Problemas de Cinem atica del Cuerpo Rgido.JoseMaraRicoMartnezDepartamentodeIngenieraMec anicaFacultaddeIngenieraMec anica,ElectricayElectr onicaUniversidaddeGuanajuato.Salamanca,Gto. 36730, MexicoOctober20,20091 ProblemasPropuestos.Problema 1.El bloque rectangular que se muestra gira alrededor de la diagonal OA con velocidadangular constante de 6.76rad.s.. Si la rotaci on es en sentido contrario al de las manecillas del relojcuando se observa desde A, determine velocidad y aceleracion del punto B en el instante indicado.1Figure 1: Gr aca de un bloque rectangular sujeto a rotaci on .Solucion. Primeramente encontraremos un vector unitario en la direcci on del vector rOA. Setiene querA/O = 5 in.i + 31.2 in.j + 12 in.k.1EsteeselProblema15.9dellibroMec anicaVectorial ParaIngenieros, Din amica. Beer, F.P.,Johnston, E.R.yClausen, W.E.,Octavaedici on, McGrawHill: MexicoD.F.1Por lo tanto, uOA =rA/O| rA/O |=5in.i + 31.2 in.j + 12 in.k52+ 31.22+ 122=25169i + 1213 j +60169kDe estos resultados puede calcularse el vector velocidad angular del bloque rectangular como =| | uOA =_1i + 6.24j + 2.4k_ rad.s.Debe notarse que esta denicion del vector velocidad angular cumple con las caractersticas indi-cadas en la teora de la cinematica de cuerpos rgidos.Ademascomolamagnituddelavelocidadangularesconstanteyel cuerpoestasujetoarotacion alrededor de un eje jo, el vector uOA es constante y tambien es constante. De aquque =dd t=

0.Finalmente, determinaremosrOB, puesBesel puntocuyavelocidadyaceleracionsedeseaconocer yO es un puntoalolargodelejederotacion.rB/O = 5 in.i + 15.6 in.j + 0 in.k.Por lo tantovB = rB/O =_1i + 6.24j + 2.4k__5 in.i + 15.6 in.j + 0 in.k_ =_37.44i + 12.0j 15.6k_ in.s.De manera semejante,aB = rB/O + _ rB/O_ = _ rB/O_ =_126.144i 74.256j + 245.6256k_ rad.s2.Problema 2.En el problema 1, determine la velocidad y aceleraci on del punto B en el instantemostrado, suponiendo que la velocidad angular es de 3.38rad.s.y que disminuye a raz on de 5.07rad.s2.2Solucion:Del problema 1, se sabe que uOA =5in.i + 31.2 in.j + 12 in.k52+ 31.22+ 122=25169i + 1213 j +60169kDe estos resultados puede calcularse el vector velocidad angular del bloque rectangular como =| | uOA =_0.5i + 3.12j + 1.2k_ rad.s.Puesto que la velocidad angular est a disminuyendo a raz on de 5.07rad.s2.la aceleracion angular est adado por =| | uOA = 5.07_ 25169i + 1213 j +60169k_ =_0.75i 4.68j 1.80k_ rad.s2.De esta manera, la velocidad del puntoB, esta dada porvB = rB/O =_0.5i + 3.12j + 1.2k__5 in.i + 15.6 in.j + 0 in.k_ =_18.72i + 6.0j 7.8k_ in.s.2Estees elProblema 15.10 dellibro Mec anicaVectorialParaIngenieros,Din amica. Beer,F.P.,Johnston,E.R.yClausen, W.E.,Octavaedici on, McGrawHill: MexicoD.F.2De manera semejante,aB= rB/O + _ rB/O_=_0.75i 4.68j 1.80k__5 in.i + 15.6 in.j + 0 in.k_+_0.5i + 3.12j + 1.2k___0.5i + 3.12j + 1.2k__5 in.i + 15.6 in.j + 0 in.k__=_3.456i 27.564j + 73.1064k_ in.s2.Problema3. LavarillaacodadaABCDgiraconvelocidadangular constantede75radsalrededor de una lnea que une los puntosA yD. Si en el instante considerado la