Problemas de valor inicial y de frontera

En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.

Definición (Problema de valor inicia) Un problema de valor inicial o de Cauchy consta de una ecuación diferencial de orden n y de n condiciones iniciales impuestas a la función desconocida y a sus (n-1) primeras derivadas en un valor de la variable independiente. Es decir

Es decir

0

1

0

0

0

1 1

( , , , ,..., )

.

.

.

nn

n

o

o

o

n n

o

d yf x y y y y

dx

y x y

y x y

y x y

y x y

Ejemplo. Una partícula P se mueve a lo largo del eje x de manera tal que su aceleración en

cualquier tiempo 0t está dada por 2( ) 10 6 4a t t t . Encuentre la posición ( )x t de la

partícula en cualquier tiempo t , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en

1x y está viajando a una velocidad de 4v .

Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada

la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

22

210 6 4

(0) 1

(0) 4

d xt t

dt

x

x

Integrando con respecto a obtenemos

2 3

1

410 3

3

dxt t t C

dt

y usando la condición (0) 4x

2 3

1

1

4(0) 4 10(0) 3(0) (0)

3

4

x C

C

con lo cual la velocidad en cualquier tiempo sería

2 3410 3 4

3

dxt t t

dt

Integrando de nuevo

2 3 4

2

1( ) 5 4

3x t t t t t C

y usando la condición (0) 1x podemos determinar que 2 1C y obtener la posición de la

partícula en cualquier tiempo

4 3 21( ) 5 4 1

3x t t t t t

Ejemplo. Una familia de curvas tiene la propiedad de que la pendiente de la recta tangente

en el punto ( , )x y está dada por x

y . Hallar el miembro de esta familia que pasa por el

punto (3,4) .

El problema de valor inicial asociado es

con (3) 4dy x

ydx y

dy x

dx y sujeta a (3) 4y

Para resolver la ecuación diferencial debemos separar variables e integrar

2 2

2 2

2 2 2

ydy xdx

y x C

x y C

Y usando la condición inicial (3) 4y obtenemos que 25C , con lo cual la curva buscada

es 2 2 25x y , la cual se muestra en la figura 8.

Figura 8. Solución particular del ejemplo