Problem Mate v(Completo)

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC

DIVISION DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELEMÁTICA

ECUACIONES DIFERENCIALES

Y

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

CON APLICACIONES

Material de apoyo para el curso de

Matemáticas V

M. en C. Antonio Silva Martínez

2006

1

PRESENTACION

Este material es de apoyo para el curso de Matemáticas V, del plan de estudios DGET 2004 de la

carrera de Ingeniería Electrónica, correspondiente a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y

Transformadas de Laplace.

Como herramienta necesaria en la modelación y solución de problemas de ingeniería en general, las

matemáticas merecen un especial apoyo para su comprensión y motivación. Para lo cual se ha

preparado este trabajo con ejemplos resueltos, desarrollados con los pasos detallados hasta su

solución, así como algo muy importante que debe motivar al estudiante de Ingeniería Electrónica

sobre la importancia y retos de las matemáticas en su formación académica: ejemplos y ejercicios

prácticos de circuitos eléctricos transitorios. Complementándose este trabajo con ejercicios de

práctica para el estudiante. Además de un apéndice sobre descomposición en fracciones parciales de

una función racional, formularios de identidades trigonométricas, reglas de exponenciación, derivadas

e integrales y una tabla de Transformadas de Laplace de mayor utilidad.

Es conocido por todo ingeniero, que las matemáticas en general no pueden estudiarse en forma

contemplativa o pasiva, al contrario, requieren una actitud dinámica y participativa. Bajo este punto de

vista, se espera que el alumno se anime a analizar, comprender y realizar con este apoyo, la mayor

cantidad de ejercicios y problemas posibles. Adquiriendo las bases cognitivas que para asignaturas

posteriores a ésta.

Este trabajo se presenta ante la coordinación de Material Didáctico y la Academia de Ciencias

Básicas de la División de Ingeniería Electrónica y Telemática del TESE, avalado por las mismas para

su difusión y uso del mismo por parte de los estudiantes de la División.

M. EN C. ANTONIO SILVA MARTÍNEZ

DOCENTE DE LA DIVISIÓN


DIVISION DE INGENIERIA ELECTRONICA Y TELEMATICA

2

ÍNDICE


DIVISION DE INGENIERIA ELECTRONICA Y TELEMATICA

PÁGINA 1. ECUACIONES DIFERENCIALES.

1.1.Introducción 1.2. Clasificación según su, tipo, orden y linealidad

3 3

2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) DE PRIMER ORDEN

2.1. Introducción 2.2. EDO con variables separables 2.3. EDO homogéneas 2.4. EDO exactas 2.5. EDO lineales 2.6. EDO de Bernoulli 2.7. Aplicaciones. Circuitos Eléctricos 2.7.1. Circuitos R-C en serie 2.7.2. Circuitos R-L en serie

6 7 11 17 23 28

32 36

3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) DE ORDEN SUPERIOR.

3.1. Introducción 3.2. EDO homogéneas con Coeficientes Constantes 3.3. Ecuaciones Diferenciales no Homogéneas 3.3.1. El Método de los Coeficientes Indeterminados 3.3.2. El Método de Variación de Parámetros 3.4. Aplicaciones. Circuitos R-C-L en serie.

40 41

49 57 67

4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.1. Introducción 4.2. La Transformada de Laplace por definición 4.3. La Transformada de Laplace por tablas 4.4. La Transformada Inversa de Laplace 4.5. Teoremas de Traslación de la Trasformada de Laplace. 4.5.1. El Primer Teorema de Traslación 4.5.2. El Segundo Teorema de Traslación 4.6. La Derivada de la Transformada de Laplace 4.7. Transformada de Laplace de una derivada 4.8. Transformada de Laplace una integral. El Teorema de convolución 4.9. Aplicaciones 4.9.1. Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 4.9.2. Circuitos R-C-L en paralelo.

77 77 82 86

91 96 99 102 106

113

120

5. APÉNDICE

5.1. Descomposición en Fracciones Parciales 5.1. Tablas de Identidades, Derivadas e Integrales 5.2. Tabla de Transformadas de Laplace 6. BIBLIOGRAFÍA DE APOYO

130 133 135

136

3

UNIDAD 1. ECUACIONES DIFERENCIALES

1.1. INTRODUCCIÓN

Definición. Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables

dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación

diferencial. Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el tipo, el orden y la linealidad.

En general, una ecuación Diferencial es de la forma:

)()()(.............)()( 011

1

1 xfyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Las Ecuaciones Diferenciales ofrecen poderosas herramientas para explicar el comportamiento de los

procesos con cambios dinámicos o variables en el espacio, en tiempo o en ambos. Se utilizan tales

herramientas para responder preguntas que de otra manera son muy difíciles de contestar.

Por ejemplo, el comportamiento de una población de seres vivos a lo largo del tiempo, con base en

sus tasas de nacimiento y muerte en cierta región. Otro ejemplo de gran utilidad de las ecuaciones

diferenciales, es en la Ingeniería Electrónica, con el análisis Circuitos Eléctricos, mediante el

comportamiento de la carga y la corriente a través del tiempo, en el proceso de carga o descarga en

un circuito eléctrico, con componentes de resistencia, inductancia y capacitancia en diferentes

arreglos.

1.2. CLASIFICACION SEGUN SU TIPO, SU ORDEN Y SU LINEALIDAD.

El Tipo de una ecuación diferencial lo determina el tipo de derivadas que contiene la misma: total o

parcial

El Orden de una ecuación diferencial lo determina el grado de la derivada mas alta que contenga la

misma: desde primer orden, segundo orden y en general, orden superior.

La Linealidad de una derivada lo determina la potencia de las variables dependientes de la ecuación:

si la potencia de las variables es uno, se denomina ecuación diferencial lineal, y si la potencia es

diferente de uno, se dice que es una ecuación diferencial no lineal.

4

1.2. Ejemplos. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden

y su linealidad.

1) 242 xyxdx

dy Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal

2) xdx

dyy

dx

ydx 42

3

3

Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal

3) 0)1(2

2

ydx

dy

dx

ydx Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, lineal

4) xydx

ydcos3 3

2

2

Ecuación diferencial ordinaria de segundo orden, no lineal

5) senxyx

y2 Ecuación diferencial parcial de primer orden, lineal

6) 12

22

2

2

t

yc

x

y Ecuación diferencial parcial de segundo orden, lineal

7) 04)1( 2 ydtdyy Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, no lineal

8) ytsentdt

dy 3 Ecuación diferencial ordinaria de primer orden, lineal

9) tdt

ydyt

3

3

21

22 )( Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal

10) 52

3

3

)( ydt

yd Ecuación diferencial ordinaria de tercer orden, no lineal

5

1.2. Ejercicios. Clasifique las siguientes ecuaciones diferenciales según su tipo, su orden y su

linealidad.

1) 123 xexydx

dyy

2) xdx

dy

dx

ydy

dx

ydxy 2

3

3

4

4

tan2

3) 1x

v

x

y

4) 24)4( xdydxy

5) xxydx

ydx 14 3

3

32

6) xydx

yd

dx

dyy

2

2

)2(

7) )x(Lnxyx

yx 1

2

22

8) 2

222

2xxey

dx

dy

dx

ydy

9) 23332 ln)1( xxdtxdyy

10) )x(senhdx

dyy 13

1

6

UNIDAD 2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

2.1. INTRODUCCIÓN

En esta unidad se resolverán ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:

),( yxfdx

dy

Sujeta a la condición adicional 00)( yxy

Conocido también como el problema del valor inicial. En términos geométricos, se está interesado en

buscar al menos una solución o curva por donde pase el punto dado, de una familia de curvas que

representan a la ecuación diferencial ordinaria.

Fig. 2.1. Familia de curvas que representan la solución de una ecuación diferencial. Por un

punto P(x0,y0) perteneciente a un intervalo, sólo pasa una curva de la familia.

xo

yo

P(xo,yo)

X

Y

7

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON VARIABLES SEPARABLES

Definición. Se dice que una ecuación diferencial de la forma

)y(h

)x(g

dx

dy

es separable o que tiene variables separables si puede escribirse como:

dx)x(gdy)y(h

E integrado de ambos lados se tiene:

cdx)x(gdy)y(h

Dando como resultado de la integración, una familia paramétrica de soluciones, la cual queda

expresada de manera explícita o de manera implícita.

Nótese que como resultado de la integración, no es necesario usar dos constantes de integración, ya

que la suma algebraica de tales constantes, da solo una constante c.