velocidad de laesquinaCva hacia arriba, determine velocidad y aceleracion para la esquinaB.3Figure 2: Barra doblada sujeta a rotaci on alrededor de un eje jo.Solucion.Primeramente determinaremos el vector de posici on del punto A respecto del puntoD, dado porrA/D = 200 mm.i + 120 mm.j + 90 mm.k.De manera que un vector unitario a lo largo del eje de rotacion est a dado por uDA =rA/D| rA/D |= 200mm.i + 120 mm.j + 90 mm.k_(200)2+ 1202+ 902= 45 i + 1225 j +925kDe estos resultados puede calcularse el vector velocidad angular del bloque rectangular como = | | uDA = 75rad.s._45 i + 1225 j +925k_ rad.s.=_60 i + 36 j + 27 k_ rad.s.,Dondepuedetenerunicamentedosvalores, esdecir {1, 1}eindicar ael sentidodelavelocidad angular. Por otro lado, el vector de posici on del punto Ccon respecto al punto D hayotras muchas opciones, pero esta es la mas sencilla esta dado porrC/D = 0 mm.i + 0 mm.j + 90 mm.k.3Estees elProblema 15.13 dellibro Mec anicaVectorialParaIngenieros,Din amica. Beer,F.P.,Johnston,E.R.yClausen, W.E.,Octavaedici on, McGrawHill: MexicoD.F.3Por lo tanto, la velocidad deCesta dada porvC = rC/D =__60 i + 36 j + 27 k_ rad.s.__90 mm.k_ =_3240 i + 5400 j + 0k_ mm.s.Puesto que se sabe que la velocidad del punto C va hacia arriba, en terminos menos coloquiales,que la componenteYde la velocidad deC, vC, es positiva, resulta entonces que = 1.Por lo tanto, la velocidad angular de la barra doblada est a dada por =_60i + 36j + 27k_ rad.s.Ademas puesto que el vector de posicion del punto B con respecto al punto A hay otras muchasopciones, pero esta es la mas sencilla esta dado porrB/A = 200 mm.i + 0 mm.j + 0 mm.k.La velocidad del puntoBesta dada porvB = rB/A =__60i + 36j + 27k_ rad.s.__200 mm.i_ =_5400j 7200k_ mm.s.Mas a un, puesto que la magnitud de esta velocidad angular es constante y el movimiento es derotacion alrededor deunejejo,yporlotanto,ladirecci on delavelocidad angular estambienconstante, se tiene que =

0.Por lo tanto, la aceleraci on del puntoB esta dada poraB= rB/A + _ rB/A_ = _ rB/A_ =_405000i 432000j 324000k_ mm.s2.=_405i 432j 324k_ m.s2.Problema4. Cuando se pone en operaci on, un motor alcanza su velocidad nominal de 2400r.p.m. en 4 segundos y, al desactivarse, tarda 40 segundos para llegar al reposo.Si el movimiento esuniformemente acelerado, determine el n umero de revoluciones que ejecuta el motor a) al alcanzarla velocidad nominal, b) al detenerse.4Solucion: Para laprimerapartedel problema, puestoqueelmovimientoesuniformementeacelerado, se tiene que(t) = ,sujeto a las condiciones iniciales, parat = 0,(0) = 0 y(0) = 0. Por lo tanto,d d t= o (t) = t + c1Sustituyendo la primera condici on inicial,c1 = 0, por lo que(t) = t4EsteeselProblema15.5dellibroMec anicaVectorial ParaIngenieros, Din amica. Beer, F.P.,Johnston, E.R.yClausen, W.E.,Octavaedici on, McGrawHill: MexicoD.F.4Sise sabe que parat = 4 segundos, (4) = 2400 r.p.m. = 251.32rad.s.,se tieneque laaceleracionangular est a dada por =251.324rad.s2.