Problema aritmetikoak - DBHko Matematika · 2018. 10. 17. · 2/3; bigarrenari, 200 ogi biribil;...

34

Unitatearen aurkezpena

•Neurketaketakalkuluakegiteanedoegunerokotasunekoproble-makebaztean,nekezlortuohidituguemaitzazehatzak;horidelaeta,gutxigorabeherakozenbakiakerabiltzenditugu,gehiegipentsatugabe.Horrenbestez,unitatearenhasieran,hurbiltzeei,zifraesangarrieietaegindakoerroreeiburuzkooinarrizkoideiaklandukoditugu.Izanere,ikasleakedozeinproblemarengutxigorabeherakoemaitzaemateangertatzendenerroreazjabeizateanahida.

•Erroreabsolutuarenetaerlatiboarenkontzeptuetan,kontrola-tzearierreparatukodiogu:erroreabsolutuarenkasuan,erabili-takoazkenzifraesangarriarenordenarekin,etaerroreerlati-boarenkasuan,zifraesangarrienkantitatearekin.

•Ikasleekezagutzendituzteproportzionaltasunarekinetaehune-koekinlotutakooinarrizkokontzeptuak.Unitatehonetan,horiekguztiakgogoratzeazgain,sakonduegingoditugu.Horretarako,testuingurujakinbatzueilotutakoegoeratanetaproblematanaplikatukoditugu.

•Besteakbeste,honakohauekikasikoditugu:unitateralaburtzekometodoaketahirukoerregelaproportzionaltasunsinplekopro-blemetan.Horrezgain,proportzionaltasunkonposatukozenbaitproblema-ereduereaztertukoditugu.Kasubakoitzeanageridi-renproportzionaltasunzuzenarenedoalderantzizkoarenmotakidentifikatzealehenetsikodugu,etamotabakoitzekoproblemakebaztekoprozeduraklandukoditugu.

•Unitateanzehar,zenbaitproblemaklasikoebaztenikasikodugu:banaketaproportzionalak,nahasteaketahigikariak,eta,bereziki,ehunekoak.Ikasleakhoriekmodubizkorbateanebaztekogaiizandaitezen,zenbaitprozedurabarneratubeharkodituzte,arra-zoibideegokiakerabiliz.

•Unitateko edukiak esanguratsuak dira egunerokotasunekohainbategoeratarako.Unitateaneskaintzendirenereduetanhainbatbaliabideetaprozeduradaude;horiekerabilgarriakizan-gozaizkieikasleeiaipatuditugunegoerakinterpretatzekoetaebazteko.

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Zenbaki-ordenajakinbaterahurbiltzea.Birbiltzea.Zifraesanga-rriak.

•Proportzionaltasunekoproblemaketabesteproblemaklasikobatzukebaztea.

•Kalkuluakegiteaehunekoekin:ehunekoakhandiagotzeaetatxi-kiagotzea.Aldakuntza-indizea,hasierakoetaamaierakokantita-teakkalkulatzeko.

3 Problema aritmetikoak

34

Unitatearen eskema

PROBLEMA ARITMETIKOAK

Hasierakokantitateazenbatdenkalkulatzea,jakinikaldakuntzaeta

azkenkantitateazenbatden

Erroreakontrolatzea

•ABSOLUTUA•ERLATIBOA

SIMPLEA

•Zuzena•Alderantzizkoa

NAHASTEAK

ALDAKUNTZA-INDIZEA

INTERESKONPOSATUA

HIGIKARIAK

PROBLEMAKLASIKOAK

EHUNEKOAK

KONPOSATUAZifraesangarriak

Ehunekoakhandiagotzea

Ehunekoaktxikiagotzea

BANAKETAPROPORTZIONALAK

Ehunekoaldakuntzakkateatzea

HURBILTZEAKETAERROREAK

PROPORTZIONALTASUN-PROBLEMAK

35

Osagarrigarrantzitsuak

•Erroreak:

Erroreabsolutuaetaerroreerlatiboa.

•Egindenerrorearenborneaetahurbildutakoadierazpenarenzi-fraesangarriakerlazionatzea.

•Ehunekoaldakuntzakkateatzea.

•Intereskonposatua.

Lanakaurreratu

•Arrazoiarenetaproportzioarenkontzeptuakgogoratzea.

•Proportziobatengaiezezagunakalkulatzea.

•Proportzionaltasunzuzenadutenegoerakidentifikatzea.

•Alderantzizkoproportzionaltasunadutenegoerakidentifikatzea.

•Proportzionaltasunikezdutenegoerakidentifikatzea.

•Ehunekoarenkontzeptuaetabereaplikazioakberrikustea:zatiaetaadieraztenduenehunekoakalkulatzea.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

50.or.Pentsatuetapraktikatu.(*) 28.or.Ariketaebatzia.(*) 43.or.Pentsatuetapraktikatu.(*)

46.etik49.erakoorrialdeak.PDhonetaniradokitakoariketa.

48.,49.,52.eta53.orrialdeak.Ariketaebatziak.(*)

58.or.32.ariketa.(*)

51.etik54.erakoorrialdeak.PDhonetaniradokitakoariketa.(*)

55.or.1.ariketaetaproblemaebatziak.(*) 59.or.53.ariketa.(*)

56.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 57.or.27.ariketa.(*)

58.or.36.ariketa.(*)

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

51.or.4.ariketa.(*) 40.or.PDhonetaniradokitakoariketa.(*)

41.or.Ebatzi.(*) Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

54.or.Pentsatuetapraktikatu.(*)

54.or.Problemaeba-tziak.(*)

53.or.10.ariketa.(*) 46.,47.,48.,53.eta54.orrialdeak.Pentsatuetapraktikatu.(*)

57.or.17.,21.,22.eta23.ariketak.(*)

54.or.2.ariketa.(*) 59.or.61.ariketa.(*) 57.or.18.,28.ariketak.(*)

58.or.29.ariketa.(*) 60.or.«Egingogoetaetaateraondorioak»ariketa.(*)

Pág.58.Actividades30,38,41(*)

Pág.59.Actividades45,48,56(*)

61.or.Trebatuproblemakebatziz.(*)

Jarraianaurkeztuduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,ekimenaetaproblemenebazpenalantzekoariketa-sortabatproposatudugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanpro-posatuditugu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagozkionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,Proposamendidaktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

36

4140

3 Problema aritmetikoak

Ebatzi

1. Ebatzi proposatu diren Ahmesen bi problemak eta, lehenengoari dagokionez, eran-tzun:a) Zenbat denbora iraun behar du lusuilak? b) Zenbat koipe kontsumi daiteke hilabetean?

2. Bankariak urteko % 6ko interesean mailegatzen du dirua.a) Zer interes lortuko du urtebetean 100 dobloi mailegatuz gero? Eta hilabetean mailegatuz gero? Eta zazpi hilabe-

tean mailegatuz gero?b) Zer interes hartuko du 500 euro zazpi hilabetean mailegatuz gero?

3. Ebatzi gorago aipatu den babiloniar taulatxoko problema.

Ahmesen papiroko bi problema

Ahmesen papiroari izen hori ematen zaio duela ia 4 000 urte kopiatu zuen izkribu-kopiatzailearen omenez; izkribu hori ia sei metro luze den papirozko bilkaria da eta ebatzitako problema asko biltzen ditu. Problema horietako bat honako hau da:Hamar ontzi koipek urtebete iraun behar dute. Zenbat koipe era-bil daiteke egun bakoitzean?Eta beste bat:700 ogi biribil lau pertsonaren artean banatu behar dira hartuko dituzten kantitateak honako proportzio honetan izateko moduan:

, ,32

21

31

41eta .

Babiloniar problema

Babilonian aurkitu izan diren Hamurabiren aldiko milaka taulatxoetako batean (K.a. 1800), honako problema hau ageri da:Zenbat denbora barru bikoiztuko da diru kantitate jakin bat urteko % 20ko interesa jasoz gero?Jakina, taulatxoan ez da ageri «% 20», «60ko 12» baino.

Lehenengo albisteakProportzionaltasunarekin erlazioa duen arrazoibide matematikoa zibilizazioaren hasieran agertu zen pro-blema praktikoak ebazteko: trukeak, erosketak, banake-tak, uztak… Era horretako problemak egiptoarren, txinatarren, hin-duen eta abarren testuetan ageri dira. Gure aroaren aurrekoak dira guztiak.

GreziarrekinTales Miletokoak Keops-en piramidearen altuera kalku-latzea lortu zuen, eguneko ordu berean, bere gorpu-tza-ren altuera eta bere itzalaren luzera piramidearen altue-rarekin eta horren itzalaren luzerarekin erlazionatuz. Horrez gainera, greziarrek, jakingurak bultzatuta, Pita-gorasen denboratik Euklidesenera, proportzionaltasunetako oinarri teo-rikoa eraikitzeko lan egin zuten, problema praktikoetatik aparte. Horrela, Euklidesen Elementuak lanean, kontzeptu abstraktuak sortzen hasi ziren: arrazoiarena eta proportzioarena, kasurako.

Arabiarrekin eta Erdi AroanArabiarrek Ekialdetik inportatu zuten jakintza eta arabiar matema-tikarien tratatuetan, matematika-prozedurak ageri dira viii. eta ix. mendeetan; hiruko erregela, kasurako.Erdi Aroan, ez zen aurrerakuntza handirik egin arlo horretan eta agertu ziren tratatu urriak Euklidesen Elementuak lanaren itzulpene-tan oinarritzen dira.

BerpizkundeanGeroago, Europan, xiv. eta xv. mendeetatik aurrera, Berpizkundeko merkataritzaren garapenarekin batera, eskakizun handiagoak sortu ziren kalkuluan eta kontularitzan. Behar horiek merkataritza-aritmetika gara-tzea eragin zuten: ehunekoak, deskontuak, zorrak, interesak, epeak…

Gizeko piramideak (Egipto).

«Trukatzailea eta bere emaztea», Marinus van Reymerswaele.

Alfonso X.a Jakintsua Toledoko Itzultzaileen Eskolan.

Unitatea hasteko

•Unitatearenhasierakoirakurgaiariesker,ikasleekikusikodutehistorianzeharproportzionaltasunakpresentziahandiaizanduelaegunerokozenbaitegoeratan.Kontsumoarekin,geometriarekinetamerkataritzarilotutakofinantza-egoerekinzerikusiadutenegoeraproblematikoakdira.

•Proportzionaltasunakgauregungobizimoduanduenpresentziariburuzhausnartzeakzenbaittresnabalioestekoaukeraemangodieikasleei.Berezikiehunekoakkalkulatzekogaiizanbeharkodira;izanere,kalkuluhoribeharbezalaikasteaezinbestekoaizangodakontsumo-gizarteanaisemugidaitezenetaoinarrizkofinantza-heziketaizandezaten:eroske-tak,maileguak,epeak,gordailuak...

Aurrejakintzak identifikatzeko ideiak

•41.orrialdeanproposatutakoariketakeredu izangodituguhonakohaueklantzeko:proportzionaltasunkasuerrazak,banaketaproportzio-nalaketabankukointeresakerabiltzea.Halaber,ariketokabiapuntuego-kiaizangodiraikasleekaurrekoikasturteetatikzergogoratzendutenegiaztatzeko.

Ekimena

Honakoariketahauiradokitzendugu:

BilatuinformazioaInternetenantzinakoTxinanproportzionaltasunarenikerketaneginzirenaurrerapeneiburuz(LiuHui).

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 Lusuilenproblema:Egunbateanlusuilaren10/365erabildaiteke.

a)36,5

b)Lusuilaren10/12

Ogibiribilenproblema:lehenengoari266ogibiribiletabetebaten2/3;bigarrenari,200ogibiribil;hirugarrenari,133ogibiribiletabestebaten1/3;laugarrenari,100ogibiribil.

2 a)6dobloiurtebatean.Dobloierdihilabetebatean.3,5dobloi7hila-betean.

b)17,5dobloi.

3 Interesakezbazaizkiohasierakokapitalarigehitzen,5urtebeharkodi-tu.Gehitzenbazaizkio,4urtebeharkoditu.

OHARRAK

37

4342

1 Hurbiltzeak eta hutsegiteak

Hurbiltzeak eta hutsegiteak

Konturatzen garen baino sarriago erabiltzen ditugu gutxi gorabeherako zenba-kiak. Honako arrazoi hauetako batengatik erabiltzen ditugu:

— Ez dakigulako zenbat den kantitate zehatza.

— Kantitate zehatza zenbat den jakin arren, ez dugulako beharrezkotzat edo ego-kitzat hartzen kantitatea zehaztasun osoz ematea.

Adibidez:

•Zer distantzia egin dut gaurko saioan? Ez dakit zenbat den kantitate zehatza, baina «12 km baino gehiago» edo «12 eta 13 km-ren artean» edo «12 400 m» esan dezaket. Azken kasu horretan, esan ez arren, 100 metro gehiago edo gutxiago izan daitekeela ulertzen da.

•Baten batek, urtean 30 458,24 € irabaziz gero, 30 000 € irabazten dituela esango du, ziur asko.

Zifra esangarriak

Hainbat eratan adieraz dezakegu hegazkina zer altueratan mugitzen ari den (kasu bakoitzean zenbat zifra erabiltzen ditugun hartuko dugu aintzat):

9 km → zifra bakar bat

9,2 km → bi zifra

9 200 m → lau zifra (ala, beharbada, bi bakarrik?)

9 246 m → lau zifra

Argi dago zenbat eta zifra gehiago erabiliz neurria orduan eta zehatzagoa dela. Baina, batzuetan, ez da komeni izaten zifra gehiegi ematea: zentzuzkoa al da hegazkina zer altueratan dagoen metroetara finduz esatea?

Orain, 9 200 metroko neurketari erreparatuko diogu.«Metroetako» zehaztasuna bilatu izan da ala «ehunka metrotakoa»? Azken hori izango da, ziur asko, eta, hori baldin bada, azken bi zeroak ez dira zifra esangarriak.

Zifra esangarriak gutxi gorabeherako zenbakia adierazteko erabiltzen direnak dira. Zifra zehatzak bakarrik erabili behar dira. Zenbaki baten azkeneko zeroak ez dira zifra esangarriak kantitatea nahi izan den unitatean adierazteko bakarrik erabili izan baldin badira (9 200 m, 92 ehuneko metro esan beharrean).