8

2.2. Ejemplos. Resuelva las siguientes

ecuaciones diferenciales con separación de variables 1)

CxCusenuduxy

dudx

dxdu

xu

xdxsendy

xdxsendy

xsendx

dy

5cos5

1cos

5

1

5

1)(

5

5

5

5

5

5

2)

Ce)x(y

Cey

Cduey

Cydue

dudx

dxdu

xu

dydxe

dydxe

dyedx

dyedx

x

u

u

u

x

x

x

x

3

3

3

3

3

3

1

31

3

1

3

1

3

1

3

3

0

3)

CxLnxxy

CxLnxxy

CxLnxLnxxy

CxLnLnuuxy

xLnduu

duxy

xLnu

udy

dudx

ux

xu

dxx

dxx

xdx

x

xdy

dxx

xdy

xdx

dyx

)1((5)(

)1((5)1()(

)1(6)1(()1()(

)1(6)(

)1(61

)(

)1(61

1

1

1

16

11

6

1

6

6)1(

4)

4

444

44

4

4

4

Cx)x(y

Cxeeee

CLnx)CLnx(Lny

x

dx

y

dy

x

dx

y

dy

ydx

dyx

cLnxCLnxLny

5)

9

2)(

2

21

2

2

1

2

2

12

12

23

23

3

2

cx

xxy

cx

xy

Cxy

Cxy

Cxy

dxxdyy

dxxdyy

x

y

dx

dy

6)

)4()2(

1

2

11

2

1

224

222

42

42

)2()4(

0)2()4(

0)2()4(

22

2

2

22

22

22

22

22

xCy

Cveeu

eeCLnvLnu

CLnvLnu

dvv

duu

x

dvdxxdxdvxv

y

dudyydyduyu

dxx

xdy

y

y

dxx

xdy

y

y

dxyxdyxy

dxyxdyxy

dxxyxdyyxy

CLnv

CLnvLnu

7)

Cxsenxy

Cxsenxy

dxx

y

xdxsenydy

xdxsenydy

x

dx

y

dy

ydxxdy

ydxxdy

)24

1

2

1(cos

24

1

2

1cos

2

2cos1cos

cos

cos

seccsc

cscsec

0cscsec

2

2

2

2

2

8) Resolver la siguiente EDO, sujeta a y(0)=0

Cyex

Cyeeeyeex

dyeyeex

evdyedv

dyduyu

partespor

dyyeesenxdx

dyyeedxx

xsenx

dyyeedxx

xsenx

dydxx

xsen

dyyexxdxsene

dyyexxdxsene

y

yyyyy

yyy

yy

yy

yy

yy

e

ye

yy

yy

y

y

)2(cos2

2cos2

)(cos2

:.

2

)(cos

cos2

)(cos

cos2

cos

2

)(cos2

0)(cos2

2

2

2

Aplicando la condición inicial:

2cos(0)=-e-(0)

+(2+0)+C C=2+1-2=1 C=1. Finalmente:

1)2(cos2 yex y

10

2.2. Ejercicios. Resuelva las siguientes

ecuaciones diferenciales con separación de variables

1) 022 ydx

dyx

2) 0secydx

dye x

3) 02xsenxdx

dyy

4) 022)4( 22 xyxdx

dyyxy

5) 04 22 ydx

dyx

6) 0tan)1( 2 xydx

dyy

7) 0ydx

dyxy

8) 0cos2 xydx

dyy

9) 2)1(,..0)2)(18()1( 2 yyxdx

dyyx

10) 2)0(,..01

22

yx

xy

dx

dy

11

2.3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS

Definición. Si una función tiene la propiedad de que:

f(tx,ty)= tn f(x,y)

Para un número real n, entonces se dice que f es una función homogénea de grado n.

Por lo tanto, para una ecuación diferencial de la forma:

0),(),( dyyxNdxyxM

Se dice que es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.

Método de solución. Una ecuación diferencial homogénea de la forma anterior puede ser resuelta por

medio alguna de las siguientes sustituciones algebraicas:

y = u x

ó

x = v y

con sus respectivas diferenciales:

dy = u dx +x du

dx = v dy + y dv

Donde u y v son nuevas variables dependientes que transformarán la ecuación original en una

ecuación diferencial de primer orden con variables separables.

12

2.3 Ejemplos. Resuelva las siguientes

ecuaciones diferenciales homogéneas usando una sustitución apropiada 1)

xy

x

xy

x

eCxyeCyx

Cxy

xyxLn

LnLnx

uuLn

uLnx

Cz

zw

Lnx

dzzdz

z

zdw

wx

obtienese

dzdududw

zuuzuw

iablesdecambiossiguienteslosrealizando

duu

udu

ux

duu

udu

udx

x

duu

udx

x

duuxdxux

duuxdxuux

duxuxdxuxxux

duxuxdxduuxxdxuxdx

xduudxxuxxdx

x

yu

xduudxdyuxy

dyxyxdx

xyx

y

)(

1

1)1(

1

11

1

12

1ln

12

112

1

:

111

:var

)1()1(

21

)1()1(

21

)1(

21

)2()1(

0)2()21(

0)2()2(

022

0))(2(

0)2(

22

22

22

2

22

22

222

222

2)

Cxyx

Cxxyx

xy

xCx

xy

xC

x

xyCx

x

yCuCx

Ceee

CuLnLnww

dwLnx

u

dwduududw

uw

duu

udx

x

duu

udx

x

duuxdxux

duuxdxxdxxu

dxxudxxduuxdxxu

dxxuxxduudxux

x

yu

xduudxdyuxy

dxyxyxdy

uLnuLnLnxC

422

2624

22

24

41

22

2

41

2

22

41

2

2

41

2

)12()12(

2

2

2

2

322

3222

222322

2222

22

2

2

)2

(

)2

()2

(

)12()12(

)12(4

1

4

1

4

1

44

12

12

1

12

1

)12(

02

0

0)()(

0)(

41

241

2

13

3)

2

2

)()(

2

2

2

2

)(

1

1

0

0)(

0

0)()(

0)(

Cxy

Cyx

x

yCx

eeee

Cx

yLnx

CuLnx

dudxx

dudxx

duxxdx

duxxdx

duxdxuxuxx

duxuxdxuxdxxdx

xduudxxdxuxx

x

yu

xduudxdyuxy

xdydxyx

Cx

yLnC

x

yLn

Lnx

4)

Cxy

y

xCx

eeee

Cy

xLnx

Cu

Lnx

duu

dxx

duu

dxx

duxdxxu

duxdxxu

duxudxxdxuxdxxu

xduudxxdxuxxu

x

yu

xduudxdyuxy

dyxdxyxy

Cy

xLnC

y

xLn

Lnx

2

2

))(())((

2

2

2

2

322

322

32222

2222

22

)(

)(

1

11

11

0

0

0)()(

0)(

22

14

5)

Cy

x

y

xLnLnx

CuuLnLnx

duu

duu

udx

x

x

duu

udx

x

x

duxuxdxu

xdxuxdxduxuxdxduuxxdxu

dxxuxxduudxxux

x

yu

xduudxdyuxy

dxxydyxy

xy

xy

dx

dy

1

2

12

222

22

22

222

tan2

11

2

1

tan2

1)1(

2

1

1

1

1

1

)1(

)1()1(

)())((

0)()(

6)

Cy

Cxx

y

eee

CLnxx

yLn

CLnxLnu

x

dxdu

u

dxx

xdu

uuu

u

xdxuuuduxu

dxuxuduxuuxdxduxuxdx

xduudxuxxxuxdx

x

yu

xduudxdyuxy

dyxyxydx

cLnxx

yLn

1

2

2

22

1

1

1

0)()1(

0

0))()((

0)(

15

7)

222

2

2

23

222322

2222

22

22

2

2

1

2

1

1

1

)()(

)(

)(

CxLnxxy

CLnxx

y

CLnxu

dxx

udu

dxx

udu

dxxduux

dxxdxxuduuxdxxu

dxxxuxduudxux

x

yu

xduudxdyuxy

dxxyxydy

dxxy

xydy

dxy

x

x

ydy

y

x

x

y

dx

dy

8)

CLnye

CLnye

dyy

dve

dyy

ydve

dyedvy

dyyevydydvyyvdy

dyyevyydvvdyy

y

xv

ydvvdydxvyx

dyyexydx

yexdy

dxy

yx

v

v

v

v

v

v

yx

yx

8

42

1

14

4

4

4)

)4()(

)4(

4

/2

2

2

2

2

22

22

2

/2

/2

16

2.3. Ejercicios. Resuelva las siguientes

ecuaciones diferenciales homogéneas usando una sustitución apropiada.

