Publicaciones AFAMaC

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OMPROlimpiadas de Matematicas

de Puerto Rico2006-2007

Luis F. CaceresJonathan Ho Fung

Arturo Portnoy

Departamento de Ciencias MatematicasUniversidad de Puerto Rico

Recinto Universitario de Mayaguez

Primera Edicion, 2007

Derechos c©AFAMaCDirector: Dr. Luis F. Caceres

Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni retransmitida por ningunmedio, electronico, mecanico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permisoprevio por escrito de AFAMaC.

Esta produccion ha sido subvencionada por el proyecto AFAMaC medianteproyectos del Departamento de Educacion Puerto Rico. Contrato #2007-AF-0205#O AF-081-07-0205

Realizado porLuis F. CaceresJonathan Ho FungArturo PortnoyDepartamento de Ciencias MatematicasUniversidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de MayaguezImpreso y hecho en Puerto Rico

ii

Prologo

Las Olimpiadas de matematicas OMPR es un proyecto realizado enel Departamento de Ciencias Matematicas de la Universidad de PuertoRico, Recinto Universitario de Mayaguez. En este ciclo de olimpiadasparticipan estudiantes de las escuelas publicas y privadas de la Isla desde4to a 12mo grado. Este ciclo consiste de varias competencias por las quepasan los estudiantes para finalmente seleccionar los equipos que repre-sentan a Puerto Rico en olimpiadas internacionales de matematicas.

En este folleto presentamos los examenes y soluciones de todas lasolimpiadas realizadas durante el ano academico 2006-2007. En estasolimpiadas participaron sobre 3,000 estudiantes de toda la Isla. Cadauna de estas olimpiadas se realiza en dos niveles: NIVEL I para es-tudiantes de 4to a 6to grado y NIVEL II para estudiantes de 7mo a12mo grado. Se seleccionan los estudiantes por grado con las mejorespuntuaciones. El examen de primera fase es contestado por cada estu-diante en su casa o escuela y es enviado por correo a la organizacion delas olimpiadas. Los estudiantes con las mayores puntuaciones de todoslos grados participan en la segunda fase de la olimpiada que consistede un examen controlado que se administra en el Recinto Universitariode Mayaguez de la Universidad de Puerto Rico. Los estudiantes conlas mayores puntuaciones en la segunda fase pasan a competir en laOlimpiada de Matematicas de Puerto Rico.

La mayorıa de los problemas que presentamos en este folleto sonejercicios de olimpiadas nacionales e internacionales de varios paıses, al-gunos de ellos adaptados para estudiantes de Puerto Rico. Esperamosque este trabajo sirva como material de apoyo a los maestros que en-trenan estudiantes para olimpiadas matematicas y que sirva tambien demotivacion y apoyo a los estudiantes que desean enfrentarse a proble-mas retadores e interesantes que son tıpicos de olimpiadas matematicas.

Agradecemos al Departamento de Educacion de Puerto Rico y alRecinto Universitario de Mayaguez quienes nos han apoyado intensa-mente en el desarrollo de proyectos educativos que benefician a maestrosy estudiantes talentosos de Puerto Rico.

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AFAMaCAlianza para el Fortalecimiento del Aprendizaje de las Ciencias y lasMatematicas.

Estos proyectos estan subvencionados por el Departamentode Educacion de Puerto Rico y son realizados en elDepartamento de Ciencias Matematicas del RecintoUniversitario de Mayaguez de la Universidad de Puerto Rico.

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TABLA DE CONTENIDO

COMPETENCIA PRE-OLIMPICA DE MATEMATICAS

2006-2007 PRIMERA FASE.................................................... 6EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO)............................ 6EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO).................................. 12


2006-2007 SEGUNDA FASE.................................................. 21EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 21EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO).................................. 26

OLIMPIADA MATEMATICA DE PUERTO RICO................ 30EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 30EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO)............................... 32EXAMEN DE SELECCION ..................................................... 34

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS.................................. 35COMPETENCIA PRE-OLIMPICA DE MATEMATICAS

2006-2007 PRIMERA FASE...................................................... 35

EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 35EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO)............................... 41


2006-2007 SEGUNDA FASE.................................................. 53EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 53EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO)............................... 56

OLIMPIADA MATEMATICA DE PUERTO RICO................ 61EXAMEN NIVEL I (4TO, 5TO Y 6TO GRADO) ......................... 61EXAMEN NIVEL II (7MO-12MO GRADO)............................... 64EXAMEN DE SELECCION ..................................................... 70

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COMPETENCIA PREOLIMPICA DEMATEMATICAS

Primera Fase 2006-2007EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. Marıa se come un dulce los lunes y cada dıa siguiente se comeel doble del dıa anterior. ¿Cuantos dulces se come Marıa en lasemana de lunes a domingo?

a. 63 d. 127

b. 64 e. 164

c. 120

2. ¿Cual es el maximo numero de triangulos que se puede identificaren la siguiente figura?

a. 8 d. 14

b. 10 e. 16

c. 12

3. ¿En la sucesion de figuras ⇑, ⇒, ⇓, ⇐, ⇑, ⇒, ⇓, ⇐, ⇑, ..., cualfigura debe ir en la posicion 2007?

a. ⇒ d. ⇓b. ⇑ e. ninguna de las anteriores

c. ⇐

6

4. En la siguiente multiplicacion AA es un numero de dos dıgitosiguales. ¿Que numero es?

a. 11 d. 77

b. 55 e. 88

c. 66

5. Juan llega a un restaurante y encuentra que para tomar puedeseleccionar entre jugo de parcha o china. Para comer puede selec-cionar una carne entre pollo, cerdo o pescado. Para postre tieneque seleccionar uno entre helado, flan de queso o calabaza. ¿SiJuan solo puede seleccionar un jugo, un tipo de carne y un postre,de cuantas formas diferentes puede seleccionar su almuerzo?

a. 8 d. 27

b. 12 e. 30

c. 18

6. La medida del angulo x es

a. 40◦ d. 100◦

b. 60◦ e. 120◦

c. 80◦

7

7. El diagrama representa un hexagono con un perımetro de 42 cmsy se ha dibujado una de sus diagonales. Encontrar la longitud deesta diagonal.

a. Mas de 14 cms d. 10 cms

b. 14 cms e. menos de 10 cms

c. 12 cms

8. La medida de los lados de un rectangulo son numeros enteros. ¿Siel area del rectangulo es 7, entonces el perımetro es?

a. 1 d. 16

b. 7 e. 49

c. 14

9. Las combinaciones para abrir una caja fuerte consisten de unnumero de tres dıgitos diferentes. ¿Cuantas combinaciones difer-entes se pueden hacer con los dıgitos 1,3,5 y 7?

a. 6 d. 36

b. 12 e. 48

c. 24

10. Juan tiene 33 anos y tiene dos hijos. Los hijos tienen 10 y 11 anoscada uno. ¿Dentro de cuantos anos sera la suma de las edades delos hijos igual a la edad de Juan?

a. 4 d. 10

b. 6 e. 12

c. 8

8

11. Una caja con 30 bolitas pesa 650 gramos. Con 10 bolitas adi-cionales la caja pesa 800 gramos. ¿Cuanto pesa la caja vacıa?

a. 50 d. 200

b. 100 e. 250

c. 150

12. Del conjunto {−5, 4, 3,−6, 2} seleccionamos tres numeros y losmultiplicamos. ¿Cual es el resultado mas pequeno que podemosobtener?

a. 72 d. -120

b. -72 e. -50

c. -60

13. Hay 20 lapices en la caja: azules, rojos y verdes. Hay 6 veces masazules que verdes. Hay menos lapices rojos que azules. ¿Cuantoslapices rojos hay en la caja?

a. 3 d. 7

b. 5 e. 8

c. 6

14. ¿Que porcion del cuadrado esta sombreada?

a. 14

d. 49

b. 29

e. 8

c. 13

9

15. ¿Cuantos numeros enteros de 3 dıgitos, cumplen que la suma desus dıgitos es igual a 4?

a. 11 d. 8

b. 10 e. 6

c. 9

16. En la clase de matematicas todos los ninos saludan dando la manoa toda las ninas. En total hubo 77 ocasiones en que se dieron lamano. ¿Cuantos estudiantes podrıa haber en la clase?

a. 14 d. 22

b. 18 e. 37

c. 21

17. ¿De cuantas maneras diferentes se puede llenar la cuadrıcula dela figura con numeros enteros del 1 al 4 (uno en cada cuadrito) detal forma que en cada fila, en cada columna y en cada uno de loscuatro cuadros 2x2 de las esquinas los numeros 1,2,3 y 4 aparezcansolamente una vez?

a. Ninguna d. 4

b. 1 e. 8

c. 2

10

18. Un numero se llama palındrome si cuando se lee de derecha aizquierda es lo mismo que cuando se lee de izquierda a derecha.Por ejemplo 181, 25752, 3333 son ejemplos de palındromes. ¿Cuantospalındromes hay entre 100 y 1000?

a. 75 d. 90

b. 80 e. 96

c. 86

19. En una isla remota los habitantes siempre dicen la verdad o siem-pre mienten. Juan, Luis y Manuel son habitantes de esa isla yun dıa se encontraron y justamente Juan y Luis dijeron la mismaoracion: “Hay por lo menos un mentiroso entre nosostros tres”.Entonces

a. Los tres son mentirosos

b. Los tres dicen la verdad

c. Juan y Manuel son mentirosos y Luis dice la verdad

d. Juan y Luis dicen la verdad y Manuel es mentiroso

e. Ninguna de las anteriores

20. Hay 3 bolitas rojas, 3 blancas y 3 azules dentro de una bolsa.¿Cual es el mınimo numero de bolitas que hay que sacar al azarpara estar completamente seguro que por lo menos tres de lasbolitas sacadas son de diferente color?

a. 3 d. 7

b. 4 e. 9

c. 6

11


Primera Fase 2006-2007EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. En la tabla inferior las celdas deben llenarse con los numeros 1, 2y 3. En cada columna y en cada renglon deben aparecer cada unode los numeros 1, 2 y 3. ¿De cuantas formas se puede completarla tarea?