Zenbakia notazio edo idazkera zientifikoan emanez gero, zifra esangarriak berre-kizuna 10 duen berreketa biderkatzen duen zenbaki hamartarrean ageri direnak dira. Adibidez, 3,4 · 105 eta 3,40 · 105 ez dira gutxi gorabeherako zenbaki bera: lehenengoan (bi zifra esangarri ditu) 4ra arte bakarrik kontrolatzen dugula esaten ari gara; bigarrenean (hiru zifra esangarri ditu), ostera, 4aren osteko zifra zero dela ziurtatzen dugu.

Egin den errorea kontrolatzea

Argi dago gutxi gorabeherako kantitatea ematen dugunean errorea egiten ari garela; errakuntza hori balio zehatzaren (edo benetakoaren) eta gutxi gorabehe-rakoaren arteko kendura da (balio absolutuetan). Errore absolutua dela esaten da.

Errore absolutua = |Benetako balioa – Gutxi gorabeherako balioa|Orokorrean, errore absolutua ez da ezaguna izaten (ez dugulako benetako balioa zenbat den jakiten), baina kontrolatu egin daiteke. Adibidez, hegazkinaren altuera ematen dugunean, 9,2 km, egiten dugun errorea 0,05 = 50 m baino txi-kiago dela jakin dezakegu; 9,2 esanez gero, badakigu neurri horretatik hurbilago dagoela 9,1etik edo 9,3tik baino.Ez da gauza bera hegazkinaren altuera adieraztean 50 metroko errorea egitea eta errore bera eraikin baten altuera edo satelite baten altuera neurtzean egitea. Horregatik zehazten da errore erlatiboa errore absolutua zati neurri zehatza dela.

Errore erlatiboa = balioa

Errore absolutuaBenetako

Errore absolutua bezalaxe, errore erlatiboa ere ezezaguna izaten da ia beti. Kontro-latzeko, errore horren bornea eman beharko litzateke. Hala ere, ikasturte honetan ez dugu emango; nahikoa izango da gutxi gorabeherako neurria emateko zenbat eta zifra esangarri gehiago erabili, orduan eta errore txikiagoa egingo dela jakitea.

Zifra esangarrien kopurua

Eguneroko bizimoduan egiten ditu-gun hurbilketa arruntetan, zifra esan-garri bat, edo, gehienez jota, bi baka-rrik erabiltzen dira:«etxe hauek laurehun eta hogei

mila euro balio dute»Hiru zifra erabiliz ematen den kanti-tatea zorrotza da. Zientzian baino ez dira lau zifra edo gehiagoko zehazta-sunak behar izaten.

1. Zer esan dezakegu honako neurketa hauetako errore absolutuari eta errore erlatiboari buruz?a) Bainuontziaren bolumena, 326 litro.b) Igerilekuaren bolumena, 326 m3.c) Urtegiaren bolumena, 326 hm3.d) Asteroidearen bolumena, 3,26 · 106 km3.

2. Konparatu honako pisaldi hauetan egin diren errore erlatiboak:a) Balea, 37 tona.b) Indioilarra, 3 kg.c) Antselmo jauna, 87,3 kg.d) Lurra, 5,972 · 1021 tona.

Pentsatu eta egin

Problema ebatziak

1. Eraikinaren altuera 92 m-koa da; hegazkinarena, 9,2 km-koa, eta satelite artifiziala-rena, 920 km-koa. Zer esan dezakegu neurketa horien errore absolutuari eta erla-tiboari buruz?

Errore absolutua ageri ez diren zifrekin dago lotuta, hau da, erabili den azken zifraren hurrengoekin.

Eraikinaren altuera: 92 m Errore absolutua < 0,5 mHegazkinaren altuera 9,2 km Errore absolutua < 0,05 km = 50 mSatelitearen altuera: 920 km Errore absolutua < 5 km = 5 000 m

Errore absolutuaren kota bat erabili ez den lehenengo zifraren 5 unitate da.Errore erlatiboa bera da hiru kasuetan, hiruretan zifra esangarri berberak erabili direnez gero. (Azken kasuan, 0 ez dela zifra esangarria jo dugu. 92 hamarreko kilometro esan behar genuen).

2. Honako neurketa hauetan egin den errore erlatiboa konparatzea:

a) 87 m b) 5 km

c) 453 km d) 4,53 · 1011 km

Errore erlatiborik handiena 5 km-ko neurketan egin da, zifra esangarri bat baino ez duenez gero.Errore erlatiborik txikiena 453 m-ko neurketan egin da, hiru zifra esangarri erabili izan direnez gero.d) neurketako errore erlatiboa c) neurketako errore bera da.

9,1

9,15

9,2

9,25

9,3

Zenbaki hamartarrak biribiltzearen adibideak.

Webgunean

Iradokizunak

•Problemabatebaztenduguneanzenbakihamartarrak(periodikoakalaez)agertzenbadira,hurbiltzebataukeratubeharkodugu.Gauzaberagertatukozaiguerantzunbatzifraaskokozenbakiosoakerabilizemannahidugunean.

Biribiltzeadazenbakibatenhurbiltzerikonena,erabilinahidugunorde-nahamartarrerairisteko.

•Orrialdehonetanaurkeztuditugunadibideek,edotaedozeinkomu-nikabidetanagerdaitezkeenbestebatzuek(irratsaiobatenaudientziak,manifestaziobateanpartehartuduenjende-kopuruak…)zifraesanga-rrienideiaulertzenlagundukodigute;halaber,gehienezbiedohiruzifraerabiltzeakomenidenalaezizangoduguhizpide.

•Gutxigorabeherakokantitateetan,arretajarrikodieguamaierakozeroei.Orohar,ezdirazifraesangarriak,etaezinduguhaienzehaztasunaegiaztatu.Zeroakzifraesangarriakberenlekuanjartzekoerabiltzendirasoilik,baitaemaitzabaterrazagoadieraztekoere.

•Gutxigorabeherakobalioekinlanegitendugunez,erroreakegingoditu-gunahitaez.Horidelaeta,erroreabsolutuarenetaerroreerlatiboarenkontzeptuakdefinitukoditugu.

Bi kontzeptu horietan, definizioak aplikatzeabaino, errore horiekpraktikannolakontrolatzendirenaztertukodugu:erroreabsolutuarenkasuan,erabilitakoazkenzifraesangarriarenordenarekin;erroreerlati-boakalderatzearidagokionez,ordea,neurrienzifraesangarrienko-puruarekin.

•Ariketaebatzietanetaariketetan,mailahonetarakoegokiakdirengalde-raetaerantzunmotakdaude:

Zer esan daiteke neurketa hauen errore absolutuari eta errore erlatiboari buruz?

Edota:

Alderatu emaitza hauen errore erlatiboak.

Indartu eta sakondu•Indartzeko

Zenbaitzenbaketa-teknikaerabiliz,honakodatuhaueklortuditugu:

a) Museojakinbatekobisitari-kopuruaurtebatean:1345589pertsona.

b)Manifestaziobateanpartehartuduenjende-kopurua:125341pertso-na.

c) Igerilekubateandagoenur-tantenkopurua:8249327741tanta.

Arrazoizkoaaldahainbestezifraematea?

Nolaemangozenukezukhorietakobakoitza?

•Sakontzeko

Merkataritzagunejakinbatekoaparkalekuan,erabilera-denboraordulaurdenkaedozatikikakobratzenda.Hurbildu,moduhorretan,denborahaueketaesanzeindenkasubakoitzeanegindakoerroreabsolutua:

a) 39min b) 80min c) 17min

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.eta2.ariketak.Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a)E.A.<0,5l b)E.A.<500l

c)E.A.<500000000l d)E.A.<5·1015l

Erroreerlatiboabatdatorlaukasuekin;izanere,neurketakzifraesan-garrienkopuruberarekinemandadaude.

2 ErroreerlatiboriktxikienaLurrarenpisuaneginda,lauzifraesangarrierabiltzenbaitira.Etahandienaindioilarrarenpisuan,bakarraerabil-tzenbaitzen.

38

4544

2 Proportzionaltasuna problema aritmetikoetan

Unitate honetan, aritmetikaren erreminten bidez ebatziko ditugu problemak. Aurkituko ditugun hainbat problema magnitude proportzionalak erlazioan jar-tzen dituztenak dira. Proportzionaltasun sinpleko eta konposatuko problemak ebazteko teknika gogoratuz hasiko gara.

Proportzionaltasun sinplea

1. adibidea

120 000 l ur eramateko, 8 zisterna-kamioi behar dira. Zenbat kamioi beharko dira 315 000 l eramateko?

Zenbat eta ur-bolumen handiagoa izan, orduan eta kamoi gehiago beharko dira. Argi dago proportzionaltasun zuzena dagoela. Problema bi eratan ebatziko dugu:

•Hiruko erregela

88

ll x

120 000 8315000

kamioi3 → x = ·

120 000315000 8 = 21 kamioi

•Unitatera laburtuz

120 000 : 8 = 15 000 l sartzen dira kamioi bakoitzean.

315 000 : 15 000 = 21 kamioi beharko dira.

2. adibidea

Sei pintorek 8 egun behar dituzte etxe bat pintatzeko. Zenbat egun beharko dituzte 4 pintorek lan bera egiteko?

Zenbat eta pintore gutxiago, denbora gehiago. Alderantzizko proportzionaltasuna da.

•Hiruko erregela

88 x

6 84

pintorekpintore

egunk

4 → x = 84

6 · = 12 egun

•Unitatera laburtuz

Zenbat denbora behar du pintore batek? 6 · 8 = 48 egun

Zenbat denbora behar dute 4 pintorek? 48 : 4 = 12 egun

Proportzionaltasun konposatua

3. adibidea

Giroko tenperaturako 15 °C-tik 70 °C-ko tenperaturara 100 gramo olio berotzeko, 2 585 kaloria behar izan dira. Zenbat kaloria beharko dira litro bat olio (980 g) giroko tenperaturatik 95 °C-ra berotzeko?

Zenbat eta olio kantitate handiagoa,kaloria gehiagoZenbat eta jauzi termiko handiagoa, kaloria gehiago

4 → biak dira zuzenak

Hartu kontuan 15 °C-tik 70 °C-ra 55 °C-ko jauzi termikoa dagoela, eta 15 °C-tik 95 °C-ra, 80 °C-koa dagoela.

unitatera laburtzea:

Zenbat kaloria behar dira 1 g

olio 1 °C berotzeko?

olioa (g) jauzi termikoa (°C) emandako beroa (cal)

100 55 2 585

1 55 1002585 = 25,85

1 1 ,55

25 85 = 0,47

980 80 0,47 · 980 · 80 = 36 848

4. adibidea

2 585 kaloria behar izan dira 100 g olio 15 °C-tik 70 °C-ra berotzeko. Zenbat izango da 15 °C-ko tenperatura duen litro bat olioren (980 g) azken tenperatura, 39 151 kaloria emanez gero?

Zenbat eta kaloria gehiago, tenperatura gehiago igotzen da → zuzena

Zenbat eta olio gehiago, tenperatura gutxiago igotzen da → alderantzizkoa

beroa (cal) olio kantitatea (g) jauzi termikoa (°C)

2 585 100 55

1 100 258555

1 1 ·258555 100

39 151 980 ·· ·2585 980

55 100 39151 = 85

alderantziko prop.proportzionaltasun zuzena

unitatera laburtzea:

Zer tenperatura-igoera eragiten

dio kaloria batek gramo bat oliori?

85 °C-ko igoera dago. Azken tenperatura 15 + 85 = 100 °C izango da.

Proportzionaltasun konposatuko problemak ebazteko:•Identifikatu parte hartzen duten magnitudeak.•Ordenatu magnitudeak, haien datuekin, azken tokian ezezaguna daramana jarriz.•Identifikatu zer motatako proportzionaltasunak, zuzenak ala alderantziz-

koak, lotzen duen magnitude bakoitza ezezagunarekin. •Laburtu unitatera: magnitudearen kantitate ezezagunaren zer kantitate

dagokio elkartutako magnitudeen unitate bati?

Proportzionaltasun zuzena

hiruko erregela

⎯→ ⎯→ x x = ·

Problema ebatzia

Duela 3 egun eta 13 ordu, urte-giak bere edukieraren % 34,5 baino ez zuen. Orain, edukie-raren % 41,2 du. Betetzeko erritmo horretan jarraituz gero, noiz iritsiko da bere edu-kieraren % 90era?

Igaro den denbora: 3 egun eta 13 ordu = 85 orduDenbora horretan bete da: % 41,2 – % 34,5 = % 6,7Gehiago betetzea nahi dugu: % 90 – % 41,2 = % 48,8

85 orduan % 6,7 bete baldin bada,orduan % 48,8 beteko dax

4 → x = ,

,6 7

85 48 8· = 619,10 h

619,10 h = 25 egun, 19 ordu eta 6 minutuSoluzioa: Edukieraren % 90era 26 bat egun barru iritsiko da.

Hartu kontuan

Proportzionaltasuna zuzena denez, 1. aldagaia 100ekin zatitzean, 3.a ere 100ekin zatitu behar dugu, eta 2.a 55ekin zatitzean, 3.a 55ekin zatitu behar dugu.

Gogoratu

Proportzionaltasun konposatutako problemetan, hiru magnitudek har-tzen dute parte, gutxienez. Magni-tude horietako bi zuzenki edo alde-rantziz proportzional dira bakoitzean.

Hartu kontuan

Olio kantitatea jauzi termikoaren alderantziz proportzionala denez, 2. aldagaia 100ekin zatitzean, 3.a 100ekin biderkatu behar dugu.

Alderantzizko proportzionaltasuna

hiruko erregela

⎯→ ⎯→ x x = ·

Bi zenbakiren arrazoia.

Webgunean

• Proportzionaltasun zuzenaren kontzeptua.

• Alderantzizko proportzionaltasu-naren kontzeptua.

Webgunean

Ebatzi proportzionaltasun sinpleko problemak.Webgunean

Iradokizunak•Unitatehonetan,magnitudeproportzionalakerlazionatzendituzten

zenbaitproblemaebatzikoditugu.Horibainolehen,ikasleekaurrekoikasturteetanikasitakoproportzioarenkontzeptuaargidutenegiazta-tukodugu,etahonakohauekgogoratukoditugu:bizatikibaliokiderengaienartekoerlazioaetaproportziobateangaiezezagunalortzekopro-zedura.