= 62.831 rad.s2.Integrando la ecuacion de la velocidad angular, se tiene que(t) =12 t2+ c2.Sustituyendo la condici on inicial parat = 0,(0) = 0, se tiene quec2 = 0 y(t) =12 t2Por lo tanto, parat = 4 s., se tiene que(4) =12_62.831 rad.s2._ (4 s)2= 502.65 rad. = 80 revoluciones.Paralasegundapartedel problema, tambienel movimientoesuniformementeacelerado, setiene que(t) = ,sujeto a las condiciones iniciales, parat = 0, (0) = 2400 r.p.m. = 251.32rad.s.y(0) = 0. Por lotanto,d d t= o (t) = t + c3Sustituyendo la primera condici on inicial,c3 = 0 = 251.32rad.s., por lo que(t) = t + 0.Si se sabe que parat = 40 segundos,(40) = 0 r.p.m. = 0rad.s., se tiene que la aceleracion angularesta dada por = 0t= 251.3240rad.s2.= 6.2831 rad.s2.Integrando la ecuacion de la velocidad angular, se tiene que(t) =12 t2+ 0 t + c4.Sustituyendo la condici on inicial parat = 0,(0) = 0, se tiene quec4 = 0 y(t) =12 t2+ 0t.Por lo tanto, parat = 40 s., se tiene que(40) =12_6.2831 rad.s2._ (40 s)2+_251.32rad.s._(40 s.) = 5026.53 rad. = 800 revoluciones.Problema5. Labandaquesemuestra enlagura 3semuevesindeslizamiento sobredospoleas. LapoleaApartedel reposoconaceleracionangularenel sentidodelasmanecillasdelreloj, denida mediante la relacion = 120 0.002 2.5Figure 3: Banda que se mueve entre dos poleas sin deslizamiento.dondese expresa enrad.s2.yenrads. Determine,luego demedia revoluci on dela poleaA,a)la magnitud de la aceleraci on del puntoBsobre la banda, b) la aceleracion del puntoPsobre lapoleaC.5Solucion. Del an alisis del movimiento del cuerpo rgido sujeto a rotaci on alrededor de un ejejo, se sabe queAd Ad = A = 120 0.002 2A.Por lo tanto, se tiene que para la poleaAA d A120 0.002 2A= d Ao 10.004_0.004 Ad A120 0.002 2A=_d AEntonces250 Ln_120 0.002 2A_ = A + c1,manipulando algebraicamente la ecuaci on120 0.002 2A = e0.004 A+c1= c2 e0.004 APara determinar la constante de integraci on c2, se debe recurrir a la condicion inicial, para A = 0,A = 0, entonces120 0.002 (0)2= c2e0.004 (0)= c2 e0= c2,Por lo tanto,c2 = 120 y120 0.002 2A = 120 e0.004 Ao 2A = 60000 _1 e0.004 A_Ahoradeterminaremos, lavelocidadyaceleracionangulardelapoleaAcuandoharotadomedia revoluci on, es decir para cuando = rad. EntoncesA = _60000 (1 e0.004 ) = 27.3726 rad.s.yA = 120 0.002 (27.3726)2= 118.50 rad.s2.5Estees elProblema 15.20 dellibro Mec anicaVectorialParaIngenieros,Din amica. Beer,F.P.,Johnston,E.R.yClausen, W.E.,Octavaedici on, McGrawHill: MexicoD.F.6Demaneraquelaaceleraci ontangencial deunpunto, P, delabandaenlaperiferiadelapoleaA esta dada poratP = A rA =_118.50 rad.s2._(8 in.) = 948in.s2.= 79piess2.Puesto que no hay deslizamiento, esta es tambien la aceleracion de partcula B de la banda debenotarse que el puntoB esta sujeto a traslaci on rectilnea y por lo tanto su componente normal deaceleracion es nula, es deciraB = atP = 79piess2.Ahora bien, para resolver el problema del puntoPsobre la poleaC, es necesario recordar queel movimiento de la banda sobre las poleas ocurre sin deslizamiento, por lo tanto, se tiene que1. Las magnitudes de las velocidas de los puntosP, de la banda localizado en la periferia dela poleaA y el