el Liber Abaci (Libro del ábaco o Libro de los cálculos) difundiendo en Europa la numeración arábiga.

1482: Erhard Ratdolt realiza en Venecia la primera impresión latina de los Elemen-tos de Euclides.

Siglo XVI 1539: Gerolamo Cardano descubre un método para resolver ecuaciones cúbicas.

1540: Lodovico Ferrari resuelve la ecuación de cuarto grado. La solución se publica junto a la de tercer grado en 1545 en el libro Ars Magna de Gerolamo Cardano.

1596: Ludolf van Ceulen calcula π con 20 cifras decimales usando polígonos inscri-tos y circunscritos en una circunferencia.

Siglo XVII 1614: John Napier presenta los Logaritmos en su obra Mirifici Logarithmorum Cano-nis Descriptio.

1619: René Descartes crea la Geometría Analítica (Pierre de Fermat reclama que él también lo hizo independientemente).

1629: Pierre de Fermat desarrolla un rudimentario Cálculo Diferencial.

1637: Pierre de Fermat enuncia, sin demostrar, el Último Teorema de Fermat en su copia de la obra de Diofanto Arithmetica.

1654: Blaise Pascal y Pierre de Fermat crean la Teoría de Probabilidades.

1665: Isaac Newton desarrolla su versión del Cálculo Infinitesimal.

1673: Gottfried Leibniz también desarrolla su versión del Cálculo Infinitesimal.

1696: Jackob Bernoulli y Johann Bernoulli resuelven el problema de la Braquistó-crona, el primer resultado en el Cálculo de Variaciones.

El ÁBACO inventado por los Babilonios en el año 300 a.C.

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ABACOM Boletín Matemático

Siglo XVIII 1712: Brook Taylor desarrolla las Series de Taylor.

1722: Abraham de Moivre presenta el Teorema de Moivre uniendo Funciones Trigonométricas y Números Complejos.

1736: Leonhard Euler resuelve el problema de los Siete Puen-tes de Königsberg, creando así de la Teoría de Grafos.

1742: Christian Goldbach conjetura que todo número par ma-yor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos (Conjetura de Goldbach).

1748: María Gaetana Agnesi presenta de manera innovadora el estudio de la Geometría Cartesiana en su obra Instituciones Ana-líticas para el uso de la Juventud Italiana.

1796: Carl Friedrich Gauss prueba que el polígono regular de 17 lados puede ser construido con regla y compás.

1799: Carl Friedrich Gauss demuestra el Teorema Fundamen-tal del Álgebra.

Siglo XIX

1801: Carl Friedrich Gauss publica su tratado Disquisitiones Arithméticae sobre la Teoría de los Números.

1807: Joseph Fourier anuncia su descubrimiento acerca de descomposición de funciones periódicas en series trigonométri-cas convergentes (Series de Fourier)..

1815: Siméon Denis Poisson, realizó unas serie de escritos so-bre las Integrales Definidas.

1817: Bernard Bolzano presenta el Teorema del Valor Interme-dio, que afirma: Una Función Continua que es negativa en un punto y positiva en otro punto, debe ser cero al menos en un pun-to entre ellos. 1824: Niels Henrik Abel prueba parcialmente que las ecuacio-nes de grado mayor o igual a 5 no pueden ser resueltas por una fórmula general que incluya únicamente operaciones aritméticas y raíces.

1829: Nikolái Lobachevski publica su trabajo sobre Geometría no Euclidiana.

1832: Évariste Galois presenta la condición general para la solubidad de ecuaciones algebraicas, creando así la Teoría de Grupos y Teoría de Galois.

1838: Augustus De Morgan define e introduce el término In-ducción Matemática. 1847: George Boole formaliza la Lógica Simbólica en El Análi-sis Matemático de la Lógica, definiendo lo que ahora se denomi-na Álgebra de Boole.

1851: Bernhard Riemann define las Superficies de Riemann.

1852: Francis Guthrie, discípulo de Augustus De Morgan, enuncia el Teorema de los Cuatro Colores.

1854: Bernhard Riemann define la Integral de Riemann y crea la Teoría de Funciones de una Variable Real. Ese mismo año, en una clase magistral sobre los fundamentos de la geometría intro-duce la Geometría Riemanniana.

1858: August Möbius inventa la Cinta de Möbius.