•Hasteko,proportzionaltasunsinpleko,zuzenekoetaalderantzizkopro-blemakebaztekoteknikakgogoratukoditugu.44.orrialdekoeredueba-tzienbitartez,ohikometodoakaurkeztukoditugu:hirukoerregelaetaunitateralaburtzea.

•Problemaebatzibainolehen,ikasleeieskatukodiegumagnitudeetandagoenproportzionaltasunmota(zuzenaedoalderantzizkoa)justifikadezaten.

•Halaber,normaleanerabiltzendenaraupraktikoajustifikatzeakomenida,datuakproportzioeranidatziz,etaproportzioarenedozeinlekutanegondaitekeengaiezezagunabakanduz:

88 8 ·a b

c x ca

xb x a

b c= =4 ,hirukoerregelazuzenean,eta

8 ·ca

bx x c

a b= = ,alderantzizkohirukoerregelan.

•Unitateralaburtzekometodoaosointuitiboada,etajustifikatzekoerraza:balio-parebatezagututa,problemarentestuinguruanunitateralotutakobalioakalkulatzenda.Emaitzahorretatikaurrera,osoerrazadaeskatu-takoemaitzalortzea.

•Proportzionaltasunkonposatukoproblemekzailtasunhandiagoadute;horidelaeta,ezinbestekoadaprozedurasistematikoetaordenatubatijarraitzea.Motahorretakoadibideakaurkitukodituirakasleakadibideebatzietan,eta45.orrialdean.Honahemenproblemahoriekebaztekogakoa:unitateraetengabelaburtzea,emandakopausoetakobakoitza

adieraziz,etabideaberregitea,unitateralotutakobalioetatik,ezezagu-narenbalioraino.

•Orrialdearenalboandauden«Hartukontuan»izenekoataletan,propor-tzionaltasunzuzenarenedoalderantzizkoarenberezkoprozedurakjusti-fikatzendira,proportzionaltasunkonposatukoproblementartekopau-soetan.

Indartu eta sakonduHonakoakgomendatzenditugu:

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko1.koadernotik:

Indartzeko:25.orrialdeko1etik5erakoariketak.26.orrialdeko6tik10erakoariketak.

Sakontzeko:26.eta27.orrialdeetako11tik18rakoariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko5.eta6.ariketak.

Sakontzeko:Bfitxako«Aplikatu»ataleko5.eta6.ariketak.

OHARRAK

39

4746

Planteamendua

Datuak laukian idatziko ditugu, eze-zaguna daraman magnitudea azken tokian jarrita.Magnitude horren eta gainerakoen artean proportzionaltasuna zuzena ala alderantzikoa den identifikatuko dugu.

Egin den akatsaren bornea

11 h egunean gutxi gorabeherako soluzioa da. Egin den errorea,

11 – 10,989… < 0,011orduaren 11 milaren baino txikiago da.

100011 · 1 h = 1000

11 · 3 600 s = 39,6 s

Ondorioz, soluzioa egunean 11 ordu da, 40 s-koa baino errore txikia-goa eginik.

Langile batek 260 m2 zoru lauzatzen du 5 egunean, 8 orduko lanaldiak eginez. 500 m2 zoru 7 egunean zolatzeko konpromisoa hartu du. Zenbat orduko lanaldiak egin beharko ditu?

azalera (m2) egun kopurua ordu kopurua egunean

260 5 8

1 5 2608

652=

1 1 5 · 652

132=

500 7 ·132

7500 = 10,99 ≈ 11


Hau da, konpromisoa betetzeko, 11 orduko lanaldiak egin beharko ditu.gauza bera ikusteko beste modu batAurreko prozesua oso sistematikoa da eta, ondorioz, erraza da betetzen. Ebazteko honako modu hau naturalagoa, arrazoituagoa da, beharbada.Zer azalera lauzatzen du 8 orduko egun batean? 260 : 5 = 52 m2

Zer azalera lauzatzen du ordu batean? 52 : 8 = 6,5 m2

Ondorioz, 500 m2 lauzatzeko, beharko dira 500 : 6,5 = 76,923 h.Zenbat orduko lanaldiak egin behar ditu 7 egunetako bakoitzean?

76,923 : 7 = 10,989 ≈ 11 ordu egunean

Problema ebatziak

1. 150 litroko terreina minutuko 5 litro ematen dituen txorrotako uraren bidez bete nahi da. Zer ur-emari behar da denbora berean 2 400 litroko putzua bete-tzeko?

2. Haztegi bateko 16 untxik 100 kg alpapa 12 egunean jaten dute. Zenbat egunean jan dezakete 6 untxik 100 kg alpapa?

3. 15 l ur 16 l izotz bihurtzen dira. Zer bolumen har-tuko du, izoztuz gero, 2 m3 urek?

4. 5 litro ureko emaria duen txorrotak 50 minutuan betetzen du terreina jakin bat. Zer emari du 40 mi-nutuan terreina hori betetzen duen txorrotak?

5. 1 240 g-ko burdinazko pieza bat 10 °C-tik 150 °C-ra berotzeko, 18 228 cal behar izan dira. Zenbat kalo-ria beharko dira 3 489 g-ko burdinazko pieza 0 °C-tik 210 °C-ra berotzeko?

6. 1 240 g-ko pieza bat 10 °C-tik 150 °C-ra berotzeko, 18 228 cal behar izan dira. Zer tenperatura hartuko du 20 °C-ko tenperatura duen 5 kg-ko burdinazko piezak, 20 000 cal emanez gero?

7. Autobide bateko lanetan, 20 kamioik 8 orduko lana egiten dute egunean eta, denbora horretan, 4 dam3 lur eramaten dute lantokitik hondakindegira. Zenbat lur mugituko dute 12 kamioik 12 orduko lanaldiak eginez gero?

8. Gramo bat uren tenperatura gradu bat igotzeko, kaloria bat behar da. Zenbat bero behar da iturritik 12 °C-ko tenperaturan ateratzen den ura irakite-pun-tura eramateko?

9. 23 txerrik 2 990 kg pentsu jaten dute 50 egunean. Zenbat egunetarako janaria dute 75 txerrik 6 240 kg pentsu izanez gero?

Pentsatu eta egin

Banaketa proportzionalen problemak

Banaketa proportzionaletan, totala osatzen duten zatikien baturak 1 izan behar du.

1. Hiru txorrotak 2 l /s, 5 l /s eta 7 l /s ematen dute hurrenez hurren. Hiru-rak batera ireki dituzte 17 080 l-ko putzua betetzeko. Orain, putzua beteta dagoela joko dugu. Zer bolumen ur emango zuen txorrotetako bakoitzak?

2 + 5 + 7 = 14 l /s ematen dute hiru txorrotek batera.

Horietako lehenengoak totalaren 142 eman du; bigarrenak, totalaren

145 ,

eta hirugarrenak, totalaren 147 .

Ondorioz, txorrota bakoitzak eman duen uraren bolumena izango da:

Lehenengoak → 142 · 17 080 = 2 440 l

Bigarrenak → 145 · 17 080 = 6 100 l

Hirugarrenak → 147 · 17 080 = 8 540 l

2. Bi bazkidek konpainia baten % 27,82 eta % 39,91 dute eta hiruga-rrenak, gainerakoa. 327 842 euroko etekina lortu da. Zenbat dago-kio 3. bazkideari? (Eman ehunka eurotara arteko gutxi gorabeherako soluzioa).

Hirugarren bazkidea honen jabea da: % 100 – (% 27,82 + % 39,91) = % 32,27.

Ondorioz, honako hau dagokio:

327 842 euroren % 32,27 = 105 794,61 ≈ 105 800 €

Ehunka eurotara biribilduz, errakuntza 50 eurotik beherakoa dela ziurta dezakegu.

Problema ebatziak

3 Problema klasikoak

1. Hiru bazkidek 2, 3 eta 3 milioi jarri dituzte, hurrenez hurren, enpresa bat sortzeko.Lehenengo urtean, 75 900 € irabazi dituzte. Zenbat dagokio bazkide bakoitzari?

2. Nola banatu daitezke 2 310 € hiru anaiaren artean, nagusiak txikienaren erdia eta azken horrek tartekoak hiru halako jaso dezan?

3. Hiru pertsonak egoitza multzo baten 1/3, 2/9 eta 1/6 dute, hurrenez hurren, bere partea eramanez erretira-tu den laugarren bazkide batekin. Geratzen denaren zer zati du bazkideetako bakoitzak?

4. 12 150 l-ko putzua, hurrenez hurren, 14,6 l /s; 8,9 l /s eta 4,2 l /s-ko emaria duten hiru txorrotarekin bete da. Zenbat ur eman du txorrotetako bakoitzak? Eman soluzioa hamarnaka litrotara biribilduz.

Pentsatu eta egin

Ebatzi proportzionaltasun konposatuko problemak.Webgunean

Iradokizunak

•Orrialdehonetakoariketaebatziaproportzionaltasunkonposatukopro-blemakebaztekometodoakaurkeztekoerabilikodugu:hirukoerregelakonposatuaetaunitateralaburtzera.

– Lehenkasuan,aurrekoorrialdeetanlandutakopausoeijarraitukodie-gu:datuakordenatukoditugu,azkenlekuanezezagunadagoenmag-nitudeajarriz,etagerobimagnitude-parebakoitzarenarteandagoenproportzionaltasunmotaidentifikatukodugu.

– Unitateralaburtzekometodoan,honakohauekdiragakoak:tartekogalderaketaunitateralotutakobalioaetengabelortzekoemandakopausoak.

•Problemaebatzihonetan,baita44.orrialdekoanere,gutxigorabehe-rakoemaitzakageridira.

Osokomenigarriadaikasleeierroreamugatzekoeskatzeaetaproble-marentestuinguruaridagokionunitateegokianadierazteko,kasuhone-tanegindenlegez.

Indartu eta sakondu

•Indartzeko:

a) 30langilebehardira5eguneanbidebateko2km-tanzolajartzeko.Zenbatlangilebeharkodira10egunean5km-tanzolajartzeko?

b)Hirupertsonak1350€ordaindudituztehotelbatean10gauegotea-gatik.Zenbatordaindubeharkodute10pertsonakhotelhorretan15 eguneanostatuhartzeagatik?

•Sakontzeko:

a) 8fokuditueninstalaziobatek,egunean12ordumartxanegonda,1,2 kWhkontsumituditu10egunean.Zenbatkontsumitukodute16fokuk,14egunez9ordumartxanegonezgero?

b) Laulangilek,egunean9ordulaneginez,12egunbeharizandituzteharresibataltxatzeko.Eguneanzenbatordulaneginbehakolukete6 langilek,harresihori8eguneaneraikitzeko?


1 Minutuko80litrokour-emariabeharda.

2 32eguneanjandezakete.

3 2,13m3hartukodute.

4 Minutuko3,75litrokour-emariadu.

5 76734kaloriabeharkodira.

6 38,1ºC-kotenperaturahartukodu.

7 3dam3lurmugitukodute.

8 88000kaloriabeharkodira.

9 32egunetarakojanariaizangodute.

OHARRAK

40

4746

Planteamendua

Datuak laukian idatziko ditugu, eze-zaguna daraman magnitudea azken tokian jarrita.Magnitude horren eta gainerakoen artean proportzionaltasuna zuzena ala alderantzikoa den identifikatuko dugu.

Egin den akatsaren bornea

11 h egunean gutxi gorabeherako soluzioa da. Egin den errorea,

11 – 10,989… < 0,011orduaren 11 milaren baino txikiago da.

100011 · 1 h = 1000

11 · 3 600 s = 39,6 s

Ondorioz, soluzioa egunean 11 ordu da, 40 s-koa baino errore txikia-goa eginik.

Langile batek 260 m2 zoru lauzatzen du 5 egunean, 8 orduko lanaldiak eginez. 500 m2 zoru 7 egunean zolatzeko konpromisoa hartu du. Zenbat orduko lanaldiak egin beharko ditu?

azalera (m2) egun kopurua ordu kopurua egunean

260 5 8

1 5 2608

652=

1 1 5 · 652

132=

500 7 ·132

7500 = 10,99 ≈ 11


Hau da, konpromisoa betetzeko, 11 orduko lanaldiak egin beharko ditu.gauza bera ikusteko beste modu batAurreko prozesua oso sistematikoa da eta, ondorioz, erraza da betetzen. Ebazteko honako modu hau naturalagoa, arrazoituagoa da, beharbada.Zer azalera lauzatzen du 8 orduko egun batean? 260 : 5 = 52 m2

Zer azalera lauzatzen du ordu batean? 52 : 8 = 6,5 m2

Ondorioz, 500 m2 lauzatzeko, beharko dira 500 : 6,5 = 76,923 h.Zenbat orduko lanaldiak egin behar ditu 7 egunetako bakoitzean?

76,923 : 7 = 10,989 ≈ 11 ordu egunean

Problema ebatziak

1. 150 litroko terreina minutuko 5 litro ematen dituen txorrotako uraren bidez bete nahi da. Zer ur-emari behar da denbora berean 2 400 litroko putzua bete-tzeko?

2. Haztegi bateko 16 untxik 100 kg alpapa 12 egunean jaten dute. Zenbat egunean jan dezakete 6 untxik 100 kg alpapa?

3. 15 l ur 16 l izotz bihurtzen dira. Zer bolumen har-tuko du, izoztuz gero, 2 m3 urek?

4. 5 litro ureko emaria duen txorrotak 50 minutuan betetzen du terreina jakin bat. Zer emari du 40 mi-nutuan terreina hori betetzen duen txorrotak?

5. 1 240 g-ko burdinazko pieza bat 10 °C-tik 150 °C-ra berotzeko, 18 228 cal behar izan dira. Zenbat kalo-ria beharko dira 3 489 g-ko burdinazko pieza 0 °C-tik 210 °C-ra berotzeko?

6. 1 240 g-ko pieza bat 10 °C-tik 150 °C-ra berotzeko, 18 228 cal behar izan dira. Zer tenperatura hartuko du 20 °C-ko tenperatura duen 5 kg-ko burdinazko piezak, 20 000 cal emanez gero?

7. Autobide bateko lanetan, 20 kamioik 8 orduko lana egiten dute egunean eta, denbora horretan, 4 dam3 lur eramaten dute lantokitik hondakindegira. Zenbat lur mugituko dute 12 kamioik 12 orduko lanaldiak eginez gero?

8. Gramo bat uren tenperatura gradu bat igotzeko, kaloria bat behar da. Zenbat bero behar da iturritik 12 °C-ko tenperaturan ateratzen den ura irakite-pun-tura eramateko?

