FUNCIÓN

Una función relaciona dos variables:

x (variable independiente) e

y (variable dependiente).

(El valor de la y es función de lo que valga x, depende de x).

y = 3x – 5

Una función asocia a cada valor de x un único valor de y. Así, por ejemplo, en

la gráfica de aquí abajo, para x = 3 sólo tenemos un valor de y, que es y = 1.

La siguiente gráfica no es una función, porque a cada valor de x le

corresponden varios de y. Así, por ejemplo, para x = -2,5 hay tres valores de y: 4,5,

0 y -4,5.

TEMA 4 Y 5 – FUNCIONES.

DOMINIO (NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA “X”)

Es el tramo donde la función existe en “x”

1. POLINOMIO:

x2-x+1 Dom =

2. POLINOMIO

POLINOMIO: - {SOLUCIÓN DEL DENOMINADOR}

105

12

x

xDom = - {2}

3. n POLINOMIO Si n= impar Dom =

3 3x Dom =

4. n POLINOMIO Si n= par POLINOMIO ≥ 0

652 xx x2-5x+6 ≥ 0 x≥2 y x≥3

Dom = (-∞,2] U [3,∞)

5. n

POLINOMIO

POLINOMIOSi n= imparDom= - {SOLUCIÓN DEL DENOMINADOR}

3

2

1

x

xDom = - {2}

6. n

POLINOMIO

POLINOMIO Si n= par POLINOMIO ≥ 0

65

42

xx

x

65

42

xx

x ≥ 0 x+4≥0 x≥-4 x2-5x+6 > 0 x>2 y x>3

Dom = [-4,2) U (3,∞)

7. aPOLINOMIO Dom =

8. log n POLINOMIO POLINOMIO > 0

log (x2-5x+6) x2-5x+6>0 x>2 y x>3

Dom = (-∞,2) U (3,∞)

RECORRIDO (NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA “Y”)

Es el tramo donde la función existe en “y”

MÁXIMO (COINCIDE CON EL VÉRTICE EN LAS PARÁBOLAS)

Es el punto donde la función pasa de creciente a decreciente.

MÍNIMO (COINCIDE CON EL VÉRTICE EN LAS PARÁBOLAS)

Es el punto donde la función pasa de decreciente a creciente.

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD

Una función es continua cuando al dibujar la gráfica no levantamos el lápiz del

papel, mientras que si levantamos el lápiz se dice que es discontinua.

FUNCIONES PERIÓDICAS

Son aquellas funciones que se repite la gráfica:

CRECIENTE Y DECRECIENTE (NOS FIJAMOS EN LA COORDENADA “X”)

La función es creciente si la gráfica sube, al recorrerla de izquierda a derecha.

La función es decreciente, si la gráfica baja, al recorrerla de izquierda a derecha.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM)

Se llama tasa de variación media de la función f en el intervalo [a,b] al cociente

entre la variación de la función y la longitud del intervalo. Sirve para saber si la

función es creciente o decreciente. Si la TVM es positiva es creciente y si es

negativa es decreciente.

TVM de f en [a,b] = ab

afbf

)()(

Observa que la TVM de f en [a,b] es la pendiente del segmento AB.

Ejemplo:

Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

La función es creciente ya que la TVM es positiva.

1. FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA: y = mx

Es una recta que SIEMPRE pasa por el origen de coordenadas (0,0).

La m es la PENDIENTE DE LA RECTA. x

ym

1. Dominio: Dom f(x)=

2. Recorrido: Im f(x) =

3. Continuidad: Función continua

4. Crecimiento y decrecimiento:

- si m es positiva, la recta crece. Ejemplo: y = 2x

- si m es negativa, la recta decrece. Ejemplo: y = -2x

5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos.

6. Tabla de valores: Ejemplo: y = 2x

x -1 0 1

y -2 0 2

7. Representación: Ejemplo: y = 2x

2. FUNCIÓN AFÍN: y = mx+n

Es una recta que NUNCA pasa por el origen de coordenadas (0,0).

La m es la PENDIENTE DE LA RECTA. x

nym

La n es la ORDENADA DE LA RECTA (“donde corta al eje y”)

1. Dominio: Dom f(x)=

2. Recorrido: Im f(x) =

3. Continuidad: Función continua

4. Crecimiento y decrecimiento:

- si m es positiva, la recta crece. Ejemplo: y = 2x

- si m es negativa, la recta decrece. Ejemplo: y = -2x

5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos.

