transformada rapida de fourier y transformada discreta de fourier
PROPIEDADES DEL DESARROLLO EN SERIE DE...
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SISTEMAS LINEALES
TABLAS
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Propiedad Señal Transformada ROC
( )tx
( )tx1
( )tx2
X s( )
( )sX1
( )sX2
R
R1
R2
Linealidad ( ) ( )ax t bx t1 2+ ( ) ( )aX s bX s1 2+ Al menos R R1 2∩
Desplazamiento en el tiempo ( )x t t− 0 e X sst− 0 ( ) R
Desplazamiento en el dominio s ( )e x ts t0 X s s( )− 0 Versión desplazada de R ( es decir, s está en la ROC
si s-s0 está en R)
Escalado en el tiempo ( )x at 1a
X sa
ROC escalada (es decir, s está en la ROC si s/a está
en R)
Conjugación ( )tx* ( )** sX R
Convolución ( ) ( )x t x t1 2∗ ( ) ( )X s X s1 2 Al menos R R1 2∩
Diferenciación en el dominio del tiempo.
( )d x tdt
sX s( ) Al menos R
Diferenciación en el dominio s ( )−tx t ( )dds
X s R
Integración en el dominio del tiempo. ( )x d
tτ τ
−∞∫ ( )1s
X s Al menos
R s∩ >Re 0
Teoremas del valor inicial y final.
Si para t < 0 y no contiene impulsos o funciones singulares de orden superior en ( ) 0tx = ( )tx0t = , entonces
( ) ( )ssXLim0xx ∞→
+ =
( ) ( )ssXLimtxLim0st →∞→
=
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES
SEÑAL TRANSFORMADA ROC
( )δ t 1 Todo s
( )u t 1s
Re s > 0
( )− −u t 1s
Re s < 0
( ) ( )tn
u tn−
−
1
1 !
1sn Re s > 0
( ) ( )−−
−−t
nu t
n 1
1 !
1sn Re s < 0
( )e u tt−α 1s + α
Re s > −α
( )− −−e u ttα 1s + α
Re s < −α
( ) ( )tn
e u tn
t−
−−
1
1 !α ( )
1
s n+ α Re s > −α
( ) ( )−−
−−
−tn
e u tn
t1
1 !α ( )
1
s n+ α Re s < −α
( )δ t T− e sT− Para todo s
[ ] ( )cosω0t u t ss2
02+ ω
Re s > 0
[ ] ( )senω0t u t ω
ω0
202s +
Re s > 0
[ ] ( )e tt−α ωcos 0 u t ( )
s
s
+
+ +
α
α ω202
Re s > −α
[ ] ( )e tt−α ωsen 0 u t ( )
ω
α ω0
202s + +
Re s > −α
( ) ( )n
n
n dttdtu δ
= ns Para todo s
( ) ( ) ( )vecesn
n tu**tutu =− ns1
Res > 0
PROPIEDADES DE LA SERIE CONTINUA DE FOURIER
Propiedad Señal Periódica Coeficientes de la serie
( )( )
tytx
Periódicas de periodo T y
frecuencia fundamental T20 π=ω
ak
bk
( ) tjk
kkT
0eatx ω∞
−∞=∑= ( )∫ ω−=
Ttjk
k dtetxT1a 0
x(t) Señal par ( ) ( )∫ ω=2T
0 0k dttkcostxT2a
Obtención de coeficientes
x(t) Señal impar ( ) ( )∫ ω−=2T
0 0k dttksentxT
j2a
Linealidad ( ) ( )tyBtxA + kk bBaA +
Desplazamiento en el tiempo ( )0ttx − 00tjkk ea ω−
Desplazamiento en frecuencia ( ) tjM 0etx ω Mka −
Conjugación ( )tx* ∗−ka
Inversión de tiempo ( )tx − ka −
Escalamiento en el tiempo ( ) 0,tx >αα (Periódica de periodo T/α) ka
Convolución periódica ( ) ( )∫ ττ−τT
dtyx kk baT
Multiplicación ( ) ( )tytx ∑∞
−∞=−
ppkpba
Diferenciación ( )dt
tdx k0 ajkω
Integración ( )∫ ∞−ττ
tdx (de valor finito y periódica
solo si a 00 = ) k0
ajk
1ω
Simetría conjugada para señales reales.