9. 23 txerrik 2 990 kg pentsu jaten dute 50 egunean. Zenbat egunetarako janaria dute 75 txerrik 6 240 kg pentsu izanez gero?

Pentsatu eta egin

Banaketa proportzionalen problemak

Banaketa proportzionaletan, totala osatzen duten zatikien baturak 1 izan behar du.

1. Hiru txorrotak 2 l /s, 5 l /s eta 7 l /s ematen dute hurrenez hurren. Hiru-rak batera ireki dituzte 17 080 l-ko putzua betetzeko. Orain, putzua beteta dagoela joko dugu. Zer bolumen ur emango zuen txorrotetako bakoitzak?

2 + 5 + 7 = 14 l /s ematen dute hiru txorrotek batera.

Horietako lehenengoak totalaren 142 eman du; bigarrenak, totalaren

145 ,

eta hirugarrenak, totalaren 147 .

Ondorioz, txorrota bakoitzak eman duen uraren bolumena izango da:

Lehenengoak → 142 · 17 080 = 2 440 l

Bigarrenak → 145 · 17 080 = 6 100 l

Hirugarrenak → 147 · 17 080 = 8 540 l

2. Bi bazkidek konpainia baten % 27,82 eta % 39,91 dute eta hiruga-rrenak, gainerakoa. 327 842 euroko etekina lortu da. Zenbat dago-kio 3. bazkideari? (Eman ehunka eurotara arteko gutxi gorabeherako soluzioa).

Hirugarren bazkidea honen jabea da: % 100 – (% 27,82 + % 39,91) = % 32,27.

Ondorioz, honako hau dagokio:

327 842 euroren % 32,27 = 105 794,61 ≈ 105 800 €

Ehunka eurotara biribilduz, errakuntza 50 eurotik beherakoa dela ziurta dezakegu.

Problema ebatziak

3 Problema klasikoak

1. Hiru bazkidek 2, 3 eta 3 milioi jarri dituzte, hurrenez hurren, enpresa bat sortzeko.Lehenengo urtean, 75 900 € irabazi dituzte. Zenbat dagokio bazkide bakoitzari?

2. Nola banatu daitezke 2 310 € hiru anaiaren artean, nagusiak txikienaren erdia eta azken horrek tartekoak hiru halako jaso dezan?

3. Hiru pertsonak egoitza multzo baten 1/3, 2/9 eta 1/6 dute, hurrenez hurren, bere partea eramanez erretira-tu den laugarren bazkide batekin. Geratzen denaren zer zati du bazkideetako bakoitzak?

4. 12 150 l-ko putzua, hurrenez hurren, 14,6 l /s; 8,9 l /s eta 4,2 l /s-ko emaria duten hiru txorrotarekin bete da. Zenbat ur eman du txorrotetako bakoitzak? Eman soluzioa hamarnaka litrotara biribilduz.

Pentsatu eta egin

Ebatzi proportzionaltasun konposatuko problemak.Webgunean

Iradokizunak

•Epigrafehonetan,osomaizageriohidirenzenbaitproblemaaritmetiko(banaketak,nahasteak,higidurak)ebaztenlagundukodigutenprozedu-rakaurkeztukoditugu.

Atalbakoitzean,zenbaitproblema-ereduaukeratudira;horiekelkarrenarteanantzekoakdirenegoerakislatzendituzte,etaebaztekojarraitubeharrekoprozedurakerakustendizkigute.

•Banaketaproportzionaleidagokienez,osogarrantzitsuadakontuanhartzeatotalaosatzendutenzatikienbaturak1izanbeharduela.Erabe-rean,unitatekobalioarenkalkuluaereaintzathartukodugu,gerobakoi-tzarenzatiaridagokionproportzioarenaraberabanatzeko.

Modubereanjokatukodugu,zatiakehunekoeranemandabadaude,etazatienartekobatuketak100izanbeharduelakontuanhartuz.

•Prozesuhoriikasita,bestekasubatzuetaratransferidezakegu,adibidez,zatiakedototalazatikieranadierazitadaudenkasuetara.

Indartu eta sakondu

•Indartzeko:

a) Banatu3510€,3ren,5eneta7renzatiproportzionaletan.

b)Hirubazkidek,enpresabatsortzeko,6000€,8000€eta10000€ja-rrizituzten,hurrenezhurren.Biurtegeroago,enpresak45000€-koirabaziakizanditu.

Irabazienzerzatidagokiobakoitzari?

•Sakontzeko:

a) Banatu3000€,1/3-ren,1/4-reneta2/3-renzatiproportzionaletan.

b)Banatu72000€negoziobatekohirujabeenartean,jakiniklehenakbigarrenakhiruhalakojarrizituela,etabigarrenakhirugarrenakbiha-lakojarrizituela.

Lankidetzan ikasi Irakasleakegokijotzenbadu,problemasortakbinakaedotaldetxikietanegindaitezke,berdinenartekoikasketabultzatzeko.Ikasleekbakarkaeba-tzikodituzteariketak,etasoluzioakikaskideekinegiaztatukodituzte,baitadesberdintasuneiburuzeztabaidatu,akatsakaurkituetaadostasunetarahelduere.Horiguztiairakaslearengidaritzapeanegingodute.


1 Hauekdagozkie,hurrenezhurren:13800€,20700€eta41400€.

2 Anaianagusiari630€dagozkio;ertainari,420€,etatxikiari1260€.

3 1/3zuenari,geratzendenaren6/13dagozkio.2/9zuenari,geratzendenaren4/3.1/6zuenari,geratzendenaren3/13.

4 Lehentxorrotak6400litroemanditu;bigarrenak,3900litro,etahiru-garrenak1840litro.

OHARRAK

41

4948

5. 12,40 €/kg-ko 12 kg kafe 7,40 €/kg-ko 8 kg kaferekin nahasiz gero, zenbat izango da nahastearen prezioa?

6. % 80 urrea den 3 500 g-ko lingotea % 95 urrea den 1 500 g-ko beste lingote batekin nahasiz gero, zer urre-proportzio egongo da aterako den lingotean? Eta 2 kg urre puru gehituz gero?

7. Litro bat uren pisua 999,2 g da eta litro bat alkohole-na, 794,7 g. Zenbat da 3 l ur eta 7 l alkohol nahasiz aterako den disoluzioaren pisua?

8. Bitxigile batek 0,85eko legea duen 2 kg-ko urrezko lin-gotea 0,9ko legea duen 1,5 kg urrezko lingotearekin urtu nahi du. Zenbat da aterako den lingotearen legea?

Pentsatu eta egin

9. Automobila 120 km/h-ko abiaduran doa eta kamioia, 90 km/h-koan.a) Automobiletik kamiora 75 km daude. Zenbat den-

bora barru harrapatuko du?b) 504 km-ko distantzian egon eta bata besterantz

joanez gero, zenbat denbora barru egingo dute bat?

10. Urtegiak 981,1 hm3-ko edukiera du. Une honetan, guztizko edukieraren % 43 baino ez dago beteta eta 45 m3/s-ko ur-ekarria du, 3 200 l /s husten ari den artean. Erritmo horretan jarraituz gero, zenbat den-bora barru iritsiko da edukieraren % 95era?

Pentsatu eta egin

Nahasteei buruzko problemak

Nahasteei buruzko problemetan, nahi den batez bestekoa osagaiek emandako kantitate partzialen batura nahastearen pisu totalaren (pisu partzialen baturaren) artean banatuz lortzen da.

1. Kiloak 8,80 € balio duen 50 kg kafe eta kiloak 6,40 € balio duen kali-tate eskasagoko beste kafe baten 30 kg-rekin nahasi da. Zenbat balio du lortu den nahastearen kiloak?

Ebazteko, datuak taulan idatziko ditugu:

kantitatea prezioa kostua

kafe ona 50 kg 8,80 /kg 50 · 8,80 = 440 kafe arrunta 30 kg 6,40 /kg 30 · 6,40 = 192

nahastea 80 kg 632

Nahastearen prezioa = Guztizko pisua

Guztizko kostua = €

80632

kg = 7,90 €/kg

2. Urregin batek purutasun desberdineko hiru lingote nahasi ditu: horie-tako bat 37,84 kg-koa da eta % 68,3 zilarra da; beste bat 7,35 kg-koa da eta % 82,15 zilarra da, eta hirugarrena, 16,89 kg-koa eta zilar purukoa. Aleazioan ehuneko zenbat zilar dagoen kalkulatzea, unita-teetara biribilduz.

guztizko pisua legea zilarraren pisua

1. lingotea 37,84 0,683 37,84 · 0,683 = 25,84

2. lingotea 7,35 0,8215 7,35 · 0,8215 = 6,04

3. lingotea 16,89 1 16,89

guztira 62,08 48,77

Azken aleazioa → Legea = ,,

62 0848 77 = 0,7856

62 kg aleazio lortu da eta zilarra % 79 da.

Problema ebatziak

Mugimenduen problemak

Norabide berean hurbiltzen ari diren bi gauza kontrako noranzkoan (elkar aur-kituko dute) edo norabide berean ibil daitezke (azkarrenak, geroago ateraz gero, motelena harrapatuko du).•Elkartzeei buruzko problemetan, kontuan hartu behar dugu higikariak horien

abiadura absolutuen baturaren pareko abiadura erlatiboan hurbiltzen direla.•Atzemateei buruzko problemetan, kontuan hartu behar dugu higikariak horien

abiadura absolutuen arteko kenduraren pareko abiaduran hurbiltzen ari direla.

1. Txirrindulari profesional bat 38 km/h-ko abiaduran doa. Aurrerago, 22 km-ra, zikloturista bat noranzko berean doa 14 km/h-ko abiaduran. Zenbat denbora beharko du txirrindulari profesionalak zikloturista harrapatzeko?

38 – 14 = 24 km/h-ko abiaduran ari dira hurbiltzen.Bat egin arte zenbat denbora igaroko den kalkulatuko dugu, jakinik 22 km-ko aldea dutela:

t = vd =

2422 = orduaren 12

11 = 55 min

2. Esne Bidea Andromedarantz doa 112,2 km/s-ko abiaduran. Andro-meda galaxia Esne Biderantz doa 75,4 km/s-ko abiaduran. 2,5 milioi argi-urteko distantzian daude. Abiadurei eutsiz gero, zenbat denbora barru joko dute elkar?

Hurbiltzeko abiadura: v = 112,2 + 75,4 = 187,6 km/sBi galaxiaren arteko distantzia:

d = 2,5 · 106 argi-urte =

= 2,5 · 106 · (60 · 60 · 24 · 365,25 · 300 000) km = 2,36682 · 1019 km

segundo urte batean km egiten ditu argiak s. batean

Elkar jotzeko faltako litzatekeen denbora:

t = vd =

,,

187 62 36682 10· 19

= 1,26163 · 1017 segundo =

= · · · ,, 10

60 60 24 365 251 26163 · 17

urte = 3,9979 · 109 urte ≈ 4 · 109 urte

Talka 4 000 milioi urte barru gertatuko da.

Problema ebatziak

Legea

Aleazio baten legea metal preziatua-ren pisuaren eta aleazioaren guztizko pisuaren arteko zatidura da.

Iradokizunak

•Nahasteeiburuzkoproblemetan,osogarrantzitsuadainformazioaondoantolatzea.Horretarako,bisarreradituztentaulakerabilikoditugu;ho-rietan,osagaienetalortutakonahastearenprezioak,kantitateaketakos-teakageridira.Horrela,argiizangoduguzeindirenenuntziatuakberakematendizkigundatuaketazerdenjakinbeharrekoa.

Motahonetakoproblemakebaztekogako-ideiahonakohauda:nahas-tearen prezioa lortzeko, kostu osoa (osagaien kostuen batuketa) nahas-tearen pisu osoarekin zatitu behar da.

•Prozedurahorialeazio-problemakebaztekoerabilikodugu,aleazioba-tenlegeakalkulatubehardugunean(metalpreziatuarenpisuarenzati-duraaleazioarenpisutotala).

•Mugimenduenproblemetan,ezinbestekoadae = v · terlazioagogoratzea,etaespazioarenetadenborarenarteandagoenproportzionaltasunzuzenagogoanizatea(etengabekoabiadura),etaabiadurarenetadenborarenar-teandagoenalderantzizkoproportzionaltasuna(espaziojakinbaterako).

•Planteatutakoproblemekohikoeredueierantzutendiete:

– Elkartze-problemak,bihigikarinorabidebereanetaaurkakonoran-zkoanibiltzendirenean,elkaraurkituz.Kasuhorretan,kontuanizanbe-harduguhigikariakhorrenabiaduraabsolutuenbaturarenparekoabiaduraerlatiboanhurbiltzendirela.

– Antzemate-problemak,bihigikarinorabideetanoranzkoberanibiltzendirenean.Kasuhorretan,kontuanizanbeharduguhigikariakhorienabia-duraabsolutuenartekokendurarenparekoabiaduranhurbiltzendirela.

Indartu eta sakondu

•Indartzeko:

a) 3€/kg-ko20kgirin1,8€/kg-ko40kgirinekinnahasizgero,zenbatizangodanahastearenprezioa?

b)AutobatA-tikirtenda,90km/h-koabiaduran.Biordugeroago,bes-teautobatirtendahiriberetik,bideberaeginez,120km/h-koabia-duran.Kalkulatuzenbatdenborabeharkoduenlehenengoaharra-patzeko,etaunehorretaraartezerdistantziaibiliduten.

•Sakontzeko:

a) 7,5€/kg-ko16kgkafekalitategorenekobestekafebaten24kg-rekinnahastudugu.Nahastearenprezioa9€/kg-koabada,zerpreziodukaferikgarestienak?

b)Bihirirenartekodistantzia70kmda.TxirrindularibatA-tikirtenda,13km/h-koabiaduran.Orduberean,bestetxirrindularibatirtendaB-tik,12km/h-koabiaduran.Kalkulatuzenbatdenborabeharkodutentopoegitekoetazerdistantziaibiliduten.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAfotokopiatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Aplikatu»ataleko7.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Aplikatu»ataleko7.ariketa.


5 Nahastearenprezioa10,40€/kgizangoda.

6 Lehenengokasuan,%84,5urre.Bigarrenean,%88,93.

7 Disoluzioarenlitroak856,05kgpisatukodu.

8 Aterakodenlingotearenlegea≈0,87

9 a)2,5ordu. b)2,4ordu=2h24min

10 141,26egunbarru;hauda,141egun,6ordueta30minutubarru.

