PROPUESTA DIDÁCTICA Función Lineal

MAESTRA EN MATEMTICA EDUCATIVA

PropuestadeSecuenciaDidacticaparalograrunaprendizajesignificativodel

CONCEPTODEFUNCIO@ NLINEALpormediodelempleodeherramientas

computacionales

Mxico, D.F.

Diciembre 10, 2015.

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PropuestadeSecuenciaDidacticaparalograrunaprendizajesignificativodel

CONCEPTODEFUNCIO@ NLINEALpormediodelempleodeherramientas

computacionales

Presentada por: Ernesto Bravo Daz

RESPONSABLES DEL CURSO:

Dr. Francois Pluvinage .

Dra. Ana Isabel Sacristn Rock .

Mxico, D.F.

Diciembre 10, 2015.

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ndicegeneral1.Antecedentes 4

2.Justificacin. 4

3.Objetivos. 5

4.Marcoconceptual. 5

5.DesarrollodelaPropuesta. 11

5.1.Componentesdelmicromundo. 11

5.1.1.ComponenteTcnico 11

5.1.2.ComponentePedaggico 12

5.1.3.ComponenteContextual. 12

5.1.3.ComponenteAlumno. 12

5.2.Sesin1 13

5.2.1actividaddelprofesor(Act.1M). 13

5.2.2.Desarrollodelasesin1. 15

5.2.3.Actividaddelalumno(Act.1A). 17

5.3.Sesin2. 20

5.3.1actividaddelprofesor(Act.2M). 20

5.3.2.Desarrollodelasesin2. 22

5.3.3.Actividaddelalumno(Act.2A). 24

6.Anexos. 27

7.Referenciasbibliogrficas 43

4

1. ANTECEDENTES

El concepto de funcin lineal es de suma importancia en la matemtica escolar y frecuentemente

presenta problemas en su enseanza por parte de los maestros y repercute inevitablemente en el

aprendizaje por parte de los alumnos.

En mi experiencia personal docente he observado que cuando la representacin grfica de la

funcin lineal se presenta de manera esttica en el pizarrn, usando slo pintarrn y marcadores

para pintarrn, a los alumnos se les dificulta mucho interpretar significativamente los valores que

representan la pendiente y/o la ordenada al origen, an en problemas muy especficos.

El presente trabajo propone una secuencia didctica para desarrollar el tema Funcin Lineal

dentro de un entorno de Tecnologas Digitales. La secuencia didctica est diseada para

desarrollarse en tres sesiones de 50 minutos cada una, est dirigida tanto a los estudiantes como

al maestro, y se elabor con las siguientes intenciones:

! Que sirva de instrumento para que el profesor promueva el intercambio de ideas,

experiencias y conocimientos.

! Que en la interaccin con los alumnos el maestro evite convertirse en el protagonista de

la clase, asistiendo a los estudiantes en su trabajo con las actividades de clase pero no

resolvindoles los problemas planteados.

! Que se logren los objetivos curriculares del programa de la Unidad de Aprendizaje

Matemticas I del bachillerato de la UAGro.

2. JUSTIFICACIN

Diversos estudios en Educacin Matemtica sealan que el empleo de herramientas

computacionales puede ofrecer diferentes caminos y oportunidades para los estudiantes en

5

beneficio de sus procesos de comprensin y conceptualizacin matemtica, es importante

reconocer que existen varios tipos de artefactos tecnolgicos que el estudiante puede utilizar

durante sus experiencias de aprendizaje. Cada artefacto puede ofrecer distintas oportunidades a

los estudiantes para representar, identificar, examinar y comunicar resultados matemticos

(Santos, 2007).

La presente, es una propuesta de secuencia didctica para lograr un aprendizaje significativo del

CONCEPTO DE FUNCIN LINEAL por medio del empleo de herramientas computacionales

dentro de un entorno denominado MICROMUNDO.

3. OBJETIVOS

Bsicamente se consideran los siguientes:

! Que los alumnos adquieren un aprendizaje significativo del concepto FUNCIN

LINEAL.

! Impactar al Maestro respecto a su decisin a favor del diseo e implementacin de

estrategias didcticas mediante la creacin de un entorno computacional.

! Dar una nueva visin a los alumnos del uso racional que le pueden dar a las herramientas

tecnolgicas.

4. MARCO CONCEPTUAL.

Es demasiado comn que en los programas de estudio se recomiende iniciar a trabajar con el

concepto de funcin lineal mediante su definicin formal, y todava es mucho mas frecuente que

la funcin lineal se vea como una simple formula en la que hay que sustituir correctamente

ciertos valores, efectuar las operaciones indicadas y obtener su representacin grfica.

6

Definitivamente ste procedimiento permite adquirir ciertas destrezas pero stas de ninguna

manera van ligadas a la adquisicin del aprendizaje significativo del concepto de funcin lineal.

Una funcin es una regla para convertir un elemento dado (por ejemplo un nmero) en otro

elemento (en otro nmero, siguiendo con el mismo ejemplo). Al elemento dado se le llama

entrada y al otro elemento se le llama salida.

Ahora, la mencionada regla puede estar dada no solo en forma de una formula, sino tambin de

manera implcita en una tabla o en una grafica, e incluso puede estar dada como una expresin

verbal.

Ejemplo 4.1: Un estudiante de tercer ao de preparatoria que trabaja en el departamento de

telefona celular de Coppel gana semanalmente $350.00 de salario fijo, mas una bonificacin

de $35.00 por cada telfono celular que venda. Normalmente en la semana vende entre 15 y 25

telfonos celulares. La tabla siguiente muestre el salario que percibira si vendiera 15, 16,24,

25 telfonos celulares.

