Re Sueltos 2003

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PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCA

2003

MATEMTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

TEMA 1: MATRICES

Junio, Ejercicio 1, Opcin B

Reserva 1, Ejercicio 1, Opcin B


Reserva 3, Ejercicio 1, Opcin A


Septiembre, Ejercicio 1, Opcin A

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R E S O L U C I N

a)

1 2 1 3 5 10 5 11 5 10 0 1

3 4 2 4 15 20 11 25 15 20 4 5A

b)

1

4 3 4 22 1

2 1 3 1( )3 1

2 22 2

t

d tMB M

M

1 1

2 11 0 4 3

( ) ( ) 3 10 1 2 1

2 2

2 1 3 33 3

2 23 12 0

4 22 2

N X M M B X M B N M I N M

Sean las matrices 1 2

3 4M

y 4 3

2 1N

a) Calcule la matriz 5t

A M M M ( tM indica la traspuesta de M).

b) Calcule la matriz 1B M y resuelva la ecuacin N X M M B , donde X es una matriz

2x2.

SOCIALES II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIN B

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R E S O L U C I N

a) Calculamos el determinante de A.

2 23

3 3 2 3 01 1

mA m m m m m

m m

No tiene solucin.

Luego, la matriz A tiene inversa para todos los valores de m.

b)

1

1 1 1 0 10

0 3 1 3( ) 3

13 31

3

t

d tAA

A

1 1

2 2

1 1 10 0 0

1 03 3 9

1 0 1 1 41 1 1

3 3 9

A X A I X A I A

Sea la matriz 3

1 1

mA

m m

a) Calcule los valores de m para que dicha matriz tenga inversa.

b) Haciendo m = 0, resuelva la ecuacin matricial2

A X A I , donde I2 es la matriz unidad de

orden 2 y X es una matriz cuadrada de orden 2.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIN B

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R E S O L U C I N

1 3 1 5 1 7 1 3 1 7 2 102

0 1 1 2 1 1 0 1 1 1 2 4

1

3 1 17 3 17 1 14

3 1 3 1 1 6

3 3

a bX

c d

a

a a b a bX

c c d c

c d

Determine la matriz X, de orden 2, que verifica la igualdad:

1 3 1 5 1 72

0 1 1 2 1 1X


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R E S O L U C I N

1 2 1 1 2 0 3 3 2 0 1 32

1 0 1 2 0 2 1 1 0 2 1 1

tM A B I

Vamos a calcular la inversa de esta matriz M.

1

1 1 1 3 1 3

3 1 1 1( ) 2 2

1 12 2

2 2

t

d tMM

M

Sean las matrices1 1 1 1

2 0 1 2A y B

. Calcule 1

2t

A B I

.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIN A

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R E S O L U C I N

1 3 5

4 2 0 6 3 3 20 10 5 36 0 12 0 0

1 1 3

x x x x x x x x

Resuelva la ecuacin:

1 3 5

4 2 0

1 1 3

x x


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R E S O L U C I N

a) 2

2

2

2

2 2 4 2 4 24 4

0 2 0 2 0 2 4 0 2 40 4 4

4 20 ; 2

4 4 2 4

x x x xx x

x x x xx x

x x xx x

x x x

b) Vamos a calcular la inversa de A.

1

1 0 1 11 1

1 2 0 2( )2 2

2 20 1

t

d tAA

A

1

1 12 1 1 0

2 20 1 0 1

0 1

A A

Sea la matriz 2

0 2

xA

x

a) Halle los valores de x para los que se verifica 2 2A A

b) Para 1x , halle 1A . Compruebe el resultado calculando 1A A .

SOCIALES II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIN A

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2003


TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES




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R E S O L U C I N

Vamos a resolverlo por Gauss

1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 010 5 3

2 1 1 5 0 5 3 5 0 5 3 5 ; ;5 5

4 7 5 15 0 15 9 15 0 0 0 0

z zx y z z

Es un sistema compatible indeterminado, ya que tiene infinitas soluciones.

Clasifique y resuelva el sistema

2 0

2 5

4 7 5 15

x y z

x y z

x y z

SOCIALES II. 2003 RESERVA 2. EJERCICIO 1 OPCIN B

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R E S O L U C I N

Vamos a resolverlo por Gauss

1 2 1 5 1 2 1 57 5 ; 6 3 ;

2 3 1 4 0 1 3 6x z y z z z

Es un sistema compatible indeterminado, ya que tiene infinitas soluciones.

