ABACOM Boletín Matemático

“Un buen juego matemático vale por muchos teoremas” ha afirmado uno de los grandes matemáticos de nues-tro tiempo, J. E. Littlewood. El carác-ter lúdico de las matemáticas ha esta-do presente en ellas desde antiguo. Arquímedes ideó muchos juegos, en-tre ellos el Stomachion (ABACOM N° 28). El tipo de reto intelectual que la geometría elemental o la teoría de números presenta, difiere muy poco del que se encuentra en muchos acer-tijos populares. Una buena propor-ción de la matemática seria de nues-tros textos debe su nacimiento a un juego matemático. Así por ejemplo, la Teoría de Grafos nació de un pro-blema, similar a un juego, acerca de si es posible efectuar un recorrido a través de ciertos puentes (los puentes de Königsberg). En Teoría de Núme-ros ha habido problemas (¿juegos?) famosos como el último Teorema de Fermat (ABACOM N° 24) y la Con-jetura de Goldbach (ABACOM N° 13). El famoso problema del Mapa de los cuatro colores (ABACOM N° 28) nació como curiosidad de un estu-diante de Cambridge en 1852. Periódicamente aparecen en el mundo juegos matemáticos, como el cubo de Rubik, en los años 80 y el Sudoku, en la actualidad, que por su capacidad de

atracción se convierten en el entrete-nimiento de millones de personas. La matemática es un verdadero juego, que se rige por ciertas reglas (definiciones, axiomas, teoremas) y que para jugarlo se debe practicar, pero sobre todo usar la capacidad de razonamiento e ingenio para resolver los desafíos que nos presenta. Es frecuente que muchas personas que se declaran nulas para la matemá-tica, disfrutan con puzzles y juegos cuya estructura difiere muy poco de la matemática. Existen en ellas blo-queos psicológicos que nublan su mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les propone, mu-cho más sencilla tal vez que el juego que practican, tiene que ver con algu-na propiedad o cálculo matemático. Estos bloqueos son causados muy frecuentemente en la niñez, donde se les exigió aprender rutinas matemáti-ca complicadas y carentes de sentido. Estas mismas personas, adecuada-mente motivadas desde un principio, tal vez a través de esos mismos ele-mentos lúdicos que están descargados del peso psicológico y de la seriedad temible de la matemática oficial, se mostrarían, ante la ciencia en general y ante la matemática misma en parti-cular, tan inteligentes como corres-ponde al éxito de su actividad en otros campos. El contenido lúdico de la matemática debería ser explotado más a fondo por los docentes en todos los niveles, pero sobre todo en los primeros pasos de la enseñanza de la matemática. Esta puede ser una forma de acercar a los alumnos a la matemática, en lugar de mostrarla como algo oscuro e inal-canzable.

MAYO 2009MAYO 2009MAYO 2009MAYO 2009

AÑO 8 N°30AÑO 8 N°30AÑO 8 N°30AÑO 8 N°30 Editorial

LA MATEMÁTICA ES UN JUEGO En esta edición

Visítanos en: www.uach.cl/abacom Contáctanos en: abacom@uach.cl

Reflexiones pág • Síntesis del Conocimiento. ........... .2 • El Aprendizaje de la Matemática. .3

Trigonometría

• Funciones trigonométricas para ángulos agudos. ............................ .4

Computación Gráfica…….…………....5 Niels Henrik Abel

• El genio incomprendido. .............. .6 • Los Grupos Abelianos. ................. .6 • El Premio Abel. ............................ .7 • Premio Abel 2009. ...................... .7

Estadística

• Elementos Básicos. ...................... .8 Juegos Matemáticos ............................. .9 Anécdotas Matemáticas ....................... .9 Matemática Entrete

• Los Números Irracionales ............ 10

• La Fiesta de los Irracionales......... 10

• ¿Cómo recordar el número e? ...... 10

• Leyes y Teoremas. ....................... 11 • Humor. ......................................... 11

Concurso

• Desafío a tu Ingenio. .................... 11 • Sopa Matemática. ......................... 11

Noticias

• Descubre Matemática con Innova-

ción y Tecnología ......................... 12

• Búsqueda de Talentos para Inge-niería. ........................................... 12

• XXI Olimpíada Nacional de Ma-

temática ........................................ 12

MA Y O 2 0 0 9

Publicación destinada a Estudiantes y Profesores de Enseñanza Media.

Proyecto auspiciado por el Instituto de Matemáticas de la Universidad Austral de

Chile.

Director: Juan Leiva V. Director Alterno: Víctor Alvarado A. Redacción Periodística : Carolina Leiva C. Diagramación: Katherine Inalef P.

Instituto de Matemáticas. Facultad de Ciencias. UACh.

Casilla 567 Valdivia. E.mail: abacom@uach.cl

Fono (63)221828 Fax (63)293730

www.uach.cl/abacom

ABACOM Boletín Matemático

2

Daniel Sánchez Ibáñez

SINTESIS DEL CONOCIMIENTO E INFORMACIÓN VIRTUAL EN LA SOCIEDAD ACTUAL Y FUTURA

Hoy en día, somos testigos de profundos cambios, inventos y creaciones hechas por el hombre interactuando en sociedad. Es fácilmente perceptible que en muchas áreas del conocimiento se estén descubriendo y produ-ciendo, cada día y a una gran velocidad, nuevas teorías, nue-vos conceptos, nuevos errores y nuevos desafíos. La influencia social que están ocasionando es muy relevante, marcando gene-raciones y enfrentándolas de di-ferentes maneras, lo que genera cierto desorden.