Telfonos vendidos Regla para obtener el salario percibido

Salario percibido

15 $ 350.00 + $ 35.00 (15) $ 875.00 16 $ 350.00 + $ 35.00 (16) $ 910.0017 $ 350.00 + $ 35.00 (17) $ 945.0018 $ 350.00 + $ 35.00 (18) $ 980.00 19 $ 350.00 + $ 35.00 (19) $ 1,015.0020 $ 350.00 + $ 35.00 (20) $ 1,050.0021 $ 350.00 + $ 35.00 (21) $ 1,085.0022 $ 350.00 + $ 35.00 (22) $ 1,120.0023 $ 350.00 + $ 35.00 (23) $ 1,155.0024 $ 350.00 + $ 35.00 (24) $ 1,190.0025 $ 350.00 + $ 35.00 (25) $ 1,225.00

Podras obtener una formula que relacione el salario fijo con una cantidad cualquiera de

telfonos vendidos y te permita obtener el salario a percibir?

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Ejemplo 4.2: La mam de Lizbeth decide coser camisas en su casa. La tela necesaria para cada

una de ellas tiene un costo de $ 120.00 y sus respectivos accesorios (hilo, botones, etc.) tienen un

costo de $ 5.00. Si en un mes puede fabricar entre 300 y 315 camisas, Cunto dinero necesita

invertir si fabrica 300, 301,314,315 camisas?

Solucin:

La inversin por camisa es = costo de la tela + costo de los accesorios

= $ 120.00 + $ 5.00

= $ 125.00

La inversin total entonces depender de la cantidad de camisas que se fabriquen, es decir que

basta solo con multiplicar la inversin por camisa, por la cantidad de camisas que se fabrique.

Inversin total = ($ 125.00) (cantidad de camisas que se fabriquen)

Si designamos con c a la cantidad de camisas que se fabriquen y a la inversin total con I , para

no escribir tanto, y adems como la inversin total depende de la cantidad de camisas que se

fabriquen ya que el costo de cada una de ellas es constante, entonces:

I (c) = 125 (c) -------------1

Finalmente, la expresin 1 permite obtener la inversin total necesaria para cualquier cantidad de

camisas que se fabriquen.

c I(c) c I(c) 300 36 000 308 36 960 301 36 120 309 37 080 302 36 240 310 37 200 303 36 360 311 37 320 304 36 480 312 37 440 305 36 600 313 37 560 306 36 720 314 37 680 307 36 840 315 37 800

8

Ejemplo 4.3:

Un comerciante va al D.F. a comprar camisas y pantalones para surtir su tienda de ropa. Cada

camisa le cuesta $ 300.00 y cada pantaln $ 400.00. Si pretende invertir exactamente $

120,000.00, obtn la grfica que representa esta situacin y que le permite saber, cuntas

camisas y cuntos pantalones puede comprar?

Solucin.

Como no sabemos que cantidad de camisas puede comprar diremos que ese un valor

desconocido, una incgnita como comnmente se llama en matemticas. Le asignaremos la letra

x para representar dicha cantidad.

Como no sabemos que cantidad de pantalones puede comprar diremos que ese un valor

desconocido, una incgnita como comnmente se llama en matemticas. Le asignaremos la letra

y para representar dicha cantidad.

Como cada camisa cuesta $ 300.00, la cantidad que invierta en la compra de las camisas

depender precisamente del producto: ($ 300.00)(cantidad de camisas), es decir (300)(x) o

simplemente 300x

Como cada pantaln cuesta $ 400.00, la cantidad que invierta en la compra de los pantalones

depender precisamente del producto: ($ 400.00) (cantidad de pantalones), es decir (400) (y) o

simplemente 400y

Finalmente, lo que invierta en la compra de las camisas ms lo que invierta en la compra de los

pantalones debe ser exactamente igual a $ 120,000.00

!"" # $ %""& ()" *"""

Ahora podemos despejar a una de las incgnitas, lo haremos con &

%""& ()" *""" + !"" #

9

& ()" *""" + !"" #

%""

& !" +!%

#****, ****& +!%

# $ !" *

Si decimos que la cantidad de pantalones a comprar (&- depende de la cantidad de camisas que

se compren (#- , entonces podemos expresar la ecuacin anterior como:

Tambin pudimos despejar a # y hacer que # dependiera de &, es decir: # . &

& . # +!%

# $ !"

O simplemente:

. # +!%

# $ !"

La grafica correspondiente de sta funcin es.

Sin embargo no todos los puntos de la grfica dan solucin al problema planteado.

En la grfica podemos visualizar las diferentes soluciones al problema planteado.

10

El valor de las cantidades que pueden cambiar durante un procedimiento no son en realidad tan

importantes, lo verdaderamente importante es entender como estas se relacionan entre si, con las

cantidades que permanecen constantes y qu es lo que realmente representan sus valores en

problemas especficos.

Debemos tener muy claro que todo nmero real es aceptado como un valor de entrada en las

funciones obtenidas en cada uno de los tres ejemplos anteriores, y que la regla aplicada al

valor de entrada siempre nos da un valor de salida que tambin pertenece a los nmeros reales.

En el tercer problema podemos ver que cualquiera de las dos incgnitas puede ser considerada

para expresar la funcin como dependiente de ella.

Las funciones estudiadas son de la forma . # / *# $ 0, en donde:

/ , representa la relacin que existe entre los valores de & y los valores de #, y se expresa en la

funcin como un cociente al que se le llama pendiente. Por lo que la pendiente es la razn de

cambio entre los valores de & y los valores de #. Cuando no aparece como un cociente se debe

interpretar que el valor de # es 1.

0, es el valor correspondiente a la ordenada al origen, es decir el punto (0, 0).

Un dato sumamente importante es que el exponente de # y de y es 1.

La representacin grfica de ste tipo de funciones es una lnea recta.

Pendiente = m = 12

11

5. DESARROLLO DE LA PROPUESTA.

Para desarrollar la presente Propuesta de Secuencia Didctica para lograr un aprendizaje

significativo del Concepto De Funcin Lineal por medio del empleo de herramientas

computacionales lo haremos bajo el enfoque denominado micromundo.

5.1. COMPONENTES DEL MICROMUNDO .

Las componentes descritas por Hoyles, C y Noss, R. (1985) en relacin a un micromundo se

atendern de la siguiente manera.