Clasifique y resuelva el sistema 2 3 4

2 5

x y z

x y z

.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 3. EJERCICIO 1 OPCIN A

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R E S O L U C I N

20.000 20.000

2 2 6.000 ; 2.000 ; 12.000

6 8 10 3 4 5 860001720

100 100 100

A B C A B C

C A C A A B C

A B C A B C

Plantee, sin resolver, un sistema de ecuaciones que d solucin al siguiente problema: Un

inversor compr acciones de las empresas A, B y C por un valor de 20000 , invirtiendo en C el doble que en A. Al cabo de un ao la empresa A le pag el 6% de beneficio, la B el 8% y la C el

10%. Si el beneficio total fue de 1720 , qu dinero invirti en cada empresa?.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 4. EJERCICIO 1 OPCIN B

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2003


TEMA 3: PROGRAMACIN LINEAL

Junio, Ejercicio 1, Opcin A





Septiembre, Ejercicio 1, Opcin B

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R E S O L U C I N

a) Lo primero que hacemos es dibujar el recinto y calcular los vrtices del mismo

Los vrtices del recinto son los puntos: (2,4); (8,7); (5,9)A B C

b) Calculamos los valores que toma la funcin ( , ) 2 5F x y x y en dichos puntos

( ) (2,4) 16F A F

( ) (8,7) 19F B F

( ) (5,9) 35F C F

Luego vemos que el mximo est en el punto C (5,9) y vale 35.

Sea el siguiente sistema de inecuaciones:

5 3 2

2 6

2 3 37

x y

x y

x y

a) Represente el conjunto solucin y determine sus vrtices.

b) Halle el punto del recinto anterior en el cual la funcin ( , ) 2 5F x y x y alcanza su valor

mximo.

SOCIALES II. 2003 JUNIO. EJERCICIO 1 OPCIN A

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R E S O L U C I N

a) Lo primero que hacemos es dibujar el recinto.

Resolviendo los sistemas de inecuaciones calculamos los vrtices del recinto:

4 12 122, ; (2, 2); ,

3 7 7A B C

b) Calculamos los valores que toma la funcin ( , ) 2 3F x y x y en dichos puntos

4 7

( ) 2,3 3

F A F

( ) (2,2) 1F B F

12 12 9

( ) ,7 7 7

F C F

Luego vemos que el mximo est en el punto B = (2,2) y vale 1 , y el mnimo est en el punto

42,

3A

y vale 7

3 .

a) Represente grficamente la regin del plano delimitada por las siguientes inecuaciones:

1 ; ; 23 4

x yy x x . Determine sus vrtices.

b) Calcule los valores mximo y mnimo de la funcin ( , ) 2 3F x y x y en la regin

anterior e indique para qu valores se alcanzan.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 1. EJERCICIO 1 OPCIN A.

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R E S O L U C I N

Lo primero que hacemos es plantear el sistema de inecuaciones que define el problema. Si

llamamos x a los Kg de gambas e y a los Kg de langostinos, tenemos:

- La produccin mxima mensual es de 1 Tm de cada producto 1.000 ; 1.000x y

- la produccin mnima mensual es de 100 Kg de cada uno. 100 ; 100x y

- Si la produccin total es, a lo sumo, de 1700 Kg al mes 1.700x y

La funcin que tenemos que maximizar es: ( , ) 10 15F x y x y .

A continuacin dibujamos el recinto y calculamos sus vrtices.

Los vrtices del recinto son los puntos: A (100, 100); B = (1.000, 100); C = (1.000, 700);

D = (700, 1.000) ; E = (100, 1000)

Calculamos los valores que toma la funcin ( , ) 10 15F x y x y en dichos puntos

( ) (100,100) 2.500F A F

( ) (1.000,100) 11.500F B F

( ) (1.000,700) 20.500F C F

( ) (700,1.000) 22.000F D F

( ) (100,1.000) 16.000F E F

Luego vemos que la produccin que maximiza los ingresos mensuales corresponde a 700 Kg de

gambas y 1.000 Kg de langostinos. Los ingresos ascienden a 22.000 .

