REPRESENTACIÓN DE PUNTOS Y POLIGONALES FASE DESARROLLO DE ... · TALLER APP GEOGEBRA EN EL AULA...

FERNANDOARRIBASYCARMENGALÁN 1

TALLERAPPGEOGEBRAENELAULA

REPRESENTACIÓNDEPUNTOSYPOLIGONALES

FASE DESARROLLODELAFASE TIEMPOFasede

planificaciónObjetivos:-InstalarlaAppdeGeogebraenelmóvil.-Representarpuntosenelplano.-Representarpoligonalesenelplano.¿Paraquémesirveesto?-Comprendereinterpretargráficas.

0’

Fasedeejecución 1)InstalarlaAppdeGeogebra.2)Teapareceránunosejesdecoordenadas,unrectánguloazulconuniconodeunacalculadorayotroconuntriánguloyuncírculo.UtilizandoelprimeroescribeA=(0,1)ypulsaInventaotrosdospuntosByC.PulsandoenelMenudesplegablequehayenlaesquinasuperiorizquierda,pulsaBorrartodoyacontinuaciónDescartarloscambiosrealizados.3)IntroducelospuntosA=(1,0)yB=(2,3).SeleccionaelcomandoSegmentoqueseencuentradentrodeliconodelcírculoyeltriánguloyluegopulsaconsecutivamenteelpuntoAyelB.Verásqueseformaelsegmentoquelosune.

5’5’5’

Fasedeauto-reflexión

Ø ¿ErescapazderepresentarlospuntosM(5,-4)enrojoyN(-1,2)enazulycondiferentesestilos?

5’



FUNCIONESDADASPORSUEXPRESIÓNANALÍTICA.DOMINIOEIMAGEN


planificaciónObjetivos:-Representarfuncionesapartirdelafórmula.-Estudiardominioeimagendeunafunción.¿Paraquémesirveesto?-Comprendereinterpretargráficas.

1’

Fasedeejecución 1)Introducelafunción:y=2x2+x-22)Enlabarradeentrada,pulsasobrelalíneadetrespuntosqueaparecealaderechadelafunciónyutilizalaopcióndeConfiguraciónparamodificaralgunascaracterísticasdelagráfica.Eldominio de la funciónvienedadopor el conjunto de valores de lavariable independiente, para loscualeslafunciónexiste.El recorrido o imagen de la función viene dado por elconjunto de valores de la variable dependiente, para loscualeslafunciónexiste.Así,enlafunciónquehasrepresentado:Domf(x)=(-∞,+∞)Imf(x)=[-0.25,+∞).3)AñadeestosdatosalagráficaanteriorconlaApputilizandolaherramientaLápiz.

2’2’0’5’5'


Ø Representalassiguientesfuncionesenunamismagráficaymodificasuspropiedades.𝑎)𝑓 𝑥 = 𝑥' − 5𝑥 + 3b)𝑖 𝑥 = sen(𝑥' − 1)

Ø Escribeenlagráficadecadafuncióneldominioyelrecorridodelamisma.a)𝑔 𝑥 = 𝑥' − 5𝑥 b)ℎ 𝑥 = 2𝑥 − 6

10’



CONTINUIDAD.MONOTONÍA


planificación

Objetivos:-Estudiarcontinuidad,intervalosdecrecimientoydedecrecimientodeunafunción.¿Paraquémesirveesto?-Comprendereinterpretargráficas.

0’

Fasedeejecución Una función es continua cuando se puede dibujar sinlevantarellápizdelpapel.1)Representalafunción:𝑓 𝑥 = 6

678

¿Escontinualafunción?¿Enquévalordexnoescontinua?Unafunciónescrecientecuandoalaumentar(odisminuir)lavariableindependienteaumenta(odisminuye)ladependiente.Unafunciónesdecrecientecuandoalaumentar(odisminuir)lavariableindependientedisminuye(oaumenta)ladependiente.3)Representalasiguientefunción:𝑓 𝑥 = 𝑥' + 5¿Cuálessonlosintervalosdecrecimientoydedecrecimiento?