Dada su importancia, este tema es abordado por diferentes auto-res a nivel mundial. Uno de ellos, Toffler, en su libro “La tercera ola”, describe que estamos pa-sando en medio de un entrecho-car de olas y nos alimenta con la esperanza de que ya hemos vi-venciado un cambio de etapa (de la sociedad agrícola a la sociedad industrial), y que nos sumergi-mos en una nueva sociedad o nueva forma de civilización (la tercera ola) diferente y descono-cida pero conducida por el hom-bre. Otro autor, Negroponte, en su libro “Ser Digital. El ADN de la información”, hace una metáfora entre los bits y los átomos, se-ñalándonos de que estamos en una “era de la informática” en donde la digitalización de la in-formación “crea el potencial para que se originen nuevos conteni-dos a partir de una combinación nueva de las fuentes” y que esta gran cantidad de conocimientos (los bits) pueden ser guardados p o r t i emp o s i l i m i t a d o s (almacenamiento virtual), pero que aún dependemos de un sis-tema económico-industrial anti-guo que ocupa dinero y genera productos tangibles (los átomos). Por último, otro autor, Brunner, en su libro “Globalización y Pos-modernidad”, nos señala las ca-racterísticas de una nueva socie-dad postradicional o posmoder-na, en un mundo marcado “por la comunicación instantánea y or-ganizado en torno al uso intensi-vo de conocimientos”, como una sociedad de comunicación global, de explosivo traspaso de la infor-mación y aumento del conoci-miento, enfocada primordialmen-te en los procesos y no en la pro-ducción en serie de la antigua sociedad industrial. Si bien el paso a una nueva eta-pa es impredecible (tanto para la educación y la sociedad en gene-ral), todos los venideros sucesos

y sus posibles mejoras quedarán destinados irrevocablemente a la utilización adecuada del conoci-miento y a una confiable vía de comunicación. Así, la nueva so-ciedad o nueva forma de civiliza-ción tendrá que ser capaz de fil-trar y sintetizar toda esta infor-mación y conocimiento generado en extenso. Por ejemplo, la im-portancia que el computador e Internet generan no es precisa-mente su pertenencia (lo tangi-ble), si no, su valiosa capacidad virtual de almacenamiento y transmisión (lo virtual). En educación, las metodologías de enseñanza están en transfor-mación, en un proceso evolutivo que supone optimización, utili-zando para ello las nuevas tecno-logías de la comunicación e infor-mación (NTIC). En Chile, dichas tecnologías están siendo incorpo-radas e implementadas en cole-gios y universidades con el fin primario de incentivar al estu-diante con clases más dinámicas y participativas, utilizando me-dios tales como el computador e Internet, motivando al joven es-tudiante para estudiar y com-prender el potencial de la utiliza-ción adecuada de las herramien-tas de la informática. Obviamen-te, esta transformación y cambio no surge de la noche a la maña-na y siempre estará enfrentada a diversas fallas y en continuo per-feccionamiento, principalmente por parte de los docentes. Es aquí, entonces, donde el trabajo docente juega un papel funda-mental en encontrar el equilibrio entre cantidad y calidad de la información recibida, digerida y entregada a los alumnos para lograr así una formación integral de los estudiantes a través de la cual obtengan los conocimientos y herramientas necesarias para afrontar estos cambios y proce-sos sociales que están sucedien-do y que están por venir.

REFLEXIONES

REFLEXIONES

Para aprender matemática es ne-cesario emplear nuestra mente, esta afirmación puede parecer un tanto redundante, pero como ve-remos no es sin embargo una afirmación intrascendente. Pensamos con nuestra mente, pensamos con las neuronas que existen en nuestro cerebro, el estado de salud de las neuronas se relaciona evidentemente con su adecuado funcionamiento. Por ejemplo si el tejido neuronal no está adecuadamente oxigena-do, no podrá el estudiante con-centrarse en cálculo complejos como los que normalmente apa-recen en los estudios matemáti-cos. La oxigenación del cerebro de-pende de nuestra respiración, es decir de la manera como respira-mos. Si nuestra respiración es superfi-cial, generalmente toráxica, es posible que el nivel de oxígeno en el tejido cerebral no sea el óptimo o el necesario. Si nosotros esta-mos algunas horas o toda una mañana, sentados frente a un pupitre, agachados o con la co-lumna vertebral curvada, reali-zando una mínima ventilación pulmonar, durante todo ese tiem-po tendremos una gran acumula-ción de CO2 en nuestros tejidos. Estas reflexiones no tienen ni pretenden tener el carácter de un informe científico, y, aunque he buscado información más técnica por ejemplo del grado de oxige-

nación de los tejidos de estudian-tes que están de 4 a 8 horas sentados inmóviles en las sillas de las salas de clases, no la he encontrado. Pero el “sentido común” que tantas veces auxilia a los científicos, aunque otras tantas los lleva por caminos equi-vocados, parece indicar que si alguien está en gran parte in-móvil, también esta inmóvil su sistema abdominal y toráxico y por consiguiente su nivel de ven-tilación pulmonar se ha reducido. No sería muy extraño que algu-nos de los estudiantes que “padecen” de déficit atencional en los colegios y universidades, más bien padezcan de falta de oxige-nación en sus cerebros como con-secuencia de un estado de inmo-vilidad prolongado. Es necesario aprender a respirar sobre todo cuando uno se en-cuentra sentado por largos perío-dos, trabajando en temas científi-cos por ejemplo; la respiración está también relacionada con una adecuada postura del cuerpo físi-co, en particular con la posición erguida, es decir con la columna vertebral derecha. Eso permite abrir el pecho y poder respirar más ampliamente. Si el estudiante se sienta o mejor dicho se echa en su silla, lo más probable es que lentamente la falta de oxígeno lo lleve a dormi-tar o derechamente a dormirse. Esa actitud tal vez el profesor la interprete como “falta de interés” aunque en verdad sea solamente un hábito inadecuado de sentar-se. Por consiguiente sería altamente conveniente para mejorar los ni-veles de rendimiento en matemá-tica u otras disciplinas, poner atención en esta variable relacio-nada directamente con la salud del estudiante. Es así como un programa de me-joramiento de los hábitos

posturales y de respiración podrían contribuir a mejorar los rendimientos de los estudiantes. Además de la respiración, la mente se puede ver influida por diversos pensamientos que pue-den alterar su estado emocional o el estado de funcionamiento de los procesos de razonamiento (hemisferio izquierdo) y de los procesos intuitivos (hemisferio derecho). Parece necesario en-tonces tomar atención también a esta variable. Una mente desor-denada y confusa, tal vez con muchos miedos y temores, es muy poco probable que se pueda concentrar en un problema abs-tracto. Además de ayuda para aprender a respirar y a sentarse correcta-mente, el estudiante necesita ayuda para llevar su mente a un estado de paz y equilibrio que le permita atender y concentrarse en temas complejos y abstractos. Estos procesos parecen al sentido común, muy previos para iniciar cualquier trabajo académico, y sin embargo son ignorados o po-co valorados en los sistemas tra-dicionales de enseñanza. ¿Tendrá esto que ver con los muy bajos niveles de aprovecha-miento educacional que revelan las mediciones que realizan pe-riódicamente el Mineduc y las Universidades?, porque eviden-temente es más fácil medir que programar acciones remediales. En algunos Centros Educaciona-les esto se está empezando a comprender y es así como en la Universidad Austral de Chile, se están realizando Talleres que tratan estos problemas desde el año 2008, es una buena noticia y un caminar en la dirección co-rrecta. Solamente falta cuantificar y obtener información objetiva so-bre resultados, esperamos cum-plir pronto esa etapa.