1859: Bernhard Riemann formula la Hipótesis de Riemann, la cual tiene fuertes implicaciones acerca de la distribución de los números primos.

1873: Charles Hermite prueba que el número e es transcenden-te.

1874: George Cantor muestra que el conjunto de todos los Nú-meros Reales son infinitos no numerables, pero el conjunto de todos los Números Algebraicos son numerables.

1878: Charles Hermite resuelve la Ecuación General de Quin-to Grado, mediante Funciones Elípticas y Modulares.

1882: Ferdinand von Lindemann prueba que π es transcen-dente y que por lo tanto, el círculo no puede cuadrarse con regla y compás (Cuadratura del Círculo).

1888: Sonya Kovalevsky recibe el premio de la Academia de Ciencias de París, por su trabajo sobre Rotación de Sólidos.

1895: George Cantor publica un libro acerca de Teoría de Con-juntos conteniendo la aritmética de números cardinales infinitos y la Hipótesis del Continuo.

Uno de los Siete Puentes de Königsberg que sobre-vive en la actualidad.

El Teorema de los Cuatro Colores fue planteado en 1852, y sólo pudo ser demostrado en 1976, con el uso de computadores.

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Siglo XX

1900: David Hilbert presenta su famosa lista de 23 problemas.

1904: Henri Poincaré plantea que la esfera tridimensional es el único espacio limitado sin orificios (Conjetura de Poincaré).

1914: Srinivasa Ramanuyán publica Modular Equations y Ap-proximations to π

1928: John von Neumann empieza a idear los principios de la Teoría de Juegos y prueba el Teorema Minimax.

1931: Kurt Gödel prueba su Teorema de Incompletitud, el cual muestra que cada sistema axiomático para matemáticas es incom-pleto o inconsistente.

1933: Andrei Kolmogorov publica su libro Nociones Básicas del Cálculo de Probabilidad que contiene una axiomatización de las probabilidades basado en la Teoría de la Medida.

1947: Un equipo de ingenieros asesorados por John von Neu-mann construyen, en la Universidad de Pennsylvania (U.S.A.), la máquina ENIAC, primer Computador Digital Electrónico de la historia.

1947: George Dantzig publica el Método Simplex que resuelve problemas de Programación Lineal.

1949: John von Neumann calcula π con 2.037 cifras decimales usando el Computador ENIAC.

1957: Aparece el lenguaje de Programación Fortran.

1961: Daniel Shanks y John Wrench calculan π con 100.000 cifras decimales usando un Computador IBM-7090.

1963: El meteorólogo y matemático Edgard Lorenz desarrolla la Teoría del Caos (Efecto Mariposa).

1975: Benoit Mandelbrot publica Los Objetos Fractales: Forma, Azar y Dimensión, dando origen a la Teoría de Fractales.

1976: Kenneth Appel y Wolfgang Haken demuestran el Teore-ma de los Cuatro Colores, haciendo uso de un computador.

1987: Yasumasa Kanada, David Bailey, Jonathan Borwein, y Peter Borwein calculan π con 134 millones de decimales, usando el Supercomputador NEC SX-2.

1994: Andrew Wiles demuestra el Último Teorema de Fermat.

Siglo XXI

2000: El Instituto Clay de Matematicas establece los siete pro-blemas no resueltos de la matemática (Problemas del Milenio) y ofrece un millón de dólares por la resolución de cada uno.

2002: Yasumasa Kanada, Y. Ushiro, H. Kuroda, M. Kudoh y un equipo de nueve matemáticos calculan π con 1,24 billones de dígitos, utilizando un Supercomputador Hitachi de 64 nodos.

2003: Grigori Perelman demuestra la Conjetura de Poincaré, uno de los Problemas del Milenio, pero rechaza el premio asigna-do.

Dinámicas con GeoGebra Daniel Sánchez Ibáñez

GeoGebra es un software matemático inter-activo libre, para enseñar y aprender, dispo-nible para la educación en colegios, universi-dades1. Este programa permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo, así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico, el cálculo de fun-ciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc. Con GeoGebra se pueden realizar construc-ciones a partir de puntos, rectas, semirrec-tas, segmentos, vectores, cónicas, etc. Su empleo directo puede ser a través de herramientas operadas con el mouse (dispuestas en cuadrados desplegables bajo la barra de menú) o con la anotación de co-mandos en la Barra de Entrada con el tecla-do o seleccionándolos desde un listado dis-ponible. Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir, que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A. Justamente esta última cualidad del progra-ma la haremos visualizar al construir (no dibujar) una circunferencia como lugar geo-métrico:

Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo del plano llamado centro. La distancia del centro a

cualquier punto de la circunferencia se llama radio de la circunferencia.