1) yx

yx

dx

dy

3

3

2) 22 yxydx

dyx

3) 0x

yLn

x

y

dx

dy

4) 0)( 22 dyxdxxyy

5) 332 xydx

dyxy

6) xydydxyx )2( 22

7) 23

21

)( yxyxdx

dyxyx

8) ydx

dyxyyx 2(

9) 02)( 344 ydyxdxyx

10) x

y

y

x

dx

dycosh

17

2.4. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Definición. Una expresión diferencial de la forma:

dyyxNdxyxM ),(),(

Es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencial total de alguna

función f(x,y). Una ecuación diferencial de la forma:

0),(),( dyyxNdxyxM

se dice que es una ecuación exacta si la expresión del primer miembro es una diferencial exacta,

donde se debe cumplir a su vez:

x

N

y

M

Si se cumple la última condición, entonces:

),( yxMx

f o tambièn ),( yxN

y

f

Separando variables, de cualquiera de una de las ecuaciones anteriores, resulta, respectivamente:

)(),(),( xhdyyxNyxf y )(),(),( ygdyyxMyxf

Donde:

dxyxNx

yxMyh ),(),()(' dyyxMy

yxNyg ),(),()('

18

2.4. Ejemplos. Determine si las siguientes

ecuaciones diferenciales son exactas. Si lo son, revuélvalas. 1)

Cyyxxx

yyxxxyxf

yydyyyg

yyg

ygygxxyy

f

ygxxyxf

xxf

xxfxx

f

exactaEsx

N

y

M

yxx

N

xyy

M

dyydxx

22

324

2

22

324

2),(

22

3)13()(

13)('

)('))(42

(

)(42

),(

)42(

)42(42

0)13(

0)42(

0)13()42(

2)

exactaesNox

N

y

M

yxxyxxx

N

yyxyy

M

dyyxxdxyxyx

22)2(

2)(

0)2())((

2

22

3)

Cyyxx

yyxxyxf

ydyyyg

yyg

yxygx

ygxygyxxyy

f

ygyxxyxf

xyxf

xyxfyxx

f

exactaEsx

N

y

M

yxxx

N

yxyy

M

dyyxdxyx

42422

5

42422

5),(

42)38()(

38)('

384)('4

)('4))(422

5(

)(422

5),(

)45(

)45(45

4)384(

4)45(

0)384()45(

4)

19

Cyxyx

yxyxyxf

ydyyg

yg

yxygyx

ygyxy

f

ygxyxyy

f

ygxyxyxf

xxyf

xxyfxyx

f

exactaEsx

N

y

M

xyyxxx

N

xyxyyy

M

dyyxdxxy

4322

4322),(

44)(

4)('

422)('22

)('22

))(322(

)(322),(

)322(

)322(322

4)422(

4)322(

0)422()322(

5)

exactaesNox

N

y

M

LnyxLnyyxx

N

yxxeLny

yxeyLny

yy

M

dyxLnyy

dxyxyx

eyLny

)1

(

1)(

0)1

())((

6)

Cx

xyxy

Cx

xyxy

xyxyxyy

xyy

ygx

xyxyyy

f

ygx

xyxyyxf

xxsenxyyf

xxsenxyyf

xsenxyyx

f

exactaEsx

N

y

M

ysenxyxyxyxx

N

ysenxyxsenxyyyy

M

dyxyxy

dxxsenxyy

Cdyyg

yg

yg

yg

2

2cos

23

02

2cos

23

cos22

3cos22

3

cos22

3

))(2

2cos

23(

)(2

2cos

23),(

)23

(

)23

(

23

22

3)cos22

3(

22

3)23

(

0)cos22

3(

)23

(

0)(

0)('

)('

)('

20

7)

Cxxxexy

xxxexyyxf

xxxeyh

dxxxxexh

xxxexh

xyxxexhy

xhyy

f

xhxyxx

f

xhxyyxf

yxf

yxfxy

f

exactaEsx

N

y

M

xxx

N

xyxxeyy

M

dxxyxxexdy

xyxxedx

dyx

32)1(2

32)1(2),(

32)1(2)(

)262()(

262)('

262)('

)('

))((

)(),(

1)(

1)262(

0)262(

262

8)

Cxyx

xyx

yxf

x

x

dx

x

xh

x

xh

x

yxxhyx

xhyxx

f

xhyx

xx

f

xhyx

yxf

yyxf

yyxfyxy

f

exactaEsx

N

y

M

yxyxxx

N

yx

x

yxyy

M

dyyxdx

x

yx

yxdy

dx

x

yx

3arctan3

1

3

33

3arctan3

1

3

33

),(

3arctan3

1

29

1

1

9

1

291

1)(

291

1)('

291

132)('32

)('32

))(3

33

(

)(3

33

),(

)23(

)23(23

23)23(

23)291

132(

023)291

132(

023)291

132(

21

9)

CxIILnsenyx

xIILnsenyxf(x,y)

xllLnh(x)

dxxh(x)

xh'(x)

senysenxxh'(x)ysenx

h'(x)ysenxx

f

h(x))senyx(xx

f

h(x)senyxf(x,y)

yyxf

yyxfyxy

f

exactaEsx

N

y

M

ysenxy)x(xx

N

senxyseny)senxx(yy

M

ydyxseny)dxsenxx(

seccos

seccos

sec

tan

tan

tancos

cos

cos

cos

coscos

coscoscoscos

coscoscos

costan

0coscostan

10)

exactaesNox

N

y

M

xyxxxx

N

xxyxyy

M

dxxyxdyyxx

xyxdx

dyyxx

41)222(

4)434(

0)434()222(

434)222(

22

2.4. Ejercicios. Determine si las siguientes

ecuaciones diferenciales son exactas. Si lo son, revuélvalas.

1) 0)6()2(dx

dyyxyx

2) 0)cos(cos)( dyyyxxdxysenxseny

3) 0334)3cos1

2( 3

2xysenx

x

y

dx

dyx

xy

4) 0)2()3( 32 dyyxexdxeyx yy

5) 0cosh')cosh2( 22 xysenhxxyyxxye y

6) 02

2

2

dyy

xdx

y

x

7) 0)52()333cos3( dyydxxsenxx

8) 0)3()154( 2422 dyxyxdxyxyx

9) 0)12()( 22 dyxxydxyx ;con y(0)=1

10) 02

)3

(45

22

dxy

xdy

y

xy ;con y(1)=0

23

2.5. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES


)()()(01

xgyxadx

dyxa

Es una diferencial lineal en una región R del plano xy .

Despejando y simplificando:

)(

)(

)(

)(

11

0

xa

xgy

xa

xa

dx

dy

Dando una ecuación diferencial ordinaria de la forma::

)()( xfyxPdx

dy

La cuál se podrá hacer ecuación diferencial exacta con un factor (x) integrante de la forma:

dxxP

ex)(

)(

Multiplicando a la última ecuación obtenida en todos sus términos por el factor integrante (x) e

integrando la diferencial exacta obtenida, se obtiene la siguiente solución general:

dxxPdxxPdxxP

cedxxfeexy)()()(

)()(

La cual constituye una familia uniparamétrica de soluciones.

24

2.5. Ejemplos. Determine la solución de las

siguientes ecuaciones diferenciales lineales 1)

xeCxy

Cx

e

dxxyed

dxx

e

dxx

eydxx

edyx

e

yx

edx

dyxe

xe

dxexxP

ydx

dy

ydx

dy

y

yd

5)(

5

0)5(

0)5

50

55

5

05

55

55)(,5)(

05

5

(

2)

xe

Cx

ex

ye

dxxe)xye(d

dxx

e)x

ye(d

dxx

eydxx

edyx

e

xey

xe

dx

dyxe

xe

dxe)x(,)x(P

ydx

dy

)()ydx

dy(

ydx

dy

C)x(y 4

43

14

43

44

4

3

44

4

3

444

4

4

3

444

4

444

3

44

3

14123

3

1

4123

31

3)

xe

xe

Cx

ex

ye

dxxexyed

dxx

ex

yed

dxx

eydxx

edyx

e

xe

xe

xey

xe

dx

dyxe

xe

dxexxP

xey

dx

dy

Cxy 3

44

1

4)(

4)(

4

43

)(,1)(

3

41)(

4)

3

31

3

31

3

233

233

23323

3

23323

3

23323

3

2323

3

32323

223

xeC)x(y

Cx

ex

ye

dxxxe)x

ye(d

xx

e)x

ye(d

dxxx

eydxx

exdyx

e

dx)xx

e()yx

exdx

dyxe(dx

xx

eyx

exdx

dyxe

)x(x

e)yxdx

dy(

xe

xe

dxxe)x(,x)x(P

xyxdx

dy

5)

