Movimiento Acelerado

Uziel Arturo Linares MartınezFacultad de Ciencias,UNAM

Laboratorio de Mecanica Grupo 8731uzielnmtz@ciencias.unam.mx

4 de Marzo de 2015

Resumen

Para esta practica se llevaron a cabo dos experimientos para calcular la aceleracion de caıdade objetos en reposo sobre la superficie de la Ciudad de Mexico. Para el primer experimentose utilizo un riel de aire inclinado y un deslizador, se posicionaba el deslizador en la partesuperior del riel y se dejaba deslizar. Para el segundo experimento se utilizo una pelota degolf que se dejo caer desde el reposo desde una altura controlada.Para ambos experimientos se utilizo un software de analisis de video(Tracker) con el cual seanalizaron los videos tomados a los experimentos, de esta manera se pudieron obtener datosexperimentales que se utilizaron para el analisis.

1. IntroduccionEl movimiento rectılineo uniformemente acelerado se refiere al movimiento que sigue un objeto

cuya trayectoria es una lınea recta y cuya aceleracion es constante durante el intervalo de tiempomedido. La diferencia con el movimiento rectılineo uniforme es que en este caso la velocidad varıacon respecto al tiempo.Si la velocidad aumenta en valor absoluto con el tiempo, se dice que el movimiento es “acelera-do”; pero si la velocidad disminuye en valor absoluto con el tiempo, el movimiento se denomina“retardado”.[1]Tomando prestadas algunas herramientas que nos proporciona el calculo integral, podemos deducirlas ecuaciones de movimiento para cuerpos con aceleracion constante.

Sabemos que:

V (t) = dx

dt(1)

a(t) = dV

dt(2)

De (1) tenemos:V (t)dt = dx

dtdt (3)

1

∫V (t)dt =

∫ dx

dtdt (4)∫

V (t)dt = x(t) + C1 (5)

Y dado que no conocemos como es la velocidad en funcion del tiempo la integral del lado izquierdono puede ser resuelta en este momento.Ahora de (2) tenemos:

a(t)dt = dV

dtdt (6)∫

a(t)dt =∫ dV

dtdt (7)∫

a(t)dt = V (t) + C2 (8)

Como se trabaja sobre movimiento con aceleracion constante se tiene a(t) = a.Entonces:

a∫dt = V (t) + C2 (9)

at+ C3 = V (t) + C2 (10)

De donde es claro que:V (t) = at+ V (0) (11)

Y como ahora conocemos como es V (t) sustituyendo en (5):∫atdt+

∫V (0)dt = x(t) + C1 (12)

Resolviendo las integrales:at2

2 + C4 + V (0)t+ C5 = x(t) + C1 (13)

De donde se llega facilmente a:x(t) = at2

2 + V (0) + x(0) (14)

2. ObjetivoCon esta practica se busca determinar la magnitud de la aceleracion ejercida por la gravedad en

la superficie de la Ciudad de Mexico, esto mediante la medicion del tiempo de la caıda de algunosobjetos que parten del reposo.

3. HipotesisSe espera que los resultados obtenidos a partir de los dos experimentos realizados se aproximen

a 9.778881ms2 que es el valor estimado de la aceleracion ejercida por la gravedad en la Ciudad de

Mexico.[2]

2

4. MaterialEl material empleado para realizar esta practica fue:

Primer experimento: Carro deslizador sobre riel de aire.

Riel de aire

Deslizador

Compresor

Medidor de angulo

Celular Samsgung Galaxy Note 3 SM-N900V

Segundo experimento: Caıda libre.

Pelota de golf

Regla de 2mts

Celular Samsgung Galaxy Note 3 SM-N900V

5. Metodo ExperimentalExperimento:Deslizador sobre riel de aire.

Primeramente se monto el riel de aire sobre la mesa de trabajo y se conecto al compresor, seimproviso una manera de sujetar el dispositivo celular a una base para poder grabar el recorridodel deslizador sobre el riel.Posteriormente el riel de aire fue marcado con pequenos trozos de cintaadhesiva a intervalos de 10 cm cada trozo, esto con motivo de tener una medida de referencia almomento de analizar el vıdeo en Tracker.El experimento se llevo a cabo de la siguiente manera, un miembro del equipo sujeto el deslizadormientras otro companero se encargaba de manipular el compresor, a la vez que alguien mas hizo lagrabacion mediante el dispositivo celular, se grabo la trayectoria del deslizador sobre el riel a 60fps,al llegar al tope del riel la grabacion finaliza y se procedio a revisar la calidad del vıdeo tomado. Es-te proceso se repitio para los diversos angulos en los que se inclino el riel, los cuales fueron 3,4,5 y 6.