42

5150

4 Kalkuluak ehunekoekin

Kantitate baten ehuneko bat zenbat den kalkulatzea

5 000ren % 16 da: 10016 · 5 000 = 0,16 · 5 000 = 800.

Ehunekoa (% 16) era hamartarrean adierazi dugu (0,16).

Kantitate baten ehunekoa zenbat den kalkulatzeko, ehunekoa era hamarta-rrean adierazi eta horrekin biderkatzen da.

Proportzio bati dagokion ehunekoa zenbat den kalkulatzea

5 000 pertsonako herri batean, 800ek On Kixote irakurri dute. Guztiaren zer ehuneko osatzen dute pertsona horiek?

100 pertsonatik On Kixote zenbatek irakurri duten kalkulatu behar dugu:

5000800 · 100 = 16. Totalaren % 16k irakurri dute On Kixote.

Kantitate bat, a, totalaren, C, zer ehuneko den kalkulatzeko, Ca · 100

egiten da.

1. 3 780 euroren % 35 eta 36 200 pertsonaren % 160 zenbat den kalkulatzea.

•% 35 ∼ 0,35 (35 ehunen)Ondorioz, 3 780 euroren % 35 hau da: 3 780 · 0,35 = 1 323 €.

•% 160 ∼ 1,60 (160 ehunen)Ondorioz, 36 200 pertsonaren % 160 hau da: 36 200 · 1,60 = 57 920 pertsona.

2. 15 800 m2-ren zer ehuneko da 3 634 m2?

158003 634 · 100 = 23. Ondorioz, 3 634 m2 da 15 800 m2-ren % 23.

Problema ebatziak

Ehuneko gehitzeak kalkulatzea

50 € balio zuen erlojua % 16 garestiago jarri dute. Zenbat balio du orain?Orain arte dakigunaren arabera, honela ebatz dezakegu:

Gehitzea: 50 · 0,16 = 8 €Azken prezioa: 50 + 8 = 58 €

Hala ere, hartu kontuan % 16 igoz gero, oraingo prezioa aurrekoaren % 116 dela. Horregatik, prezio hori lortzeko, zuzenean egin daiteke 50 bider 1,16 biderketa:

50 · 1,16 = 58 €1,16 honako hau da: 1 + 0,16 (kantitatea gehi 16 ehunen)

Azken kantitatea lortzeko, hasierako kantitatea zenbaki batekin biderkatu behar da eta zenbaki horri aldakuntza-indize esaten zaio.Ehuneko hainbesteko gehitzeetan, aldakuntza-indizea 1 gehi ehuneko hainbeste era hamartarrean adierazita da.Azken balioa zenbat den kalkulatzeko, aurkitu aldakuntza-indizea eta biderkatu hasierako kantitatearekin:

azken balioa = hasierako balioa · aldakuntza-indizea

Ehuneko gutxitzeak kalkulatzea

Hozkailuaren prezioa 620 € zen. % 40 merkatu dute. Zenbat balio du orain?Hasierako prezioari % 40 kenduz gero, % 60 gelditzen da. Azken prezioa da:

620 · 0,60 = 372 €0,60 unitatea ken 40 ehunen da: 1 – 0,40 = 0,60

Ehuneko gutxitze batean, aldakuntza-indizea 1 ken ehuneko gutxitzea (era hamartarrean adierazita) da. Azken balioa zenbat den kalkulatzeko, aurkitu aldakuntza-indizea eta biderkatu hasierako kantitatearekin:

azken balioa = hasierako balioa · aldakuntza-indizea

Urtegi batean bildu den ura, 690 hm3, % 23 gutxiagotu da. Zenbat ur dago orain?

1 – 0,23 = 0,77 → 690 · 0,77 = 531,3Orain, 531,3 hm3 ur dago urtegian.

Problema ebatzia

1. Kalkulatu zenbat den.a) 300en % 24.b) 560ren % 112.c) 83 200en % 3.d) 83 200en % 30.e) 5 200en % 230.f ) 40ren % 300.

2. Kalkulatu zer ehuneko den.a) 45, 225i dagokionez.b) 6 160, 56 000ri dagokionez.c) 4 230, 9 000ri dagokionez.d) 1 922, 1 240ri dagokionez.e) 6 000, 4 000ri dagokionez.f ) 975, 32 500ri dagokionez.

Pentsatu eta egin

3. Urtearen hasieran 13,70 balio zuten akzioak % 35 igo dira. Zenbat balio dute orain?

4. Autonomia-erkidego batean, 69 580 langabe zeuden. % 15 gutxiago dira orain. Zenbat langabe daude orain?

Pentsatu eta egin

Buruzko kalkulua

Adierazi era hamartarrean honako ehuneko hauek:a) % 10 b) % 7c) % 1 d) % 160e) % 127 f ) % 5

Buruzko kalkulua

Zer aldakuntza-indize dagokie honako ehuneko gehitze hauei?a) % 25 b) % 5 c) % 40d) % 80 e) % 110 f ) % 200

Buruzko kalkulua

Zer aldakuntza-indize dagokie honako ehuneko gutxitze hauei?a) % 25 b) % 5 c) % 40d) % 15 e) % 88 f ) % 1

Buruzko kalkulua

Totalari dagokionez, zer ehuneko da kantitate bakoitza?a) 15, 30i dagokionez.b) 5, 20ri dagokionez.c) 2, 10i dagokionez.d) 30, 3 000ri dagokionez.e) 3, 4ri dagokionez.

% 16 GEHITZEA

1,16KANTITATEA, 1

GEHI 16 EHUNEN

Problemak ebatziz ehunekoak kalkulatzeko ariketak.

Webgunean

Ehuneko gehitzeen eta gutxitzeen kalkulua indartzeko ariketak.Webgunean

Iradokizunak•Aurrekoikasturteetan,ikasleekehunekoakadieraztekoetaerabiltzeko

hainbatmoduikasidituzte.Hasierakopausohauetanerreferentziarentotalakehunekoarekikozergarrantziaduengogoratukodugu.

•Ikasturtehonetan,ehunekoenerahamartarrarierreparatukodiogu,kan-titatebatenehunekoalortzekoprozedurarikohikoenabaita.Ikasleekidentifikatubeharkodute9/50=0,18eragiketakhonakohauadieraztenduela:9zenbakia50en%18dela.

•1.eta2.ariketetan,zailtasunaskotakoadibideakproposatuditugu;horre-la,ikasleakzenbakihamartarraduenehunekoaidentifikatzeraohitukodira.

•Aldakuntza-indizearenkontzeptuagarrantziahandikoada,ehunekoenhandiagotzeakedotxikiagotzeakkalkulatzeko.Izanere,hasierakokanti-tateajakinikamaierakokantitateakalkulatzekomodueraginkorraizateazgain,bestezenbaitaplikazioditu:hasierakokantitateakalkulatzeaamaie-rakokantitateaetaehunekoenhandiagotzeaedotxikiagotzeazeindirenjakinik,etaehunekoenhandiagotzeakedotxikiagotzeakkateatzea.

•Aldakuntza-indizearenideiaezdaerrazaikasleentzat.Irakasleakazalpenzehatzaetapatxadatsuaeginbeharkodu,aplikatuordukoikasleekon-doulerdezaten.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:


Indartzeko:28.orrialdeko1etik5erakoariketak.30.orrialdeko13.eta14.ariketak.

Sakontzeko:28.eta29.orrialdeetako6tik10erakoariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAfotokopiatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktika»ataleko3.eta4.ariketak.B fitxako«Praktika»ataleko2.,3.eta4.ariketak.

Lankidetzan ikasi Irakasleakegokijotzenbadu,problemasortakbinakaedotaldetxikietanegindaitezke,berdinenartekoikasketabultzatzeko.Ikasleekbakarkaeba-tzikodituzteariketak,etasoluzioakikaskideekinegiaztatukodituzte,baitadesberdintasuneiburuzeztabaidatu,akatsakaurkituetaadostasunetarahelduere.Horiguztiairakaslearengidaritzapeanegingodute.


1 a)72 b)627,2 c)2496

d)24960 e)11960 f) 120

2 a)%20 b)%11 c)%47

d)%155 e)%150 f)%3

3 Orain18,50€daude.

4 Orain59143langabedaude.

OHARRAK

43

5352

Hasierako kantitatea zenbat den kalkulatzea jakinik ehuneko aldakuntza eta azken kantitatea zenbat den

% 35 igo ondoren, ordenagailuaren prezioa 783 € da. Zenbat balio zuen igo baino lehen?Erreparatu honako eskema honi:

HASIERAKO PREZIOA · 1,35 = AZKEN PREZIOA

· 1,35

: 1,35

HASIERAKOPREZIOA

AZKENPREZIOA

HASIERAKO PREZIOA = AZKEN PREZIOA : 1,35

Ordenagailuaren hasierako prezioa = 783 : 1,35 = 580 €

Ehuneko aldakuntza aplikatuz ateratzen den kantitatea zenbat den jakinez gero, hasierako kantitatea zenbat den ateratzeko, azken kantitatea aldakuntza-indizearekin zatitzen da.

hasierako kantitatea = azken kantitatea : aldakuntza-indizea

1. Telebistaren prezioa 566,40 euro zen. Zenbat balio zuen zergen % 18 zamatu baino lehen?

Aldakuntza-indizea 1 + 0,18 = 1,18 da.Beraz, zergak zamatu aurreko telebistaren prezioa honako hau zen:

566,40 : 1,18 = 480 €

2. Denda handi jakin batzuetan, salgai guztiak % 35 merkatu dituzte. Honako hau erosi dugu: margolana, 195 €; bizikleta, 78 € eta liburua, 14,30 €. Zenbat balio zuen gauza bakoitzak merkealdia hasi baino lehen?

Hiru kasuetan, aldakuntza-indizea 1 – 0,35 = 0,65 da.Ondorioz, merkealdia hasi aurreko prezioak honako hauek ziren:

Margolana → 195 : 0,65 = 300 €Bizikleta → 78 : 0,65 = 120 €Liburua → 14,30 : 0,65 = 22 €

Problema ebatziak

5. Irabiagailuaren prezioa, zergei dagokien % 18 zamatu eta gero, 70,80 € da. Zenbat balio du irabiagailuak zerga horiek zamatu aurretik?

6. Goma elastikoa tenkatuz gero, % 30 luzeago bihur-tzen da eta, posizio horretan, 104 cm luze da. Zer luzera du gomak tenkatu gabe?

7. Denda bateko merkealdian, % 30eko deskontua egin diote Robertori eta 50,40 euroan erosi du argazki- kamera. Zenbat balio zuen merkatu baino lehen?

8. Postariak eskutitz guztien % 36 banatu du. 1 184 eskutitz banatu behar ditu oraindik. Zenbat eskutitz zituen banatzen hasi baino lehen?

Pentsatu eta egin

Buruzko kalkulua

Adierazi zenbat den hasierako kanti-tatea, jakinik:a) % 50 handiagotzen da.

Azken k. = 1 500.b) % 50 handiagotzen da.

Azken k. = 3 000.c) % 25 handiagotzen da.

Azken k. = 125.d) % 25 handiagotzen da.

Azken k. = 250.e) % 50 txikiagotzen da.

Azken k. = 400.f ) % 40 txikiagotzen da.

Azken k. = 600.

Ehuneko-aldakuntzak kateatzea

Kantitate bat % 25 handiagotzen da eta, gero, emaitza % 33 handiagotzen da. Zenbat izan da guztizko handiagotzearen ehunekoa?

C +% 25⎯⎯→ C · 1,25 +% 33⎯⎯→ (C · 1,25) · 1,33 = C (1,25 · 1,33) = C · 1,6625% 66,25

Guztizko aldakuntza-indizea 1,6625 da; hau da, % 66,25 handiagotu da.

Ehuneko-gehitzeak eta -gutxitzeak kateatzeko, ondoz ondoko pausoen aldakuntza-indizeak biderkatzen dira.

9. Merkatari batek salgaiak % 30 garestitu ditu eta, gero, hasierako prezioan utzi nahian, % 30 merkatu ditu.

a) Hasieran 1 000 euroko prezioa zuen ordenagailuak, zer prezio izango du prozesu horretako pauso bakoitzean?

b) Zenbateko ehuneko-aldakuntza izan dute salgaiek hasierako prezioari dagokionez?

10. 42 000 euroko kapitala urteko % 5ean jarri da bankuan. Zenbat bihurtuko da diru hori urtebe-tean? Eta bitan? Eta hirutan?

Pentsatu eta egin

Problema ebatziak

1. 1 000 € balio zuten akzioek % 60 egin dute gora. Gero, berriz egin dute % 25 gora. Ehuneko zenbat igo dira, guztira?

1. goraldia: 1 000 € +% 60⎯⎯→ 1 000 · 1,60 = 1 600 €

2. goraldia: 1 600 € +% 25⎯⎯→ 1 600 · 1,25 = 2 000 €

guztizko goraldia: 1 000 € ⎯⎯→ 2 000 €

Argi dagoenez, guztizko goraldia % 100ekoa izan da. Nola lortzen da zuzenean? Orain ikusiko dugu: 1,60 · 1,25 = 2. Hau da, hasierako kantitatea, 1, gehi 100 ehunen. % 100eko goraldia.

2. 800 euroko gitarra % 50 garestiago jarri dute. Gero, % 50 jaitsi da. Hasieran bezala gelditu al da prezioa?

goraldia: 800 € +% 50⎯⎯→ 800 · 1,50 = 1 200 € [1,50 = 1 + 0,50]

beheraldia: 1200 € –% 50 ⎯⎯→ 1 200 · 0,50 = 600 € [0,50 = 1 – 0,50]

Prezioa ez da gelditu hasierako moduan. Guztira, 200 € jaitsi da.

guztizko aldakuntza-indizea = 1. aldakuntza-indizea · 2. aldakuntza-indizea

1,50 · 0,50 = 0,75 = 1 – 0,25. % 25eko merkealdiari dagokio.

3. 520 euroko garbigailua % 10 garestitu da; gero, % 20 garestitu da eta, azke-nez, % 30 merkatu da.

a) Zenbat da azken prezioa?

b) Zenbat da guztizko aldakuntza-indizea? Ehu-nekotan adierazita, zenbat garestitu edo merkatu da?

a) 520 +% 10⎯⎯→ 520 · 1,10 = 572 +% 25⎯⎯→ 572 · 1,25 = 715 –% 30⎯⎯→

⎯⎯→ 715 · 0,70 = 500,50

Azken prezioa da 520 · 1,10 · 1,25 · 0,70 = 500,50 €.

b) Guztizko aldakuntza-indizea 1,10 · 1,25 · 0,70 = 0,9625 da.