25

x

C

x

Lnx)x(y

CLnxyx

dxx

)xy(d

)xy(d

xxln

e

dxxe)x(,

x

)x(P

dxx

dxx

ydxxdy

xy

dx

dyx

xxy

xx

dx

dyx

xy

xdx

dy

xydx

dyx

1

1

2

1

1

1

1

11

11

1

2

2

2

6)

x

C

x

senxxxy

Csenxxxxy

xdxxxxyd

xsenx

xsenxydxxdy

xsenxx

yx

dx

dyx

xLnx

edx

xexx

xP

senxx

y

dx

dy

x

yxsenx

dx

dy

dxyxsenxxdy

xyd

cos)(

cos

coscos)(

)

1

)(,1

)(

0

)(

(

7)

23

23

221

2

2

221

221

21

21

21

21

21

21

21

21

21

2

1

2

1

2

2

22

22

02

4

024

yCy)y(x

Cyxy

dy

ydy

ydy

dx

yy

x

dy

dx

yy

x

dy

dx

y

)yx(

dy

dx

ydxdy)yx(

ydy)xy(d

y)xy(d

xdyydxy

xyy

yy

y)y(

ylne

ylne

dyy

e)y(,y

)y(P

26

8)

x

C

x

Lnx)x(y

CLnxyx

dxx

)xy(d

)xy(d

xxln

e

dxxe)x(,

x

)x(P

dxx

dxx

ydxxdy

xy

dx

dyx

xxy

xx

dx

dyx

xy

xdx

dy

yedx

dy)e( xx

1

1

2

1

1

1

1

11

11

01

2

2

9)

)Cx(tanxcosxcosCxtanxcos)x(y

Cxtanxsecy

dxxsec)xsecy(d

xsec)xsecy(d

xsecyxtanxsecdyxsec

xsecyxtanxsecdx

dyxsec

xsecyxtandx

dy

xsecyxcos

senx

dx

dy

ysenxdx

dyxcos

xsecxsecLn

exdxtan

e)x(,xtan)x(P

2

2

2

2

1

10)

3

3

3

3

2

333

33

33

323

3

3

233

3

3

1

9

11

3

1

9

1

3

3

3

3

3

3

333

13

x

Ce

xe

x)x(y

Ceex

yx

dxxe)yx(d

xe)yx(d

xeyxdx

dyx

xex

exy

xx

dx

dyx

x

x

ey

xdx

dy

eydx

dyx

xx

xx

x

x

x

x

x

x

x

xLnx

exln

e

dxxe)x(,)x(P

27

2.5. Ejercicios. Determine la solución de las

siguientes ecuaciones diferenciales lineales.

1) 02ydx

dy

2) 02ydx

dyx

3) 02ydx

dyx

4) yxdx

dyx 23 3)1(

5) xxydx

dycos2cot

6) Lnxeydx

dyx x2

7) 22 )1(2)1( xydx

dyx

8) 242 tPtPdt

dP

9) Qxdx

dQ 45

Sujeta a 7)0(Q

10) 0)22( dxeyxyxdy x

Sujeta a 0)1(y

28

2.6 LA ECUACION DE BERNOULLI


nyxfyxPdx

dy)()(

Donde n es cualquier número real, se le llama ecuación de Bernoulli.

La cuál, con la sustitución:

nyxw 1)(

y su respectiva derivada

dx

dyyn

dx

dw n)1(

La ecuación de Bernoulli se simplifica a una ecuación diferencial lineal de la forma:

)()1()()1( xfnwxPndx

dw

La cual podrá resolverse por el método del factor integrante para Ecuaciones Diferenciales

Lineales, visto en la sección anterior.

29


ecuaciones de Bernoulli 1)

Cxyx

x

Cy

ywconx

Cw

Cx

dxx

dxxwdxxdwx

xwxdx

dwx

xw

xdx

dw

xw

xdx

dw

xw

xdx

dw

endosustituyen

dx

dw

dx

dyy

despejando

dx

dyy

dx

dw

yyw

xy

xdx

dyy

xyyy

xdx

dyy

n

yx

yxdx

dy

xyy

xdx

dy

yy

dx

dyx

wx

dxxwxd

wxd

xx

edx

xexx

xP

333

3

3

3

3

3

2

223

223

2

2

321

32

2

22

2

2

2

1

1

3

33

33

13

13

13

13

11

3

1

24

43

1

3

3

211

11

2

11

11

11

3

233

3

331

313

,

:)()(

)(.....

:

)(.....

).....(

)()(

)(.....

)(

)(

ln)(,)(

)(

2)

xx

xx

xx

xx

x

xx

xxx

xxxxx

x

x

x

x

x

Ceey

Ceey

ywconCeew

Cewe

we

dxewe

dxedxwedwe

eeewedx

dwe

ewdx

dw

ewdx

dw

endosustituyen

dx

dw

dx

dyy

despejando

dx

dyy

dx

dw

yyw

eydx

dyy

yyeydx

dyy

n

yeydx

dy

dxxed

d

xe

dxexxP

2

11

2

1

2

1

2

1

24

4

3

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

121

12

222

2

2

1

)(

)(

)(,)(

.

.

:)()(

)(.....

:

)(.....

).....(

)()(

)(.....

30

3)

xx

xx

xx

xx

Ceexy

ywcon,Ceexw

Cexe

)dxeex

(

x

xwdx

xwdx

dw

xwdx

dw

xwdx

dw

:)(en)(dosustituyen

)(.....dx

dw

dx

dy

y

:despejando

dx

dy

ydx

dw

)(.....yyw

).....(xydx

dy

y

)xy(y

)ydx

dy(

y

n

xyydx

dy

)().....xy(ydx

dy

wx

e

wx

e

dxxxe)wx

e(d

dxx

e)wx

e(d

dxx

ex

edwx

e

xe

xe

xe

xe

dxe)x(,)x(P

33

3

333

33

33

4

4

341

3

4

4

44

4

3

3

11

3

1

3

1

3

1

33

3

33

33

33

3

1

24

43

11

13

3

21

11

4

11

3

3

333

33

333

333

333

4)

x

x

x

x

x

xe

C

xy

ywconxe

C

xw

Cxe

Cxe

x

wdxxe

wx

x

dx

dw

wx

x

dx

dw

wx

x

dx

dw

endosustituyen

dx

dw

dx

dy

y

despejando

dx

dy

ydx

dw

yyw

yx

x

dx

dy

y

n

yyx

x

dx

dy

xyyxdx

dyx

xxe

w

wx

xe

dxxxewx

xed

dxx

ewx

xed

dxx

xedwx

xe

xxe

xxe

xxe

xxex

xLnxe

dxx

x

exx

xxP

11

1

11

1

1

1

1

11

11

24

41

1

3

2111

2

1

11

1

2

2

121

1

2

2

2

11

,

)(

)(

(

)(

:)()(

)(.....

:

)(.....

).....(

)(.....)(

)(

)(

)

)(

)(,)(

31

2.6. Ejercicios. Determine la solución de las

siguientes ecuaciones de Bernoulli

1) y

ydx

dy 1

2) 02 )( xyyxdx

dy

3) 04 )( yxyxdx

dyx

4) 04

13 2 )( yyx

dx

dyx

5) )()( yxyxdx

dyx 32 21

32

2.7. APLICACIONES. CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Gran cantidad de sistemas físicos pueden representarse con una ecuación diferencial ordinario de

prior orden. Entre ellos se encuentran los circuitos eléctricos R-C en serie y los circuitos eléctricos R-L

en serie.

