Problemas trifasicos

Sistema por Unidad – PU

Ejemplos

1. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 zonas, dibuje el diagrama de reactancias en p.u.. Seleccione los valores del generador de la zona 1 como los valores base del sistema.

Los datos son los siguientes:• Generador: 30 MVA, 13.8 kV, 3Ø, X” = 15 %• Motor No. 1: 20 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %• Motor No. 2: 10 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %• Transformador T1 (3Ø): 35 MVA, 13.2 Δ / 115 Y kV, X = 10 %• Transformador T2 (3 - 1 Ø): @ 10 MVA, 12.5 / 67 kV, X = 10 %• Línea de Transmisión: 80 Ω /fase

Solución: Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. El ejemplo indica que la base son los datos del generador que se encuentra en la zona 1, entonces:

MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 13.8 kV

De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 13.8 kV. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus conexiones.

Zona 2:

=

alnoV

alnoVkVkV

primzonabasezonabase min

minsec21

ó

=

alnoV

alnoVkVkV pri

zonabasezonabase min

min

sec12

kVkV zonabase 23.1202.13

1158.132 =

=⇒

Zona 3:

=

alnoV

alnoVkVkV


minsec23

kVkV zonabase 958.12673

5.1223.1203 =

∗= referido a través de T2

Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la conexión en delta en ese punto.

Cálculo de las impedancias en p.u.:

Generador No.1:15.01 =gX (No requiere conversión porque esta zona es la base del sistema)

Motor No.1:

=

1

2

2

2

11

base

base

base

baseactualM MVA

MVA

kV

kVXX

2795.020

30

95.12

5.122.0

2

1 =

=MX

Motor No. 2:

=

1

2

2

2

12

base

base

base

baseactualM MVA

MVA

kV

kVXX

5590.010

30

95.12

5.122.0

2

2 =

=MX

En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:

Transformador T1

=

1

2

2

2

11

base

base

base

baseactualpuT MVA

MVA

kV

kVXX

0784.035

30

95.12

5.121.0

2

2 =

=puX

Transformador T2

=

1

2

2

2

12

base

base

base

baseactualpuT MVA

MVA

kV

kVXX

0932.030

30

95.12

5.121.0

2

2 =

=TX

Para la línea de Tx:

1

22

2

)(

base

basebase MVA

kVZ =

Ω== 82.48130

)23.120( 2

2baseZ

basepu

octualpuTx X

XX =

1660.082.481

80 ==TxX

Diagrama de impedancias:

2. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, tomando en consideración una potencia base de 100 MVA y un voltaje base de 110 kV, transforme el sistema en un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.

SoluciónPara realizar la solución de pasar al sistema p. u. se debe de realizar los siguientes pasos:

1. Definir en primera instancia la potencia base y los voltajes base por zona, los cuales normalmente son definidas por los transformadores.

2. Convertir las impedancias a p. u. Si las bases de los equipos no son las del sistema, la impedancias primero se deben pasar a ohmios (Ω) y evaluar el nuevo valor de la impedancia en p. u.

3. Dibujar el diagrama de impedancias en p. u.

Para este caso, se ve claramente tres zonas:1. La zona del lado del generador 1.2. La zona de transmisión, donde se encuentran las líneas y cargas.3. La zona del lado del generador 2.

Generador100 MVA

22 kVX=90%

Transformador100 MVA

22:110 kVX=10%

Línea de transmisiónZ = j0.8403 pu @ 120

kV y 50 MVA

Cargadatos de operación:

V=110 kVS=10 MVA

fp = 1

Transformador100 MVA

120:24 kVX=12.6%

Generador80 MVA

22 kVX=1.48 pu

Línea de transmisiónZ = j60.5 ohms

Línea de transmisiónX = 60.5 ohms

22:110 kV 120:24 kV

Sbase = 100 MVAVbase = 110 kV

Cálculo de Voltaje Base

Zona 2: Referencia del sistemaS base = 100 MVAV base = 110 kV

Zona 1: Lado del generador 1S base = 100 MVAV base = ?

