Recuperacion Octavo b Algebra Nov 3 2009

7/27/2019 Recuperacion Octavo b Algebra Nov 3 2009

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INTRODUCCIN AL LGEBRA (TRMINOS, ADICIN Y SUSTRACCIN)

1. Identifica los elementos que se piden:

a) Los trminos de 5r +s

b) Los trminos de 5xy2

+2y 7wc) Dos factores de 5z ______________________ d) La base en 3xy 2

e) El coeficiente numrico en 2xyf) El coeficiente numrico en x/3g) Las variables en 6xyh) Las variables en 6x 5 y 2

i) El grado de la variable m en 7m 5n j) El grado de la variable n en 7m 5nk) La constante de 7x 2 1

2. Considerando que un monomio es un nmero variable o producto de nmeros y variablesexplique por qu las siguientes expresiones no son monomios

a) 5x +y b) 7xy 3 c) x2y

3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con una letra

a) 14x + 10 y 3 d) 2/3 x +1/3 y

b) 17x 5y3z2 e) 5x 4z 1/2 x 2 z 2 + xz 3 7z 6

c) 7x 5y f) x+4

I) Identifique los polinomios:____________________

II) Identifique los monomios:____________________

III) Identifique los binomios:____________________

IV) Para cada polinomio, que no sea monomio, especifique los

trminos____________________________________________________

V) D los coeficientes numricos de las expresiones D y E

4. Evale cada polinomio para los valores dados:

a) 4x 2 x +3 x=-2

b) x 2 3x +5 x=3/2

c) x 2 +7 x =5

1


2/24

d) 4xy 8y 2 x=3 y=0,5

5. Eliminar los trminos semejantes en los siguientes polinomios:

a) 8x -3x+7x=

b) 3x +9y 2x 6y=

c) 7a 2 15b 3 + 5b 3 + 9a 2 4b 3 =

d) 3a+ 4c + 9c 7b 7a- 15c =

e) 0,01 b 2c 0,2 c 2b - 0,8 c 2b + 0,99 b 2c=

6. Eliminar parntesis y reducir trminos semejantes en los siguientes polinomios

a) (10b +4) +(6 9b) (3b-7)=

b) 20 + (-7 +2x) (-3x-7)=

7. Dados los polinomios

A: 2b 2c 3b + 6cB: 4b - c 2b + 12 b 2cC: 4 2c

Ejecute las siguientes operaciones:

a) A + B=

b) A - C=

c) B - A=

8. Calcular el permetro de la siguiente figura:

x2 +x

2x2

+x x

3x 2 +x 3

9. El permetro de un rectngulo es 8x 6 y un lado es 3x +7 Cunto mide el otro lado?

CARACTERSTICAS DE UN POLINOMIO:

Sea el polinomio:31

543 32 + x x x

Vamos a ordenarlo por el exponente de la variable y a describir sus elementos:

2


3/24

31

43

5 23 ++ x x x

Trminos 35 x 243

x x

3

1

Variable x x x

Coeficientes de la variable5

4

3 1

Exponentes de la variable 3 2 1* Grado del polinomio 3Trmino Independiente

3

1

*El grado del polinomio lo representa el exponente mayor de la variable

Clasificacin de los PolinomiosLos polinomios, segn el nmero de trminos, se clasifican en:

- Monomio: Es aquella expresin algebraica que consta de un solo trmino.

Ejemplos: 273 x 5+

2

2 bx a

- Binomio: Es aquella expresin algebraica que tiene dos trminos:

Ejemplos: 13 + x a x 454 ba +

- Trinomio : Es aquella expresin algebraica que tiene tres trminos:

Ejemplos:71

56 3 + x x 5

29 2 + y y

- Polinomio : Es aquella expresin algebraica que tiene ms de tres trminos:

Ejemplo: 152

43 234 ++ x x x

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Anteriormente se dijo que con las expresiones algebraicas, se cumplen las operaciones de adicin,sustraccin, multiplicacin y divisin. Vamos a trabajar cada operacin y aprender un poco ms de ellas.

Adicin de polinomios : La adicin consiste en reunir dos o ms expresiones algebraicas, llamadas sumandos,en una sola que se le llama suma.

En la aritmtica la adicin siempre significa aumento, pero en el lgebra es un concepto ms general por loque puede significar aumento o disminucin.

En una adicin de polinomios se puede dar una agrupacin de trminos semejantes. Incluso, hasta unpolinomio puede tener inmerso trminos semejantes.

Hay semejanza entre trminos cuando:

Tienen la misma variable o variables.

3

Recuerden que los trminos en un polinomio se identifican porque estn separados unosde otros por el signo positivo (+) o el negativo (-).


4/24

Tienen igual exponente en la variable o variables.

Ejemplo:Son trminos semejantes:

Entonces, se puede hacer una agrupacin con estos trminos y reducirlos a una sola expresin aplicando una

suma.