De acuerdo con la Segunda Ley de Kirchhoff, la tensión o voltaje aplicado E en un circuito eléctrico

cerrado o en serie, debe ser igual a la suma de las caídas de voltaje a lo largo del circuito. Las figuras

2.7.1 y 2.7.2 muestran circuitos R-C y R-L en serie, respectivamente. La corriente en el circuito

después de que se cierra un interruptor de control S (proceso de carga) se denota como i(t). La carga

en un capacitor a un tiempo t después de haberse cerrado un interruptor S, se denota por q(t). Las

magnitudes L, C y R son constantes conocidas como Inductancia (Henrys), Capacitancia (Faradios) y

Resistencia (Ohms), respectivamente. En ambos circuitos, la carga y la corriente se encuentran

relacionadas por dt

)t(dq)t(i

Las condiciones iniciales q(0) =q0 y i(0)=q’(0)=i(0)=i0 representan La carga en el capacitor y la

corriente en el circuito para t=0, respectivamente. La tensión eléctrica aplicada E corresponde a una

fuerza electromotriz (fem) , provocando el almacenamiento de carga en el capacitor y genera el

movimiento de la misma a través del circuito, lo que comúnmente se la llama corriente en el circuito

2.7.1 CIRCUITOS R-C EN SERIE

En el circuito R-C en serie, la caída de voltaje en una resistencia es iR y la caída de voltaje a través de

un capacitor C está dada por q(t) /C y la suma de las caídas de voltaje anteriores es igual a la tensión

E aplicada al circuito. Por consiguiente, para el circuito mostrado en la figura 2.7.1, con la Segunda

Ley de Kirchhoff se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

)( tEqCdt

dqR

1

Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden

33

E

R

C

S

Fig.2.7.1 Diagrama de un circuito R-C en serie

2.7.1. Ejemplos. Calcule lo que se te pide en los siguientes circuitos R-C en serie.

1). A un circuito R-C en serie el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de 1x10-4

Faradios, se le aplica un voltaje o tensión de 100 Volts.

a) Encuentre la carga q(t) en el capacitor si q(0)=0

b) Encuentre la corriente en la resistencia i(t)

c) Calcule la carga y la corriente en el circuito a los 2 segundos

Solucion:

De La Segunda Ley de Kirchhoff, se obtiene la siguiente Ecuación Diferencial:

01

EqCdt

dqR

Arreglando términos:

EqCdt

dqR

1

Sustituyendo los valores de R, C y E en la ecuación diferencial anterior, se tiene:

34

tCetq

Ct

eqt

e

dtteqt

ed

dtt

eqt

ed

dtt

et

edqt

e

te

te

te

te

dtettP

qdt

qdt

dq

qdt

dq

qxdt

dq

50

100

1

50

100

150

50

2

150

5050

505050

505050

505050

2

1

2

150

2

150

2

150

100101

1200

4

)(

)(

)(

)(,)(

Aplicando la condición inicial q(0)=0:

Amperessegi

esegi

Coulombssegq

e

tetib

te

dt

d

dt

dqti

tetqa

tetq

toloPor

CeC

eC

segqc

02

250

2

12

00102

2501

100

1

50

2

1

501

100

1

501

100

1

50

100

1

100

1

0

100

1

050

100

10

2

)(

)()(

.)(

))(

(

)()

))(()(

)()()

)(

:tan

)(

)()

35

2) A un circuito R-C en serie en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5x10 -6

Faradios, se le aplica una tensión de 200 volts. (a) Calcular la carga q(t) en el capacitor y la corriente

i(t) en la resistencia si q(0) = 0. (b) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la resistencia,

respectivamente cuando t=0.05 seg. (c) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la

resistencia, respectivamente cuando t→∞

Solución:


01

EqCdt

dqR


EqCdt

dqR

1

Sustituyendo los valores de R, C y E en la ecuación diferencial anterior, se tiene:

tCetq

Ct

eqt

e

dtteqt

ed

dtt

eqt

ed

dtt

et

edqt

e

te

te

te

te

dtettP

qdt

qdt

dq

qdt

dq

qxdt

dq

200

1000

1

200

1000

1200

200

5

1200

200200

200200200

200200200

200200200

5

1

5

1200

5

1200

5

1200

200105

11000

6

)(

)(

)(

)(,)(

Aplicando la condición inicial q(0)=0:

Amperes

Coulombs

segqb

ti

tqc

Amperesxsegi

esegi

Coulombssegq

e

teti

te

dt

d

dt

dqti

tetqa

tetq

toloPor

CeC

eC

0

0010

050

6109050

050200

5

1050

000990050

0502001

1000

1

200

5

1

2001

1000

1

2001

1000

1

200

1000

1

1000

1

0

1000

1

0200

1000

10

)

)

(

()

).(

).().(

.).(

)).(

(

)(

))(()(

)()()

)(

:tan

)(

.

).()

36

E

R

L

2.7.2. CIRCUITOS R-L EN SERIE

Para un circuito en R-L en serie que contiene solo una resistencia R y una inductancia L, la suma de

las caídas de voltaje a través del inductor (Ldi/dt) y del resistor iR es igual a la tensión E aplicada al

circuito. Por consiguiente, para el circuito mostrado en la figura 2.7.1, con la Segunda Ley de Kirchhoff

se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

)(tEiRdt

diL

Siendo la anterior una ecuación diferencial lineal de primer orden

Fig. 2.7.2 Diagrama de un circuito R-L en serie

37

2.7.2. Ejemplos. Calcule lo que se te pide en los siguientes circuitos R-L en serie.

1) A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 Henrys y la resistencia es de 50 ohms,

se le aplica una tensión de 30 volts. (a) Calcular la corriente i(t) si i(0)=0. (b) Determine también la

corriente cuando t= 0.005 seg. y cuando t→∞.

Solución:


0)(tEiRdt

diL


)(tEiRdt

diL

Sustituyendo los valores de R, L y E en la ecuación diferencial anterior, se tiene:

tCeti

Ct

eit

e

dtteit

ed

dtt

eit

ed

dtt

et

edit

e

te

te

te

te

dtettP

idt

idt

di

idt

di

idt

di

500

5

3

500

5

3500

500300500

500500

500500500

500500500

500500500

300

300500

300500

300500

305010

)(

)(

)(

)(,)(

.

Aplicando la condición inicial i(0)=0:

Amperesti

Amperessegi

e

tetia

teti

toloPor

CeC

eC

segib

60

550050

00505001

5

3

5001

5

3

500

5

3

5

3

0

5

3

0500

5

30

0050

.(

.).(

)).(

(

)()()

)(

:tan

)(

).()

)

38

2) A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de 20 Henrys y la resistencia es de 2 ohms,


corriente cuando t= 0.005 seg. y cuando t→∞.

Solución:


0)(tEiRdt

diL


)(tEiRdt

diL

Sustituyendo los valores de R, L y E en la ecuación diferencial anterior, se tiene:

tCeti

Ct

eit

e

dtt

eit

ed

dtt

eit

ed

dtt

et

edit

e

te

te

te

te

dtettP

idt

idt

di

idt

di

idt

di

10

1

60

10

1

6010

1

10

1

610

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

6

610

1

610

1

610

1

120220

)(

)(

)(

)()(

Aplicando la condición inicial i(0)=0:

Amperest(i

Amperes.)seg.(i

)e(

)t

e()t(i)a

te)t(i

:totanloPor

CeC

)(eC

).(

)seg.(i)b

60

02900050

160

10

1

160

10

1

6060

060

010

1

600

005010

1

0050

)

39

2.7. Ejercicios. Analice los siguientes circuitos R-C y R-L en serie y determine lo que se te pide.

1) A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de 1.5 Henrys y la resistencia es de 20

ohms, se le aplica una tensión de 60 volts. (a) Calcular la corriente i(t) si i(0)=0. (b) Determine también

la corriente cuando t= 0.02 seg. y cuando t= 1seg

2) A un circuito R-C en serie en el que la resistencia es de 500 ohms y la capacitancia es de 1x10 -6

Faradios, se le aplica una tensión de 100 volts. (a) Calcular la carga q(t) en el capacitor y la corriente

i(t) en la resistencia si q(0) = 0. (b) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la resistencia,

respectivamente cuando t=0.005 seg. (c) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la

resistencia, respectivamente cuando t=1 seg.

3) En un circuito R-C en serie, la resistencia es de 100 ohms y la capacitancia es de 10x10-6

Faradios, se le aplica una tensión alterna de 120sen 60t volts. (a) Calcular la carga q(t) en el capacitor

y la corriente i(t) en la resistencia si q(0) = 0. (b) Determine la carga y la corriente en el capacitor y la

resistencia, respectivamente cuando t=0.1seg seg. (c) Determine la carga y la corriente en el capacitor

y la resistencia, respectivamente cuando t→∞

4) A un circuito R-L en serie, en el cual la inductancia es de un Henry y la resistencia es de 500 ohms,


corriente cuando t= 0.02 seg. y cuando t→∞

5) Una tensión

300

300100

t

t

tE

,

,

)(

Se aplica a un circuito L-R en serie en el que la inductancia es de 20 Henrys y la resistencia es de 10

ohms. (a) Determinar la corriente i(t), si i(0)=0 (b) Determinar la corriente cuando t=3seg

40

UNIDAD 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 3.1. INTRODUCCIÓN

En esta unidad se resolverán ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma:

)()()(.............)()( xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n 011

1

1

Sujeta a las condiciones iniciales:

100

10000

nn yxyyxyyxy )(,........,)(',)( )('

Donde 1000nyyy ,........,, ' son constantes arbitrarias y se busca una solución en algún intervalo I que

contenga a xo.