5.1.1 Componente Tcnico:

Al programar en lenguaje LOGO se exploran y utilizan conceptos matemticos de manera

implcita, por lo que como consecuencia natural el alumno los aprende casi sin proponrselos.

Por tal razn el componente tcnico principal de la SESIN UNO es el uso de ste lenguaje de

programacin.

El software dinmico es una herramienta til en la construccin de representaciones de entidades

geomtricas (puntos, segmentos, rectas, parbolas, crculos, polgonos, etc.) y permite la

comprensin de una particular estructura matemtica, ya sea por observacin o por

manipulacin.

En GeoGebra los estudiantes tienen la oportunidad de mover estas representaciones y observar

cambios o invariantes en el proceso de anlisis del problema. La observacin de invariantes en

una representacin es sumamente importante para hacer conjeturas. Adems ofrece una

herramienta poderosa para examinar relaciones geomtricas desde diversos ngulos (Goldenberg

& Cuoco, 1998). Por estas razones en la SESIONES DOS GeoGebra es el componente tcnico

principal.

12

Cabe aclarar que adems de las ventajas ya mencionadas que los componentes brindan al

estudiante para la comprensin del concepto de funcin lineal, tambin fueron elegidos porque

permiten caracterizar los problemas planteados.

5.1.2. Componente pedaggico

Cada una de las sesiones se desarrolla empleando el componente tcnico mencionado

anteriormente y adems se seala claramente la actividad que debe realizar tanto el maestro

como el estudiante, las hojas de trabajo a utilizar en clase, as como las tareas a efectuar fuera del

saln. El maestro como un aspecto fsico del componente pedaggico es deseable que cubra los

siguientes prerrequisitos:

! Es un facilitador y mediador de aprendizajes con disposicin a entrar en el mundo de la

tecnologa y hacer de sta una herramienta para lograr aprendizajes significativos.

! Respetuoso y disciplinado, con la capacidad para disear estrategias y ambientes de

aprendizaje.

! En su interaccin con los alumnos evita convertirse en el protagonista de la clase y dar la

solucin a los problemas planteados. Ms bien, propicia que en la interaccin alumno-

alumno haya un intercambio de experiencias, conocimientos y aprendizajes.

5.1.3. Componente contextual

Los problemas que se desarrollan en cada sesin, en las hojas de trabajo y en las tareas son

tomados del entorno social y cultural inmediato con la finalidad de darle sentido a su resolucin.

En lo posible se integrarn parejas de estudiantes para desarrollar un trabajo colaborativo que

permita la interrelacin e intercambio de ideas, pistas, conjeturas.

5.1.4. Componente alumno

Para el aspecto cognitivo es deseable que el alumno tenga los siguiente prerrequisitos:

13

! Conocimientos relativos a ecuaciones de primer grado con una incgnita

! Ha resuelto problemas que generan ecuaciones de primer grado con dos incgnitas.

! Conoce la representacin tabular de una ecuacin de primer grado con dos incgnitas.

! Ha trabajado en el plano cartesiano.

! Conocimiento de algunas primitivas de LOGO

! Conocimientos bsicos de GeoGebra.

Para el aspecto afectivo es necesario que el profesor en su interaccin con los alumnos les aliente

a trabajar considerando que el fracaso slo es una oportunidad de reconstruir lo que estaba mal

hecho.

5.2. SESIN 1.

El escenario didctico para sta sesin se encuentra en los anexos, aqu solo se expresan las

actividades a realizar por el profesor durante la sesin, la sesin misma, y la Actividad a realizar

por parte del alumno.

5.2.1 ACTIVIDAD DE L PROFESOR (Act. 1M).

Descripcin:

Introduccin a las ideas intuitivas de los conceptos: funcin, variable dependiente, variable

independiente y regla de correspondencia, mediante el empleo de las primitivas DEVUELVE y

ESCRIBE del programa LOGO en la creacin de un procedimiento.

Propsito(s) de la Actividad 1

Acercar al alumno a una idea intuitiva de los conceptos: funcin, variable dependiente, variable independiente y regla de correspondencia.

Requisitos Tecnolgicos

Tener instalado en las mquinas MSWLogoEmat y conocer: ! Uso de variables ! Operaciones LOGO predefinidas (suma, resta, etc.) ! Uso de la primitiva DEVUELVE (DEV) ! Construccin de procedimientos usando DEV

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! Apertura

Apoyndose en la comparacin con las mquinas revolvedoras y hornos de fundicin, hacer ver

al alumno que las funciones operan de manera similar. Es recomendable solicitar a los

estudiantes que den ejemplos.

! Desarrollo

A travs de la idea de mquinas de funcin que transforman un valor de entrada, mediante una

regla, en un valor de salida, acercar al alumno a la idea intuitiva del concepto FUNCIN.

Construir en LOGO el procedimiento llamado PAGAR para mostrar el uso de las primitivas

DEVUELVE y ESCRIBE, haciendo ver a los alumnos que:

o! En programacin LOGO el comando DEV (o DEVUELVE) sirve para dar salida a

un valor de entrada al que se le aplica cierta regla.

o! LOGO reconoce una variable si el nombre de la variable es precedido por dos puntos

:

o! Para que LOGO te d el valor de salida ingresa ES, deja un espacio, ingresa

SALIDA , deja un espacio, e ingresa finalmente el valor de entrada que desees.

o! Deben llenar la Tabla 1

! Uso de la primitiva ESCRIBE (ES)

Prerrequisitos Matemticos

! Conocimientos aritmticos bsicos ! Conocer el tema: Problemas que dan origen a

ecuaciones de primer grado con dos incgnitas.

Contenidos Matemticos correspondientes con el

programa de Matemticas I

! Nocin de cantidad constante. ! Nocin de cantidad variable. ! Nocin de Funcin. ! Representacin tabular de una funcin. ! Graficacin.