0,9625 txikiago denez 1 baino, merkatu egin da. Zenbat?

1 – 0,9625 = 0,0375 = ,1003 75 . % 3,75 merkatu da.

Iradokizunak

•Aldakuntza-indizearenerabileraetaeraginkortasunahobetoulertukodi-rabiorrialdehauetanplanteatzendirenproblemetan:hasierakokantita-teakalkulatzea(zatiketaerrazbatenbidezebatzdaitekeena),etaehune-koen aldakuntzak kateatzea. Azken hori biderketari lotuta dago,aldakuntza-indizeeiesker.

•Kontzeptuhauekproblemamotaaskoebaztekoaukeraematendigute;izanere,ehunekoaketengabeageridiragizarteanetakomunikabidee-tan.Alabaina,ehunekoenkateatzeekinakatsugarieginohiditugu(ehu-nekoakbatzeaedokentzea,horietakobatzukkantitateberariaplikatzenzaizkionean;ehunekoberahanditzeaedotxikitzea,hasierakokantitatebereraheltzensaiatuz…),etahoridelaeta,kontzeptuetaprozeduraho-riek ikastea ikasturtekohelbururikgarrantzitsuenetakoa izangoda.Horrela, ikasleakhelduaroanaurkeztukozaizkienzenbaitegoeratanhobetomoldatzekogaiizangodira(adibidez:merkataritza-egoeraketanominaketazorrakordaintzea).

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:


Indartzeko:30.orrialdeko15.eta16.ariketak.31.orrialdeko21.eta22.ariketak.

•Sakontzeko:

a) Margobatenprezioa%180hazizen.763euroansaldubazen,zerpreziozuenigoerabainolehen?

b)Unibertsitateeskolabatekoikasleenkopurua%0,8txikitudaaurten.Ikasturtehonetan1488ikaslematrikulatubadira,zenbatmatrikulatuzireniaz?

c) Lursailbatenprezioak%120eginbadugora,eta3356€-anordaindubadugu,zenbatbaliozuenigoerabainolehen?

d)Hirijakinbatekobiztanle-kopurua%0,9murriztudaazkenurtean.Hiriakorain250000biztanlebaditu,zenbatbiztanlezitueniaz?

e) Honakokasuhauetan,kantitatebatiehunekoarenhandiagotzeaetatxikiagotzeaaplikatuzaizkio.Bilatuamaierakoaldakuntza-indizeaetaesanehunekoarenzeraldakuntzaadieraztenduen:

i. Handiagotzea:%24.Txikiagotzea:%10.

ii. Handiagotzea:%62.Txikiagotzea:%50.

iii. Handiagotzea:%120.Txikiagotzea:%20.

iv.Handiagotzea:%65.Txikiagotzea:%40.

Lankidetzan ikasi

Irakasleakegokijotzenbadu,problemasortakbinakaedotaldetxikietanegindaitezke,berdinenartekoikasketabultzatzeko.Ikasleekbakarkaeba-tzikodituzteariketak,etasoluzioakikaskideekinegiaztatukodituzte,baitadesberdintasuneiburuzeztabaidatu,akatsakaurkituetaadostasunetarahelduere.Horiguztiairakaslearengidaritzapeanegingodute.


5 Hasierakoprezioa60€ziren.

6 Gomak,tenkatugabe,80cm-koneurriadu.

7 72€baliozituen.

8 1850eskutitzzituen.

9 a)Igoerarenondoren,1300€.Jaitsierarenondoren,910€.

b)%9jaitsidira.

10 Urtebetean:44100€.Bitan:46305€.Hirutan:48620,25€.

44

Ariketa eta problema ebatziak

54 55

Diru kantitate jakin bat, C, aurrezki-kontu batean jarriz gero, bankuak inte-resak emango dizkigu. Itundu den interesa urteko % 6koa, esaterako, izanez gero, urtea betetzen denean bankuak C kapitala eta interesak emango dizkigu: C · 0,06. Hau da, C · 1,06 emango digu.

C urte bat % 6an⎯⎯⎯⎯⎯→ C · 1,06

Dirua atera beharrean, beste urte batean utziz gero, % 6 handiago bihurtuko da berriz ere. Hau da, berriro biderkatuko da 1,06rekin:

C bi urte % 6an⎯⎯⎯⎯⎯→ (C · 1,06) · 1,06 = C · 1,062

Eta horrela gainerako urteetan ere; n urtean ukitu gabe utziz gero, orduan:

C n urte % 6an⎯⎯⎯⎯⎯→ C · 1,06n

C kapitala % r-an jarri eta n urte barru, azken kapitala CF , izango da:

CF = C · r1 100n

+b l

Bankua interesak hilero ordaintzeko prest egonez gero, hileko ehunekoa urte-koaren hamabirena izango litzateke (r /12). Aurreko adibidean, hileroko goral-diaren ehunekoa 6/12 = % 0,5 izango litzateke. Beraz, k hilabete barru, honela eraldatuko litzateke:

C k hilabete % 0,5ean⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ C · 1,005k

5 Interes konposatua

1. Zer kantitate bihurtuko da 5 urte barru urteko % 3,6an jarritako kapitala?

2. Zer kantitate bihurtuko dira 5 urtean urteko % 3,6an jarritako 20 000 €, interesak hilero ordainduta?

Pentsatu eta egin

Problema ebatziak

1. Banku jakin batek % 4,8 ordaintzen du epe finkoan jarritako dirua. 160 000 € jarri ditugu. Zenbat diru atera dezakegu 4 urte barru?

Urtero, kapitala % 4,8 handiago bihurtzen da; hau da, 1,048rekin biderkatzen da. 4 urte igarota 1,0484-rekin biderkatuko da. Ondorioz, atera ahal izango dugun azken kapitala honako hau izango da:

CF = 160 000 · 1,0484 = 193 003,47 €

2. Zenbat bihurtuko dira urteko % 4,8an 4 urtean ezarritako 160 000 €, kapi-talizazio-aldia hilerokoa izanez gero?

Urteko % 4,8 honako hau da: 4,8/12 = % 0,4 hilean.

Lau urtean, 4 · 12 = 48 hilabete daude.

Ondorioz: CF = 160 000 · 1,00448 = 193 793,05 €

Emaitza hori aurreko ariketakoarekin konparatuz gero, hileroko kapitalizazio-aldiak interesgarriagoak dira dirua jartzen duenarentzat urterokoak baino.

Nomenklatura

Bankuak interesak hilero ordainduz gero, kapitalizazio-aldia hilerokoa dela esaten da.

2. Ehuneko-aldakuntzak

Telefono baten prezioa % 20 igo da eta, gero, % 25 jaitsi da. 135 € ordaindu dut telefono hori. Zenbat balio zuen hasie-ran?

Gehitzearen aldakuntza-indizea: 1,2 (1 + 0,20)Deskontuaren aldakuntza-indizea: 0,75 (1 – 0,25)Guztizko aldakuntza-indizea: 1,2 · 0,75 = 0,9Ondorioz, telefonoaren hasierako prezioa honako hau zen: 135 : 0,9 = 150 €.

1. Egin den errorea kontrolatzea

Balea baten pisua 75 t eta 85 t-ren artekoa da. 80 t-ko pisua duela esango dugu.

Beste balea batena, 76,5 t eta 77,5 t-ren artean dago. 77 t-ko pisua duela esango dugu.

a) Zer dakigu bakoitzean egin den errore absolutuari buruz?

b) Zeinetan egin da errore erla-tiborik txikiena?

a) Errore absolutua ageri ez diren zifren mende dago.1. balea: 80 t, eta honako hau dakigu: 75 < 80 < 85 → Errore absolutua < 5 t2. balea: 77 t, eta honako hau dakigu: 76,5 < 77 < 77,5 → Errore

absolutua < 0,5 t b) Bi kasuotan neurria bi zifrarekin eman dugun arren, errore erlatiborik txi-

kiena bigarrenean dago, pisaldia zehatzago egin dela dakigunez gero, hiru zifra esangarri erabilita.

Zeuk egin. Apalategi bat 342 cm-koa dela esan digute eta bi herriren artean 37 km daudela. Zer esan dezakegu neurketa bakoitzean egin den erroreaz?

3. Notazio zientifikoa eta proportzionaltasuna

Interneten, segundoz segundo munduan zenbat biztanle dau-den neurtzen duen erlojuari begiratu eta azken ordu laur-denean 876 pertsona gehiago daudela ikusi dut. Hazkundea-ren erritmo horri eutsiz gero, noiz iritsiko gara zortzi mila milioi izatera? (Gaur egungo biztanleria ∼ 7,2 · 109 per-tsona).

Lehenengo, biztanleriak zenbat hazi behar duen ikusiko dugu:8 mila milioi = 8 · 109 → 8 · 109 – 7,2 · 109 = 0,8 · 109 = 8 · 108

15 minutuan 876 pertsona gehiago izanez gero, 8 · 108 gehiago izateko,· ·

8768 10 158

= 13 698 630,14 min = 1,4 · 107 min beharko dira.

Urtetan: · · ,

,60 24 365 2513 698 630 14 = 26,05

Zortzi mila milioi izatera 26 urte baino gehixeagotan iritsiko gara.Zeuk egin. Birus baten diametroa 5 · 10– 4 mm da. Zenbat birus beharko dira Lurra inguratzeko? (Lurraren batez besteko erradioa: 6 370 km).

Interes konposatuaren kalkulua indartzeko problemak.Webgunean

4. Alderantzizko-alderantzizko proportzionaltasuna

Bi hondeamakinak, 10 orduan lan eginez gero, 9 egunean egi-ten dute indusketa. Zenbat egun beharko lituzkete hiru makinak lan hori egiteko 12 orduan lan eginez gero?

Zeuk egin. Bost langilek, egu-nean 6 orduan lan eginda, 12 egunean egingo dute horma bat. Zenbat langile beharko dira horma hori 9 egunean egiteko, 10 orduko lanaldiak eginez?

Zenbat eta pala gehiago, egun gutxiagoZenbat eta h/egun gehiago, egun gutxiago

4

•Unitatera laburtuz ebaztea:— Bi palak, egunean 10 orduko lana eginez gero, 9 egun beharko dituzte.— Pala batek, egunean ordu bateko lana eginez gero, 9 · 2 · 10 = 180 egun.— Hiru palak, 12 ordukoak eginez, 3 12

180· = 5 egun beharko lituzkete.

•Hiruko erregela konposatuaren bidez ebaztea:

palak orduak/egun egunakalderantziko p.

alderantziko p.

8 88 8 x

2 10 93 12

pala orpala orduko lanaldiak

duko lanaldiak egun4 2 10

3 12·· = x

9 → x = ·· ·3 12

9 2 10 =

= 5 egun

Iradokizunak

•54.orrialdean,ehunekoenkateatzeekdituztenerabilerarikinteresgarrie-netakobataurkeztukodugu:intereskonposatua.Kasuhorietan,ehune-koenhandiagotzeakbetiberdinakdirenez,berreketakdituztenadieraz-penetaraeramangogaituzte. Horieiesker,hurrengo ikasturteetan,funtzioesponentzialaedomerkataritza-aritmetikalandukoditugu.

•54.orrialdekobigarrenariketaebatzian,urtekointerestasaematendi-gute,etakapitalizazio-aldiahilerokoadelaesatenda.Horrenondorioz,hilabetebakoitzeanhasierakokantitaterekikozernolakohanditzeaegondenkalkulatubeharkodugu(hilabetekointerestasa),etadagokionbe-rreketarenberretzaileaerabakibeharkodugu.

•«Ariketaketaproblemaebatziak»izenekoorrialdean,ikasleekzenbaitestrategia,iradokizunetajarraibidetopatukodituzte;horrela,unitatea-renamaierakoorrialdeetanageridirenariketakerrazagoebatzikodituz-te.Horrekinguztiarekin,ikasleakgaiizangodiraantzekozenbaitegoeraproblematikoriaurreegiteko.

Sufinúltimoesquelosestudiantesseancapacesdereproducirproce-dimientossimilarescadavezqueseencuentrenanteunasituaciónpro-blemática.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:


Indartzeko:30.orrialdeko17.ariketa.

Sakontzeko:31.orrialdeko18.eta19.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEA:

Sakontzeko:Afitxako«Aplika»ataleko8.ariketa.Bfitxako«Aplika»ata-leko8.ariketa.

•Indartzeko:

Kalkulatuzenbatbihurtukoden10000€-kokapitala,bankubateangor-deta,honakobaldintzahauetan:

a) 3urte,urteko%4kointeresean.

b) 2urte,urteko%5ekointeresean.

c) 18hilabete,urteko%4,8an,hilekointeres-ordainketekin.

d) 4urte,urteko%3an,hilekointeres-ordainketekin.

•Sakontzeko:

a) Zenbatbihurtukoda28000€-kokapitala,urteko%3,6kointereseangordeta,urtebatetahiruhilabetez?

b) 50000€ jarriditugu,hileko%0,36ko interesean,urteetaerdiz.Zenbatbihurtukoda?


1 23868,70€bihurtukoda.


«Zeuk egin» atalaren soluzioak

1 Apalategia:A.E.<5mm.Biherrienartekodistantzia:E.A.<5hm.

Erroreerlatiboriktxikienalehenkasuangertatzenda,neurrikhiruzifraesangarribaititu.Bigarrenkasuan,aldiz,bizifraesangarrirekinsoilikematenda.

3 1,274·1013birusbehardira.

4 4langilebeharkodira.

45

56 57

Ariketak eta problemak

EginHurbiltzeak eta erroreak

1. Bi zifra esangarri erabiliz, adierazi honako kanti-tate hauek:a) Klub baten aurrekontua: 1 843 120 €.b) Alderdi politiko baten botoak: 478 235.c) Enpresa baten prezioa: 150 578 147 €.d) Akaro baten tamaina: 1,083 mm.