Ejemplo N 1:

Eliminando los parntesis queda:

=++ 222 35 x x xTomemos los coeficientes formando una suma indicada con ellos y esto lo multiplicamos por la variable con su

respectivo exponente, as:

( ) =++ 2135 xEfectuamos la suma algebraica entre las cantidades que estn dentro del parntesis:

( ) =++ 2135 x ( ) 245 x+

( ) =++ 2135 x ( ) 21 x

( ) =++ 2135 x 21 x( ) =++ 2135 x 2 x

Son trminos no semejantes los siguientes: 36 x , 26 x ,26 y ,

Los trminos 36 x y 26 x , tienen igual variable pero distintos exponentes, y a pesar que tienen el mismocoeficiente no son trminos semejantes. El trmino

26 y no es semejante a ninguno de los otros dos trminos,pues su variable es distinta.

Veamos algunos ejemplos de adicin de polinomios:Cuando es una suma de monomios

Ejemplo N 2:

Sumar: 25 x y x7

Solucin: x x x x 7575 22 +=+

Cuando es una suma de binomios

4

La variable x es la mismapara los tres trminos

El exponente 2 de lavariable es igual para lostres trminos

25 x 23 x+ 2 x+

Aunque los coeficientesde las variables seandiferentes

Primero sumamos los enteros positivos 3 y 1Se restan las cantidades por ser de signos diferentes y la

diferencia lleva el signo de la mayor (-5 y -4)Se elimina el parntesisComo el 1 es elemento neutro de la multiplicacin, slo se

multiplican los signos (+ . - = -)

Observa que, como los trminosno son semejantes la suma se dejaindicada


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Ejemplo; Sumar:31

43 2 x y x x 3

87 2 +

Solucin: =

++

x x x 3

87

31

43 22

=++ x x x 387

31

43 22

=+

+ x x x 3

31

87

43 22

=+

+

31

387

43 2 x x

813

876

87

43

78

5687

.8

64

2443

.8

887

43

8)8,4(..

=+=+

==

==

=+

=mcm

Luego el polinomio resultante es:

31

38

13 2 + x x

En la adicin de trinomios y polinomios se procede igual que en las sumas anteriores, solo debes estar pendiente de la agrupacin de trminos semejantes. Es importante sealar que la sustraccin de polinomioses un caso particular de la adicin. Esto lo podemos explicar de la siguiente manera:

Ejemplo N 3:

Sea476

53 += x x A y 652151

23 ++= x x x B

y nos piden determinar: A B =

Es decir, al polinomio47

653 2 + x x le restamos el polinomio

65

21

51 23 ++ x x x

estructuremos la operacin:

+++=

65

21

51

47

653 232 x x x x x B A

5

Indicamos la operacin de los dos binomios agrupando cada uno entre parntesis

Eliminamos los parntesis, como el signoque los precede es positivo, no se afectaningn trmino

Agrupamos los trminos semejantes

Extraemos la variable con su respectivoexponente como factor dejando loscoeficientes dentro del parntesis.Observe que estos nos indican una sumade fracciones con diferente denominador

Se calcula el mcm entre los denominadoresEsta cantidad es el denominador del resultadoSe multiplica cada fraccin por el mcm y estascantidades forman el numerador del resultadoSe efecta la operacin indicada y obtenemos lafraccin resultado

Recordar:Para sumar fracciones de diferente

denominador

1-

2-

3-

4-


6/24

Observa que el polinomio B por estar precedido del signo negativo se encierra entre parntesis.

Si65

21

51 23 ++= x x x B

Entonces

6

5

2

1

5

1 23 += x x x B

- B es el opuesto de B

Luego, la operacin quedara as:

+++=+

65

21

51

47

653

)( 232 x x x x x B A

Si eliminamos el parntesis:

65

21

51

47

653

)( 232 ++=+ x x x x x B A

Agrupamos los trminos semejantes:

+

+

+=+

65

47

216

51

53)( 322 x x x x x B A

Extraemos la variable de cada parntesis con su respectivo exponente, dejndola como factor

+

+

+=+

65

47

21

651

53

)( 32 x x x B A

Observa que dentro de cada parntesis hay una suma de fracciones con diferente denominador.

Vamos a realizar cada adicin por separado:

54

51

53:1 = +

Adicin

Adicin2

360

Adicin3

6

Cuando un parntesis est precedido del signomenos, todos los trminos que estn dentro de lcambian de signo

Recordar:Para eliminar signos de agrupacin

Observa que es una suma de fracciones con igualdenominador. La fraccin resultante tendr el mismodenominador comn y el numerador ser la suma delos numeradores parciales

Recordar:Para sumar fracciones con igual denominador

Tenemos una suma de fracciones con diferentedenominador, calculamos el m.c.m de losdenominadores; es decir, m.c.m (1,2) = 2, estem.c.m= 2 representa el denominador comn a todaslas fracciones; ahora, los numeradores tambincambian multiplicando el m.c.m= 2 por lasfracciones parciales

Recordar:Para sumar fracciones con diferente denominador

Calculamos el mcm entre los denominadores mcm(4 , 6) = 12, este es el denominador del resultado yesa misma cantidad se multiplica por cada fraccin para calcular los nuevos numeradores

