resonnancia

Teora de los Circuitos I

Preparado por R. Gaston Araguas

20 de septiembre de 2006

Indice general

1. Fundamentos 5

1.1. Topologa de un circuito idealizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Ley de Kirchoff de las corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Ley de Kirchof de las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Resistencia - Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Autoinductancia - Ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Senales frecuentes 11

2.1. Senales de excitacion de uso frecuente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.1. Senales periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2. Senales pseudoperiodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.3. Senales aperiodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Parametros caractersticos de una senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3. Valores asociados a la amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1. Valor instantaneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.2. Valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3. Valor medio de modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.4. Valor maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.5. Valor pico a pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.6. Valor eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Regimen transitorio 15

3.1. Circuito RC con fuente constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3. Respuesta natural mas forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4. Escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5. Alimentacion con una fuente senoidal. Corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . 213.6. Circuitos con dos elementos que almacenan energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7. Solucion de Ec. Dif. de 2 orden homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.7.1. Raices reales y distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7.2. Raices reales e iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7.3. Raices complejas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. Regimen permanente 31

4.1. Calculo fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.1.1. Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Relacion tension-corriente fasorial armonica para R, L y C . . . . . . . . . . . . . 32

3

4 INDICE GENERAL

4.3. Fasor eficaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4. Aplicacion de fasores a la resolucion de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5. Impedancia y admitancia compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5.1. Conversion impedancia-admitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Unidad 6. Resonancia 39

5.1. Resonancia en un circuito serie RLC simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1.1. Variacion de la impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.1.2. Analisis de admitancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2. Sobretension en circuitos serie resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3. Resonancia de un circuito paralelo de 2 ramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6. Unidad 8. Laplace 47

6.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.1.2. Propiedades de la transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.1.3. Derivacion e integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.2. Aplicacion a la resolucion de circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.1. Funcion de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2.2. Circuito equivalente de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2.3. Respuesta al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.4. Teorema de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.2.5. Teorema del valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2.6. Teorema del valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7. Unidad 11. Teoremas 67

7.1. Teorema de reciprocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.2. Teorema de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

8. Apendices 69

8.1. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Captulo 1

Fundamentos

Cualquier problema electrico que utilize sanales que varan en el tiempo puede ser conpleta-mente resuelto usando la teora electromagnetica descripta por las ecuaciones de Maxwell. Estateora analiza los campos electricos y magneticos del problema, y la disposicion geometrica desus partes componentes. Pero:

1. si las dimensiones del circuito son suficientemente pequenas en comparacion con la longitudde onda de las senales, y

2. si ademas los funciones de disipacion y de almacenamiento de energa en forma de campoelectrico y magnetico, distribuidas a lo largo de todo el circuito, pueden ser reeemplazadaspor elementos idealizados de dos terminales, llamados resistencia, inductancia y cacitancia,que agrupan los efectos de disipacion y alamcenamiento de todo el circuito

entonces se puede aplicar la llamada Teora de los circuitos para su analisis y resolucion. Laprimera de estas condiciones implica que las tensiones y corrientes instantanes a lo largo de uncable sea constante para un determinado t, es decir que no haya diferencia debido al tiempo depropagacion de la onda electromagnetica. Para un sistema de 50Hz por ejemplo, puede aplicarse elmetodo con gran exactitud a circuitos de varios kilometros de longitud. En cambio a frecuenciasdel orden de los GHz, se debe utilizar la teora electromagnetica cuando la dimension de loscircuitos supera el cm

La teora de los circuitos se basa en la aplicacion de una serie de leyes, obtenidas de experi-mentos realizados sobre circuitos reales a lo largo de la historia, que relacionan las magnitudes detension y corriente en cada uno de los elementos constituyentes de un circuito. Los parametrosdistribuidos a lo largo del circuito real son reemplazados por resistencias, inductores y capacito-res con parametros concentrados, las conexiones se realizan con cables ideales y las fuentes dealimentacion se reemplazan por fuentes ideales de tension o corriente.

1.1. Topologa de un circuito idealizado

Para comenzar a estudiar los circuitos y las leyes que se utilizan en la Teora de los circuitos,es necesario formular las siguientes definiciones:

Rama es el fragmento de circuito electrico comprendido entre dos nodos.

Nudo o nodo es el punto donde concurren varias ramas de un circuito. Si concurren mas detres ramas se llama nudo principal.

5

6 CAPITULO 1. FUNDAMENTOS

Malla o lazo es el circuito que resulta de recorrer el esquema electrico en un mismo sentidoregresando al punto de partida, pero sin pasar dos veces por la misma rama.

1.2. Ley de Kirchoff de las corrientes

La ley de Kirchoff de las corrientes (LKI), tambien llamada ley de los nudos, afirma que lasumatoria algebraica de las corrientes en un nudo es igual a cero

nk=1

ik(t) = 0 (1.1)

entiendose por suma algebraica a la suma de cada parametro con su respectivo signo.Para representar una corriente se necesita una magnitud i mas una referencia como se muestra

en la fig. 1.1. La flecha indica el sentido positivo instantaneo que tendra la corriente en un tiempot dado, en el caso que la corriente real sea contraria a la direccion indicada por la flecha, lamagnitud representada por el parametro i sera negativa.

i1

i2

i3

i4

R

Figura 1.1: Ley de Kirchoff de las corrientes

Aplicando la LKI al nudo de la fig. 1.1 tomando positivas a las corrientes entrantes al nudotenemos:

i1 i2 + i3 + i4 = 0si por ejemplo i1 = 3A, i2 = 5A e i3 = 3A, entonces i4 debera ser negativa para cumplir con LKI

i4 = 3 + 5 3 = 1Alo que significa que por la rama 4 circula una corriente de 1 ampere de sentido contrario alindicaco por la flecha. La eleccion de los sentidos de referencias de las corrientes es arbitrario,pero debe tenerse cuidado de elegirlos al principio del analisis y luego respetarlos durante todoel desarrollo.

En efecto, si para el mismo problema elegimos las referencias como en la fig 1.2

i1

i2

i3

i4

R

Figura 1.2: Ley de Kirchoff de las corrientes

La ecuacion de la LKI sera

i1 i2 i3 i4 = 0

1.3. LEY DE KIRCHOF DE LAS TENSIONES 7

luego, al tratarse de las mismas corrientes, la i3 valdra 3A debido al cambio de referencia, y lai4 sera

i4 = 3 5 (3) = 1A

que, debido al cambio de referencia en i4, concuerda con el resultado anterior.

1.3. Ley de Kirchof de las tensiones

La ley de Kirchof de las tensiones (LKV), tambien llamada ley de las mallas, afirma que a lolargo de una malla la suma algebraica de todas las fuerzas electromotrices aplicadas es igual ala suma algebraica de todas las cadas de tension en los elementos pasivos. Se puede enunciar deforma mas general sin diferenciar entre fuerzas electromotrices y elementos pasivos diciendo quela suma algebraica de las diferencias de potencial a lo largo de una malla es cero

nk=1

vk(t) = 0 (1.2)

Recorriendo la malla de la fig. 1.3 en el sentido de la corriente i a partir del generador v1

v1 vR vL v2 = 0

tomando como positivas las subidas de tension.

v1 v2

vR vL

i

Figura 1.3: Ley de Kirchoff de las tensiones

Si las tensiones conocidas son v1 = 10V , vR = 4V y vL = 16V , despejando v2 de 1.3

v2 = 10V 4V 16V = 10V

el signo menos indica que el generador v2 tiene polaridad opuesta a la indicada por la referencia.Si se desea recorrer la malla en sentido contrario, o mas aun, si se toma arbitrariamente la

referencia de la tension en el inductor en forma contraria al caso anterior (ahora vL), obviamenteque se debe arribar al mismo resultado. En efecto, sean las referencias como en la fig. 1.4, lanueva ecuacion de equilibrio de la malla sera

v1 + v2 vL + vR = 0 (1.3)

donde por tratarse del mismo problema, los valores de tension son v1 = 10V , vR = 4V y vL =16V

Despejando v2 de 1.3 se tiene

v2 = 10V + (16V ) 4V = 10V

que coincide con el resultado obtenido anteriormente.


v1 v2

vR vL

i

Figura 1.4: Ley de Kirchoff de las tensiones

1.4. Resistencia - Ley de Ohm

El fisico aleman Gerog Ohm publico en 1826 que para casi todos los conductores ensayadosla caida de voltaje entre los extremos era mayor cuando mayor era la longitud del cable, y que asu vez era proporcional a la corriente, dando lugar a la conocida Ley de Ohm1.

Originalmente fue formulada en su version vetorial, que relaciona la densidad de corriente Jcon el campo electrico E mediante la conductividad del material

J = E (1.4)

Su forma simplificada para el uso en teora de los circuitos es

v = R i (1.5)

Esta ley es valida para todos los metales, el factor de proporcionalidad R se llama resistencia,se mide en ohms [] y depende de una propiedad del material llama resistividad (inversa de laconductividad ), de su longitud y su seccion A

R =

A(1.6)

1.5. Autoinductancia - Ley de Faraday

El cientfico estadounidense Joseph Henry mientras experimentaba con electroimanes noto queal circular corriente electrica por estos circuitos se produca un fenomeno similar a la cantidad demovimiento mecanico de los cuerpos en velocidad (p = Masa vel.), es decir que esa corrienteelectrica tenda a seguir circuilando de forma constante en el tiempo. Este fenomeno fue denomi-nado momento electrocinetico y se lo represneto con la letra

= L i (1.7)

la constante de proporcionalidad L, al igual que la masa M , es una caracterstica del circuito. Sedenomina autoinductancia y su unidad es el Henrio [H ].

Del mismo modo que para modificar la cantidad de movimiento p de un cuerpo se debe aplicaruna fuerza F , Henry encontro que para modificar el momento electrocinetico se debe aplicar unadiferencia de potencial, es decir

v =d

dt=

d(L i)

dt(1.8)

donde si L es invariante en el tiempo

v = Ldi

dt(1.9)

1Aunque se ha demostrado que en realidad esta ecuacion fue descubierta 46 anos antes en Inglaterra por HenryCavendish.

1.6. CAPACITANCIA 9

En forma independiente, en 1831 Michael Faraday desarrollo en Inglaterra su conocida teorade la induccion electromagnetica, en la cual utilizando el concepto de campo magnetico y lineasde flujo descubrio que al someter un conductor en un campo variable, o al cortar con este la laslneas de flujo del campo, se origina una circulacion de corriente. Por otro lado Heinreich Lenzcomprobo que la corriente tiende a mantener este flujo , es decir que se origina una fem inducidade signo opuesto a la variacion de flujo

E = ddt

(1.10)

por lo tanto el voltaje inducido, opuesta a la fem inducida sera

v =d

dt(1.11)

En el caso que el flujo magnetico sea producido por un arrollamiento de N espiras, la ecuacionanterior queda mutliplicada por N

v = Nd

dt(1.12)

Igualando los voltajes deducidos por Henry (ec. 1.9) y Faraday (ec. 1.12) se puede relacionarel momento electrocinetico con el flujo magnetico

v = Ldi

dt= N

d

dt

L i = N L = N i

(1.13)

1.6. Capacitancia

Captulo 2

Senales frecuentes

2.1. Senales de excitacion de uso frecuente

Las senales mas utilizadas en electronica se pueden clasificar teniendo en cuenta su variacionen el tiempo en constantes o variables. A su vez, segun la regularidad de su variacion temporal,se subdividen en periodicas, pseudoperiodicas y aperiodicas

Las senales variables se las representa utilizando letras minusculas como f(t), i(t) o v(t),mientras que para senales invariantes en el tiempo se utilizan letras mayusculas como A o I.