5’5’5’


Ø Representalassiguientesfuncioneseindicasisoncontinuas,y,encasodequenoloseanlospuntosdediscontinuidad.Estudiaencadaunadeellaslosintervalosdecrecimientoydecrecimiento.

a) 𝑓 𝑥 = 869'

b)𝑔 𝑥 = 𝑥' + 2𝑥 + 1

c)ℎ 𝑥 = 3:

;<=:d)𝑖 𝑥 = −3𝑥 + 5

5’



EXTREMOSRELATIVOS


planificaciónObjetivos:-Estudiarmáximosymínimosrelativosenunafunción.¿Paraquémesirveesto?-Comprendereinterpretargráficas.

0’

Fasedeejecución

Elmáximodeunafuncióneselpuntoenelquesealcanzaelmayorvalordelavariabledependiente.Elmínimodeunafuncióneselpuntoenelquesealcanzaelmenorvalordelavariabledependiente.1)LasiguientegráficamuestralatemperaturadeAndrés,quehaestadoenfermotresdíasysehapuestoeltermómetrocuatrovecesaldía.Enelejedeabscisasserepresentanlashorasyeneldeordenadaslatemperatura.¿Cuálessonlosmáximosymínimosdelafunción?

2)LaappdeGeogebratambiénpermitehallarlosextremosrelativosdeunafunción.ParaellodebemosrepresentarlafunciónyluegoconelcomandoExtremo,queseencuentradentrodelmenúFuncionesyCálculo,apareceráunalistadelosextremosdelafunción.Encuentralosmáximosymínimosdelafunción:𝑦 = 𝑥'

1’5’5’


Ø RepresentalasfuncionessiguientesycalculasusextremosrelativosconlaAppGeogebra:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥' − 5𝑥 + 6b) b)𝑓 𝑥 = −2𝑥? + 15𝑥' − 36𝑥 + 12c)𝑓 𝑥 = ?

896<

d)𝑓 𝑥 = 𝑥'𝑒96Realizacadaapartadoenundocumentodistinto

5’



PARÁMETROS


planificaciónObjetivos:-Estudiarfamiliasdefuncionesmodificandounparámetro.¿Paraquémesirveesto?-Comprendereinterpretargráficas.

0’

Fasedeejecución

1)Vamosaestudiarlafamiliadelasfuncionesquetienencomofórmula𝑦 = A

6

ComienzarepresentandoenlaApplafunción𝑦 = B6

Enelmismodiagrama,representalafunción𝑦 = 8C

6

Paraevitartenerqueescribirunayotravezelvalordiferentequesequiereensayarparaelparámetrok,sepuedenemplearundeslizador.Introducelafunción𝑦 = A

6

Automáticamenteteapareceundeslizadork,cuyosvaloresoscilanentre-5y5.Modificalaconfiguracióndeldeslizadorparaquetomevaloresentre-15y15.Después,pulsalateclaPlayyobservalafamiliadefuncionesqueserepresentan.2)Utilizandodeslizadorespodemosresolvermuchosproblemasdefuncionesquecontienenparámetros.Enunciadodelproblema:Dadalafunción𝑓 𝑥 = 𝑥? + 𝑎𝑥' + 5hallaelvalordeaparaquetengaunextremorelativo(máximoomínimo)cuandox=2.Pararesolverelproblema,introducimoslafunciónenlaAppyutilizamoslaherramientaDeslizadordefiniéndolaentrelosvalores-10y10.Configuraeldeslizadorparaquetomeincrementosdeunaunidad(1).PuedesmovereldeslizadormanualmenteopulsarlateclaPlayhastaverquesealcanzaunextremoenx=2cuandoa=-3.Eltipodeextremorelativoesunmínimo.Además,lafuncióntieneunmáximoenx=0.

15’

15’


Ø Estudialafamiliadefuncionesy=mx.Utilizaeldeslizadormconvaloresentre-10y10eincrementosde0.1.

