PRUEBA PEP1 CALCULO 2
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U. DE SANTIAGO DE CHILE DEP. DE MATEMATICA Y C.C.PAUTA PRUEBA PEP1
CALCULO 2 PARA INGENIERÍAPrimer Semestre 2016
Pregunta 1
a)Expresar como integral el siguiente límite
limn!+1
ln
�n+ 1
n
� 1n
+ ln
�n+ 2
n
� 1n
+ ln
�n+ 3
n
� 1n
+ � � �+ ln�n+ n
n
� 1n
!
b) Sea R la región acotada por las curvas de�nidas por y(x) = x2+ a2
4e y(x) = a2 � 2x2, con a > 0. Calcular el volumen del sólido que se generaalrotar la región R con respecto al eje x.Solución.-a) Primero de�nimos
J = limn!+1
ln
�n+ 1
n
� 1n
+ ln
�n+ 2
n
� 1n
+ ln
�n+ 3
n
� 1n
+ � � �+ ln�n+ n
n
� 1n
!
En un primer paso consideramos el exponente y tenemos
J = limn!+1
1
n
�Ln
�n+ 1
n
�+ Ln
�n+ 2
n
�+ Ln
�n+ 3
n
�+ � � �+ Ln
�n+ n
n
��
..............................................................................................................0.2utilizando la notación de sumatoria la expresión anterior es
J = limn!+1
1
n
nXi=1
ln
�n+ i
n
�
es decir,
J = limn!+1
nXi=1
ln
�1 +
i
n
�� 1n
..............................................................................................................0.4por lo tanto, observando esta última expresión y asumiendo que el itervalo
se divide en n subintervalos de igual longitud resulta a = 1; y longitud delinervalo b� a = 1, es decir,b = 2;de donde se deduce que la función de acuerdo a la de�nición de integral
de�nida es f(x) = ln(x). La integral es
J =
Z 2
1
ln(x)dx
1
..............................................................................................................0.4
NOTA.- Si toma a = 0 tiene la integral J =
Z 1
0
ln(x+ 1)dx
b) Para hallar los puntos de intersección de las parábolas hacemos.
x2 +a2
4= a2 � 2x2 =) x2 =
a2
4
por lo tanto x = a2 y x = �
a2 .
..............................................................................................................0.2Aplicando el método de los discos, el volumen se obtiene por
V
2= �
Z a2
0
(a2 � 2x2)2dx� �Z a
2
0
�x2 +
a2
4
�2dx
..............................................................................................................0.4al desarrollar los cuadrados
V
2= �
Z a2
0
(a4 � 4a2x2 + 4x4)dx� �Z a
2
0
�x4 +
a2x2
2+a4
16
�dx
= �
Z a2
0
�3x4 � 9a
2x2
2+15a4
16
�dx
..............................................................................................................0.2al integrar
V
2= �
�3
5x5 � 3a
2x3
2+15a4x
16
�� a2
0
al evaluar se obtiene que V = 35�a
5.
..............................................................................................................0.2Pregunta 2Dada la función f de�nida por f(x) = x2(x� 2)
a) Determine en que puntos se intersectan las grá�cas de la función fy su derivada f 0 y bosqueje la región entre ambas grá�cas
b) Calcule el área de la región descrita en (a).Solución.-a) Obtenga la derivada de f y determine en que puntos se interceptan la
función f y su derivada.La derivada de la función es f 0(x) = 3x2 � 4x. Los puntos de intersección
de la función f y su derivada se obtienen de la solución de la ecuaciónf(x) = f 0(x), es decir
x2(x� 2) = 3x2 � 4x) x(x� 1)(x� 4) = 0
2
por lo tanto, se intersectan cuando x = 0, x = 1 y x = 4...............................................................................................................0.2La grá�ca es
1 1 2 3 4 5
10
20
30
x
y
..............................................................................................................0.4
b)el área se obtiene por
A =
Z 1
0
(x3 � 2x2 � (3x2 � 4x))dx+Z 4
1
(3x2 � 4x� (x3 � 2x2))dx
..............................................................................................................0.8es decir,
A =
Z 1
0
(x3 � 5x2 + 4x)dx+Z 4
1
(�x3 + 5x2 � 4x)dx
al integrar
A =
�x4
4� 5x
3
3+ 2x2
��1
0
+
��x
4
4+5x3
3� 2x2
��4
1
..............................................................................................................0.4por lo tanto, A = 71
6 ...............................................................................................................0.2Pregunta 3Encuentre la longitud de arco de la curva
f(x) =
Z x
1
(t2 � et2
� 1) 12 dt ; 1 � x � 2
Solución.-
3
La derivada de la función f por el teorema fundamental del cálculo esf 0(x) = (x
2ex
2
� 1) 12 ,..............................................................................................................0.4la longitud de arco de la curva se obtiene por
L =
Z 2
1
r1 +
�(x2 � ex2 � 1) 12
�2dx
..............................................................................................................0.8es decir,
L =
Z 2
1
xex2
2 dx
..............................................................................................................0.4
al integrar L = ex2
2
���21, por lo tanto L = e2 �
pe.
..............................................................................................................0.4
4