RAFAEL RAMIREZ

El segmento de Barra soporta las cargas verticales mostradas.

a) Determine las componentes de reacción en la articulación esférica A y la tensión en los cables de soporte BC y BD.

b) Diseñe el eje (diámetro) bajo carga estática si N=2

c) Dibujar diagramas de cortante y flectorNota: Asumir un material.

Hagamos diagrama de cuerpo libre:

Calculemos las tensiones TBD y TBC

Hallemos los vectores de dirección y

y y

entonces las tensiones son:

DB

CB

kjiDB ˆ2ˆ2ˆ1

kjiCB ˆ2ˆ2ˆ1

mDB 3mCB 3

kjiT

DB

DBTT BDBDBD

ˆ3

2ˆ3

2ˆ3

1

kjiT

CB

CBTT BCBCBC

ˆ3

2ˆ3

2ˆ3

1

Ax

4 KN 3 KN Ay

BCiT3

1

A

Y

X

BDjT3

2BCjT

3

2

BDiT3

1

Plano X-Y

2 m

1 m 1,5m 1,5 m 1,5 m

1 m Az

Ax

Z

X

BDkT3

2

BCkT3

2

B B

1 m

A

N

N

BDiT31

BCiT31

Plano X-Z

Y

A

N

B

Z

Ay

Az

BDkT3

2

BDkT3

2

7 KN

BCjT3

2BDjT

3

2

1 m

Plano Y-Z

O

punto O

Del Plano X-Y aplicando las condiciones de equilibrio tenemos:

-Ay*(1m) + Ax*(1m) - 3KN*(3m) – 4KN*(4,5m) = 0

-Ay + Ax = 9KNm + 18 KNm → -Ay + Ax = 27 KNm (1)

Por condiciones de simetría TBD = TBC

2*(2/3 Tbd) + Ay – 3KN - 4KN = 0 → Ay = 7KN – 4/3 Tbd (2)

Ax – 1/3Tbd – 1/3 Tbc = 0 → Ax = 2/3 Tbd (3)

y Tbd = 3/2 Ax (4)

Reemplazando (4) en (2) Ay = 7KN – 4/3*(3/2Ax) → Ay = 7KN – 2Ax

Ordenando Ay + 2Ax = 7KN (5) , sumamos (1) y (5)

Ay + 2Ax = 7KN- Ay + Ax = 27 KN ________________

3Ax = 34 KN → Ax = 34/3 KN Ax = 11,33 KN

0BM

0Fy

0Fx

Reemplazamos Ax = 11,33 KN en (1) - Ay + Ax = 27 KNm

- Ay + 11,33 KN = 27 KNm → Ay = -15,66 KN

Haciendo en el plano Z-X tenemos que Az = 0

Las reacciones en A son: Ax = 11,33 KN , Ay = -15,66 KN , Az = 0

La reacción en A es :

Hallemos los valores de las tensiones Tbd Y Tbc:

De Ec (4) Tbd = 3/2 Ax y Ax = 11,33 KN → Tbd = Tbc = 17 KN

0BM

jKNiKNA ˆ66,15ˆ33,11

kKNjKNiKNkjiKNDB

DBTT BDBD

ˆ33,11ˆ3,11ˆ67,5ˆ3

2ˆ3

2ˆ3

117

kKNjKNiKNkjiKNCB

CBTT BCBC

ˆ33,11ˆ3,11ˆ67,5ˆ3

2ˆ3

2ˆ3

117

Mo – 3KN(1,5m) – 4KN(3M) = 0Mo = 16,5 KN

0OM

Cortante Max = 7 KN

Momento Max en O-N = 16,5 KNm

Calculemos los diagramas de cortantes y momentos :

La barra se puede considerar como una viga compuesta , consideremos el segmento O-N

Descomponiendo todas las fuerzas que actúan sobre A-O en sus componentes a lo largo de los ejes X´ - Y´ y rotando Ө = 45° con respecto a X-Y