( )tx Señal real
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ]
ϕ−=ϕ
=
−==
=
−
−
−
−
∗−
kk
kk
kmkm
keke
kk
aaaa
aIaIaRaR
aa
Señal real y par x(t) real y par ak real y par Señal real e impar x(t) real e impar ak imaginaria e impar
Relación de Parseval para señales periódicas
( )[ ] ( ) ∑∫∞
−∞=
==k
2kT
2m adttx
T1txP
COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS
SEÑAL PERIÓDICA COEFICIENTES
( ) tjk
kk
0eatx ω+∞
−∞=∑= a k
( ) tj 0etx ω=
≠∀=∀
=1k01k1
a k
tcos 0ω 1k,0a;21aa k11 ≠∀=== −
tsen 0ω 1k,0a;j2
1aa k11 ≠∀==−= −
( ) 1tx = 0k,0a;1a k0 ≠∀==
( ) ( )∑∞
−∞=
−δ=n
nTttx kT1a k ∀=
Onda cuadrada periódica
( ) ( )pulsodelanchuramTtAtxm
τ
τ−
∏= ∑∞
−∞=
ó
( ) ( ) (txTtxy2Tt2,0
2t,Atx =+
<<τ
τ<= )
( )
πτωτ
=π
τω=
2k
csinTA
k2/ksen
Aa 00k
Onda triangular periódica
( ) ( )pulsodelanchura2mTtAtxm
τ
τ−
∆= ∑∞
−∞=
πτωτ
=2
kcsin
TAa 02
k
( ) tcosmTtAtx pω⋅
τ−
∏= ∑∞
∞−
τ
π
ω+ωτ+
τ
π
ω−ωτ=
2k
csinT2
A2
kcsin
T2Aa p0p0
k
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO CONTINUO PROPIEDADES Propiedad Señal Transformada de Fourier
x(t) ( )ty
X(ω) ( )ωY
( ) ( )∫∞
∞−ω ωω
π= deX
21tx tj ( ) ( )∫
∞
∞−ω−=ω dtetxX tj
x(t) Par ( ) ( )∫∞
ω=ω0
dttcostx2X
Ecuaciones
x(t) Impar ( ) ( )∫∞
ω−=ω0
dttsentxj2X
Linealidad a x(t) + b y(t) a X(ω) + b Y(ω) Desplazamiento en el tiempo x(t-t0) ( ) 0tjeX ω−ω Desplazamiento en frecuencia ( ) tj 0etx ω X(ω-ω0)
Conjugación x*(t) X*(-ω) Inversión de tiempo x(-t) X(-ω)
Escalado de tiempo y frecuencia
x(at)
ω
aX
a1
Convolución x(t)∗y(t) X(ω) Y(ω)
Multiplicación x(t) y(t) ( ) ( )[ ]12π
ω ωX Y∗
Diferenciación en el tiempo ( )dt
txd ( )j Xω ω
Integración ( )∫ ∞−ττ
tdx ( ) ( ) ( )ωδπ+ω
ω0XX
j1
Simetría conjugada para señales reales
x(t) Señal real
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]
ω−ϕ−=ωϕ
ω−=ω
ω−−=ωω−=ω
ω−=ω ∗
XXXX
XIXIXRXR
XX
mm
ee
Simetría para señales reales y pares
x(t) Señal real y par ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]X R X
X R X
Xe
e
ω ω
ω ω
ϕ ωπ
=
=
=±
0
Simetría para señales reales y pares
x(t) Señal real e impar ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]X j I X
X I X
Xm
mω ω
ω ω
ϕ ωπ=
=
= ±
2Descomposición par e impar de señales reales
( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]realtxtxpImtx
realtxtxPartx
I
p
=
=
( ) ( ) ωω
XImjXRe
( ) ( )( ) ( )
f t GG t f
DUALIDAD↔
↔ −
ω
π ω2