Luis Castro Haase

3

ABACOM Boletín Matemático

EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA Y EL ESTADO DE TU SALUD

MA Y O 2 0 0 9

4

TRIGONOMETRÍA La trigonometría estudia relaciones entre lados y ángulos en un triángulo. En ABACOM N° 11 se esbozó la historia de esta disciplina matemática y se vieron algunos de sus principales resultados. Durante este año, en esta sección se hará un desarrollo un poco más extenso y se darán al-gunas aplicaciones.

MEDIDAS ANGULARES Para medir ángulos usaremos dos sistemas de medición: Grados y Radianes. Un grado (sexagesimal) es la medida de un ángulo central de una circunferencia que subtiende un arco de longitud 1/360 de la circunferencia. Un grado se divide en 60 par-tes iguales llamadas minutos y un minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Un ángulo de medida a grados, b minutos y c segundos se anota: a ° b ’ c ’’. Un radián es la medida de un ángulo central de una circun-ferencia que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. La medida en radianes de un ángulo es el número de radianes contenido en ese ángulo. En este sistema, la medida de un ángulo es anotada por un número (la unidad está implícita). Así, cuando hablamos de un ángulo de medida 1,5, debemos entender que su medida en radianes es 1,5 (o sea 1,5 radianes), esto es, el ángulo cen-tral subtiende un arco de medida una vez y media el radio. Veamos la relación entre grados y radianes: Si un ángulo tiene medida θ° (en grados) y θ r (en radia-nes), entonces: Así por ejemplo: los ángulos de medidas 30º, 45º, 60º, 90º y 180º corresponden a π/6, π/4,π/3,π/2 y π radianes, respectivamente.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS AGUDOS Consideremos un triángulo rectán-gulo ABC, con ángulo recto en C y α uno de sus ángulos agudos. La hipotenusa (HIP.) es AB. Llamamos cateto opuesto al ángulo

α (C.O.) al segmento BC y cateto adyacente (C.A.) al seg-mento AC. Las funciones trigonométricas para el ángulo α se denominan seno de α, coseno de α, tangente de α, cotangente de α, se-cante de α y cosecante de α y se definen por: (Usando semejanza de triángulos se prueba que esta defi-nición depende sólo de α y no del tamaño del triángulo). Se verifican las identidades trigonométricas básicas: Identidades Pitagóricas:

Identidades Recíprocas:

Identidades de la Tangente y Cotangente:

Se cumplen las desigualdades: 0 < senα < 1; 0 < cosα < 1; secα > 1; cscα > 1.

Todo lo anterior es análogo si el ángulo α es reemplazado

por el ángulo agudo β. Como α + β = 90°, entonces:

Se demuestra que: En los problemas de aplicación se usan los conceptos: Ángulo de elevación: ángulo entre una recta horizontal y la visual a un objeto que está sobre la horizontal. Ángulo de depresión: ángulo entre una recta horizontal y la visual a un objeto que está bajo la horizontal.

Víctor Alvarado Alvarado

o r

oθ θ

π=

180 rad

;αC.O.

sen =HIP.

;α =C.A.

cosHIP.

;α =C.A.

cotC.O.

.αHIP.

csc =C.O.

;α =C.O.

tanC.A.

;α =HIP.

secC.A.

;α α+ =2 2se n c o s 1 ;α α=2 21 + tan se c .α α=2 21 + cot csc

;α α=csc 1/sen ;α α=sec 1/cos .α α=cot 1/tan

;α

αα

=sen

tancos

.α

αα

=cos

cotsen

( ) ;ºα β α= = −sen cos cos 90

( ) .ºα β α= = −csc sec sec 90( ) ;ºα β α= = −sec csc csc 90( ) ;ºα β α= = −tan cot cot 90

( ) ;ºα β α= = −cos sen sen 90

( ) ;ºα β α= = −cot tan tan 90

;cos45º = 2/2

/ ;sen60º = 3 2 ;cos60º = 1/2 .tan60º= 3

;sen30º = 1/2 ;cos30º = 3/2 ;tan30º = 3/3

;tan45º= 1;sen45º = 2/2

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS AGUDOS

5

ABACOM Boletín Matemático

Luis Véliz Matus ESCENA 3D Y RENDERINGESCENA 3D Y RENDERINGESCENA 3D Y RENDERING

En las anteriores ediciones de ABACOM, hemos comentado sobre qué es una imagen digital, cómo se pinta una línea recta y que son las mallas poligonales. En esta ocasión explicaremos el concepto de escena 3D y su relación con lo que ya conocemos. Una escena 3D es un espacio virtual que tiene ciertas caracterís-ticas como: la proyección, que puede ser ortogonal o en pers-pectiva y el volumen de visualización, que son las dimensiones de la escena y las cuáles, en palabras simples, pueden ser tan grandes como la memoria del computador. Recordemos que todos estos atributos y objetos finalmente son datos binarios que se deben almacenar antes de poder “pintarlos” en la pantalla. También, para formar una escena, se deben insertar algunos objetos importantes. Se necesitan modelos 3D, una fuente de iluminación y una cámara.