2.1.1. Senales periodicas

Una senal periodica es una senal tal que luego de ocurrir una serie de valores determinadosy en una secuencia dada, estos vuelven a repetirse de igual forma, ciclica e indefinidamente. Lafig. 2.1 muestra dos ejemplos de senales periodicas.

f(t)g(t)

tt 00

Figura 2.1: Senales periodicas

2.1.2. Senales pseudoperiodicas

En las senales pseudoperiodicas ciertos puntos se repiten ciclicamente en el tiempo, perocon diferente amplitud. Estas senales son las normalmente obtenidas a partir de una atenuaciontemporal de una senal periodica. En la fig. ref se muestran ejemplos de este tipo.

2.1.3. Senales aperiodicas

Son todas las restantes senales que varan con el tiempo sin repetitividad, como el pulso dela fig. ref

11

12 CAPITULO 2. SENALES FRECUENTES

2.2. Parametros caractersticos de una senal

La siguiente nomina de parametros son en general caractersticas de las senales periodicas ypseudoperiodicas.

Perodo tiempo que debe transcurrir para que ocurra una serie completa de valores. Se mide ens y se lo denota con la letra T .

Ciclo serie de valores contenidos en un tiempo igual a un perodo T .

Frecuencia cantidad de ciclos por unidad de tiempo, o inversa del perodo T .

f =1

T

Fase abcisa de un punto arbitrario de la senal. Se la denota generalmente con letras griegas como, o

Frecuencia angular a partir de considerar un ciclo como una revolucion, la frecuencia angular,o pulsacion angular se define como la cantidad de revoluciones (medidas en radianes) porunidad de tiempo. Se la simboliza con la letra y su unidad de medida es el radian sobresegundo rad

s].

=2

T= 2 f

En la figura ref se pueden ver cada uno de estos parametros sen`alados.

2.3. Valores asociados a la amplitud

2.3.1. Valor instantaneo

Se denomina valor instantaneo de una sen`al temporal, a la ordenada correspondiente a untiempo t = t0, por ejemplo f(t0) o i(0).

2.3.2. Valor medio

El valor medio de una senal se calcula mediante el Teorma de la media, cuyo enunciado dice:

Teorema Si la funcion i(t) es continua en el intervalo [a, b], existe en este intervalo un punto tal que se verifica la siguiente igualdad b

a

i(t) dt = (a b) i() (2.1)

Si el intervalo [a, b] es igual a un perodo T , entonces el valor i() es el valor medio de la senali(t). Como este es un valor constante se lo representa con una letra mayuscula. Despejando de2.1 el valor medio Imed es

Imed =1

T

T0

i(t) dt (2.2)

2.3. VALORES ASOCIADOS A LA AMPLITUD 13

Esta integral puede ser nula, es el caso de senales cuya area encerrada positiva es igual al areaencerrada negativa, por ejemplo las senales seonidales puras. En este caso, se dice que las senalesson de valor medio nulo.

Una senal f(t) de valor medio no nulo, se puede descomponer en una senal g(t) de valor medionulo mas una senal contnua. Esa senal continua sera precisamente un valor constante igual alvalor medio de la senal f(t). Se dice que la senal f(t) tiene una componente de contnua que essu valor medio. En la fig. 2.2 se puede ver lo dicho en forma grafica.

+ =

Gmedg(t) f(t)

t tt 000

Figura 2.2: Senal con componente de contnua

2.3.3. Valor medio de modulo

Para senales cuyo valor medio es nulo, se calcula el llamado valor medio de modulo tomandola integral a lo largo de un perodo del modulo |i(t)| de la senal. Se lo representa con mayusculay el subindice entre signos de modulo I|med|

I|med| =1

T

T0

|i(t)| dt (2.3)

este valor se calcula solo si el valor medio de la senal es nulo, y se lo utiliza en su reemplazo paralas operaciones que impliquen la utilizacion del valor medio.

2.3.4. Valor maximo

Este valor se refiere al maximo absoluto de la senal, cuando se trata de senales pseudoperiodi-cas o aperiodicas, en el caso de senales periodicas el valor maximo se refiere al maximo valor deordenada del perodo. Se lo representa con letra mayuscula y subindice m o max (Im o Imax).

Si en una senal periodica el maximo positivo es diferente del maximo negativo en valor abso-luto, para diferenciarlos se los representa como Im+ e Im respectivamente.

2.3.5. Valor pico a pico

Este valor representa la excurcion maxima de la senal, en el caso de una senal con maximopositivo igual al maximo negativo, el valor pico a pico es

Ipap = 2 Imax (2.4)

sino

Ipap = Imax+ Imax (2.5)

2.3.6. Valor eficaz

14 CAPITULO 2. SENALES FRECUENTES

Captulo 3

Regimen transitorio

3.1. Circuito RC con fuente constante

El circuito de la fig. 3.1 tuvo una fuente de tension conectada durante mucho tiempo, tal quetodo el circuito estaba en su estado estable cuando se accionan los interruptores en t = 0. Enese instane se desconecta la fuente de tension y se introduce una fuente de corriente. Se deseaencontrar en estas condiciones la respuesta vC(t) t > 0

iin(t) = I0 vin(t) = V0

t = 0t = 0

R C vC(t)

iR iC

Figura 3.1: RC paralelo excitado con fuente de corriente constante

El analisis se inicia aplicando alguna de las leyes de Kirchhoff, en este caso por ser un circuitoparalelo se aplica LKC en el nudo principal

iin(t) iC(t) iR(t) = 0iin(t) = C

d(vC(t))

dt+vR(t)

RI0

C=

d(vC(t))

dt+vR(t)

RC

como vC(t) = vR(t) la ecuacion se pone, por conveniencia, en terminos de la respuesta vC(t)

iin(t) = Cd(vC(t))

dt+vC(t)

Riin(t)

C=

d(vC(t))

dt+vC(t)

RCI0

C=

d(vC(t))

dt+vC(t)

RC(3.1)

Esta es una Ec. Dif. lineal de 1o orden, no homogenea, de la forma

d(x(t))

dt+x(t)

= k1 (3.2)

15

16 CAPITULO 3. REGIMEN TRANSITORIO

con = RC y k1 =I0C. Del punto de vista del analis matematico esta Ec. Dif. tiene una solucion

general formada por una solucion particular cualquiera de la Ec. no homogenea, mas la soluciongeneral de la Ec. homogenea (Piskunov 631).

Separando variables para poder integrar queda

d(x(t))

dt+x(t)

= k1

d(x(t))

dt=

k1 x(t)

d(x(t))

k1 x(t) =dt

para resolver se puede multiplicar ambos miembros por 1 e integrard(x(t))

x(t) k1 dt = dt

dt

ln(x(t) k1 ) = t+ k2

y por definicion de logartmo

x(t) k1 = e t +k2 = e t ek2x(t) = k1 + k3 e

t (3.3)

con k3 = ek2

Para encontrar los valores de estas constantes k1 y k3 en funcion de los estados iniciales yfinales de x(t) se evalua la funcion 3.3 primero para t

x() = k2 + 0 k2 = x()

esto se conoce como el estado estable o de regimen permanente de la funcion (o del circuito).Luego se analiza para t 0, sabiendo ya que k2 = x()

x(0) = x() + k3 1 k3 = x(0) x()

y se obtiene lo que se conoce como condicion inicial del sistema.Reemplazando estas constantes en la (ec. 3.3) queda

x(t) = x() + [x(0) x()] e t (3.4)

que es la respuesta generla de la Ec.Dif. (3.2).Observando la (ec. 3.4) puede verse que esta compuesta por dos terminos, el primero es un

termino constante y el segundo un termino exponencial decreciente

x(t) = x() xfo

+ [x(0) x()] e t xna

el termino constante xfo recibe el nombre de respuesta forzada o de regimen premanente y es elvalor que toma la respuesta x(t) cuando t . Esta parte de la respuesta existe solo si existeuna fuente forzante, ya que es la solucion particular de la Ec. Dif. no homogenea, de ah su nombrede forzada. El termino exponencial xna se lo conoce como respuesta natural o transitoria. Esta

3.2. SISTEMAS LINEALES 17

parte de la respuesta se extingue pasado un tiempo1 por esto se llama transitoria. Por otro ladoesta parte de la respuesta es la solucion general de la Ec. Dif. homogenea, y su forma dependeexclusivamente de los elementos del circuito, y por esto se la conoce como natural. La fuente ylas condiciones iniciales solo determinan su amplitud.

Volviendo a la (ec. 3.1) del circuito RC, segun lo visto su respuesta general sera

vC(t) = vC() + [vC(0) vC()] e tRC (3.5)

los valores de las constantes se deben encontrar por analisis del circuito para t 0 y t.Para t0, por condicion de continuidad de tension en el capacitor el circuito tiene el estado

que tena en t = 0 (antes de abrir el interruptor, fig. 3.2), entonces la tension inicial sera vC(0) =V0

V0vC(0)

Figura 3.2: Estado inicial del circuito RC

Para t el capacitor habra llegado a su maxima carga comportandose como un circuitoabierto, la corriente a traves de el sera nula (fig. 3.3)

I0 R vC()

iR

Figura 3.3: Estado final del circuito RC

entonces la tension final del capacitor sera

vC() = vR() = I0 R

Reemplazando estos valores en la (ec. 3.5) se obtiene

vC(t) = I0 R+ [V0 I0 R] e tRC

que es la funcion respuesta de la tension del capacitor del circuito de la (fig. 3.1)

3.2. Sistemas lineales

Un sistema es lineal si y solo si se satisfacen las propiedades de superposicion y homogeneidadpara todas las excitaciones y respuestas (Dorf 40)

1Matematicamente la funcion exponencial eat se hace cero solo para t = , pero a los fines practicos estafuncion se considera cero para un valor de tiempo mayor a 5

a


Superposicion. La propiedad de superposicion se satisface

si i1 v1y i2 v2

entonces i1 + i2 v1 + v2

Homogeneidad. La propiedad de homogeneidad se satisface

si i3 v3entonces k i3 k v3

Los circuitos tratados en Teora de los circuitos I contienen solo elementos lineales, por loque se trata de sistemas lineales y cumplen con las propiedades de superposicion y homogeneidad.Estas propiedades normalmente se presentan en forma de teorema

Teorema de Superposicion: en un circuito lineal, constituido por elementos lineales y fuentes,se puede hallar la respuesta total hallando la respuesta a cada fuente haciendo cero todaslas demas y sumando despues las respuestas individuales.