Ø Determinaelvalordeaparaquelafunción𝑓 𝑥 = 𝑥? +𝑎𝑥' + 6tengaunextremoenx=2

10’

10’



ExamenI

Ø Completalasiguientetablaenlaqueacadavalordexlecorrespondesutriplemenosdos(valordey):

x -3 -2 -1 0 1 2y

a) RepresentalosseispuntosobtenidosconlaApp.b) EscribeconlaherramientaLápizlafórmuladelproblema.c) Representagráficamentelafórmulaanterior.d) Representa el punto P(4,9). ¿Cumple las condiciones del enunciado? Obsérvalo

gráficamente.EscribeconlaherramientaLápiz lapalabraSIoNO,dependiendodesicumpleonolascondicionesdelproblema. (3p)

Ø Representalafunción:𝑦 = 6<

678

Modificasuspropiedades(color,estilo,trazo,…).Hallaelvalordesusextremosrelativos(máximoymínimo).UtilizalaherramientaLápizparaseñalarlosenlagráfica. (2p)

Ø Representalassiguientesfunciones:𝑦 = 𝑥'𝑦 = 𝑥' − 1𝑦 = 𝑥' − 7Representalafunción𝑦 = 𝑥' − 𝑎(Configuraeldeslizadoraconmínimoen-5,máximoen5eincrementode1).Determinaelvalordeaparaquelafunciónanteriortengaunmínimoenelpunto(0,-4). (2p)

Ø Sehacontado,cadahora,elnúmerodepersonasqueasisteaunaexposicióneldíadesuapertura,obteniéndoselasiguientetabla:

a) RepresentalosochopuntosobtenidosconlaApp.Realizaunapoligonalconlosdatos

obtenidos.b) EscribeconlaherramientaLápizeldominioylaimagendelafunción,estudiasu

continuidadylosintervalosdecrecimientoydecrecimientodelamisma.

Domf(x)= (3p)

Imf(x)=

Continuidad:

I.decrecimiento:

I.dedecrecimiento:



FUNCIONESLINEALESYAFINES


planificaciónObjetivos:1. Conoceryrepresentarlaecuacióndeunarecta,bienensuformaanalíticaobiendadosdospuntos2. Identificarlapendientedeunarecta

0’

Fasedeejecución Unafuncióndeproporcionalidaddirectaofunciónlineal,se expresa de la forma y=mx siendo m un númerocualquiera.La representación gráfica es una recta que pasa por elorigendecoordenadas.Cuando entre dos magnitudes existe una relación deproporcionalidaddirecta, la funciónque representadicharelacióneslineal.IntroducelospuntosA=(0,0)yB=(2,1).Acontinuación,seleccionaenrectas,eliconorectaquepasapordospuntos,luegopulsasobreunodeellosydespuéssobreelotro.OtraopciónqueofreceGeogebraesconstruirunarectadandosuecuación.Enlavistadelacalculadoraintroduceporejemploy=2x,yverásquedirectamenteaparecelarecta.1.a)Halla,conayudadelaappdeGeogebra,laecuacióndeunafunciónlinealsabiendoquepasaporelpunto(1,7)2.Unatletaharecorridolasdistanciasquesemuestranenlatablaenlostiemposqueseindican.

Tiempo(min)

1 2 3 4

Recorrido(km)

0,2 1 1,6 2,4

Determina,apartirdeestosparesdevalores,silarelaciónentreestasmagnitudesesonodeproporcionalidad.Paraellosimplementerepresentalagráficadelafunciónquepasaporesospuntos,yobténlaexpresiónanalíticaconlaappGeogebra.4.Hallalaecuacióndelarectaquepasaporlospuntos(1,3)y(3,7)conlaayudadelaappdeGeogebra.Indicasupendiente.Paraellodebesintroducirlosdospuntosyluegoseleccionarelcomandorectaquepasapordospuntosdelaapp

0’5’5’5’5’5’



6.Representalassiguientesrectasintroduciendodirectamentelaecuación:a)y=3x+4 y=3x-2 b)y=-2x+5 y=-2x-3c)y=-x+6 y=-x-6

5’


Introducedosdeslizadores,unodeellossellamaráayelotrob.Ahoraintroducelasrectasy=ax+2;y=bx-1.Muevelosdeslizadoresayb,yobservaloqueocurreconlasrectas.Reflexionaacercadecuándoseránparalelaslasrectas,ycuándoseránperpendiculares.

