Propiedades De La Convolucion
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Propiedades MatemáticasPropiedades Matemáticas
Propiedad ConmutativaPropiedad Conmutativa
][*][][*][ nanbnbna
Si
Entonces
Propiedades MatemáticasPropiedades Matemáticas
Propiedad AsociativaPropiedad Asociativa
])[*][(*][][*])[*][( ncnbnancnbna Si
Entonces
Tambien
Propiedades MatemáticasPropiedades Matemáticas
Propiedad DistributivaPropiedad Distributiva
])[][(*][][*][][*][ ncnbnancnanbna Si
Entonces
Propiedades MatemáticasPropiedades Matemáticas
Propiedad LinealPropiedad Lineal• Si algún proceso lineal afecta la entrada, Si algún proceso lineal afecta la entrada,
el mismo proceso lineal afectará a la el mismo proceso lineal afectará a la salidasalida
Si
Entonces
Respuestas a Impulso comunesRespuestas a Impulso comunes
Función DeltaFunción Delta• Es la identidad de la operación Es la identidad de la operación
convolución:convolución:
• Es lo mismo que el 0 para la adición y el Es lo mismo que el 0 para la adición y el 1 para la multiplicación1 para la multiplicación
• Esta función es muy importante cuando Esta función es muy importante cuando lo que queremos es transmitir o lo que queremos es transmitir o almacenar una señalalmacenar una señal
][][*][ nxnnx
Respuestas a Impulso comunesRespuestas a Impulso comunes
Amplificador o AtenuadorAmplificador o Atenuador• Cuando usamos a la función delta Cuando usamos a la función delta
multiplicada por una constantemultiplicada por una constante
• Si k > 1 entonces es un amplificador, si Si k > 1 entonces es un amplificador, si 0<k<1 entonces es un atenuador0<k<1 entonces es un atenuador
][][*][ nkxnknx
Respuestas a Impulso comunesRespuestas a Impulso comunes
DesplazadorDesplazador• Si desplazamos a la función delta, Si desplazamos a la función delta,
obtenemos una señal igual a lo original obtenemos una señal igual a lo original pero desplazada en el tiempopero desplazada en el tiempo
• Esto pude considerarse como un retardo Esto pude considerarse como un retardo o “delay” o un avance dependiendo del o “delay” o un avance dependiendo del desplazamientodesplazamiento
][][*][ snxsnnx
Respuestas a Impulso comunesRespuestas a Impulso comunes
EcoEco• Si usamos una función delta más una Si usamos una función delta más una
función delta desplazada y escalada función delta desplazada y escalada obtenemos un sistema de ecoobtenemos un sistema de eco
• Muchas veces deseamos eliminar ese Muchas veces deseamos eliminar ese ecoeco
][][])[][(*][ snkxnxsnknnx
Respuestas a Impulso Respuestas a Impulso ComunesComunes
Primera Diferencia (Derivación)Primera Diferencia (Derivación)
]1[][][ nxnxny
Respuestas a Impulso Respuestas a Impulso ComunesComunes
Suma continua (Integración)Suma continua (Integración)
]1[][][ nynxny
Repuestas a Impulso ComunesRepuestas a Impulso Comunes
Filtro pasa bajosFiltro pasa bajos• Los filtros pasa bajos estan formados Los filtros pasa bajos estan formados
por un grupo de puntos adyacentes por un grupo de puntos adyacentes positivospositivos
• Eso produce un promediado de la señalEso produce un promediado de la señal• Como vimos en clases pasadas puede Como vimos en clases pasadas puede
haber varios tipos de filtroshaber varios tipos de filtros
Respuestas a ImpulsoRespuestas a ImpulsoComunesComunes
Filtros pasa altosFiltros pasa altos• Se construyen modificando filtros pasa Se construyen modificando filtros pasa
bajosbajos• Queremos la señal menos las Queremos la señal menos las
frecuencias bajasfrecuencias bajas• Pasamos toda la señal (función delta) y Pasamos toda la señal (función delta) y
le restamos las frecuencias bajas (filtro le restamos las frecuencias bajas (filtro pasa bajo)pasa bajo)
Señales causales y no causalesSeñales causales y no causales
En un sistema analógico, el sistema En un sistema analógico, el sistema responde a excitaciones en la responde a excitaciones en la entradaentrada
Si aplicamos una señal de entrada, Si aplicamos una señal de entrada, obtendremos una salidaobtendremos una salida
Esto es una relación causa-efectoEsto es una relación causa-efecto Esto no es necesariamente cierto en Esto no es necesariamente cierto en
un computadorun computador
Señales causales y no causalesSeñales causales y no causales
En un computador la señal de En un computador la señal de entrada es un arreglo de números y entrada es un arreglo de números y la señal de salida tambiénla señal de salida también
Nada nos impide que una muestra en Nada nos impide que una muestra en la entrada pueda afectar a valores la entrada pueda afectar a valores previos de la salidaprevios de la salida
Señales causales y no causalesSeñales causales y no causales