Experimento:Caıda libre.

Se posiciono una regla de 2mts de forma perpendicular al suelo, esto se logro sujetando la re-gla a una base metalica con ayuda de cinta adhesiva,la pelota de golf fue lanzada desde la partemas alta de la regla mientras era grabada su caıda.

3

6. Observaciones 1Las datos recopilados en forma de vıdeo fueron tomados en varias sesiones de 4 horas.

Para realizar el experimento con el riel se tuvo que valer de algunos libros para poder incrementarel angulo de inclinacion del riel, puesto que el riel por si solo alcanzaba un angulo muy pequeno,las medidas fueron tomadas con el medidor de angulo.El experimento de caıda libre tuvo que repetirse varias ocasiones debido a que no se encontrabauna manera eficaz de mantener la regla perpendicular al suelo, la manera de hacerlo fue sujetandolaa una base metalica.

7. Analisis de datosPara el analisis de datos se usaron los vıdeos realizados durante la experimentacion,para su

analisis se valio del software Tracker[3], ası como de un programa realizado en lenguaje Pythonque se elaboro para dichos fines y GnuPlot[4]. A continuacion se muestra la informacion obtenida.

7.1. Deslizador sobre riel de aireMediante el coeficiente de correlacion de Pearson se pudo determinar que las dos variables

consideradas en el experimento(tiempo y distancia) se encuentran relacionadas.

θ ± 0,5◦ ρ3 .96014 .96035 .9628

Tabla 1: Coeficientes de Pearson para cada angulo

Se grafico la posicion del carro deslizador con respecto al tiempo para diferentes angulos deinclinacion del riel de aire. Claramente se puede observar que a medida que angulo aumenta ladistancia recorrida por el objeto es mayor.[Vease 1,2,3].Se observa en las graficas que no se trata de una relacion lineal, sino de una relacion potencial, locual nos indica que el objeto no tiene una velocidad constante,ie, se esta acelerando.

El ajuste dado en las graficas(1,2,3) se obtuvo mediante el metodo de ajuste de parabolaspor mınimos cuadrados[5]. La curva que mejor se ajusta a los datos obtenidos, es una ecuacionpolinomial de grado 2. Por lo tanto la posicion con respecto al tiempo puede expresarse como

y = At2 +Bt+ C (15)

Como se puede observar en la tabla, los valores de B y C ası como sus incertidumbres son muypequenos(despreciables) esto debido a la representacion fısica que tiene el polinomio(15),ie,x =

x(0)+V (0)t+at2

2 , donde B y C representan la posicion inicial y la velocidad inicial respectivamente,

4

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Dis

tan

cia

(cm

)

Tiempo(s)

ángulo θ = 3 grados

DatosAjuste

Figura 1: Grafica de posicion contra tiempo para inclinacion de 3 grados

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Dis

tan

cia

(cm

)

Tiempo(s)

ángulo θ = 4 grados

DatosAjuste

Figura 2: Grafica de posicion contra tiempo para inclinacion de 4 grados

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Dis

tan

cia

(cm

)

Tiempo(s)

ángulo θ = 5 grados

DatosAjuste

Figura 3: Grafica de posicion contra tiempo para inclinacion de 5 grados

5

θ ± 0,5◦ A δA B δB C δC3 .2949 .000353 .001916 .00075 .000531 .0003334 .3257 .000640 .009752 .001284 .002017 .0005385 .4067 .000822 .059736 .00142 .000524 .000513

Tabla 2: Datos obtenidos tras hacer la aproximacion polinomial de la ec.(15)

θ ± 0,5◦ aceleracion3 .58984 .65145 .8134

Tabla 3: Valor de la aceleracion obtenidos a partir del ajuste polinomial

que en el caso de este experimento se establecio en 0 dado que se parte del reposo y desde el origen.Y A = a