Respondealassiguientespreguntas:a) ¿Cómoeslarectacuandosupendienteespositiva?b) ¿Cómoeslarectacuandosupendienteesnegativa?c) ¿Quéocurrecuandodosrectastienenlamismapendiente?¿Cómoson?¿Llegaránacortarse?

5’



RECTASPARALELASYPERPENDICULARES


planificaciónObjetivos:1. Identificarcuándodosrectassonparalelasycuándosonperpendiculares.2. Obtenerlaexpresiónanalíticadeunarectaparalelaoperpendicularaunadada

0’

Fasedeejecución Unafunciónafínseexpresadelaformay=mx+n,siendomyndosnúmeroscualesquiera.meslapendientedelarectayneslaordenadaenelorigen.Representalarectay=2x-1.RepresentatambiénelpuntoC=(0,1)SeleccionaahoraeliconoRectaperpendicular,luegoseleccionalarectayposteriormenteelpunto,verásquesegeneralarectaperpendicularaladadaquepasaporelpunto.Lomismoharemosconlarectaparalela.GeneralarectaparalelaaladadaquepaseporC.1.Encuentralaecuacióndelarectaquecortaalejexen3yesparalelaalarecta3x-4y=42.Determinalaecuacióngeneraldelarectaqueesperpendicularalarecta3y-6x=5ypasaporelpunto(3,-4)3.Determinalaecuacióndelarectaquecortaalejexen6yesparalelaalarectaquepasapor(1,2)y(4,5)4.Determinalaecuacióndelarectaperpendiculara2y-x-6=0ytienelamismaordenadaenelorigen.

0’5’

5’5’5’5'


Dadalarectarquesemuestraen la figura, determina laecuacióndelarecta:

a) Paralela a r y que pase por(2,-3)

b) Paralela a r y que tengaordenadaenelorigen3

c)Perpendiculararyquecortealejexen7

¿Cómoserálaecuacióndeunarectaparalelaay=ax+b?¿ydeunarectaperpendicular

10’



INTERSECCIÓNDERECTAS


planificaciónObjetivos:1. Calcularelpuntodecortededosrectasencasodequeseansecantes.2. Identificarlaposiciónrelativadedosrectas.

0’

Fasedeejecución DibujalarectaquepasaporA=(0,0)yB=(1,-1),ylarectaquepasaporC(-2,0)yD=(0,2).AhoraseleccionaeliconoInterseccióndedosrectas,yluegopulsassobrecadaunadeellas.ApareceráelpuntoE=(-1,1),queespuntodeinterseccióndeambas.1)a)Representalarectar,quepasapor(1,0)ypor(3,6)b)Representalarectas,paralelaay=2xquepasaporelpunto(4,4)c)Obténelpuntodecortedelasdosrectasanteriores.2)a)Representalarectaquepasapor(2,1)yesparalelaay=1/2x+3b)Representalarectaquepasapor(0,-2)yesperpendiculara2x+y=-3c)Obténelpuntodecortedelasrectasanteriores

10’5’5’5’


Resuelvelossiguientessistemasdeecuaciones(solodebesrepresentarcadaecuacióncomounarectaycalcularelpuntodeintersección)

a) x+y=12x-y=2b) x+3y=62x-y=-2c) x+3y=42x-y=1

Enunciaelmétodográficopararesolversistemasdeecuaciones.

5’



PARÁBOLAS


planificaciónObjetivos:1. Conoceryrepresentarfuncionescuadráticas.2. Identificarelvértice,puntosdecorteylaconcavidadoconvexidaddeunagráfica.

