PROGRAMA MATEMÁTICAS ESPA – NIVEL 1 (1º y 2º ) · Una función y = f(x) ... y = x2 - 1 a)...

CEA INFANTE

Murcia

MATEMÁTICAS

Nivel II – ESPA

2º Cuatrimestre

Nivel II - Segundo cuatrimestre - Pág. 62

Lecc. 7. FUNCIONES Y GRÁFICAS

1. Coordenadas cartesianas; 2. Gráficas; 3. Concepto de función.

4. Representación gráfica de rectas. 5. Recta que pasa por dos puntos

6. Resolución gráfica de sistemas; 7. Representación de Parábolas.

1. COORDENADAS CARTESIANAS

Ejes Cartesianos o de coordenadas son dos rectas perpendiculares, con un punto en común

Eje horizontal: se llama eje X o eje de abscisas.

Eje vertical: se llama eje Y o eje de ordenadas.

Punto donde se cortan los dos ejes: se llama origen de coordenadas.

Coordenadas de un punto

Cualquier punto del plano queda determinado por sus coordenadas P(x, y)

x: se mide sobre el eje x, se llama abscisa del punto.

y: se mide sobre el eje y, se llama ordenada del punto.

Ejemplo: P(3,2) :

El punto P tiene de abscisa 3 y de ordenada 2

o bien, la coordenada x de P es 3 y la coordenada y es 2

Su representación es:


1.1. Representa los siguientes puntos:

A (2, 3)

B (4, 3)

C (-3, 4)

D (-2, -4)

E (3, -4)

F (-2, -1)

1.2. Representa los siguientes puntos:

O (0, 0)

B (0, 3)

C (-3, 0)

D (-2, 0)

E (3, 0)

F (0, -4)

1.3. Dibuja un cuadrado de lado 3 cuyo vértice inferior izquierdo está en (-1, -2).

Escribe a continuación las coordenadas de sus cuatro vértices.

1.4. Dibuja un cuadrado de lado 5 cuyo superior derecho está en (3, 4).

Escribe a continuación las coordenadas de sus cuatro vértices.


2. GRÁFICAS

Dado un conjunto de datos (temperaturas, pesos, etc….), asociados a otros datos (horas, edad, etc. ),

podemos representarlos con sendos puntos, y unirlos mediante segmentos.

Obtenemos así una gráfica en la que observamos los datos, su variabilidad, tendencia etc.

Ejemplo 1: En la siguiente gráfica se recogen las temperaturas de un paciente a lo largo de un día

a) ¿Que temperatura tenía a las 8 de la mañana?

b) ¿A qué hora alcanzó la temperatura máxima?

c) ¿A qué hora alcanzó la temperatura mínima?

Ejemplo 2:

En la siguiente gráfica se recogen horas trabajadas cada día, a lo largo de diez días

a) ¿Cuántas horas trabajó el día cuatro?

b) ¿Qué día trabajó más horas?

c) ¿Qué día trabajó menos horas?


3. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función y = f(x) es un criterio o fórmula que, dado un valor “x”

le hace corresponder un único valor “y”: x -----> y

3.1. Completa las tablas de valores de las siguientes funciones:

a) y = 3x + 1

Completa los valores de y:

x y

-2

-1

0

1

b) y = x2 - 2


X y

-2

-1

0

1

c) y = 2x - 5 Completa los valores de y:

x y

-2

-1

0

1

d) y = 2x2 + 1


X y

-2

-1

0

1

3.2. Completa las tablas de valores de las siguientes funciones:

a) y = -2x - 1 Completa los valores de y:

x y

-2

-1

0

1

b) y = -x2 + x - 3


x y

-2

-1

0

1

c) y = -2x2 – 3x


x y

-2

-1

0

1

d) y = -x2 - x + 1


x y

-2

-1

0

1


Representación gráfica de una función

Es un problema extenso en el que solo nos iniciaremos con funciones sencillas. Para representarlas lo más básico es el cálculo de puntos:

a) Calculamos puntos de la función mediante una tabla de valores.

b) Representamos estos puntos y los unimos. Obtenemos así una aproximación de la gráfica.

Ejemplo: Representa gráficamente y = 3x + 1

a) Obtenemos puntos

mediante una tabla de

valores:

b) Representamos los

puntos obtenidos y los

unimos

Representación gráfica de y = 3x + 1

3.3. Representa gráficamente: y = x2 - 1

a) Obtenemos puntos

mediante una tabla de

valores:

b) Representamos los

puntos obtenidos y los

unimos


4. RERESENTACIÓN GRÁFICA DE RECTAS Representaremos cualquier función del tipo y = mx + n,

Contamos con una gran ventaja. Sabemos de antemano que para este tipo de funciones los puntos

obtenidos están alineados, o sea, forman una línea recta.

Y como dos puntos determinan una recta, es suficiente con obtener dos puntos para realizar la

representación de las funciones del tipo y = mx + n

4.1. Representa las siguientes rectas

1) y = 2x -3

2) y = - 2x + 5

3) y = 3x + 1

4) y = -x + 3

5) y = 2x + 1

6) y = -3x + 4

m = PENDIENTE

En la recta y = mx + n

m se llama "pendiente" de la recta.

m positiva, “recta hacia arriba”

m negativa, “recta hacia abajo"

Cuánto más grande es m, más crece “y”

para el mismo aumento de “x”, por lo que

hay "más inclinación" de la recta.

n = CORTE DEL EJE Y

En la recta y = mx + n

n es el valor donde la recta corta al eje y

Ejemplos:

y = -x + 3 (n=3)

corta al eje Y en y = 3

y = 3x + 1 (n=1)

corta al eje Y en y= 1


4.2. Representa las siguientes rectas

1) y = 2x -3

2) y = -3x + 1

3) y = 2

53 x

4) y = 3

12 x

5) y = 2

x - 1

PARALELISMO.

Dada la recta y = mx + n, cualquier otra recta con la misma pendiente “m” será paralela.

Ejemplo:

4.3. Calcular las ecuaciones de las rectas paralelas a las siguientes rectas:

a) Paralela a y = 2x + 1 que pasa por el punto A(2,3)

b) Paralela a y = x - 3 que pasa por el punto B(1, 5)

c) Paralela a y = 3x + 1 que pasa por el punto C(-2, -2)

d) Paralela a y = x + 7 que pasa por el punto D(-3, 5)

GEOGEBRA: Si en Internet realizas la búsqueda “Geogebra online” llegarás a la página

www.geogebra.org/webstart/geogebra.html en la que, sin instalar nada, puedes realizar muy fácilmente

representaciones gráficas de rectas y de cualquier otra función.

http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html‎


5. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS A partir de una recta hemos obtenido puntos (mediante la tabla de valores), que nos han servido para

representarla.

Ahora vamos a hacerlo al revés: dados dos puntos calcularemos la ecuación de la recta que pasa por

ellos, usando la fórmula:

),(

),(

111

000

yxP

yxP

01

0

01

0

yy

y -y

xx

x-x

Ejemplo: Obtener la recta que pasa por A(-1, 3); B(3, -5)

3-5-

3 -y

(-1)3

(-1) -x

3-5-

3 -y

13

1x

8-

3 -y

4

1x

Quitamos ahora los denominadores, igualando el

producto cruzado (producto de diagonales):

4(y - 3) = -8(x+1)

4y – 12 = -8x – 8

4y = -8x – 8 + 12

4y = -8x + 4

4

4 8x - y

y = -2x + 1

es la ecuación de la recta buscada

Recta y = -2x + 1

5.1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos….

a) A(1.2) y B(-1, 5).

b) A(3, -2) y B(2, 0).

c) A(0, 3) y B(3, 0).

d) A(-3, -4) y B(3, 1).

e) A(-2, -3) y B(0, 4).

f) A(-3, 0) y B(0, 2).


5.2. Obtener la ecuación de la recta que tiene la siguiente gráfica: (sugerencia: toma dos puntos por los que pase la recta, y aplica la fórmula anterior)

6. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS Se representan las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones del sistema.

La solución del sistema será el punto de corte de las rectas.