=

alnoV

alnoVkVkV


minsec21

kVkV zonabase 22110

221101 =

=

Zona 3: Lado del generador 2

S base = 100 MVAV base = ?

=

alnoV

alnoVkVkV


minsec23

kVkV zonabase 22120

241103 =

=

Cálculo de impedancias y reactancias

Zona 1: Lado del generador 1Estos cálculos no son estrictamente necesarios porque:

• la base del generador corresponde a la base del sistema

• la base del transformador corresponde a la base del sistema

Generador

sistemabase

generador

sistemabase

generadorbaseplacapug Z

Z

Z

ZXX

−

Ω−

−

−− =

=

*1

sistema

placapu

g pu

MVA

kV

MVA

kV

X 9.0

100

)22(

100

)22(*9.0

2

2

1 =

=−

Transformador

sistemabase

transf

sistemabase

transfbaseplacaput Z

Z

Z

ZXX

−

Ω−

−

−− =

=

*1

sistema

placapu

t pu

MVA

kV

MVA

kV

X 1.0

100

)22(

100

)22(*1.0

2

2

1 =

=−

Zona 2: Área de transmisión: líneas y cargas

Línea superior

sistemabase

línea

sistemabase

líneabaseplacapuLL Z

Z

Z

ZZXjZ

−

Ω−

−

−− =

==

*

sistema

placapu

LL puj

MVA

kV

j

MVA

kV

MVA

kVZ

XjZ 2

100

)110(

242

100

)110(

50

)120(*

22

2

=Ω=

==−

Líneas inferiores

sistemabase

líneaLL Z

ZXjZ

−

Ω−==

sistemaLL puj

MVA

kV

jXjZ 5.0

100

)110(

5.602

=Ω==

Línea de la carga

sistemabase

acLL Z

ZXjZ

−

Ω−== arg

sistemaLL pu

MVA

kV

MVA

kV

XjZ °∠=

°∠

== 010

100

)110(

010

)110(

2

2

Zona 3: Lado del generador 2Generador

sistemabase

generador

sistemabase


Z

Z

ZXX

−

Ω−

−

−− =

=

*2

sistema

placapu

g pu

MVA

kV

MVA

kV

X 85.1

100

)22(

80

)22(*48.1

2

2

2 =

=−

Transformador

sistemabase

transf

sistemabase


Z

Z

ZXX

−

Ω−

−

−− =

=

*2

sistema

placapu

t pu

MVA

kV

MVA

kV

X 15.0

100

)22(

100

)24(*126.0

2

2

2 =

=−

Lo anterior nos da el siguiente diagrama de impedancias en por unidad de una base común:

3. Para el siguiente sistema de transmisión de 2 barras, tomando en consideración una potencia base de 30 MVA y un voltaje base de 33 kV, transforme el sistema en un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.

+V1= 1 p.u.-

zg1=j0.9

z13=j2 p.u.

z12=j0.5 p.u. z23=j0.5 p.u.

z2=10 p.u.

zt2=j0.15

+V3= -j1 p.u.

-

1 3

2

zg2=j1.85zt1=j0.1

45

Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación:• Generador No. 1: 30 MVA, 10.5 kV, X” = 44%, Xn = 1.5 Ω• Generador No. 2: 15 MVA, 6.6 kV, X” = 41%, Xn = 2.5 Ω• Generador No. 3: 25 MVA, 6.6 kV, X” = 32%, Xn = 2.5 Ω• Transformador T1 (3Ø): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21%• Transformador T2 (3 - 1 Ø): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24%• Línea de Transmisión: 20.5 Ω /fase• Carga A: 15 MW. 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso• Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso.