Pasos de la construcción:

1) Abrir GeoGebra. 2) Definir un punto en la Barra de Entrada (ubicada en la parte inferior de la pantalla). Un punto se define entre paréntesis. Ejem-plo: (1, - 2). Apretar Enter. 3) Por defecto, el programa nombrará al punto con la letra A. 4) En la Barra de Herramientas (arriba) des-plegar el tercer cuadrado (contando de iz-quierda a derecha) y marcar “Segmento dados Punto Extremo y Longitud”. 5) Al final de la línea en las barra de herra-mientas (lado derecho) se marca la herra-mienta y nos indica que es lo que tenemos que hacer. En este caso nos dice: Punto Extremo. Luego, valor de su longitud. 6) Marquemos con el mouse sobre el punto A (nuestro punto extremo del segmento) y luego nos pedirá que insertemos una medida de longitud. Ejemplo: 3. 7) Se generará el otro punto extremo de segmento B. 8) Sobre el punto B apriete el botón izquier-do del mouse y marque la opción que apare-cerá como “Activa Rastro”. 9) Vuelva a la barra de herramientas (arriba), y marque el primer cuadradito (la flecha). 10) Regrese al punto B y sobre él mantenga apretado el botón izquierdo del mouse y muévalo como usted quiera. ¿Qué es lo que sucede?

Una circunferencia puede ser representada

por la ecuación

donde es el centro y r es el radio.

Como último paso coloque en el campo de

entrada , y observe

lo que sucede.

1Descarga y referencia inicial en http://www.geogebra.org/cms/

(x - h) + (y - k) = r2 2 2 ,h,k( )

(x - ) + (y + ) = r2 2 21 2

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ABACOM Boletín Matemático

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

´ Poesía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía Matemát icaPoes ía Matemát ica

Algunos me llaman círculo, pero soy una circunferencia, pues sólo tengo contorno, he ahí la diferencia.

Y sólo el que muy bien se fija nunca se confundirá entre el que posee área y la que no la tendrá jamás.

Por ser una circunferencia saber mi perímetro es sencillo, pero si no quieres confundirte compárame con un anillo.

Cuando calculan mi área es porque un círculo soy algo parecido a una moneda, como ejemplo yo te doy.

Si desde el centro tú trazas a mi contorno un segmento, conocerás lo que llaman radio y son infinitos, te cuento.

Y si unes dos puntos de mí, una cuerda se dibujará , que si pasa por el centro en diámetro se transformará.

Este diámetro mide, como te habrás dado cuenta, el valor de dos radios y mil ejercicios se inventan.

Para finalizar te comento: mi área es pi por r al cuadrado y si necesitas mi perímetro 2 pi por r es lo adecuado.

Ha sido uno de los mate-máticos más famosos del siglo XX. A él se deben, entre otras cosas, una reestructuración formal de los fundamentos ma-temáticos y una polémi-ca reforma de la ense-ñanza. Aunque en reali-dad nunca existió un matemático que se lla-mara Nicolás Bourbaki. A finales de 1934 un grupo de jóvenes mate-máticos franceses, entre los que se contaban Hen-ri Cartan, André Weil, Claude Chevalley y Jean Dieudonné, todos ellos de gran renombre, esta-

ban interesados en ofrecer una visión moderna de la matemática contemporánea que, al propio tiempo, enfatizara el componente axiomático de la misma y reformar la enseñanza de las Matemáti-cas en las universidades. Para ello elaborarían un tratado de Análi-sis Matemático que, además de servir como libro de texto, sirviera también para unificar criterios. Así fue como nació el grupo Bour-baki. Posteriormente se incorporaron otros matemáticos (principalmente franceses), como Laurent Schwartz, Jean- Pierre Serre, Alexandre Grothendieck, Roger Godement y Pierre Cartier.