Ejemplo:

62

15

=yx

=yx

Se despeja la y en las dos ecuaciones:

Primera ecuación: y = 5x - 1

Segunda ecuación: y = -2x + 6

Se representan esas dos rectas, y el punto de

corte es la solución del sistema

Solución = punto de corte:

x = 1

y = 4


6.1 Resuelve gráficamente los sistemas de ecuaciones:

a. 1=y-2x

=y+x 54

b. 12

12

-=y+x-

=2y+3x

c. 42 -=y+x-

3=y+2x

d. 4=y+2x

5=y-x


7. REPRESENTACIÓN DE PARÁBOLAS Al representar una función del tipo y = ax

2

+ bx + c tenemos una ventaja:

Sabemos de antemano que los puntos obtenidos formarán una parábola (curva con forma de “u”)

Orientación de la parábola:

Tendrá ramas hacía arriba si a es positivo,

El valor mínimo se llama vértice.

Tendrá ramas hacia abajo si a es negativo.

El valor máximo se llama vértice.

Vértice de la parábola:

Vértice V(x,y)

La abcisa “x” se obtiene con: a

bx

2

La ordenada “y” se obtiene en la tabla de valores

Ejemplo 1. Representa y = x2

- 4x + 1

1

4

1

c

b

a

1) Orientación:

a positivo, ramas hacia arriba:

2) Vértice: 22

4

2

a

bx

3) Tabla: *En el centro colocamos el vértice.

*Añadimos dos valores anteriores y dos

posteriores. Calculamos:

x y

A 0

B 1

Vértice 2

C 3

D 4


Ejemplo 2. Representa y = -x2

+ 2x + 1

1

2

1

c

b

a

1) Orientación:

a negativo, ramas hacia abajo:

2) Vértice:

a

bx

2

3) Tabla:

*En el centro colocamos el vértice.



x y

A

B

Vértice

C

D

Ejemplo 3. Representa y = x2

- 2

2

0

1

c

b

a

1) Orientación:

a=1, positivo, ramas hacia arriba:

2) Vértice:

a

bx

2

3) Tabla:

*En el centro colocamos el vértice.



x y

A

B

Vértice

C

D


7.1. Representa las siguientes parábolas:

(a) y = x

2 + 2x +1

(b) y = -x2 – 4x

(c) y = -x2

(d) y = -x2 + 4

(e) y = x2 – 4x + 6

(f) y = -2x2

(g) y = -2x2 – 4

(h) y = x2 + 4x - 1

(i) y = -x2 - 4x + 1

(j) y = -x2 – 2x + 1

(k) y = x2 – 5x + 6

(l) y = 2x2 – 6x


Lecc. 8. NÚMEROS REALES 1. Aproximaciones; 2. Error; 3. Notación científica; 4. Radicales; 5. Racionalización.

1. APROXIMACIONES

Cuando se aborda un problema, decidimos la precisión con que daremos las cifras:

Con un decimal (aprox. a decimas); Con dos (aprox. a centésimas). Con tres3 (aprox. milésimas)

Hay dos procedimientos para aproximar:

Truncar: es simplemente tachar las cifras sobrantes

Redondear: tachar y ajustar la última cifra no tachada, para minimizar el error.

Ejemplo: aproxima 2,38 a décimas

Si 2,38 2,3 se aparta 8 centésimas del valor real

Si 2,38 2,4 se aparta 2 centésimas del valor real (aproximación más conveniente)

2,3 sería el truncamiento; 2,4 sería el redondeo

PROCEDIMIENTO PARA REDONDEAR:

Dividimos las terminaciones en dos grupos

Si la primera cifra suprimida es del primer grupo, mantenemos la última cifra.

Si la primera cifra suprimida es del segundo grupo, aumentamos en uno la última cifra.

Ejemplo: Redondea a décimas 2,35

Primera cifra a suprimir = 5 2,35 2,4

Ejemplo: Redondea a centésimas 8,457…

Primera cifra a suprimir = 7 8,457 8,46

1.1 Realiza los siguientes redondeos:

Número

Redondeo a

décimas Número

Redondeo a

centésimas

2,37 2,3781

3,65 3,654

9,83 9,835

6,254 6,2542

12,75 5,145 Puedes comprobar en hoja de cálculo, introduciendo los números y dándoles formato de número con un decimal o con dos decimales


2. ERROR Cuando suprimimos cifras nos apartamos del valor verdadero, o sea, introducimos un error.

Error absoluto = aproximado valor - realvalor

Ejemplo: redondea 2,37 a décimas y calcula el error absoluto

Valor real: 2,37; Valor aproximado: 2,4

Error absoluto = 2,4 - 2,37 = 0,03

El error relativo da más información, pues expresa el error como porcentaje del valor real

Error relativo = realvalor

absolutoerrorx100

Ejemplo: redondea 2,37 a décimas y calcula el error relativo


Error relativo = 0126,037,2

03,0

37,2

2,4 - 2,37 1,26%

Ejemplo: redondea a décimas 0.613 y calcula el error relativo


Error relativo = 0212,0613,0

013,0

613,0

0,6 - 0,613 = 2,12%

2.1 Ejercicios:

1. Redondea a centésimas 0,135 y calcula el error absoluto y relativo

2. Redondea a décimas 0,45 y calcula el error absoluto y relativo

3. Tomamos 3 como valor aproximado de ...14,3 , Obtener el error absoluto y relativo.

4. Tomamos g = 10 como valor aproximado de g = 9,81.., Obtener el error absoluto y relativo

5. En vez de 7,12 euros he cobrado 7 euros. Obtener el error absoluto y relativo.


3. NOTACIÓN CIENTÍFICA

EXPONENTE NEGATIVO (repaso):

Recordamos que nn

0n-

a

1

a

aa n

n-

aa

1

Múltiplos y submúltiplos de unidades usando exponente negativo:

metro (m)

Submúltiplos

Múltiplos

Valor Símbolo Nombre Valor Símbolo Nombre

10−1

m dm decímetro 101 m dam decámetro

10−2

m cm centímetro 102 m hm hectómetro

10−3

m mm milímetro 103 m km kilometro

10−6

m µm micrómetro 106 m Mm megametro

10−9

m nm nanómetro 109 m Gm gigametro

10−12

m pm picometro 1012

m Tm terametro

NOTACIÓN CIENTÍFICA:

Se utiliza para expresar números muy grandes o muy pequeños.

Consiste en escribir los números en la forma:

a·10n siendo 1a<10 .

Ejemplos:

Distancia media tierra/sol: 150 000 000 000 m = 1,5·1011

m

Masa de un electrón: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 9 g = 9,109·10–28

g

3.1. Escribe en notación científica:

a) 210 000 000 000

b) 2 500 000 000 000

c) 58 400 000 000

d) 0,000 000 372

e) 0,000 000 004

f) 0,000 978


3.2. Ajusta a notación científica:

a) 210 • 106 = 2,10 • 10

8

b) 0,024 • 10-4

= 2,4 • 10-6

c) 345,2 • 105 =

d) 21,54 • 106 =

e) 0,75 • 104 =

f) 0,75 • 10-4

=

g) 3210 • 109 =

h) 54,21 • 107 =

3.3. Pasa de notación científica a notación decimal:

a) 2,10 • 108 =

b) 2,4 • 10-6

=

c) 7,3 • 10-7

=

d) 3,741 • 107 =

e) 9,34 • 10-5

=

f) 4,92 • 105 =

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Ejemplo. Multiplica 3,75·10-4

por 8,5· 107 y expresa el resultado en notación científica

Solución: 3,75·10-4

· 8,5· 107 = 31,875 · 10

3= 3,1875 · 10

4

Ejemplo. Multiplica 7,5 ·105 por 2,75 ·10

7 y expresa el resultado en notación científica

Solución: 7,5·105 · 2,75·10

7 = 20,625·10

12 = 2,0625·10

13

3.4. - Multiplica y expresa el resultado en notación científica

a) 9,25·10-2

· 3,2· 107

b) 7,5·10-3

· 9,2· 107

c) 5,75 ·105 · 6,05 ·10

-9 =

d) 8,12 ·106 · 4,5 ·10

8 =

e) 2,16 · 106 · 8,5 ·10

-7 =

f) 1,75 ·108 · 6,45 ·10

-4 =


SUMA DE NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

Ejemplo. Suma 4,5·105 + 1,27·10

3 + 5,3·10

4 y expresa el resultado en notación científica.