En el caso del transformador T2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias denotadas por Xn , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma normalizada, ya sea en % ó en pu., en cuyo caso debemos entender que las bases de su normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en Ω.

Solución:

Para el análisis de este caso se divide el sistema en tres zonas como se indica en la siguiente figura, cada una con la característica de tener el mismo voltaje:

Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide usar como bases de sistema: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de transmisión.

De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 33 kV, dado que el voltaje base coincide con el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus conexiones.

Para las demás bases se tiene:Zona 1:

=

alnoV

alnoVkVkV


minsec21

kVkV zonabase 1133

11331 =

= referido a través de T1

Zona 3:

=

alnoV

alnoVkVkV


minsec23


8.6333 =

⋅= referido a través de T2

Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la conexión en delta en ese punto.

Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo, únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la impedancia base de la zona correspondiente (zona 2).

Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores normalizados, sobre las bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos, deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se muestra a continuación.

Generador No.1:

sistemabase

generador

sistemabase


Z

Z

ZXX

−

Ω−

−

−− =

=

*1

pu

MVA

kV

MVA

kV

Xplacapu

g 40.0

30

)11(

30

)5.10(*44.0

2

2

1 =

=−

Mientras que la reactancia de aterrizamiento es:

sistemabase

nn Z

XX

−

Ω−= 11

puj

MVA

kV

jX n 37.0

30

)11(

5.121 =Ω=

Generador No.2:

sistemabase

generador

sistemabase


Z

Z

ZXX

−

Ω−

−

−− =

=

*2

pu

MVA

kV

MVA

kV

Xplacapu

g 85.0

30

)48.6(

15

)6.6(*41.0

2

2

2 =

=−

Mientras que la reactancia de neutro es:

sistemabase

nn Z

XX

−

Ω−= 22

puj

MVA

kV

jX n 79.1

30

)48.6(

5.222 =Ω=

Generador No.3:

sistemabase

generador

sistemabase


Z

Z

ZXX

−

Ω−

−

−− =

=

*3

pu

MVA

kV

MVA

kV

Xplacapu

g 40.0

30

)48.6(

25

)6.6(*32.0

2

2

3 =

=−

Mientras que la reactancia de aterrizamiento es:

sistemabase

nn Z

XX

−

Ω−= 33

sisteman puj

MVA

kV

jX 79.1

30

)48.6(

5.223 =Ω=

En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:

Transformador T1

sistemabase

transf

sistemabase


Z

Z

ZXX

−

Ω−

−

−− =

=

*1

pu

MVA

kV

MVA

kV

Xplacapu

t 42.0

30

)11(

15

)11(*21.0

2

2

1 =

=−

Transformador T2

sistemabase

transf

sistemabase


Z

Z

ZXX

−

Ω−

−

−− =

=

*2

pu

MVA

kV

MVA

kV

Xplacapu

t 53.0

30

)33(

15

)320(*24.0

2

2

2 =

⋅

=−

Es importante indicar que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la

relación de cualquier lado del transformador, dado que 48.6

8.6

33

320=

⋅

En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente

sistemabase

acLT Z

ZX

−

Ω−= arg

pu

MVA

kVX LT 56.0

30

)33(

5.202

=Ω=

4. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, sin cargas, las reactancias de las dos secciones de líneas de transmisión se muestran en el siguiente diagrama. Los transformadores y generadores tienen los siguientes valores nominales:

• Generador No. 1: 20 MVA, 13.8 kV, Xd” = 0.20 por unidad• Generador No. 2: 30 MVA, 18 kV, Xd” = 0.20 por unidad• Generador No. 3: 30 MVA, 20 kV, Xd” = 0.20 por unidad• Transformador T1 (3Ø): 25 MVA, 220 Y/13.8 Δ kV, X = 21%• Transformador T2 (3 - 1 Ø): 10 MVA, 127/18 kV, X = 10 %• Transformador T3 (3Ø): 35 MVA, 220 Y/22 Y kV, X = 21%

Dibuje el diagrama de impedancias con todas las reactancias señaladas en por unidad y con las letras para indicar los puntos que corresponde al diagrama unifilar. Seleccione una base de 50 MVA y 13.8 kV en el circuito del generador 1.