12 1

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

2. Marıa recogio 17 flores de 3 o 4 petalos. ¿Si en total hay 57 petalos,cuantas flores de 4 petalos recogio Marıa?

a. 1 d. 11

b. 3 e. 14

c. 6

12

3. El area del paralelogramo ABCD es igual a 10. Los puntos M yN son los puntos medios de los lados AD y BC, respectivamente.Hallar el area del cuadrilatero MBND.

a. 2.5 d. 7.5

b. 4 e. 10

c. 5

4. Alejandro, Bernardo, Victor, Pedro y Miguel estan sentados enuna mesa circular. Alejandro y Bernardo no estan al lado unodel otro, lo mismo Bernardo y Victor. Ademas, Victor y Pedrotampoco estan uno al lado del otro. ¿Quienes estan al lado deMiguel?

a. Alejandro y Bernardo d. Victor y Pedro

b. Bernardo y Victor e. Alejandro y Pedro

c. Alejandro y Victor

5. En la siguiente figura, ¿x= ?

a. 20◦ d. 35◦

b. 25◦ e. 40◦

c. 30◦

13

6. ¿Al tirar un dado, ¿cual es la probabilidad de que el producto delas 5 caras visibles sea divisible por 6?

a. 13

d. 56

b. 12

e. 1

c. 23

7. Usando triangulos pequenos hacemos la siguiente sucesion de fi-guras. Las primeras tres figuras se muestran abajo. ¿Cuantostriangulos pequenos se necesitan para hacer la siguiente figura?

a. 28 d. 40

b. 32 e. 44

c. 36

8. Hallar el producto.

a. 1 d. 5.5

b. 2 e. 10

c. 4

14

9. ¿Si la operacion N significa xNy= xy-2x, cual es el valor de 2N(4N6)?

a. 4 d. 32

b. 16 e. 36

c. 28

10. ¿Cual es el ultimo dıgito de la siguiente suma 112007+142008+162009?

a. 1 d. 6

b. 3 e. 9

c. 4

11. Encontrar la medida del angulo a:

a. 60◦ d. 90◦

b. 70◦ e. 100◦

c. 80◦

12. El numero 2007(x−8)(x−16) es el menor posible para el entero

a. x = 6 d. x = 15

b. x = 9 e. x = 18

c. x = 12

15

13. Usando 5 cuadrados se forma un rectangulo, excepto por un agu-jero de 1 por 2. ¿Cual es la medida del lado del cuadrado masgrande de la figura?

a. 8 d. 11

b. 9 e. 12

c. 10

14. Una isla esta habitada por mentirosos y nobles (los mentirosossiempre mienten, mientras que los nobles siempre dicen la verdad).Un dıa, 12 islenos (mentirosos y nobles) se reunieron y emitieronvarios anuncios. Dos dijeron: “Solo dos de entre nosotros sonmentirosos”. Otros cuatro dijeron: “Solo cuatro de entre nosotrosson mentirosos”. Los ultimos seis dijeron: “Solo seis de entrenosotros son mentirosos”. ¿Cuantos mentirosos podrıa haber enla isla?

a. 2 d. 8

b. 4 e. 10

c. 6

15. Un rectangulo tiene dos lados de longitud 2x unidades y un perımetrode 20x unidades. ¿Cual es la longitud del lado del cuadrado queocupa la misma area que este rectangulo?

a. 4x d. 7x

b. 5x e. 8x

c. 6x

16

16. Al dividir 336 entre el numero natural n, el residuo es 2. Entoncesel numero 2007, cuando es dividido por n, da como residuo:

a. 0 d. 3

b. 1 e. 100

c. 2

17. ¿Incluyendo al 1 y a si mismo, cuantos factores distintos tiene 10n?

a. n2 + n d. n2 + 2n + 1

b. n2 + n + 1 e. n2 + 2n

c. n2 − 2n + 1

18. Si sumamos 36 al 37, obtenemos 73. ¿Cuantos numeros de dosdıgitos tienen la propiedad de que si le sumamos 36, el orden desus dıgitos se invierte?

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

19. Los angulos en las esquinas de la estrella estan marcados. ¿Cuales el valor de x?

a. 15◦ d. 35◦

b. 25◦ e. depende de la estrella

c. 30◦

17

20. ¿Cuantos triangulos con lados de longitud entera y perımetro 27se pueden construir?

a. 10 d. 18

b. 12 e. 19

c. 14

21. En el diagrama ABCD es un cuadrado y el triangulo CDF esequilatero. El valor del angulo ∠BAF es

a. 60◦ d. 105◦

b. 75◦ e. no se puede determinar

c. 85◦

22. En el triangulo ABC el angulo ∠B es 50% mayor que el angulo∠A y 25% menor que el angulo ∠C. El angulo ∠B es

a. 40◦ d. 90◦

b. 60◦ e. 100◦

c. 80◦

23. Dados 2n puntos {a1, a2, . . . , a2n} en un cırculo, trazamos todoslos segmentos que conectan puntos con ındices pares y todos lossegmentos que conectan puntos con ındices impares. ¿Cuantossegmentos trazamos?

a. n(n− 1) d. n(2n− 1)

b. n(2n− 3) e. 2n(n− 1)

c. n(n− 1)/2

18

24. Un numero entero positivo de 5 dıgitos se llama duro si no se puedeescribir como el producto de dos enteros de 3 dıgitos. ¿Cuantosnumeros duros hay?

a. 99 d. 102

b. 100 e. ninguna de las anteriores

c. 101

25. Si a + b = 24 y a2 + b2 = 204, entonces a3 + b3 es igual a

a. 372 d. 432

b. 2007 e. 13824

c. 408√

51

26. ¿Cuantos numeros N satisfacen simultaneamente las siguientes 5condiciones?

• N es par,

• N deja residuo 1 al ser dividido por 5,

• N es un multiplo de 7,

• N es menor que 1000,

• la suma de los dıgitos de N es 23.

a. 0 d. 3

b. 1 e. 4

c. 2

27. ST y PT son tangentes a un cırculo desde T. ¿Si PT tiene longitudde 1 cm y ∠STP = 60◦, cual es el radio del cırculo?

a. 1√2

cm d. 1√5

cm

b. 1√3

cm e. 13

cm

c. 12

cm

19

28. ¿Cuantos numeros primos p existen tales que p2 + 2 tambien esprimo?

a. 0 d. 5

b. 1 e. infinitos

c. 3

29. Cada nino en una clase hizo amistad con 4 ninas y cada nina hizoamistad con 5 ninos. ¿Cuantos alumnos hay en la clase, si hay 3ninas menos que ninos?

a. 21 d. 30

b. 23 e. 33

c. 27

30. ¿De cuantas formas se puede llenar la siguiente tabla 4x4 con losenteros del 1 al 4, de tal forma que cada fila, cada columna y cadasub-tabla 2x2 de las esquinas contengan al 1, al 2, al 3 y al 4exactamente una vez?

a. Menos de 96 d. 384

b. 296 e. Mas que 384

c. 288

20


Segunda Fase 2006-2007EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. Hoy es sabado y supongamos que hoy es el dıa 1. ¿Que dıa de lasemana sera el dıa 100?

a. lunes d. sabado

b. martes e. domingo

c. jueves

2. Se suponıa que Daniel multiplicara un numero por 5. Por error,el dividio el numero entre 5. La respuesta fue 5. La respuestacorrecta era:

a. 1 d. 75

b. 5 e. 125

c. 25

3. En Mayaguez un nino camina 4 kilometros al norte, 5 kilometrosal sur, 2 kilometros al norte y 3 kilometros al sur. ¿Que tan lejosesta el nino del punto de partida?

a. 14 kilometros al norte d. 2 kilometros al norte

b. 14 kilometros al sur e. en el mismo punto de partida

c. 2 kilometros al sur

4. Marıa gasta 13

de su dinero, pierde 12

de lo que le queda y asıtermina con $10. ¿Cuanto tenıa Marıa al comienzo?

a. $30 d. $55

b. $45 e. $60

c. $50

21

5. ¿Cual es el mınimo numero de flechas que se deben voltear decualquier manera de tal forma que todas las flechas queden apun-tando en la misma direccion?

a. 4 d. 7

b. 5 e. 8

c. 6

6. La suma de las medidas de los dos angulos internos mas pequenosen un triangulo rectangulo es:

a. 45◦ d. 180◦

b. 60◦ e. 360◦

c. 90◦

7. El promedio de 3 numeros es 20. Supongamos que el primeroaumenta 1, el segundo aumenta 2 y el tercero aumenta 3. Elpromedio de los tres numeros ha aumentado por:

a. 1 d. 4

b. 2 e. 6

c. 3

8. En un campeonato de baloncesto participan 6 equipos y cada unotiene su propia cancha. Cada uno debe enfrentar una vez a todoslos demas como local (es decir en su propia cancha). ¿Cuantospartidos se deben jugar en este torneo?

a. 6 d. 30

b. 12 e. 36

c. 25

22

9. Hallar la medida del angulo A.

a. 37◦ d. 53◦

b. 43◦ e. 87◦

c. 47◦

10. ¿Cual es el ultimo dıgito (el de las unidades) del numero 4100 =4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ . . . ∗ 4︸︷︷︸

100 veces

a. 2 d. 8

b. 4 e. 0

c. 6

11. Los numeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12 se colocan en 3columnas de 4 numeros cada una de tal manera que la suma de losnumeros en cada columna es la misma. La suma de los numerosde cada columna es:

a. 18 d. 32

b. 21 e. 36

c. 26

23

12. Tres tazas de agua llenan dos quintos de una jarra. ¿Cuantas tazasllenan la jarra?

a. 7 d. 8.5

b. 7.5 e. 9

c. 8

13. Se ha dibujado un rectangulo con centro O. Se sabe que el areadel triangulo rectangulo OPQ es 7 cms2. Calcular el area de lafigura rayada.

14. En el dibujo se muestran 5 ciudades y los caminos que las unen.¿De cuantas maneras se puede viajar de la ciudad A hasta laciudad B sin pasar dos veces por la misma ciudad?

24

15. Usando cifras elegidas entre el 1, el 2, el 3 y el 6, sin repetir,¿cuantos numeros pueden construirse que sean divisibles por 3?(los numeros pueden tener un dıgito, dos dıgitos, tres dıgitos ocuatro dıgitos)

25


Segunda Fase 2006-2007EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. Si multiplicas el numero formado con 2007 dıgitos “6” (es decir666 . . . 6︸︷︷︸

2007 veces

) por el numero 3, ¿cuanto vale la suma de los dıgitos

del resultado?

a. 18,036 d. 19,012

b. 18,063 e. ninguna de las anteriores

c. 18,126

2. Los puntos A, B y C estan sobre una lınea recta y A no esta entreB y C. La distancia de A hasta B es 15 cm. La distancia de C aA es 8 cm. La distancia de B a C es:

a. 23 d. 7


c. 10

3. ¿Cuantos resultados diferentes podemos obtener sumando dos numerosdiferentes del conjunto {1, 2, 3, . . . , 9, 10}?

a. 11 d. 18


c. 17

4. Juan ha decidido repartir 35 canicas entre sus primos. Si nadiepuede tener la misma cantidad de canicas, ¿cual es la maximacantidad de primos a los que se puede repartir canicas?

a. 6 d. 9


c. 8

26

5. En un triangulo rectangulo con hipotenusa de 8 cm y area de 9cm2, ¿cual es su perımetro?

a. 18 d. 12


c. 17

6. ¿Cual es la suma de los dıgitos del numero 5200722003?

a. 13 d. 2007


c. 15

7. El trapecio isosceles ABCD es tal que AB = BC = AD = 1 yDC = 2, donde AB es paralelo a DC. ¿Cuanto mide el anguloCAD?

a. 45◦ d. 120◦

b. 60◦ e. ninguna de las anteriores

c. 90◦

8. ¿Para cuantos enteros n con 1 ≤ n ≤ 2007, el dıgito de lasunidades de n20 es 1?

a. 805 d. 804


c. 800

27

9. Si x−3√

20073−y

√2007

, x, y son numeros racionales, ¿cuanto vale xy?

a. 4 d. 18


c. 9

10. ¿Cual es la suma de los cuatro divisores primos de 216 − 1?

a. 279 d. 282


c. 281

11. Escribir el numero 10 como una suma de numeros naturales, detal modo que el producto de estos sumandos sea lo mayor posible.