puntoPde la banda localizado en la periferia de la poleaCtienen la mismsmagnitud, por lo tantoA rA = C rCC = ArArC= 43.796 rad.s.2. Las magnitudes de las aceleraciones tangenciales de los puntos P, de la banda localizado enla periferia de la poleaA y el puntoPde la banda localizado en la periferia de la poleaCtienen la misms magnitud, por lo tantoA rA = C rCC = ArArC= 189.6 rad.s2.Por lo tanto, la aceleraci on del puntoCesta dada poraP=C rP/O + C _ C rP/O_ = C rP/O |C |2rP/O=_189.6k__5 in.i_ (43.796)2_5 in.i_ =_948j 9590i_ in.s2.Figure 4: Polea compuesta con dos cargas.Problema5. Unapoleaydosbloquesseconectanmediantecuerdasinextensiblescomoseindica en la gura 4. La polea parte desde el reposo ent = 0 y se acelera a una razon uniforme de72.4rads2en el sentido de las manecillas del reloj. Ent = 4 s, determine la velocidad y posicion dea) la cargaA, b) la cargaB.6Solucion:Considere dos puntos coincidentes, PA, uno localizado en la polea y otro localizadoenlacuerda inextensiblequeconecta la poleacon lacargaAjustoenelpuntodondela cuerdadeja de estar enrollada y se hace vertical; similarmente, considere otro par de puntos coincidentes,PBj, uno localizado en la polea y otro localizado en la cuerda inextensible que conecta la polea conla carga B justo en el punto donde la cuerda deja de estar enrollada y se hace vertical. En amboscasos, entre el par de puntos no hay deslizamiento. Por lo tanto,vPApolea = vPAcuerday vPB polea = vPBcuerdat 0.Similarmente,atPApolea = atPAcuerday atPBpolea= atPBcuerdat 0.Ademas, debenotarsequelasvelocidadesylasaceleracionestangencialesdelospuntosquepertenecen a las cuerdas, son las velocidades y aceleraciones de las cargas. Ademas, aplicando elconcepto de placa representativa, para la cargaA, se tiene quevA = vPAcuerda = vPApolea = rPA/Oy aA = atPAcuerda= atPApolea= rPA/O.De manera semejante, para la cargaB, se tiene quevB = vPB cuerda= vPB polea = rPB/Oy aB = atPBcuerda= atPBpolea= rPB/O.Esteresultadoindicaquesi lapoleainiciasumovimientoapartirdel reposo, entonceslascargasA yBtambien inician su movimiento a partir del reposo. Todava mas, las aceleracionesuniformes de las cargas A yBestan dadas porvA = atPAcuerda = atPApolea = rPA/O = 2.4 rads2k _13 pie_i = 0.8pies2j.SimilarmenteatPBcuerda= atPBpolea = rPB/O = 2.4 rads2k _12 pie_i = 1.2pies2j.Usando los metos de cinem atica de la partcula, se tiene quevA = aA t = 0.8pies2j(4 s) = 3.2 piesj, y rA =12aA t2=12 0.8pies2j(4 s)2= 6.4 piej.de manera semejantevB = aB t = 1.2pies2j(4 s) = 4.8 piesj, y rB =12aB t2=12_1.2pies2_ j(4 s)2= 9.6 piej.Problema 6.Dos discos de friccion A y B se pondr an en contacto sin deslizamiento cuando lavelocidad angular del discoA sea de 240 r.p.m. en sentido contrario a las manecillas del reloj, veala gura 5. El discoA empieza su movimiento desde el reposo en el tiempot = 0 y se le imprimeunaaceleracionangularconstantedemagnitud. El discoBpartedel reposoent=2 sysele imparte una aceleracion angular constante en el sentido de las manecillas del reloj, tambien de6Estees elProblema 15.30 dellibro Mec anicaVectorialParaIngenieros,Din amica. Beer,F.P.,Johnston,E.R.yClausen, W.E.,Octavaedici on, McGrawHill: MexicoD.F.8Figure 5: Dos discos de fricci on.magnitud . Determine a) la magnitud de la aceleraci on angular requerida, b) lel tiempo al cualocurre el contacto.7Solucion: Determinaremoslasecuacionesdemovimientodelosdiscosdefriccion. ParaeldiscoA, se tiene que A(t) = kPor lo tanto, si parat = 0, se tiene queA =