Para hacer cero o pasivar una fuente de tension se debe reemplazar dicha fuente en elcircuito por un corto circuito.

Para hacer cero o pasivar una fuente de corriente se debe abrir el circuito en los bornes dedicha fuente.

3.3. Respuesta natural mas forzada

La solucion general de un sistema de primer orden con funcion forzante constante es siemprede la forma

x(t) = x() + [x(0) x()]e (tt0)

donde es la constante de tiempo del sistema y t = t0 es el tiempo en el que el sistema se inicio.Esta respuesta esta dividida en dos partes, la natural, que se encuentra presente incluso cuando

todas las fuentes son desconectadas, y otra forzada que es la que prevalece al paso del tiempo.Esta ultima solo existe si el circuito tiene fuentes forzantes conectadas.

Como se ve en la solucion general estas dos respuestas son independientes en su forma una deotra, solo interactuan en la amplitud de la respuesta natural. Esto permite encontrar cada unade ellas sin tener en cuenta la otra sino hasta el momento de calcular la amplitud de la respuestanatural. Entonces se puede aplicar el teorema de superposicion para calcular por separado ambasrespuestas y aplicar finalmente las condiciones iniciales a las dos respuestas juntas.

Para aplicar el teorema de superposicion a este sistema se comienza por pasivar todas lasfuentes menos una, para obtener as la respuesta forzada if1 debido a esta primera fuente; luegose pasivan todas las fuentes menos la segunda con lo que se obtiene la respuesta forzada if2debido a la segunda fuente. Esto se repita hasta obtener las n respuestas forzadas debido a las nfuentes presentes en el sistema.

Por ultimo se debe calcular la respuesta natural inat(t). Teniendo en cuenta que esta dependesolamente de los elementos del circuito y no de las fuentes, para obtenerla se deben pasivarTODAS las fuentes del circuito y luego operar.

La respuesta total sera entonces de la forma

itotal(t) = if1 + if2 + if3 + . . .+ ifn + inat(t)

3.3. RESPUESTA NATURAL MAS FORZADA 19

l

iL(t)

80V

t = 0

4

4

Figura 3.4:

Ejemplo 3.1 Hallar la respuesta i(t) del circuito de la (fig. 3.4) si i(0) = 3A

Ejemplo 3.2 Hallar i(t)t > 0 de la (fig. 3.5) (Dorf 420)

i(t)40V t = 0 4

5

1H1A

0, 5F

Figura 3.5:

Ejemplo 3.3 Seleccione un valor de L tal que el voltaje del solenoide supere los 20V , y lamagnitud de la corriente del inductor este por encima de los 500mA durante los primeros25ms. Calcular ademas la energa almacenada en la bobina en el momento que se abre elinterruptor.

60V

t = 0

10

15

L vL(t)

10

Figura 3.6:

Ejemplo 3.4 Encontrar i(t)t > 0 segun se indica en el circuito de la (fig. 3.7)

40(t)Vi(t)

200

120 4H

6A25

25V

Figura 3.7:


3.4. Escalon unitario

La funcion escalon unitario se define como

u(arg) =

{0 si el arg < 01 si el arg > 0

si el argumento es el tiempo t, u(t) sera

u(t) =

{0 t < 01 t > 0

cuya grafica es la (fig. 3.8(a)).Si el argumento es t t0, u(t t0) sera

u(t t0) ={0 t < t01 t > t0

lo que significa que el escalon se ve desplazado un tiempo t = t0, como se grafica en la (fig.3.8(b)).

u(t)

1

t

(a)

u(t t0)

1

t0 t

(b)

Figura 3.8: (a) Funcion escalon u(t). (b) Funcion escalon desplazado u(t t0)

Sumando escalones desplazados de amplitudes opuestas podemos obtener pulsos de cualquierduracion, amplitud y tiempo de inicio. Por ejemplo el pulso unico de la (fig. 3.9) lo podemosobtener como la suma de dos escalones desplazados Au(t t0) y Au(t t1) de forma que

f(t) = Au(t t0)Au(t t1)

t0t0 t1t1 tt

AA

A

u(t t0)

f(t)

u(t t1)

Figura 3.9: Pulso formado por dos escalones desplazados

Ejemplo 3.5 Encontrar la respuesta total del circuito de la (fig. 3.10(a)) aplicando el teoremade superposicion.

3.5. ALIMENTACION CON UNA FUENTE SENOIDAL. CORRIENTE ALTERNA 21

if (t) 2 0, 2H

iL(t)

(a)

if (t)

5A

0, 2s0 t

(b)

Figura 3.10: (a) Circuito RL paralelo excitado por (b) una funcion escalon.

3.5. Alimentacion con una fuente senoidal. Corriente alter-

na

El caso particular de un circuito alimentado con una fuente senoidal es muy importante debidoal intensivo uso de este tipo de alimentaciones en la ingeniera. Se vera en detalle su resolucionaplicando el metodo de Lagrange visto anteriormente.

i(t)Vmaxsen( t+ v)

t = 0 R

L

Figura 3.11: RL serie alimentado con una fuente de tension senoidal

Si se alimenta una circuito RL serie con una fuente alterna como en la fig. 3.11 la ecuacionde equilibrio segun la LKV sera

vin(t) vR(t) vL(t) = 0vin(t) = vR(t) + vL(t)

Vmaxsen( t+ v) = R i(t) + Ld(i(t))

dtVmax

Lsen( t+ v) =

R

Li(t) +

d(i(t))

dt

la resolucion de esta Ec.Dif. es

i(t) = K eRLt + e

RLt eRLtVmax

Lsen( t+ v) dt (3.6)

la integral de la ec. 3.6 se debe relsolver por partes 2, haciendo

du = eRLtdt u = L

ReRLt

v =Vmax

Lsen( t+ v) dv = Vmax

Lcos( t+ v)dt (3.7)

y reemplazando en la integral quedaeRLtVmax

Lsen( t+ v) dt =

L

ReRLt Vmax

Lsen( t+ v)

2u dv = uv

v du

22 CAPITULO 3. REGIMEN TRANSITORIOL

ReRLt Vmax

Lcos( t+ v)dt (3.8)

Esta nueva integral en el segundo miembre de la ec. 3.8 se resuelve tambien por partes y quedaeRLtVmax

Lsen( t+ v) dt =

L

ReRLt Vmax

Lsen( t+ v)[

L2

R2eRLt Vmax

Lcos( t+ v)+

2L2

R2

eRLt Vmax

Lsen( t+ v) dt

](3.9)

Finalmente, como esta utlima integral tiene la misma forma que la del primer miembro, se hallala solucion por despeje(

1 +2L2

R2

)eRLt Vmax

Lsen( t+ v) dt =

L

ReRLt Vmax

Lsen( t+ v)

L2

R2eRLt Vmax

Lcos( t+ v) (3.10)

es decir eRLtVmax

Lsen( t+ v) dt =

1

1 + 2L2

R2

[L

ReRLt Vmax

Lsen( t+ v)

L2

R2eRLt Vmax

Lcos( t+ v)

](3.11)

eRLtVmax

Lsen( t+ v) dt =

Vmax eRLt

R2 + 2L2[R sen( t+ v)

L cos( t+ v)] (3.12)

Volviendo ahora a la ec. 3.6 de la corriente con este resultado se tiene

i(t) = K eRLt + e

RLt Vmax e

RLt

R2 + 2L2[R sen( t+ v) L cos( t+ v)]

i(t) = K eRLt +

Vmax

R2 + 2L2[R sen( t+ v) L cos( t+ v)] (3.13)

para reducir esta ultima ecuacion se puede utilizar la igualdad trigonometrica

a sen(x) b cos(x) =a2 + b2 sen

(x arctan b

a

)(3.14)

entonces la ec. 3.13 queda

i(t) = K eRLt +

Vmax

R2 + 2L2

R2 + 2L2 sen( t+ v arctanL

R)

i(t) = K eRLt +

VmaxR2 + 2L2

sen( t+ v arctanLR

) (3.15)

Esta solucion general representa la evolucion de la corriente para todo t > 0, para considerarel caso particular se debe calcular la constante K. En este caso la corriente en t = 0 es nula,

3.6. CIRCUITOS CON DOS ELEMENTOS QUE ALMACENAN ENERGIA 23

entonces

i(0t) = K +Vmax

R2 + 2L2sen(v arctanL

R) = 0

K = VmaxR2 + 2L2

sen(v arctanLR

) (3.16)

Finalmente

i(t) = VmaxR2 + 2L2

sen(v arctanLR

) eRLt +

+Vmax

R2 + 2L2sen( t+ v arctanL

R) (3.17)

que es el resultado particular para este circuito RL serie.

t[s]

i(t)[A]

Figura 3.12: Corriente en un RL serie alimentado con una fuente de tension senoidal

3.6. Circuitos con dos elementos que almacenan energa

El comportamiento de un circuito con dos elementos irreductibles que almacenan energa sedescribe con una Ecuacion Diferencial de 2 orden.

if (t)

v(t) = vL(t)

iL(t)

CR L

Figura 3.13: Circuito RLC paralelo


Tal es el caso de un circuito paralelo RLC como el de la (fig. 3.13), para este circuito laecuacion de nudo segun LKC es

if (t) =v(t)

R+ iL + C

dv(t)

dt(3.18)

donde iL =1

L

v(t) dt

if (t) =v(t)

R+

1

L

v(t) dt+ C

dv(t)

dt

Esto es una ecuacion integro-diferencial, que debe ser llevada a una ecuacion diferencial para serresuelta. Derivando ambos miembros respeto a t, se obtiene la Ec. Dif.

Cd2v(t)

dt2+

1

R

dv(t)

dt+

1

Lv(t) =

dif(t)

dt(3.19)

Si se analiza otro tipo de circuito con dos elementos almacenadores de energa, como el circuitoRLC serie de la (fig. 3.14) por ejemplo, la ecuacion de equilibrio sera:

vf (t) i(t) C

R L

Figura 3.14: Circuito RLC serie

vf (t) = R i(t) + Ldi(t)

dt+ vC(t)

donde vC(t) =1

C

i(t) dt

vf (t) = R i(t) + Ldi(t)

dt+

1

C

i(t) dt

y derivando se obtiene la Ec. Dif. de 2 orden a resolver

Ld2i(t)

dt2+R

di(t)

dt+

1

Ci(t) =

dvf (t)

dt(3.20)

De igual forma, con dos elementos del mismo tipo como el circuito RL de la (fig. 3.15), seobitene una Ec.Dif. de segundo orden. Este analisis se deja como ejercicio para el lector.

vf (t) i(t) L2R

L1

Figura 3.15: Circuito irreductible con dos elementos que almacenan energa

3.7. SOLUCION DE EC. DIF. DE 2 ORDEN HOMOGENEA 25

Notese que en cada ejemplo anterior la Ec.Dif. puede ser planteada en terminos de cualquierparametro del circuito, por ejemplo si en la (ec. 3.18) se pone la tension del circuito en terminosde la corriente por el inductor entonces

v(t) = vL(t) = LdiLdt

if (t) =1

RLdiLdt

+ iL + Cd

dt

[LdiLdt

]if (t) =

L

R

diLdt

+ iL + CLd2iLdt2

la Ec.Dif. queda en terminos de la corriente por el inductor.