!"# $%&"%# ("&"%)# *"# +","&-"# ./"# ")# %)/$&0# 1-"&,121./"#./3# #4%)0"*# *"# $%&,1"&" 50&*,%&,"*#-/%&,"# ,0-0# ")# +05"-1$1"&,06# 5/7)"*# 5%$81% 9# ./3# )0*# ")%510&%:#;"# "*+"%# ./"##"*,0 #+"$1,%#%)5%&

15

! Cierre.

! Con apoyo en las ideas intuitivas desarrolladas por los alumnos (lluvia de ideas)

formalizar los conceptos: funcin, variable dependiente, variable independiente y regla

de correspondencia.

! Solicitar que efecten la Act. 1A

5.2.2. DESARROLLO DE LA SESIN 1 .

Si a una mquina revolvedora (en operacin) le viertes dentro arena, grava, cemento y agua (en

el orden adecuado), al vaciar la mquina revolvedora obtendrs una mezcla llamada concreto.

Si esos mismos materiales (arena, grava, cemento y agua) los viertes dentro de un horno de

fundicin a alta temperatura crees que tambin obtengas como resultado final la misma mezcla

llamada concreto?

En matemticas una funcin es una regla para convertir un elemento dado (por ejemplo un

nmero) en otro elemento (en otro nmero, siguiendo con el mismo ejemplo). Al elemento dado

se le llama entrada y al otro elemento se le llama salida.

La regla puede estar dada no solo como una formula (representacin simblica), sino tambin de

manera implcita en una tabla, en una grfica, o por medio de una expresin verbal.

Ejemplos:

1) Representacin tabular de una funcin.

Puedes deducir la regla y expresarla como una formula en

la que ingreses el valor de x y te devuelva el valor de f(x)?

x f(x) -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 2

16

2) Representacin verbal de una funcin (segunda columna) y de manera simblica (tercera

columna).

En programacin LOGO el comando DEV (o DEVUELVE) sirve para dar salida a un valor

dado al que se le aplica cierta regla. Recuerda que LOGO reconoce una variable si el nombre de

la variable es precedido por dos puntos :

El siguiente problema nos servir para ver la utilidad del comando DEV

Para convertir :minutos

dev 60*:minutos

fin

para pagar :minutos

dev 8.5+60*:minutos*0.05

fin

Entrada: 5 (pudo haber sido 4,3,2, cualquier valor numrico)

*****3 4

Regla: Triplica el resultado obtenido de la suma de la

entrada y 1.7 3*(5+1.7)

. # ! 53 $ ( 67- . (5) = 3(5+1.7)

Salida: 20.10 . 54-= 20.10

La tarifa del servicio pblico de taxis en la Ciudad de Mxico tiene un costo de $8.50 el

banderazo y $0.05 por cada segundo que dure el viaje. Desarrolla dos procedimientos

en LOGO, usando la primitiva DEVUELVE, uno que te permita convertir los minutos a

segundos y otro que te permita obtener la cantidad a pagar para 5,6,7,8,9 y 10 minutos

de viaje.

17

Para que practiques:

Llena la Tabla 1 usando el procedimiento anterior.

Minutos de viaje 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Pagar

Ahora te toca a ti:

! En la hoja de trabajo 1, resuelve la Act. 1A, sigue las instrucciones ah dadas.

5.2.3. ACTIVIDAD DEL ALUMNO (Act. 1A)

Lee detenidamente el siguiente problema:

Un estudiante de tercer ao de preparatoria que trabaja en el departamento de telefona celular

de Coppel gana semanalmente $350.00 de salario fijo, mas una bonificacin de $35.00 por

cada telfono celular que venda. Cunto ganara si vendiera en la semana 15, 16,19 o 20

telfonos celulares?

Crea en LOGO un procedimiento (llmale SALARIO) que te permita resolver el problema

anterior y llena la tabla siguiente con los valores obtenidos. Se ha convenido que en la tabla se

llame x al valor de entrada y que se llame f(x) al valor de salida.

Procedimiento en LOGO

`Pon a prueba tu procedimiento!

Valor de entrada 58- Funcin Valor de salida 9 8 15 Gana semanalmente $350.00 de salario fijo, mas una

bonificacin de $35.00 por cada telfono celular que venda

16 17 18 19 20 Escribe la expresin simblica de la forma 9 8 :8 $ ; de la funcin

PARA___________________________ DEV____________________________ FIN

18

Con relacin a lo que acabas de hacer, contesta:

! Qu valor(es) cambia(n) durante ste procedimiento?

________________________________________________________________________

! Qu valor(es) NO cambia(n) durante ste procedimiento?

________________________________________________________________________

Con los valores obtenidos en la tabla anterior, ubica los puntos (*#

19

PRUEBA CON ALGUNOS CAMBIOS

EJEMPLO:

Construye en LOGO un procedimiento que reciba 3 valores de entrada, /

20

Grafica ambos casos en el sistema rectangular siguiente.

! Las representaciones graficas de las funciones (las lneas rectas) son paralelas? Justifica

tu respuesta.

! Qu relacin encuentras entre el valor de 250 y 150 con el eje de las &?

! Caso III: retoma el ejemplo dado y ahora mantn 450 y cambia 25 en lugar de 35, corre el

procedimiento.

! Caso IV: Mantn 450, cambia ahora 15 en lugar de 25 y corre el procedimiento.

! Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos Caso III Caso IV # . 5#- # . 5#- 0 0 3 3 6 6 9 9 12 12 15 15

21


tu respuesta.

___________________________________________________________________

! Qu relacin encuentras entre los valores 15 y 25 y la inclinacin de las rectas?

___________________________________________________________________

No olvides guardar tu trabajo en un archivo con tus iniciales seguido de ACT1 (Ejemplo: Ernesto

Bravo Daz EBD_ACT1) y enviarlo a [email protected]

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5.3. SESIN 2.

El escenario didctico para sta sesin se encuentra en los anexos, aqu solo se expresan las

actividades a realizar por el profesor durante la sesin, la sesin misma, y la Actividad a realizar

por parte del alumno.