0’

Fasedeejecución Lasfuncionescuadráticas sonaquellascuyaexpresiónesun polinomio de segundo grado, esto es, funciones de laforma y=ax2+bx+c. Sus gráficas reciben el nombre deparábola

ACTIVIDADES

1.Representaenlosmismosejeslassiguientesparábolas,cada una de un color diferente. ¿Qué conclusionesobtienes?(PISTA:diferenciasenlagráficasielcoeficienteprincipalespositivoonegativo)

𝑎)𝑦 = 𝑥' b)𝑦 = 2𝑥'

c)𝑦 = −𝑥'd)𝑦 = −4𝑥'

Señalaelvérticeylospuntosdecorteconlosejes,siloshubiese,conlaApp

3.Encadaapartado,representarenlosmismosejes:

a) 𝑦 = 𝑥'

𝑦 = (𝑥 − 4)'

𝑦 = (𝑥 + 5)' b)

𝑦 = 𝑥'

𝑦 = 𝑥' + 4𝑦 = 𝑥' − 5

Alavistadeloanteriorextraeconclusionesycompruebatuteoríaconotrosejemplossimilares.

0’5’5’


1.RepresentaconlaappGeogebralaparábolay=-2x2-16x-29.¿Elpunto(-2,-5)pertenecealaparábola?Siesasírepresentatambiénelpuntosimétricorespectoalejedesimetríadelaparábola.2.Laparábolay=x2+ax+apasaporelpunto(-2,0).Conlaayudadeundeslizadorcalculaelvalordea

15’



FUNCIONESDADASENVALORABSOLUTO.FUNCIONESDEPROPORCIONALIDADINVERSA


planificaciónObjetivos:1. Identificaryrepresentarfuncionesdadasenvalorabsoluto.2. Identificaryrepresentarfuncionesdeproporcionalidadinversa.

0’

Fasedeejecución

FuncionesenvalorabsolutoPararepresentarunafunciónenvalor

absolutobastautilizarelmismo,presenteenelmenúnumérico.Alrepresentarlaseabreunmenúdondepodemosseñalarsuspuntossingulares(extremos,puntosdecorteconlosejes,etc.)ACTIVIDADRepresentalassiguientesfuncionesyseñalalospuntosdecorteconlosejesyelvérticeencasodetratarsedeunaparábola:

𝑎)𝑦 = 𝑥' − 6𝑥 + 5 b)𝑦 = 𝑥 − 6

Funcionesdeproporcionalidadinversa

Las funciones cuya expresión es y=k/x se llaman funciones deproporcionalidad inversa y su gráfica recibe el nombre dehipérbola,siendoklaconstantedeproporcionalidad.ACTIVIDADRepresentalassiguientesfunciones:

a) 𝑦 = 86 b)𝑦 = 8

678 c)𝑦 = 8

69'

d)𝑦 = 86+3 e)𝑦 = 8

6--1 f)𝑦 = 8

67'− 5

g)𝑦 = − 86 h)𝑦 = − 8

6− 1 i)𝑦 = 98

67'

Eláreadeuntriánguloes20cm2.Escribelaexpresiónalgebraicaparalaaltura,enfuncióndelabaseyrepreséntalaconlaAppGeogebra.Representalafuncióny=3/xeindicaparaquévaloresdexesdecreciente.

0’5’5’


CompletaelresumensobrelasfuncionesdelaformaY=K/XLasfuncionesdeproporcionalidadinversatienendosasíntotas(rectasalasqueseaproximansinllegaratocarlas),unahorizontalyotravertical,queenelcasode𝑦 = 8

6 sonlosejescartesianos.Lagráficade𝑦 = 8

6 se

desplazahacia_______________________o__________________________sisumamosorestamosunnúmeroaldenominador.Sinembargo,sisumamosorestamosunnúmeroalafunciónlagráficasedesplaza____________________o_____________________Laasíntotaverticalde𝑦 = 8

67F eslarecta____________________La

asíntotahorizontalde𝑦 = 86 +beslarecta____________________

0’



FUNCIONESEXPONENCIALES


planificaciónObjetivos:1. Identificaryrepresentarfuncionesexponenciales.

0’

Fasedeejecución

Una función se llamaexponencial si es de la forma y=ax,dondeaesunnúmerorealcualquierapositivoydistintode1.