3.7. Solucion de Ec. Dif. de 2 orden homogenea

Sea la Ec. Dif. general de 2 orden homogenea

a2d2x(t)

dt2+ a1

dx(t)

dt+ a0 x(t) = 0

d2x(t)

dt2+ p

dx(t)

dt+ q x(t) = 0 (3.21)

Se propone como solucion la funcion exponencial, esta funcion tiene la particularidad derelacionar la primitiva con sus n derivadas y es por ende la solucion por excelencia de una Ec.Dif.

xn(t) = Aest

con sus derivadas

xn(t) = As est

xn(t) = As2 est

donde A y s son constantes a determinar. Reemplazando la solucion propuesta y sus derivadasen la (ec. 3.21) queda

As2 est + q A s est + pA est = 0

Aest(s2 + q s+ p

)= 0

es decir que para que la funcion propuesta sea solucion, este producto debe ser cero para cualquiert, y como Aest es la solucion propuesta y no puede ser cero para todo t, entonces

s2 + p s+ p = 0 (3.22)

lo que se conoce como polinomio caracterstico. Este polinomio es en la variable s, que es elexponente de la solucion propuesta. Entonces la solucion propuesta sera solucion de la (ec. 3.21)si y solo si el exponente s es raz del polinomio caracterstico (ec. 3.22)

s1 =p2

+

(p2

)2 q ; s2 = p

2(p

2

)2 q

s1 = +()2 0 ; s2 =

()2 0


entonces

xn(t) = A1 es1t +A2 e

s2t (3.23)

Esto muestra que la respuesta buscada sera dependiente de las raices del polinomio carac-terstico no solo en su amplitud sino tambien en su forma. La respuesta formada por la suma dedos funciones linealmente independiente dependera del tipo de raices del polinomio caracterstico.

t

xn(t)

Figura 3.16: Cada de tension en el capacitor del ejercicio 5.

3.7.1. Raices reales y distintas

Si las raices s1 y s2 son raices reales y distintas, es decir que

s1 = +()

2 0s2 =

()

2 0

con 2 > 0, entonces la respuesta completa de la Ec. Dif. homogenea viene dada por

xn(t) = A1 es1t +A2 e

s2t (3.24)

que es la respuesta natural del sistema y tendra la forma de la (fig. 3.16). Esta respuesta se lallama respuesta sobreamortiguada.

3.7.2. Raices reales e iguales

Si las raices s1 y s2 del polinomio caracterstico son raices reales e iguales, es decir que

s1 = s2 = = p2

(3.25)

esto ocurre cuando 2 = 0, entonces

xn(t) = Aest (3.26)

y la respuesta natural queda ahora incompleta, ya que lo que antes eran dos respuestas lineal-mente independientes (ec. 3.24), una exponencial con exponente s1 y otra con exponente s1, setransforman en una unica respuesta Aest.


Como para que la respuesta de una Ec. Dif. de segundo orden este completa se necesitandos funciones respuestas lienalmente independientes, se debe buscar otra funcion linealmenteindependiente de la (ec. 3.26) y sumarla a ella. Una forma de encontrar la nueva funcion eshaciendo que se cumpla el requisito de independencia lineal entre las respuestas, es decir que secumpla que

xn2(t)

xn1(t)= f(t) 6= cte

o bien

xn2(t) = f(t)xn1(t)

t

xn(t)

Figura 3.17: Respuesta crticamente amortiguada

Para que la nueva respuesta propuesta xn2(t) sea tambien solucion del sistema, se debe reem-plazar en la (ec. 3.21) y comprobar que satisface la igualdad, para esto se deriva sucesivamentela funcion propuesta dos veces

xn2(t) = f(t)xn1(t) = f(t)Aest (3.27)

xn2(t) = f(t)Aest + f(t)As est

xn2(t) =(f(t) + f(t) s+ f(t) s+ f(t) s2

)Aest

reemplazando y sacando factor comun Aest se obtiene

Aest[f(t) + 2 f(t) s+ f(t) s2 +

+p(f(t) + f(t) s

)+ q f(t)

]= 0 (3.28)

igual que en el caso de raices reales y distintas esta igualdad se debe satisfacer para todo t, ycomo Aest no puede ser cero para todo t por ser la funcion propuesta, debe ser cero entonces loque queda entre corchetes

f(t) + 2 f(t) s+ f(t) s2 + p(f(t) + f(t) s

)+ q (f(t)) = 0 (3.29)

Agrupando en terminos de la f(t) y sus derivadas se tiene

f(t) + f(t) (2s+ p) + f(t)(s2 + p s+ q)

)= 0 (3.30)


como s es una raz del polinomio caracterstico entonces s2 + p s+ q = 0, es decir

f(t) + f(t) (2s+ p) = 0 (3.31)

ademas, segun la ec. 3.25, el coeficiente 2s+p es igual a cero por tratarse de raices reales e iguales,finalmente

f(t) = 0 (3.32)

Una funcion cuya derivada segunda sea nula, debe tener como derivada primera una constante ydebe ser por ende una funcion lineal. O sea f(t) = K1t+K2

Esto permite concluir diciendo que si se multiplica a la solucion xn1(t) por cualquier f(t) dela forma K1t +K2 se obtendra otra solucion linealmente independiente de la Ec. Dif. Entoncesxn2(t) sera (ec. 3.27)

xn2(t) = (K1t+K2)Aest

xn2(t) = A1 est +A2 t e

st

pero la segunda solucion encontrada se compone de dos funciones linealmente independientes, esdecir que esta es ya una solucion completa. Entonces

xn(t) = A1 est +A2 t e

st (3.33)

que es la solucion completa buscada. Este tipo de respuestas se llama respuesta crticamenteamortiguada y su forma se grafica en la fig. 3.17.

3.7.3. Raices complejas conjugadas

Si el polinomio caractersticos tiene raices complejas conjugadas, es decir que 2 0 < 0,entonces

s1 = + jns2 = jn

donde n =0 2.

Esto significa que las soluciones xn1(t) y xn2(t), formadas con los exponentes complejos s1 ys2, son dos soluciones linealmente independientes pero no reales

xn(t) = A1 e(+jn)t +A2 e

(jn)t

xn(t) = e

(A1 e

jnt +A2 ejnt

)De estas soluciones se puede encontrar un par de soluciones reales linealmente independien-

tes. Utilizando la igualdad de Euler se puede poner la solucion en terminos de las funcionestrigonometricas

xn(t) = e ((A1 +A2) cos(nt) + j(A1 A2) sen(nt))

Como las constantes A1 y A2 son constantes arbitrarias que deben ser elegidas para com-plir con las condiciones iniciales del sistema, y como estas condiciones iniciales seran siemprevaloresreales, entonces las A1 y A2 deberan ser tales que sumadas den un numero real puro(A1 +A2 = B1) y restadas un numero imaginario puro (A1 A2 = jB2), de tal forma que

xn(t) = e (B1 cos(nt) + j (jB2) sen(nt))

xn(t) = e (B1 cos(nt) +B2 sen(nt))


A esta respuesta se la llama respuesta submortiguada y es la que da el nombre a las dos anteriores.Se trata de una funcion trigonometrica que es atenuada por un exponencial et, donde se llamacoeficiente de atenuacion y n es la frecuencia angular de la respuesta. La grafica de esta respuestase representa en la fig. 3.18.

t

xn(t)

Figura 3.18: Respuesta subamortiguada

Captulo 4

Regimen permanente

4.1. Calculo fasorial

El calculo fasorial es un metodo que permite obtener la respuesta de regimen permanentede un circuito excitado con senales senoidales de una forma sencilla. Es decir resuelve en formadirecta la respuesta particular de la Ec. Dif. no homogenea de equilibrio del circuito.

4.1.1. Desarrollo

Si se excita un circuito con una fuente senoidal de la forma

v(t) = Vm sen(t+ v) (4.1)

esta fuente, segun la igualdad de Euler, tambien puede escribirse como

v(t) = Im[Vm e

j(t+v)]

(4.2)

de igual manera si se utiliza como alimentacion una fuente cosenoidal

v(t) = Vm cos(t+ v) = Re[Vm e

j(t+v)]

(4.3)

Es decir que si se alimenta al sistema con una fuente exponencial ficticia, se estara alimentandocon dos fuentes senoidales, una real y otra imaginaria, de la forma

v(t) = Vm ej(t+v) = Vm cos(t+ v) + j Vm sen(t+ v) (4.4)

las cuales, por teorema de superposicion, generaran dos respuestas independientes, una real debidaa Vm cos(t+ v) y la otra imaginaria debida a j Vm sen(t+ v).

La respuesta de interes sera la parte imaginaria o la parte real de la respuesta encontrada,segun sea la fuente de alimentacion que excite al circuito de tipo senoidal o cosenoidal respecti-vamente.

Utilizar una fuente exponencial como la (4.4) para excitar un circuito presenta ciertas ventajasde calculo que facilitan la obtencion de la respuesta forzada, ya que no se necesita resolver la Ec.Dif. de equilibrio del sistema.

31

32 CAPITULO 4. REGIMEN PERMANENTE

Fasor y Fasor Armonico

Se llama fasor a la representacion de un numero complejo cuyo argumento depende de lafrecuencia

fasor = r ej

donde ()Si ese argumento ademas depende del tiempo, el fasor recibe el nombre de fasor armonico

fasor armonico = r ej(t+)

fasor armonico = r ejfasor

ejt

Segun esta definicion, la fuente exponencial propuesta (ec. 4.4) es un fasor armonico. Pararepresentarlo se utiliza un punto sobre el nombre del fasor armonico

Vm = Vm ej(t+0) = Vm e

j0 ejt (4.5)

donde se ve que el fasor armonico contiene un fasor que lo representa en t = 0Graficamente un fasor armonico es un complejo de argumento variable, cuya variacion del

tiempo positivo se manifiesta por convencion como una rotacion antihoraria del fasor (figura4.1).

Im

Re

0 t + 0

ej0

ej( t+0)

t

Figura 4.1: Fasor armonico en t = 0 y t = t

4.2. Relacion tension-corriente fasorial armonica para R, L

y C

La relacion tension-corriente en un elemento resistivo puro, segun Ley de Ohm es

i(t) =v(t)

R

Si la excitacion v(t) es un fasor armonico v(t) = Vm = Vm ej(t+v), la respuesta sera un fasor

armonico1, es decir

i(t) =Vm

R=

Vm ej(t+v)

R= Im e

j(t+v) = Im

1Una justificacion para esta afirmacion se encuentra en la resolucion de la Ec. Dif. de equilibrio del circuito porel metodo de los Coeficientes Indeterminados. Si la senal de excitacion de una Ec. Dif. es una funcion exponencial(como por ej. un fasor armonico), entonces la funcion propuesta como respuesta particular de la no homogenea deesta Ec. Dif. sera tambien una exponencial.