Los modelos 3D en general se construyen en base a mallas poli-gonales (conjunto de vértices, aristas, caras). Estos objetos de-ben insertarse en la escena en una posición, la cual se define mediante un vector de 3 dimensiones (x,y,z). A los modelos también podemos agregarles otros atributos (que revisaremos en las próximas ediciones) como texturas o materiales. La fuente de iluminación es necesaria para poder visualizar a los objetos como objetos tridimensionales, es decir, para poder calcular sombreados o zonas de los objetos que deban colorear-se de acuerdo a factores como: dónde está ubicada la fuente de luz y con qué intensidad está alumbrando. Por lo anterior es que se debe definir una posición para la fuente de luz. La cámara es necesaria para poder “capturar la imagen”, es

decir, para transformar las coordenadas (x,y,z) del objeto en la escena a coordenadas (x,y) en la pantalla, esto se hace mediante proyección de vectores. Para lo anterior es muy importante saber: la posición de la cámara, hacia dónde está “mirando” la cámara y su inclinación relativa respecto del suelo (o plano horizontal).

El conjunto de toda la información que describe cada uno de los objetos de la escena se entrega como entrada a un proceso llamado Rendering, en el cual se calcula el color de cada pixel de la imagen “que tomó la cámara”. El valor final de cada pixel depende de cómo estén ubicados los objetos y cuáles sean los valores de sus atributos. Además en el Ren-dering se pueden incorporar muchas técnicas especiales que son capaces de simular los comportamientos de la luz casi como en la vida real, lo cual provee fotorealismo a la ima-gen final.

EJEMPLOS: 1) ¿Cuántos radianes mide un ángulo de 75°? ¿Cuántos grados mide un ángulo de 3π /8 radianes?

Solución: De acuerdo a la relación dada antes tenemos:

Luego: el ángulo de 75° mide Análogamente:

Luego: el ángulo de 3π/8 radianes mide 67° 30’. 2) Desde un punto A del plano, el ángulo de elevación de

una colina de 3.300 pies sobre el nivel del plano, es de 60º. Un globo asciende verticalmente desde A con ve-locidad constante; después de 5 minutos el ángulo de elevación de la cima de la colina desde el globo es de 30º. Encontrar la velocidad con que asciende el globo. Solución: Sean x la diferencia entre altura de la colina y la altu-ra que ha ascendido el globo e y la distancia entre A y el pie de la cima de la colina.

Entonces:

Así, el globo asciende 3.300 – 1.100 = 2.200 pies en cinco minutos, y por tanto, su velocidad es de 2.200/5 pies/min., esto es, 440 pies/min.

3) Demostrar la identidad

Solución: (Para demostrar una identidad se debe partir de uno de los miembros de la igualdad y mediante identidades trigonométricas básicas y desarrollos algebraicos obte-ner el otro miembro). Partimos del miembro del lado izquierdo:

o

o π=

75 x

180 rad⇒

75π 5πx = rad = rad.

180 12

5π/12 rad.

x (3π/8)rad=o180 π rad

⇒i(3π/8)rad 180°

x = = 67,5° = 67° 30'π rad

tan30º=x/y

tan60º=3.300/y⇒ = ⇒

x 3.300

tan30º tan60º

α α α

α α α

sen tan sec+ +

cos cot csc

α

α α α

αα

α α

==

sen 1sen cos cos+ +

cos 1cossen sen

α α α

α

22sen cos + sen= 2cos

α

α

2cot + 1= 2cot

α α α

α αα

2sen sen sen= + +2co s co sco s

α α α α

α α α α

sen tan sec 2cot + 1+ + = 2cos cot csc cot

⇒3.300×tan30º

x =tan60º

3.300 × 3/3= = 1.100 pies.

3

Cámara

Fuente de luz

Objeto

Imagen Renderizada

Niels Henrik Abel, Matemático noruego, nació el 5 de agosto de 1802, y murió el 6 de abril de 1829. Hijo de un pastor pro-testante, creció en un ambiente familiar de gran tensión, a causa de las tendencias alcohólicas de su padre. Su precoz capa-cidad para la matemática fue muy apre-ciada por uno de sus profesores, Bernt Holmboe (1795-1850), quien lo incentivó a resolver problemas de álgebra y de geo-metría. Desde entonces Abel se consagra a las matemáticas con la pasión más ar-diente. Mediante becas que obtuvo del gobierno noruego pudo visitar los centros matemá-ticos más importantes de Europa. En

agosto de 1825 emprendió el viaje al ex-tranjero, llevando consigo una memoria sobre Integrales Abelianas. Pero sufrió enormes decepciones, primero en Alema-nia donde Gauss calificó de “monstruosidad” su trabajo y en Francia, Cauchy y Legendre, no le prestaron la debida atención, y extraviaron el manus-crito. Al enterarse de su pérdida, Abel lo redactó de nuevo y se lo presentó a Jaco-bi, quien sí le dio la importancia que me-recía. Al hacerse públicos los aconteci-mientos acaecidos con la memoria de Abel, se produjo tal revuelo que hasta dio lugar a una reclamación diplomática, por parte del gobierno noruego. En 1830 la Academia de Ciencias de París le conce-dió, junto a Jacobi, el Gran Premio de Matemáticas, pero Abel ya había falleci-do. No acabaron ahí las peripecias, pues cuando se elaboraban, en la década 1870 – 1880, la publicación de las obras com-

pletas de Abel se encontraron, para colmo de sorpresas, con que el manuscrito se había perdido nuevamente. Finalmente fue localizado en 1952. Aunque desde hacía tiempo Abel padecía tuberculosis, ésta se agravó en la Navidad de 1827 cuando viajó en trineo a Fröland para ver a su novia Cristina Kemp, em-pleada allí como institutriz. A principios de 1829 empeoró, falleciendo el día 6 de abril. Tenía 26 años y ocho meses. Dos días después de su muerte, en una carta le anunciaban que la Universidad de Berlín le ofrecía una cátedra. Muchos honores le han conferido a Abel, entre ellos figuran: un cráter lunar lleva su nombre, una calle en París se denomi-na rue Abel, y una estatua del escultor Gustav Vigeland fue erigida, en 1908, en el Royal Park de Oslo. El Premio Abel fue instituido el año 2002, bicentenario de su nacimiento.