5.3.1 ACTIVIDAD DEL PROFESOR (Act. 2M).

DESCRIPCIN:

Mediante ideas intuitivas llegar a la conceptualizacin de: pendiente, ordenada al origen, forma

de la funcin lineal, representacin grfica de la funcin lineal, dominio y contradominio.

! Apertura

Mencionar a los alumnos varios ejemplos de situaciones reales que pueden modelarse como

funciones lineales y pedir a ellos que mencionen ms ejemplos.

Propsito(s) de la Actividad 2

! Mediante la exploracin de la grfica de una funcin lineal acercar al alumno a la interpretacin, y posterior conceptualizacin de: pendiente (m) y ordenada al origen (b).

! Que el alumno adquiera ideas relativas a nociones de dominio y contradominio de una funcin.

Requisitos Tecnolgicos De GeoGebra

! Uso de VISTA GRAFICA (preferencias). ! Uso de comando PUNTO. Situar puntos (mvil sobre f).

Prerrequisitos Matemticos

! Conocimiento del plano cartesiano. ! Ubicacin de puntos en plano cartesiano.

Contenidos Matemticos correspondientes con el

programa de Matemticas I

! Nocin de pendiente ! Nocin de ordenada al origen ! Nocin de Funcin Lineal ! Representacin grfica de una funcin lineal.

!"#$%&"%#("&"%)#*"#+","&-"#./"#")#%)/$&0#1&,"+","#")#*1(&1215%-0#-"#)%#+"&-1"&,"#50$0#/&%#%

23

! Desarrollo

Mediante el archivo GeoGebra 1:

o! Realizar actividades exploratorias que resultan de arrastrar o mover objetos particulares

de la grfica, con la idea de detectar y explorar invariantes o relaciones matemticas y si

dichas relaciones son vlidas para una familia de casos.

Por ejemplo:

o! Manipular un punto mvil (A) a lo largo de la grfica de la funcin lineal y resaltar que

en la ventana grfica se muestran las coordenadas del punto en cada nueva posicin.

Hacer ver a los alumnos que cada par de coordenadas (x, y) dan solucin a la funcin,

pero eso no implica que cada punto sea solucin del problema planteado.

o! Mostrar que los puntos que dan solucin al problema planteado no forman una recta

sino que son un conjunto de puntos situados sobre la recta correspondiente a la

representacin grfica de la funcin lineal.

o! Aqu se pueden dar nociones de dominio y contradominio de la funcin.

! Cierre

! Con apoyo en las ideas intuitivas desarrolladas por los alumnos (lluvia de ideas)

formalizar los conceptos: pendiente (m), ordenada al origen (b), dominio,

contradominio y funcin lineal.

! Solicitar que efecten la Act. 2A

5.3.2. DESARROLLO DE LA SESIN 2.

! En un servicio de telefona celular de prepago el costo de un mensaje de texto enviado es

de $0.88. Lo que significa que si mandas 5 mensajes estars consumiendo $ 4.40 de tu

saldo, si mandas 8 mensajes estars consumiendo $ 7.04.

24

! El costo del servicio de taxi en la ciudad de Guadalajara es de $14.00 por abordarlo ms

$2.00 por cada minuto que dure tu viaje. Es decir que por un viaje que dure 10 minutos

pagars $14.00 + $2.00 (10). Si tu viaje dura 27 minutos pagaras $14.00 + $2.00 (27).

Situaciones como las anteriores son innumerables en la vida cotidiana y pueden ser modeladas

como funciones.

Mediante el software de geometra dinmica GeoGebra participaremos en actividades

exploratorias que resultan de arrastrar o mover objetos particulares dentro de la representacin

grafica del problema siguiente, con la idea de detectar y explorar invariantes o relaciones

matemticas y si dichas relaciones son vlidas para una familia de casos o son casos aislados.

Solucin.

Como lo vimos en el tema problemas que dan origen a ecuaciones lineales de primer grado,

ste problema puede representarse por:

# = cantidad de camisas que puede comprar.

& = cantidad de pantalones que puede comprar.

Como cada camisa cuesta $ 300.00, la cantidad que invierta en la compra de las camisas es:

(300) (#) o simplemente 300#

Como cada pantaln cuesta $ 400.00, la cantidad que invierta en la compra de los pantalones es:

(400) (&) o simplemente 400&

UncomerciantevaalDFacomprarmercancaparasurtirsutiendaderopa.Sisabe

queporcadacamisaquecomprelecobran$300.00y$400.00porcadapantaln.

Obtn la grfica que le#+"$1,%# *%8"6# A5/7&,%*# 5%$1*%*# 9# 5/7&,0*# +%&,%)0&"*#+/"-"#50$+%#50B#@CD6DDD:DDE#9#AF=$0#*"#")%510&%#)%#5%&,1-%-#-"#5%$1*%*#50

)%#5%&,1-%-#-"#+%&,%)0&"*#./"#+/"-"#50$+%#50B#@CD6DDD:DDE#

25

Finalmente, lo que invierta en la compra de las camisas ms lo que invierta en la compra de los

pantalones debe ser exactamente igual a $ 120,000.00

!"" # $ %""& ()" *"""

Despejando & (pudimos despejar #)

%""& ()" *""" + !"" #

& ()" *""" + !"" #

%""

& !" +!%

#****, ****& +!%

# $ !" *

Si decimos que la cantidad de pantalones a comprar dependa de la cantidad de camisas que se

compren, entonces podemos expresar la ecuacin anterior como:

& . # +!%

# $ !"

O simplemente:

. # +!%

# $ !"

La grafica correspondiente de sta funcin es.

26

Sin embargo no todos los puntos de la grfica dan solucin al problema planteado.

En la grfica podemos visualizar las diferentes soluciones al problema planteado.

5.3.3. ACTIVIDAD DEL ALUMNO (Act. 2 A).

Dado el siguiente problema:

! Obtn la funcin lineal,

! Construye su grfica en GeoGebra (guarda el archivo con el nombre GeoGebra 2),

! Y en la hoja de clculo de GeoGebra obtn las parejas ( x, f(x) ) para x = 1, 2,19, 20.