Una piscifactora vende gambas y langostinos a 10 y 15 el Kg, respectivamente. La produccin mxima mensual es de 1 Tm de cada producto y la produccin mnima mensual es

de 100 Kg de cada uno.

Si la produccin total es, a lo sumo, de 1700 Kg al mes, cul es la produccin que maximiza los

ingresos mensuales?. Calcule estos ingresos mximos.


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R E S O L U C I N

a) Lo primero que hacemos es dibujar el recinto.

Los vrtices del recinto son los puntos: A = (40, 20); B = (60, 10); C = (20, 50).

b) Calculamos los valores que toma la funcin ( , ) 9 8 5F x y x y en dichos puntos

( ) (40,20) 515F A F

( ) (60,10) 615F B F

( ) (20,50) 575F C F

Luego vemos que el mximo est en el punto B = (60, 10) y vale 615, y el mnimo est en el punto

D = (40, 20) y vale 515.

a) Represente grficamente la regin del plano delimitada por las siguientes inecuaciones:

2 80; 3 2 160; 70x y x y x y y determine sus vrtices.

b) Calcule el mximo y el mnimo de la funcin ( , ) 9 8 5F x y x y en la regin anterior e

indique para qu valores se alcanzan.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 3. EJERCICIO 1 OPCIN B.

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R E S O L U C I N

Lo primero que hacemos es plantear el sistema de inecuaciones que define el problema. Si

llamamos x al nmero de sofs tipo A e y al nmero de sofs de tipo B, tenemos:

- Al menos se deben fabricar 6 sofs del tipo A y 10 del tipo B 6 ; 10x y

- El nmero de los del tipo A no debe superar en ms de 6 unidades al nmero de los del B.

6x y

- no se pueden fabricar ms de 30 sofs semanalmente?. 30x y

La funcin que tenemos que maximizar es: ( , ) 1.500 2.000F x y x y .


Los vrtices del recinto son los puntos: A = (6, 10); B = (16, 10); C = (18, 12); D = (6, 24).

Calculamos los valores que toma la funcin ( , ) 1.500 2.000F x y x y en dichos puntos

( ) (6,10) 29.000F A F

( ) (16,10) 44.000F B F

( ) (18,12) 51.000F C F

( ) (6,24) 57.000F D F

Luego vemos que el nmero de sofs del tipo A deben ser 6 y 24 del tipo B. El beneficio mximo es

de 57.000 .

Una empresa fabrica sofs de dos tipos, A y B, por los que obtiene un beneficio, por unidad, de

1500 y 2000 , respectivamente. Al menos se deben fabricar 6 sofs del tipo A y 10 del tipo B, por semana, y adems, el nmero

de los del tipo A no debe superar en ms de 6 unidades al nmero de los del B.Cuntas

unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtener beneficio mximo, si no se

pueden fabricar ms de 30 sofs semanalmente?.


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R E S O L U C I N

Lo primero que hacemos es plantear el sistema de inecuaciones que define el problema. Llamamos

x a las Tm de escayola e y a las Tm de yeso.

- La produccin diaria debe ser como mnimo de 30 Tm de escayola y 30 Tm de yeso

30 ; 30x y

- La cantidad de yeso no puede superar en ms de 60 Tm a la de escayola 60y x

- El triple de la cantidad de escayola, ms la cantidad de yeso, no puede superar 420 Tm.

3 420x y

La funcin que tenemos que maximizar es: ( , ) 150 100F x y x y .


Los vrtices del recinto son los puntos: A = (30, 30) ; B = (130, 30); C = (90, 150); D = (30, 90).

Calculamos los valores que toma la funcin ( , ) 150 100F x y x y en dichos puntos

( ) (30,30) 7.500F A F

( ) (130,30) 22.500F B F

( ) (90,150) 28.500F C F

( ) (30,90) 13.500F D F

Luego vemos que el mximo corresponde a 90 Tm de escayola y 150 Tm de yeso y los ingresos

ascienden a 28.500 .

Una empresa gana 150 por cada tonelada de escayola producida y 100 por cada tonelada de yeso.

La produccin diaria debe ser como mnimo de 30 Tm de escayola y 30 Tm de yeso. La

cantidad de yeso no puede superar en ms de 60 Tm a la de escayola. El triple de la cantidad de

escayola, ms la cantidad de yeso, no puede superar 420 Tm. Calcule la cantidad diaria que

debe producirse de cada material, para obtener la mxima ganancia y determine dicha

ganancia.

