Paraboloide Hiperbólico

Universidad Autónoma de Baja California Centro de ingeniería

y Tecnología Unidad Valle de las Palmas – Campus Tijuana 4/12/2015

Ávila Arellano Gonzalo, Peña Barajas Antonio Isaías, Torres Magallón Alejandra Melania.

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Resumen

El presente trabajo tiene como objetivo presentar la importancia del Calculo

Multivariable y la relación de este en el ámbito de la ingeniería. Se mencionara la

historia de la marca Pringles y como se vincula el desarrollo y aplicación de las

herramientas del cálculo Multivariable en la construcción de modelos matemáticos

para la creación y optimización de productos. También se presentara durante el

desarrollo del trabajo la definición ampliada de Paraboloide Hiperbólico, ecuación,

propiedades y algunas aplicaciones.

Introducción

“Cálculo Vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis

real Multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría

diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy

útiles para la ingeniería y la física.”

Como sabemos los vectores son muy utilizados para representar tanto fuerzas como

movimientos. Además, también es muy utilizado para resolver sistemas de

ecuaciones. Cualquier problema medianamente complejo de ingeniería puede

convertirse a un sistema de ecuaciones, que mediante cálculo matricial que está

relacionado con el cálculo vectorial, puede resolverse. Dentro de la ingeniería

mecánica que es una de las ramas de la ingeniería industrial, en esta podemos notar

que el cálculo vectorial se usa mucho en problemas de dinámica y cinemática de

mecanismos. Es decir, para analizar el movimiento (como por ejemplo las

velocidades, aceleraciones, etc.) de cada uno de los elementos que forman cualquier

tipo de mecanismo se puede ver desde la suspensión de un automóvil como hasta el

diseño de un producto alimenticio.

Muchos de los universitarios intentamos buscar una justificación de peso para

demostrarnos que esta materia tiene que ver mucho en nuestra carrera y sobre todo

la gran importancia que tiene. Una justificación o demostración para esto se centra

más en los mecanismos que son como conjuntos de cuerpos o piezas móviles

interconectadas entre sí, y sus movimientos y fuerzas, son representadas mediante

vectores, que deben relacionarse entre sí mediante operaciones relacionadas con el

cálculo vectorial. El cálculo vectorial también es muy utilizado en el cálculo de

estructuras de edificios y de máquinas.

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Como nos podemos dar cuenta el cálculo vectorial es fundamental para la ingeniería

industrial pero especialmente en la rama de ingeniería mecánica.

Historia de las papas Pringles

Para empezar la historia, es bueno saber que las papas Pringles no son precisamente papas fritas, pues solo el 42% del producto contiene papa, el resto se compone de harinas y aceite vegetal. La marca Pringles fue desarrollada en 1967 por P&G. La multinacional buscaba desarrollar un snack que pudiera ser producido y distribuido con facilidad en cualquier lugar del mundo. Para cumplir esta misión P&G contrató al químico Frederic Baur, quien durante dos años trabajó infructuosamente en desarrollar la receta que tuviera buen sabor. Lastimosamente, al no dar resultados positivos, en 1958 fue retirado del proyecto. Sin embargo, Baur dejó importantes aportes a la construcción del producto, pues fue él quien inventó el empaque: Un cilindro de cartón recubierto de aluminio con una tapa plástica, este ingenioso envase permitía mantener el producto fresco aun después de abierto.

Después del fracaso de Baur, a mediados de los años 60 Alexander Liepa retomó el proyecto y fue este quien formuló la receta definitiva para las papas Pringles. Después, Gene Wolfe sería el encargado de desarrollar la máquina para producirlas y darle al producto la forma de paraboloide hiperbólico.

Son muchas las historias que existen en torno a la creación del exitoso nombre Pringles. Mientras unos aseguran que se debe a una máquina para producir papas desarrollada por Marcos Pringle en 1937, el cual fue citado en la patente presentada por P&G. Otros aseguran que el nombre surgió de dos publicistas de la compañía que vivían en Pringle Drive en Finneytown (Estados Unidos), los empleados consideraron que el nombre combinaba bien con el producto, entonces decidieron utilizarlo.

Las Pringles fueron lanzadas al mercado en 1967 con su receta original bajo el nombre Pringle´s, un año después se decidió simplificar el nombre y se retiró el apóstrofe, quedando Pringles. El éxito del producto fue tal, que en 1975 el producto se empezó a comercializar en todo el mundo. Hoy en día existen más de 100 extensiones de línea, en 2012 P&G vendió por 2.695 millones de dólares la marca a la también estadounidense productora de cereales Kellogs.

Definición ampliada

Paraboloide Hiperbólico. Es una superficie doblemente reglada por lo que se

puede construir a partir de rectas. Es una de las más utilizadas en obras de Antoni

Gaudí y de Félix Candela.

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El Paraboloide Hiperbólico también se lo conoce bajo los nombres de silla de montar o paso de montaña por su conformación geométrica, pues es una superficie que en una dirección tiene las secciones en forma de parábola con los lados hacia arriba y, en la sección perpendicular, las secciones son en forma de parábola con los lados hacia abajo. Se puede simplificar el concepto afirmando que es un plano alabeado.

Las secciones según planos perpendiculares a los dos anteriores (según la tercera dimensión del espacio) son en forma de hipérbola. Si están por debajo del punto de la silla, en el centro de la figura, los lados de la hipérbola dan la forma de valles. Si están por arriba de este punto, las secciones de la hipérbola dan forma a los picos que flanquean el paso.

Ecuación cartesiana:

Paraboloide Hiperbólico

Con los planos z =k: , hipérbolas que cambian de eje con el signo de k. Si k = 0 se reduce a un par de rectas Con x =k: parábolas de eje con ramas descendentes y vértices en ascenso. Con y =k: quedan determinadas parábolas de eje z con ramas ascendentes y

vértices en descenso.

La superficie tiene la forma de una silla de montar.

Así el origen parece un máximo local desde una dirección, pero un mínimo local desde una dirección distinta. Tal punto de una superficie se llama punto silla.

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Propiedades

El Paraboloide Hiperbólico tiene las siguientes propiedades:

Aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas.

Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos.

Aplicaciones

El Paraboloide Hiperbólico ha sido una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura. Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Dentro de la fauna de las superficies, esta curva es un espécimen ya conocido por los griegos.

La propiedad realmente importante, que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies los geómetras las denominan superficies regladas y existen ejemplos en cantidad suficiente en otro arte, en la escultura.

Es de suponer que esta propiedad es la que permitía a Gaudí dar las instrucciones precisas a sus obreros y al capataz cuando éstos tenían que construir un paraboloide hiperbólico en el techo de la Sagrada Familia (iniciada el año 1883).

Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el Hiperboloide de revolución. El arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela fue quien mostró una maestría sublime en su utilización.

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Conclusión

Al concluir este proyecto pudimos considerar lo imprescindible que fue el uso de

cálculo Multivariable para nuestra formación como ingenieros ya sea para el diseño

de nuevos productos o el desarrollo de nuevos sistemas que funcionen de acuerdo a

la demanda y a las necesidades del mercado actual. También se logró articular el

tema de superficies cuadradas puntualizando la definición, ecuación, propiedades y

aplicación del Paraboloide Hiperbólico. Y aun todavía como una de las marcas más

poderosas del mercado actual ha llevado el diseño de su producto a las manos de

cada uno de sus consumidor alrededor del mundo. Enfatizando una vez más la

importancia del cálculo Multivariable en el campo laborar así como el uso de sus

técnicas y herramientas en el mundo profesional.