2. Honako hurbiltze hauetako zeinetan egiten da errore absoluturik txikiena?

a) 314 ≈ ,

,4 64 7

b) 1,546 ≈ ,,

1 51 6

c) 6 ≈ ,,

2 442 45

d) 10 ≈ ,,

3 163 2

3. Zer esan dezakegu kasu bakoitzeko errore absolu-tuari eta errore erlatiboari buruz?a) Automobil baten prezioa: 12 400 €.b) Lasterketa baten denbora: 34,6 min.c) Agerraldiko parte-hartzaileak: 250 000.d) Bakterio baten diametroa: 0,0006 mm.

4. Honako neurri hauetako zein da zehatzena (zeinek du errore erlatiborik txikiena)? Kasu bakoitzean, adie-razi zer ordenatakoa den egin den errore absolutua:a) Neska baten altuera: 1,75 m.b) Telebista baten prezioa: 1 175 €.c) Iragarki baten denbora: 95 segundo.d) Irratsaio baten entzule kopurua: 2 milioi.

Ehunekoak

5. Kalkulatu buruz.a) 340ren % 20 b) 400en % 2,5c) 4 000ren % 75 d) 200en % 150e) 250en % 60 f ) 12ren % 12

6. Zer ehuneko da?a) 300en 78 b) 500en 420c) 5 000ren 25 d) 200en 340

7. Kasu bakoitzean, kalkulatu zenbat den ezagutzen dugunaren hasierako kantitatea:a) % 28, 98 da. b) % 15, 28,5 da.c) % 2, 325 da. d) % 150, 57 da.

8. Zer zenbakirekin biderkatu behar da hasierako kantitatea kasu bakoitzean azken kantitatea lortzeko?a) % 12 handiagotzen da. b) % 37 txikiagotzen da.c) % 150 handiagotzen da. d) % 2 txikiagotzen da.e) % 10 handiagotzen da eta, gero, % 30.f ) % 25 txikiagotu eta % 42 handiagotzen da.

9. Kalkulatu zenbat den aldakuntza-indizea eta azken kantitatea:a) 325, % 28 handiagotzen da.b) 87, % 80 txikiagotzen da.c) 425, % 120 handiagotzen da.d) 125, % 2 txikiagotzen da.e) 45, % 40 eta % 30 handiagotzen da.f ) 350, % 20 eta % 12 txikiagotzen da.

10. Ehuneko zer gehitze edo txikitze dagokie honako aldakuntza-indize hauei?a) 1,54 b) 0,18 c) 0,05d) 2,2 e) 1,09 f ) 3,5

11. Zer ehuneko da?a) % 40ren % 40. b) % 20ren % 25.c) % 120ren % 30. d) % 20ren % 150.

12. Kasu bakoitzean, kalkulatu zer kantitate falta den:hasierako kantitatea

ehuneko aldakuntza

azken kantitatea

850 ↑ +% 184 500 ↓ – % 48

75 ↑ +% 1105 600 4 592326 603,1

↑ +% 32 165↓ – % 0,8 4 140

13. Lotu zatikiak ehunekoekin.

zatikia 13/20 77/200 11/60ehunekoa % ,24 8

!% ,13 6

!

Ebatzi problemak

Proportzionaltasuna

14. Egoitza multzo bateko auzoek 390 € ordaintzen dute hilean kaleargien mantenua. 130 kaleargi dira. Zenbat kaleargi kendu beharko dituzte, hileko faktu-ra 240 eurora murriztu nahi izanez gero?

15. Bost arotzek 21 egun behar dituzte zoruan ohola jartzeko. Zenbat arotz beharko dira lana 15 egunean egitea nahi izanez gero?

16. Papertegi baten jabeak 670 € ordaindu du 25 folio-kaxari dagokion faktura. 17 kaxako beste eska-ri bat egin behar du. Zenbat izango da eskari horren faktura? Zenbat kaxa hartuko ditu 938 euroko faktu-rari dagokion hirugarren eskarian?

17. 4 600 errefuxiatu babesten dituen kanpa-lekuak 24 asterako janariak ditu. Zenbat murriztuko da denbora hori 200 errefuxiatu gehiago etorriz gero?

18. Santiago Bideko erromes batek egunean sei orduko ibilaldiak eginez, 5 egun eta 2 ordu eman ditu 128 kilometroko distantzia egiteko. Zer distan-tzia egiten du egunean?

19. Espainian, gutxi gorabehera, 8,5 tona paper era-biltzen dira urtean. Zenbat da urteko kontsumoa biztanleko? (Espainiako biztanleria: 46,5 milioi). Erantzun 0,5 kg-tik beherako errore absolutu txikia-goa eginez.

20. Tren-makina jakin batek, 85 km/h-ko abiadu-ran, 3 ordu eta 18 minutuan egiten du bi hiriren arteko bidea. Zenbat denbora emango du etorrian, 110 km/h-ko abiaduran eginez gero?

21. Argiaren abiadura 3 · 108 m/s da. Argi-urtea argiak urtebetean egiten duen distantzia da.

a) Zer distantzia egiten du argiak urtebetean?

b) Zenbat denbora behar du argiak Eguzkitik Pluto-nera iristeko? (Eguzkirik Plutonerako distantzia: 5,914 · 109 km).

c) Alfa-Zentauro izarra Lurretik 4,3 argi-urteko dis-tantzian dago. Adierazi kilometrotan distantzia hori.

(Erantzun hiru zifra esangarri emanez).

22. Informatika-fitxategien tamaina bytetan (B) ematen da.

a) Zenbat byte ditu 21,3 MBko (megabyte) artxi-boak? Eta zenbat KB (kilobyte)?

b) Zenbat byte gorde ditzaket 1 TB (terabyte) dituen nire disko gogorrean? 20 MBko zenbat artxibo?

c) Nire disko gogorraren segurtasun-kopia egin nahi dut; 310 GB okupatuta ditut. Kopiatu dezaket 0,5 TBko diskoan?

23. Nazio Batuen Erakundeak iragarri due-nez, 2001-2010eko hamarkadan 1,3 · 107 hektarea baso galdu dira urtean.

Bestalde, webgune jakin batean, hamar milioi futbol-zelairena baino azalera handiagoa galdu dela iraku-rri dut. Egia ote da azken informazio hori? Egiazta ezazu (futbol-zelaiaren gehienezko dimentsioak: 120 m × 75 m).

24. Lau meatzarik 15 metro luze den galeria 9 egu-nean zulatu dute. Zenbat metro galeria zulatuko dituzte 6 meatzarik 15 egunean?

25. Katean lan eginez, 17 langilek 8 orduko lanal-diak eginda, 850 irrati-aparatu muntatzen dituzte astean. Datorren astean, zenbat ordu egin beharko dituzte egunean, 1 000 aparatuko eskaria hornitzeko, kontuan hartuz beste hiru langilek lan egingo dutela?

26. 200 m luze eta 80 m zabal den lursailean, 4 800 kg gari bildu da. Zenbateko uzta egon daiteke 190 luze eta 90 zabal den beste lursail batean?

27. Lantegi batek 480 abatz-estalki fabrika-tzen ditu egunean, bost makinak egunean 8 orduko lanaldiak eginez.

a) Zenbat abatz-estalki fabrikatuko ditu beste makina bat gehitu eta txanda bakoitza 10 ordukoa izanez gero?

b) Zenbat ordu iraun beharko luke txanda bakoitzak egunean 540 piezako kupoa sei makinarekin bete-tzeko?

28. 113 mahaikideko enpresa-jantoki batean, 840 jogurt jan dira 20 lanegunean. Hurrengo bost egunetarako, 200 jogurt gorde dira. Nahikoa izango al da, kontuan hartuz, batez beste, egunean 120 ma-haikide egongo direla?

«Ariketak eta problemak» ataleko soluzioak

1 a)1,8milioieuro b)480000boto

c)150000000€ d)1,1mm

2 a)4,7rekin b)1,5ekin c)2,45rekin d)3,16rekin

3 a)E.A.<50€.E.E.<0,004

b)E.A.<0,05min.E.E.<0,001

c)E.A.<5000pertsona.E.E.<0,02

d)E.A.<0,00005mm.E.E.<0,08

4 a)E.A.<0,005mb)E.A.<0,5€c)E.A.<0,5sd)E.A.<500000

b)neurriadazehatzena.

5 a)68 b)10 c)3000 d)300 e)150 f) 1,44

6 a)%26 b)%84 c)%0,5 d)%170

7 a)350 b)190 c)16250 d)38

8 a)1,12 b)0,63 c)2,5 d)0,98 e)1,43 f) 1,065

9 a)IV=1,28;CF=416 b)IV=0,2;CF=17,4

c) IV=12,2;CF=935 d)IV=0,98;CF=122,5

e)IV=1,82;CF=81,9 f) IV=0,704;CF=246,4

10 a)%+54 b)%–82 c)%–95 d)%+120 e)%+9 f)%+250

11 a)%16 b)%5 c)%36 d)%30

12 hasierko kantitatea ehuneko aldakuntza amaierako kantitatea

1003 %–18 125

2340 %+85 4173,39

157,5

13 zatikia 13/20 77/200 11/60 56/225 41/300

ehunekoa %65 %38,5 %18,3!

%24,8!

%13,6!

14 50kaleargikendubeharkodituzte.

15 7arotzbeharkodira.

16 17kaxakofaktura455,60€izangodira.938eurorengatik35kaxahar-tukoditu.

17 Astebatmurriztukoda.

18 24kmegitendituegunean.

19 Urtekokontsumoapertsonako183kgda.

20 2ordueta33minutubeharkoditu.

21 a)9,47·1015mb)5,48hc)4,07·1013km

22 a)21,3MB=21,3·106B=21,3·103KB

b)1TB=1012B.TBbatean,20MBko5·104artxibogordedaitezke.

c)Sí.

23 Informazioaegiazkoada.

24 37,5mgaleriazulatukodituzte.

25 8orduegingodituztelanegunean.

26 5130kg-kouztaegondaiteke.

27 a)720abatz-estalkifabrikatukoditu.

b)Txandabakoitzak7,5hiraunbeharkoditu.

28 Ezdiranahikoaizango,23jogurtbeharkodira.

46

58 59

Ariketak eta problemak29. Litro bat gasolina errez gero, 2370 g

CO2 sortzen da. Automobil bakoitzak, batez beste, 6 litro kontsumitzen ditu 100 km-ko. Espainian, 480 automobil daude, gutxi gorabehera, 1 000 biztanleko eta, batez beste, 15 000 km egiten dituzte urtean.a) Kalkulatu zenbat CO2 igortzen duen automobil

bakoitzak kilometroko.b) Zenbat tona CO2 igortzen dira Espainian urtean?

(Espainiako biztanleria: 46,5 milioi).c) Ekologisten erakunde jakin batek neurriak hartzea

proposatu du igorpenak 120 g/km-ra murrizteko. Zenbat tona CO2 gutxiago igorriko lirateke Espai-nian, proposamen hori betez gero?

Problema klasikoak

30. Hiru bazkidek 12 900 euroko etekina lor-tu dute. Etekin horren zer zati dagokio bakoitzari, kontuan hartuz lehenengoak 18 000 €; bigarrenak, 15 000 € eta hirugarrenak, 10 000 € jarri dituela?

31. Bi pizza-banatzailek 340 € jaso dituzte elkarre-kin egin duten lanagatik. Lehenengoak hiru egun eta erdian egin du lan eta bigarrenak, 5 egunean. Zenbat diru jasoko du bakoitzak?

32. Bi langile taldek basoa garbitzearen ordai-nez, 15 000 € jaso dute. Lehenengo taldea 12 langi-lek osatzen dute eta 8 egunean lan egin dute. Biga-rren taldea 15 lagunek osatzen dute eta 10 egunean jardun dute. Zenbat diru dagokio talde bakoitzari? Eta langile bakoitzari? (Eman soluzioa unitateetara biribilduta eta adierazi zer ordenatakoa den egin den errore absolutua).

33. Hiru neba-arrebak honela banatu dute 2 820 eu-roko jarauntsia: nagusiak jasoko dituen bost euroko, erdikoak lau jasoko ditu eta txikiak, hiru. Zer kanti-tate hartuko du bakoitzak?

34. 20 °C-ko tenperaturan dauden 3 litro ur isuri dira 5 litro ur 60 °C-tan zeuden eltzean. Zer tenperatura du orain urak? Zer tenperatura izango luke 50 °C-ko tenperaturan dagoen beste 2 litro gehituz gero?

35. 50°-ko 0,5 l alkohol eta 80°-ko 0,75 l alkohol nahasi ditugu. Zer kontzentrazio du nahasteak?

36. Hektolitroak 450 € balio duen goi- kalitateko 7 hl ardo nahasi da, hektolitroak 280 € balio duen kalitate eskasagoko 11 hl ardorekin. Zer preziotan aterako da nahastea? (Biribildu hamarrene-tara eta adierazi zer ordenatako errorea egin den).

37. 3 kg-ko eta % 80ko purutasuneko urrezko lingo-tea 1 kg-eko eta % 64ko purutasuneko beste lingote batekin batera urtu da. Zenbat da aterako den lingo-tearen purutasuna?

38. Bi hiri, A eta B, 350 km-ko distan-tzian daude. Automobil bat atera da A-tik B-rantz 110 km/h-ko abiaduran. Une berean, kamioi bat ate-ra da B-tik A-rantz 90 km/h-ko abiaduran. Kalkulatu zenbat denbora barru egingo duten bat eta zer distan-tzia egiten duen horietako bakoitzak.

39. Autobusa A-tik atera da 105 km/h-ko abiadu-ran. Ordu erdi geroago, automobila atera da B-tik 120 km/h-koan. A eta B hirien artean, 300 km dau-de. Kalkulatu zer bide egingo duen bakoitzak elkar gurutzatu arte.

40. Herri jakin batetik, kamioia 90 km/h-ko abiadu-ran atera da. Bost minutu geroago, motorra atera da horren atzetik, 120 km/h-ko abiaduran. Zenbat den-bora beharko du motorrak kamioia harrapatzeko?

41. 9 €/kg-ko 30 kg kafe kalitate eskasagoko beste kafe mota baten 50 kg-rekin nahasi da. Na-hastea 7,50 €/kg-an salduko da. Zenbat da kalitate eskasagoko kilo bat kaferen prezioa?

Ehunekoak

42. Merkatu txikiko saltzaile batek 350 pare galtzerdi eta 240 mukizapi zituen goizean postua jarri duenean. Ixtean, eguerdian, 210 pare galtzerdi eta 174 mukizapi izan ditu. Salkin bakoitzaren zer ehuneko saldu du?