Recordar:Para sumar fracciones con diferente denominador

2

11

2

112

2

1

2

12

2

1

1

6 ===

+


7/24

12

)6/5.12(12

)4/7.12(65

47 =

1231

1210

1221

65

47 ==

Finalmente, realizadas las adiciones de los trminos semejantes, tenemos:

1231

211

54

)( 23 ++=+ x x x B A

Practica la Adicin de polinomios con los siguientes ejercicios:

- Sean los polinomios

31

621 2 += x x A ,

27

9276 23 += x x B , 2

41

53

x xC +=

, 32

38

92

83

x x x

D +=

Calcula:

1) A + B + C = 3) (D + A) C = 5) D + B =2) D + C + A = 4) B (D + A) = 6) C A =

Multiplicacin de Polinomios:

La multiplicacin de polinomios, es una operacin que consiste en multiplicar dos o ms polinomios llamadosfactores para obtener otro polinomio llamado producto. Para multiplicar polinomios es necesario tener claro laregla de los signos, las leyes de la potenciacin y la agrupacin de trminos semejantes.

Veamos algunos casos de la multiplicacin:

Multiplicacin de Monomios

Multiplicar: ( ( ) ( )= 5.2.3 2 x x

7

En esta multiplicacin tenemos varios factores consus respectivos signos, hay factores numricos yfactores literales o variables.

Observa que los coeficientes numricos de cadamonomio, son tambin factores y se puedenmanipular independientemente de la variable,siempre y cuando estn como factores dentro de lamisma multiplicacin. En la organizacin esconveniente que los factores numricos sean los primeros en expresarse.

+*

+ = +

-*

- = ++

*- = -

-*

+ = -

Recordar:Regla de los signos

* ** ** *

Recordar:Leyes de la potenciacin


8/24

( ) ( ) ( )( ) ( )= x x ..5.2.3 2

( ) ( ) ( )( ) ( )=+++ x x ..5.2.3 2 +

( ) ( ) ( ) ( ) )).(.(30..5.2.3 22 x x x x +=

( ) ( ) ( )( ( ) 32 .30..5.2.3 x x x +=

Este es el resultado de multiplicar los monomios

( ( ) ( ) 32 305.2.3 x x x =

Multiplicacin de Monomios por polinomios

Multiplicar: =

+

2

52.

5

3 22 x x x

( ) ( )

+

+

=

+

53

2.53

.53

25

2.53 22222 x x x x x x x .

25

8

Si multiplicamos los signos de cada unode los factores: + . - . - . + . + = +obtenemos el signo del producto. En estecaso es positivo

Ahora calculamos el producto de los factoresnumricos: 3 . 2 . 5 = 30

Para multiplicar las variables (la parte literal),que son potencias, tienes que estar claro con laley de la potenciacin que dice queen lamultiplicacin de potencias de igual base seobtiene otra potencia con la misma base, cuyoexponente resulta de sumar los exponentes parciales de cada potencia x2 . x = x2+1 = x3

Para multiplicar un monomio por un polinomio, seaplica una propiedad distributiva del producto conrespecto a la adicin, de esta manera obtenemosuna suma algebraica con los productos parciales.

Observa que cada producto parcial es una multiplicacin de dos monomios. Recuerde el procedimiento para este caso. En cada multiplicacin parcial, realiza primero la multiplicacinde los signos, luego, multiplica los coeficientes de cada monomio y por ltimo realiza lamultiplicacin de las variables o potencias literales.


9/24

Vamos a calcular los productos por separado:

1 producto:

( ) ( )( ) ( ) 4222253

..1.53

.53

x x x x x =

=

( )53

11

.53

1.53 =

=

4222.2 x x x x =+=

2 producto:

( ) ( )( ) 32256

.12

.53

2.53

x x x x x +=

=

3 producto:

( ) 222223

1015

.25

.53

25

.53

x x x x ==

=

Observa que el producto de los coeficientes, result una fraccin que se simplific, debido a que al

descomponer tanto el numerador como el denominador, result un factor comn (el 5), el cual se cancel por ley de la potenciacin, quedando una fraccin irreducible. Luego, reuniendo los productos parcialesresultantes conformamos el producto total de la multiplicacin inicial:

23422

23

56

53

25

2.53

x x x x x x +=

+

Multiplicacin de un polinomio por otro polinomio

9

Coeficientes

PotenciasLiterales

Producto

Ya debes tener claro la regla de los signos (+. - = -) ; loscoeficientes o parte numrica son nmeros racionales; es decir,fracciones. Para multiplicar fracciones se hace de forma lineal,

numerador por numerador y denominador por denominador.

La multiplicacin de las potencias literales se realiza aplicando laley de potenciacin cuando se multiplican potencias de igual base, el producto que resulta es otra potencia con la misma base yel exponente es la suma de los exponentes parciales.

Se procede igual al caso anterior:

( )56

12

.53

2.53 +=

=

Coeficientes

3122 . x x x x == + Potencias Literales

Se procede igual al caso anterior:

23

5.25.3

1015

25

.53 ===

El polinomio resultante no tiene trminossemejantes por lo tanto es un polinomioirreducible.