6. Tabla de valores: Ejemplo: y = 2x + 1

x -1 0 1

y -1 1 3

7. Representación: Ejemplo: y = 2x + 1

3. ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS y=mx+n

Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2). Como la ecuación de la recta será y = mx + n,

tendremos que hallar m y n. La m es igual a:

Ejemplo: ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 5)?

Para no confundirnos y hallar la m sin errores es conveniente entretenernos en

asignar valores:

x1 = 2; y1 = 1; x2 = 4; y2 = 5.

En la fórmula de arriba sustituimos las letras por sus respectivos valores para

hallar la m:

m = 224

15

12

12

xx

yy

¿Cómo hallamos n?

En la ecuación general y = mx + n sustituimos la m por el valor que acabamos de

hallar (2), la y, por la ordenada del punto A (que es y1 = 1) y la x, por la abscisa x

del punto A (que es x1 = 2) [podríamos haber utilizado también las coordenadas del

punto B, en lugar de las del punto A, y el resultado hubiera sido el mismo], con lo

que nos queda:

y = mx + n

1 = 2 · 2 + n

1 = 4 + n

1 – 4 = n

n = -3

Luego, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B(4, 5) es y = 2x – 3

4. LA FUNCIÓN CONSTANTE: y=k

Se llama constante porque el valor de y siempre es el mismo, es igual a la

constante k y no depende de x. Su fórmula general (su ecuación) es

y = k

Su representación gráfica es una recta paralela al eje X, que corta al eje Y

en k.

1. Dominio: Dom f(x)=

2. Recorrido: Im f(x) = n

3. Continuidad: Función continua

4. Crecimiento y decrecimiento: Ni crece ni decrece, es constante.

5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos.

6. No se hace tabla de valores:

7. Representación: Ejemplo: y = 3

5. FUNCIÓN CUADRÁTICA y=ax2+bx+c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:

Ejemplo: f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

xv =

22

4

1·2

4

yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1

V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

Eje OX y=0 cero, por lo que tendremos: ax² + bx + c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0

Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0

Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

x² − 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que

tendremos: f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)

x² − 4x + 3 = 0

f(0)=(0)2-4(0)+3=3

(0,3)

4. Tabla de valores y representación gráfica

Colocamos los puntos obtenidos en la tabla (el vértice, y los cortes con los

ejes)

V OX OX OY

x 2 3 1 0

y -1 0 0 3

5. Estudio de la función:

DIBUJO

1. Dominio: Dom f(x)=

2. Recorrido: Im f(x) = (Vy,+∞) Im f(x) = (-∞,Vy)

3. Continuidad: Función continua

4. Crecimiento y decrecimiento: Decrece (-∞,Vx)

y crece (Vx,+∞)

Crece (-∞,Vx) y

decrece (Vx,+∞)

5. Máximos y mínimos: Mínimo (Vx,Vy) Máximo (Vx,Vy).

6. FUNCIÓN LINEAL A TROZOS

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de

una “fórmula”. Cada una de las fórmulas se acompaña de una condición que

especifica su dominio de aplicación. Así, la expresión analítica general de una

función definida a trozos tiene el siguiente aspecto:

Donde los dominios suelen aparecer como intervalos, inecuaciones o puntos. Se

representa cada ecuación teniendo en cuenta las inecuaciones, es decir, nos

regimos a los valores que se pueden dar según la inecuación.

En la gráfica de una función definida a trozos se suelen distinguir claramente

varias partes distintas. La trayectoria puede ser continua o contener

discontinuidades.

El dominio lo forman todos los números reales menos el 2.

7. FUNCIÓN CON VALOR ABSOLUTO

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los

siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la

x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

EJEMPLO: ECUACIÓN

Estudio de la función:

DIBUJO

1. Dominio: Dom f(x)=

2. Recorrido: Im f(x) = [0,+∞) Im f(x) = (-∞,0]

3. Continuidad: Función continua

4. Crecimiento y decrecimiento: Decrece (-∞,sol)

y crece (sol,+∞)

Crece (-∞,sol) y

decrece (sol,+∞)

5. Máximos y mínimos: Mínimo (sol,0) Máximo (sol,0).

EJEMPLO: ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

RESUELVO LA ECUACIÓN PARA LOS CORTES:

CALCULAMOS LOS SIGNOS

CALCULAMOS CADA UNA POR SEPARADO TENIENDO EN CUENTA

EL INTERVALO.