Con la grfica y en relacin al problema planteado, contesta:

! Qu diferentes cantidades de libros y paquetes de tiles escolares pueden comprar?

Antalas en la tabla siguiente y comprueba haciendo operaciones.

Cantidad de libros

Cantidad de paquetes de

tiles escolares

Total a pagar

0 32 0($80) + 32($50) = 1,600.00

1)! Cualquier pareja de puntos sobre la recta da solucin al problema? Justifica tu respuesta.

_____________________________________________________________________

!"#$%&%%($)*#$+,($*-(#+.$/0-$1+).*-$/%*&*&$20*$(31.+.$#%4.(-$5$6/%#*-$*-(#+.*-$1+.+$/%$

5$ /0-$ 7$ 8*.3+&(-9$ :(-$ 1.*%(-$ 3;-$ 4+(3+?9$"8=$ #*-$+*1/+&$-0$@+#*$)*#$>(4%*.&($)*#$A%-/.%/($B*)*.+#$C20*$*-$)*$0&$3(&/($)*$DEFGHH9HHIF$$

#*-$ (J.**&$ +)+$ #%4.($ +$ DKH9HH$ 5$ *#$ 1+20*/*$ )*$ 6/%#*-$ *-(#+.*-$ C7$ 0+)*.&(-F$ )(-$

4(#=>.+J(-$5$ )(-$#;1%*-I$+$DLH9HHM$1*.($ )*4*&$>+-/+.$ /()($*#$@+#*$*N#0-%@+3*&/*$*&$*-(-$)(-$/%1(-$)*$1.()0/(-?9 !

27

_____________________________________________________________________

2)! Qu intervalo de valores puede tomar # , en relacin a la funcin? Justifica tu respuesta.

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

3)! Qu intervalo de valores puede tomar & , en relacin a la funcin? Justifica tu respuesta.

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

4)! La funcin . # = >?

*# $ !) es de la forma . # / *# $ 0. Con respecto a la

cantidad de libros y paquetes de tiles escolares, Qu interpretacin le das a m?

________________________________________________________________________

___________________________________________________________



6. ANEXOS

! Escenario didctico para la sesin 1.

! Escenario didctico para la sesin 2.

! Hoja de Trabajo 1 (Act. 1A)

! Hoja de Trabajo 2 (Act. 2A)

! Hoja de Trabajo 1con respuestas esperadas (Act. 1A)

! Hoja de Trabajo 2 con respuestas esperadas (Act. 2A)

28

ESCENARIO DIDCTICO PARA LA SESIN 1

El desarrollo detallado de la sesin 1 se encuentra en el documento DESARROLLO DE LA SESIN 1

Las actividades de profesor para la SESIN 1 se detallan en el documento denominado Act. 1M

La Actividad 1 del alumno se especifica en el documento denominado Act. 1A

Mom

ento

Funcin Actividades del Estudiante

Actividades del Profesor

Estrategias didcticas

Recursos didcticos

!"#$

%&

$

1. Reconocer el entorno.

1. Expresa verbalmente ejemplos de situaciones del entorno en las que se aprecie relacin entre varios elementos (nmeros, objetos, etc.)

1. Precisa las ideas de los alumnos. 1. Lluvia de ideas

1. Pintarrn 2. Marcadores para pintarrn 3. Gua del maestro para la Actividad 2.

(#)$

$*+

+*,

2. Adquirir y organizar nueva informacin.

2. Observa el desarrollo del ejemplo propuesto por el profesor.

1. Desarrolla de manera detallada el ejemplo.

1. Exposicin del Profesor.

! Computadora ! Proyector ! LOGO

3. Procesar nueva informacin.

3. Cuestiona al profesor respecto a sus dudas. 4. De manera colaborativa con sus pares concluye el ejercicio iniciado por el profesor.

1. Resuelve las dudas surgidas en clase pero sin resolver el problema propuesto. 2. Aprovecha los errores cometidos por los estudiantes para precisar conocimientos y propiciar el aprendizaje.

1. Trabajo colaborativo estudiante-estudiante.

! Computadora ! LOGO

Cie

rre

4. Aplicar, transferir informacin.

5. Expresa verbalmente los nuevos conocimientos adquiridos. 6. Toma nota de los nuevos conceptos. 7. Realiza la Actividad 1

1. Precisa las ideas. 2. Define conceptos, procedimientos y aprendizajes.

1. Lluvia de ideas. 2. Exposicin del Profesor.

1. Cuaderno de notas. 2. Actividad 1A

5. Tomar conciencia (metacognicin)

Se cuestiona sobre: Qu aprend? Que no pude aprender? Por qu no pude aprender? Para que me sirve este nuevo conocimiento?

29

ESCENARIO DIDCTICO PARA LA SESIN 2

El desarrollo detallado de la sesin 2 se encuentra en el documento DESARROLLO DE LA SESIN 2

Las actividades del profesor para la SESIN 2 se detallan en el documento denominado Act. 2M

La Actividad 2 del alumno se especifica en el documento denominado Act. 2A

Mom

ento

Funcin Actividades del Estudiante

Actividades del Profesor

Estrategias didcticas

Recursos didcticos

!"#$

%&

$ 1. Recuperar conocimientos previos.

1. Expresa verbalmente ejemplos de situaciones del entorno en las que se aprecie relacin entre varios elementos (nmeros, objetos, etc.)

1. Expresa verbalmente ejemplos de situaciones que pueden modelarse como funciones. 2. Retoma informacin previa.

1. Lluvia de ideas 2. Exposicin del profesor

1. Cuaderno de notas. 2. Gua del maestro para la Actividad 2.

(#)$

$*+

+*,

2. Adquirir y organizar nueva informacin.

2. Atiende el desarrollo del ejemplo propuesto por el profesor.

1. Desarrolla de manera detallada el ejemplo.

Exposicin del Profesor.