10/24

Multiplicar:

+

1

43

34

23 2 x x y x

Solucin:

+

1

43

.34

23 2 x x x

( ) ( )1.23

.23

43

.23 2 +

+

+

x x x x x ( ) ( )1.

34

.34

43

.34 2 +

+

+

+ x x

1 producto:( )( ) 322

89

..43

.23

43

.23

x x x x x =

=

2 producto:

( ) ( ) ( ) ( ) 223

..1.23

.23

x x x x x =

=

3 producto:

( ) ( ) ( ) x x x23

.1.23

1.23 +=+

=+

4 producto:

( ) 222212

12

4

3

3

4

4

3

3

4 x x x x ==

=

5 producto:

( ) ( ) ( ) x x x 3

41

3

4

3

4+=

=

6 producto:

( )34

11

34

134 =

+

=+

10

Observa que el primer factor es un polinomio de dos trminos, por lo tanto hay que aplicar la propiedad distributiva dos veces. El primer trmino del binomio multiplica a todos lostrminos del trinomio, luego el segundo trmino del binomio multiplica a todos los trminosdel segundo factor, es decir, del trinomio.

Despus de aplicar la propiedaddistributiva hemos obtenido muchos productos parciales, para ser msexactos, seis productos. Vamos aresolverlos uno a uno:

Si observas cada par delneas notars como seefectuaron los productos


11/24

Luego:Tomamos los productos parciales resultantes y estructuramos el polinomio total.

34

34

23

23

89

143

34

23 2232 ++=

+

x x x x x x x x

Revisamos si el polinomio resultante tiene trminos semejantes; si los tiene hacemos agrupaciones con ellos:

34

34

23

23

89

143

34

23 2232

++

+=

+

x x x x x x x x

Como en los casos anteriores, en agrupaciones de trminos semejantes extraemos la variable con surespectivo exponente como factor fuera del parntesis.

3

4

3

4

2

31

2

3

8

91

4

3

3

4

2

3 232

++

+=

+

x x x x x x

Realizamos la adicin dentro de cada parntesis paso a paso:

1 Adicin:25

223

22

23

11

23 ===

2 Adicin:6

1768

69

34

23 =+=

+

Luego, resueltas las adiciones, volvemos al polinomio.

34

617

25

89

143

34

23 232 +=

+

x x x x x x

De esta manera, hemos llegado al producto final de la multiplicacin de dos polinomios.

Para que practiques los procedimientos en la multiplicacin de polinomios te proponemos los siguientesejercicios:

Dadas las expresiones algebraicas:

x P 27= 2

54 x Q =

76

78 3 += x x R

95

943

2

2

+= x x T 3

11=V

Calcula:

1) Q P V .. 2) =R Q . 3) QT . 4) =T V .5) =R P .

Divisin de polinomios

11


12/24

Dividir polinomios es tan sencillo, como dividir cantidades enteras, slo que un polinomio es como un grupode nmeros enteros descompuestos en una adicin de muchos sumandos. Vamos a explicarlo por medio deun ejemplo:

Sabemos que el proceso de dividir consiste en: dadas dos cantidades dividendo y divisor, se debe buscar otra cantidad llamada cociente que multiplicada por el divisor nos resulte el dividendo.

Resolveremos la siguiente divisin de polinomios paso a paso:

( ( x x x x x x 2164103 2532 +++

Se ordenan los dos polinomios tomando encuenta los exponentes de la variable (x) enorden decreciente y completando concoeficiente cero (0) la potencia faltante.

12631004 22345 ++++ x x x x x x x

Se divide el primer trmino del polinomiodividendo entre el primer trmino deldivisor

12631004 22345 ++++ x x x x x x x

Para efectuar esto se divide el coeficientedel dividendo entre el del divisor y con lavariable se aplica la regla de potencia de uncociente de igual base.

( ) 3252

5

2

5

44144

x x x x

x x ===

12631004 22345 ++++ x x x x x x x

34 x

Este es el primer trmino del cociente

Se multiplica el primer trmino del cociente por todos los trminos del divisor, a estos productos se les cambia el signo y seordenan debajo del dividendo segn el

exponente de la variable.

12631004 22345 ++++ x x x x x x x345 484 x x x + 34 x

Estos productos se resta del dividendo 12631004 22345 ++++ x x x x x x x345 484 x x x + 34 x

63148 234 ++ x x x x

Se repite todo el procedimientoconsiderando que ahora el primer trminodel nuevo dividendo es 8x4

( ) 2242

4

2

4

88188

x x x x

x x ===

12631004 22345 ++++ x x x x x x x345 484 x x x + 23 84 x x +

63148 234 ++ x x x x 234 8168 x x x +

65223

+ x x xContinuamos ahora dividiendo los dems trminos 12631004 22345 ++++ x x x x x x x

345 484 x x x + 1284 23 ++ x x x 63148 234 ++ x x x x 234 8168 x x x + 652 23 + x x x x x x 242 23 + 632 + x x 122 + x x

12


13/24

75 + x

El cociente de la divisin es : 1284 23 ++ x x x

Y el residuo: 75 + x (como el grado de este residuo es inferior al del divisor, no se puede continuar dividiendo por lo que la divisin es inexacta)

Ejercicios propuestos:

1- ( ) ( )22723 23 +++ x x x x2- ( ) ( )183249 22354 + x x x x x x3- ( ) ( )222010 2268 + y y y y

4-

++

31

21

21

31

21 2243 x x x x x

5- Cul debe ser el valor dea, b y c para que se cumpla la siguiente igualdad?