F(x)= x2-5x+6 si x<2

VÉRTICE

𝑽𝒙 =−𝒃

𝟐𝒂=

𝟓

𝟐= 𝟐, 𝟓 NO PUEDO COGERLO YA QUE NO ES MENOR QUE 2

CORTES CON LOS EJES

EJE X Y=0 (2,0) Y (3,0) NO PUEDO COGERLOS

EJE Y X=0 (0,6) SI PUEDO COGERLO

F(x)= -x2+5x-6 si 2≤X<3

VÉRTICE

𝑽𝒙 =−𝒃

𝟐𝒂=

−𝟓

−𝟐= 𝟐, 𝟓 PUEDO COGERLO

𝑽𝒚 = −(𝟐, 𝟓)𝟐 + 𝟓(𝟐, 𝟓) − 𝟔 = 𝟎. 𝟐𝟓

CORTES CON LOS EJES

EJE X Y=0 (2,0) SÍ PUEDO COGERLO Y (3,0) NO PUEDO

EJE Y X=0 (0,-6) NO PUEDO COGERLO

F(x)= x2-5x+6 si X≥3

VÉRTICE

𝑽𝒙 =−𝒃

𝟐𝒂=

𝟓

𝟐= 𝟐, 𝟓 NO PUEDO COGERLO

CORTES CON LOS EJES

EJE X Y=0 (2,0) NO PUEDO COGERLO Y (3,0) SÍ PUEDO

EJE Y X=0 (0,-6) NO PUEDO COGERLO

REPRESENTACIÓN: Me puedo ayudar de una tabla de valores para

representar

8. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:

Las gráficas de las funciones de proporcionalidad inversa son hipérbolas.

Se realiza una tabla de valores, sabiendo que nunca se puede dar el cero, ya que

no existe en ese punto.

Estudio de la función:

DIBUJO

1. Dominio: Dom f(x)= -{0}

2. Recorrido: Im f(x) = -{0}

3. Continuidad: Función continua en -{0}

4. Crecimiento y

decrecimiento:

Decrece Crece

5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos

9. FUNCIONES RADICALES DE INDICE PAR

1. Calculamos el dominio. Se resuelve la inecuación ≥0 y se estudia el signo.

2. Se hace una tabla de valores sabiendo que la función existe solo en los

intervalos positivos.

x 0 2 3 4

y 6 0 0 2

3. Representación gráfica

Estudio de la función:

DIBUJO

CUADRÁTICA

LINEAL

1. Dominio: El intervalo obtenido en el paso 1

2. Recorrido: Im f(x) = [0,+ ∞) Im f(x) = [0,+ ∞)

3. Continuidad: Función continua en -{donde es negativa}

4. Crecimiento y

decrecimiento:

Decrece (-∞,sol] y

crece [sol,+∞)

Crece (sol, +∞)

5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos

10. FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace

corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Se resuelve mediante una tabla de valores, sabiendo que siempre pasa por el punto

(0,1) y por el punto (1,a).

Ejemplo:

x -2 -1 0 1 2 3

y

4

1

2

1

1 2 4 8

Estudio de la función:

DIBUJO

1. Dominio: Dom f(x)=

2. Recorrido: Im f(x) = (0, +∞)

3. Continuidad: Función continua

4. Crecimiento y decrecimiento: Creciente si a > 1. Decreciente si a < 1.

5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos

11. FUNCIONES LOGARITMICAS

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en

base a.

Se resuelve mediante una tabla de valores, sabiendo que siempre pasa por el punto

(1,0) y por el punto (a,1).

Ejemplo:

x

8

1

4

1

2

1

1 2 4

y -3 -2 -1 0 1 2

Estudio de la función:

DIBUJO

1. Dominio: Dom f(x)= ó (0,+∞)

2. Recorrido: Im f(x) =

3. Continuidad: Función continua

4. Crecimiento y decrecimiento: Creciente si a > 1.

Decreciente si a < 1.

5. Máximos y mínimos: No tiene máximos ni mínimos