1º. Llevamos las cantidades a la potencia más elevada (en este caso a 5):

4,5·105 = 4,5·10

5

1,27·103 = 0,0127·10

5

5,3·104 = 0,53·10

5

2º. Sumamos:

4,5·105 + 0,0127·10

5 + 0,53·10

5 = (4,5 + 0,0127 + 0,53)·10

5 = 5,0427·10

5

3.5. Suma y expresa el resultado en notación científica

a) 1,8·104 + 1,43·10

7 + 2,53·10

3 =

b) 2,7·109 + 1,1·10

6 + 2,62·10

8 =

c) 1,4·10-7

+ 2,93·10-4

+ 2,53·10-6

=

d) 2,8·10-8

+ 6,52·10-5

+ 2,53·10-7

=

4. RADICALES

Propiedad fundamental:

baba .· b

a

b

a

No se cumple para sumas o restas: baba

4.1. Calcula los resultados:

a) 2·2

b) 3·3

c) 4·4

d) 5·5

e) 6·6

f) 7·7

g) 8·8

h) 9·9

Sol: a) 2; b) 3; c) 4; d)5; e) 6; f) 7; g) 8; h) 9 .


4.2. Calcula los resultados:

a) 2·18

b) 2·50

c) 4·9

d) 2·18

e) 8·2

f) 8·18

g) 20·5

h) 2·32

Sol: a) 6; b) 10; c) 6; d) 6; e) 4; f) 12; g) 10; h) 8 .

4.3. Escribe bajo la forma a b :

a) 18 232·92·9

b) 50 =

c) 72 =

d) 450 =

e) 27

f) 45

g) 75

h) 125

Sol: a) 23 ; b) 25 ; c) 26 ; d) 215 ; e) 33 ; f) 53 ; g) 35 ; h) 55 ;

4.4. Escribe bajo la forma a b y agrupa los resultados:

a) 33752275 =

b) 45612552 =

c) 3122272 =

d) 32218502 =

Sol: a) 38 ; b) 511 c) 3 ; d) 25

5. RACIONALIZACIÓN Racionalizar una fracción consiste en quitar del denominador las raíces, y conseguir que en su lugar

haya un número entero.

Y… porque se hace esto, ¿qué más da?, el motivo es que con denominador entero, la fracción está

preparada para operar con ella y posibles simplificaciones. Una fracción con raíces en el

denominador es poco manejable.

Ejemplo de racionalización:

2

25

2·2

2·5

2

5


5.1. Racionaliza:

a)

3

2

b) 5

3

c) 7

2

d) 2

1

e) 3 3

2 2

f) 3

2 3

g) 12

34

h) 2

85

Soluc: a)3

32; b)

5

53; c) ;

7

72 d)

2

2; e)

9

6 2; f) 6 ; g) 2; h) 10

5.2. Racionaliza:

a)

7

3

b) 87

5 2

c) 2

9

d) 3

25

e) 3

2 16

f) 5

12

Soluc: a)7

73; b)

14

5; c) ;

2

23 d)

3

35; e) 12; f) ;

5

152

5.3. Realiza las siguientes operaciones, usando identidades notables:

a) 2)21(

b) 2)53(

c) 2)23(

d) 2)27(

e) 2)32(

f) )25)·(25(

Sol: a) 3+ 22 ; b) 14-6 5 c) 5+2 6 ; d) 1429 ; e) 7 - 4 3 ; f) 23 .


Racionalización usando identidades notables

Ejemplo 1:

23

)25(3

225

)25(3

)25)·(25(

)25(3

25

3

Hemos multiplicado numerador y denominador por el conjugado del denominador

Ejemplo 2:

5.4. Racionaliza:

a) 13

1

b) 33

2

c) 23

2

d) 31

5

e) 23

3

Soluc: a)2

13 ; b) 3

33; c)

7

)23(2 ; d)

2

)31(5

; e) 63 .


Lecc. 9. PORCENTAJES. HOJA DE CÁLCULO

1. Porcentajes; 2. Aumentar un %; 3. Disminuir un %; 4. Hoja de cálculo

1. PORCENTAJES

Un porcentaje es una fracción: r % =100

r

Calculo de r% de una cantidad = 100

r x cantidad

Ejemplo: 12% de 300 euros: 12% x 300 = 300100

12x = 0,12x300 = 36 Euros

Problema directo: dada una cantidad calcula un %

1.1. Calcula:

Cantidad % Resultado

300 12 100

12300x = 300 x 0,12 = 36

900 15

1.200 16

800 5 100

5800x = 800 x 0,05 = 40

1.500 8

650 4

Problema inverso: dado un % , calcula la cantidad original

1.2. Calcula:

% de una cantidad Cantidad original

El 12% de una cantidad es 36 36 : 0,12 = 300

El 15% de una cantidad es 675


El 5% de una cantidad es 800 800 : 0,05 = 16000




1.3.

a) El 18% de retención de IRPF de un sueldo le son 342 Euros. ¿Cuál es el sueldo?

b) Gasto 15% de la gasolina del depósito y quedan 42,5 l. ¿Cuál es la capacidad del depósito?.

1.4. Rellena los siguientes recuadros con los datos que faltan



2. AUMENTAR UN % Problema directo: Dada una cantidad, aumentarla un % determinado

2.1. Calcula:

Cantidad % Cantidad aumentada

300 12 300 x 1,12 = 336

900 12

1.200 16

800 5 800 x 1,05 = 840

1.500 8

2.800 2

Problema inverso: Dada una cantidad aumentada en un %, calcular la cantidad original

2.2. Calcula:

Precio aumentado Precio original

Precio aumentado un 12% = 336 336 : 1,12 = 300

Precio aumentado un 15% = 690

Precio aumentado un 14% = 10 260

Precio aumentado un 5% = 840 840 : 1,05 = 800



2.3. Completa las tablas:

Precio base

Precio con IVA 21%

300

825

225

2.150

5.400

700

Precio base

Precio con IVA 18%

400

650

325

1.950

6.500

800



2.5.

a) Una factura de 1600 Euros sube un 2,5%, ¿Cuál es el nuevo importe?

Sol. 1640

b) El coste de la vida ha subido un 9% un año y un 6% en el año siguiente.

¿Qué porcentaje ha subido en total en esos 2 años?

(Sugerencia, parte de 100 como cantidad inicial en el primer año, y observa su evolución

hasta el final del segundo año).

Sol: 15,54 %

3. DISMINUIR UN % (PRECIO REBAJADO)

Problema directo: Dada una cantidad, rebajarla un % determinado.

Lo que haremos es, en vez de calcular el % que nos rebajan, calcular el % que se debe pagar.

Por ejemplo, si rebajan 12% hay que pagar 88%

3.1. Calcula:

Cantidad % Cantidad rebajada

300 12 300 x 0,88 = 264

900 15

1.200 16

800 5 800 x 0,95 = 760

1.500 8

2.400 9


Problema inverso: dada una cantidad rebajada en un %, calcular la cantidad original

3.2. Calcula:

Precio rebajado Precio original

Precio rebajado un 12% = 264 264: 0,88 = 300

Precio rebajado un 25% = 1200

Precio rebajado un 12% = 1 056

Precio rebajado un 5% = 760 760 : 0,95 = 800



3.3. Completa las tablas:

Precio Precio rebajado un

30%

300

180

280

420

500

175

Precio Precio rebajado

un 15%

400

900

425

1.275

6.500

1105



3.7.

a) Un traje marcaba 150 euros. En rebajas el mismo traje cuesta 120 euros.

a) ¿Qué rebaja han hecho (en %)?

b) Si la rebaja hubiera sido del 15% ¿cuál sería el precio? Sol: a) 20%; b) 127,5

b) El precio de dos artículos sin IVA es de 25 euros y 17,6 euros.

Averigua cuál es el precio si se aplica un IVA 16%. Sol: 29 euros; 20,42 euros

c) Si un precio ha subido de 400 a 500 Euros,

¿Cuál ha sido el aumento en %?. Sol: 25%

d) El precio de un balón después de un 5% de descuento es de 9 euros.

¿Cuál era el precio inicial?. Sol: 9,47 euros.

e) Por un objeto de 800 euros nos cobran 640 euros.

¿Qué tanto por ciento de descuento nos han hecho? Sol: 20%

3.8.

a) En un supermercado el precio de un litro de leche es de 90 cts., y en la segunda unidad hacen

un 50% de descuento. Compro diez paquetes

a) ¿Cuánto debo pagar en total?

b) ¿Cuánto me cuesta en conjunto cada litro de leche?

c) ¿Qué porcentaje de rebaja supone en el total del precio?

Sol. a) 6,75 euros; b) 0,675 cada litro; c) un 25%

b) En las elecciones en una empresa el porcentaje de abstención fue del 25%.

El número de votos emitidos fue de 240. ¿Cuántos trabajadores tiene la empresa?.