12. ¿Cual es el valor maximo que se puede obtener al dividir unnumero natural de 3 dıgitos por la suma de sus dıgitos?

13. En la figura siguiente ABC es un triangulo cualquiera, ACD yAEB son triangulos equilateros. Si F y G son los puntos mediosde EA y AC respectivamente, ¿cual es la razon BD

FG?

28

14. Pablo eligio 3 dıgitos diferentes y escribio todos los numeros de3 dıgitos que se pueden formar con ellos. En ningun numero delos que escribio Pablo se repiten dıgitos. Despues sumo todos losnumeros que obtuvo. Encuentra la suma de Pablo sabiendo quela suma de los dıgitos originales es 14.

15. ¿Cuantas veces, en 24 horas, ocurre que el angulo entre las mane-cillas del reloj es de 90◦?

29

OLIMPIADA DE MATEMATICAS DE PUERTORICO 2007

EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. ¿Cuantos numeros de 3 dıgitos se pueden formar usando solamentelos dıgitos 0 y 7?

2. Un numero positivo tiene residuo 1 cuando se divide entre 4 yresiduo 2 cuando se divide entre 5. ¿Cual es el numero maspequeno con estas propiedades?

3. P y Q representan numeros y P ⊗Q = P+Q2

. ¿Cual es el valor de3⊗ (6⊗ 8)?

4. La siguiente figura esta hecha con cuadritos pequenos. ¿Cuantoscuadrados de cualquier tamano puedes ver en el diagrama?

5. Un rectangulo tiene 48 cms de perımetro y se puede dividir en3 cuadrados iguales. ¿Cual es el area de cada uno de estos 3cuadrados?

6. Suponga que la suma de 5 enteros pares consecutivos es 320. ¿Cuales el mayor de ellos?

7. Hallar el angulo x en la siguiente figura.

30

8. Hay 2 bolas rojas, 2 azules y 2 blancas en una caja. ¿Cual es lamenor cantidad de bolas que uno debe sacar al azar para estarseguro que por lo menos dos de las bolas sacadas son de diferentecolor?

9. Todos los numeros enteros desde 0 hasta 3000 se representan en unesquema donde los numeros estan unidos por flechas como muestrala figura.

¿Podrıas representar la parte del esquema que corresponde a losnumeros desde 2000 hasta 2007?

10. En una competencia, Ariel, Beatriz y Carlos obtienen cada unocierto puntaje. Ariel tiene menos puntos que Beatriz y Beatriztiene menos puntos que Carlos. Si Ariel duplicara su puntajetendrıa mas puntos que Carlos. ¿Cuantos puntos puede tener cadauno si entre los tres tienen 20 puntos? Da todas las solucionesposibles.

31


EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. Al puerto de San Juan llegan barcos de bandera holandesa cada40 dıas, de bandera espanola cada 24 dıas y de bandera alemanacada 15 dıas. El 12 de abril de 2007 hubo un barco de cada unade estas banderas en el puerto. ¿Cuantos dıas tienen que pasarpara que vuelvan a coincidir tres barcos de estas tres banderas?

2. En un instituto de idiomas se ensena aleman, ingles y frances.El numero de alumnos de ingles es igual al de frances y cuatroveces mas que el de aleman. El numero de alumnos que estudianfrances e ingles a la vez es igual al de matriculados en aleman y estres veces mas al de los matriculados en aleman e ingles. De losmatriculados en aleman, 7 lo estan en frances, 8 en ingles y 5 enfrances e ingles. ¿Cuantos alumnos tiene el instituto?

3. Considera la sucesion de enteros 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, . . .Aquı se estan mostrando los primeros 15 terminos de la sucesionen donde el n-esimo entero aparece n veces. Encuentra el residuoal dividir el termino 2007 de la sucesion entre 5.

4. Los numeros 112345, 211189 son ejemplos de numeros que tienenpor lo menos dos dıgitos 1 seguidos. ¿Cuantos numeros menoresque 1,000,000 tienen como dıgitos por lo menos dos 1 seguidos?

5. Una caja esta llena de canicas de 10 colores diferentes. Al azarse van sacando canicas de la caja. ¿Cual es el mınimo numerode canicas que deben sacarse para garantizar que en la coleccionsacada habra al menos 50 canicas del mismo color?

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6. ¿Cuantos rectangulos tienen sus lados sobre una cuadrıcula detamano 6x6?

7. Considerar dos cuadrados de lado 1 con el mismo centro, en dondeuno de ellos se ha rotado con respecto al centro comun (ver dibujo).Demostrar que el area rayada es mayor que 3

4.

8. a. Considerar una cuerda AB en una circunferencia C. Demostrarque la perpendicular a AB que pasa por el punto medio del seg-mento tambien pasa por el centro de la circunferencia.

b. Considerar el triangulo ABC. Sean E y F los pies de las alturasdesde C y desde B respectivamente. Sea H el punto medio de EF .Demostrar que el segmento perpendicular a EF que pasa por Hdivide al segmento BC en dos partes iguales.

9. Si f es una funcion que satisface f(1) = 2 y f(n + 1) = 2f(n)+12

para todo numero natural n. Calcular f(2007).

10. Hallar todas las parejas de enteros (x, y) tales que 22x− 32y = 55.

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OLIMPIADAS DE MATEMATICASDE PUERTO RICO

EXAMEN DE SELECCION

1. Un terreno de forma rectangular de 120 metros por 192 metros sequiere dividir en parcelas cuadradas iguales sin que sobre terreno.La medida de los lados de estos cuadrados debe ser un numeroentero. Ademas se desea colocar un poste en cada esquina deparcela. Determinar el menor numero de parcelas en que se puededividir el terreno y el numero de postes que se necesitan.

2. Hallar las soluciones de enteros positivos para el sistemaxy + x + y = 71 y x2y + xy2 = 880.

3. Cinco personas de diferentes estaturas se paran una al lado de laotra sobre puestos numerados para tomarse una fotografıa. ¿Decuantas formas pueden arreglarse de tal modo que las personas enlos puestos 1 y 3 sean ambas mas altas que la persona en el puesto2?

4. Si ABCD es un cuadrilatero cıclico, es decir que esta inscritoen una circunferencia, y M es el punto de corte de AC y BD,demostrar que AM ∗MC = DM ∗MB.

5. Juan escribio un numero natural y Marıa le agrego un dıgito 1 a laizquierda y un dıgito 1 a la derecha. El numero de Marıa superaal numero de Juan en 14789. Hallar el numero de Juan.

6. La media geometrica de un conjunto de m numeros no negativoses la raız m-esima del producto de dichos numeros. ¿Para quevalores positivos n hay un conjunto finito Sn de n enteros positivosdistintos tal que la media geometrica de cualquier subconjunto deSn es un entero?

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SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS

COMPETENCIA PREOLIMPICA DE MATEMATICASPrimera Fase


1. Note que el numero de dulces que Marıa se come por dıa esta dadopor: lunes-1, martes-2, miercoles-4, jueves-8, viernes-16, sabado-32, domingo-64. Al realizar la suma tenemos que Marıa se come127 dulces en la semana.

2. Note que en la figura original se pueden identificar dos tipos detriangulos: los pequenos y los medianos.

El numero maximo de triangulos que se puede identificar es 10: 8pequenos y 2 medianos.

3. Note que la figura ⇐ se encuentra en la posicion 4, 8, 12, etc. Enotras palabras, en las posiciones que son multiplos de 4. Como2004 es multiplo de 4, ⇐ se encuentra en esta posicion, lo que sig-nifica que ⇑ estara en la posicion 2005, ⇒ en la 2006 y, finalmente,⇓ en la posicion 2007.

4. Segun la informacion que nos dan, el dıgito de las unidades delproducto de A y 7 debe ser 6. La unica posibilidad es que A sea8. Esto significa que AA = 88 y, efectivamente, 88x7= 616.

5. Juan tiene 2 opciones para su seleccion de jugo, 3 opciones parasu seleccion de carne y 3 opciones para postre. Esto significa queel numero total de formas en que puede seleccionar su almuerzoesta dado por 2x3x3 = 18.

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6. Note que el angulo ∠x es opuesto por el vertice a un angulo quellamaremos ∠y y obviamente sus medidas son las mismas.

Como ∠y es el tercer angulo de un triangulo, tenemos que:medida de ∠y+60◦+20◦=180◦. De esta ecuacion se obtiene quemedida ∠y=∠x=100◦.

7. Note que un hexagono regular puede ser dividido en 6 triangulosequilateros trazando 3 de sus diagonales de la siguiente forma:

La medida de cada lado de estos triangulos corresponde a su veza la medida del lado del hexagono regular, en nuestro caso, estamedida es 42/6 = 7 cm. Por ultimo, la medida de una diagonalcorresponde a dos veces la medida de uno de estos lados. Por lotanto, la medida de la diagonal es 14 cm.

8. El area A de un rectangulo esta dada por la formulaA=largo x ancho. En nuestro problema, area = largo x ancho =7. Como las medidas de los lados son numeros enteros, la unicaposibilidad es que largo = 7 y ancho = 1. Esto significa que elperımetro P esta dado por P = 7 + 7 + 1 + 1 = 16.

9. Como las combinaciones consisten de 3 numeros distintos que seescogen entre 4 dıgitos, tenemos que el numero de combinacionesdistintas esta dado por: 4x3x2= 24.

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10. Sea x el numero de anos transcurridos desde este ano. Tenemosque en x anos, la edad de Juan sera (33+x), mientras que lasde sus hijos seran (10+x) y (11+x), respectivamente. Para con-testar la pregunta, tenemos que resolver la ecuacion (33+x) =(10+x)+(11+x). Tenemos que (33+x) = (21+2x) y que x = 12.

11. Tenemos que averiguar cuanto pesa cada una de las bolitas. Elproblema nos dice que la caja pesaba 650 gramos con 30 bolitasy que con 10 bolitas adicionales, la caja pesaba 800 gramos. Sirestamos estas dos masas, obtendremos el peso de 10 bolitas: 800-650 = 150 gramos. Esto significa que cada bolita pesa 150/10 =15 gramos. Ahora, 30 bolitas pesan 15x30 = 450 gramos y; sirestamos esta cantidad a los 650 gramos que pesaba la caja con30 bolitas obtenemos que esta pesa 200 gramos vacıa.