6

El genio incomprendido

Cuando Abel tenía sólo 16 años, leyendo textos de grandes matemáticos, se dio cuenta que Euler sólo había demostrado el Teorema del Binomio (ABACOM N° 8) para potencias racionales; él lo demostró para el caso general, esto es para potencias reales e imaginarias. Fue el primero en demostrar la imposibilidad de resolver, usando radicales, ecuaciones de grado superior a 4 (ABACOM N° 4). En Análisis fue el creador, junto a Jacobi, de la Teoria de las Funciones Elípticas. Un concepto que se ha heredado de Abel y que forma parte de nuestros programas de estudio es el de Grupo Abeliano. Un Grupo es una estructura formada por un conjunto G y una operación * en G, que cumple:

Asociatividad: ∀ a, b, c ∈ G , a * (b * c) = (a * b) * c

Neutro: ∃ e ∈ G / ∀ a ∈ G, a * e = a ∧ e * a = a.

(e se denomina elemento neutro de la operación *)

Inverso: ∀ a ∈ G, ∃ a’∈ G / a * a’ = e.

(a’ se denomina inverso de a , respecto de la operación *) Un grupo se llama Grupo Abeliano (o Grupo Conmutati-vo), si además satisface la propiedad:

∀ a, b ∈ G , a * b = b * a.

Una gran cantidad de conceptos y propiedades llevan el “apellido” de abeliano(a)s, debido al aporte de este gran matemático. Entre ellos tenemos: Álgebra Abeliana, Categoría Abeliana, Función Abeliana, Integral Abeliana, Variedad Abeliana, entre otros. Todos estos conceptos corresponden a ramas de la matemática que no son elementales como Teoría de Grupos, Variable Compleja, Geometría Diferencial, etc. y por tanto no podemos desarrollarlos acá, pero para los alumnos que decidan seguir el maravilloso camino de las matemáti-cas, posiblemente en un futuro cercano estarán trabajan-do con estos conceptos.

Los Grupos Abelianos y la herencia de Abel

MA Y O 2 0 0 9

Abel fue un genio incomprendido. Tuvo que salir de su tierra para contactarse con los grandes matemá-ticos europeos, sin conseguir que le reconocieran sus méritos sino hasta después de su muerte. Aun-que sólo alcanzó a vivir 26 años, sus aportes en di-ferentes ramas de la Matemática como el Álgebra y el Análisis lo sitúan entre los más notables ma-temáticos de la historia.

Juan Leiva Vivar

7

ABACOM Boletín Matemático

El Premio Abel es un galardón anual otorgado por el Rey de Noruega a un matemático destacado. El gobierno noruego creó el Premio Abel en el año 2002, en el bicentenario del nacimiento del matemático noruego Niels Henrik Abel. Sin embargo ya en 1897 Sophus Lie propuso la crea-ción del Premio Abel, cuando se enteró de que Alfred Nobel no tenía intención de crear un premio de matemáticas. El rey Oscar II accedió a financiar un premio de matemáticas en honor de Abel, sin embargo, la disolución de la Unión entre Noruega y Suecia en 1905 desbarató el pri-mer intento de crear el Premio Abel. En abril de 2003 se otorgó por pri-mera vez a Jean-Pierre Serre. La Academia Noruega de las Ciencias y las Letras otorga cada año el premio Abel, que tiene una recompensa económica de 770.000 Euros, semejante a la del Premio Nobel, que no otorga ningún galardón a los matemáticos. Este premio sustituirá a la Medalla Fields (ver ABACOM N° 20), que se entregaba cada cuatro años, como el premio de matemática más impor-tante del mundo. PRIMER GALARDONADO

El primer galardonado, en 2003, fue el francés Jean-Pierre Serre, quien es conside-rado uno de los más grandes matemáticos vivos, representante de la muy importante escuela francesa. Serre obtuvo el doctorado en la Universidad de París en 1951, ahora es profesor en el Collège de France. Desde muy joven fue una figura destacada de la escuela de Henri Cartan. Trabajó en topología algebraica, varias variables com-plejas y más tarde en álgebra conmutativa y geometría algebraica. Entre sus contribuciones más originales se encuentran: el concepto de K-teoría alge-braica, la representación de Galois, la teoría de la cohomología l-adica, y la conjetura de

Serre sobre representaciones módulo-p. Serre también fue premiado con la Medalla Fields a los 28 años de edad, siendo el premiado más joven hasta el día de hoy. También ha obtenido el Premio Steele (1955), el Premio Balzan (1985) y el Premio Wolf de Matemáticas (2000). TODOS LOS GANADORES DEL PREMIO ABEL

2003: Jean-Pierre Serre (Francia)

2004: Michael F. Atiyah (Inglaterra) y Isadore M. Singer (U. S. A.)

2005: Peter D. Lax (Hungría)

2006: Lennart Carleson (Suecia)

2007: S. R. Srinivasa Varadhan (India ).

2008: John Griggs Thompson (U. S. A.) e Jacques Tits (Francia)

2009: Mikhail Leonidovich Gromov (Rusia - Francia )

EL PREMIO ABEL

El día 26 de Marzo pasado se anunció en Oslo, por parte del presidente de la Academia Noruega de Ciencias y Le-tras, que el Premio Abel 2009 era con-cedido a Mikhail Leonidovich Gro-mov.