SOCIALES II. 2003 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1 OPCIN B.

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2003


TEMA 4: FUNCIONES

Junio, Ejercicio 2, Opcin A




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R E S O L U C I N

a) Para que sea derivable, primero debe ser continua.

2

2

2

2

lim ( 1) 1

1 3 4lim ( 3) 3 3

x

x

x b b

b a a ba x a

Calculamos la funcin derivada: 2( 1) 2

'( )2 ( 3) 2

x si xf x

a x si x

:

'(2 ) 22 2

'(2 ) 2

fa

f a

Resolviendo el sistema, sale que: 1 ; 5a b

b) 2 1

3

(2 4)'( )

( 1)

xe xg x

x

a) Sea la funcin

2

2

( 1) 2( )

( 3) 3 2

x b si xf x

a x si x

. Halle a y b para que la funcin sea continua y

derivable en 2x .

b) Halle la funcin derivada de 2 1

2( )

( 1)

xe

g xx

SOCIALES II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIN A

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R E S O L U C I N

c)

b) Mximo (225,81); 5 ; 40t t

Se conoce que el rendimiento de un jugador de ftbol durante los primeros 45 minutos de un

partido viene dado por la funcin : 0,45f cuya expresin analtica es 2

( ) 7'2 0'16f t t t , donde t es el tiempo, expresado en minutos.

a) Represente grficamente esta funcin.

b) Cul es el mximo rendimiento del jugador?. En qu momento lo consigue?. En qu

instantes tiene un rendimiento igual a 32?.


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R E S O L U C I N

a) Mximo (12,296); mnimo (16,264)

b)

Crece de 11 a 12 y de16 a 20

c) Mximo = 424; mnimo = 264

El nmero medio de clientes que visitan un hipermercado entre las 11 y las 20 horas est dado

por 3 2( ) 42 576 2296f x x x x , en funcin de la hora x, siendo 11 20x .

a) Halle los extremos relativos de esta funcin.

b) Represente esta funcin y determine las horas en las que crece el nmero medio de clientes.

c) Halle los valores mximos y mnimos del nmero medio de clientes que visitan el hipermercado

entre las 11 y las 20 horas.


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R E S O L U C I N

a)

b) El beneficio mximo ser para 2 5t y t .

Los beneficios esperados de una inmobiliaria en los prximos 5 aos vienen dados por la

funcin: 3 2( ) 9 24B t t t t (t indica el tiempo, en aos, 0 5t )

a) Represente la evolucin del beneficio esperado en funcin del tiempo.

b) En ese periodo, cundo ser mximo el beneficio esperado?.


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2003


TEMA 5: PROBABILIDAD

Junio, Ejercicio 3, Parte I, Opcin A

Junio, Ejercicio 3, Parte I, Opcin B

Reserva 1, Ejercicio 3, Parte I, Opcin A

Reserva 1, Ejercicio 3, Parte I, Opcin B







Septiembre, Ejercicio 3, Parte I, Opcin A

Septiembre, Ejercicio 3, Parte I, Opcin B

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R E S O L U C I N

a)

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,E AA AE AI AO AU EA EE EI EO EU IA IE II IO IU OA OE OI OO OU UA UE UI UO UU

b) 20 4

25 5p

Blanca y Alfredo escriben, al azar, una vocal cada uno en papeles distintos.

a) Determine el espacio muestral asociado al experimento.

b) Calcule la probabilidad de que no escriban la misma vocal.

SOCIALES II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN A

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R E S O L U C I N

a) 0 '7 0 '6 0 '3 0 '3 0 '51p

b) 0 '42 14

0 '51 17p

El 70% de los alumnos de un Instituto son de Bachillerato y el resto de E.S.O. De los alumnos de

Bachillerato, el 60% estudia ms de 3 horas al da, y slo el 30% de los de E.S.O. estudia ms de

3 horas al da.

a) Calcule la probabilidad de que un alumno de dicho Instituto, elegido al azar, estudie ms de 3

horas al da.

b) Sabiendo que un alumno de ese Instituto, elegido al azar, estudia ms de 3 horas al da, cul

es la probabilidad de que sea de Bachillerato?.