4.2. RELACION TENSION-CORRIENTE FASORIAL ARMONICA PARA R, L Y C 33

i(t)v(t) R

de donde el cociente fasorial armonico sera

Vm

Im=

Vm ej(t+v)

Im ej(t+v)= R (4.6)

Para el caso de una carga inductiva pura de valor L la corriente en general sera

i(t)v(t) L

i(t) =1

L

v(t) dt

Im =1

L

Vm e

j(t+v) dt

Im =Vm

jLej(t+v) =

Vm

jL

el denominador es un imaginario puro, que en forma exponencial es

jL = L ej90

(4.7)

reemplazando

Im =Vm e

j(t+v)

L ej90

Im =Vm e

j(t+v90)

L= Im e

j(t+i

(4.8)

donde Im =VmL

y i = v 90. Entonces la relacion tension-corriente fasorial armonica esVm

Im=

Vm ej(t+v)

Im ej(t+i)= jL (4.9)

Finalmente, si se trata de una carga capacitiva pura de valor C tendremos

i(t) = Cdv(t)

dt

Im = CdVm e

j(t+v)

dt

Im = jC Vm ej(t+v)

dotIm = C Vm ej(t+v+90

) = Im ej(t+i)


con Im = C Vm y i = v + 90 de donde la relacion tension-corriente fasorial armonica es

Vm

Im=

Vm ej(t+v)

Im ej(t+i)=

1

jC(4.10)

Esto nos define un nuevo conjunto de relaciones tension-corriente para los elementos de uncircuito, que podremos utilizar para encontrar la respuesta permanente de circuitos excitados porsenales senoidales sin necesidad de resolver la Ec. Dif. de equilibrio del circuito.

4.3. Fasor eficaz

Analizando cada una de las relaciones fasoriales anteriores se ve que el factor ejt aparececomo parte de ambos fasores armonicos. Por lo tanto si de cada una de las relaciones obtenidaspara R, L y C se simplifica dicho factor, las relaciones permanecen invariable. Este cambio haceque ya no aparezca la variable tiempo en forma explicita, si bien el tiempo esta presente en lafuncion de la que se obtuvo el fasor armonico. Se dice entonces que se pasa del dominio del tiempoantes de la simplificacion, al dominio de la frecuencia.

Por otro lado, como en las aplicaciones electricas se utilizan normalmente valores eficacesde tensiones y corrientes, se prefiere la utilizacion del valor eficaz de la senal senoidal en larepresentacion fasorial. Esto se hace simplemente dividiendo el valor maximo por

2. El nuevo

fasor (ya no armonico) se llama fasor eficaz y se lo denota generalmente en forma polar

I = Ief 6 i

V = Vef 6 v

Las relaciones anteriores de tension corriente fasorial para R, L y C quedan

VR = R IR (4.11)

VL = jL IL (4.12)

VC =1

jCIC (4.13)

4.4. Aplicacion de fasores a la resolucion de circuitos

La aplicacion del metodo implica la utilizacion de las relaciones tension corriente fasorialesdeducidas anteriormente. Para esto se plantea antes la ecuacion de equilibrio en el dominio deltiempo para despues transformarla al dominio de la frecuencia.

v(t) = 10 cos(3t)

2

1Hi(t)

Figura 4.2: RL excitado con fuente de tension senoidal

La ecuacion de equilibrio del circuito de la (fig. 4.2) es

v(t) = vR(t) + vL(t) = R i(t) + Ldi(t)

dt

4.5. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJA 35

reemplazando las relaciones temporales por las obtenidas en el dominio de la frecuencia, se obtienela ecuacion de equilibrio en el dominio de la frecuencia.

V = VR +VL = R I+ jL I (4.14)

Como vemos, la ecuacion diferencial se convierte en una ecuacion algebraica en terminos delos fasores de excitacion y respuesta, llamada ecuacion de equilibrio fasorial. De esta ecuacionpodemos obtener la respuesta I simplemente dividiendo ambos miembros por R + jL

I =V

(R + jL)(4.15)

esto es un cociente de numeros complejos, para resolver se puede expresar el denominador enforma exponencial

R+ jL = |z| ej = |z|6 con |z| =

R2 + (L)2

y = tg1(L

R

)reemplazando en (ec. 4.15)

I =Vef 6 v

R2 + (L)2 6 = Ief 6 i

con Im =Vm

R2 + (L)2

y = v tg1(L

R

)Siguiendo con el ejemplo, el fasor de tension del circuito es

V =102

el modulo y fase de Z son

|z| =22 + (1)2 = 3, 6056 (4.16)

= tg1(3

2

)= 0, 98279rad = 56, 31 (4.17)

entonces

I =10

3, 605626 56, 31 = 1, 9611 6 56, 31 (4.18)

4.5. Impedancia y admitancia compleja

La relacion fasorial entre tension y corriente es en general un numero complejo puesto quecomo puede verse en la (ec. 4.15), V e I son complejos. Se lo denomina impedancia compleja oimpedancia y se utiliza la letra Z para representarlo.


Si se trata de la relacion tension-corriente fasorial de un elemento resistivo puro, por tenerambos fasores la misma fase, el complejo resultante es un numero real puro (ec. 4.11). A estarelacion se la llama igualmente resistencia por tratarse del mismo valor numerico que en eldominio del tiempo.

En el caso de un inductor la relacion sera un numero imaginario puro (ec. 4.13). Es siemprepositivo (pues ni ni L pueden ser negativos). Se lo llama reactancia inductiva y se denota XL.

Para un capacitor sera tambien un imaginario puro pero de signo negativo (ec. 4.13). Se lollama reactancia capacitiva y se represenate con XC .

En un circuito con varios elementos combinados, el cociente sera en forma general

Z =V

I

esta ecuacion es la Ley de Ohm Fasorial. Si en general se tiene que V = V 6 v e I = I 6 i entonces

Z =V

I6 v iZ = Z 6

Este complejo esta formado por una parte real y una imaginaria

Z = R+ jX (4.19)

a la parte real se la llama parte resistiva de la impedancia y a la parte imaginaria parte reactivade la impedancia. Se la representa graficamente en un diagrama de impedancias sobre un planocomplejo, en el cual se marcan las componentes resistivas y reactivas (fig. 4.3).

ImIm

tt

jL

R

R

1Z1

Z1

Z2

2

Z2j 1

C

Impedancia inductiva Impedancia capacitiva

Figura 4.3: Diagrama de impedancias

La inversa de la impedancia se define como admitancia compleja. Su simbolo es Y se mide enSiemens[S] o Mohs[0]

Y =1

Z=

1

Z6 (4.20)

En terminos de tension y corriente fasorial, la admitancia se define como el cociente fasorial entrela corriente y tension

Y =I

V (4.21)

I = VY (4.22)

La ecuacion 4.22 es muy importante, pues como se ve la admitancia es directamente propor-cional a la corriente fasorial. Si se conoce la admitancia de un un circuito, o la variacion de laadmitancia de un circuito cuando en este varia algun parametro, como por ejemplo la frecuencia, se conoce tambien la variacion de la corriente. Esto sera utilizado mas adelante para analisisde variacion de corriente en ciruitos alimentados con un fasor de tension constante.

4.5. IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJA 37

4.5.1. Conversion impedancia-admitancia

Pasar de impedancia a admitancia en forma polar es simplemente hacer la inversa del moduloy tomar el argumento opuesto (ec. 4.20). La misma conversion en forma rectangular sera

Z = R+ jX (4.23)

Y =1

(R + jX)=

1

(R+ jX)

R jXR jX (4.24)

Y =R jXR2 +X2

=

(R

R2 +X2

)(

X

R2 +X2

)(4.25)

Y = G+ jB (4.26)

G se llama conductancia y B susceptancia. La susceptancia, al igual que la reactancia, puede serpositiva o negativa. Si es positiva se trata de una susceptancia capacitiva, y si es negativa se tratade una susceptancia inductiva.

Captulo 5

Unidad 6. Resonancia

5.1. Resonancia en un circuito serie RLC simple

Si se alimenta un circuito serie RLC con una fuente de frecuencia variable, los valores de lasreactancias inductivas y capacitivas varan en funcion de la frecuencia. Es decir, la impedanciaZ(j) compuesta por

Z(j) = R+ j L j 1C

= R+ j

(L 1

C

)se modifica mientras vara su parte reactiva. Si se aumenta progresivamente la frecuencia par-tiendo de = 0, se pasara por un valor de frecuencia donde los modulos de las reactancias seraniguales, llamando a esa frecuencia 0 entonces sera

0L =1

0C(5.1)

En este punto la parte reactiva del circuito se habra anulado completamente, quedando solola parte resistiva. La frecuencia 0 que produce la anulacion de la parte reactiva de un circuitose la llama frecuencia de resonancia.

Despejando 0 de la igualdad 5.1 en resonancia obtenemos

0 =1LC

(5.2)

f0 =1

2LC

(5.3)

con 0 = 2 f0.Una de las consecuencias que se desprenden de este hecho, es que al ser nula la parte reactiva

del circuito la impedancia total del circuito se hace Z0 = R, entonces el fasor tension de alimen-tacion V aparece en fase con el fasor de corriente I y el circuito tendra en resonancia un factorde potencia fp = 1 (cos = 1).

En resonancia, V esta en fase con I y el fp = 1

5.1.1. Variacion de la impedancia

En la figura 5.1 podemos ver la variacion de cada parametro de impedancia en funcion dela frecuencia. La resistencia R se mantiene constante mientras que las reactancias inductiva y

39

40 CAPITULO 5. UNIDAD 6. RESONANCIA

capacitiva, y el modulo de la impedancia |Z(j)| varan a lo largo de todo el eje de . Parafrecuencias bajas y menores a la frecuencia de resonancia, vemos que el modulo de la reactanciainductiva es menor que el modulo de la reactancia capacitiva, esto hace que la fase de Z(j)sea negativa, como se observa en la figura 5.2, y el circuito presenta caracter capacitivo. Parafrecuencias mayores a 0 la reactancia inductiva se hace mayor que la capacitiva y el circuitoadquiere caracter inductivo.

0

Z0 = R

|Z(j)| =R2 + (L 1

C)2

XL = L

|XC |

XC = 1

C

X = XL +XC

R

Figura 5.1: Variacion de las parametros de impedancia de un RLC serie en funcion de la frecuencia

En la grafica de fase de la figura 5.2 vemos que la fase pasa por cero en resonancia, es decirque Z0 es un numero real puro.