En el presente año 2009, el Premio Abel ha sido concedido al matemático ruso-francés Mikhail Leonidovich Gromov de 65 años, del Institut des Hautes Études Scientifi-ques (Francia), "por sus revolucionarios aportes a la Geometría". Gromov recibirá el premio de ma-nos del Rey Harald de Noruega, en una ceremo-nia que tendrá lugar en Oslo el 19 de Mayo próximo. Este genio matemático, considerado uno de los grandes matemáticos de nuestro tiempo, es co-nocido por sus importantes trabajos en muchas áreas de las matemáticas, en especial en geo-metría, donde ha aportado ideas sumamente originales que han abierto nuevas perspectivas. Para el Comité Abel, “Gromov piensa constante-mente en nuevas ideas para resolver problemas que llevan mucho tiempo sin solución. A lo largo de su carrera ha sido autor de obras originales y profundas, y ha mostrado ser extraordinariamen-te creativo. Los trabajos de Gromov seguirán siendo fuente de inspiración para futuros descu-brimientos matemáticos”. Mikhail Leonidovich Gromov nació en 1943 en Boksitogorsk (URSS). Estudió en la Universidad de Leningrado hasta el grado post-doctoral. Des-de 1982 es profesor permanente del Institut des Hautes Études Scientifiques, y actualmente ocu-pa también la cátedra Jay Gould de Matemáticas en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas, en la Universidad de Nueva York. Es ciudadano francés desde 1992. Ha recibido numerosos galardones internaciona-les, entre ellos: el Premio Wolf (1993), el Premio Leroy P. Steele (1997), la Medalla Lobatchewski (1997), el Premio Balzan (1999) y el Premio Kyoto de Ciencias Básicas (2002). Es miembro extranjero de la Academia Nacional de Ciencias de EEUU y de la Academia Americana de Artes y Ciencias, y miembro de la Academia Francesa de Ciencias.

Premio Abel 2009 MIKHAIL LEONIDOVICH GROMOV

MA Y O 2 0 0 9

8

ELEMENTOS BÁSICOS DEL ESTUDIO DE LA ESTADÍSTICA

La estadística es un potente auxiliar de muchas cien-cias y actividades humanas: sociología, psicología, geografía humana, economía, etc. Siendo una herra-mienta indispensable para la toma de decisiones. Breve reseña histórica Los comienzos de la estadística pueden ser hallados en el antiguo Egipto, cuyos faraones lograron recopi-lar, hacia el año 3.050 a. C., prolijos datos relativos a la población y la riqueza del país. En el antiguo Israel la Biblia da referencias, en el libro de los Números, de los datos estadísticos obtenidos en dos recuentos de la población hebrea. El rey Da-vid por otra parte, ordenó a Joab, general del ejército hacer un censo de Israel con la finalidad de conocer el número de la población. Estadística Es el conjunto de técnicas y procedimientos que per-miten recoger datos, presentarlos, ordenarlos y anali-zarlos, de manera que a partir de ellos se puedan sa-car conclusiones. Podemos clasificar la Estadística en Descriptiva e Inferencial. Estadística Descriptiva: Consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas y gráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada para resumir o describir los mismos sin factores perti-nentes adicionales; esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos, como tales. Ejemplo: Promedio de notas de un alumno en la asig-natura de Artes Visuales. Estadística Inferencial Apoyándose en el cálculo de probabilidades y a partir de un conjunto de datos, efectúa estimaciones, deci-siones, predicciones u otras generalizaciones a un conjunto mayor de observaciones. Debido a que las poblaciones son muy grandes o dispersas, sumado a esto problemas de tiempo o económicos, hacen que analizar toda la población sea muy difícil. Ejemplo: Dicen los estadisticos que una gran parte de los hombres a los cuales la justicia debe llevar a la cárcel por maltratadores, fueron en su infancia niños maltratados, y de ahí deducen los psicólogos que en-tre los actuales niños maltratados están la mayoría de los futuros maltratadores.

Definiciones y conceptos básicos Individuo o Elemento: Persona u objeto que contie-ne cierta información que se desea estudiar. Población: Conjunto de elementos que tienen ciertas características comunes. Muestra: Es un conjunto de individuos de la población que refleja las características de ésta lo mejor posible (subconjunto representativo). Parámetro: Función definida sobre los valores numé-ricos de características medibles de una población. Estadístico: Función definida sobre los valores numé-ricos de una muestra. Una variable , denotada X, Y, A, B, etc., es cualquier característica susceptible de adquirir distintos valores o modalidades. Estas se pueden clasificar en cualitati-vas y cuantitativas: Variables cualitativas o atributos: no se pueden medir numéricamente (por ejemplo: nacionalidad, co-lor de la piel, sexo). Variables cuantitativas: tienen valor numérico (edad, precio de un producto, ingresos anuales). Por su parte, éstas se pueden clasificar en: Discretas: sólo pueden tomar valores enteros (1, 2, 8, -4, etc.). Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc., pero nunca podrá ser 3,45). Continuas: pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo. Por ejemplo, la velocidad de un vehí-culo puede ser 80,3 km/h, 94,57 km/h, etc. Tipo de muestreo Se llama de esta forma a la manera de seleccionar las muestras en estudio. Muestreo Probabilístico: Basados en procesos aleatorios. Muestreo Aleatorio Simple: Todos los elementos tiene la misma probabilidad de ser seleccionados. Muestreo estratífico: La población se divide en estra-tos o clases (sexo, edad, clase social, etc.), luego de esto se aplica a cada uno de los estratos un muestreo aleatorio, en forma proporcional. Muestreo Sistemático: Consiste en dividir el total de elementos de la población por el total de la muestra y seleccionar individuos que ocupan un mismo lugar.

El segundo tipo es el Muestreo no Probabilístico, sobre el cual estás invitado a investigar.

Danilo Díaz Levicoy

9

ABACOM Boletín Matemático

Juegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos MatemáticosJuegos Matemáticos

Pídele a un(a) amigo(a) que piense un número de tres cifras distintas, haz que lo escriba en orden inverso (es decir inter-cambiando las cifras de las centenas y unidades), y que reste el mayor me-nos el menor. Luego le pides que te diga la cifra de las unidades del resultado obtenido. Sólo con ese dato adivinas el valor de la resta. ¿Crees que es posible?

Solución : Supongamos que el número pensado es a b c (con a > c) que se expresa como: 100a + 10b + c. En orden inverso resulta: 100c + 10b + a,

y la resta es: (100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = 100(a – c) –(a – c) = 99(a – c). Así el resultado es siempre un múltiplo de 99 (es decir 99 por un número de 1 a 9). Estos múltiplos de 99 son: 99 X 1 = 99; 99 X 2 = 198; 99 X 3 = 297; 99 X 4 = 396; 99 X 5 = 495; 99 X 6 = 594; 99 X 7 = 693; 99 X 8 = 792; 99 X 9 = 891. Se observa que estos múltiplos tienen dos características: la cifra de las decenas es siempre 9 y la suma de las unida-des y las centenas es 9. Así que basta conocer la cifra de las unidades para adivi-nar la resta. Por ejemplo : Si se piensa el número 743, la resta con el inverso es 743 – 347 = 396. Así, conociendo la cifra de las unidades, es decir 6, se sabe que la cifra de las centenas es 3 (pues 3 + 6 = 9) y como la cifra de las decenas es 9, entonces la resta es 396.

ANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICASANÉCDOTAS MATEMÁTICAS

Srinivasa Ramanujam (1887 - 1920) fue un genio matemático indio práctica-mente autodidacta. Durante 5 años trabajó en Cambridge con el matemático inglés Godfrey Harold Hardy. Cuan-do Ramanujam enfermó, Har-dy solía visitarlo en el hospi-tal en el que se encontraba. Un día al llegar Hardy le co-mentó a Ramanujam: – El taxi que me ha traído tenía un número bastante so-so, el 1.729. La respuesta de Ramanujam fue: – No Hardy, es un número muy interesante. Es el más pequeño de los números que se puede expresar como la suma de 2 cubos de dos maneras distintas:

1.729 = 93 + 103 = 13 + 123

1.729, UN NÚMERO INTERESANTE

ADIVINA LA RESTA

Thales (600 a. C.) fue el fundador de la escuela jónica y su figura más importante. Vivió alrededor del año 600 a. C. en la ciudad de Mileto, se le considera uno de los “siete sabios” de la antigüedad y el padre de las matemáticas demostrativas y por tanto el primer matemático del que se tiene noticia. Se tienen pocos da-tos biográficos de él. El biógrafo Plutarco (siete siglos después) cuenta que cuando su contemporáneo Solón le pre-guntó por que no se había casado, Thales le organizó una broma cruel haciendo que un mensajero le anunciara que su hijo había muerto. Según Plutarco, Solón comenzó a golpearse la cabeza y a hacer y decir todo lo que ordinariamente hacen las personas invadidas por el dolor. Entonces Thales le tomó del brazo y dijo con una sonrisa: “Estas cosas Solón, son las que me impi-den casarme y criar hijos, pues son demasiado grandes para ser soportadas incluso por personas de gran virtud como tú; pero no te preocupes por esa noticia,… la acabo de inventar”.

THALES DE MILETO, EL SOLTERO

MA Y O 2 0 0 9

10

LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Los Números Reales se dividen en dos tipos que son excluyentes: Números Racionales y Números Irra-cionales. Los Números Racionales son aquéllos que se expresan como una fracción con numerador y deno-minador números enteros, y denominador no cero; también pueden expresarse en forma decimal como decimal finito (es decir con un número finito de ci-fras decimales) o decimal infinito periódico (es decir con infinitas cifras decimales, pero un grupo de ellas se repiten indefinidamente). Por ejemplo: Los Números Irracionales son los números reales que en su forma decimal tienen infinitas cifras deci-males y no son periódicos, es decir no existe un gru-po finito de cifras que se repiten indefinidamente. Los ejemplos más típicos de números irracionales son

las raíces que no son exactas (y combinaciones de

ellas), por ejemplo: , pero son racio-

nales: .

También son irracionales los conocidos números:

π = 3,141592654..., e = 2,718281828… y combina-ciones de ellos. Además se pueden formar números irracionales muy fácilmente, basta definir un decimal con infinitas cifras decimales, pero que no sea perió-dico, por ejemplo: 1,101001000100001000001… A continuación presentamos algunos chistes gráficos que tienen que ver con números irracionales, espera-mos que se entiendan y los disfruten.

LA FIESTA DE LOS IRRACIONALES

Uno de los números irracionales más importan-tes es e (ABACOM N° 4). Una aproximación con 32 cifras decimales es: 2,71828182845904523536028747135266 A continuación presentamos, como curiosi-dad, un poema que permite recordar esta aproximación de e. (Cada dígito correspon-de al número de letras de cada palabra, los

ceros corresponden a los puntos.)

El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago pero podré acordarme. Será fácil si leo todas las frases. La repetida canción será cantada y así verás el número bribón

¿CÓMO RECORDAR EL NÚMERO e ?

2 13= 0, 4; = 0,0131313... = 0,0135 990

3 52, 26, 31 32209 = 47, 343 =7

Somos los irracionales los que más cifras tenemos, aunque algunos adoptemos chulas formas radicales.

¿Ha venido el número e?

Pero… ¿por qué no? ¡Si es uno de los irra-cionales más famo-

sos que existen!

¡QUE SI HA VENIDO EL

NÚMERO e ! ¡Ah! ¿ e?. No le hemos invitado

¿eh?

¡Ya!... Bueno. ¡Qué le vamos a hacer! Aquí

tampoco le entenderían

Pues… porque nunca viene a las fiestas del Liceo. Sólo va a las de la

Universidad

11

ABACOM Boletín Matemático

Ley del paralelismo: Dos rectas paralelas se cortan en un punto siempre y cuando el punto sea lo suficientemente gordo. Teorema de la alineación: Tres puntos cualesquiera siempre están alineados. Demostración: Tómense los dos puntos más cercanos y trácese la recta que pasa por ellos. Luego conforme va extendiendo la recta para intentar alcanzar el tercer punto, si se ve que no va a pasar por él, modifíquese, lo más sutilmente posible, la dirección de la recta hasta conseguir que efectivamente pase por él. (Este teorema también es conocido como el "Teorema de la recta astuta". Es muy útil para trazar rectas en la pizarra.) Leyes del triángulo rectángulo: Al dibujar un triángulo rectángulo en la pizarra, la probabili-dad de dibujar bien el ángulo recto es muy pequeña. Si además el triángulo se dibuja poniendo a la hipotenusa en la base, la probabilidad de que el ángulo encima de la hipotenusa salga recto es muchísima más pequeña. Una vez terminado el triángulo, la probabilidad de convencer a los alumnos de que es realmente rectángulo es prácticamen-te nula. Consejo para Profesores(as) de Geometría: Cuando quieras dibujar un triángulo rectángulo en la pizarra, dibuja un triángulo cualquiera y después continúa diciendo: "Supongamos que esto sea un triángulo rectángulo... " Alternativa: Búscate al profesor de dibujo y pídele prestados la regla y la escuadra.