Sol: 320 trabajadores

c) Después de haber subido el precio un 40% un objeto cuesta ahora 301 euros.

¿Cuál era su precio inicial?

Sol: 215 euros

d) La cantidad de agua de un embalse ha aumentado en un 35% respecto a la que había la

semana pasada. Ahora contiene 87,75 millones de litros.

¿Cuáles eran sus reservas la semana anterior?

Sol: 65 millones de litros


4. HOJA DE CÁLCULO

El paquete OFFICE de Microsoft incluye varios programas:

Word: procesador de textos

Acces: gestor de base de datos

Power Point: aplicación de presentaciones de diapositivas

Excel: hoja de cálculo, o sea, un programa con el que se pueden realizar cálculos automáticos de números

que están en una tabla, y representaciones gráficas de los mismos.

El paquete OPENOFFICE (Software libre, de uso gratuito) incluye:

Writer: procesador de textos

Base: base de datos

Impress: presentaciones de dipositivas

Calc: hoja de cálculo.

LIBREOFFICE es otro paquete de uso gratuito, análogo a OpenOffice

En un mismo ordenador pueden estar instalados OpenOffice o LibreOffice y Microsoft Office sin

tener conflictos entre ellos.

4.1 En una hoja de cálculo…

a) Copia los datos de la figura:

b) TOTALES EN COLUMNA C

Clic en la celda C4

Introduce la fórmula =A4*B4 (para calcular cantidad * precio)

Pasa el puntero del ratón por la esquina

inferior derecha, y cuando aparezca el

“tirador de relleno” mantienes el clic y

“tiras” hacía abajo, hasta C8


c) SUMA DE LOS TOTALES

Inserta en C9 la fórmula =SUMA(C4:C8)

que sumará los datos de la columna C

Para ello es suficiente que sitúes el cursor

en C9 y hagas clic en el botón Suma:

d) Sombrea las filas 3 y 9 para que quede

finalmente así:

4.2. En una hoja de cálculo nueva

a) Copia los datos de la siguiente figura, y

"tira" hasta llegar al domingo:

b) Copia de la figura las ventas de Lunes a

Domingo


c) Introduce en B10 la función

=SUMA(B3:B9)

y en B11 la función

=PROMEDIO(B3:B9).

Puedes usar

Da a B10 y B11 formato número sin

decimales. Quedará finalmente:

Gráfico

Selecciona el rango B3:B9, y haz clic en el botón “Gráfico” de la barra de herramientas.

Selecciona alguno del tipo columnas.

Prueba las opciones hasta que te quede aproximadamente así:

4.3. En una hoja de cálculo nueva

a) Copia los datos de la siguiente figura:

v


b) En C2 introduce la fórmula =B2*(1+F2) = B2*(1+$F$2)

En D2 introduce la fórmula = C2*(1+F2) = C2*(1+$F$2)

(El signo $ se introduce para que al “tirar” de las fórmulas hacía abajo, F2 no se adapte.

Si tiras de las fórmulas sin añadir estos signos la referencia F2 se adapta a F3, F4… cuyo contenido es 0%, por lo que

no habría aumentos)

La referencia F2 se llama "referencia relativa"

La referencia $F$2 se llama "referencia absoluta"

Selecciona a la vez C2 y D2 y “tira” del tirador de relleno hacía abajo

Añade totales en fila 7, y da a las celdas formato número con dos decimales

4.4. Crea una hoja de cálculo nueva/ plantilla. Selecciona "Amortización de préstamos", y rellena

con los datos de algún préstamo ficticio para ver cómo funciona:

4.5 Ejercicio opcional: Envía un e-mail a tu profesor adjuntando las actividades Excel resueltas


Lecc. 10. ÁLGEBRA 1. Repaso de operaciones; 2. División Ruffini; 3. Descomposición factorial de un polinomio;

4. Simplificación de fracciones algebraicas.

1. REPASO DE OPERACIONES

1.1 Suma y resta.

a) 2x- 3x2 -2 - (x

2+3x+4) = Sol.: -4x

2-x-6

b) 5-3(x2+1) + x

2 + 2x = Sol.: -2x

2+2x+2

c) (3x2 - 5x + 12) + ( 4x

2 – 2x + 1) = Sol: 7x

2 -7x + 13

d) (6x2 - 5x + 2) - ( x

3 - 3x

2 - 12) = Sol: -x

3 +9x

2 -5x +14

1.2 Multiplicación

a) 2x7 · 4x

5 Sol.: 8x

12

b) 6x2 · 2x

4 Sol.: 12x

6

c) 5x9 · 4x Sol.: 20x

10

d) (7x - 3) · (4x + 2) = Sol.: 28x2 +2x – 6

e) (x2 + x - 6) · (2x - 5) = Sol.: 2x

3 -3x

2 – 17x +30

1.3 División de monomios:

a) 10x5: 2x

3 = Sol: 5x

2

b) 8x2 : 4x

2 = Sol: 2

c) 9x4 : 3x = Sol: 3x

3

1.4 Factor común:

a) 3x3 + 6x

2 =

b) 2x3 + 4x

2 + 8x =

c) x2-3x + 4x

2 +12x = (agrupa antes de sacar factor común)

d) 6x3-3x

2 + 12x =

e) 12x3- 6x

2 + 9x

Sol: a) 3x2(x+2); b) 2x(x2+2x+4); c) x(5x+9); d) 3x(2x2-x+4). e) 3x(4x2 – 2x + 3)


DIVISIÓN EUCLÍDEA DE POLINOMIOS:

Se ordenan los polinomios. (Se dejan los "huecos" en el dividendo si los hay)

Se divide el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor.

Con ello se obtiene el primer término del cociente

Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este

producto –con signo cambiado- debajo del dividendo, y se suma...

Se continúa de esta manera hasta que el resto sea cero o no pueda ser dividido...

Ejemplos:

1.5 Divisiones Euclídeas:

a) (x5 + 2x

3 − x − 8):(x

2 − 2x + 1) =

b) (x4 − 2x

3 − 11x

2 + 30x − 20) : (x

2 + 3x − 2) =

c) (x6

+ 5x4 + 3x

2 − 2x) : (x

2 − x + 3) =


2. DIVISIÓN POR RUFFINI:

A) Coeficientes de un polinomio:

Polinomio Coeficientes del polinomio

x3 + 2x -1 1 0 2 -1

x5- 2x

3 + x

2 -1

2x4- 3x

2 + x-1

x3- 3x + 2

4x2 -1

B) División por Ruffini: solo para divisiones del tipo P(x) : (x+a) o P(x) : (x- a)

EJEMPLO: (3x4

- 8x2

+5x -1) : ( x -2)

1) Escribimos los coeficientes del dividendo, y el opuesto del término independiente del divisor:

2) Se baja el primer coeficiente (3) y se multiplica por 2, y vas sumando y multiplicando dos...

Cociente: 13x4x6x3 23 , resto: 25

2.1. Divide por Ruffini, obteniendo cociente y resto [no olvides los ceros en los huecos]:

a) x3- 3x + 2 : x-1 Sol. c(x) = x

2+ x – 2; resto = 0

b) x5- 2x

3 + x

2 -1 : x-2 . Sol. c(x) = x

4+2x

3 + 2x

2+ 5x +10; resto = 19

c) 2x4- 3x

2 + x-1 : x+1 Sol. c(x) = 2x

3 -2x

2 – x + 2; resto = -3

d) 3x3 + 2x

2 -3 : x+2 Sol. c(x) = 3x

2 - 4x + 8; resto = -19

e) x5 – 1 : x -1 Sol. c(x) = x

4 + x

3 + x

2 + x + 1; resto = 0


Paolo Ruffini (1765–1822)

Matemático y médico italiano. Estudió matemáticas, literatura, filosofía, medicina y biología en la Universidad de

Módena. Se graduó en 1788, y llegó a ser rector en esa universidad.

Desde 1807 fue director de la escuela militar de Milán (durante la invasión de Napoleón)

3. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

A) Descomponer usando Ruffini

Descomponer: P(x) = 652 xx

El término independiente es 6 sus

divisores son: 1 ; 2 ; 3.

Seleccionamos uno de estos valores que de

cero al final ...

Entonces: P(x) = 32 xx

Descomponer: P(x) = 672 2 xx

El término independiente es 6 sus

divisores son: 1 ; 2 ; 3.

Seleccionamos uno de estos valores que de

cero al final ...