Tambien puede observarse en la grafica de la figura 5.1 que en el punto de resonancia elmodulo de la impedancia pasa por un mnimo de valor R. En este punto la corriente del circuitotendra su maximo modulo ya que

|I| = |V ||Z| (5.4)

y |V | es constante fase

0

90

90

disminucion de R

aumento de R

Figura 5.2: Fase de la impedancia de un circuito resonante serie en funcion de la frecuencia

Un analisis fasorial a diferentes frecuencias alrededor de resonancia puede verse en la figura

5.2. SOBRETENSION EN CIRCUITOS SERIE RESONANTES 41

5.3. Para < 0 la tension esta atrasada respecto de la corriente, por el caracter capacitivo delcircuito a estas frecuencias. Para = 0 los fasores de tension VC y VL tienen igual modulo perocon 180 de desfasaje, por lo que su suma vectorial es nula, y los fasores de tension aplicada ycorriente estan en fase. La cada de tension en R es por ende igual a la tension aplicada, VR = VT .Por ultimo, para > 0 la tension adelanta a la corriente por el caracter inductivo del circuitoa estas frecuencias.

III

V

V

V

VR = R I

VR

VR

VL = L IVL

VL

VC = j1

CI

VCVC

< 0 = 0 > 0

Figura 5.3: Diagrama fasorial de un circuito serie RLC para < 0, = 0 y > 0

5.1.2. Analisis de admitancias

El modulo de la corriente es el producto del fasor tension por su admitancia equivalente|I | = |V | |Y |, si se mantiene |V | = cte como en el caso que estamos analizando, la variacion delmodulo de la corriente sera identica a la variacion del |Y (j)|, y solo habra una diferencia deescala entre sus graficos.

Para graficar Y (j), definida como la inversa de la impedancia Z(j), debemos conocer porun lado su modulo y por otro su fase

Y (j) =1

Z(j)=

1

|Z|6 Z =1

|Z|6 (Z)

es decir

|Y | = 1|Z|Y = Z

La figura 5.4(a) corresponde a la grafica de modulos de admitancias con distintos valores deresistencia de un circuito resonante serie. En el punto de resonancia = 0 la corriente toma sumaximo valor y es limitada solo por la resistencia, por lo tanto cuanto menor es el valor resistivo,mayor es este maximo.

5.2. Sobretension en circuitos serie resonantes

Ciertos valores de impedancias en circuitos resonante serie producen un fenomeno muy parti-cular al variar su modulo con la frecuencia, este fenomeno se da cuando el modulo de la impedanciase hace menor al modulo de las reactancias inductiva o capacitiva. Como el modulo de la tensionaplicada es igual al producto del modulo de la impedancia por el modulo de la corriente, y elmodulo de la cada de tension en el inductor o el capacitor es otra vez el producto del modulo


0

R 0

R

|Y (j)|

0

(a)

fase

0

90

90 disminucion de R

aumento de R

(b)

Figura 5.4: Variacion de la admitancia en modulo y fase de un circuito resonante serie para distintosvalores de resistencia

de su impedancia reactiva por el |I|, entonces si para algunos valores de frecuencia el |Z| se hacemenor al |XL| o al |XC | se tendra

|I| |Z| < |I| |X | (5.5)|VT | < |VX | (5.6)

y habra sobretension en el inductor o en el capacitor, segun sea la frecuencia.Un analisis mas detallado puede hacerse con la ayuda del grafico de los modulos de las impe-

dancias, eligiendo valores de resistencia, inductancia y capacidad adecuados. En la figura 5.5 segrafica esta situacion. Como se ve, el |Z| es para algunas frecuencias menor a los modulos de lasreactancias.

Analicemos cada elemento por separado empezando por el inductor. Sea a la frecuencia ala cual el modulo de la impedancia total se hace igual al modulo de la inductancia (figura 5.5),entonces de la igualdad |Z(ja)| = |XL(ja)| despejamos a

R2 +

(aL 1

aC

)2= aL

R2 + (aL)2 2 L

C+

(1

aC

)2= (aL)

2

(1

aC

)2= 2

L

CR2

a =1

C

2 LCR2

(5.7)

En = a el |Z| se cruza con el |XL|, es decir que en este punto el modulo de la cada de tensionen el inductor sera igual al modulo de la tension aplicada. Para frecuencias mayores a a, el |VL|sera siempre mayor al |VT |.

Si 2 LCR2 = 0 entonces la ecuacion 5.7 tiende a, lo que significa que no habra sobretension

a ninguna frecuencia. El valor crtico de resistencia que inicia la sobretension en el inductor esentonces

Rc =

2L

C(5.8)

5.3. RESONANCIA DE UN CIRCUITO PARALELO DE 2 RAMAS 43

y para todo valor de R Rc habra sobretension en L.Haciendo el mismo analisis ahora sobre el capacitor

|Z(jb)| = |XC(jb)| (5.9)

R2 +

(bL 1

bC

)2=

(1

bC

)2(bL)

2 = 2L

CR2

b =

2 LCR2

L(5.10)

La ecuacion 5.10 indica el valor de frecuencia para el cual los modulo de la impedancia total yreactancia capacitiva se igualan. Esta frecuencia b se indica en la figura 5.5. Para todo bhay sobretension en el capacitor.

Si 2 LC R2 = 0 entonces la ecuacion 5.10 se hace cero, es decir que no existe sobretension

para ninguna frecuencia. La resistencia crtica obtenida de esta ecuacion es

Rc =

2L

C

identica a la obtenida para el caso del inductor. Es decir que el efecto de sobretension aparecesimultaneamente en ambos elementos reactivos y la condicion para la existencia del mismo vienedada por la ecuacion 5.8.

0

Z0 = R

|Z(j)|

|XL|

|XC |

sobretension en L

sobretension en C

a b

R

Figura 5.5: Modulos de impedancias de un circuito con sobretension

En la figura 5.6 se ve como el modulo de la tension en el capacitor VC es mayor que el modulode la tension aplicada VT desde = 0 hasta = b. El modulo de la tension VL en el inductores menor que |VT | hasta = a y luego se mantiene superior para todo el rango de frecuencia.Para los valores de frecuencia a b, incluso en resonancia, existe sobretension en amboselementos reactivos.

5.3. Resonancia de un circuito paralelo de 2 ramas

Dado el circuito paralelo de dos ramas de la figura... se desea averiguar si existe un valor defrecuencia para el cual este circuito entra en resonancia. Es decir una frecuencia 0 a la cual latension de alimentacion V (j) = V0(j) este en fase con la corriente total I(j) = I0(j).


0

|VL|

|VC |

sobretension en L

sobretension en C

a b

|VT |

Figura 5.6: Sobretension en los elementos reactivos provocada por el valor de R

2 LC

Si el fasor tension y el fasor corriente estan en fase, su cociente sera un numero real puro

Z0(j) =V0(j)

I0(j) Numero real puro

Y0(j) =I0(j)

V0(j) Otro numero real puro

entonces otra forma de establecer la condicion de resonancia es anulando la parte imaginaria dela impedancia y por ende de la admitancia equivalente.

Si llamamos Y1 a la admitancia de la primera rama y Y2 a la de la segunda, la admitanciaequivalente del circuito sera

YT (j) = Y1(j) + Y2(j) =1

RC jXC +1

RL + jXL(5.11)

separando parte real e imaginaria

YT (j) =

(RL

R2L +X2L

+RC

R2C +X2C

)+ j

(XC

R2C +X2C

XLR2L +X

2L

)(5.12)

como la condicion para resonancia es1 [YT (j)] = 0, entoncesXC

R2C +X2C

=XL

R2L +X2L

(5.13)

10C

R2C + (1

0C)2

=0L

R2L + (0L)2

(5.14)

1

0C

[R2L + (0L)

2]= 0L

[R2C + (

1

0C)2]

(5.15)

R2L0C

+ 0LL

C= 0LR

2C +

1

0C

L

C(5.16)

despejando 0 tenemos

0 =1LC

R2L LCR2C LC

(5.17)

1Siendo [] la parte imaginaria de . . .

5.3. RESONANCIA DE UN CIRCUITO PARALELO DE 2 RAMAS 45

esta es la frecuencia de resonancia del circuito de la figura ... . Para que esta frecuencia exista,debe ser un numero real positivo, es decir que el radicando de la ec. 5.17 debe ser mayor quecero. Habra entonces resonancia si

R2L L

C> 0 y R2C

L

C> 0 (5.18)

o si

R2L L

C< 0 y R2C

L

C< 0 (5.19)

sino el circuito no entrara en resonancia a ninguna frecuencia.Si los valores R2L, R

2C y

LC

son iguales, tendremos una inderteminacion en la ec. 5.17 y nose puede determinar si habra o no resonancia a alguna frecuencia. Para analizar que ocurresupongamos que estos parametros toman un valor comun generico por ejemplo R2L = R

2C =

LC=

y reemplacemos esta constante en la ec. 5.16

0C+ 0L = 0L +

1

0C (5.20)

lo que significa que esta igualdad se cumple para cualquier frecuencia, y como esta igualdadimplica m [YT (j)] = 0 entonces para cualquier frecuencia la admitancia total sera un numeroreal puro y habra resonancia a todas las frecuencias.

Captulo 6

Unidad 8. Laplace

6.1. Transformada de Laplace

6.1.1. Definicion

La Transformada de Laplace es una transformacion matematica T : f(t) F (s) definidacomo:

0

f(t) est dt = F (s) (6.1)

donde t > 0 y s es una variable compleja de la forma s = + con > 0.A la transformacion T se la representa con el smbolo L, y se escribe

L[f(t)] = F (s)Si f(t) se dice que esta en el dominio del tiempo, F (s) se dice que esta en el dominio de lafrecuencia compleja, en el dominio de la pulsacion compleja o simplemente en el dominio de lavariable s.

Para encontrar la transformada de Laplace de una funcion se debe integrar sobre t entre 0 e la funcion a transformar multiplicada por est, segun indica su definicion (ec. 6.1).Ejemplo 6.1 Sea la funcion f(t) = eat u(t) 1, vamos a encontrar su funcion transformada F (s).

L[eat u(t)] = F (s) =

0

eat est dt

=

0

e(s+a)t dt

=e(s+a)t(s+ a)

0

=e(s+a)

s+ a+e(s+a)0

s+ a

L[eat u(t)] = 1s+ a

(6.2)

Notese que la valuacion del lmite superior da cero debido a que se definio Re[s] > 0. Sinesta restriccion s podra tomar valores menores a cero provocando una indeterminacion en laevaluacion de la integral. La definicion de la variable s determina lo que se conoce como la

1La funcion escalon u(t) hace que f(t) u(t) = 0 t < 0

47

48 CAPITULO 6. UNIDAD 8. LAPLACE

ROC (Region O f Convergency) o region de convergencia de la transformada, para nuestrocaso la region de convergencia es todo el semiplano complejo de valor real positivo.

No siempre es necesario calcular esta integral para encontrar nuevas transformadas. Haciendouso de transformadas ya calculadas y de operaciones algebraicas se pueden encontrar nuevastransformadas.

Ejemplo 6.2 Encontrar la transformada de la funcion escalon f(t) = u(t)

Si tomamos lmite al resultado del ejemplo anterior (ec. 6.2) para a que tiende a cero 2

lma0

L[eat u(t)] = lma0

1

s+ a

L[u(t)] = 1s

(6.3)

que es la transformada de la funcion f(t) = u(t) (fig. 6.1).