Diferenciamos una señal causal de Diferenciamos una señal causal de uno no causal cuando todos los uno no causal cuando todos los valores con número de muestra valores con número de muestra negativa son iguales a 0negativa son iguales a 0
Si no son iguales a 0, decimos que la Si no son iguales a 0, decimos que la señal es no causalseñal es no causal
Teorema del Limite CentralTeorema del Limite Central
Nos dice que cuando una señal es el Nos dice que cuando una señal es el resultado de la suma de varios resultado de la suma de varios procesos aleatorios, esa señal tendrá procesos aleatorios, esa señal tendrá una distribución normal (Gausiana)una distribución normal (Gausiana)
Ej: Ruido Termal, Sección de un rayo Ej: Ruido Termal, Sección de un rayo laser, Agujeros en un tablero de laser, Agujeros en un tablero de dardosdardos
Teorema del Limite CentralTeorema del Limite Central
Esto tiene una aplicación en convoluciónEsto tiene una aplicación en convolución Si una señal parecida a pulsos es Si una señal parecida a pulsos es
convolucionada con ella mismas varias convolucionada con ella mismas varias veces, una campana de Gauss es veces, una campana de Gauss es producidaproducida
El ancho de la campana de gauss es igual El ancho de la campana de gauss es igual al pulso original multiplicada por el al pulso original multiplicada por el número de convolucionesnúmero de convoluciones
CorrelaciónCorrelación
Estudiemos el funcionamiento del Estudiemos el funcionamiento del radarradar
Un pulso es generado y transmitido Un pulso es generado y transmitido por una antena transmisorapor una antena transmisora
Cuando esta señal golpea algún Cuando esta señal golpea algún objeto, es reflejada objeto, es reflejada
Una antena receptora captura todos Una antena receptora captura todos los pulsos reflejados y calcula la los pulsos reflejados y calcula la distanciadistancia
CorrelaciónCorrelación
La señal reflejada consistirá de:La señal reflejada consistirá de:• Pulsos reflejadosPulsos reflejados• RuidosRuidos
Es difícil a simple vista diferenciar el Es difícil a simple vista diferenciar el uno del otrouno del otro
Para poder identificar el pulso Para poder identificar el pulso utilizamos una técnica llamada utilizamos una técnica llamada correlacióncorrelación
CorrelaciónCorrelación
La correlación es muy parecida a la La correlación es muy parecida a la convoluciónconvolución
La señal producida se llama la La señal producida se llama la correlacion cruzada (cross-correlacion cruzada (cross-correlation)correlation)
Si la señal se correlaciona consigo Si la señal se correlaciona consigo misma se llama autocorrelaciónmisma se llama autocorrelación
CorrelaciónCorrelación
Se calcula con la “maquina de Se calcula con la “maquina de correlación”correlación”
Esta máquina va midiendo como Esta máquina va midiendo como tramos de la señal se parecen a la tramos de la señal se parecen a la señal deseadaseñal deseada
CorrelaciónCorrelación
Se parece a la máquina de Se parece a la máquina de convolución excepto porque la señal convolución excepto porque la señal dentro no esta volteadadentro no esta volteada
De tal manera que correlacionar es De tal manera que correlacionar es simplemente hacer una convolución simplemente hacer una convolución con la segunda señal volteadacon la segunda señal volteada
][][*][ ncnbna
Velocidad de CálculoVelocidad de Cálculo
Escribir un programa para Escribir un programa para convolución se escribe en pocas convolución se escribe en pocas líneas de códigolíneas de código
Ejecutarlo en cambio no es eficienteEjecutarlo en cambio no es eficiente Debemos multiplicar dos números y Debemos multiplicar dos números y
sumarlos en un acumuladorsumarlos en un acumulador Debemos realizar NxM de estas Debemos realizar NxM de estas
operacionesoperaciones
Velocidad de CálculoVelocidad de Cálculo
Para una señal de 10000 muestras Para una señal de 10000 muestras convolucionada con una de 100 muestras convolucionada con una de 100 muestras requiere aproximadamente 1 segundorequiere aproximadamente 1 segundo
Para una señal de un millón de muestras Para una señal de un millón de muestras requerirá 100 segundos, más de un requerirá 100 segundos, más de un minutominuto
Esto es demasiado tiempo si deseamos Esto es demasiado tiempo si deseamos utilizarlo en tiempo realutilizarlo en tiempo real
Velocidad de CálculoVelocidad de Cálculo
En la realidad utilizamos otros En la realidad utilizamos otros métodos para calcular métodos para calcular eficientemente la convolucióneficientemente la convolución
Por ejemplo la FFT convolution que Por ejemplo la FFT convolution que aplica el concepto e transformada de aplica el concepto e transformada de FourierFourier