Entonces: P(x) = 322 xx

3.1. Factoriza los siguientes polinomios usando Ruffini:

1) x2 - x - 2

2) 3x2- 7x - 6

3) x2 - 9

4) 2x2-5x- 3

5) 3x2+ 10x + 7

6) 7x2 + 12x – 4

Sol: 1) (x+1).(x-2); 2) (3x + 2).(x-3); 3) (2x + 3).(2x - 3); 4) (2x+1)(x-3); 5) (3x+7).(x+1); 6) (7x-2).(x+2).

B) Descomponer resolviendo la ecuación

ax2 + bx + c también se puede descomponer como (x - s1)·(x - s2) = 0,

siendo s1 y s2 las soluciones de ax2 + bx + c = 0.

Lógicamente se llega a la misma descomposición que con Ruffini.


3.2. Factoriza los siguientes polinomios, realizando la ecuación:

1) x2 - x - 2

2) x2- 5x - 6

3) x2 - 9

4) x2 - 7x + 12

Sol: 1) (x+1).(x-2); 2) (x + 1).(x-6); 3) (x + 3).(x - 3); 4) (x-3)(x-4) .

C) Descomponer: “diferencia de cuadrados = suma x diferencia”

Recordamos a2 – b

2 = (a+b)·(a-b)

3.3. Factoriza los siguientes polinomios usando diferencia de cuadrados:

a) 4x2 – 9 =

b) x2 – 4 =

c) x2 – 1 =

d) 4x2 – 25 =

e) 16x2 – 16 =

f) 9x2 – 49 =

Soluc.: (a) (2x+3).(2x-3); (b) (x+2).(x-2); (c) (x+1).(x-1);

(d) (2x+5).(2x-5); (e) (4x+4).(4x-4); (f) (3x+7).(3x-7);

4. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Podemos simplificar cuando numerador y denominador están formados por producto de factores

Bien simplificado, se mantiene el valor.

La fracción vale 3 antes de simplificar y 3 después de simplificar

No podemos simplificar cuando hay sumas o restas en numerador o denominador

Mal simplificado, no se mantiene el valor.

La fracción vale 2 antes de simplificar y 3 después de simplificar

Para simplificar una fracción algebraica debes factorizar numerador y denominador.

Para ello usa uno de estos recursos, en el siguiente orden:

(1º) Factor común

(2º) Diferencia de cuadrados = suma x diferencia

(3º) Ruffini o resolver ecuación 2º grado

Una vez factorizado tachas los factores iguales:


4.1 Simplifica:

a) 1

1

x

x2

b) 2)+(x 2

2)+(x x

c) x 3

2x-x2

d) 2)+(x x

2)+(x x 3 2

e) 4 -x

2-x2

f) x

5x+x2

2

g) x 3

2)-(x x2

h) 1)+(x x

1)+(x x3

Sol: a) x-1; b) x/2; c) (x-2)/3; d) 3x; e) 1/(x+2); f) (x+5)/x; g) (x-2)/3x; h) x2

4.2 Simplifica:

a) 3 + x

9 + x 3

b) 1)+(x 2

2x+x2 2

c) 2)-(x x

x2-x23

d) 1)-(x x

1 + 2x - x2

e) 16 - x

4x-x2

2

f) 6-x-x

4+4x+x2

2

g) 6-x-x

9-x2

2

h) 2x + x

2x - x + x2

23

Sol: a) 3; b) x; c) x; d) (x-1)/x; e) x/(x+4); f) (x+2)/(x-3); g) (x+3)/(x+2); h) x-1 .


Lecc. 11.- SEMEJANZA. TRIGONOMETRÍA 1. Semejanza; 2. Teorema de Thales; 3. Mapas y escalas; 4. Razones trigonométricas.

5. Resolución de triángulos rectángulos; 6. Relaciones fundamentales

1. SEMEJANZA Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma (una es como la otra “tras aplicarle zoom”).

Si dos figuras son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales.

Si los siguientes triángulos son semejantes

Los lados correspondientes serán proporcionales:

)('''

semejanzaderazónkc

c

b

b

a

a

1.1. Ejercicios

a) Calcula las medidas que faltan en el segundo triángulo, y la razón de semejanza (la razón del

mayor al menor).

b) Sabiendo que los siguientes rectángulos son semejantes, obtener el ancho del mayor

c) Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 12 cm. Se construye otro semejante cuyo lado menor

mide 9 cm. Obtener los otros dos lados y la razón de semejanza (la razón del mayor al

menor).

d) Una varilla de un metro proyecta una sombra de 60 cm. ¿Qué altura tiene un árbol que en ese

mismo momento proyecta una sombra de 7,20 m?

e) Un rectángulo tiene unas dimensiones de 15 cm x 20 cm. Si el lado menor de otro rectángulo

semejante a él mide 6 cm, ¿cuánto mide el lado mayor?


Thales de Mileto Nacido en Mileto, Grecia (actualmente Turquía), en el año 624 a.C. Filósofo y matemático.

En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría y astronomía. Fue maestro de Pitágoras.

2. TEOREMA DE THALES Si tres o más rectas paralelas

Son cortadas por dos rectas

transversales

Los segmentos determinados

son proporcionales. Ejemplo:

x

9

4

6

6x = 36 x = 6

Sugerencia: busca en YouTube, “Les Luthiers, Teorema de Thales”

2.1. Ejercicios

a) Las rectas a, b y c son paralelas. Obtener la longitud x

b) Calcular los valores x e y:


3. MAPAS. ESCALAS

La escala indica la razón entre el mapa y la realidad.

Por ejemplo, 1:50 000 indica que por cada unidad en el mapa hay 50 000 en la realidad.

1 cm en el mapa = 50.000 cm en la realidad (50.000 cm = 500 m = 0,5 km)

3.1. Ejercicios

Escala 1: 50 000 Escala 1: 200 000

distancia en mapa

cm

distancia real

km

distancia en mapa

cm

distancia real

km

6 cm 3 cm

15 cm 7 cm

1 km 12 km

2,4 km 25 km

3.2. Ejercicios

a) En un mapa escala 1:50 000 la distancia que separa dos ciudades es de 8 cm.

¿A qué distancia real se encuentran ambas ciudades?

b) En un mapa de escala 1:200 000, ¿Cuál será la distancia entre dos ciudades A y B cuya

distancia real es 360 km?

c) ¿Qué distancia real medida en kilómetros hay entre dos ciudades que están separadas por 4,5

cm en un mapa a escala 1:500.000?

d) Si en un mapa 1 kilómetro equivale a 4 centímetros, ¿cuál es la escala de ese mapa?


4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Si consideramos un ángulo agudo

de un triángulo rectángulo:

sen A = hipotenusa

opuestocateto cos A =

hipotenusa

adyacentecateto tan A =

adyacentecateto

opuestocateto

Ejemplo:

sen A = 5

3= 0,60

cos A = 5

4= 0,8

tg A = 4

3= 0,75

sen B = 5

4= 0,80

cos B = 5

3= 0,60

tg B = 3

4= 1,33

4.1. Ejercicios:

a) Obtener las razones de los ángulos A y B:

b) Obtener las razones de los ángulos A y B. Racionaliza los resultados:


RAZONES DE 45º Se parte un cuadrado de lado 1, y calculamos la diagonal por Pitágoras

Con esta figura calculamos las razones de 45º

Figura 1

RAZONES DE 30º y 60º

En un equilátero de lado 2, calculamos la altura por Pitágoras.

Con esta figura calculamos las razones de 30º y 60º

Figura 2

Llegamos a los siguientes resultados, ya racionalizados:

30º 45º 60º

seno

coseno

tangente

1


5. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un es calcular sus tres lados y sus tres ángulos.

Para resolver un rectángulo nos darán dos lados o un lado y un ángulo.

5.1. Resuelve los triángulos:

Conociendo dos lados: Indicación: Calcula el lado que falta (Pitágoras), y el ángulo A a partir del arco tangente (calculadora)

5.2. Resuelve los triángulos:

Conociendo un lado y un ángulo

Indicación: Calcula el lado C usando la tan A ...

5.3. Ejercicios:

a) Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más

alto de la torre bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el

ángulo es de 80º. Halla la altura de la torre.


b) Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:

(a) Calcula la altura del árbol. (b) ¿A qué distancia está Pablo del árbol?

c) Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:

Halla el valor de c y la longitud del cable (a+b).

d) Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:

e) Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60º. Nos alejamos 6

metros en línea recta y este ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura del edificio?

f) Las diagonales de un rombo miden 10 y 14 cm, respectivamente. Calcula el lado del rombo y

sus ángulos.