1

t

u(t)

Figura 6.1: Funcion escalon f(t) = u(t)

6.1.2. Propiedades de la transformada

Algunas propiedades de la Transformada de Laplace son de gran utilidad para encontrartrasformadas de funciones compuestas o que de alguna forma se relacionan con funciones cuyastransformadas se conocen. Las mas usadas de estas propiedades se describen a continuacion.

Unicidad

A una funcion f1(t) le corresponde una unica funcion transformada F1(s) y una funcion F1(s)es transformacion de una y solo una funcion f1(t)

f1(t) F1(s) y F1(s) f1(t)

Otra forma de enunciar esta propiedad es: si f(t) tiene como transformada a F (s), y g(t) tienecomo transformada a la misma F (s), entonces f(t) y g(t) son iguales. Esta propiedad es de granimportancia ya que permite formar los llamados pares de transformadas que se utilizan pararealizar la operacion de antitransformacion, como se vera en detalle mas adelante.

2Para poder tomar lmite sobre la funcion a transformar eat u(t) se aplica la propiedad de linealidad de latransformada (ver pag. 49)

6.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE 49

Linealidad

La transformada de la suma de funciones es igual a la suma de las transformadas de cada unade estas funciones

a1 f1(t) + a2 f2(t) a1 F1(s) + a2 F2(s)donde F1(s) y F2(s) son las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente.

Ejemplo 6.3 Encontrar la transformada de Laplace de la funcion Aeat u(t)

El calculo de la transformada por integracion es

L[Aeat u(t)] = F (s) =

0

Aeat est dt

= A

0

e(s+a)t dt

L[Aeat u(t)] = As+ a

(6.4)

ahora si en lugar de resolver la integral se aplica la propiedad de linealidad y se hace usode de la (ec. 6.2) se tiene

L [Aeat u(t)] = AL [eat u(t)] = As+ a

que coincide con el calculo por integracion (ec. 6.4).

Ejemplo 6.4 Podemos hacer uso de la igualdad de Euler para encontrar la transformada desen(t). Sabiendo que

sen(t) =1

2

(et et)

aplicando la propiedad de linealidad la transformada sera

L[sen(t)u(t)] = L [sen(t)] = L[1

2

(et et)]

=1

2L[et] 1

2L[et]

=1

2

(1

s ) 1

2

(1

s+

)=

(s+ ) (s )2 (s )(s+ ) =

s+ s+ 2(s2 + 2)

=2

2 (s2 + 2)

L[sen(t)u(t)] = (s2 + 2)

(6.5)

Desplazamiento en t

Si una funcion f(t) se desplaza un tiempo t0 de forma que

f(t)u(t) f(t t0)u(t t0)


entonces su transformada3 sera:

L[f(t t0)u(t t0)] = t0

f(t t0) est dt

para resolver esta integral hagamos un cambio de variable4 q = t t0 de modo que dq = dt

=

0

f(q) es(q+t0) dq

=

0

f(q) esq est0 dq

= est0

0

f(q) esq dq transformadade f sin desplazar

L[f(t t0)u(t t0)] = est0 F (s) (6.6)La transformada de una funcion f(t) desplazada en t0 es igual a la transformada F (s) de la funcionsin desplazar, multiplicada por est0 . Esta propiedad se conoce como teorema del desplazamientoen el dominio del tiempo.

A

t0 t

u(t t0)

Figura 6.2: Funcion escalon desplazado f(t) = Au(t t0)

Ejemplo 6.5 Una funcion escalon de amplitud A se inicia un tiempo t0 despues de t = 0 (fig.6.2). Calcular su transformada aplicando la propiedad del desplazamiento en t .

Como sabemos (ec. 6.3), la transformada de un escalon es

L[Au(t)] = As

entonces, segun la propiedad anterior, la transformada del escalon que se inicia en t = t0sera:

L[Au(t t0)] = est0 As

Desplazamiento en s

Si una funcion f(t) es afectada por una exponencial eat su transformada de Laplace sufreun desplazamiento en s.

L[eat f(t)] =

0

eat f(t) est dt

3La transformada se define para t > 0 por lo que la integracion se realiza entre 0 e , si t se desplaza a t t0entonces la transformada queda definida para t t0 > 0, o bien t > t0 y la integracion debe realizarse entre t0 e

4Esto cambia nuevamente el lmite inferior de integracion puesto que ahora q = tt0 y como tt0 > 0 entoncesq > 0

6.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE 51

=

0

f(t) e(s+a)t dt

haciendo un cambio de variable de forma que s+ a = g, la integral toma la forma de la transfor-mada pero en la variable g, o bien, en la variable desplazada s+ a

=

0

f(t) e(g)t dt = F (g)

L[eat f(t)] = F (s+ a) (6.7)El desplazamiento en frecuencia de una funcion transformada se produce al multiplicar la fun-cion por un exponencial en el dominio del tiempo. Esta propiedad se conoce como teorema deldesplazamiento en la variable s.

Ejemplo 6.6 Si afectamos al escalon Au(t) por el exponencial eat, segun la propiedad deldesplazamiento en s la transformada de Au(t) se vera desplazada en s+ a

F (s) =A

s F (s) = F (s+ a) = A

s+ a

que es coincidente con la transformada L[eatAu(t)] encontrada antes por integracion (ec.6.4).

6.1.3. Derivacion e integracion

La trasformada de una funcion y la transformada de sus sucesivas derivadas mantienen unarelacion en el dominio de la variable s que hacen a la transformada de Laplace una herramientamuy potente en la resolucion de ecuaciones diferenciales. A partir de estas transformacionesintroduciremos el concepto de condicion inicial, que justifica la integracion para t 0 en elcalculo de la transformada.

Si bien la derivacion e integracion son tambien propiedades de la transformada, se las tratapor separado debido a su gran importancia.

Transformada de la derivada de una funcion f(t)

Sea la funcion f(t) y su transformada F (s), y sea g(t) = df(t)dt , entonces:

L[g(t)] = L[df(t)

dt

]=

0

df(t)

dtest dt

resolviendo la integral por partes 0

u dv = uv0

0

v du

con

u = est du = sestdv = df(t) v = f(t)

la integral queda

L[g(t)] = f(t)est0

0

f(t)(sest) dt


= f()es =cero

f(0)e0s + s

0

f(t)est dt transformadade f(t)

= f(0) + sL [f(t)]

L[g(t)] = G(s) = sL [f(t)] f(0)la transformada de la derivada de una funcion es el producto de s por la transformada de lafuncion, menos el valor inicial o condicion inicial de esta funcion f(t). Este valor inicial es elvalor que toma la funcion original f(t) en t = 0.

L[df(t)

dt

]= sF (s) f(0) (6.8)

Ejemplo 6.7 Sabiendo que

F (s) = L [sen(t)] = (s2 + 2)

encontrar la transformada del cos(t) aplicando la propiedad de derivacion.

Derivando respecto al tiempo t

d (sen(t))

dt= cos(t)

la transformada sera

L[d (sen(t))

dt

]= L[ cos(t)] = s F (s) f(0)

= s

(s2 + 2) sen(0)

L [ cos(t)] = s(s2 + 2)

es decir que

L [cos(t)] = s(s2 + 2)

(6.9)

Observese en este caso que la condicion inicial del sen(t) es 0, pero esto no es siempreas y se debe tener cuidado de no pasar por alto el valor inicial de la funcion al calcular suderivada en el dominio de s.

Ejemplo 6.8 La funcion f(t) = eat tiene como derivada en el tiempo a la funcion f (t) =aeat cuya F (s) es, aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace,

aF (s) = as+ a

(6.10)

Resolviendo ahora a partir de la transformada de la derivada tenemos

L [f (t)] = s F (s) f(0)como f(0) = ea0 = 1,

L [f (t)] = s 1s+ a

1

=s (s+ a)

s+ a

L [f (t)] = as+ a

que concuerda con la (ec. 6.10).

6.2. APLICACION A LA RESOLUCION DE CIRCUITOS 53

Esta propiedad de la transformada de Laplace permite convertir una ecuacion diferencial(a0f(t) + a1f

(t) + + anfn(t) = g(t)) en una simple ecuacion algebraica en s, lo que facilitaenormemente su resolucion en el dominio de la frecuencia compleja.

Transformada de la integral de una funcion f(t)

pendiente

Ejercicios

Ejercicio 6.1 Encontrar la transformada de Laplace de la funcion:

f(t) = et [A sen(t) +B cos(t)]

Ejercicio 6.2 Encontrar la transformada de Laplace de g(t) = d2f(t)dt2 en funcion de la transfor-

mada de la primitiva f(t) F (s)

Ejercicio 6.3 Transformar al dominio de la variable s la funcion excitacion mostrada en la fig.6.3

3

0 1 t

f(t)

Figura 6.3: Excitacion pulso

6.2. Aplicacion a la resolucion de circuitos

Un circuito electrico con elementos que almacenan energa tiene como respuesta una ecuaciondiferencial. El orden de esta Ec. Dif. depende de cuantos elementos inductivos o capacitivosirreductibles tenga el circuito. Por medio de la transformada de Laplace vamos a obtener unaecuacion algebraica en s que representa la Ec. Dif. en el dominio de la frecuencia.

La resolucion del circuito consiste por ahora en encontrar la funcion respuesta en el dominode la frecuencia (mas adelante veremos como encontrar la funcion respuesta en el dominio deltiempo a partir de su funcion transformada).

vL

vR

vin(t) i(t)

Figura 6.4: Circuito serie RL


Supongamos un circuito RL como el de la (fig. 6.4) excitado con una fuente vin(t) que tieneuna corriente inicial i(0)=I0. Se desea encontrar la funcion respuesta I(s) = L [i(t)].

Aplicando la LKV y segun los signos de las tensiones tenemos

vin(t) vR(t) vL(t) = 0de donde la Ec. Dif. en terminos de la respuesta sera

vin(t) = R i(t) + Ldi(t)

dt(6.11)

Para resolver transformemos esta ecuacion aplicando L[ ] a ambos miembros

L [vin(t)] = L[R i(t) + L

di(t)

dt

]por la propiedad de linealidad

L [vin(t)] = L [R i(t)] + L[Ldi(t)

dt

]resolviendo por separado cada una de estas transformadas se obtiene

L [vin(t)] = Vin(s) (6.12)L [R i(t)] = R I(s) (6.13)

L[Ldi(t)

dt

]= L (sI(s) i(0)) (6.14)

entonces, la Ec. Dif. se transforma en la siguiente ecuacion algebraica en la variable s

Vin(s) = R I(s) + sL I(s) L i(0) (6.15)reordenando terminos y reemplazando el valor inicial de la corriente en el inductor (i(0) = I0),despejamos I(s)

RI(s) + sLI(s) = Vin(s) + LI0

I(s) =Vin(s) + LI0

R+ sL(6.16)

que es la solucion buscada.Si bien lo que tenemos hasta ahora es la transformada de la respuesta i(t), sabemos por la

propiedad de unicidad que esta transformada es unica y por lo tanto a partir de ella podremosencontrar una y solo una funcion i(t) que cumpla con

i(t) = L1[I(s)] (6.17)esta operacion se llama antitransformada de I(s) y es la que nos lleva desde el dominio de s aldominio de t. Se vera en detalle mas adelante.