2 por lo tanto a = 2A.Sabemos que para un plano inclinado la aceleracion en la direccion del movimiento esta dada

por gsenθ por lo tanto despejando g se tiene

g = a

senθPero a = 2A (16)

Por lo tantog = 2A

senθ(17)

Obteniendo las incertidumbres relativas se tiene δg = δθ

θ

θ ± 0,5◦ gravedad3 11,2694 ± 0,16664 9,3382 ± 0,1255 9,3327 ± 0,1

Tabla 4: Valores de g obtenidos en distintos angulos

Sacando el promedio de los valores de la gravedad obtenidos tenemos que a = 9,9801ms2 ± ,1305.

7.2. Caıda libreSe obtuvo el coeficiente de correlacion de Pearson y tuvo un valor de 0.939039 que indica que

las variables estan relacionadas. Haciendo el tratamiento de datos analogo al caso del riel de airese obtuvo los valores para el polinomio(15). A = 8,03233 B = −10,1018 C = 4,68126 Lo cualno es lo esperado porque esto implicarıa una aceleracion de 16,0646m

s2 ± ,4249.

6

0

50

100

150

200

250

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Dis

tan

cia

(cm

)

Tiempo(s)

Caída Libre

DatosAjuste

Figura 4: Grafica de posicion contra tiempo para caıda libre

8. Observaciones 2El vıdeo tomado para el angulo de 6 grados sobre el riel de aire fue imposible ser utilizado

debido a que la camara del dispositivo celular no realizo enfoque, por lo cual no se pudo hacer elanalisis de vıdeo mediante Tracker.Para el experimento de caıda libre se realizaron varias tomas de las cuales al momento de intentarhacer el analisis del vıdeo no fue posible hacer una analisis satisfactorio, esto debido al modo degrabacion en que fue hecha la toma.

9. Resultados y ConclusionesDel analisis de vıdeos se pudo observar que en el caso de riel de aire entre mas se incline el

plano del riel la aceleracion del objeto que se desliza es mayor y esto es consistente al resultadoteorico, puesto que entre mayor sea el angulo el valor de senθ aumenta lo cual es directamente pro-porcional a la aceleracion en el plano inclinado. De esto se pudo obtener mediante un tratamientode los datos experimentales por medio de ajustes y modelado matematico un valor aproximadopara la aceleracion, la cual fue de a = 9,9801m

s2 ± ,1305. El valor obtenido para la aceleracion seaproxima en gran medida al valor dado por el CENAM[2], esto demuestra que utilizando equipono tan preciso es posible encontrar el valor de ”gcon un grado de precision bastante aceptable,claro esta haciendo el correcto ajuste de datos y minimizando las incertidumbres tanto como sepueda, ademas el uso de vıdeo para el analisis de datos fue de gran ayuda para minimizar el gradode incertidumbre presente en el experimento ya que obtener los datos por medio de metodos masrusticoscomo tomar las medidas de tiempo mediante cronometro y a ”buen ojo”trae consigo unaserie de incertidumbres asociadas, como el tiempo de reaccion del operador del cronometro, o lapercepcion de cuando el objeto toca el punto final o cruza un punto de referencia, entre otros.Es posible aproximar aun mas el valor de g si se minimiza el grado de incertidumbre en el ex-perimento, esto se podrıa lograr mediante el uso de objetos en los cuales la friccion sea minima,utilizando pelotas de menor tamano para llevar al mınimo el roce con el aire, ası como utilizandoinstrumentos de grabacion mas precisos, como camaras de alta velocidad.

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Referencias[1] Alonso, M., & Finn, E. J.,Fısica,Vol.1:Mecanica,Fondo Educativo Interamericano,1976.

[2] Centro Nacional de Metrologıa, Calculo de la Aceleracion de la Gravedad Local,http://www.cenam.mx/fyp/calculoacelgravedad.html

[3] Tracker, Video Analysis and Modeling Tool, https://www.cabrillo.edu/ dbrown/tracker/

[4] GnuPlot, http://www.gnuplot.info/

[5] Oda Noda,Bertha, Introduccion al analisis grafico de datos experimentales,UNAM, Facultadde Ciencias, 2da edicion,1997,p. 150

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