ACTIVIDADES

1. Representalasfunciones:a) y=3x b)y=5x c)y=(1/2)x d)y=(1/6)xe)y=68x f)y=0,8x g)y=1,6x h)y=0,25x

2. Representa las siguientes funciones, y obtén

conclusionesa) Y=2x+1 b)y=3x+1 c)y=(1/2)x-3

d)y=0,6x-1e)y=5x-3 f)y=0,3x+2

g)y=7x-4 h)y=4x-1+2

0’5’5’


CompletaelresumensobrelafunciónexponencialY=ax

Eldominiodecualquierfunciónexponenciales________________________Lafunciónexponenciales__________________________(Continuaodiscontinua)SugráficaSIEMPREcortaalejeyenelpunto(0,_____)ypasaporelpunto(1,_____)Sia>1lafunciónes________________________(Crecienteodecreciente)Si0<a<1lafunciónes_________________________(Crecienteodecreciente)Tieneunaasíntotaenlarecta__________________________

0’



FUNCIONESLOGARÍTIMICAS


planificaciónObjetivos:1. Identificaryrepresentarfuncioneslogarítmicas.

0’

Fasedeejecución

Unafunciónsellamalogarítmicasiesdelaformay=logab,dondeaesunnúmerorealcualquierapositivoydistintodeunoACTIVIDADES

1. Representalassiguientesfunciones:

a) y=log2x b)y=log5x

c)y=log1/2x d)y=log0.4x

e)y=log7x f)y=log1/8x

g)y=log9x h)y=log1/3x

2. Representa las siguientes funciones y obténconclusiones:

a) y=log2(x+3) b) y=log3x+3 c) y=log5(x-1)+2d) y=log1/2(x+2)-4 e) y=log0.5x-3 f) y=log2x-1

0’5’5’


Completaelresumensobrelafunciónlogarítmicay=logax

Eldominiodecualquierfunciónlogarítmicaes________________________Lafunciónlogarítimicaes__________________________(Continuaodiscontinua)SugráficaSIEMPREcortaalejeyenelpunto(1,_______)ypasaporelpunto(a,_____)Sia>1lafunciónes________________________(Crecienteodecreciente)Si0<a<1lafunciónes_________________________(Crecienteodecreciente)Tieneunaasíntotaenlarecta__________________________

1. RepresentaconlaAppGeogebralassiguientesfunciones(cadaapartadoenunarchivoindependiente):

a) Y=2x y=log2xb) Y=5x y=log5xc) Y=(1/2)x y=log1/2xd) Y=0,3x y=log0,3x

Observalosresultadosyextraeconclusiones

0’



FUNCIONESENUNINTERVALO


planificaciónObjetivos:1. Representarfuncionesdadasenunintervaloyfuncionesdefinidasatrozos.

0’

Fasedeejecución

Funcionesenunintervalo

Para representar una función en un intervalo concretodebemosutilizarelcomandofunción,situadoen la listaqueseobtiene al pulsar sobre los puntos,concretamente dentro del menú deFuncionesycálculo.

Debemosintroducir:

Función (expresión algebraica de lafunción,valorinicial,valorfinal)

Porejemplo,alteclearfunción(x2-4,-3,5)nosaparecerá:

ACTIVIDADES

Representar:

a) 𝑓 𝑥 = 𝑒'69?en[-1,5] b) b)𝑓 𝑥 = tan(𝑥' − 3)en[-π/2,π/2]

c)𝑓 𝑥 = 𝑥 + 8 en[-3,6]

d)𝑓 𝑥 = 5𝑥' + 2𝑥en[0,10]

10’

10’



Funcionesdefinidasatrozos

Para representar funcionesdefinidasatrozosdebemosutilizarelcomandoSi,quepodemosencontrardentrodelmenúLógica

Si(condición,función,sino)

O bien Si (condición, función,condición,función,etc.)