SOCIALES II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN B

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R E S O L U C I N

a) 126 63

212 106p

b) 36 9

44 11p

En una residencia hay 212 ancianos de los que 44 tienen afecciones pulmonares. Del total de

ancianos, 78 son fumadores, y slo hay 8 que tienen enfermedad de pulmn y no fuman.

a) Cul es la probabilidad de que un anciano de esa residencia, elegido al azar, no fume y

tampoco tenga afeccin pulmonar?.

b) Qu porcentaje de enfermos de pulmn son fumadores?.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 1. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN A

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R E S O L U C I N

Hacemos un diagrama de rbol

a) 4 3 2 2 31

( )6 7 6 8 84

p R

b) 2 1 1

( )6 8 24

p N

b)

2 5

356 84 4 2 5 99

6 7 6 8

p

Disponemos de dos urnas A y B conteniendo bolas de colores. La urna A tiene 4 bolas blancas y 3

rojas, y la urna B tiene 5 blancas, 2 rojas y 1 negra. Lanzamos un dado, si sale 1, 2, 3 4

extraemos una bola de A y si sale 5 6 la extraemos de B.

a) Calcule la probabilidad de que la bola extrada sea roja.

b) Calcule la probabilidad de que la bola extrada sea negra.

c) Sabiendo que la bola extrada ha sido blanca, calcule la probabilidad de que en el dado haya

salido 5 6.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 1. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN B

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R E S O L U C I N

a) ( )

( / ) ( ) ( / ) ( ) 0 '8 0 '7 0 '56( )

p A Bp A B p A B p A B p B

p B

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '24 0'56 0'8c cp A B p A p A B p A p A B p A B

c) Si A y B son independientes se tiene que cumplir: ( ) ( ) ( )p A B p A p B

0'56 0'8 0'7 Independientes

De dos sucesos A y B, asociados a un mismo experimento aleatorio, se conocen las probabilidades

( ) 0'7P B , ( / ) 0'8P A B y ( ) 0'24CP A B .

Calcule: a) ( )P A B ; b) ( )P A ; c) Determine si A y B son independientes.

SOCIALES II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN A

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a) 59

200p

b) 21

59p

En un hospital se han producido 200 nacimientos en un mes. De ellos, 105 son varones y, de stos,

21 tienen los ojos azules. Asimismo se ha observado que 38 de las nias nacidas en ese mes tienen

los ojos azules.

Se elige, al azar, un recin nacido entre los 200 citados.

a) Calcule la probabilidad de que tenga los ojos azules.

b) Si el recin nacido que se elige tiene los ojos azules, cul es la probabilidad de que sea un

varn?.

SOCIALES II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN B

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R E S O L U C I N

a) 787

( ) 0 '52 0 '55 0 '23 0 '45 0 '8744900

P coche x x

b) 0 '55 0 '77

0 '88220 '55 0 '77 0 '45 0 '1256

p

El 55% de la poblacin espaola son mujeres, de las cuales un 23% usa el coche para ir al

trabajo. Se sabe que la probabilidad de que una persona, sea hombre o mujer, vaya al trabajo en

coche es 052. a) Elegido un hombre, al azar, cul es la probabilidad de que utilice el coche para desplazarse al

trabajo?.

b) Si se elige una persona, al azar, y resulta que no utiliza el coche para ir al trabajo, calcule la

probabilidad de que sea mujer.


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a) 60%p

b) 0 '6 6

0 '7 7p

En una biblioteca slo hay libros de fsica y de matemticas, que estn escritos en ingls o en

espaol. Se sabe que el 70% de los libros son de fsica, el 80% de los libros estn escritos en

espaol y el 10% son libros de matemticas escritos en ingls.

a) Calcule qu tanto por ciento de los libros son de fsica y escritos en espaol.

b) Si escogemos un libro de fsica, cul es la probabilidad de que est escrito en espaol?.