43. Atomo bat karbonoren masa atomo bat uranio-ren masaren % 5 da. Uranioaren masa atomikoa 4 · 10–25 g da. Zenbat da karbonoarena?

44. Esne-marka baten nutrizio-informazioak dioena-ren arabera, litro bat esnetan 160 mg kaltzio daude, hau da, egunean aholkatzen den kantitatearen % 20. Kalkulatu zenbat kaltzio hartu behar duen egunean pertsona batek.

45. Supermerkatu batek saltzen duen olioaren % 67 oliba-olioa da; % 21, ekilore-olioa, eta gaine-rakoa, soja-olioa. 132 litro soja-olio saldu dira. Beste klaseetako zenbat olio saldu da?

46. Gasolina % 2,5 garestitu da udaren hasieran eta litroak 1,56 € balio du, ondorioz. Zenbat zen litro bat gasolinaren prezioa, igo aurretik?

47. Enpresa batek 2,8 milioi euro fakturatu zituen iaz eta, aurten, 3,5 milioi. Ehuneko zenbat igo da fakturazioa?

48. Hasieran milioi bat eta erdi euroko aurre-kontua zuen eraikinaren kostua bi milioi eta ehun mi-lakoa izan da azkenean. Aurrekontuan kalkulatutakoa baino ehuneko zenbat gehiago izan da benetako kostua?

49. 187,20 € euroko ordaindu dut 240 euro balio zuen billetea. Ehuneko zer deskontu egin didate?

50. Kilo bat tomateren prezioa % 20 igo da eta, gero, % 25 merkatu da. 1,80 € balio zuen hasieran. Zenbat balio du orain?

51. Urtegi batek abuztuaren amaieran uztailean baino % 20 ur gutxiago du. Eta uztailaren amaieran, ekainean baino % 15 gutxiago. Ehuneko zenbat jaitsi da bi hilabeteotan?

52. Urrian hasitako telebistako lehiaketako ikusleen kopurua % 23 hazi zen azaroan eta % 18 jaitsi zen abenduan. Abenduaren amaieran, 2 202 000 ikusle izan zituen. Zenbat izan zituen urrian?

53. Merkatari batek salkinen prezioa % 25 igo eta, gero, % 25 jaitsi du. Zenbat izan da salkinen ehuneko-aldakuntza hasierako prezioari dagokionez? Eta % 50 aplikatuta gauza bera eginez gero?

54. Negozio bateko hileroko sarrerak % 20 eta % 30 hazi dira aurreko bi hiletan. Azken hil honetan, % 25 jaitsi dira, 13 850 eurokoak izanik. Zenbat izan da ehuneko-aldakuntza? Kalkulatu zenbat izan ziren negozio horren sarrerak duela hiru hilabete.

55. Triangeluaren azalera 100 m2-koa izan dadin, oraingo altuerak % 18 txikiago izan beharko luke. Oinarria 16,8 m-koa da. Zenbat da altuera?

56. Mikelek belar txarren kontrako botika bota nahi du soroan. Badaki botikari ura bota behar zaiola, baina % 5eko kontzentrazioa izan behar du, gutxienez, eraginkorra izateko. 1/2 litro botika 5 litro urarekin nahasi eta aplikatzen hasi da.

Nahastearen 3 litro erabili ondoren, soro guztirako adina izango ez duela konturatu eta 2 litro ur gehiago bota du nahastean. Behar den kontzentrazioa izango al du uneoro?

Interés konposatua

57. Zenbat bihurtuko da 5 000 euroko kapitala hiru urtean urteko % 4,2an jarriz gero?

58. Zenbat bihurtuko da 28 500 euroko kapitala 15 hilabetean hileko % 0,4an jarriz gero?

59. Zenbat bihurtuko da 80 000 euroko kapitala, bi urte eta erdian urteko % 3,6an jarrita, hileroko kapitalizazioa izanez gero?

60. Kalkulatu zenbat bihurtuko den interes konpo-satuan jarritako 60 000 euroko kapitala honako kasu hauetan, kapitalizazio-aldia hilerokoa izanik:

a) Urteko % 3an, 2 urtean.

b) Urteko % 5,4an, 9 hilabetean.

c) Hileko % 0,36an, urtebete eta erdian.

d) Urteko % 4,8an, 18 hilabetean.

61. Bankuan, 28 000 € jarri dira urteko % 6an eta bankuak etekinen % 20 atxikitzen digu, zergak ordaintzeko.

a) Zenbat izango da kapital horren etekinaren ehune-ko garbia?

b) Interesak hiru hilean behin pilatuz gero, zenbat izango da etekina 2 urteren buruan?

«Ariketak eta problemak» ataleko soluzioak

29 a)142,2g b)47608560tona

c)7432560tona

30 5400€,4500€eta3000€dagozkie,hurrenezhurren.

31 Lehenari,140€,etabigarrenari,200€.

32 Lehentaldeari6667€dagozkio,etabigarrenari,8333 €.

Lehentaldekolangilebakoitzak556€hartukoditu,etabigarrental-dekolangilebakoitzak,556€.

Kasuguztietanegindakoerroreabsolutua50zentimobainotxikiagoada.

33 Nagusiak1175€hartukoditu;erdikoak,940€,etatxikiak,705€.

34 Lehennahastearen8litroak45ºC-kotenperatuanegongodira.50ºC-kotenperaturandaudenbilitrogehituzgero,nahasteberria46ºC-kotenperaturanegongoda.

35 Nahasteak68ºCizangoditu.

36 Ardo-litroak3,46€baliokoditu.

37 Lingoteak%76kopurutasunaizangodu.

38 1heta45minbarrubategingodute.Autoak192,5kmegingoditu,etakamioiak,157,5km.

39 Autobusak168kmegingoditu,etaautoak132.

40 Motorrak15minbeharkoditukamioiaharrapatzeko.

41 Prezioa6,60€/kg-koada.

42 Galtzerdien%40etamukizapien%27,5salduditu.

43 Atomobatkarbonorenmasa:2·10–26g

44 Pertsonabatekegunean800mghartubeharditu.

45 737litrooliba-oliosalduditu,eta231litroekilore-olio.

46 Igoaurretik,litrobatgasolinak1,52€baliozuen.

47 %25hazida.

48 %40gehiagoizanda.

49 %22kodeskontuaegindidate.

50 Orain1,62€baliodu.

51 %32jaitsida.

52 2183224ikuslezituenurrian.

53 • %6,25ekotxikiagotzea. • %25ekotxikiagotzea.

54 %17kohanditzeada.Duelahiruhilabetekosarrerak:11837,60 €.

55 Altuera14,52m-koada.

56 Bai,%9anhastenda,eta%5eanamaitu.




60 a)63705,42€ b)62474,20€

c)64009,29€ d)64470,06€

61 a)%4,8 b)2803,60€

47

60 61

Taller de matemáticas

Erreparatu emaitzei, bilatu erre-gulartasunak eta, ahal izanez gero, orokortu: Zenbat mugimendu egin behar dira kolore bakoitzeko n fitxa izanez gero?

Matematika-lantegia

1. Adierazi zenbat den aldakuntza-indizea eta azken kantitatea kasu bakoitzean:a) 300, % 12 txikiagotu da eta, gero, % 35.b) 1 520, % 90 txikiagotu da eta, gero, % 150 han-

diagotu da.

2. Adierazi zenbat den honako aldakuntza-indize haue-tako bakoitzari dagokion gehitze- edo gutxitze-ehu-nekoa:a) 1,07 b) 0,78 c) 2,2

3. Tomateen prezioa % 3,5 igo da eta kilo bat tomate-ren prezioa 2,50 € da orain.a) Igo aurretik, zenbat zen prezioa? b) Aurreko ataleko emaitza bi zifra esangarri erabiliz

adieraziz gero, zer esan dezakezu egin duzun errore absolutuari buruz?

4. 12,50 € balio zuen liburua 9,50 € bakarrik ordain-du du.Kalkulatu ehuneko zenbat merkatu duten liburua.

5. 1,25 €/kg-ko 20 kg irin eta kiloak 0,75 € balio duen beste mota bateko 35 kg-rekin nahasi dugu.Zenbat izango da nahastearen azken prezioa?

6. 756 12, 13, eta 15 urteko hiru lagunen artean banatu nahi ditugu, bakoitzaren adinaren propor-tzioan.

Zer kantitate hartuko du bakoitzak?

7. 3 km/s-ko abiaduran doan ibilgailuak 14 bira eman ditu zirkuitu baten inguruan 4 orduan.

Zenbat bira emango ditu zirkuitu berorren ingu-ruan, 5 m/s-ko abiaduran joanez gero?

8. Lau lorezainek 5 ordu behar izan dituzte 150 m2-ko arloko belarra ebakitzeko

Zenbat denbora beharko dute bost lorezainek 240 m2-ko saileko belarra ebakitzeko?

9. Bi tren goizeko 8etan atera dira bata bestetik 780 km-ko distantzian dauden A eta B hirietatik.

A-tik B-rantz doan trenak 110 km/h-ko abiadura darama eta B-tik A-rantz doanak, 90 km/h-koa. Zer ordutan egingo dute bat?

10. Bankuan, 4 000 € jarri ditugu urteko % 3,5eko interesean.

Zer kantitate bihurtuko da 3 urtean, kapitalizazio-aldiak hiru hilean behinekoak izanez gero?

Autoebaluazioa

Irakurri eta ulertuBakantzen zaila den ezezagunaBa al dakizu zer den paradoxa? Hona hemen halako bat.Idatzi txartel baten alde batean eta bestean eskuineko mezuak.Eta, orain, galdetu zeure buruari:Ba al dago egiarik edo gezurrik txartelaren alde batean edo bestean?

Trebatu problemak ebatziz •Olibak batzen ari diren 4 pertsonak 4 orduko lanaldia

egin dute goizean. Arratsaldean, beste 4 biltzaile batu zaizkie eta elkarrekin egin dute lan lau orduan. Eguna amaitzean, arlo guztiaren hiru bosten batu dute.Zenbat denbora beharko dute langile horietako lauk lana amaitzeko?

•Errose, Karla eta Pilarren batez besteko adina 12 urte da. Zenbat urte ditu Sarek, kontuan hartuta taldean parte hartzen dutenen batez bestekoa 15 urtera igo dela?

•A karratuak B karratuaren % 16 hartzen du.D karratuaren ehuneko zenbat hartzen du C karra-tuak, C berdin A eta D berdin B izanez gero?

AC

B D

Bilatu erregulartasunak eta orokortuFitxa-jokoa eta erronkahelburua: Gorriak berdeen tokian jartzea eta berdeak, gorrien tokian.

arauak:•Gorriak eskuinerantz bakarrik mugitzen dira eta berdeak, ezkerrerantz

bakarrik.•Mugimenduak hurrengo laukitxora mugituz edo kontrako fitxaren gainetik

jauzi eginez egiten dira.

zenbatu eta osatu taula:

kolore bakoitzeko fitxa kop. 1 2 3 4 …mugimendu kop. ? 8 ? ? …

ERRONKAGauza al zara trukea egi-teko zenbat mugimendu egin beharko diren kalku-latzeko, kontuan hartuta kolore bakoitzeko zenbat fitxa dauden?

txartelaren beste aldeak dioena egia da

txartelaren beste aldeak dioena gezurra da

Egin gogoeta eta atera ondorioakSupermerkatuan, hiruhileko bakoitzeko salmenten kontuak aurreko hiruhilekoekin konparatzen ari dira:— kontulariak: Urteko lehenengo hiruhilekoa txarra izan da; % 10

gutxiago saldu dugu. Baina bigarren hiruhilekoan % 10 gehiago irabazi dugu berriz ere.

— gerenteak: Orduan, seihilekoan ez dugu ez gutxiago ez gehiago saldu.

— kontulariak: Ez, % 1 galdu dugu.

•Nork du arrazoia?

60

+ % 10 – % 10 … % 0

· 0,90 · 1,10 … – % 1

eta ikasiizan ekimena

Honako ariketa hauek ebaztea.Webgunean

Bilatu erregulartasunak eta orokortu

Fitxa-jokoa eta erronka

•Erregulartasunakbilatzekoproblemetan,ikasleakkasuerrazakebatzizhasikodira;horietatikateratakoinformazioataulabateanjasokodute.Saiakeraketaakatsakeginez,ikasleekmugimendu-kopuruafitxa-ko-puruarekinlotukodute,emaitzaorokortzekomodukoadierazpenalje-braikoedoahozkobatlortuarte.

Soluzioak

kolore bakoitzeko fitxakopurua 1 2 3 4 … n

mugimendukopurua 3 8 15 24 … n·(n+2)

Irakurri eta ulertu

Bakantzen zaila den ezezaguna

•Txartelenjokoan,ikasleekparadoxabatzerdenulertukodute.Halaber,paradoxarenhelburuaharridurasortzeaetagogoetasortzeadelaereulertubeharkodute.Jolasarekinhasteko,txartelarenaldebatedobes-teaerabilikodugu,etasoluziorikezdagoelaondorioztatukodugu.

Egin gogoeta eta atera ondorioak •Ehuneko-aldakuntzakkateatzeakarazougarisortzenditu.Horidelaeta,

irakasleakhonakohaugogoratukodieikasleei:ezinbestekoadelaehu-nekoakalkulatzekoerabiltzendenerreferentzia-kopuruazeindenkon-tuanhartzea.

Soluzioak

• Kontulariakduarrazoia.

Trebatu problemak ebatziz

Soluzioak

• 8ordubeharkodituzte.

• Sarak24urteditu.

• CkarratuakDkarratuaren%16hartzendu.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a)IV=0,572;CF=171,6

b)IV=0,25;CF=380

2 a)%7kogehitzea.

b)%22kotxikitzea.

c)%120kogehitzea.

3 a)2,42€

b)5zentimobainotxikiagoada.

4 %24merkatuduteliburua.

5 Nahastearenazkenprezioa0,93€/kgizangoda.

6 226,80€,245,70€eta283,50€hartukodituzte,hurrenezhurren.

7 35biraemangoditu.

8 6,4hbeharkodituzte,hots,6heta24min

9 11:54anegingodutebat.


Problema aritmetikoak - DBHko Matematika · 2018. 10. 17. · 2/3; bigarrenari, 200 ogi biribil;...

Documents

Transcript of Problema aritmetikoak - DBHko Matematika · 2018. 10. 17. · 2/3; bigarrenari, 200 ogi biribil;...