Relación de Parseval para señales no periódicas ( )[ ] ( ) ( )∫∫
∞
∞−
∞
∞−ωω
π== dX
21dttxtxE 22
EJEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE FOURIER DE SEÑALES CONTINUAS SEÑAL TRANSFORMADA
( ) tjk
kkT
0
0eatx ω
∞
−∞=∑= ( )∑
∞
−∞=
ω−ωδπk
0k ka2
x(t) = A ( )2π δ ωA
( ) tj 0Aetx ω= ( )0A2 ω−ωδπ
x(t) = A cos ω0 t ( ) ( )[ ]00A ω+ωδ+ω−ωδπ
x(t) = A sen ω0 t ( ) ([ ]00Aj
ω+ωδ−ω−ωδ )π
Pulso rectangular
( ) ( )x t At
anchura del pulso= ∏
ττ
ó
( )
τ>
τ<=
2t,0
2t,Atx
( ) ( )
πωτ
τ=ω
τω=ω
2csinA2senA2X
Pulso triangular
( ) ( )pulsodelanchura22tAtx τ
τ∆=
( )X A sincω τωτπ
=
2
2
( ) ( )∑∞
−∞=
−δ=n
nTttx ∑∞
∞−
π
−ωδπ
Tk2
T2
( )tWtsentx
π= ( )
>ω
<ω=ω
W,0
W,1X
x(t) = A δ(t) A
x(t) = A δ(t-t0) 0tjeA ω−
u(t) ( )ωπδ+ωj1
( ) ( ) 0aRe,tuetx at >= − ω+ ja
1
( ) ( ) 0aRe,tutetx at >= − ( )2ja
1
ω+
( ) ( ) ( ) 0aRe,tue!1n
ttx at1n
>−
= −−
( )nja1ω+
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA z
Propiedad Señal Transformada z ROC [ ]
[ ][ ]nxnx
nx
2
1 ( )( )( )zXzX
zX
2
1
2
1
RRR
Expresión x[n] ( ) [ ]∑∞
−∞=
−=k
nznxzX
R
Linealidad [ ] [ ]nxbnxa 21 + ( ) ( )zXbzXa 21 + Al menos la intersección de R1 y R2
Desplazamiento en el tiempo
[ ]0nnx − ( )zXz 0n− R, excepto para la posible adición o supresión del origen
Escalado en el dominio z
[ ][ ][ ]nxa
nxz
nxe
n
n0
nj 0ω
( )( )( )zaX
zzXzeX
10
j 0
−
ω−
RzR
0
Versión escalada de R (es decir, |a|R = el conjunto de puntos|a|z para z en R
Inversión en el tiempo [ ]nx − ( )1zX − R invertida (es decir, R-1= el conjunto de
puntos z-1, donde z está en R
Expansión en el tiempo ( )[ ] [ ]
≠=
=rkn,0rkn,rx
nx k
para algún entero r
( )kzX
k1R es decir, el conjunto de puntos k1z donde z está en R
Conjugación [ ]nx* ( )** zX R Convolución [ ] [ ]nx*nx 21 ( ) ( )zXzX 21 Al menos la intersección de R1 y R2
Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )zXz1 1−− Al menos la intersección de R y |z|>0
Acumulación [ ]∑−∞=
n
kkx
( )( )1z1
zX−−
Al menos la intersección de R y |z|>1
Diferenciación en el dominio z
[ ]nnx ( )dz
zXdz− R
Teorema del valor inicial Si x[n] = 0 para n < 0, entonces,
[ ] ( )zXLim0xz ∞→
=
TABLA DE TRANSFORMADAS z FRECUENTES
Secuencia x[n] Transformada z X(z) ROC
[ ]nδ 1 Todo z
[ ]mn −δ mz− Para todo z excepto 0 (si m > 0) o infinito (si m < 0)
[ ]nu 1z1
1−−
1z >
[ ]1nu −−− 1z1
1−−
1z <
[ ]nua n 1az1
1−−
az >
[ ]1nua n −−− 1az1
1−−