Porejemplo:

ACTIVIDADES

Representa

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥' − 1𝑠𝑖𝑥 < 02𝑥 + 3𝑠𝑖𝑥 ≥ 0

b)𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 1𝑠𝑖𝑥 ≤ −12𝑥 − 2𝑠𝑖𝑥 > −1

c)𝑓 𝑥 =𝑒67'𝑠𝑖𝑥 ≤ 0

2𝑥 + 6𝑠𝑖0 < 𝑥 ≤ 3𝑥'𝑠𝑖𝑥 > 3

d)𝑓 𝑥 =−𝑥 + 1𝑠𝑖𝑥 ≤ −2'66<9B

𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 < 2𝑙𝑛𝑥𝑠𝑖𝑥 ≥ 2



ACTIVIDADES


planificaciónObjetivos:1. Afianzarconocimientos

Fasedeejecución

ACTIVIDADES1.Latemperatura,engradoscentígrados,duranteundíaconcretoenunaciudaddeterminada,sepuedeexpresar

mediantelafunción𝑓 𝑥 = 9R6<7'CC678CC8CC

Dondexeslahoracomprendidaenelintervalo[0,24].a) Representalagráficacorrespondienteconlaapp

Geogebrab) ¿Quétemperaturahabíaalcomenzaryalterminar

eldía?c) ¿Enquéhorahubomayortemperaturaycuálfue?d) ¿Enquéhorahubomenortemperaturaycuálfue?

2.LasfuncionesI(t)=-2t2+5tyG(t)=t2-3t+96con0≤t≤18representan,respectivamente,losingresosylosgastosdeunaempresa,enmilesdeeuros,enfuncióndelosañosttranscurridosdesdesuinicioyenlosúltimos18años.

a) ¿Paraquévaloresdet,desdesuentradaenfuncionamiento,losingresoscoincidieronconlosgastos?ParaellodebesrepresentarenlaappGeogebralasdosfuncionesycalcularelpuntodecorteconelcomandocorrespondiente.

b) Determinalafunciónquereflejelosbeneficios(ingresosmenosgastos)enfuncióndetyrepreséntalagráficamenteconlaappdeGeogebra.

c) ¿Alcabodecuántosaños,desdesuentradaenfuncionamiento,losbeneficiosfueranmáximos?Calculaelvalordeesebeneficio.

3.Unjugadordefútbolseencuentraa8metrosdelaportería.Elporteroestáa4metrosypuedecubrirsaltandohasta2,5metrosdealtura.Eljugadorpuedeescogerparahacerellanzamientodostrayectorias,lascorrespondientesalasfunciones

y=0,4x-0,05x2yy=1,6x-0,2x2¿Cuálesmejor?¿porqué?RepresentaambasconlaappGeogebraytenencuentalasdistancias.

4.Enelmanualdeinstruccionesdeuncañóndeartilleríapodemosleerquelaalturaalcanzadaenmetrosporelproyectily,estáenfuncióndelespaciorecorridohorizontalmentex,segúnlaecuacióny=-0,05x2+3x

a) RepresentalafunciónconlaAppGeogebrab) ¿Cuáleslaalturamáximaalcanzadaporelproyectil?

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c) ¿Cuáleselespaciorecorridoporelproyectilhastadaraunobjetivosituadoentierra?


1. INTERÉSCOMPUESTO.EnelinteréscompuestolosinteresesproducidosporuncapitalC0sevanacumulandoaéste,detiempoentiempo,paraproducirnuevosintereses.Lafórmuladelcapitalfinales:

CF=C0(1+r/100)tdondereselréditoanual(interésanualal%)yteltiempoenaños.

Representaelcapitalfinalenfuncióndelnúmerodeañossidejamos15.000eurosenelbancoal3%deinteréscompuesto.

2. CRECIMIENTODEPOBLACIONES.Elcrecimientovegetativodeunapoblaciónvienedadoporladiferenciaentrenacimientosydefunciones.SiinicialmentepartimosdeunapoblaciónP0,quetieneuníndicedecrecimientoi(consideradoentantoporuno),alcabodetañossehabráconvertidoen

P=P0(1+i)t¿Cuálserálapoblaciónenfuncióndeltiempodeunaciudadcuyapoblacióninicialesde2000habitantesysuíndicedecrecimientoes0,14?

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