6. RELACIONES FUNDAMENTALES

Para todo ángulo A se cumple:

1ª) 1cos22 AAsen 2ª) tan A = A

Asen

cos

6.1. En los siguientes ejercicios suponemos que A es un ángulo agudo de un rectángulo

a) Sabiendo que sen A = 0,6 obtener cos A y tg A

b) Sabiendo que cos A = 0,4 obtener sen A y tg A

c) Sabiendo que 5

3Asen obtener cos A y tg A

d) Sabiendo que 2

1cos A obtener sen A y tg A

e) Sabiendo que 4

1Asen obtener cos A y tg A

f) Sabiendo que 4

3cos A obtener sen A y tg A

g) Sabiendo que 3,0Asen obtener cos A y tg A

h) Sabiendo que 8,0cos A obtener sen A y tg A

i) Simplifica las expresiones:

a) AAsenAsen 23 cos.

b) AAsen 44 cos

c) AsenAtgAtg 222 ·


Lecc. 12. ESTADÍSTICA 1. Estadística; 2. Frecuencias. 3. Medidas estadísticas (Moda; Mediana; Moda);

4. Gráficos estadísticos (Diagrama de barras, Histograma, Diagrama de sectores)

1. ESTADÍSTICA

Estudio estadístico: es la organización y representación de una gran cantidad de datos.

Población: es el conjunto que se estudia.

Individuo: cada uno de los elementos de la población.

Muestra: parte de la población que se estudia con objeto de sacar conclusiones válidas para toda la

población (ya que generalmente es imposible o antieconómico estudiar la población completa)

Variable Estadística:

Es la característica que queremos estudiar.

Sus posibles valores se llaman modalidades.

Estos valores pueden ser palabras (ejemplo nacionalidades), números aislados (ejemplo

número de hijos), o números continuos (ejemplo peso de personas)

El tipo de valor que puede adoptar da lugar a la siguiente clasificación:

Variable

Estadística

Cualitativa

modalidades

son palabras

Cuantitativa modalidades

son números

Discreta: números “sueltos”

Continua números agrupados

en intervalos

Variable Cualitativa (modalidades son palabras)

Variable: Nacionalidad; Modalidades: Español, Francés, Inglés…

Variable: Estado civil; Modalidades: Soltero, casado, viudo, separado.

Variable Discreta (modalidades son números sueltos)

Variable: Nº hermanos; Modalidades: 0, 1, 2, 3, 4…

Variable Continua (modalidades son números en intervalos)

Variable: Altura; Modalidades: [1,50 a 1,60); [1,60 a 1,70); [1,70 a 1,80).

Variable: Peso; Modalidades: [45 a 55); [55 a 65); [65 a 75); [75 a 85).

Nota, en los intervalos:

Corchete: incluye al valor; Paréntesis: no incluye al valor que pasa al siguiente intervalo


2. FRECUENCIAS Frecuencia absoluta (fi) es el número de veces que aparece una modalidad o valor (xi).

Las frecuencias se recogen en tablas. Frecuencia acumulada (Fi) es la suma de las primeras fi

TABLAS DE FRECUENCIAS

Para valores aislados o cualitativa

Tabla de dos columnas:

1ª columna) modalidades (xi)

2ª columna) frecuencias (fi).

Para valores en intervalo:

Tabla de tres columnas:

1ªcolumna) modalidades (intervalos)

2ª columna) valor central intervalo (xi)

3ª columna) frecuencias (fi).

Ejemplo:

Edades en un grupo deportivo de 40 personas....

Edad (xi) fi Fi

16 4 4

17 14 18

18 11 29

19 6 35

20 5 40

Total 40

Ejemplo:

Sueldos en una empresa de 30 trabajadores…

Intervalos Sueldo

(xi) fi Fi

[600, 700) 650 3 3

[700, 800) 750 4 7

[800, 900) 850 9 16

[900, 1000) 950 8 24

[1000, 1100) 1050 6 30

Total 30

2.1.

Elabora una tabla de frecuencias para la variable: "Número de hijos".

Colectivo estudiado: 40 familias.

Datos: Con 0 hijos: 4 familias; con 1 hijo: 6 familias; con 2 hijos: 10 familias;

con 3 hijos: 12 familias; con 4 hijos: 8 familias.

2.2.

Elabora una tabla de frecuencias para la variable: "Edad al casarse".

Colectivo estudiado 100 varones de 24 a 40 años que contrajeron matrimonio en el año anterior.

Datos:

En [24, 28) hay 39; En [28, 32) hay 71; En [32, 36) hay 62; En [36, 40) hay 28.


3. MEDIDAS ESTADÍSTICAS Son valores numéricos que resumen la información del total de datos.

Son muy numerosas. Estudiaremos tres: Moda, Mediana y Media.

MODA

La Moda, Mo, es el valor más frecuente (el de más alta frecuencia)

(Si hay dos valores empatados, los dos son moda)

Ejemplos

En la siguiente tabla aparecen las edades

de un grupo de 40 personas:

Edad (xi) fi

16 6

17 14

18 11

19 6

20 3

Mo = 17 años

Es el valor correspondiente a la frecuencia

más alta

En la siguiente tabla aparecen los sueldos

de 30 trabajadores de una empresa:

Intervalos Sueldo (xi) fi

[600, 700) 650 3

[700, 800) 750 4

[800, 900) 850 9

[900, 1000) 950 8

[1000, 1100) 1050 6

Mo = 850 euros

Es el valor correspondiente a la frecuencia más alta

3.1. Obtener la Moda (Mo)

Mo = ……….

Nº de hijos (xi) fi

0 4

1 8

2 13

3 10

4 3

Total:

Mo = ……….

Altura xi fi

[40, 44) 6

[44, 48) 8

[48, 52) 10

[52, 56) 8

[56, 60) 7

Total:


MEDIANA

La Mediana, Me, es el el valor que queda en el centro, y “parte” en dos a la población.

OBTENCIÓN CON NÚMERO IMPAR DE DATOS:

En un examen tenemos 9 calificaciones: 1, 2, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 9

Mediana Me = 5, pues es la nota que está en el centro.

OBTENCIÓN CON NÚMERO PAR DE DATOS:

En un examen tenemos 10 calificaciones: 1, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8

No hay una nota en el centro, sino una pareja. Me = (5+6)/2 = 5,5.

Ejemplo 1: Obtener la mediana:

Edad (xi) fi Fi

16 6 6

17 14 20

18 11 31

19 6 37

20 3 40

Total 40

De los 40 datos x1, x2, …, x39, x40

Los datos centrales son x20 y x21:

Me =

2

2120 xx5,17

2

1817

Observa en la columna Fi que x20 tiene 17 años y

que x21 tiene 18 años

Ejemplo 2: Obtener la mediana:

Intervalos Sueldo (xi) fi Fi

[600, 700) 650 3 3

[700, 800) 750 4 7

[800, 900) 850 9 16

[900, 1000) 950 8 24

[1000, 1100) 1050 6 30

Total 30

De los 30 datos x1, x2, …, x29, x30

Los datos centrales son x15 y x16:

Me =

2

1615 xx850

2

850850

Observa en la columna Fi que x15 y x16 tienen

un sueldo de 850 €


3.3. Obtener la Mediana (Me)

Nº de ventas (xi) fi Fi

0 4

1 8

2 13

3 10

Total:

Respuesta:

Clientes/día (xi) fi Fi

10 3

11 4

12 9

13 7

14 2

Total:

Respuesta:

3.4. Obtener la Mediana (Me)

Edad xi fi Fi

[24, 28) 4

[28, 32) 11

[32, 36) 15

[36, 40) 10

Total:

Respuesta:

Altura xi fi Fi

[40, 44) 6

[44, 48) 9

[48, 52) 10

[52, 56) 8

[56, 60) 7

Total:

Respuesta:


MEDIA o PROMEDIO x

x = datosden

datoslostodosdeSuma

º

OBTENCIÓN:

En la tabla de frecuencias, añadimos la columna fi·xi

Ejemplo: Obtener la media de los datos expresados en la tabla.

Edad (xi) fi fi·xi

16 6 96

17 14 238

18 11 198

19 6 114

20 3 60

Total 40 706

x = datosden

datoslostodosdeSuma

º

n

xf ii = 65,17

40

706 años

Ejemplo: Obtener la media de los datos de la tabla.