Objetivo: 1. Identificar tipos de factorizaciones.2. Factorizar expresiones algebraicas.

Factoriza las siguientes expresiones algebraicas:

1) 3a 2b 2 + 15ab 2 45ab 3 =

2) x 2 - xy + xz - xz 2 =

3) y 2 y 30 =

4) x 2 + 5x 24 =

5) 4x 2 12xy + 9y 2 =

6) 25x 4 25y 4 =

7) 0,09 4x 2 =

8) 21ax + 35ay + 20y + 12x =

9) b 4 - b 3 =

10) (a + 1 )(a - 1 ) - x ( a - 1 )

11) 3m 2 - 7m - 20 =

12) 8y 2 - 18 =

13) x 3 - 125=

14)ac - a - bc + b + c 2 - c =

13


14/24

15) = 2236

49

25

9ba

16) x 3 3x 2y + 3xy 2 y 3 =

17)35a 2b 2 + 15ab 2 45ab =

18)x 2 - xy + xz - yz =

19)y 2 +11 y + 30 =

20)27x 3 125=

PRODUCTOS ALGEBRAICOS Y FACTORIZACIN

Multiplicacin de trminos algebraicos:Se debe multiplicar cada trmino del primer factor por cada trmino del otro factor, considerando en laliteral la regla correspondiente a la multiplicacin de potencias de igual base, y luego reducir los trmisemejantes, si los hay.Ejemplos:1. 5xy2 -7x3y2 =

2. 2xy(-5x + 4y 3xy) =

3. (3x 2y)(4x + 5y)=

4. (2a 5b)(a 2b + 5ab 7) =

En los productos algebraicos existen algunos casos que pueden ser resuelto a travs de una reaplicacin simplifica la obtencin del resultado. stos productos reciben el nombre deproductos notables.

Cuadrado del Binomio:Corresponde al producto de un binomio por s mismo.Multipliquemos (a + b)(a + b) que puede expresarse como (a + b)2 y luego (a - b)(a - b) que puede exprescomo (a - b)2

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferencindose slo en un signo.Luego podemos enunciar que:

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer trmino ms (o menos) el doble del productodel primer trmino por el segundo ms el cuadrado del segundo trmino

La estructura que representa esta frmula es:

14


15/24

Donde representa al primer trmino del binomio y al segundo.

Ejemplos:a) (x + 7)2 = x2 + 2x7 + 72 = x2 + 14x + 49

b) (2a 3b)2= (2a)

2- 22a3b + (3b)

2= 4a

2 12ab + 9b

2

Suma por DiferenciaCorresponde al producto de la suma de dos trminos por su diferencia.Multipliquemos la suma de (a + b) por su diferencia, o sea (a b)

(a + b)(a b) = a2 ab + ab b2 = a2 b2

Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir, El producto de una suma de dos trminos por su diferencia es igual al cuadrado del primer trmino menosel cuadrado del segundo

Ejemplos:a) (2x + 5y)(2x 5y) = (2x)2 (5y)2 = 4x2 25y2

b) (7m2

+ 5n3

)(7m2

5n3

) = (7m2

)2

(5n3

)2

= 49m4

25n6

Multiplicacin de Binomios con un Trmino ComnEste producto notable corresponde a la multiplicacin de binomios (x + a) por (x + b), siendo el trmia.

Desarrollemos 2 ejemplos para extraer una conclusin.

(x +5)(x +3) = x2 + 3x + 5x + 15 = x2 + 8x + 15Observa que 5 + 3 = 8 y que 53 = 15

(x 7)(x + 2) = x2

+ 2x 7x 14 = x2

5x - 14Observa que 7 + 2 = -5 y que -72 = -14

La estructura formada en los ejemplos anteriores es la siguiente:

Concluimos entonces que

15


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El producto de binomios con un trmino comn es igual al cuadrado del primer trmino, ms la suma delos trminos distintos multiplicada por el trmino comn y ms el producto de los trminos distintos

Ejemplos:a) (x + 6)(x + 12) = x2 + (6 + 12)x + 612 = x2 + 18 x + 72 b) (a + 7)(a 3) = a2 + (7 3)a + 7-3 = a2 + 4a 21

FACTORIZACINFactorizar una expresin algebraica es hallar dos o ms factores cuyo producto es igual a la expresin propuesta.

Factorizar un polinomio cuyos trminos tienen un factor comn.