0, se tiene queA(t) = tkDe manera semejante, se tiene que B(t) = kPor lo tanto, si parat = 2 s, se tiene queB =

0, se tiene queA(t) = (t 2) kPor lo tanto, la velocidad de los puntos, P, en la periferia de los discos A y B, donde los discosse ponen en contacto,8estan dados porvPA= A(t) rP/OA= tk (0.15 m) j = 0.15 tiyvPB= B(t) rP/OB= (t 2)k (0.2 m) j = 0.2 (t 2)iPor lo tanto, si los discos se ponen en contacto sin deslizamiento, se tiene que0.15 t = 0.2 (t 2)Por otro lado, se sabe que este contacto ocurre cuando la velocidad del discoAes de 240 r.p.m.en sentido contrario a las manecillas del reloj, es decirt = 240 r.p.m. = 25.1327 rads7Estees elProblema 15.31 dellibro Mec anicaVectorialParaIngenieros,Din amica. Beer,F.P.,Johnston,E.R.yClausen, W.E.,Octavaedici on, McGrawHill: MexicoD.F.8Nuevamenteseaplicaraelconceptodeplacarepresentativa.9Despejando,t en esta segunda ecuacion y sustituyendolo en la primera ecuaci on, se tiene que0.15 25.1327rads= 0.2 _25.1327rads 2_o 3.7699rads= 5.02654rads 0.4 Por lo tanto = 3.1416 rads2.Por lo tanto, el tiempo para el cual se ponen el contacto est a dado port =25.1327rads=25.1327rads3.1416rads2= 7.9999 s.Figure 6: Disco Rotante.Problema7. El discocircularmostradoenlagura6giraalrededordesuejezconunavelocidad angular en la direcci on mostrada. En un cierto instante, la magnitud de la velocidad delpunto A es de 10piesy esta decreciendo a una velocidad de 24pies2 . Escriba las expresiones vectorialespara la aceleracion angular del disco y la aceleracion total del puntoBen ese instante.9Solucion.Note que en este caso la aplicacion del concepto de placa representativa es inmediato.De hecho, los puntosA yBestan en la misma cara del disco, se emplear a, ademas, un puntoO,localizado en la interseccion del ejezel eje de rotacion y la misma cara del disco, de maneraquerA/O = 23 piei y rB/O =12 piejPor otro lado, se sabe que = k,donde por la direccion de rotacion > 0, ademas, se sabe quevA = 10 piesj y atA = 24 pies2j.donde {1, 1}, y ademas se sabe que los sentidos de vAy atAson opuestos.9Este es el Problema 5/23 del libro Engineering Mechanics: Dynamics,Sixth Edition. Meriam,J. L. and Kraige,L.G. [2007], JohnWiley: NewYork.10Aplicando las ecuaciones que permiten conocer las velocidades y aceleraciones de las partculasde un cuerpo rgido sujeto a rotaci on alrededor de un eje jo, se tiene quevA = rA/Oo 10 piesj = k _23 piei_o 10 piesj = 23 pie jPor lo tanto, = 1 = 15 radsy vA = 10 piesjDe manera semejante, puesto que los sentidos de vAy atAson opuestos, se tiene queatA = 24 pies2De manera queatA = 24 pies2= rA/O = k _23 piei_ = 23 jPor lo tanto = 