Ejemplo 6.9 En t = 0 se aplica al circuito RL serie de la (fig. 6.5) una tension continua de 55V.Encontrar la transformada de la respuesta i(t) t > 0.Segun la LKV, la malla debe cumplir5

55 u(t) = 470 i(t) + 300 103 di(t)dt

5La funcion u(t) representa la aplicacion de la fuente en el tiempo t = 0.


300mH

470

55u(t) i(t)

Figura 6.5: Circuito serie RL que se enciende en t = 0

Aplicando la transformada a ambos miembros tenemos

L [55u(t)] = 470L[i(t)] + 300 103L[di(t)

dt

]55

s= 470I(s) + 300 103 (sI(s) i(0)) (6.18)

la corriente inicial del circuito es i(0) = 0 debido al inductor. Despejando I(s) queda

I(s)(470 + 300 103s) = 55s

I(s) =55

s

(1

470 + 300 103s)

I(s) =183, 33

s(s+ 1566, 66)(6.19)

Ejemplo 6.10 Si ahora queremos obtener la tension en el inductor debemos derivar la corrientei(t) en el tiempo y multiplicar por L. Pero podramos mas facilmente obtener la trans-formada de la tension en el inductor aplicando la propiedad de la derivacion. En efecto,sabiendo que

vL(t) = Ldi(t)

dt

la transformada sera

VL(s) = sLI(s) Li(0)como ya dijimos, el valor inicial de i(t) en este caso es nulo, entonces con L = 300mH nosqueda

VL(s) = sL I(s) = sL183, 33

s(s+ 1566, 66)

VL(s) =55

s+ 1566, 66(6.20)

6.2.1. Funcion de transferencia

En general se define como funcion de transferencia al cociente entre la transformada de lasalida y la transformada de la entrada de un sistema con todas las condiciones iniciales iguales acero.

H(s) =Y (s)

X(s)(6.21)


dondeY (s) = L[y(t)]

es la transformada de la salida del sistema, y

X(s) = L[x(t)]es la transformada de la entrada.

En terminos de circuitos electricos se denomina funcion de transferencia a la transformadade la respuesta sobre la transformada de la excitacion, cuando todos los elementos inductivos ycapacitivos del circuito estan desenergizados.

Si analizamos por ejemplo el circuito RL serie de la pagina 53, donde definimos la tensionvin(t) como excitacion y la corriente i(t) como respuesta, la funcion de transferencia es

H(s) =I(s)

Vin(s)=

1

R+ sL(6.22)

Podemos cambiar el punto de vista de la entrada y salida de este circuito, pensando al RLcomo una carga por la que circula una corriente i(t) provocando una cada de tension en susbornes vcarga = vin como respuesta. En este caso la funcion de transferencia sera el cocienteentre la Vin(s) (respuesta) y la I(s) (excitacion).

H(s) =Vin(s)

I(s)= R+ sL (6.23)

En el dominio de se define como impedancia Z() al cociente entre el fasor tension V ()sobre el fasor corriente I(). Analogamente, en el dominio de la variable s definimos la (ec. 6.23)como impedancia de Laplace, o impedancia de s, o simplemente Z(s)

Z(s) =V (s)

I(s)(6.24)

que representa la funcion de transferencia total del circuito, cuando se consideran la corrientecomo excitacion y la cada de tension provocada como respuesta.

De esta misma forma podemos definir la funcion de transferencia de cada uno de los elementos,considerando la cada de tension sobre cada uno de ellos.

Para la resistencia, la cada de tension en el domino de s sera

VR(s) = RI(s)

y su funcion de transferencia R(s)

R(s) =VR(s)

I(s)= R (6.25)

que es la resistencia de s o de Laplace.

Para el inductor6

VL(s) = sLI(s) i(0)entonces, su funcion de transferencia sera

L(s) =VL(s)

I(s)= sL (6.26)

que es la impedancia inductiva de s.

6Recordar que la funcion de transferencia se define con condiciones iniciales iguales a cero.


La relacion tension - corriente en un capacitor es

i(t) = CdvCdt

(6.27)

transformando ambos miembros

I(s) = C [sVC(s) vC(0)]donde vC(0) es la tension inicial del capacitor, como para encontrar la funcion de transfe-rencia debemos hacer cero las condiciones iniciales tendremos

C(s) =VC(s)

I(s)=

1

sC(6.28)

que es la impedancia capacitiva de s o de Laplace.

Como puede observarse en la (ec. 6.24), la impedancia total de Laplace en un circuito serie es lasuma de las impedancias de Laplace de cada elemento.

6.2.2. Circuito equivalente de Laplace

Si se toman en consideracion las condiciones iniciales y se suponen en general distintas de cero,se puede utilizar la representacion de las respuestas de cada elemento para construir lo que seconoce como circuito equivalente de Laplace. Este circuito equivalente debe permitirnos obteneren forma directa la ecuacion de la respuesta en la variable s, sin tener que plantear primero laEc. Dif. y luego transformar para poder resolver.

Para encontrar un circuito equivalente serie RLC partimos de la sumatoria de las tensionesen el tiempo y luego transformamos

vin(t) = vR(t) + vL(t) + vC(t)

Vin(s) = VR(s) + VL(s) + VC(s)

como ya vimos, la transformada de las tensiones que caen en cada elemento son

VR(s) = RI(s); VL(s) = sLI(s) Li(0); VC(s) = 1sC

[I(s) + CvC(0)]

reemplazando

Vin(s) = RI(s) + [sLI(s) Li(0)] +[1

sCI(s) +

vC(0)

s

](6.29)

Analizando los diferentes terminos del segundo miembro de (ec. 6.29) vemos que alguno deellos tienen como factor a I(s). El producto de una corriente por una carga nos da la tension abornes del elemento, lo que significa que R, sL y 1

sCson cargas. Esto es acorde a lo visto antes

cuando se encontro la funcion de transferencia de cada elemento.Por otro lado aparecen las condiciones iniciales, tanto del inductor como del capacitor, que no

contienen el factor I(s), y como estamos sumando tensiones estos terminos deben ser tensiones.En el circuito equivalente se los representa con generadores cuyo valor depende de la energainicial almacenada en cada elemento.

Finalmente, agrupando generadores en un miembro y terminos con el factor I(s) en el otro,la ecuacion de circuito queda

Vin(s) + Li(0) vC(0)s

= RI(s) + sLI(s) +1

sCI(s)


LR

Cvin(t) i(t)

(a)

sLR

1sC

Vin(s) I(s)Li(0)

vC(0)s

(b)

Figura 6.6: Circuito serie RLC (a), y su equivalente de Laplace(b)


=

(R+ sL+

1

sC

)I(s)


= Z(s)I(s)

Nuevamente, Z(s) es la impedancia de s o impedancia de Laplace, formada por la suma de cadauna de las impedancias de s del circuito.

Z(s) =

(R+ sL+

1

sC

)(6.30)

El circuito de la (fig. 6.6(b)) permite obtener en forma directa la (ec. 6.29) que es lo que se buscaba.Observese como la polaridad de los generadores de tension que representan las condiciones inicialesdeterminan el signo en la ecuacion.

De igual forma, hagamos ahora el mismo analisis con un circuito RLC paralelo. Partiendo dela suma de las corrientes en el tiempo igual a la corriente total y luego transformando tendremos

iin(t) = iR(t) + iL(t) + iC(t)

Iin(s) = IR(s) + IL(s) + IC(s)

reemplazando

IR(s) =Vin(s)

R

IL(s) =1

sL[Vin(s) + Li(0)]

IC(s) = C [sVin(s) vC(0)]la ecuacion de circuito queda

Iin(s) =Vin(s)

R+

1

sL[Vin(s) + Li(0)] + C [sVin(s) vC(0)] (6.31)

Iin(s) = Vin(s)

(1

R+

1

sL+ sC

)+i(0)

s CvC(0)

Iin(s) = Vin(s)1

R+ Vin(s)

1

sL+i(0)

s+ Vin(s) sC CvC(0) (6.32)

Como estamos sumado corrientes, los terminos con el factor Vin(s) son las admitancias de Laplacey los demas son fuentes de corrientes que dependen de los valores iniciales de energa almacenadaen inductores y capacitores. La (ec. 6.32) puede obtenerse en forma directa del circuito de la (fig.6.7(b))


LR Ciin(t)

(a)

sLR 1sC

Vin(s)

Iin(s)

i(0)s

CvC(0)

(b)

Figura 6.7: Circuito paralelo RLC (a), y su equivalente de Laplace (b) utilizando generadores de corrientepara representar las condiciones iniciales

Agrupando cargas y fuentes tenemos

Iin(s) i(0)s

+ CvC(0) = Vin(s)

(1

R+

1

sL+ sC

)(6.33)

Iin(s) i(0)s

+ CvC(0) = Vin(s)1

Z(s)

es decir que la impedancia total de s en un RLC paralelo es

1

Z(s)=

1

R+

1

sL+ sC

Z(s) =1

1R+ 1

sL+ sC

Si en lugar de representar las condiciones iniciales con generadores de corriente queremos re-presentarlas por fuentes de tension como se hizo en el circuito equivalente serie podemos reescribirla (ec. 6.31) de la siguiente forma

Iin(s) =Vin(s)

R+

1

sL[Vin(s) + Li(0)] + sC

[Vin(s) vC(0)

s

](6.34)

donde vemos que las condiciones iniciales son ahora tensiones que se suman o restan a la Vin(s)para dar la tension aplicada VL(s) y VC(s) a los elementos sL y

1sC

respectivamente, en el circuitode la (fig. 6.8(b)) se representa la (ec. 6.34).

Es decir que en el circuito equivalente paralelo de Laplace cada elemento almacenador deenerga tendra asociado en serie al mismo, un generador de tension igual al de cada elemento delcircuito equivalente serie (fig. 6.6).

LR Ciin(t)

(a)

sLR

1sC

Vin(s)

Iin(s)

L i(0) vC(0)s

(b)

Figura 6.8: Circuito paralelo RLC (a), y su equivalente de Laplace (b) utilizando generadores de tensionpara representar las condiciones iniciales


Como regla general podemos decir que la representacion de cada elemento en el circuitoequivalente de Laplace estara dada por su funcion de transferencia mas un generador de tensionasociado al elemento que represente su condicion inicial. Si recorremos la malla en el sentido decirculacion de la corriente, en un inductor este generador debe ser una subida de tension y en uncapacitor una cada de tension.

6.2.3. Respuesta al impulso

La funcion delta de Dirac, o funcion delta, o funcion impulso es una funcion teorica7 definidacomo

(t) =

{ para t = 00 otro t

(t) dt = 1

Si un circuito es excitado por una funcion como esta, se obtendra una respuesta de forma muyparticular que analizaremos a continuacion.

1t0

0 t0

1t0

u1(t)

u2(t)

t

1t0

0 t0 t

f(t)

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