LEYES Y TEOREMAS… . . . de la Matemática Entrete...

PROBLEMAS EDICIÓN N° 30 Problema 1: ¿Cómo será el rectángulo? Las medidas de los lados de un rectángulo son números enteros.

¿Cuánto deben medir los lados para que el perímetro y el área de este rectángulo sean iguales numéricamente?

Problema 2: Los dos obreros Dos obreros, uno viejo y otro joven, viven en un mismo departamento y trabajan en la misma fábrica. El joven demora desde la casa a la fábri-ca 20 minutos y el viejo 30 minutos.

¿En cuántos minutos alcanzará el joven al vie-jo, si éste sale de casa 4 minutos antes que el joven?

Te proponemos que descubras diez (10) palabras relaciona-das con Trigono-metría . Pueden en-contrarse en forma vertical, horizontal o en diagonal, de arri-ba hacia abajo (o viceversa), de iz-quierda a derecha (o viceversa).

Mi abogado dice que puedo procesar a la es-cuela por violar mi derecho a ser un ignorante...

ncursoConcursoConcursoConcursoCon

Viola García Paredes

SOPA MATEMÁTICA EDICIÓN Nº 30

E E M R A O N E S O

I T P A N C O T R E

R N N O L U G N A T

B A T E R I A E S N

U C A D G I O G O A

C E P A D N R N N C

A S I A L A A A E E

L Q R C D P S T S S

A U C O P I A Z O O

M E L O T E T A C C

Envía tus soluciones (indicando Nombre, Colegio y Curso) a A B A C O M A B A C O M A B A C O M A B A C O M Boletín Matemático Casilla 567 Valdivia · Fax (63) 293730

email: abacom@uach.cl Recepción de soluciones hasta el

10 de Julio de 2009

H U M O R

ciasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNo

12

Carolina Leiva Cádiz

MA Y O 2 0 0 9

DESCUBRE MATEMÁTICA CON INNOVACIÓN Y TECNOLOGÍA El proyecto “Descubre Matemática con Innovación y Tecnología” fue uno de los ganadores del concur-so de proyectos del Fondos de Desarrollo Institu-cional (FDI).

El proyecto lo desarrollará el Equipo Fractal, integrado por los alumnos de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería Víctor Aguilar (Ingeniería Civil en Obras Civi-les), Sebastián Briones (Ingeniería Civil

en Obras Civiles), Jonathan Oberrouter (Ingeniería Civil Acústica), y los profesionales Víctor Poblete (Master en Física, Instituto de Acústica), Patricia Concha (Antropóloga, Profesional de Apoyo) y Rodrigo Chávez (Ingeniero Civil en Electrónica, Difusión). La iniciativa va dirigida a estudiantes con habilidades para las ma-temáticas de 3° y 4° Medio de la comunidad de Valdivia y benefi-ciará a 52 alumnos en total. Uno de los talleres que se realizará es Fractales + Scilab/matlab, que pretende integrar la matemática con la aplicación a través de un software. La idea es usar un método de enseñanza basado en reso-lución de problemas (PBL). Víctor Aguilar , uno de los integrantes del Equipo Fractal indicó: “Esperamos aprender mucho con nuestros pares de hace unos años y a la vez entregar nuestra experiencias tanto en lo académico como en la vida universitaria. Al final del proyecto se espera que estos jóvenes puedan continuar con la iniciativa y que nos acompañen en futuros proyectos en la misma línea de responsabilidad social y educación o aprendizaje-servicio o que ellos mismos formen un grupo compacto en el cual puedan desarrollar sus ideas de la mejor manera, con todo el apoyo que este equipo les puede ofrecer”.

XXI OLIMPÍADA NACIONAL DE MATEMÁTICA

La Sociedad de Matemática de Chile ya ha hecho la invitación a participar en la Olimpíada de Matemática 2009. La Prueba Nacional será el día 22 de agosto en las diferentes sedes regionales y la Final Nacional, donde participan los seleccio-nados en la etapa anterior, será en Santiago los días 22 al 24 de octubre. Cada Liceo o Colegio debe enviar los nombres de los estudiantes que participarán antes del 22 de agosto al encargado regional e inscribirlos en la página de la Olimpíada ( www.olimpiadadematematica.cl ). Las bases y los nombres y direccio-nes de los encargados regionales se encuentran en la misma página web y las consultas pueden hacerse en olimpiadadematematica@gmail.com

BÚSQUEDA DE TALENTOS PARA INGENIERÍA

La Coordinadora del Programa de Bachillera-to en Ingeniería, profe-sora Lorena Díaz Parra nos informa que la Fa-cultad de Ciencias de la Ingeniería de la Univer-sidad Austral de Chile realizará, por segundo año el programa: Ta-lentos para Ingeniería ,

destinado a estudiantes de Enseñanza Media de los Establecimientos Municipalizados de Valdivia. El pro-grama se iniciará el viernes 8 de mayo a las 16:00 hrs con la clase magistral “El Universo Como Aventura” que dictará el Dr. Alfonso Zerwekh Arroyo, en el Auditorio de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería, Campus Miraflores. La profesora Díaz destaca entre los objetivos del pro-grama: “crear un nexo permanente entre los estableci-mientos educacionales de Valdivia y la Facultad de Ciencias de la Ingeniería y detectar a los estudiantes con aptitudes sobresalientes para el estudio de la In-geniería, fortaleciendo sus talentos a través de clases sistemáticas de las áreas de las Ciencias Básicas”. Se atenderá a 180 alumnos, en 4 cursos de 45 cada uno. Las características de los estudiantes que se se-leccionó para seguir este programa son: que tengan un promedio general 6,0 como mínimo, facilidad para el estudio de la Matemática y la Física e inclinación por el estudio de la Ingeniería. Los estudiantes podrán realizar uno de los cursos si-guientes: BAIN017 (Álgebra para Ingeniería , módulo del primer semestre), BAIN038 (Física I para Inge-niería , módulo del segundo semestre), ambos módu-los del plan del Bachillerato en Ingeniería. Al ingresar a la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la Universidad Austral de Chile, se le reconocerán los estudios cursados y aprobados.