! Computadora ! Proyector ! GeoGebra

3. Procesar nueva informacin.

3. Cuestiona al profesor respecto a sus dudas. 4. Sigue el desarrollo del ejemplo dado en su computadora junto con un compaero.

1. Resuelve las dudas surgidas en clase pero sin resolver el problema propuesto. 2. Aprovecha los errores cometidos por los estudiantes para precisar conocimientos y propiciar el aprendizaje.

Trabajo colaborativo estudiante-estudiante.

! Computadora ! GeoGebra

Cie

rre

4. Aplicar, transferir informacin.

5. Expresa verbalmente los nuevos conocimientos adquiridos. 6. Toma nota de los nuevos conceptos. 7. Realiza la Actividad 2

1. Precisa las ideas. 2. Define conceptos, procedimientos y aprendizajes.

Lluvia de ideas. Exposicin del Profesor.

Cuaderno de notas. Actividad 2A

5. Tomar conciencia (metacognicin)

Se cuestiona sobre: Qu aprend? Que no pude aprender? Por qu no pude aprender? Para que me sirve este nuevo conocimiento?

!

(Act. 1a)


Un estudiante de tercer ao de preparatoria que trabaja en el departamento de telefona

celular de Coppel gana semanalmente $350.00 de salario fijo, ms una bonificacin de $35.00

por cada telfono celular que venda. Cunto ganara si vendiera en la semana 15, 16,19 o

20 telfonos celulares?


anterior. Llena la tabla siguiente con los valores obtenidos. Se ha convenido que en la tabla se

llame ! "al valor de entrada y que se llame #$! % al valor de salida.



Valor de entrada $&% Funcin Valor de salida & 15 Gana semanalmente $350.00 de salario fijo, mas una


16 17 18 19 20 Escribe la expresin simblica de la forma & ( )& * + de la funcin


! Qu valor(es) cambia(n) durante este procedimiento?

___________________________________________________________________

! Qu valor(es) NO cambia(n) durante el procedimiento?

________________________________________________________________________

________________________________________________________

Con los valores obtenidos en la tabla anterior, ubica los puntos ("! ,# ! "% en el siguiente sistema

rectangular, y nelos de izquierda a derecha (prolonga en ambas direcciones).

!"#$#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% !& ( !%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% !) *+

!

Qu figura se forma? ________________________________

Qu relacin encuentras entre el valor $ 350 que aparece en la funcin y el eje de las ordenadas

(eje Y)?_____________________________________________________


!

!

!

EJEMPLO:

!

En LOGO tambin es posible, adems de trabajar con algunas operaciones

predefinidas, trabajar con funciones que reciban dos o mas valores de entrada.

sta operacin se pueden usar de la siguiente manera:

PRODUCTO ,!+-./012 ! ,!+-./013 !

!

Construye en LOGO el procedimiento mostrado en el ejemplo, (que reciba 3 valores de entrada,

- , ! , . ).

Ingresa valores de entrada para ! = {0,3,12,15} pero:

! ! Caso I. Mantn 35 y cambia 450 por 250, corre el programa. ! ! Caso II. Mantn 35 y cambia ahora 250 por 150, corre nuevamente el programa. ! Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos

Caso I Caso II ! ! #$! %! ! ! ! #$! %!4! ! ! 4! !5! ! ! 5! !6! ! ! 6! !7! ! ! 7! !23! ! ! 23! !28! ! ! 28! !


tu respuesta.

__________________________________________________________________

!

! Qu relacin encuentras entre el valor de 250 y 150 con el eje de las / ?

___________________________________________________________________

! ! Caso III: retoma el ejemplo dado y ahora mantn 450 y cambia 25 en lugar de 35, corre el

procedimiento.

! ! Caso IV: Mantn 450, cambia ahora 15 en lugar de 25 y corre el procedimiento.

! Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos Caso III Caso IV ! ! #$! %! ! ! ! #$! %!4! ! ! 4! !5! ! ! 5! !6! ! ! 6! !7! ! ! 7! !23! ! ! 23! !28! ! ! 28! !

!


tu respuesta.-

___________________________________________________________________


___________________________________________________________________



!

(Act. 2a)


! Obtn la funcin lineal en forma simblica (en la forma "# ! ( - "! * . )

! Obtn su grfica en GeoGebra (guarda el archivo con el nombre GeoGebra 2)

! En la hoja de clculo de GeoGebra obtn las parejas ( x, f(x) ) para x = 1, 2,19, 20


! Qu diferentes cantidades exactas de libros y paquetes de tiles escolares pueden

comprar?, antalas en la tabla siguiente y comprueba haciendo operaciones.

Cantidad de libros


tiles escolares

Total a pagar

0 32 0($80) + 32($50) = 1,600.00


_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Al inicio del ao escolar tus padres tienen que comprar libros y tiles escolares

para ti y tus 2 hermanos. Los precios ms bajos estn en la papelera La goma. Ah les aceptan su vale del gobierno del Distrito Federal (que es de un monto de

$1,600.00), les ofrecen cada libro a $80.00 y el paquete de tiles escolares (2

cuadernos, dos bolgrafos y dos lpices) a $50.00; pero deben gastar todo el vale

exclusivamente en esos dos tipos de productos.

!

6)! Qu intervalo de valores puede tomar ! , en relacin a la funcin? Justifica tu respuesta.

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

7)! Qu intervalo de valores puede tomar / , en relacin a la funcin? Justifica tu respuesta.

________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

8)! La funcin que obtuviste es de la forma # ! ( - "! * . . Con respecto a la cantidad de

libros y paquetes de tiles escolares, Qu interpretacin le das a m?

________________________________________________________________________

___________________________________________________________



!

Un estudiante de tercer ao de preparatoria que trabaja en el departamento de telefona

celular de Coppel gana semanalmente $350.00 de salario fijo, ms una bonificacin de $35.00

por cada telfono celular que venda. Cunto ganara si vendiera en la semana 15, 16,19 o

20 telfonos celulares?


anterior. Llena la tabla siguiente con los valores obtenidos. Se ha convenido que en la tabla se

llame ! "al valor de entrada y que se llame #$! % al valor de salida.