En el caso de una ecuación lineal de segundo orden, una solución del problema del valor inicial

')(',)(),()()()( 0000012

2

2 yxyyxyxgyxadx

dyxa

dx

ydxa

Es una función que satisface la ecuación diferencial en I cuya gráfica pasa por P(x0,y0), como se ve

en la siguiente grafica:

La solución general yg de una ecuación de orden n en un intervalo I, es de la forma:

xo

yo P(xo,yo)

I

x)i(x)i(

h eCeC)x(y 21

m = y’0

X

Y

X

41

)x(y)x(y)x(y phg

O más específicamente:

)x(y)x(yC.........)x(yC)x(yC)x(y pkkg 2211

En donde la parte homogénea de la ecuación diferencial ordinaria de orden n:

0011

1

1 yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n )()(.............)()(

Tiene como solución la combinación de funciones linealmente independientes:

)x(yC.........)x(yC)x(yC)x(y kkh 2211

Y la solución particular Yp se determinará de acuerdo a la forma de g(x) (Método de los coeficientes

indeterminados) o de la combinación linealmente independiente de la familia de funciones yk(x)

obtenidas de la ecuación homogénea (Método de Variación de Parámetros)

3.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Una ecuación lineal de primer orden dy/dx + ay = 0, donde a es una constante, tiene la solución

exponencial y=C1e-ax

en (-∞, ∞). Por lo tanto es natural tratar de determinar si existen soluciones

exponenciales en (-∞, ∞) para ecuaciones diferenciales de orden superior de coeficientes constantes

como la siguiente:

0011

1

1 y)x(adx

dya.............

dx

yda

dx

yda

n

n

nn

n

n

Lo interesantes es que todas las soluciones de la ecuación diferencial homogénea anterior, son

funciones exponenciales linealmente independientes, de la forma general y=emx

.

Para el caso de una ecuación diferencial de segundo orden:

a y´´+ b y´+ c y = 0

Se puede probar que existe una solución de la forma general y = emx

. Y por lo tanto y´= memx

.y

42

y´´= m2e

mx,de tal manera que la ecuación anterior se convierte en:

a m2e

m+ b me

mx.+ c e

mx = 0

o bien

emx

.(a m2+ b m.+ c ) = 0

Debido a que emx nunca es igual a cero para valores reales de x, se tiene de manera aún más simple:

a m2+ b m.+ c = 0

La cual es llamada ecuación auxiliar o ecuación característica, que es en sí una ecuación algebraica

cuadrática, cuya solución será el buscar sus respectivas raíces. Tales raíces se encontrarán entre

alguno de los tres casos siguientes: raíces reales diferentes, raíces reales iguales y raíces

complejas conjugadas.

Caso I) Raíces reales diferentes

En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1= α1 y m2= α2, dando la siguiente

solución a la ecuación diferencial ordinaria homogénea:

xx

h eCeC)x(y 22

11

Caso II) Raíces reales iguales

En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma real m1 = m2 = α, dando la siguiente solución

a la ecuación diferencial ordinaria homogénea:

xx

h xeCeC)x(y 21

43

Caso III) Raíces complejas conjugadas

En este caso, la ecuación auxiliar tiene raíces de la forma compleja m1 = α + i β y m2 = α - i β, dando la

siguiente solución a la ecuación diferencial ordinaria homogénea:

Utilizando las identidades de Euler se obtiene yh con funciones reales, de la forma:

)xsenCxcosC(e)x(y x

h 21

x)i(x)i(

h eCeC)x(y 21

44


ecuaciones Diferenciales lineales homogéneas. 1)

x

h

xx

h

mx

mxmx

mxmxmx

eCC)x(y

eCeC)x(y

:Finalmente

m,m:sonraícescuyas

)m(m

:dofactorizan

auxiliar.ecmm

)mm(e

meem

:doSustituyen

em´ý,mey,ey

:oproponiend

y´ý

25

21

25

2

0

1

21

2

2

2

2

2

50

052

052

052

052

052

2)

xx

h

mx

mxmx

mxmxmx

eCeC)x(y

:Finalmente

m,m:sonraícescuyas

)m)(m(

:dofactorizan

auxiliar.ecm

)m(e

eem

:doSustituyen

em´ý,mey,ey

:oproponiend

y´ý

6

2

6

1

21

2

2

2

2

66

066

036

036

036

036

3)

xx

h

mx

mxmxmx

mxmxmx

xeCeC)x(y

:Finalmente

mm:sonraícescuyas

)m)(m(

:dofactorizan

auxiliar.ecmm

)mm(e

emeem

:doSustituyen

em´ý,mey,ey

:oproponiend

yy´ý

2

2

2

1

21

2

2

2

2

2

022

044

044

044

044

4)

)xsenCxcosC(e)x(y

:Finalmente

im,im:sonraicescuyas

)(

))((m

:generalformulalaAplicando

auxiliar.ecmm

)mm(e

emeem

:doSustituyen

em´ý,mey,ey

:oproponiend

yy´ý

x

h

mx

mxmxmx

mxmxmx

33

32

33

2

3

32

13433

0133

0133

033

033

212

3

21

2

2

2

2

2

45

5)

)xsenCxcosC(eC)x(y

)xsenCxcosC(eeC)x(y

:Finalmente

imimm

:sonraicescuyas

)(

))((m,m

)m(m

:dofactorizan

auxiliar.ecmm

)mm(e

meem

:doSustituyen

em´ý,mey,ey

:oproponiend

y´´ý

x

h

xx

mx

mxmx

mxmxmx

2

1

2

1

2

1

2

1

8

32

8

320

42

244000

024

024

024

024

024

32

0

1

32

00

1

321

2

1

2

3

3

3

2

6)

xx

h

xx

x

h

mx

mxmx

mxmx

eCeC

xsenCxcosC)x(y

eCeC

)xsenCxcosC(e)x(y

:Finalmente

m,m,im,im:raices

mim

mm

:factoreslosdeunocadadedespejando

)m)(m(

:dofactorizan

auxiliar.ecm

)m(e

eem

:doSustituyen

em´´´´ý,ey

:oproponiend

dx

yd

8

4

8

3

21

8

4

8

3

21

0

4321

22

22

4

4

4

4

4

4

88

88

8888

88

88

088

064

064

064

064

46

7)

xx

h

xxx

mx

mxmxmx

mxmxmxmx

xeCeCC)x(y

xeCeCeC)x(y

:Finalmente

mmm

:raices

)(

))((m,m

)mm(m

:dofactorizan

auxiliar.ecmmm

)mmm(e

meemem

:doSustituyen

em´´ý,em´ý,mey,ey

:oproponiend

y´ý´´ý

2

1

32

1

21

2

1

32

1

2

0

1

321

2

1

2

23

23

23

32

2

10

42

144440

0144

044

044

044

044

8)

xxx

h

mx

mxmxmx

mxmxmxmx

eCeCeC)x(y

:Finalmente

m,m,m

:raices

)(

))((m,m

)mm)(m(

R

r

,,,,q

pr

qy,,,,p

:téticasindivisionutilizando

auxiliar.ecmmm

)mmm(e

meemem

:doSustituyen


:oproponiend

yy´ý´´ý

3

3

2

2

2

1

321

2

1

2

23

23

23

32

32

1

2

52

2

1

2

52

12

614552

0652

0651

12102

124312

126421

1126421

01243

01243

01243

01243

47

9)

)senxxcos(xe)x(h

y

:Finalmente

C

)(CCCC

)cosCsenC()(

e

)senCcosC()(

e

´:ydeinicialesscondicionelasaplicando

)xcosCsenxC(xe

)senxCxcosC(xe)x(h

y

:h

yaderivando

CCsenCcosC()(

e

:ydeinicialesscondicionelasaplicando

)senxCxcosC(xe)x(h

y

imim

)(

))((m

auxiliar.ecmm

)mm(mxe

mxemxmemxem

:doSustituyen

mxem´ý,mxmey,mxey

:oproponiend

)´(y)(y:asujeta

yy´ý

1744

172

174411

41221

41

02

01

04

02

01

0441

214

2144

411

02

01

044

214

42

41

12

1714288

01782

01782

01782

2

1040

0178

10)

xx

h

i

xxx

h

h

xxx

h

h

xx

h

xxx

h

mx

mxmxmx

mxmxmxmx

xee)x(y

:Finalmente

CyC,C

:sĆlaspara.ecsdesistemaelresultadocomodando

CC

´´:ydeinicialesscondicionelasaplicando

xeCeCeC)x´´(y

:)x´(yaderivando

CC

´:ydeinicialesscondicionelasaplicando

xeCeCeC)x(y

:yaderivando

CCCC

:ydeinicialesscondicionelasaplicando

xeCeCC)x(y

xeCeCeC)x(y

mmm:raices

)(

))((m,m

)mm(m

:dofactorizan

auxiliar.ecmmm

)mmm(e

meemem

:doSustituyen


:oproponiend

)´´(yy)´(y,)(y:asujeta

y´ý´´ý

66

321

32

6

3

6

3

6

2

32

6

3

6

3

6

2

2121

6

3

6

21

6

3

6

2

0

1

321

2

1

2

23

23

23

32

3

1

3

1

13

1

3

1

12360

361236

61

66

0

60

12

361412120

03612

03612

03612

03612

001000

03612

48


ecuaciones Diferenciales lineales homogéneas.