Sabemos que m( x - y + z ) = mx - my + mz.

Luego, factorizar este ltimo polinomio es simplemente proceder a la inversa, buscando el factor commx - my + mz = m( x - y + z ).

Ejemplos: Factorizar a) 6ab2 18a2 b3 = 6ab2(1 3b) b) 5a2 bx4 - 15ab2x3 - 20ab3x4 = 5abx3(ax - 3b - 4b2x ).

Factorizar un trinomio cuadrado perfecto.

Sabemos que (a b)2 = a2 2ab + b2.

Luego, se tendr inversamente que a2 2ab + b2=(a b)2.

Ejemplos: Factorizar a) x2 10x + 25 = (x 5)2 b) 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2

Factorizacin de la diferencia de dos cuadrados.Sabemos que (a + b)(a - b) = a2 - b2.

Luego, se tendr inversamente que: a2 - b2 = (a + b)(a - b).

Ejemplos: Factorizar a) 9a2 - 16b2 = (3a)2 - (4b)2 = (3a + 4b)(3a - 4b).

b) 4x2

0,01 = (2x)2

(0,1)2

= (2x + 0,1)(2x 0,1)Factorizar un trinomio de la forma x2 + mx + n.Sabemos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.

Luego, se tendr inversamente que: x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Ejemplos: Factorizar a) x2 + 7x + 12 = x2 + (4 + 3)x + 43 = (x + 4)(x + 3) b) x2 + 5x 14 = x2 + (7 2)x - 7-2 = (x + 7)(x 2)

16


17/24

GUIA DE EJERCICIOS 1

Objetivos: Debersa) Expresar el valor numrico de una expresin algebraica que resulta al sustituir los factores literales valores numricos y luego efectuar las operaciones indicadas.

I) Encuentra el valor de cada uno de los siguientes trminos:

1) k 2 ; si k= 5 ............................................ 2) n3 ; si n=10 ............................................

3) a1 ; si a= 150 ............................................ 4) 2w2 ; si w=6 ............................................

5) (a + 3)2 si a=5 ............................................ 6) (5 + a)3 ; si a= -1 ............................................

II) Si a=1 ; b= -1 ; c=2 ; d= ; e=0 , determine el valor de cada una de las siguientes expresiones:

7) a+ b = ....................................... 8) 2a - b + c =.......................................

9) (a + b) * c = ....................................... 10) (c+d)*e +ab =.......................................

11) (a-b)2 + (c-d)2 =.......................................12) d2 - ea - b =.......................................

13) a + d =....................................... 14) a + a - c=.......................................b c b

15) a + d =....................................... 16) ( a + b-c)2 =.......................................d c

III) Evala cada una de las siguientes expresiones:

17) Area de un cuadrado: Ac Ac =a2 , si a vale 15 cms.

18) Volumen de un cubo: VcVc =a3 , si a vale 15 cms.

19) Volumen de una esfera: 4 r 3 si = 3,14 yr=24cms. 3

20) Energa Cintica = mv2 Si m=5grs. y v=10cms/seg 2

21) Volumen de un cilindro r 2h ; SI = 3,14 ;r= 1,2 cms. y h=26cms.

22) Calcule el permetro de unrectngulo de ladosa= 4,2 m y b= 2,3 m

17


18/24

23) Completa el siguiente cuadro:

A b c a + b - c a2 - bc 2a -3b21 -2 3

5 0 -1

-4 -2

2/3 1 1/8

-2 3 1

0 1 -2

1 1/4

0 -1 -1

GUIA DE EJERCICIOS 2

1. Resuelve:

(x + 5)= 11. (6x - 8y) =

(x - 7) = 12. (0,2x 3) =

(a + 1) = 13. (5a - 0,3) =

(m + 21)= 14. ( 43 x 5)

(x - 2) =15. =

x 18) = _ _16. ( 0,7 a + 0,2 b) 2 =

18


19/24

(p + 5q) = 17. ( 81 x y)2 =

(x 3y) = 18. ( 0,3M -0, 5 N ) 2 =

(2x + 6) = 19. ( 8m n ) 2 =

(3x - 5) = 20. ( 2 mn + 6m 2n 2 ) 2 =

II.- Calcula las siguientes sumas por diferencia:

a) (a + 3)(a - 3)=

b) (x + 7)(x - 7)=

c) (m - 12)(m + 12)=

d) (y + 27)(y - 27)=

) (2a - 6)(2a + 6)=

) (3x - 4y)(3x + 4y)=

g) (4mn + 7pq)(4mn - 7pq)=

h) (a 2 + b 2)(a 2 - b 2)=

) (5x 2 - 8y 2)(5x 2 + 8y 2)=

) (0,4p + 1,2q)(0,4p - 1,2q)=

k) (2/5 m + 3/4 n)(2/5 m + 3/4 n)=

) (1 - 3/8 a)(1 + 3/8 a)=

III.- Desarrolla los siguientes productos:

a) (a + 3)(a + 7)=

19


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b) (x + 8)(x - 5)=

c) (m - 9)(m - 3) =

d) (2x + 5)(2x + 4) =

e) (7m - 6)(7m + 1) =

f) (m 2 + 8)(m 2 2) =

g) (8 + a)(5 + a) =

h) (-6 + x)(3 + x) =

GUIA DE TRABAJO 3

Identifica de que producto notable proviene cada expresin:1) 6x 12 =(-) 2)(-) =24a + 12ab

3) 4x 8y = (-) 4) (-)= 10x - 15x2

5) (-)= 14m2n + 7mn 6) 6x4 - 30x 3 + 2x2 )= (-+..)