12. Note que el numero mas pequeno que se puede obtener sera elproducto del numero negativo con mayor valor absoluto (-6) ylos dos numeros positivos mas grandes (3 y 4). Ası, tenemos que-6x3x4=-72.

13. Sea x el numero de lapices verdes. Tenemos que el numero delapices azules esta dado por 6x y note que si x = 3, tendrıamos 18lapices azules y 3 verdes, lo cual no puede suceder ya que el total delapices es 20 (si x es mayor que 3, tambien nos pasarıamos del totalde lapices). Esto significa que x = 1 o x = 2. Si x = 1, tendrıamos1 lapiz verde, 6 azules y, por lo tanto; 13 rojos. Esto no cumplecon las condiciones del problema, ya que habrıa mas lapices rojosque azules. Si x = 2, tendrıamos 2 lapices verdes, 12 azules y 6rojos. Esta posibilidad cumple con todas las condiciones.

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14. Note que la region sombreada consiste de dos rectangulos de di-mension 2x1.

La porcion sombreada del cuadrado se obtiene al dividir la sumade las areas de los rectangulos (2+2) entre el area del cuadrado(3x3): 4/9.

15. Tenemos que averiguar todas las formas en que al sumar tres en-teros no negativos, el resultado sea 4: 4+0+0, 3+1+0, 2+2+0y 2 + 1 + 1. Con esta informacion, obtenemos la siguiente listade numeros que satisfacen la condicion dada: 400, 310, 301, 130,103, 220, 202, 211, 121 y 112. En total, son 10 numeros.

16. Sea x el numero de ninos en el salon y sea y el numero de ninas.Sabemos que (x + y) representa el numero total de estudiantes,ademas, como cada nino saluda a y ninas; el numero total desaludos esta dado por xy. Hubo 77 saludos, ası que xy = 77.Como x y y tienen que ser numeros enteros positivos, tenemosque las unicas posibilidades son que (x = 77 y y = 1), (x = 1 yy = 77), (x = 11 y y = 7) o (x = 7 y y = 11). Los primerosdos casos se descartan ya que x + y = 78 y esta no se encuentraentre las alternativas, mientras que para los ultimos dos casos,x + y = 18 y este es el numero total de estudiantes.

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17. Como en cada fila debe aparecer el 1, 2, 3 y 4 una sola vez, estosignifica que en la segunda deben acomodarse el 3 y el 4 en los dosespacios restantes. Hay dos formas de hacerlo:

Sin embargo, en ambas formas se tendrıa que repetir un numero enla tercera columna y no se cumplirıan las condiciones del problema.Por lo tanto, no se puede completar la cuadrıcula.

18. Como el 1000 no es palındrome, tenemos que hallar todos losnumeros palındromes de 3 dıgitos. Estos tienen la propiedad deque son de la forma xzx, en donde z pertenece a {0, 1, 2, . . . , 8, 9}y x pertenece a {1, 2, . . . , 8, 9} (x no puede ser 0, ya que notendrıamos un numero de 3 dıgitos). Como tenemos 10 opcionespara escoger a z y 9 para escoger a x, el numero total de palındromesde tres dıgitos esta dado por 10x9= 90.

19. Juan y Luis dijeron “Hay por lo menos un mentiroso entre nosotrostres”. Analizamos cada una de las posibles respuestas:a) Los tres son mentirosos- si esta fuera la respuesta correcta, sig-nificarıa que Juan y Luis siempre mienten, pero al decir “Hay porlo menos un mentiroso entre nosotros tres” estarıan enunciandouna verdad; lo cual no es posible.b) Los tres dicen la verdad- si los tres siempre dicen la verdad, en-tonces Juan y Luis estarıan mintiendo al decir “Hay por lo menosun mentiroso entre nosotros tres”; ası que descartamos esta posi-bilidad.c) Juan y Manuel son mentirosos y Luis dice la verdad- si estofuese correcto, significarıa que hay 2 mentirosos y uno que siem-pre dice la verdad. Juan es uno de los mentirosos, pero al enunciar“Hay por lo menos un mentiroso entre nosotros tres”, en realidadesta diciendo una verdad. Descartamos esta posibilidad.

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d) Juan y Luis dicen la verdad y Manuel es mentiroso- si esto fuesecorrecto, hay 1 mentiroso y 2 que siempre dicen la verdad. Manueles el mentiroso y cuando Juan y Luis enuncian “Hay por lo menosun mentiroso entre nosotros tres”, estan diciendo la verdad. Porlo tanto, no ocurre una contradiccion como en los casos anterioresy esta es la alternativa correcta.

20. Note que el numero mınimo de bolitas que hay que sacar es igualo mayor a 3. Ahora, veamos cada uno de los casos:Si solo se sacan 3 bolitas, se podrıa dar el caso de que todas sondel mismo color.Si sacamos 4, 3 podrıan ser del mismo color y la cuarta de otro.Si sacamos 5, 3 podrıan ser del mismo color y las restantes de otro(por ejemplo 3 blancas y 2 azules).Si sacamos 6, 3 podrıan ser del mismo color y las otras 3 de otro.Al sacar 7 bolitas, garantizamos que por lo menos 3 sean de dis-tintos colores ya que en el peor de los casos 3 bolitas serıan de uncolor, 3 bolitas de otro color y la ultima tendrıa que ser del colorrestante.

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COMPETENCIA PREOLIMPICA DE MATEMATICASPrimera Fase


1. El numero 3 debe aparecer en la primera columna y en la segundafila:

12 1 33

Ademas, tenemos que colocar los numeros 1 y 2 en la tercera fila,pero como el 1 solo puede aparecer una vez en la segunda columna,la unica forma es:

12 1 33 2 1

Finalmente, la unica forma de llenar las celdas restantes siguiendolas instrucciones es:

1 3 22 1 33 2 1

Por lo tanto, solo hay una forma.

2. Sea x el numero de flores de 3 petalos y sea y el numero de flores de4 petalos que Marıa recogio. Tenemos que x+ y = 17 y 3x+4y =57. Despejando para x en la primera ecuacion y sustituyendo enla segunda, tenemos que 3(17 − y) + 4y = 57. Resolviendo paray, tenemos que el numero de flores de 4 petalos es 6.

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3. Si trazamos el segmento MN , el paralelogramo queda dividido en4 triangulos congruentes:

El area de cada uno de estos es 10/4 = 2.5 y como el cuadrilateroMBND consiste de dos de los triangulos, su area es 5.

4. Alejandro y Bernardo no estan uno al lado del otro, esto significaque Pedro, Victor y Miguel estan sentados entre ellos. Como Vic-tor y Pedro tampoco estan uno al lado del otro y lo mismo sucedecon Bernardo y Victor, tenemos dos posibles formas en que secumplan todas las condiciones:

En ambos casos, Victor y Bernardo estan sentados al lado deMiguel.

5. Podemos hallar las medidas de dos angulos de la figura:

Como la suma de los angulos internos de un cuadrilatero es 360◦,entonces 150◦ + 50◦ + 140◦ + x = 360◦ y resolviendo para x, con-cluimos que x = 20◦.

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6. Note que si el 6 es una de las caras visibles, obviamente el productode los numeros de las 5 caras visibles sera divisible por 6. Ahora,si el 6 es la cara que no se ve, el 2 y el 3 estan entre las caras quesi. Al realizar el producto, uno de los factores serıa 2x3= 6 y, porlo tanto, tenemos que en todos los casos, el producto de las 5 carasvisibles es divisible por 6. En otras palabras, la probabilidad es 1.

7. Para la primera figura se necesitan 8 triangulos, para la segunda16 y para la tercera 24. Por lo tanto, para la siguiente figura serequieren 32 triangulos. De hecho, el numero de triangulos que senecesitan para formar la n-esima figura es 8n.

8. Realizando las sumas y las restas, tenemos:(3

2)(2

3)(5

4)(4

5)(7

6)(6

7)(9

8)(8

9)(11

10)(10

11) = 1.

9. Segun la definicion de la operacion, tenemos que2N(4N6)= 2N(4 ∗ 6− 2 ∗ 4)=2N16=(2 ∗ 16− 2 ∗ 2)=28.

10. Note que el ultimo dıgito de 11n (n cualquier entero no negativo)es 1. Ademas, el ultimo dıgito de cualquier potencia positiva deun numero que termina en 6, es precisamente 6. Ahora, 142008 =(142)1004 = 1961004 y usando el hecho que acabamos de mencionar,el ultimo dıgito de este numero es 6. Tenemos entonces, que elultimo dıgito de 112007 +142008 +162009 corresponde al dıgito de launidad de la suma 1 + 6 + 6 = 13. Por lo tanto, la respuesta es 3.

11. Del diagrama tenemos que 120◦ + 140◦ − a = 180◦. Resolviendo,tenemos que a = 80◦.

12. Analizando las alternativas, nos damos cuenta que hay valores dex que al evaluarlos en (x − 8)(x − 16) dan como resultado unnumero negativo. La contestacion correcta corresponde al valorde x que al evaluar en la expresion mencionada, produce el numeronegativo con el valor absoluto mayor. La respuesta es x = 12, yaque el numero 2007−16 es el mas pequeno.

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13. Sean x, y, z y w las medidas de los cuadrados que forman elrectangulo:

Con estas variables, las dimensiones del rectangulo son (x + z)y (2z + w) y el area A de este esta dada por la expresion A =(x + z)(2z + w). Por otro lado, el area del rectangulo grande esigual a la suma de los 5 cuadrados y el rectangulo 1x2, esto es A =x2+z2+z2+w2+y2+(2∗1). Igualando las expresiones, utilizandoel hecho de que x + 1 = 2z, z + 2 = w y y = x− 2 (ver diagrama)y resolviendo para x, llegamos a que x2 − 13x + 22 = 0. De aquiobtenemos dos soluciones: x = 11 o x = 2, pero descartamos estaultima ya que el valor de la variable y serıa y = 2 − 2, lo cual esuna contradiccion. Por lo tanto, la medida del lado del cuadradomas grande es 11.

14. Consideramos la primera alternativa: 2 mentirosos. Si solo hu-biesen dos mentirosos en la isla, los dos que dijeron “Solo dos deentre nosotros son mentirosos” estarıan diciendo la verdad, mien-tras que los cuatro que dijeron “Solo cuatro de entre nosotros sonmentirosos” y los seis que dijeron “Solo seis de entre nosotros sonmentirosos” estarıan mintiendo; ası que tendrıamos 4 + 6 = 10mentirosos, lo cual no concuerda.Realizando un analisis similar para las demas alternativas, nosdamos cuenta que la unica alternativa para la cual no se produceuna contradiccion es que haya 6 mentirosos en la isla. Esto ya quelos dos que dicen “Solo dos de entre nosotros son mentirosos” y loscuatro que dicen “Solo cuatro de entre nosotros son mentirosos”estarıan mintiendo (2+4 = 6 mentirosos), mientras los seis que di-cen “Solo seis de entre nosotros son mentirosos” estarıan diciendola verdad.