36 rads2y = 36 rads2k.Finalmente, la aceleracion total del puntoBesta dada poraB = rB/O 2rB/O = 36 rads2k 12 piej _15 rads_212 piej = 18pies2i 112.5pies2jFigure 7: Mecanismo con disco rodando.Problema 8. La rueda der = 4 pulgadas de radio que se muestra en la gura 7 gira hacia laizquierda, en sentido contrario a las manecillas del reloj, de tal manera que su centro D tiene unavelocidad de 45 pulgadas/segundo yruedasindeslizar. Si la distanciaAD es de 2.5 pulgadas,determine la velocidad del collarn y la velocidad angular de la varillaABcuando a)= 0,b) = 90.10Solucion: Aqu resolveremosexclusivamenteel incisoa). Si sedenominaPel puntodelarueda que esta en contacto con el piso, se tiene que si el disco rueda sin deslizarvP/disco = vP/piso =

0, y atP/disco = atP/piso =

0.10Estees elProblema 15.70 dellibro Mec anicaVectorialParaIngenieros,Din amica. Beer,F.P.,Johnston,E.R.yClausen, W.E.,Octavaedici on, McGrawHill: MexicoD.F.11Cuando = 0, los vectores de posicion est an dados porrD/P= 4pulg.j rA/D = 2.5pulg.j rB/A = 10.677pulg.i + 6.5 pulg.j.Es importante se nalar que el movimiento de rodadura entre dos cuerpos es un caso particularde movimiento plano general. Si la rodadura entre dos cuerpos es sin deslizamiento, las velocidadesde los dos puntos de contacto y coincidentes, uno perteneciente a un cuerpo y otro perteneciente alotro cuerpo, tienen la misma velocidad y la misma componente tangencial de la aceleracion. En elcaso particular de un disco que rueda sin deslizar sobre un plano, se tiene que el desplazamiento,s, del puntoD, que es el centro del disco, y el angulo de rotaci on del disco,, estan relacionadospors = r donder es el radio del disco y los sentidos del desplazamiento y del angulo de rotaci on son con-gruentes. Derivandoconrespectoaltiempoestaexpresion,puestoqueresconstante,setieneque| vD |= t donde = es la velocidad angular del disco. De manera similar, una segunda derivaci on conducea el punto D se mueve a lo largo de una lnea recta, de manera que no tiene aceleraci on normal.| aD |= t donde = = . Es importante indicar que las direcciones de la velocidad y la aceleracion est anrelacionadas con las direcciones de la velocidad angular y la aceleracion angular respectivamente.De acuerdo a la denicion del movimiento de rodadura sin deslizamiento, se tiene quevP/disco =

0.Por lo tantovD/disco= vP/disco + rD/P45 pulg.s.i =

0 + k 4 pulg.j = 4 pulg.i.Por lo tanto = 45pulg.s.4 pulg.= 11.25 rad.s.y = 11.25 rad.s.k.Ahora determinaremos la velocidad del puntoA,vA/disco = vD/disco + rA/D = 45 pulg.s.i +_11.25 rad.s.k__2.5 pulg.j_ = 16.875 pulg.s.iAdemasvA/disco = vA/ABEstamos ahora enposici on para obtenerla velocidad delcollarnBylavelocidad angular delabarraAB. Debe notarse quevB/AB= vB/collarvA/AB + AB rB/A= vBi16.875 pulg.s.i +_ABk__10.677pulg.i + 6.5 pulg.j_= vBi12Las ecuaciones escalares que resultan de la ecuacion vectorial son16.875 pulg.s. AB 6.5 pulg. = vB,y0 + AB 10.677pulg.= 0.Por lo tantoAB = 0 y vB = 16.875 pulg.s.o en terminos vectoriales =

0 y vB = 16.875 pulg.s.i.13