SOCIALES II. 2003. RESERVA 3. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN B

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R E S O L U C I N

( )

( / ) ( ) ( / ) ( ) 0 '7 0 '65 0 '455( )

p F Lp F L p F L p F L p L

p L

a) ( ) 0 '455

( / ) 0 '91( ) 0 '5

p F Lp L F

p F

b) ( ) ( ) 1 ( ) 1 0'65 0'5 0'455 0'305p L F p L F p L F

En un curso, el porcentaje de aprobados en Lengua es del 65% y en Filosofa del 50%. Se sabe

que la probabilidad ( / ) 0'7P F L , siendo F y L los sucesos aprobar Filosofa y aprobar

Lengua, respectivamente.

a) Calcule ( / )P L F .

b) Halle la probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas.


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R E S O L U C I N

a) ( , , );( , , );( , , );( , , );( , , );( , , );( , , );( , , );E c c c c c x c x c c x x x c c x c x x x c x x x

1 3 3 1

(3 ) ; (2 ) ; (1 ) ; (0 )8 8 8 8

p c p c p c p c

b) 7

( )8

p A ; 3

( )8

p B ; 3

( )8

p A B

Como ( ) ( ) ( )p A B p A p B Dependientes

Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar 3 veces una moneda y observar el resultado

a) Escriba el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elementales.

b) Sean los sucesos A: Obtener al menos una cara y B: Obtener cara en slo uno de los tres

lanzamientos. Calcule ( )p A y ( )p B .Son independientes A y B?

SOCIALES II. 2003 RESERVA 4. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN B

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R E S O L U C I N

a) 100 50 7

0 '06 0 '02150 150 150

p

b)

0 '02

137 7

150

p

Una mquina A fabrica 100 piezas al da, de las cuales un 6% son defectuosas. Otra mquina B

fabrica 50 piezas al da, con un porcentaje de defectuosas del 2%.

Mezclamos las piezas fabricadas por ambas mquinas en un da y extraemos una al azar.

a) Cul es la probabilidad de que la pieza extrada sea defectuosa?.

b) Sabiendo que la pieza extrada es defectuosa, cul es la probabilidad de que la haya

fabricado la mquina B?.

SOCIALES II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN A

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R E S O L U C I N

a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '3 0 '4 0 '3 0 '4 0 '58p A B p A p B p A B

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '3 0'3 0'4 3

( / )( ) ( ) 0 '6 10

cc

c c

p A B p A p A p Bp A B

p B p B

Sean A y B dos sucesos aleatorios independientes. Se sabe que ( ) 0'3P A ; ( ) 0'4P B .

Calcule las siguientes probabilidades: a) ( )P A B ; b) ( / )CP A B

SOCIALES II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. PARTE I. OPCIN B

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2003


TEMA 6: TEORA DE MUESTRAS

Junio, Ejercicio 3, Parte II, Opcin A

Junio, Ejercicio 3, Parte II, Opcin B

Reserva 1, Ejercicio 3, Parte II, Opcin A

Reserva 1, Ejercicio 3, Parte II, Opcin B







Septiembre, Ejercicio 3, Parte II, Opcin A

Septiembre, Ejercicio 3, Parte II, Opcin B

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R E S O L U C I N

a) 21'06 26 '94

242

b) Aplicando la frmula, tenemos:

2 2

7 '52 '94 1'96

25 E z z

Buscamos en la tabla el valor 196 y corresponde a 09750, luego:

10 '9750 95%

2

xx

La longitud de la ballena azul se distribuye segn una ley normal con desviacin tpica 75 m. En un estudio estadstico realizado a 25 ejemplares se ha obtenido el intervalo de confianza

(2106,2694) para la longitud media. a) Calcule la longitud media de los 25 ejemplares de la muestra.

b) Calcule el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo.

SOCIALES II. 2003 JUNIO. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIN A

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R E S O L U C I N

a) 2

1 0 '950 '975 1'96

2

z

9

. . 112 1'96 112 2'52 (109'48;114'52)49

I C

b) 2

1 0 '900 '95 1'645

2

z

Aplicando la frmula, tenemos:

92 1'645 54'79 55 E n

n

De una poblacin normal, con media desconocida y varianza 81, se extrae una muestra

aleatoria que resulta tener una media muestral de 112.

a) Obtenga un intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional, si el tamao de la

muestra es 49.

b) Cul debe ser el tamao mnimo de la muestra si se desea que el error cometido, al estimar

la media poblacional, sea inferior a 2, para un nivel de confianza del 90%?.