Solución

Cálculo de Voltaje Base

Zona del generador 1: S base = 50 MVAV base = 13.8 kV

Zona de la línea de transmisión de B a C y de C a ES base = 50 MVAV base = ?

=

alnoV

alnoVkVkV


minsec21

ó

=

alnoV

alnoVkVkV


min

sec12


2208.132 =

=

Zona del generador 2S base = 50 MVAV base = ?

=

alnoV

alnoVkVkV


minsec23

=

alnoV

alnoVkVkV

primlíneazonabasegeneradorzonabase min

minsec)(2)2(3

kVkV generadorzonabase 181273

18220)2(3 =

=

Zona del generador 3S base = 50 MVAV base = ?

=

alnoV

alnoVkVkV


minsec23

=

alnoV

alnoVkVkV

primlíneazonabasegeneradorzonabase min

minsec)(2)3(3

kVkV generadorzonabase 22220

22220)3(3 =

=

Cálculo de impedancias y reactancias

Lado del generador 1Para calcular la impedancia del generador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del generador, la cual es de 20 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, 13.8 kV.

=

)(1

)(2

2

2

11

generadordelbase

sistemadelbase

base

basepug MVA

MVA

kV

kVXX

unidadporX g 50.020

502.01 =

=

Lado del generador 2

En el caso del generador 2, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del generador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2.

=

)(1

)(2

2

2

12

generadordelbase

sistemadelbase

base

basepug MVA

MVA

kV

kVXX

=

generadordelbase

sistemadelbasepug MVA

MVAXX 2

unidadporX g 33.030

502.02 =

=

Lado del generador 3En el caso del generador 3, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del generador 3, el cual es de 30 MVA y en este caso los voltajes son diferentes porque el voltaje del generador 3 es de 20 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del generador 3 fue de 22 kV.

=

)(1

)(2

2

2

13

generadordelbase

sistemadelbase

base

basepug MVA

MVA

kV

kVXX

unidadporXX pug 275.030

50

22

202

3 =

=

Para el transformador T1

Para calcular la impedancia del transformador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del transformador, la cual es de 25 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, 13.8 kV.

=

)(1

)(2

2

2

11

generadordelbase

sistemadelbase

base

basepuT MVA

MVA

kV

kVXX

unidadporX T 20.025

5001.01 =

=

Lado del transformador T2

En el caso del transformador 2, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del transformador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2.

=

)(1

)(2

2

2

12

generadordelbase

sistemadelbase

base

basepug MVA

MVA

kV

kVXX

=

generadordelbase

sistemadelbasepug MVA

MVAXX 2

unidadporX g 167.030

5001.02 =

=

Lado del transformador T3

En el caso del transformador 3, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del transformador 3, el cual es de 35 MVA y en este caso los voltajes son iguales porque el voltaje del transformador 3 es de 22 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del transformador 3 fue de 22 kV.

=

)(1

)(2

2

2

13

generadordelbase

sistemadelbase

base

basepug MVA

MVA

kV

kVXX

unidadporX g 143.035

502

22

2001.0

2

3 =

=

Líneas de transmisión

base

basebase MVA

kVZ

2)(=

Ω== 96850

)220( 2

baseZ

Para la línea de Tx de j 80 Ω se tiene:

sistemabase

líneaLL Z

ZXjZ

−

Ω−==

unidadporZ L 0826.0968

80 ==

Para la línea de Tx de j 100 Ω se tiene:

sistemabase

líneaLL Z

ZXjZ

−

Ω−==

unidadporZ L 1033.0968

100 ==

Finalmente el diagrama de impedancias con todas las reactancias es el siguiente:

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