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15. Como el rectangulo tiene dos lados de 2x unidades, significa que lamedida de los dos lados restantes es (20x− 4x)/2 = 8x unidades.Entonces el area del rectangulo serıa (2x)(8x) = 16x2 unidadescuadradas y la longitud del cuadrado que ocupa este mismo areaserıa la raız cuadrada de 16x2, en otras palabras, 4x unidades.

16. Si al dividir 336 entre n el residuo es 2, significa que n divide a334. Ahora, la factorizacion prima de 334 es 334 = 2 ∗ 167, perocomo n no puede ser 2 (al dividir 336, el residuo serıa 0), n = 167.Al dividir 2007 entre 167, el residuo es 3. Note que 334 tambienpuede ser expresado como 334 = 1 ∗ 334, pero n 6= 1 porque aldividir 336 el residuo serıa 0. En el caso en que n = 334, al dividir2007, el residuo tambien es 3, por lo tanto; esta es la alternativacorrecta.

17. 10n puede ser escrito como 2n ∗ 5n. Cualquier entero de la forma2x ∗ 5y, en donde 0 ≤ x ≤ n y 0 ≤ y ≤ n, es un factor de 10n.Ahora, existen (n + 1) posibles valores para x y (n + 1) posiblesvalores para y, lo que significa que se pueden formar (n + 1)2 =n2 + 2n + 1 factores de la forma 2x ∗ 5y.

18. Sea ab un numero de dos cifras (a y b son numeros de un dıgito,ademas, a 6= 0). Queremos hallar todos los numeros ab tal queab + 36 = ba. Reescribiendo la ecuacion: 10a + b + 36 = 10b + a yllegamos a que (b− a) = 4. Recordando que a y b son numeros deun dıgito y que a 6= 0, existen 5 parejas de numeros que satisfacen(b− a) = 4. Estas 5 parejas producen los siguientes numeros quesatisfacen las condiciones del problema: 15, 26, 37, 48 y 59.

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19. La medida del angulo ∠ABC es 75◦ ya que la suma de los angulosinternos del triangulo ABC es 180◦:

Entonces,

Luego:

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Finalmente:

De aqui, tenemos que x + 60◦ + 85◦ = 180◦ y x = 35◦.

20. Recordando la desigualdad triangular, sabemos que la suma delas medidas de cualquiera dos lados de un triangulo tiene que sermayor que la medida del tercero. Por ejemplo, no puede existirun triangulo cuyo perımetro sea 27 y las medidas de sus ladossean (14, 9, 4) ya que (9 + 4) < 14. Teniendo esto en cuenta,concluımos que existen 19 triangulos cuyo perımetro es 27 y lasmedidas de sus lados son numeros enteros. Las medidas de estosson: (9, 9, 9), (10, 9, 8), (10, 10, 7), (11, 8, 8), (11, 9, 7), (11, 10, 6),(11, 11, 5), (12, 8, 7), (12, 9, 6), (12, 10, 5), (12, 11, 4), (12, 12, 3),(13, 7, 7), (13, 8, 6), (13, 9, 5), (13, 10, 4), (13, 11, 3), (13, 12, 2) y(13, 13, 1).

21. Como el triangulo CDF es equilatero, tenemos que el segmentoAD y DF tienen la misma medida, la cual sera denotada porx. Ahora, si consideramos el triangulo ADF , observamos que∠FAD = ∠AFD:

Sea y = ∠FAD. Note que ∠ADF = 90◦ + 60◦ = 150◦, entonces

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y+y+150◦ = 180◦ y y = 15◦. Finalmente, ∠BAF = 90◦−∠FAD,ası que ∠BAF = 90◦ − 15◦ = 75◦.

22. Sea x la medida del angulo ∠A y sea y la medida del angulo ∠B.Tenemos que la medida del angulo ∠B = 1.5x = .75y. De aquisale que 2x = y y como medida del angulo ∠B + x + y = 180,tenemos que 1.5x + x + 2x = 180. Resolviendo, x = 40◦ y lamedida de ∠B es 60◦.

23. Note que dados 2n puntos, tenemos n puntos con ındices pares y npuntos con ındices impares. Considerando solamente los segmen-tos que unen los puntos con ındices impares, nos damos cuenta queel numero de estos que se necesitan trazar coincide con el numerode formas distintas en que se pueden seleccionar dos elementosde un conjunto que contiene n en total (sin importar orden, porejemplo, escoger los elementos a y b es lo mismo que escoger loselementos b y a). En otras palabras, el numero de segmentos que

unen puntos con ındices impares =(

n2

)= n!

2!(n−2)!= n(n−1)

2. Ahora,

el numero de segmentos que unen puntos con ındices pares tambienesta dado por esta expresion, ası que se trazan n(n−1)

2+ n(n−1)

2=

n(n− 1) segmentos en total.

24. 997 es primo. Observe que 997 ∗ 11 = 10, 967 y 997 ∗ 99 = 98703,hemos encontrado 2 numeros duros, ademas, cualquier numero quese pueda escribir como 997 ∗ x, en donde 11 ≤ x ≤ 99, tambienes duro. Tenemos 89 numeros duros. similarmente, 991 es primoy si consideramos numeros de la forma 991 ∗ x en donde 11 ≤x ≤ 99, obtenemos 89 duros adicionales. Por lo tanto, hay masde 102 numeros duros y la respuesta correcta es “ninguno de losanteriores”.

25. Sabemos que a3 +b3 = (a+b)(a2−ab+b2) = (a+b)((a2 +b2)−ab)y solo necesitamos averiguar el valor de ab. Como (a + b)2 =

(a2 + 2ab + b2), despejando tenemos que ab = (a+b)2−(a2+b2)2

=242−204

2= 186. Sustituyendo en la primera ecuacion, a3 + b3 =

(24)(204− 186) = 432.

26. Como N es par y multiplo de 7, N = 14x en donde 0 ≤ x ≤ 71(14 ∗ 72 = 1008 > 1000). Tenemos que considerar aquellos valores

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de x para los cuales 14x deje residuo 1 al ser dividido por 5. Es-tos resultan ser x = 4, 9, 14, 19, 24, 29, . . . , 59, 64, 69. Por ultimo,tenemos que escoger aquellos valors de x que al multiplicarlos por14, la suma de sus dıgitos sea 23. Se concluye que el unico valorde x que satisface esta condicion es x = 64, ası N = 14∗64 = 896.

27. Note que el segmento que une al origen O con el punto T bisecaal angulo ∠STP y que el segmento (radio del cırculo) que une alorigen con el punto S es perpendicular al segmento ST :

Ademas, el angulo ∠SOT mide 60◦ y por trigonometrıa tenemosque tan(60◦)=1/r. Despejando para r, r = 1/tan(60◦) = 1/

√3.

28. Evaluando varios enteros en la expresion x2+2, sospechamos que elresultado sera un multiplo de 3, siempre que x no sea divisible por3. Para demostrar este hecho, considere x1 = 3k +1 y x2 = 3k +2en donde k es cualquier entero. Evaluando x1 en la expresion,tenemos que x2

1 + 2 = (3k + 1)2 + 2 = 9k2 + 6k + 1 + 2 = 3(3k2 +2k + 1). Similarmente, al evaluar x2 en la expresion tenemos quex2

2 +2 = 3(3k2 +4k+2) y en ambos casos; el resultado es multiplode 3. En particular, ningun primo p mayor que 3 cumple que p2+2es primo, ya que el resultado serıa divisible por 3. Por ultimo, alconsiderar p = 2 y p = 3, nos damos cuenta que 32 + 2 = 11es primo, ası que solo hay un numero primo que cumple con lacondicion del problema.

29. Sea x el numero de ninos y sea y el numero de ninas, sabemos quey = x − 3. Note que como cada nino hizo amistad con 4 ninas ycada nina con 5 ninos, el numero de amistades que se formaron estadado por 4x, como tambien por 5y. En otras palabras, 4x = 5yy despejando para y: 4x = 5(x − 3). Resolviendo, tenemos que

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x = 15, lo que significa que y = 12 y el numero total de alumnoses 15 + 12 = 27.

30. Considere la siguiente tabla:

a1 a2 a3 a4

a5 a6 a7 a8

a9 a10 a11 a12

a13 a14 a15 a16

Analizaremos las distintas formas en que se pueden llenar los es-pacios que contienen a a1, a2, a3, a4, a5 y a6 (en este orden). Siempezamos por a1, tenemos 4 posibles valores que podemos es-coger. Como en la primera fila deben aparecer los numeros del1 al 4 una sola vez, al considerar a2 tendrıamos 3 posibles valo-res de donde escoger. Por el mismo razonamiento, tendrıamos 2posibles valores para a3 y 1 para a4. Ahora, como en cada sub-tabla 2x2 aparecen los numeros del 1 al 4 una sola vez, existen 2posibilidades para a5 y 1 para a6 (ver diagrama):

a1: 4 pos. a2: 3 pos. a3: 2 pos. a4: 1 pos.a5: 2 pos. a6: 1 pos.

Esto significa que existen 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 ∗ 2 ∗ 1 = 48 formas de llenarestos 6 espacios. Sin perdida de generalidad, considere:

4 3 2 12 1 a7 a8

a9 a10 a11 a12

a13 a14 a15 a16

Esta es una de las 48 formas, veamos de cuantas maneras podemoscompletar este tablero.

50

Note que existen dos posibilidades para a9 y a13: (a9 = 3 y a13 = 1)o (a9 = 1 y a13 = 3):

El siguiente diagrama ilustra las formas en que se puede completarel tablero para el caso 1:

Para el tablero de la izquierda existe una forma en que se cumplentodas las condiciones del problema, mientras que para el de laderecha existen dos:

51

Por lo tanto, hemos encontrado que para el caso 1 existen 3 formasdistintas de completar el tablero. Consideremos el caso 2:

Para el tablero de la izquierda existen dos formas en que se cumplenlas condiciones del problema, mientras que para el de la derechaexiste una:

Para el caso 2 tambien hemos encontrado 3 formas distintas decompletar el tablero. Esto significa que para el tablero que con-sideramos (1 de las 48 formas en que se podıan llenar los primeros6 espacios) existen 6 formas distintas en que se puede comple-tar. Un analisis similar se puede realizar para las 47 posibilidadesrestantes y en cada una de estas el numero total de formas en quese puede completar el tablero es 6. Por lo tanto, el tablero 4x4puede llenarse de 48 ∗ 6 = 288 formas distintas.