Valor de entrada $&% Funcin Valor de salida & 15 Gana semanalmente $350.00 de salario fijo, mas una


875 16 910 17 945 18 980 19 1015 20 1050 Escribe la expresin simblica de la forma & ( )& * + de la funcin


! Qu valor(es) cambia(n) durante este procedimiento?

La cantidad de celulares vendidos y el salario total percibido, es decir los valores de

entrada y de salida_____________________

! Qu valor(es) NO cambia(n) durante el procedimiento?

El salario fijo que es de $ 350 y la bonificacin por pieza vendida que es de $35

!"#$#%9#:#$*; !, +, +

!

Con los valores obtenidos en la tabla anterior, ubica los puntos ("! ,# ! "% en el siguiente sistema

rectangular, y nelos de izquierda a derecha (prolonga en ambas direcciones).

Qu figura se forma? ___una lnea recta________________

Qu relacin encuentras entre el valor $ 350 que aparece en la funcin y el eje de las ordenadas

(eje Y)?____que indica en donde se intersectan la recta y el eje de las ordenadas.______


!

!

!

EJEMPLO:

!

En LOGO tambin es posible, adems de trabajar con algunas operaciones

predefinidas, trabajar con funciones que reciban dos o mas valores de entrada.

sta operacin se pueden usar de la siguiente manera:

PRODUCTO ,!+-./012 ! ,!+-./013 !

!

Construye en LOGO el procedimiento mostrado en el ejemplo, (que reciba 3 valores de entrada,

- , ! , . ).

Ingresa valores de entrada para ! = {0,3,12,15} pero:

! ! Caso I. Mantn 35 y cambia 450 por 250, corre el programa. ! ! Caso II. Mantn 35 y cambia ahora 250 por 150, corre nuevamente el programa. ! Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos

Caso I Caso II ! ! #$! %! ! ! ! #$! %!4! 384! ! 4! 284!5! 588! ! 5! 388!6! ?64! ! 6! 564!7! 868! ! 7! ?68!23! 6@4! ! 23! 8@4!28! @@8! ! 28! 6@8!


tu respuesta.

__si son paralelas porque la distancia entre ellas es constante_____________________

! Qu relacin encuentras entre el valor de 250 y 150 con el eje de las / ?

Es donde la recta se corta con el eje de las ordenadas____________________

! ! Caso III: retoma el ejemplo dado y ahora mantn 450 y cambia 25 en lugar de 35, corre el

procedimiento.

!

! ! Caso IV: Mantn 450, cambia ahora 15 en lugar de 25 y corre el procedimiento.

! Llena las tablas siguientes y grafica ambos casos Caso III Caso IV ! ! #$! %! ! ! ! #$! %!4! ?84! ! 4! ?84!5! 838! ! 5! ?78!6! 644! ! 6! 8?4!7! 6@8! ! 7! 8A8!23! @84! ! 23! 654!28! A38! ! 28! 6@8!


tu respuesta._____no son paralelas porque se interceptan______________________


__que entre mas grande sea ese valor mas inclinada esta la recta___________________



!


! Obtn la funcin lineal en forma simblica (en la forma "# ! ( - "! * . )

# ! (3 45

"! * 67"

! Obtn su grfica en GeoGebra (guarda el archivo con el nombre GeoGebra 2)

! En la hoja de clculo de GeoGebra obtn las parejas ( x, f(x) ) para x = 1, 2,19, 20


! Qu diferentes cantidades exactas de libros y paquetes de tiles escolares pueden

comprar?, antalas en la tabla siguiente y comprueba haciendo operaciones.

Cantidad de libros


tiles escolares

Total a pagar

0 32 0($80) + 32($50) = 1,600.00 5 24 5($80) + 24($50) = 1,600.00!10 16 10($80) + 16($50) = 1,600.00!15 8 15($80) + 8($50) = 1,600.00!20 0 20($80) + 0($50) = 1,600.00!


Al inicio del ao escolar tus padres tienen que comprar libros y tiles escolares

para ti y tus 2 hermanos. Los precios ms bajos estn en la papelera La goma. Ah les aceptan su vale del gobierno del Distrito Federal (que es de un monto de

$1,600.00), les ofrecen cada libro a $80.00 y el paquete de tiles escolares (2

cuadernos, dos bolgrafos y dos lpices) a $50.00; pero deben gastar todo el vale

exclusivamente en esos dos tipos de productos.

!

No. Porque se trata de cantidades enteras pues no pueden comprarse un libro y 30.4

paquetes de tiles escolares_______________________________________________

10)!Qu intervalo de valores puede tomar ! , en relacin a la funcin? Justifica tu respuesta.

Cualquier nmero real, desde -! hasta +! , porque la grafica se puede prolongar

infinitamente hacia ambos lados.

11)!Qu intervalo de valores puede tomar / , en relacin a la funcin? Justifica tu respuesta.

Cualquier nmero real, desde -! hasta +! , porque la grafica puede prolongarse

infinitamente hacia arriba y hacia abajo.

12)!La funcin que obtuviste es de la forma # ! ( - "! * . . Con respecto a la cantidad de

libros y paquetes de tiles escolares, Qu interpretacin le das a m?

A medida que compre ms libros la cantidad de paquetes escolares que pueda comprar

disminuye. Es decir, por cada 5 libros que compre dejara de comprar 8 paquetes de tiles

escolares. El valor de m da esta relacin o proporcin, es una razn de cambio.



!

BIBLIOGRAFIA:

Santos, T.L.M. (Julio, 2006). La Educacin Matemtica, resolucin de problemas, y el empleo

de herramientas computacionales. Trabajo presentado en la XII Conferencia

Interamericana de Educacin Matemtica, celebrada en Quertaro, Mxico.

Cuadernos de Investigacin y Formacin en Educacin Matemtica. 2011. Ao 6. Nmero

8. pp 35-54. Costa Rica

PROPUESTA DIDÁCTICA Función Lineal

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