SOCIALES II. 2003 JUNIO. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIN B

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R E S O L U C I N

a) 20

200, 200,2100

N N

b) El intervalo de confianza de la media poblacional viene dado por: 2 2

. . ,I C z zn n

En nuestro caso, sabemos que 200; 20; 100 n ; y como el nivel de confianza es del

90%, podemos calcular 2

z

2

1 0 '950 '975 1'96

2

z

Luego sustituyendo los datos, tenemos:

20 20. . 200 1'96 ,200 1'96 (196 '08 ;203'92)

100 100

I C

Se sabe que la desviacin tpica del peso de las naranjas que se producen en una determinada

huerta es de 20 gramos. Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 naranjas de esa huerta,

siendo su peso medio 200 gramos.

a) Indique la distribucin aproximada que siguen las medias de las muestras de ese tamao y

justifique su respuesta.

b) Calcule un intervalo de confianza, a un nivel del 95%, para el peso medio de las naranjas de

esa huerta.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 1. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIN A

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R E S O L U C I N

a)

2

1 0 '970 '985 2 '17

2

z

32'17 23'5 24 '151

100

24'151 23'5 0'651 E

b) 3

0 '5 2 '17 169 '52 170 E nn

El tiempo que la poblacin infantil dedica semanalmente a ver la televisin, sigue una ley

normal con una desviacin tpica de 3 horas.

Se ha seleccionado una muestra aleatoria de 100 nios y, con un nivel de confianza del 97%, se

ha construido un intervalo para la media poblacional.

a) Calcule el error mximo cometido y el tiempo medio de la muestra elegida, sabiendo que el

lmite inferior del intervalo de confianza obtenido es 235 horas. b) Supuesto el mismo nivel de confianza, cul debera haber sido el tamao mnimo de la

muestra para cometer un error en la estimacin inferior a media hora?.

SOCIALES II. 2003 RESERVA 1. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIN B

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R E S O L U C I N

a) 2

1 0 '9950 '9975 2 '81

2

z


15

. . 52 2 '81 52 9 '425 (42 '575;61'425)20

I C

b) 2

1 0 '900 '95 1'645

2

z


151'5 1'645 270 '6 271E n

n

Una variable aleatoria sigue una distribucin normal con desviacin tpica 15.

a) Construya un intervalo de confianza para la media de la poblacin, con un nivel de

confianza del 995% sabiendo que una muestra de 20 individuos tiene una media de 52. b) Cul debe ser el tamao mnimo de una muestra de esta poblacin para que un intervalo de

confianza, con nivel del 90%, para la media de la poblacin tenga una amplitud inferior a 3

unidades?.


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R E S O L U C I N

a)

(1,1) (1,2) (1,3)

(2,1) (2,2) (2,3)

(3,1) (3,2) (3,3)

c) Construimos la tabla para las medias muestrales:

x f x f 2x f

1 1 1 1

15 2 3 45

2 3 6 12

25 2 5 125

3 1 3 9

9 18 39

Media = 18

29

i i

i

x f

f

Varianza =

2

2 2 239 2 0'339

i i

i

x fx

f

Sea una poblacin cuyos elementos son 1, 2 y 3.

Mediante muestreo aleatorio simple se pretende seleccionar una muestra de tamao 2.

a) Escriba las posibles muestras.

b) Calcule la varianza de las medias muestrales.


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R E S O L U C I N

Como el nivel de confianza es del 95%, podemos calcular 2

z

2

1 0 '950 '975 1'96

2

z


11220 1'96 120 '47 121 E n

n

El peso de los adultos de una determinada especie de peces sigue una ley normal de desviacin

tpica 112 gr.

Cul es el tamao mnimo de la muestra de peces que debera tomarse para obtener, con una

confianza del 95%, la media de la poblacin con un error menor de 20 gr?.