1) 0y´ý

2) 0y8´ý

3) 0y´ý

4) 0y6y´ý

5) 0yy4´ý

6) 0yy2´ý3

7) 0´ý5´´ý

8) 0y2´ý´´ý

9) 0y9´ý24´´´ý16

10) 1)0´´(y,0)0´(y,1)0(y

,0y25´ý10´´ý

===

=+

49

3.3 ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS

3.3.1. EL MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

El Método de los Coeficientes Indeterminados se desarrolla mediante el principio de superposición

para ecuaciones diferenciales no homogéneas, para encontrar cualquier solución particular yp de una

ecuación no homogénea de orden superior. Una solución particular es una función libre de constantes

arbitrarias, que satisface la ecuación diferencial idénticamente. Recuérdese que una solución general

de una ecuación diferencial no homogénea es de la forma:

)()()( xyxyxy phg

En el caso de las ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo grado de la forma:

)x(gyadx

dya

dx

yda

012

2

2

Donde a2, a1 y a0 son coeficientes constantes. Es importante recalcar que el método de los

Coeficientes Indeterminados no está limitado a ecuaciones de segundo orden, pero si se limita a

ecuaciones no homogéneas que tengan las siguientes características:

- tengan coeficientes constantes

- g(x) sea una constante k, una función algebraica, una función exponencial eαx, sen βx, cos βx,

o sumas o productos finitos de estas funciones.

Por ejemplo:

g(x)=2

g(x)=3x2 + 4x -1

g(x)=2sen 3x + 6x cos 2x

Y así sucesivamente, Esto es g(x) es una combinación lineal sólo de la funciones del tipo:

K (constante), xn, xn eαx, , eαx cos βx y xn eαx sen βx, donde n es un entero no negativo y α y β son

números reales.

50

El conjunto de funciones que consisten en constantes, exponenciales eαx, senos y cosenos tienen la

propiedad de que las derivadas de sus sumas y productos son nuevamente sumas y productos de

constantes, polinomios, exponenciales eαx, senos y cosenos.

En la siguiente tabla se realiza una propuesta de soluciones particulares para yp, dada la forma de

g(x). Teniendo en cuenta que ninguna función que se suponga como solución particular es una

solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.

PROPUESTA DE SOLUCIONES PARTICULARES

No. g(x)

Forma para yp

1 1 (cualquier constante) A

2 5x + 7 Ax + B

3 3x3 - 2 Ax2 + Bx + C

4 X3 – x + 1 Ax3 + Bx2 + Cx + D

5 Sen 4x Acos 4x + Bsen4x

6 Cos4x Acos 4x + Bsen4x

7 e5x A e5x

8 (9x+2) e5x (Ax + B) e5x

9 X2e

5x e

5x (Ax

2 + Bx + C)

10 e3x Sen 4x e3x(Acos 3x + Bsen3x)

11 e3x cos 4x e3x(Acos 3x + Bsen3x)

12 5x2sen 4x (Ax2 + Bx + C) sen 4x + (Dx2 + Ex + F) cos 4x

13 x e3x

cos 4x (Ax + B) e3x

cos 4x + (Cx + D) e3x

sen 4x

Si g(x) consiste de una suma de m términos, entonces la solución de una solución particular yp

consiste en la suma de las ypm correspondientes a los m términos de dicha suma. Es decir:

yp =yp1 + yp2 +………..+ ypm

51

3.3.1. Ejemplos. Resuelva las siguientes

Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas por el Método de los Coeficientes Indeterminados 1)

3

43

23

1

3

4

9

121290

00

32

31

32

31

392

092

092

092

2

09

129

xsenCxcosC)x(g

y

)x(p

y)x(h

y)x(g

y

:finalmente

A)A(

:ogéneahomnoecuaciónlaendosustituyen

)x´´(p

y,)x´(p

y,A)x(p

y

:ogéneahomnopartelapara

xsenCxcosC)x(h

y

:essoluciónla

im,im:sonraícescuyas

imm

:oresolviend

auxiliar.ecm

)m(mxe

mxemxem

:doSustituyen

mxem´ý,mxmey,mxey

:oproponiend

y´ý

:ogéneahomecuaciónlapara

y´ý

2)

2

1x

2

12xe2

C2xex1

C(x)gy

(x)py(x)h

y(x)gy

:finalmente

4

1

4

14ABy

2

1Adonde

14B4Ay24A

:xdepotenciaslasigualando

12x4B)(4A4Ax

12x4B4Ax4A

12xB)4(Ax4(A)4(0)

:homogéneanoecuaciónlaendosustituyen

0´´(x)pyA,´(x)pyB,Ax(x)py

:homogéneanopartelapara

2xe2

C2xex1

C(x)h

y

:essoluciónla

22

m1

m

:sonraícescuyas

02)2)(m(m

:dofactorizan

auxiliarec.044m2m

04)4m2(mmxe

0mx4emx4memxe2m

:doSustituyen

mxe2my´´,mxmey´,mxey

:oproponiend

04y4yý´´

:homogéneaecuaciónlapara

12x4y4yý´´

52

3)

27

89

9

14

3

1

27

89

3

148

9

14

3

28

3

1

22

1

22

3

1

22

22

22

22

2

2

1

22

3

1

2

1

22

3

1

2

2

2

2

2

134823813

12348383

12348383

12333488

1232424

22

01232

0344

0344

0344

0344

12344

xxeCexC)x(y

)x(y)x(y)x(y

:finalmente

BAC

,A

B,A:donde

xx

g

phg

ppp

xx

h

mx

mxmxmx

mxmxmx

CBAy,BA,A

:xdepotenciaslasigualando

xx)CBA(x)BA(Ax

xxCBABxAxAx

xxCBxAxBAxA

xx)CBxAx()BAx()A(


A)x´´(y,BAx)x´(y,CBxAx)x(y


eCexC)x(y

:essoluciónla

m,m

:sonraícescuyas

)m)(m(

:dofactorizan

auxiliar.ecmm

)mm(e

emeem

:doSustituyen

em´ý,mey,ey

:oproponiend

yy´ý


xxyy´ý

4)

53

xsen)x(xcosx(

xsenCxcosC)x(y

,AA,C

:escoeficientigualando

:ndosimplificayogéneahomnoecuaciónlaendosustituyen

xsen)DxxC(xcos)DCx(

xcos)DCx(xCsenxcosAx(

xsen)BAx(xsen)BAx(xcos)A()x´´(y

xcos)DxxC(xsen)DCx(

xsenAx(xcos)BAx()x´(y

xsen)DxxC(xcosAx()x(y


xsenCxcosC)x(y

:essoluciónla

im,im

:sonraícescuyas

m

:oresolviend

auxiliar.ecm

)m(e

eem

:doSustituyen

em´ý,mey,ey

:oproponiend

y´ý


xsen)x(y´ý

)x

)x(y

)x(y)x(y)x(y

:finalmente

BBC

DDA

xsenxxsen

xsen)BC(xcos)DA(xAxsenxcosCx

)Bx

)Bx

)Bx

hg

phg

p

p

p

h

mx

mxmx

mxmxmx

216

12

8

1

22

8

1180

24222

2222224

22222222

2222

2222

22

22

22

4

04

04

04

04

234

2

3

2

3322

16

1042

232

2222422828

2

21

2

2

2

2

22

21

21

2

2

2

2

2

54

5)

4

1

28

216168

1681644

4

16

4

2

4

1

44

4444

44444

444

4

2

4

1

21

2

2

2

2

2

4

4

128

44

16

0

016

016

016

216

xx

hg

phg

xx

xxxx

xxxxx

p

xx

p

x

p

xx

h

mx

mxmx

mxmxmx

x

eCeC)x(y

AA

:escoeficientigualando

ee

eAxeee


eeeee)x´(y

eAe)x´(yAxe)x(y


eCeC)x(y

:essoluciónla

m,m

:sonraícescuyas

m

:oresolviend

auxiliar.ecm

)m(e

eem

:doSustituyen

em´ý,mey,ey

:oproponiend

y´ý


ey´ý

)x(y

)x(y)x(y)x(y

:finalmente

A

AxA

AxAAxAA´

x,

6)