Calculemos los diagramas de cortantes y momentos del tramo O - A :

Ay= -15,67 KN

Y

X

O

A

22,67 KN

11,34KN

1 m

Ax= 11,33 KN

ө = 45°

Ro = 7 KN

B1 m

1,5m

2 m

Mo= 16,5 KNm

Y´

X´

Ay= -15,67 KN

ө = 45°

Ay-y´ ө

A Ay-y´= 11 KN

Ax= 11,33 KN

ө A

Ax-y´

Ax-y´ = 8 KN

11,34KN

B ө My´

My´= 8 KN

22,67 KN

ө

Ny´

Ny´= 16 KN

B

O

Ro = 7 KN

Roy´ ө

Roy´= 5 KN

MA = 0

0AM

Cortante Max = 19,09 KN

Momento Max en O-N = -26,92 KNm

Calculemos los diagramas de cortantes y momentos :

La barra se puede considerar como una viga compuesta , consideremos el segmento A-O

El sistema mostrado tiene como objeto la elevación cargas por medio de un motor eléctrico, dos poleas y un tambor de elevación, colocado en un eje. Determinar:

a) Potencia necesaria del motor en Hp.

b) Diagramas de carga, flexión y torsión.

c) Diseñar el diámetro del eje analizando efectos de torsión y flexión por separados.Nota: Asumir un material y un factor de seguridad N= 2

El sistema debe cumplir con los siguientes requisitos:

1. Velocidad de subida = 1,4 m/seg.2. Radio del tambor de elevación =

0,12 m. 3. Diámetro polea en C = 48 cms.4. Diámetro polea en B = 12 cms.

5. En las poleas µs = 0,4 y ß en polea C = 240°

6. Carga a elevar W = 1000 Kg.

a) Potencia del motor en Hp

Datos conocidos: VL= 1,4 m/s; Radio del tambor (r) = 0,12 m; Carga a elevar W = 10000Kgf = 9800 N

Ƭ = F * r → Ƭ tambor = 9800N * (0,12 m) = 1176 Nm

Velocidad del tambor:

F = 9800N

VL = 1,4 m/s

r = 0,12m

→ VL= ωt * r → ωt = VL / r

La relación de transmisión es:

polCt sradm

sm /67,1112,0

/4,1

polBpolCpolB

polC

m

m

D

D 44

12,0

48,0

sradsradpolB /68,46/67,11*4

sradsrad polBpolCt /68,46/67,11

a) Potencia del motor en Hp

Del tambor conocemos : Ƭt = 1176 Nm; VL= 1,4 m/sHaciendo análisis de la polea C

También sabemos que:

μs = 0,40 y ϐ = 240° = 4,19 rad

reemp. (1) ec. En (2) ec. →

r = 0,24m

→ Ƭc = Ƭt = 1176 Nm

T2 *(0,24m) – T1*(0,24m) = 1176 Nm

(T2 – T1)* 0,24m = 1176 Nm

T2 = 4900 + T1 (1) ec.

60°

T1

T2Ƭt =1176 Nm

C

seT

T

1

2 34,519,4*40,0

1

2 eT

T

34,51

2 T

T(2) ec. 34,5

4900

1

1

T

T

T1 = 1129 N y T2 = 6029 N

a) Potencia del motor en Hp

Ahora analicemos la polea B

También sabemos que: ωB = 46,68 rad/s = ηB

PM = 294 Nm * (46,68 rad/s) = 13724,0 watts, 1Hp = 745,7 watts

→ Pmotor = 18,40 Hp

r = 0,06m

→ ΣMB = 0 ↑ +

MB – (6029N)*(0,06m) + (1129N)*(0,06m) = 0

MB = 294 Nm = ƬB

Ahora PM = ƬB * ηB

60°

T1 = 1129 N

T2 = 6029 N

B

b) Diagramas de Carga, Flexión y TorsiónCalculemos todas las reacciones :1. Tambor