7) 4m2 + 20 am = (+) 8) 4a3bx + 4bx = (+)

9)(+..)2 = m2 - 2m + 1 10) x2 + 26x + 25 =(.+.)(.+.)

11) (+..)2 =y2 - 10y + 25 12) 4c2 20cd + 25d2= (- ..)2

13) (+..)2 = y2 + 6y + 9 14) ( + ..)2 = h2 + 4h + 4

15) (- ..)2 = 9a2 - 12 ab + 4b2 16) ( - ..)2 =4x2 20xy + 25y2

17) (- ..)2 = 49x2 - 14x + 1 18) 16m2 - 40mn + 25n2= (-..)2

19) (- )(+ )= y2 - 4 20) (..+)(- )=4x2 - 9

21) (- )(+ )= a2 - 1 22) (..- )(+ ..)= m2 - 25

23) 49x 2 - 36y 2= (+ )(- ) 24) (+ )(- )=121p2 - 400q 2

20


21/24

25) (- )(+ )=16a2b2 - 49 26) (- )(+ )= m2n4 - x8

27) (+ )(- )= - x4 28 (- )(+ ) =) n2 - 4a 2 y2 9x2

29).= 2ab + 4a2b - 6ab 2 30).= b2 - 3b 28

31)20xy2

- 5xy + 10x2

y - 5x2

y2

32).= z2

+ 6z + 8

33)..=5a + 25ab = 34)..= bx + bx2 bx3

35) .=4 - 12y + 9y2 36) =a2x2 - b4 y4

37) =x2 - x + 38) ..=x2 + 4x + 4

39)=36m2 - 12mn + n2 40)= 4a2 - 12ab + 9b2

II. Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

1) 6x - 6y = 18)a

x +a

5=

2) 9a + 9b =

19) x2 + 9x + 18 =

3) 5x 5 = 20) m2 - 3m 10=

4)18m 12 = 21) x2 - 5x + 6=

5) 48x + 60 = 22) x 2 - x 30=

6) 8x + 16y - 32z= 23) x 2 25=

7) 18a + 27b - 45c= 24) m2 144=

8) ax ay = 25) 9 - x 2 =

9) xy x = 26) x2 - 14x + 49=

10) m2 m = 27) p2 + 12pq + 36q2=

11) x - x2 = 28) x2 - 2xy + y2 =

12) 8a2 + ab= 29) 25x2 - 49y 2 =

13) 4x2 + xy - 2x = 30) 9/16 x 2 - 81/4y 2 =

21


22/24

14) 6ab - 12a + 8ac = 31) x2 -3x + 2=

15) 12xy2 - 42x 2 y + 54xy = 32) 12x2 - x 6=

16) xy2 - x2 y + x2 y2 = 33) 4x2 + 12x + 9=

17) 0,16 + 0,8b = 34) 0,7p - 0,7 =

GUIA DE TRABAJO 4FACTOR COMUN MONOMIO1) (.) = 4x + 20 2) (.) =4x - 16y

3) (.) = 48a - 24ab 4) (.) =20x - 25x2

5) (.) = 49x2y + 7xy 6) (.) =8x4 - 24x3 + 32x2

7) (.) =4m2 - 20 am 8) (.) =18a3 by - 6by

9) (.) = 12n3 6m2 10) (.) =7m 21n + 42

11) (.) = ax + bx 12) (.) ==y2 y

13) (.) =3ab + 30ac - 27ad 14) (.) =40a 24ay + 8az

15) (.) =5a2y 15ay2 + 25ay 16) (.) =6x2n + 12x3n2 30x4n3

TRINOMIO ORDENADO PERFECTO: Factorizacin como cuadrado de binomioEjercicios: Los siguientes polinomios son trinomios ordenados perfectos?