az <
[ ]nuna n ( )21
1
az1
az−
−
−
az >
[ ]1nuna n −−− ( )21
1
az1
az−
−
−
az <
( )[ ] nuncos 0Ω [ ] 2
01
01
zcosz21cosz1
−−
−
+Ω−Ω−
1z >
( )[ ] nunsen 0Ω [ ] 2
01
01
zcosz21senz
−−
−
+Ω−Ω
1z >
( )[ ] [ ]nuncosr 0n Ω [ ]
[ ] 2210
10
zrzcosr21zcosr1
−−
−
+Ω−Ω−
rz >
( )[ ] [ ]nunsenr 0n Ω [ ]
[ ] 2210
10
zrzcosr21zsenr
−−
−
+Ω−Ω
rz >
SERIES DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
Propiedad Señal periódica Coeficiente [ ]
[ ]
nynx
Periódicas con periodo N y
frecuencia fundamental Ω0=2π/N
k
k
ba
Periódicas de periodo N
Ecuaciones [ ] ∑=
π
=Nk
njkk
N2
eanx [ ]∑=
− π
=Nn
njkk
N2
enxN1a
Linealidad [ ] [ ]nxBnxA 21 + kk bBaA + Desplazamiento de tiempo [ ]x n n− 0 0N
2 njkk ea
π− Desplazamiento en frecuencia [ ] njM N
2
enxπ
Mka −
Conjugación [ ]nx ∗ ∗−ka
Inversión en el tiempo [ ]nx − ka − Escalado en el tiempo
( )[ ] [ ]
=valoresderesto
mdemultiplon
,0,mnx
nx m
(periódica de periodo mN)
1m
ak (vistas como periódicas de periodo
mN) Convolución periódica [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑
=
−=⊗=Nr
rnyrxnynxnz kk baN
Multiplicación [ ] [ ]nynx ∑=
−Nr
rkr ba
Primera diferencia [ ] [ ]1nxnx −− ( )( ) kN2jk ae1 π−−
Suma consecutiva [ ]∑−∞=
n
kkx (de valor finito y periódica sólo
si a0=0) ( )( )N2jk
k
e1a
π−−
Simetría conjugada para señales reales.
[ ] alRenx
[ ] [ ][ ] [ ]
kk aa
kk
kk
kk
kk
aaaImaIm
aReaReaa
−ϕ−=ϕ
=
−==
=
−
−
−
∗−
Señales reales y pares [ ]x n REAL y PAR ak real y par Señales reales e impares [ ]x n REAL e IMPAR ak imaginaria e impar Descomposición par e impar de señales reales
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]realnxnxparImnx
realnxnxParnx
I
p
=
= [ ][ ]k
k
aImjaRe
Relación de Parseval para señales periódicas
[ ] ∑∑==
==Nk
2k
Nn
2m anx
N1P
EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DEL DESARROLLO EN SERIE DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS
SEÑAL COEFICIENTES
nN2jk
Nkk ea
π
=∑ a k
nj 0e Ω
aperiódicaseñalirracional2
)b(
valorotro,0,N2m,Nm,mk,1
a
Nm2)a(
0
k
0
⇒π
Ω ±±=
=
π=Ω
ncos 0Ω
aperiódicaseñalirracional2
)b(
valorotro,0,N2m,Nm,mk,2/1
a
Nm2)a(
0
k
0
⇒π
Ω ±±±±±=
=
π=Ω
nsen 0Ω
aperiódicaseñalirracional2
)b(
valorotro,0,N2m,Nm,mk,j2/1
,N2m,Nm,mk,j2/1a
Nm2)a(
0
k
0
⇒π
Ω
±−±−−=−
±±==
π=Ω
[ ] 1nx = ±±=
=valorotrocon,0
N2,N,0k,1a k
[ ] ( )∑∞
−∞=
−δ=k
kNnnx kN1a k ∀=
Onda cuadrada periódica