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R E S O L U C I N

a) La distribucin es: 1'5

6 '5,50

N

Calculamos el valor de 2

z : 2

1 0 '970 '985 2 '17

2

z


1'5. . 6 '5 2 '17 (6 '04;6 '96)

50

I C

b)

2 2

1'56 '8 6 '5 0 '3 1'41

50 E z z

Buscamos en la tabla el valor 141 y corresponde a 09207, luego:

10 '9207 84 '1%

2

xx

Se est estudiando el consumo de gasolina de una determinada marca de coches. Para ello se

escogen 50 automviles al azar y se obtiene que el consumo medio es de 65 litros. Con independencia de la muestra, se sabe que la desviacin tpica del consumo de ese modelo de

coches es 15 litros. a) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para el consumo medio de gasolina de los coches de esa

marca.

b) El fabricante afirma que el consumo medio de gasolina de sus vehculos est comprendido

entre 62 y 68 litros. Con qu nivel de confianza puede hacer dicha afirmacin?. SOCIALES II. 2003 RESERVA 3. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIN B

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R E S O L U C I N

a) Calculamos el valor de 2

z : 2

1 0 '900 '95 1'645

2z


205. . 1215 1'645 (1208'2555 , 1221'7445)

2500I C

b) Calculamos el valor de 2

z : 2

1 0 '950 '975 1'96

2z


20510'046 1'96 1599'68 1600E n

n

a) Se sabe que la desviacin tpica de los salarios de una poblacin es 205 . Determine un intervalo, con el 90% de confianza, para el salario medio de la poblacin, sabiendo que el

salario medio correspondiente a una muestra de 2500 personas ha sido de 1215 . b) Elegida otra muestra grande, cuya media ha sido 1210 , se ha obtenido, con un 95% de confianza, el intervalo (1199.953 , 1220.045). Cul es el tamao de esta muestra?.


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R E S O L U C I N

a) Calculamos el valor de 2

z : 2

1 0 '950 '975 1'96

2z


4. . 57 1'96 (56 '216 , 57 '784)

100I C

b) Si aumenta el tamao de la muestra, disminuye la amplitud del intervalo, ya que el error es menor.

El permetro craneal de una poblacin de varones adultos sigue una ley normal con desviacin

tpica 4 cm.

a) Obtenga un intervalo de confianza, al 95% para el permetro craneal medio, sabiendo que

una muestra aleatoria de 100 individuos de esa poblacin tiene una media de 57 cm.

b) Con el mismo nivel de confianza, si se aumente el tamao de la muestra, razone si aumenta,

disminuye o no varia la amplitud del intervalo.


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R E S O L U C I N

a) 2

1 0 '900 '95 1'645

2

z

2'9

. . 8'41 1'645 8'41 0 '3669 (8'0431;8'7769)169

I C

b) 2

1 0 '950 '975 1'96

2

z


2 '90 '35 1'96 263'73 264 E n

n

Se sabe que la antigedad de los coches fabricados por una empresa es una variable aleatoria

normal, con desviacin tpica 29 aos. a) Un estudio realizado sobre una muestra aleatoria de 169 coches, de esa empresa, revela que

la antigedad media de la muestra es 841 aos. Obtenga un intervalo de confianza, al 90%, para la antigedad media de la poblacin.

b) Determine el nmero mnimo de coches que debe componer una muestra, para obtener, con

un nivel de confianza del 95%, un error de estimacin menor que 035 aos.

SOCIALES II. 2003 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIN A

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R E S O L U C I N

a) El intervalo de confianza de la media poblacional viene dado por: 2 2

. . ,I C z zn n

En nuestro caso, sabemos que 37 '1; 1'04; 64 n ; y como el nivel de confianza es

del 90%, podemos calcular 2

z

2

1 0 '900 '95 1'645

2

z

Luego sustituyendo los datos, tenemos:

1'04 1'04. . 37 '1 1'645 ,37 '1 1'645 (36 '8862 ;37 '3138)

64 64

I C

b) Aplicando la frmula, tenemos:

2 2

1'040 '3 2 '30

64 E z z

Buscamos en la tabla el valor 230 y vemos que corresponde a 09893. Luego:

10 '9893 97,86%

2

xx

En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para estimar la

temperatura media de sus enfermos. La media de la muestra ha sido 371 C y se sabe que la desviacin tpica de toda la poblacin es 104 C. a) Obtenga un intervalo de confianza, al 90%, para la media poblacional.

b) Con qu nivel de confianza podemos afirmar que la media de la poblacin est

comprendida entre 368 C y 374 C?.

SOCIALES II. 2003 SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3 PARTE II OPCIN B

MCCSS T1 2003MCCSS T2 2003MCCSS T3 2003MCCSS T4 2003MCCSS T5 2003MCCSS T6 2003

Re Sueltos 2003

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