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Segunda Fase 2006-2007EXAMEN NIVEL I(4to, 5to y 6to grado)

1. Si hoy es sabado y es el dıa 1, los dıas 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57,64, 71, 78, 85, 92 y 99 tambien lo seran. Por lo tanto, el dıa 100sera domingo.

2. Daniel dividio, por error, entre 5 y la respuesta fue 5; lo quesignifica que el numero original era 25. Al multiplicar este por 5,obtenemos que la respuesta correcta es 125.

3. El nino camino 4 kilometros al norte y luego 5 kilometros al sur,por lo que se encontraba a un kilometro al sur del punto de partida.Entonces camino 2 kilometros al norte y en ese momento estaba aun kilomero al norte del punto de partida. Finalmente, camino 3kilometros al sur, lo que significa que se encontraba a 2 kilometrosal sur del punto de partida.

4. Sea x la cantidad de dinero que Marıa tenıa al comienzo. Gasto 13

de su dinero, ası que en este momento le quedaban 23∗ x dolares.

Perdio 12

de 23∗x y termina con $10. Esto significa que 1

2∗ 2

3∗x = 10.

Resolviendo para x concluımos que Marıa tenıa $30 al comienzo.

5. Si queremos que todas las flechas apunten hacia abajo, tendrıamosque voltear 6 flechas. Para que todas apunten hacia la derechao hacia la izquierda tendrıamos que voltear 7 en ambos casos;mientras que para que todas apunten hacia arriba tendrıamos quevoltear 10 flechas. Ası, el numero mınimo de flechas que hay quevoltear para que todas apunten en la misma direccion es 6.

6. La suma de los angulos internos de cualquier triangulo es 180◦.Esto significa que la suma de los angulos mas pequenos en untriangulo rectangulo es 180◦ − 90◦ = 90◦.

7. Si el promedio de tres numeros es 20, la suma total de estos es3∗ 20 = 60. Como el primero aumenta 1, el segundo 2 y el tercero3; la nueva suma total es 60 + 1 + 2 + 3 = 66. Ası, el nuevo

53

promedio de los tres numeros es 663

= 22, lo que representa unaumento de 2 en el promedio de los tres numeros.

8. Note que para un partido en particular, existen 6 posibilidadespara el equipo local. Para cada una de estas posibilidades, existen5 posibles equipos contrarios; por lo que el numero total de juegosque se deben jugar esta dado por 6 ∗ 5 = 30.

9. Como la medida de un angulo llano es de 180◦, el diagrama delproblema puede ser completado de la siguiente forma:

La suma de los angulos internos de un cuadrilatero es 360◦, asıque la medida del angulo A es 360◦ − 140◦ − 127◦ − 50◦ = 43◦.

10. Note que 41 = 4, 42 = 16, 43 = 64, 44 = 256, etc. Podemosobservar, que toda potencia impar de 4 tiene como dıgito de launidad a 4, mientras que toda potencia par de 4 tiene como dıgitode la unidad a 6. Por lo tanto, 4100 tiene como dıgito de la unidadal 6.

11. La suma de los primeros n enteros positivos esta dada por n(n+1)2

.

Por lo tanto, la suma de los numeros de la lista es 12(12+1)2

= 78y si dividimos entre 3 obtenemos como resultado 26. Esta es,precisamente, la suma de los numeros de cada columna.

12. Si tres tazas de agua llenan dos quintos de una jarra, 1.5 tazasllenan un quinto de esta. Ası, que para llenar la jarra se necesitan1.5 ∗ 5 = 7.5 tazas de agua.

54

13. Considere el siguiente diagrama:

Como O es el centro del rectangulo, sabemos que la medida delsegmento AQ es el doble de la medida del segmento PQ y que lamedida del segmento AB es el doble de la medida del segmentoOP . Note que el area de la region rayada es igual al area deltriangulo ABQ menos el area del triangulo OPQ. De las condi-ciones del problema, sabemos que el area del triangulo OPQ es(1

2) ∗

∣∣PQ∣∣ ∗ ∣∣OP

∣∣ = 7 cm2 y que el area del triangulo ABQ es

(12) ∗

∣∣AQ∣∣ ∗ ∣∣AB

∣∣ = (12) ∗ (2 ∗

∣∣PQ∣∣) ∗ (2 ∗

∣∣OP∣∣) = 2 ∗ 2 ∗ 7 = 28

cm2. Por lo tanto, el area de la region rayada es 28− 7 = 21 cm2.

14. Denotemos por ACB la trayectoria que consiste en ir de la ciudadA a la ciudad C y finalmente a la B. Las maneras posibles deviajar de la ciudad A hasta la B respetando las condiciones delproblema son: ACB, AEB, ADB, ACEB, ADEB, ACEDB,ADECB, AEDB y AECB; o sea, 9 maneras distintas.

15. Para que un numero sea divisible por 3, la suma de sus dıgitostiene que ser divisible por 3. Si el numero es de un dıgito existendos numeros: 3 y 6. Si es de dos dıgitos, existen 4 adicionales:36, 63, 12 y 21. Si es de tres dıgitos, tenemos al 123 y sus cincopermutaciones y al 126 y sus 5 permutaciones; o sea, tenemos12 numeros adicionales. Por ultimo, si el numero es de cuatrodıgitos tenemos que usar las cuatro cifras, por lo que se obtienen4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 24 numeros adicionales. Esto significa que usandolas cifras dadas, se pueden formar 2 + 4 + 12 + 24 = 42 numerosdivisibles por 3.

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Segunda Fase 2006-2007EXAMEN NIVEL II(7mo al 12mo grado)

1. Note que 66∗3 = 198, 666∗3 = 1998, 6666∗3 = 19998, etc. Pode-mos ver que si un numero formado por n dıgitos 6 es multiplicadopor 3, el resultado contiene un 1, un 8 y n− 1 dıgitos 9. Ası quesi el numero formado por 2007 dıgitos 6 es multiplicado por 3, elresultado tendra un dıgito 1, un dıgito 8 y 2006 dıgitos 9. Por lotanto, la suma de los dıgitos es 1 + 8 + 2006 ∗ 9 = 18063.

2. Como la distancia de C a A es mas corta que la de A a B existendos posibilidades para el orden de los tres puntos en la lınea recta:ACB o BCA. En ambos casos obtenemos que la distancia de Ba C es 15− 8 = 7 cm.

3. Note que la suma mas pequena que se puede obtener escogiendodos numeros distintos del conjunto es 1+2 = 3 mientras que la masgrande es 9+10 = 19. Cada entero entre estos dos tambien puedeser obtenido, ası que el numero total de resultados diferentes quese pueden obtener es 17.

4. Observe que para maximizar el numero de primos, Juan debetratar de dar el menor numero posible de canicas a cada primo.Teniendo esta estrategia en mente, Juan podrıa darle al primerprimo 1 canica, al segundo 2, al tercero 3, etc. Continuando coneste patron, nos damos cuenta que al llegar al septimo primo lequedarıan 35− 1− 2− 3− 4− 5− 6− 7 = 7 canicas y no podrıarepartir mas canicas. Es por esto que Juan debe darle 2 canicas alprimer primo, 3 al segundo, 4 al tercero, 5 al cuarto, 6 al quinto,7 al sexto y 8 al septimo; ya que 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35.Por lo tanto, el numero maximo de primos al que les puede repatircanicas es 7.

56


Del problema, sabemos que el area A del triangulo esta dado porA = 1

2bh = 9 y por el Teorema de Pitagoras sabemos que h2+b2 =

64. Sumando 2bh a ambos lados de la ecuacion, obtenemos queh2 + 2bh + b2 = 64 + 2bh y de la expresion para A tenemos que2bh = 36. Sustituyendo, h2 +2bh+ b2 = (h+ b)2 = 64+36 = 100,ası que h + b = 10. Finalmente, el perımetro del triangulo es8 + h + b = 8 + 10 = 18 cm.

6. 5200722003 = (5 ∗ 2)2003(54) = (102003)(625). Este numero tiene undıgito 6, un dıgito 2, un dıgito 5 y 2003 dıgitos 0; ası que la sumade los dıgitos es 6 + 2 + 5 = 13.

7. Sean E y F los pies de las perpendiculares a CD desde B y Arespectivamente y sea G el punto medio de EF :

Observe que∣∣EF

∣∣ =∣∣BA

∣∣ = 1 y como ABCD es un trapecio

isosceles,∣∣CE

∣∣ =∣∣FD

∣∣. Estos dos datos implican que∣∣CE

∣∣ = .5,

pues∣∣CD

∣∣ = 2. Como G es el punto medio de EF , tenemos

57

que∣∣CG

∣∣ = 1 y ademas como BE es mediatriz de CG,∣∣BC

∣∣ =∣∣BG∣∣ = 1. Esto implica que 4BCG es equilatero y, por lo tanto,

∠BCG = 60◦. Un argumento similar nos demuestra que ∠ADG =60◦ y como ABCD es un trapecio isosceles, tenemos que ∠CBA =∠DAB = 120◦. Ahora observe que 4CBA es isosceles, lo quesignifica que ∠BCA = ∠BAC = 30◦. Como ∠BCG = 60◦ y∠BCA = 30◦, tenemos que ∠ACD = 30◦. Tambien, tenıamosque ∠ADC = ∠ADG = 60◦ y, por lo tanto; ∠CAD = 180◦ −∠ADC − ∠ACD = 180◦ − 60◦ − 30◦ = 90◦.

8. Todo entero n cuyo dıgito de las unidades es 1, 3, 7 o 9 tiene lapropiedad de que n20 termina en 1. Tenemos 201 numeros quesatisfacen las condiciones del problema y terminan en 1, 201 queterminan en 3, 201 que terminan en 7 y 200 que terminan en 9.El numero total entonces es 201 + 201 + 201 + 200 = 803, ası quela respuesta correcta es ninguna de las anteriores.

9. x−3√

20073−y

√2007

= (x−3√

20073−y

√2007

) ∗ (3+y√

2007

3+y√

2007) = 3x+(xy−9)

√2007−3(2007)y

9−2007y2 . Note

que como la expresion original era racional, 3x+(xy− 9)√

2007−3(2007)y tiene que serlo tambien, pero como

√2007 es irracional,

xy − 9 = 0. Por lo tanto xy = 9.

10. 216−1 = (28−1)(28 +1) = (24−1)(24 +1)(28 +1) = (22−1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1) = 3(5)(17)(257). Cada uno de estos 4 factoreses primo y la suma es 3 + 5 + 17 + 257 = 282.