Lo que comenzó como un modesto texto de Análisis acabaría por convertirse en una monumental obra con el ambicioso título de Elementos de Matemáticas, un trabajo en el que los miembros del grupo o de la “banda”, como les gustaba llamarse, se comprome-tieron a poner un cierto orden en las Matemáticas. No era un grupo muy numeroso y se renovaba periódicamente: el criterio básico era que ninguno de sus miembros podía permanecer en él a partir de los cuarenta años. Con su excelente talante mate-mático, un irrenunciable sentido del humor y la complicidad de un editor (Freymann), llegaron a crear un auténtico mito. El primer trabajo que realizaron fue presentado a la Academia de Ciencias en 1935, bajo la firma de Nicolás Bourbaki (*) . Publicaron regularmente durante más de 50 años. A pesar de que se siguen reuniendo periódicamente, la última publicación del grupo fue en 1998 (la anterior había sido en 1983) un año que muchos consideran como la fecha de defunción de Nicolás Bour-baki. Las razones de esta posible defunción pueden ser muchas, pero quizá la más importante radique en la misma naturaleza de las Matemáticas, que en los últimos años ha sufrido una explosión en la que multitud de especialistas se han lanzado a campos de investigación en una enorme cantidad de direcciones diferentes. En la época de esplendor de Bourbaki el número de artículos de Matemáticas publicados anualmente era alrededor de los 3.000, en la actualidad superan los 100.000.

(*) Nicolás Bourbaki es el nombre real de un general francés que, durante la guerra franco-prusiana de 1870 - 1871, intentó una ofensiva contra el frente prusiano que terminó en un rotundo y humillante fra-caso.

NICOLÁS BOURBAKI, EL MATEMÁTICO VIRTUAL

Cir . . . ¿cuánto? Danny Perich Campana

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H U M O RH U M O RH U M O R

1,35 m. ¿ . . . ?

Son - Risas Científicas Un átomo caminaba por la calle con cara de preocupa-ción. Otro átomo, conocido de él, lo ve y le pregunta: - ¡Qué tal amigo!, ¿Por qué tan estresado? - Es que perdí mis electrones - respondió. - ¿Estás seguro? - Sí, estoy completamente positivo.

*****

- Pedrito, dígame los símbolos químicos del plomo, el potasio y la plata.

- No los sé, señorita. - Pero, … ¡no has estudiado nada! - Si estudié, pero el libro no trata esos elementos. - Eso es falso, muéstrame el libro. - Aquí dice clarito: … nitrato de plomo, nitrato de pota-

sio, nitrato de plata ...

*****

- ¿Cuál es la fórmula química del vino? - AI2 YVO4

*****

Si el cerebro humano fuese tan simple que pudiésemos entenderlo, entonces seríamos tan simples que no podría-mos entenderlo.

*****

Los biólogos moleculares se han preguntado durante años por que la mayor parte del ADN de un organismo no pa-rece tener ninguna función. Pero la razón es bien simple; tan solo el 30% del ADN de un humano sirve para algo, porque el resto son comentarios escritos por Dios.

El 123: Un Agujero Negro Numérico Así como un agu-jero negro es un cuerpo con una gravedad tan fuer-te que nada puede escapar de él, ni siquiera la luz, también existen números que atraen a otros al efectuar ciertas operaciones. Uno de ellos es el 123. Actúa del modo siguiente: Escribe un número

cualquiera de la cantidad de cifras que sea, cuenta las cifras pares, las impares, el total de cifras y con estos 3 números forma otro. Por ejemplo si el número que se escribe original-mente es: 7841352906615976315; éste tiene 7 cifras pares, 12 impares y 19 cifras en total. Así el número que se forma es 71219; contamos nuevamente las cifras pares, impares y to-tales de este número, obteniendo: 145. Se repite lo anterior y obtenemos 123. Siempre se llegará a 123, independiente del número con que se parte. O sea … 123 es un agujero negro numérico. La explicación es muy simple: después de varias iteraciones, se llegará a un número de 3 cifras, que sólo puede ser 303 (si las 3 cifras son pares), 213 (si 2 son pares y una impar), 123 (si una cifra es par y 2 impares) o 033 (si las 3 cifras son im-pares). En estos 4 casos al volver a hacer el cálculo se obten-drá inevitablemente … el 123.

123

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ABACOM Boletín Matemático

Viola García Paredes

Problema 1: El Valor de la Expresión

Problema 2: Los 3 Sombreros El último puede ver el color de los

sombreros del 1° y del 2° de la

fila. Si no puede saber el color del

suyo es porque los dos no son

blancos, en tal caso sabría que el

suyo es negro. Por tanto, son los

dos negros o uno de cada color.