[ ] [ ] [nxNnxy2NnN,0
Nn,1nx
1
1 =+
≤<
≤= ]
( )( )[ ]( )[ ]
,N2,N,0k,N
1N2a
,N2,N,0k,N2k2senN
NNk2sena
1k
21
1k
±±=+
=
±±≠π
+π=
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
Propiedad Señal Transformada [ ]
[ ]
nynx
( )( )
ΩΩ
YX
Periódicas de periodo 2π
Ecuación [ ] ( )∫π
Ω ΩΩπ
=2
nj deX21nx ( ) [ ]∑
∞
−∞=
Ω−=Ωn
njenxX
Señal periódica [ ] ∑=
π
=Nk
njkk
N2
eanx (señal periódica, N) ( ) ( )∑∞
−∞=
π−Ωδπ=Ωk
N2
k ka2X
Señal periódica [ ] [ ]Nnxnx += (señal periódica) ( )0k kXN1
N2kX
N1a Ω=
π
=
Linealidad [ ] [ ]nybnxa + ( ) (Ω+ )Ω YbXa Desplazamiento en el tiempo
[ ]0nnx − ( ) 0njeX Ω−Ω
Desplazamiento en frecuencia
[ ] nj 0enx Ω ( )0X Ω−Ω
Conjugación [ ]nx ∗ ( )Ω−∗X Inversión en tiempo [ ]nx − ( )Ω−X Expansión en tiempo
( ) [ ] [ ]
=valoresderesto
kdemultiplon
,0,knx
nx k ( )ΩkX
Convolución [ ] [ ]nynx ∗ ( ) (Ω⋅ )Ω YX
Multiplicación [ ] [ ]x n y n⋅ ( ) ( )∫π
θθ−Ωθπ 2
dYX21
Diferenciación en tiempo [ ] [ ]1nxnx −− ( ) ( )Ω− Ω− Xe1 j Acumulación [ ]∑
−∞=
n
mmx ( ) ( ) ( )∑
∞
−∞=Ω−
π−Ωδπ+−Ω
kj k20X
e1X
Diferenciación en frecuencia
[ ]nnx ( )ΩΩ
ddXj
Simetría conjugada para señales reales
[ ] REALnx
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]
( ) ( )( ) ( )Ω−Ω
∗
ϕ−=ϕ
Ω−=Ω
Ω−−=ΩΩ−=Ω
Ω−=Ω
XX
XXXImXIm
XReXReXX
Simetría para señales reales pares
[ ]x n REAL y PAR ( )ΩX real y par
Simetría para señales reales impares
[ ]x n REAL e IMPAR ( )ΩX imaginaria pura e impar
Descomposición par e impar de señales reales
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]realnxnxparImnx
realnxnxParnx
I
p
=
= ( )[ ]( )[ ]ΩΩ
XImjXRe
Relación de Parseval para señales aperiódicas
[ ] ( )∫∑ π
∞
−∞=
ΩΩπ
==2
2
n
2 dX21
nxE
[ ] ( )[ ] ( )[ ]
Ω=−Ω→←
XanxXnxDUALIDAD
k
TF
EJEMPLOS DE TRANSFORMADA DE FOURIER DE SEÑALES DISCRETAS
SEÑAL COEFICIENTES
nN2jk
Nkk ea
π
=∑ ∑
∞
−∞=
π
−Ωδπk
k Nk2a2
nj 0e Ω ( )∑∞
−∞=
π−Ω−Ωδπk
0 k22
ncos 0Ω ( ) ([ ]∑∞
−∞=
π−Ω+Ωδ+π−Ω−Ωδπk
00 k2k2 )
nsen 0Ω ( ) ([ ]∑∞
−∞=
π−Ω+Ωδ−π−Ω−Ωδπ
k00 k2k2
j)
[ ] 1nx = ( )∑∞
−∞=
π−Ωδπk
k22
[ ] ( )∑∞
−∞=
−δ=k
kNnnx ∑∞
−∞=
π
−Ωδπ
k Nk2
N2
[ ] 1anua n < Ω−− jae1
1
[ ]
>
≤=
1
1
Nn,0
Nn,1nx ( )[ ]
( )2senNsen 2
11
Ω
+Ω
π<<
ππ
=π
W0WncsinWnWnsen ( ) ( ) πΩ
π≤Ω≤
≤Ω≤=Ω 2periododeperiódicaX
W,0
W0,1X
[ ]nδ 1
[ ]nu ( )∑∞
−∞=Ω−
π−Ωδπ+− k
j k2e11
[ ]0nn −δ 0nje Ω−
( ) [ ] 1anua1n n <+ ( )2jae1
1Ω−−
( )( ) [ ] 1anua
!1r!n!1rn n <
−−+
( )rjae1
1Ω−−