11. Enumeremos las formas en que podemos expresar al numero 10como una suma, de acuerdo a la cantidad de sumandos utilizados:1 sumando: 102 sumandos: 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 53 sumandos: 1 + 1 + 8, 1 + 2 + 7, 1 + 3 + 6, 1 + 4 + 54 sumandos: 1+1+1+7, 1+1+2+6, 1+1+3+5, 1+1+4+4,1 + 2 + 2 + 5, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 3 + 3 + 35 sumandos: 1 + 1 + 1 + 1 + 6, 1 + 1 + 1 + 2 + 5, 1 + 1 + 1 + 3 + 4,1+1+2+2+4, 1+1+2+3+3, 1+2+2+2+3, 2+2+2+2+26 sumandos: 1+1+1+1+1+5, 1+1+1+1+2+4, 1+1+1+1+3+3,1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3, 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 27 sumandos: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3,

58

1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3, 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 28 sumandos: 1+1+1+1+1+1+1+3, 1+1+1+1+1+1+2+29 sumandos: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 210 sumandos: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1Observe que el producto de sumandos mayor ocurre cuando tene-mos 2 + 2 + 2 + 2 + 2.

12. El valor maximo que se puede obtener al dividir un numero naturalde tres dıgitos por la suma de sus dıgitos es 100 (por ejemplo 100

1,

2002

, etc.), veamos la razon. Sean a, b y c los tres dıgitos con losque escribimos el numero natural. Note que 1 ≤ (a + b + c) ≤27. Observe que cuando dividimos un numero de tres dıgitos poruno de dos dıgitos, el resultado no puede tener tres dıgitos (encuyo caso el resultado es mas pequeno que 100) ası que podemosdescartar estos casos y solamente consideramos 1 ≤ (a+b+c) ≤ 9.Ahora, para que la division entre un numero de tres dıgitos y unode un dıgito sea mayor que 100, el dıgito de las centenas tiene queser igual al numero por el que estamos dividiendo y, ademas, eldıgito de las decenas o el de las unidades tiene que ser distintode cero. Sin embargo, esto es imposible bajo las condiciones denuestro problema, pues esto nos llevarıa a la contradiccion de queel dıgito de las centenas del numero que estamos dividiendo esigual a la suma de todos los dıgitos de este mismo numero y quea la misma vez, tenemos un dıgito (el de las decenas o el de lasunidades) que no es 0.

13. Demostraremos que 4GAF y 4DAB son semejantes. Note quela medida de AB es el doble de la medida de AF y que la me-dida de DA es el doble de la medida de GA. Ademas, ∠GAF =∠GAB + ∠BAE = ∠GAB + 60◦ y ∠DAB = ∠GAB + ∠GAD =∠GAB + 60◦. Hemos establecido que dos lados correspondientesson proporcionales y los angulos comprendidos entre estos soniguales, ası que 4GAF y 4DAB son semejantes. Como las ra-zones de lados correspondientes son iguales: BD

FG= AD

AG= 2∗AG

AG=

2.

14. Sean a, b y c los dıgitos que Pablo eligio en donde a 6= b, b 6= c,a 6= c y (a+b+c = 14). Tenemos que considerar 2 casos: ninguno

59

de los dıgitos es 0 y cuando uno de ellos es 0. En el primer caso,podemos formar 6 numeros de tres dıgitos distintos y la suma deestos esta dada por (102a + 10b + c) + (102a + 10c + b) + (102b +10a + c) + (102b + 10c + a) + (102c + 10a + b) + (102c + 10b + a) =2(a + b + c)(102 + 10 + 1) = 2(14)(111) = 3108. Para el segundocaso, suponga sin perdida de generalidad que c = 0. Podemosformar 4 numeros de tres dıgitos distintos cuya suma esta dadapor (102a + 10b) + (102a + b) + (102b + 10a) + (102b + a) = (a +b)(200 + 10 + 1) = (14)(211) = 2954.

15. Observe que en un periodo de una hora (por ejemplo, entre las5:00 PM y 6:00 PM) las manecillas del reloj forman un angulo de90◦ 2 veces, excepto en cuatro casos: entre 3:00 AM y 4:00 AM,entre 9:00 AM y 10:00 AM, entre 3:00 PM y 4:00 PM y por ultimo,entre 9:00 PM y 10:00 PM. Por lo tanto, el numero de veces quelas manecillas del reloj forman un angulo de 90◦ en un periodo de24 horas es 2 ∗ 20 + 1 + 1 + 1 + 1 = 44.

60



1. Podemos formar cuatro numeros: 700, 707, 770 y 777.

2. Los numeros positivos que tienen residuo 1 al ser divididos por 4son (en orden ascendente): 5, 9, 13, 17, 21, 25, . . . De estos, el maspequeno que tiene residuo 2 al ser dividido por 5 es el 17.

3. 3⊗ (6⊗ 8) = 3⊗ (6+82

) = 3⊗ 7 = 3+72

= 5.

4. Hay 21 cuadraditos pequenos, 12 cuadrados que se forman con4 cuadraditos y 5 cuadrados que se forman con 9 cuadraditos.En otras palabras, hay 21 + 12 + 5 = 38 cuadrados de cualquiertamano.


Del problema sabemos que 2x + 2y = 48 y del diagrama se puedeconcluir que y = 3x. Sustituyendo en la primera ecuacion, obten-emos 2x + 2(3x) = 48 y resolviendo para x, 8x = 48 por lo que elvalor de x es 6 cm. Ahora, el area A de cada uno de los cuadradosesta dado por A = x2 = 62 = 36 cm2.

6. Sea x el primer entero. Segun el problema x + (x + 2) + (x + 4) +(x + 6) + (x + 8) = 5x + 20 = 320. Resolviendo para x tenemosque 5x = 300 y que x = 60. Como el mayor esta representado porx + 8, la respuesta es 60 + 8 = 68.

61

7. Como la suma de los angulos internos de un triangulo es 180◦ yangulos opuestos por el vertice tienen la misma medida, tenemosla siguiente figura:

Por lo tanto, x = 70◦.

8. La menor cantidad de bolas que uno debe sacar al azar para garan-tizar que por lo menos dos sean de diferente color es 3, ya que sisacamos 2 se podrıa dar el caso en que sean del mismo color.Sin embargo, si sacamos 3, aunque saquemos las primeras dos delmismo color; la tercera tiene que ser necesariamente de otro color.

9. Note que cada ciclo de la figura empieza y termina con un multiplode 4. Ademas, si un numero es un multiplo de 4, no puede apareceren ninguna parte que no sea en donde empieza o en donde terminaun ciclo. Por ejemplo, considere 2 ciclos de la figura:

62

Como 2000 es un multiplo de 4, debe aparecer en el comienzo deun ciclo, ası que el esquema correspondiente serıa:

10. Sean A, B y C los puntajes de Ariel, Beatriz y Carlos; respectiva-mente. Tenemos que A + B + C = 20, A < B < C y que C < 2A.Uniendo ambas desigualdades, tenemos A < B < C < 2A. Ob-serve que 0 ≤ A ≤ 20, con A entero. Se puede verificar que elunico valor de A para el cual la desigualdad A < B < C < 2Ay la condicion A + B + C = 20 se satisfacen simultaneamente esA = 5. Por ejemplo, si A = 4, (B + C) tendrıa que ser igual a 16y 4 < B < C < 8. Sin embargo, no podemos fijar valores paraB y C que satisfagan ambas condiciones. Un argumento similarnos ayuda a descartar las demas posibilidades para A. Ahora, siA = 5, (B + C) = 15 y tenemos dos soluciones: B = 6 y C = 9o B = 7 y C = 8. Las desigualdades correspondientes serıan:5 < 6 < 9 < 10 y 5 < 7 < 8 < 10.

63



1. El numero de dıas que tienen que pasar para que vuelvan a coin-cidir tres barcos con las tres banderas esta dado por el mınimocomun multiplo de 40, 24 y 15. Este resulta ser 120.

2. Sean A, I y F el numero de personas que estudian aleman, inglesy frances; respectivamente. Tambien denotemos por (A ∧ I),(A ∧ F ) y (F ∧ I) el numero de personas que estudian alemane ingles simultaneamente, aleman y frances simultaneamente yfrances e ingles simultaneamente; respectivamente. Por ultimo,sea (A ∧ F ∧ I) el numero de personas que estudian los tres id-iomas simultaneamente. Considere la siguiente figura:

De esta podemos concluir que el numero total de alumnos x seconsigue de la siguiente forma: x = A + F + I − 2(A ∧ F ∧I) − (A ∧ I) − (A ∧ F ) − (F ∧ I). El problema nos dice que(A∧F ) = 7, (A∧ I) = 8 y que (A∧F ∧ I) = 5. Ademas nos diceque A = 3(A ∧ I) = 3(8) = 24 = (F ∧ I). Por ultimo, tenemosque F = I = 4A = 4(24) = 96. Sustituyendo, obtenemos quex = 24 + 96 + 96− 2(5)− 8− 7− 24 = 167.

3. Tenemos que hallar que numero corresponde al termino 2007 de lasucesion. Para hacer esto, note que el termino 1 cae en el ultimonumero del bloque de los 1’s, el termino 3 cae en el ultimo numero

64

del bloque de los 2’s, el termino 6 cae en el ultimo numero delbloque de los 3’s, etc. En general, si n es el n-esimo termino de lasucesion entonces n cae en el ultimo numero del bloque de los m’ssi 1+2+3+ . . .+m−1+m = n o equivalentemente si m(m+1)

2= n.

El valor de m correcto sera entonces el que satisfaga las siguientesdos desigualdades: m(m+1)

2≥ 2007 y (m−1)((m−1)+1)

2< 2007. Por

tanteo, encontramos que si m = 63, 63(63+1)2

= 63(32) = 2016 ≥2007 y (63−1)((63−1)+1)

2= 31(63) = 1953 < 2007. Por lo tanto, el

termino 2007 de la sucesion es 63 y su residuo al dividirlo por 5es 3.

4. Si a 1,000,000 le restamos la cantidad de numeros que no cumplencon las condiciones del problema obtendremos la respuesta. Paraque un numero no cumpla con la condicion, es porque no contieneningun dıgito 1 o porque contiene 1 dıgito 1, 2 dıgitos 1 no seguidoso 3 dıgitos 1 no seguidos (todo numero menor que 1,000,000 quecontiene 4 dıgitos 1 tiene por lo menos dos de estos seguidos).La cantidad de numeros que no tienen ningun dıgito 1 esta dadopor 96 = 531441 (tenemos 9 opciones para llenar cada uno de los6 espacios que forman nuestro numero menor que 1,000,000 , endonde las 9 opciones corresponden a los dıgitos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8y 9). La cantidad de numeros que contienen solamente un dıgito 1es igual a 5 ∗ 95 = 295, 245 ya que tenemos 95 numeros con dıgitode la unidad igual a 1, 95 numeros con dıgito de la decena igual a 1,95 numeros con dıgito de la centena igual a 1, etc. Por argumentossimilares, encontramos que hay 10∗94 = 65610 numeros que tienen2 dıgitos 1 no seguidos y 4 ∗ 93 = 2916 que tienen 3 dıgitos 1 noseguidos. Por lo tanto, la cantidad de numeros que tienen por lomenos dos dıgitos 1 seguidos es 1, 000, 000 − 531441 − 295245 −65610− 2916 = 104, 788.