El 2°, que puede ver el color del

1°, piensa en lo que respondió el

3° y si tampoco puede responder

acertadamente es porque el color

del primero es negro, ya que si

fuese blanco, sabría que el suyo

debe ser negro.

RESOLUCIÓN PROBLEMAS EDICIÓN Nº 39

Las palabras relacionadas con Tipos de Funciones son:

Biyectiva, Continua, Creciente, Cua-drática, Lineal, Par, Periódica, Polinó-mica, Racional y Senoidal.

rsoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcurso

1 1 1

1 1 1a ab b bc c ac+ + =

+ + + + + +

1 1

1 1

b

a ab b bc b bc abc= + +

+ + + + + +1 1

1 1 1

b

a ab b bc b bc= + +

+ + + + + +1 1

1 1

b

a ab b bc

+= ++ + + +

1

1

a ab

a ab a ab abc

+= ++ + + +

1

1 1

a ab

a ab a ab

+= ++ + + +

11

1

a ab

a ab

+ += =+ +

ALUMNOS PARTICIPANTES Han enviado respuestas al concurso Desafío a tu Ingenio:

Ximena Cerda Altamirano, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique. Vicente Coopman Jaramillo, Instituto Alemán, Valdivia. Joaquín de la Barra, Colegio San Mateo, Osorno. Valentina Elmohrez, Escuela Particular N° 95 Alemana, Paillaco. Javier Fierro Mora, Liceo Altamira, Panguipulli.

Sebastián Gatica Muñoz, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique. Rodrigo Martínez, Instituto Alemán, Valdivia. Constanza Morrison, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique. Daniel Rodas Ibáñez, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique. Camila Salazar Lopetegui, Colegio Santa Cruz, Río Bueno. Felipe Torres Villarroel, Liceo San Felipe Benicio, Coyhaique.

SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 3SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 3SOLUCIÓN EDICIÓN Nº 39

E O S B C A R E T A

A T E I O X I L C C

C A N Y N I O I H I

I S O E T Ñ M N E T

D E I C I O A E R A

O N D T N C R A P R

I K A I U U E L I D

R I L V A Y B R O A

E O V A T A I R C U

P L A N O I C A R C

ABACOM Boletín Matemático ABACOM Boletín Matemático

10 Años - 40 Ediciones

La presente será la última edición de este año, pues en reemplazo de la edición de noviem-bre, editaremos un libro con la recopilación de las 40 ediciones que se han publicado en los 10 años de vida de este boletín.

El viernes 7 de octubre, junto a la ceremonia de premiación de la XVII Semana Nacional de la Ciencia y Tecnología, se celebrarán los 10 años de ABACOM, haciendo entrega a los

representantes de los colegios que asistan, de un ejemplar por cada colegio de enseñanza media. A los que no estén presentes en esta ceremonia se les enviará un ejemplar a sus respectivos establecimientos.

En nuestra página web www.uach.cl/abacom aparecerá un índice que permitirá buscar los diferentes temas y los(las) matemáticos(as) que han aparecido en estas páginas.

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S E P T I E M B R E 2 0 1 1

En este concurso participaron estudian-tes de 5º Básico a 4º Medio de los esta-blecimientos educacionales de la Región, enviando una carta dirigida a la científica Marie Curie, ganadora de dos Premios Nobel, pionera en el campo de la radioac-tividad y primera mujer en ser profesora de la Universidad de La Sorbone.

La Unesco declaró este año como el Año Internacional de la Química, al cumplirse 100 años desde que obtuvo el premio Nobel en 1911, por esto la Coordinación del Programa EXPLORA CONICYT invitó a los estudiantes de la región a conocer más sobre la vida de esta importante

figura científica.

En la carta, los concursantes se dirigían a Marie Curie como si estuviese viva, ex-presándole reflexiones, dudas, pregun-tas, etc. El jurado está integrado por un crítico literario, un periodista, un científi-co, un representante de EXPLORA y un representante de la Corporación Cultural Alianza Francesa Valdivia.

La premiación se realizará el viernes 7 de octubre, en el marco de la XVII Semana Nacional de la Ciencia y la Tecnología, ocasión en que se celebrarán los 10 años de ABACOM Boletín Matemático.