Intervalos sueldos

xi fi fi·xi

[600, 700) 650 3 1.950

[700, 800) 750 4 3.000

[800, 900) 850 9 7.650

[900, 1000) 950 8 7.600

[1000, 1100) 1050 6 6.300

Total 30 26.500

x = datosden

datoslostodosdeSuma

º

n

xf ii = 33,883

30

26500 euros

Observaciones:

La media puede verse afectada por los valores extremos.

Por ejemplo, el cálculo del sueldo medio de una empresa puede verse distorsionado con el sueldo

del director general. A veces se apartan los valores extremos para calcular la media (media acotada).

La mediana no tiene este problema, no le afectan los datos extremos, pues en su cálculo no

intervienen los datos sino las frecuencias.


3.5. Obtener la Media ( x )

Nº de hermanos (xi) fi

0 2

1 10

2 5

3 3

Total:

Respuesta:

Nº de clientes/día (xi) fi

10 3

11 8

12 7

13 2

Total:

Respuesta:

3.6. Obtener la Media ( x )

Edad xi fi

[24, 28) 4

[28, 32) 9

[32, 36) 6

[36, 40) 5

Total:

Respuesta:

Altura xi fi

[40, 44) 4

[44, 48) 7

[48, 52) 6

[52, 56) 3

Total:

Respuesta:


3.7. Ejercicios globales

a) En la siguiente tabla aparecen datos del “nº de visitas al médico" en una residencia de ancianos.

Obtener Media ( x ), Moda (Mo), Mediana (Me).

Nº de visitas (xi) fi fixi

0 4

1 8

2 13

3 10

Total:

b) En la siguiente tabla aparecen datos de “nº de días de baja” de trabajadores de una empresa.


Nº de días (xi) fi fixi

0 3

1 4

2 9

3 7

4 4

5 3

Total:

.

c) En la tabla aparecen las edades de clientes de un gimnasio, de 24 a 40 años.


.

Edad xi fi fixi

[24, 28) 34

[28, 32) 21

[32, 36) 15

[36, 40) 10

Total:

d) En la tabla aparecen “alturas en cm” de 40 niños de una guardería.


Altura (xi) xi fi fixi

[40, 44) 6

[44, 48) 9

[48, 52) 10

[52, 56) 8

[56, 60) 7

Total:


4. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

DIAGRAMA DE BARRAS

Se usa para valores aislados (variable discreta).

En el eje X se colocan los datos y en el eje Y las frecuencias.

Sobre cada dato se coloca una barra de altura = frecuencia.

Datos:

xi fi Melocotón 30 Plátano 40 Pera 50 Naranja 45 Manzana 55

4.1.

Realiza el diagrama de barras de los ejercicios 3.5

HISTOGRAMA

Se usa para valores en intervalos (variable continua).

En el eje X se colocan los intervalos y en el eje Y las frecuencias.

Sobre cada intervalo se coloca un rectángulo de superficie proporcional a la frecuencia del

intervalo.

Equivale a:

(a) Si los intervalos son de igual amplitud: altura = frecuencia

(b) Si los intervalos de amplitud diferente: altura = frecuencia /amplitud intervalo


Ejemplo intervalos igual amplitud:

Peso fi

[40, 44) 6

[44, 48) 9

[48, 52) 15

[52, 56) 12

[56, 60] 8

Ejemplo intervalos diferente amplitud:

Calificación fi

Insuficiente [0, 5) 10

Suficiente [5, 6) 8

Bien [6, 7) 11

Notable [7, 9) 8

Sobresaliente [9, 10] 3

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4.2.

Realiza el histograma correspondiente a la siguiente tabla:

Realiza el histograma correspondiente a la siguiente tabla:

Calificación fi

Insuficiente [0, 5) 14

Suficiente [5, 6) 11

Bien [6, 7) 8

Notable [7, 9) 5

Sobresaliente [9, 10] 2

Edad fi

[16, 20) 5

[20, 24) 8

[24, 28) 7

[28, 32) 6

[32, 36) 4


DIAGRAMA DE SECTORES

Se usa para variable cualitativa

Se divide un círculo en tantas porciones como clases existan, de modo que a cada clase le

corresponde un arco de círculo proporcional a su frecuencia absoluta o relativa.

Ejemplo:

Diagrama de sectores correspondiente a los

siguientes datos.

Partido A: 15 votos;

Partido B: 30 votos;

Partido C: 55 votos.

Elecciones

A; 15

B; 30

C; 55

A

B

C

4.3.

Los votos obtenidos por tres partidos son: partido A= 550; B= 250; C = 400.

Dibuja un diagrama de sectores

4.4.

El país A ha obtenido 12 medallas, el B 18 medallas y el C 30 medallas.

Dibuja diagrama de sectores.

4.5.

Las ¾ partes del planeta tierra están recubiertas por el mar, ¼ restante por tierra.

Representa esta distribución con un diagrama de sectores.


Lecc. 13. PROBABILIDAD 1. Probabilidad de Laplace; 2. Diagrama de Venn; 3. Diagramas de árbol

Vocabulario:

Experiencia determinista:

Cada vez que ponemos agua a presión normal a 100º C, esta entra en ebullición.

Se trata de una experiencia determinista, pues a las mismas condiciones obtienes el mismo resultado.

Experiencia aleatoria:

Si tiras un dado y obtienes un cinco, aunque vuelvas a tirar procurando que se den las mismas

condiciones, tal vez no obtengas un cinco de nuevo.

Esta experiencia en la que no se puede predecir el resultado, se llama experiencia aleatoria.

De este tipo de experiencias se ocupa la probabilidad.

Espacio muestral E:

Es el conjunto de resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplo. En el lanzamiento del dado: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso: Es cada resultado o agrupación de resultados.

Ejemplos: Salir 5 = {5}; Salir par = {2, 4, 6}; Salir 3 = {3, 4, 5, 6}

Suceso seguro, está formado por todos los resultados posibles. O sea, es el espacio muestral

completo

Ejemplo: al tirar un dado el suceso seguro es salir 1, o 2, o 3, o 4, o 5, o 6

S = E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso imposible, no tiene ningún elemento. Se denota con el signo:

Ejemplo: al tirar un dado el suceso imposible es no salir 1, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5, ni 6

S =

Suceso contrario del suceso A, se realiza cuando no se realiza A. Se denota por A

Ejemplos:

Contrario de salir par: 5,3,1parsalir

Contrario de salir cinco, 6,4,3,2,15 salir

Sucesos compatibles, los que sí pueden darse simultáneamente

Ejemplo: salir par y salir más de tres son sucesos compatibles

Sucesos incompatibles, si no pueden darse simultáneamente

Ejemplo: salir par y salir impar son sucesos incompatibles


1. PROBABILIDAD DE LAPLACE La probabilidad de un suceso es:

p = posiblescasosden

favorablescasosden

º

º

(Fórmula intuitiva, no científica, válida en experimentos con resultados “igualmente probables”)

Ejemplo:

Experiencia: lanzamiento de un dado. Obtener la probabilidad de…

p(salir par) = 6

3= 0,50 (50%)

p(salir 3) = 6

4= 0,66 (66%)

1.1. Ejercicios:

Sugerencia: haz los ejercicios escribiendo el espacio muestral y contando los casos favorables:

a) Lanzamos dos monedas. Obtener la probabilidad de obtener

(1) una cara y una cruz. (2) dos caras. (3) dos cruces

b) Lanzamos tres monedas. Obtener la probabilidad de obtener

(1) tres caras; (2) dos caras y una cruz. (3) una cara y dos cruces; (4) tres cruces

BARAJA ESPAÑOLA:

Cuatro palos (oros, copas, espadas, bastos)

Diez cartas en cada palo:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, sota, caballo, rey.

“Figuras” = sotas, caballos y reyes

NO SIEMPRE ES VÁLIDA LA REGLA DE LAPLACE…

Ejemplo: me presento a un examen. Hay dos casos posibles, aprobar y suspender

Entonces: p(aprobar) = 2

1= 0,50 (50%) … ¡MAL!

¿Porque está mal? Porque los dos sucesos posibles aprobar y suspender no son equiprobables


1.2. Ejercicios:

a) Extraemos una carta de la baraja, obtener la probabilidad de

(1) sea copa; (2) sea caballo; (3) sea figura;

b) Tengo en la mano las doce figuras de la baraja. Extraigo una carta.