2. Polea C

F = 9800N

r = 0,12m

Ey

Ey = 9800 N ; Ex = 0 ; Ez = 0

ΣMo = 0 ↑ +

ME = 9800N*(0,12 m)

ME = 1176 Nm

ME

60° = Ө

ӨT2x

T2y

T2=6029N

T1=1129N

C

Cx

Cy r = 0,24m

MRc = ME = 1176 Nm T2x = T2*cos60°= 3014,5 N T2y = T2*sen60°= 5221,3N

ΣFy = 0 ↑ + Cy – T2y = 0 → Cy = T2yCy = 5221,3 N

ΣFx = 0 → + Cx – T2x – T1 = 0 → Cx = T2x + T1 = 3014,5 N + 1129 NCx = 4143,5 N

ΣFx = 0 → + Cx + Dx +Ex + Fx = 0 →

4143,5 + Dx + Fx = 0

Dx + Fx = - 4143,5 N (1)

ΣFy = 0 ↑ + Cy + Dy – Ey + Fy = 0 →

5221,3N + Dy – 9800N + Fy = 0

Dy + Fy = 4578,7 N (2)

b) Hagamos DCL del eje

ΣMF = 0 ↑ +

-9800 N*(0,65m) + Dy*(1,3m) + 5221,3 N*(1,7m) = 0

-6370Nm + Dy*(1,3m) + 8876,21 Nm = 0 →

Dy = -1927,85 N Reemplazando Dy en (2)

-1927,85 N + Fy = 4578,7 N → Fy = 1927,85 N + 4578,7 N

Fy = 6506,55 N

Plano Y - Z

FE D

C

0,65 0,65 0,40

Fy Ey Dy Cy

Nm

NmDy 85,1927

3,1

21,2506

ΣMF = 0 ↑ + Cx = 4143,52N

-4143,52N*(1,7m) - Dx*(1,3m) = 0 →

Dx = -5418,45 N Reemplazando Dy en (1)

-5418,45 N + Fx = - 4143,52 N → Fx = 5418,45 N - 4143,52 N

Fx = 1274,93 N

Plano X - Z

X

1,3

0,4

Fx

DX

Cx

Nm

NmDx 45,5418

3,1

98,7043

F

C

Diagramas de Cortantes y Momentos

Sección Crítica: se encuentra en el punto E

M = 4229,4 Nm

V = 6506,52 N

V =

127

5 N

M =

828

,66

Nm

MR

ME = 1176 Nm

X

Y

Análisis para:a) Momentos

My= 4229,4 Nm

M = 828,66 Nm

MR

X

Y

MR = 4309,81 Nm

22 )4,4229()66,828( NmNmM R

b) Cortantes

Vy= 6506,52 N

Vx = 1275 N

VR

X

Y

22 )52,6506()1275( NNVR

VR = 6630,27 N

Análisis para:a) Torsión

X

Y

ME = 1176 Nm

Calculemos el esfuerzo flector equivalente:

→

A

P

I

MrCE 0

A

P

334

42,5487

*

24,17239

4

*8,4309

rr

P

r

rNmE

3

42,5487

r

NmE

Calculemos el esfuerzo Torsor equivalente:

→

A

V

J

rTE 4

3*

2324

86,158266,748

*4

)27,6630(*3

2

*1176

r

N

r

Nm

r

N

r

rNmE

23

86,158266,748

r

N

r

NmE

Calculemos ahora el esfuerzo de Diseño:

Consideremos un acero Aisi 4140 con Sy =590 Mpa y un factor de diseño N= 2

Usando solver de Excel nos da un valor de r = 0,0267 m ≈ 27 mm

Así el diámetro del eje será:

N

SyD 22 3

2

/10*590)

86,158266,748(3)

42,5487(

262

232

3

mN

rrr

262

232

310*295)

86,158266,748(3)

42,5487(

m

N

rrr

Ф = 54 mm