FUNCIONES CUYA REPRESENTACIN GRFICA ES UNA PARBOLA (FUNCIONES CUADRTICAS)Las funciones cuya ecuacin esy = ax2+ bx + ccon a,b y c nmeros y a distinto de 0(el valor de b y c si puede ser 0)se llaman cuadrticas y se representan mediante parbolas con su eje paralelo al eje Y.

Estas parbolas son ms o menos abiertas y con las ramas hacia arriba o hacia abajo, segn cual sea el valor de a: Si a > 0, las ramas van hacia arriba. Si a < 0, las ramas van hacia abajo.

Adems cuanto mayor sea |a|, menos abierta esla parbola.

El eje de simetra de la parbola es la rectavertical que divide a sta en dos partes iguales.El vrtice de la parbola es el punto de corte de dicho eje con la parbola y tiene de coordenadas

El eje de simetra tiene por ecuacinEl punto de corte con el eje de ordenadas ser el (0,c), mientras que los puntos de corte con el eje de abscisas tendrn por abscisas las soluciones de la ecuacin ax2+ bx + c = 0 y por ordenada 0.Observar que la parbola siempre cortar al eje de ordenadas, pero al eje de abscisas puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.

Para representar una parbola primero se obtiene la abscisa y ordenada del vrticey luego se calculan la abscisa y ordenadade puntos prximos a l. De esta manera se obtiene la forma de la curva en su parte ms interesante.

Ejemplo

Vamos a representar la funcin cuadrtica de ecuacin y = 2x2- 4x + 5

1 Calculamos las coordenadas del vrtice. Como a = 2, b = - 4, c = 5,la abscisa del vrtice ser-(-4/2 2)=1, la ordenada del vrticese obtendr sustituyendo la abscisa en la x de la funcin:212 4 1 + 5 = 3.Con lo cual el vrtice tendr de coordenadas (1, 3) .

2 Determinamos puntos de la parbola a izquierda y derecha delvrtice, dando valores a x y obteniendo los correspondientesvalores de y, al sustituir la x en la funcin por esos valores.x-1023

y115511

3 Representamos grficamente esos puntos obtenidos en el plano y los unimos.El eje de simetra de la parbola tiene porecuacin x = 1. El punto de interseccincon el eje de ordenadas es el (0,5). Nose corta con el eje de abscisas porquela ecuacin 2x2- 4x + 5 = 0no tiene solucin.

Obtencin del vrtice de una parbolaEl vrtice de una parbola est situado en el eje de sta y, por tanto, su abscisa ser el punto medio de las abscisas de dos puntos de la parbola que sean simtricos.Como toda funcin cuadrtica pasa por el punto (0,c) y el simtrico de ste tiene de abscisa x = -b/a, la del vrtice serXv = -b/2a. La ordenadaYvse calcula sustituyendo el valor deXven la ecuacin de la funcin.

interseccin de la parbola con los ejes Interseccin con el eje OY:Como todos los puntos de este eje tienen la abscisa x = 0, el punto de corte de la parbola con el eje OY tendr de coordenadas(0,c) Interseccin con el eje OX:Como todos los puntos del eje OX tienen la ordenada y = 0, para ver estos puntos de corte se resuelve la ecuacin de segundo gradoax2+ bx + c = 0.Dependiendo del valor deldiscriminante (D)de la ecuacin, se pueden presentar tres situaciones distintas:i. SiD > 0, la ecuacin tiene dos soluciones reales y distintas yla parbola cortar al eje OX en dos puntos.ii. SiD = 0, la ecuacin tiene una solucin real y, por tanto,la parbola cortar al eje OX en un punto(que ser el vrtice).iii. SiD < 0, la ecuacin no tiene soluciones reales yla parbola no cortar al eje OXiv. Clculo de puntos de la parbolaPodemos hallar los puntos de la parbola que necesitemos sin ms que sustituir, en la ecuacin de la funcin cuadrtica, la variablexpor aquellos valores que deseemos.Principio del formularioFinal del formularioResumen

Toda funcin cuadrticaf(x) = ax2+ bx + c, representa una parbola tal que: Su forma depende exclusivamente del coeficienteade x2. Los coeficientesbyctrasladan la parbola a izquierda, derecha, arriba o abajo. Sia > 0, las ramas van hacia arriba y sia < 0, hacia abajo. Cuanto ms grande sea el valor absoluto dea, ms cerrada es la parbola. Existe un nico punto de corte con el eje OY, que es el(0,c) Los cortes con el eje OX se obtienen resolviendo la ecuacinax2+ bx + c=0, pudiendo ocurrir que lo corte en dos puntos, en uno o en ninguno. La primera coordenada del vrtice esXv = -b/2a..