Calcular las siguientes probabilidades:

(1) Que la carta extraída sea caballo; (2) Que la carta extraída sea oro

c) Extraemos una carta de la baraja, obtener la probabilidad de

(1) sea caballo o rey; (2) sea copa o figura;

d) Extraemos una carta de la baraja, obtener la probabilidad de

(1) sea caballo y copa; (2) sea copa y figura;

Las dos caras opuestas del dado de parchís suman siete

1.3. Ejercicios:

a) Lanzamos un dado, obtener la probabilidad de

(1) Sacar un cinco; (2) sacar cifra par; (3) sacar mayor o igual que cinco

b) Lanzamos dos dados. Calcular las siguientes probabilidades:

(1) Que la suma sea par; (2) Que la suma sea siete; (3) Que la suma sea superior a 9

c) Lanzamos dos dados. Calcular las siguientes probabilidades:

(1) Obtener algún cinco; (2) Que la suma sea siete; (3) Que la suma sea superior a 9

d) Lanzamos un dado y una moneda

(1) Probabilidad de que salga cara y par; (2) Probabilidad de que sea cruz y 5 o cruz y 6


2. DIAGRAMA DE VENN Lo utilizamos para organizar datos referidos a sucesos no excluyentes.

Ejemplo:

En un grupo de alumnos:

10 han aprobado Inglés

15 han aprobado Lengua

3 han aprobado Lengua e Inglés

8 no han aprobado nada.

¿Cuántos alumnos tiene el grupo?

Observa en el diagrama de Venn como se organizan estos datos.

Puede verse que el grupo tiene 7+3+12+8 = 30 alumnos

2.1. Ejercicios:

a) En un curso de 40 alumnos:

5 han aprobado Inglés y Lengua


20 han aprobado Lengua.

Calcula cuantos no han aprobado ninguna de las dos.

Sugerencia: rellena un diagrama con los datos, comenzando

por la intersección

b) En un curso de 50 alumnos:

12 han aprobado Matemáticas y Lengua

30 han aprobado Matemáticas

4 no han aprobado ninguna.

¿Cuántos han aprobado Lengua?.

c) En un curso de 40 alumnos:

9 no han aprobado nada


25 han aprobado Lengua.

Calcula cuantos han aprobado las dos.


SUCESO AoB ; SUCESO AyB

Ocurrir A o ocurrir B = A B

Ocurrir A y ocurrir B = A B

)()()()( BAPBPAPBAP

Ejemplo: En una baraja:

Copa o Figura = 19 cartas

Contando directamente:

P(C o F) = 475,040

19 = 47,5 %

Con la fórmula:

P(CF) = P(C) + P(F) – P(C F) =

%5,47475,040

19

40

3

40

12

40

10

Copa y Figura = 3 cartas

P(C y F) = 075,040

3 = 7,5 %

2.2. Ejercicios:

a) A los 75 años:

La probabilidad de ser miope es P(M)=0,50

La probabilidad de tener cataratas es P(C)= 0,30

La probabilidad de las dos cosas es P(M y C) =0,15.

¿Cuál es la probabilidad de tener Miopia o tener

Cataratas?

b) En un determinado curso:

La probabilidad de aprobar Matemáticas P(M) = 0,60

La probabilidad de aprobar Lengua p(L) = 0,70

La probabilidad de suspender las dos P( LyM )=0,10

¿Cuál es la probabilidad de aprobar Matemáticas o

aprobar Lengua?


2.3. Ejercicios:

a) En un grupo:

La probabilidad de ser mujer es P(M)=0,40

La probabilidad de fumar en el total del grupo es de

un 20 por ciento: P(F)= 0,20

La probabilidad de las dos cosas es

P(M y F) =0,15.

¿Cuál es la probabilidad de ser mujer no fumadora?

¿Cuál es la probabilidad de ser hombre no

fumador?

¿Cuál es la probabilidad de ser hombre o fumador?

b) En un determinado grupo, la probabilidad de que te guste la cerveza es de 0,65. La

probabilidad de que te guste el vino es de 0,30, y la de que te gusten las dos cosas es de

0,15. ¿Cuál es la probabilidad de que te guste la cerveza o el vino?

c) En un determinado grupo, hay 30 mujeres de las que 18 hacen deporte, y hay 20 hombres de

los que 12 hacen deporte. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de ese grupo haga

deporte?

d) En una facultad universitaria tenemos los siguientes datos:

Practica

deporte

No practica

deporte Total

Varón 189 301 490

Mujer 165 335 500

Total 354 636 990

Calcula la probabilidad de que elegido un alumno al azar:

a) Practique deporte.

b) Sea mujer y no practique deporte.

c) Practique deporte sabiendo que es mujer.

d) Sea varón si el alumno elegido no practica deporte.


3. DIAGRAMAS DE ÁRBOL Se usan cuando el problema se puede desglosar en disyuntivas.

O sea, en opciones incompatibles y que cubran todos los casos (sumen 1 = 100%)

Ejemplo 1:

Una urna contiene 4 bolas rojas y 2 verdes. Extraemos dos bolas consecutivamente.

Calcula: (1º) Probabilidad de que ambas sean rojas; (2º) de que una sea roja y otra verde.

Se puede hacer con diagramas de árbol, ya que cada vez que extraes una bola tienes dos alternativas

incompatibles: ser roja o verde, y entre las dos suman 100% ya que sucede una o sucede la otra

LA SITUACIÓN SE REFLEJA EN EL SIGUIENTE DIAGRAMA DE ÁRBOL:

Probabilidad ambas rojas:

P(RR) = 30

12

5

3·

6

4 = 0,40 --> 40%

Probabilidad de verde y roja:

P(RV) +P(VR) =

= 30

16

30

8

30

8

5

4·

6

2

5

2·

6

4 = 0,53 --> 53%

Ejemplo 2:

En un curso de 50 alumnos: 12 han aprobado Matemáticas y Lengua; 30 han aprobado

Matemáticas; 4 no han aprobado ninguna. ¿Cuántos han aprobado Lengua?

Este ejercicio NO se puede hacer con diagramas de árbol, ya que aprobar matemáticas, aprobar lengua

NO son alternativas incompatibles. No sucede una cosa O la otra (puede suceder una cosa Y la otra, o

sea, no son incompatibles)

3.1. Ejercicios:

a) En un examen de 20 preguntas me he estudiado 15. Me van a poner dos preguntas

1º) Cuál es la probabilidad de saber las dos

2º) Cuál es la probabilidad de no saber ninguna

3º) Cuál es la probabilidad de saber una si y otra no

b) De una baraja de 40 cartas se toman dos cartas. Calcula la probabilidad de que:

1º) Sean pareja de copas

2º) Sean pareja de caballos

3º) Sean una copa y una espada

c) En una urna hay 12 bolas blancas y 8 negras. Extraemos tres bolas. Calcula (primero suponiendo

que las bolas se reponen, y segundo suponiendo que las bolas no se reponen):

1º) Probabilidad de que las dos primeras sean negras y la tercera blanca

2º) Se obtengan dos negras y una blanca en cualquier orden.


d) En una cesta hay seis huevos. Cuatro sanos y dos podridos. Sacamos dos huevos.

(1º) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean podridos?

(2º) ¿Cuál es la probabilidad de que los dos sean sanos?

(3º) ¿Cuál es la probabilidad de que uno sea sano y el otro podrido?

e) Un producto tiene dos fases de fabricación. En la primera fase la probabilidad de tener

defecto es de 0,06 y en la segunda fase, la probabilidad de tener defecto es 0,02. ¿Cuál es la

probabilidad de que el producto salga sin defecto alguno?

f) En un examen de 20 preguntas he estudiado 16. En el examen salen dos preguntas. Se pide:

1º) La probabilidad de saber al menos una pregunta de las dos

2º) La probabilidad de saber las dos preguntas

3º) La probabilidad de no saber ninguna pregunta

g) Hay un grupo de 7 mujeres y 3 hombres. Entre ellos se eligen a tres personas. Se pide:

1º) La probabilidad de que sean tres mujeres

2º) La probabilidad de que sean dos hombres y una mujer

h) Esta semana la probabilidad de que un día llueva es 60%, y la de que no llueva es 40%. Se pide::

1º) La probabilidad de que llueva hoy y mañana

2º) La probabilidad de que no llueva ni hoy ni mañana

PROGRAMA MATEMÁTICAS ESPA – NIVEL 1 (1º y 2º ) · Una función y = f(x) ... y = x2 - 1 a)...

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