PROGRAMA EXPLORA

CONICYT EN LOS RÍOS Melisa Martin Salvadores, Periodista

Coordinación Programa EXPLORA CONICYT Región de Los Ríos

explora14@uach

8° Congreso Regional Escolar de Ciencia y Tecnología EXPLORA CONICYT Región de Los Ríos Los días 27, 28 y 29 de septiembre, estudiantes de la Región de Los Ríos se preparan para participar del 8º Congreso Regional Escolar. Durante esta iniciativa, párvulos y estudiantes de enseñanza básica y media de los estableci-mientos educacionales de la Región de Los Ríos presentan sus trabajos de investigación, elabo-rados durante el año. Los ganadores de la cate-goría entre 6° básico a 3° medio representarán a la región en el Congreso Nacional en Puerto Montt, los días 30 de noviembre, 1 y 2 de di-ciembre. Paralelo a este Congreso, científicos o científicas de universidades y centros de investigación de la Región de Los Ríos, participan de “Abriendo Caminos en la Ciencia: IV En-cuentro de Ciencia y Tecnología”, instancia que permite mostrar sus trabajos de investiga-ción en ciencia a estudiantes, por medio de un experimento y/o poster motivando a los jóvenes a conocer el mundo científico. Ambas activida-des se desarrollarán en el Parque Saval.

XVII Semana Nacional de la Ciencia y la Tecnología Esta actividad se celebrará desde el 3 al 9 de octubre y el lema de este año es “Química: Nuestra Vida, Nuestro Futuro”. Durante esa fecha se realizan actividades como: “1000 Científicos 1000 Aulas”, “Laboratorios, Parques y Museos Abiertos”, “Día de la Ciencia en mi Colegio”, Concurso “Dobles de Marie y Pierre Curie”, II Festival de Teatro “La Ciencia en Escena” y la puesta en espacio “Llamada Curie”, en multimedia, escrita y dirigida por el Dr. Roberto Matamala de la UACh, con la participación de estudiantes de la universidad como actores, entre otras iniciativas. (Ver obra completa en http:/vimeo.com/25966839 )

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Nació como María Sklodowska, en Var-sovia, Polonia. En la Universidad de Varsovia no se permitía que estudiaran mujeres, de manera que tuvo que hacer-lo en forma clandestina. A los 24 años, se trasladó a París para estudiar Mate-máticas, Física y Química en la Univer-sidad La Sorbonne. Allí conoció y se casó con Pierre Curie. Juntos estudiaron materiales radioactivos y descubrieron dos elementos, el polonio, al que dieron este nombre en honor a Polonia, y el radio. También estudiaron los usos mé-dicos de la radioactividad en las radio-grafías y tratamiento de tumores cance-

rígenos. En 1903, ambos compartieron el Premio Nobel de Física con Henri Becquerel, por sus investigaciones en radioactivi-dad. Marie Curie fue la primera mujer en recibir un premio Nobel. Su esposo falleció trágicamente atrope-llado por un carruaje en 1906. Marie asumió la cátedra de Física de su marido en La Sorbonne, siendo la primera mujer en dar clases en esa universidad en los 650 años transcurridos desde su funda-ción. En 1911, volvió a recibir el Premio No-bel, esta vez en Química, convirtiéndose así en la primera persona en recibir dos Premios Nobel. Trabajó arduamente para recibir fondos para sus investiga-ciones de radioactividad y ayudó a esta-blecer laboratorios de radioactividad tanto en París como en Varsovia. Duran-te la Primera Guerra Mundial, promovió el uso del radio para el tratamiento de los soldados heridos. Marie Curie, después de quedar ciega, falleció de una enfermedad sanguínea a causa de su constante exposición a mate-riales radioactivos, el 4 de julio de 1934. Al año siguiente, su hija Irène Joliot-Curie, compartió el Premio Nobel con su esposo Frédéric Joliot-Curie, por su descubrimiento de la radioactividad arti-ficial.

Marie Curie (1867–1934)

CARTAS A MARIE CURIECARTAS A MARIE CURIE El 8 de agosto finalizó el concurso: “ Las Niñas, Niños y Jóvenes de la Región de Los Ríos escriben cartas a Marie Curie ”, iniciativa del Progra-ma EXPLORA en conjunto con la Universidad Austral de Chile, patrocin a-do por la Corporación Cultural Alianza Francesa Valdivia y el Diario Aus-tral Región de Los Ríos.

Puesta en espacio “Llamada Curie”