1)(.)2 = 4m2 - 8m + 4 2) (.)2 =x2 + 10x + 25

3) (.)2 =y2 - 10y + 25 4) (.)2 = 4c2 - 20cd + 25d2

5) (.)2 =y2 + 6y + 9 6) (.)2 = h2 + 4h + 8

7) (.)2 =9a2 - 12 ab + 4b2 8) (.)2 = 4x2 - 20xy + 25y2

9) (.)2 =49x2 - 14x + 1 10) (.)2 =16m2 - 30mn + 25n2

v) DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS: Suma por diferenciaEJERCICIOS: Escribe como suma por diferencia:

1)(..)(.)= 4y2 - 1 2) (..)(.)= 16x2 - 9

3) (..)(.)= 25a2 - 1 4) (..)(.)= 49m2 - 25

5) (..)(.)= x2 - 36y2 6) (..)(.)= 144p2 - 900q2

7) (..)(.)= 81a2 b2 - 100 8) (..)(.)= m2n4 x12

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9) (..)(.)= 25n2 - 4a2 10) (..)(.)= - 25x8 16y2 9x2

EJERCICIOS DIVERSOS: Factoriza:1) 2ab + 4a2 b - 6ab2 = 2) 20xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =

3) b2 - 3b - 28 = 4)z2 + 6z + 8 =

5) 5a + 25ab = 6) bx - ab + x2 - ax=

7) 6x2 - 4ax - 9bx + 6ab = 8) ax + ay + x + y =

9) 8x2 - 128 = 10) 4 - 12y + 9y2 =

11) x4 - y2 = 12) a2x2 - b4y4 =

13) x2 + 2x + 1 - y2 = 14) x2 - y2 - 4x + 4 =

15) a2 - x2 + 2xy - y2 = 16) ( a + b)2 - ( c+d)2 =

17) a2 + 2ab + b2 - c2 + 2cd - d2 = 18) (a + 3)2 - (3a - 6)2 =

19) x3 + x2 + x + 1 = 20) 3a4 + a3 + 15a + 5 =

21) x2 + 4x + 4 = 22) a2 + 12ab + 36b2 =

23) 9x2 + 24xy + 16y2 = 24) 36m2 - 12mn + n2 =

25) 4a2

- 12ab + 9b2

= 26) x2

- x + =27) a( x+1) + b(x+1) = 28) x(2a+b) + p(2a + b)=

29)x2 ( p + q) + y2 ( p + q) = 30) 1 - x + 5 ( 1 - x) =

31) a ( 2 + x ) - 2 - x = 32) a2 + 1 - b ( a2 + 1 ) =

33) ( x + y)( n + 1 ) - 3 ( n + 1 ) = 34) ( a + 1 ) ( a - 1 ) - 2 ( a + 1)=

35) a( a + b) - b ( a + b) = 36) ( 2x + 3) ( 3 - r ) - (2x -r) (3 -r)=

37) a + ab + ax + bx = 38) ab + 3a + 2b + 6 =39) ab - 2a - 5b + 10= 40) 2ab + 2a - b - 1 =

41) 3x2 - 3bx + xy - by = 42) 6ab + 4a - 15b - 10=

43) sm - bm + sn - bn = 44) 3x3 - 9ax2 - x + 3a =

45) 3a - b2 + 2b2x - 6ax = 46) a3 + a2 + a + 1=

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Cuestiones de Geometra39. Un rectngulo tiene un permetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 mde largo que de ancho.

40. Un rectngulo mide 40 m2 de rea y 26 metros de permetro. Calcula sus dimensiones.

41. El permetro de un rectngulo mide 36 metros. Si se aumenta en 2 metros su base y se disminuye emetros su altura el rea no cambia. Calcula las dimensiones del rectngulo.

42. Calcula las dimensiones de un rectngulo tal que si se aumenta la base en 5 metros y se disminuye en otros 5 la superficie no vara; pero si se aumenta la base en 5 y disminuye la altura en 4, la superficaumenta en 4 metros cuadrados.

43. El rea de un tringulo rectngulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. Cules son las longitudes dcatetos?

44. Uno de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo es 18 mayor que el otro. Cunto mide cadadel tringulo?

45. La altura de un trapecio issceles mide 4 cm, la suma de las bases es de 14 cm, y los lados oblicuocm. Averigua las bases del trapecio.

46. El permetro de un tringulo rectngulo mide 30 m y el rea 30 m2. Calcula los catetos.

47. La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el rea en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el permetro y el rea de dicho rombo.

48. Los lados paralelos de un trapecio miden 15 cm y 36 cm, respectivamente, y los no paralelos 13 y Calcula la altura del trapecio.

DESARROLLE LOS PROBLEMAS Y ENTREGUELOS EN HOJA DE EXAMEN EN UNA FECHAPOR DETERMINARIMPORTANTE LEER LAS INDICACIONES QUER EXPLICAN EN FORMA CORRECTA ALGUNOSPROCEDIMIENTOS VISTOS EN CLASE ,SI NO TOMARON APUNTES ES LA OPORTUNIDAD DE UN APRENDIZAJE, EL ALGEBRA DEOCTAVO ES LA BASE PARA LA FISICA Y EL CALCULO

APRENDA Y CONOZCA SEA UN LIDER DE LA COMUNIDAD DE ESTUDIANTESCORDIALMENTE LUIS CARLOS

IMPORTANTE SOLO IMPRIMA LO QUE CORRESPONDA EJERCICIOS, LAS EXPLICACIONES SON OPCIONALES , SI QUIEAPRENDERSE PUEDE OBLIGAR A COMER LA SOPA PERO NO A SENTHAMBRE

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Recuperacion Octavo b Algebra Nov 3 2009

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