5. El numero mınimo para garantizar que en la coleccion sacada hayaal menos 50 canicas de un solo color es 491. Esto, ya que en el peorde los casos, se podrıa dar la situacion en que saquemos 49 canicasde cada uno de los 10 colores (49 ∗ 10 = 490). Sin embargo, alsacar una adicional; se completarıan las 50 canicas de algun color.

6. Por conveniencia, dejemos que cada cuadradito sea de largo 1

65

unidad. Tenemos 36 cuadrados de dimension 1x1, 25 de dimension2x2, 16 de dimension 3x3, 9 de dimension 4x4, 4 de dimension 5x5y 1 de dimension 6x6. En cuanto a los demas rectangulos, tenemos60 de dimension 1x2, 48 de 1x3, 36 de 1x4, 24 de 1x5, 12 de 1x6,40 de 2x3, 30 de 2x4, 20 de 2x5, 10 de 2x6, 24 de 3x12, 16 de3x5, 8 de 3x6, 12 de 4x5, 6 de 4x6 y 4 de 5x6. Sumando todasestas cantidades, obtenemos que hay 441 rectangulos que tienensus lados sobre una cuadrıcula de tamano 6x6.

7. Observe que podemos inscribir un cırculo de radio r=.5 en loscuadrados:

Note ademas que el cırculo esta contenido completamente en elarea rayada. Tenemos entonces que el area rayada Ar y el areadel cırculo Ac se pueden comparar de la siguiente forma: Ar >Ac = π

22 = π4

> 34. Por lo tanto Ar > 3

4.

8. a. Haremos la demostracion por contradiccion. Suponga que laperpendicular a AB que pasa por el punto medio M del segmentono pasa por el centro O de la circunferencia. Luego trazamoslos segmentos que unen a los puntos A y B con el centro de lacircunferencia:

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Note que hemos identificado como D al punto de interseccion dela perpendicular con el segmento AO. Observe ademas que lamedida de ∠OMD debe ser mayor que 0◦ pues M y D son pun-tos de la perpendicular y esta no pasa por O. Como la distanciade O hasta B y de O hasta A son iguales (esta distancia corres-ponde a la de un radio del cırculo) el triangulo AOB es isosceles.Ahora, como el segmento OM es la mediana relativa a la basedel triangulo y este es isosceles, tenemos que OM es una altura(teorema: en un triangulo isosceles, la mediana relativa a la basees bisectriz y altura) y por lo tanto; OM es perpendicular a AB.Como consecuencia, la medida de ∠AMO y ∠BMO tiene que ser90◦. Finalmente, tenemos que ∠AMO = ∠AMD + ∠OMD, perocomo ∠AMO = ∠AMD = 90◦ llegamos a la contradiccion deque ∠OMD = 0◦. Esta surge debido a la suposicion de que laperpendicular a AB que pasa por el punto medio del segmento nopasa por el centro O de la circunferencia. Por lo tanto, tiene quepasar por el centro O.

b. Considere el siguiente diagrama, el cual cumple con las condi-ciones del problema:

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Trazando el cırculo que pasa por los puntos B, E, F y C:

Observe que como el segmento BC es un diametro, el centro delcırculo coincide con el punto medio del segmento. Note ademasque el segmento EF es una cuerda del cırculo y por el resultadode la parte a tenemos que el segmento que es perpendicular a EFy que pasa por H divide al segmento BC en dos partes iguales.

9. Observemos el patron formado al evaluar unos cuantos valores enla funcion: f(1) = 2, f(2) = f(1 + 1) = 2f(1)+1

2= 2(2)+1

2= 5

2,

f(3) = f(2 + 1) = 2f(2)+12

=2( 5

2)+1

2= 6

2= 3, f(4) = f(3 + 1) =

2f(3)+12

= 2(3)+12

= 72, f(5) = f(4 + 1) = 2f(4)+1

2=

2( 72)+1

2= 8

2= 4,

etc. Concluımos que f(n) = n+32

y evaluando para n = 2007:f(2007) = 2007+3

2= 1005.

10. 22x − 32y = (2x − 3y)(2x + 3y) = 55. Note que x y y tienenque ser positivos, veamos que sucede si ambos fueran negativos:22x − 32y = 4x − 9y = 55. Como estamos suponiendo que am-bas variables son negativas, tenemos que 1

4|x| − 19|y| = 55. Luego

14|x| = 55 + 1

9|y| , pero la expresion de la izquierda es menor que1 y la de la derecha mayor que 55; lo cual es una contradiccion.Por argumentos similares, se pueden descartar los casos en dondesolamente una de las variables es negativa. Como y y x son posi-tivos, las expresiones (2x − 3y) y (2x + 3y) son numeros enteros.Como (2x − 3y)(2x + 3y) = 55 y 55 = 5 ∗ 11 = 1 ∗ 55 debemosestudiar dos casos: [(2x−3y = 5) y (2x +3y = 11)] o [(2x−3y = 1)y (2x + 3y = 55)] (note que (2x + 3y) tiene que ser mayor que(2x − 3y = 5)). Para el primer caso, despejando para 2x en la

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primera ecuacion y sustituyendo en la segunda nos queda que3y = 3; ası que y = 1 y x = 3. Realizando las mismas opera-ciones para las ecuaciones del segundo caso, nos queda que y = 3y 2x = 28; lo que implica que x no es entero. Por lo tanto, la unicapareja (x, y) que satisface la ecuacion es (3,1).

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OLIMPIADAS DE MATEMATICASDE PUERTO RICO

EXAMEN DE SELECCION

1. Comenzamos a estudiar el problema de dividir 120 metros en npedazos de largo L y 192 metros en m pedazos cuyo largo tambienes L, con L entero. Note que L correspondera al largo de cadacuadrado y como queremos el menor numero posible de parcelas,tenemos que maximizar el valor de L. 120 = 23∗3∗5 y 192 = 26∗3 ysi realizamos las divisiones 120

5y 192

8(estas divisiones corresponden

a dividir 120 metros en 5 pedazos iguales y 192 en 8 pedazosiguales) obtenemos el valor maximo de L = 24 (los demas valoresque se pueden obtener son L = 1, L = 2, L = 3, L = 4, L = 6,L = 8 y L = 12).

De la figura, tenemos que el numero de parcelas es 40 y se necesitan54 postes.

2. Las ecuaciones del problema pueden ser reescritas de la siguientemanera: xy + (x + y) = 71 y xy(x + y) = 880. Despejandopara (x + y) en la segunda ecuacion y sustituyendo en la primeraobtenemos xy + 880

xy= 71. Esta, a su vez, puede escribirse como

(xy)2 − 71xy + 880 = 0 y si dejamos que u = xy nos quedau2 − 71u + 880 = 0. Usando la Formula Cuadratica, obtenemosu = xy = 55 o u = xy = 16. La segunda solucion se descartapues si xy = 16, sustituyendo en xy + (x + y) = 71 obtendrıamosque (x + y) = 55 y no existen numeros enteros positivos x, y quesatisfagan las condiciones. Sin embargo, si xy = 55, tendrıamos

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que (x + y) = 16 y las parejas (x, y) que satisfacen todas lasconidciones del problema son (5,11) y (11,5).

3. Sean A, B, C, D y E las estaturas de las 5 personas con A >B > C > D > E. Observe que las personas cuyas estaturas sonA y B no pueden ir en el puesto 2 ya que en cada caso faltarıauna persona mas alta que se siente al lado. Por lo tanto, nuestroconteo comenzara en el caso que C vaya en el puesto 2: considere elarreglo BCA (esta notacion denotara que B ocupa el puesto 1,C el 2 y A el 3) y ACB . Estas son las unicas dos formas en quelos puestos 1 y 3 pueden ser ocupados y para cada una de estas,existen dos formas de llenar los puestos 4 y 5; ası que si C esta enel asiento 2, existen 4 arreglos. Si D esta en el puesto 2, existen6 formas de llenar los primeros tres puestos: ADB , BDA ,ADC , CDA , BDC y CDB . Como los puestos 4 y 5pueden ser llenados de 2 formas distintas en cada caso, tenemosque si D esta en el puesto 2 existen 6 ∗ 2 = 12 arreglos posibles.Similarmente, si E ocupa el puesto 2, existen 12 formas de llenarlos primeros 3 puestos y a cada una de estas le corresponden 2formas de llenar el puesto 4 y 5 y tendrıamos 24 arreglos posibles.Sumando todos los arreglos tenemos que existen 4 + 12 + 24 = 40arreglos posibles.


Note que ∠CAB = ∠CDB pues son angulos inscritos en uncırculo que abren el mismo arco. Ademas, ∠AMB = ∠DMCya que son angulos opuestos por el vertice. Tenemos entonces que4ABM es semejante a 4DCM y que, por lo tanto, AM

DM= BM

CM.

Multiplicando cruzado, obtenemos que AC ∗ CM = BM ∗DM .

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5. Tenemos que determinar la cantidad de dıgitos que forman elnumero natural que escribio Juan. Note que si escogemos elnumero natural de 4 dıgitos mas pequeno (1000) y realizamos lasoperaciones descritas en el problema, el resultado esta formadopor 6 dıgitos: 110001 − 1000 = 109, 001. Por otro lado, si esco-gemos el numero natural mas grande que se forma con 2 dıgitosobtenemos como resultado un numero de 4 dıgitos: 1991 − 99 =1892. Esto nos indica que el numero de Juan tiene 3 dıgitos. Seax = 102a+10b+c el numero de Juan. Si anadimos un dıgito 1 a laizquierda y a la derecha tendremos z = 104 +103a+102b+10c+1.Considere z−x = (104+103a+102b+10c+1)−102a+10b+c. Estadiferencia tiene que ser igual a 14789, ası que 104 + (9)(102)a +(9)10b + 9c + 1 = 14789 y restando 10,001 en ambos lados dela ecuacion: (9)(102)a + (9)10b + 9c = 4788. Finalmente, x =102a + 10b + c = 532. A manera de verificacion observe que15321− 532 = 14789.

6. Si n = 1 cualquier conjunto formado por un numero entero po-sitivo funciona. Si n ≥ 2, construya el conjunto Sn de la si-guiente forma: escoja un numero entero postivo x. Defina Sn ={xn!, x2∗n!, x3∗n!, . . . , x(n−1)∗n!, xn∗n!}. Note que para cualquier mentero positivo menor que n, la raız m-esima de cualquier subcon-junto de m elementos de Sn es un numero entero positivo puespara una coleccion arbitraria de elementos a1, a2, . . . , am−1, am deSn tenemos que m

√a1a2 . . . am−1am = (a1a2 . . . am−1am)

1m

= x(1∗2∗...∗(m−1)∗(m+1)∗...∗n)∗z, con z entero positivo. Como estaultima expresion es un entero positivo, concluımos que para todonumero natural n se cumple la propiedad considerada.

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