55

xcos

Axcos)BC(xsen)CB(

xcos

A(xcosCxBsen


xcosCxBsen)x´´´(y

cosB)x´´(y

cosB)x´(y

A)x(y

eeC)x(y

eCeCeC)x(y

:esogéneahomsoluciónla

im,i,m,m

:sonraíceslastotanlopor

ii))((

m

:factorsegundoeldofactorizan

)mm)(m(

:dofactorizan

auxiliar.ecm

)m(e

eem

:doSustituyen

em´´ýem´ý,mey,ey

:oproponiend

y´´ý


xcosy´´ý

)xCsenxcosB

p

xCsenxp

xCxsenp

xCsenxcosBp

)xsenCxcosC(xx

h

iixh

mx

mxmx

mx,

mxmxmx

332

838333833

332

8333333

333333

3

33

32322

322

122

2

41442

0422

08

08

08

08

3328

33

333

33

33

3322

323

322

2

321

2

3

3

3

32

321

1

56

xsenxcos

eeC)x(gy

)x(y)x(y)x(y

:finalmente

C,B,A

:solviendoRe

A

BC

CB

:semejantesosmintérigualando

)xsenCxcosC(xx

phg

391

393

8

33

4

1

91

39

8

33

4

1

28

3833

0833

3322

321

3.3.1. Ejercicios. Resuelva las siguientes

Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas por el Método de los Coeficientes Indeterminados

1) 623 yy´ý

2) xxexyy´ý 26100208 2

3) senxxy´ý 2

4) xcossenxyy´ý 32

5) xsen)x(y´ý 234 2

6) 6425 23 xxxy´ý

7) xexyy´ý´´ý 433

57

3.3.2. EL MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS

El Método de Variación de Parámetros es un método adicional para resolver ecuaciones lineales no

homogéneas de orden superior. El procedimiento básico es esencialmente el siguiente:

La solución particular para una ecuación diferencial ordinaria de segunda grado, no homogénea es de

la forma:

)x(y)x(u)x(y)x(u)x(yp 2211

Donde y1(x) y y2(x) son soluciones linealmente independientes obtenidas en la solución de la ecuación

homogénea respectiva:

)x(yC)x(yC)x(yh 2211

Y las funciones u1(x) y u2(x) están definidas mediante:

dxW

W)x(uydx

W

W)x(u 2

21

1

Donde:

)x(fy

yWy

y)x(f

yW

yy

yyW

´´´´ 1

1

2

2

21

21 0021

El determinante W se conoce como el Wronskiano de y1 y y2. Por la independencia lineal de y1 y y2 en

I, se sabe que W(y1(x),y2(x))≠0 para toda x en el intervalo.

Este método, que se acaba d examinar para ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo

orden , puede generalizarse para ecuaciones diferenciales lineales de orden n que sean de la forma

)x(gyadx

dya......

dx

yda

dx

yda

n

n

nn

n

n 011

1

1

Si

yh(x)=C1 y1(x)+C2y2(x)+……….+Cnyn(x)

es la solución complementaria, entonces la solución particular será de la forma:

58

)x(y)x(u........)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y nnp 332211

Donde las uk’s funciones se determinan mediante:

,n,........,,kdxW

W)x(u k

k 21

donde W es el wronskiano de y1, y2, ………..yn y Wk es el determinante obtenido al sustituir la k-ésima

columna del wronskiano por la columna:

)x(f

.

.

.0

0

El Método de Variación de Parámetros tiene una clara ventaja sobre el método de Coeficientes

Indeterminados, la cual consiste en que siempre proporciona una solución particular yp, a condición

de que la ecuación homogénea correspondiente se pueda resolver. El presente método no se limita a

una función f(x) que sea una combinación lineal de los cuatro tipos de funciones con los que sólo

trabaja el Método de los Coeficientes Indeterminados.

59

3.3.2. Ejemplos. Resuelva las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas por el

Método de Variación de Parámetros

1)

senxx)x(cosLnxcos

senxCxcosCyy)x(g

y

senxx)x(cosLnxcosyuyu)x(p

y

:finalmente

xdxdxW

Wu

xcosLndxxtan

dxW

Wu

xcos

xcosxsecxcos

xsecsenx

xcosW

xtanxcos

senxxsecsenx

xcosxsec

senxW

xcossenxcossenx

senxxcosW

senxy,xcosy

:ogéneahomnopartelaPara

senxCxcosC)x(h

y

:essolucióncuya


imm

:despejando

auxiliar.ecm

)m(e

eem

:doSustituyen

em´ý,meyey

:oproponiend

y´ý


xsecy´ý

ph

mx

mxmx

mxmx,

mx

21

2211

2

1

1

1

2

1

22

21

21

21

2

2

2

2

2

1

1

1

10

0

1

1

01

01

0

0

60

2)

xsenxcos)xsenx

(senxCxcosCyy)x(g

y

senxcos)xsenx

(yuyu)x(p

y

:finalmente

xsendxsenxxcosdxW

Wu

xsenx

dxxcos

dxxsendxW

Wu

senxxcossenxsenx

xcosW

xsenxcossenx

senxW

xcossenxcossenx

senxxcosW

senxy,xcosy


senxCxcosC)x(h

y

:essolucióncuya


imm

:despejando

auxiliar.ecm

)m(e

eem

:doSustituyen

em´ý,meyey

:oproponiend

y´ý


senxy´ý

ph

x

mx

mxmx

mxmx,

mx

3

21

3

2211

22

1

21

1

2

2

1

22

21

21

21

2

2

2

2

2

2

12

4

1

2

2

12

4

1

2

2

1

24

1

22

21

0

0

1

1

01

01

0

0

61

3)

xsenxsenxcossenxCxcosCyy)x(g

y

xsenxsenxcosyuyu)x(p

y

:finalmente

xsensenxdx)xsen(xcosdxxcosdxW

Wu

xcosdxxcossenxdxW

Wu

xcosxcossenx

xcosW

xcossenxxcosxcos

senxW

xcossenxcossenx

senxxcosW

senxy,xcosy


senxCxcosC)x(h

y

:essolucióncuya


imm

:despejando

auxiliar.ecm

)m(e

eem

:doSustituyen

em´ý,meyey

:oproponiend

y´ý


xcosy´ý

ph

mx

mxmx

mxmx,

mx

424

21

424

2211

3232

2

321

1

3

22

2

21

22

21

21

21

2

2

2

2

2

2

3

1

3

1

3

1

3

1

3

11

3

1

0

0

1

1

01

01

0

0

62

4)

Lnxdxxe

eCeCyy)x(g

y

Lnxdxxe

eyuyu)x(p

y

:finalmente

Lnxdxx

dxW

Wu

dxxe

dxW

Wu

xxee

eW

xeexe

eW

eeeeee

eW

y,ey


CeC)x(h

y

:essolucióncuya

m,m:sonraícescuyas

)m)(m(

dofactorizan

auxiliar.ec)m(e

eem

:doSustituyen

em´ý,meyey

:oproponiend

y´ý


x

ey´ý

xe

xxx

ex

ph

xe

xx

x

xx

x

x

xx

x

xxxx

xx

xe

x

xe

x

xe

x

mx

mxmx

mxmx,

mx

x

24

22

2

2

1

24

2

2211

2

2

41

1

22

2

2

4

22

2

1

222

22

22

22

2

2

2

1

2

2

2

1

21

2

2

2

2

4

1

4

4

1

4

4

1

4

1

4

1

2

0

2

0

422222

22

022

04

04

04

4

63

5)

xxx

xxxph

xxx

x

xx

xx

xxxxx

x

x

xxxxx

x

x

xxxx

xx

xx

xx

xx

h

mx

mxmx

mxmx,

mx

eexe

exe

eexe

ex

xee

(

ex

e(

eeeexcoshe

eeeexcoshe

e

e

e

e

CeCyy)x(gy

yuyu)x(py

:finalmente

dx)dxW

Wu

dx)dxW

Wu

xcoshe

eW

excoshW

eeeeee

eW

y,ey


CeC)x(y

:essolucióncuya

m,m:sonraícescuyas

)m)(m(

:dofactorizan

auxiliar.ec)m(e

eem

:doSustituyen

em´ý,meyey

:oproponiend

y´ý


xcoshy´ý

8

1

4

1

84

1

8

1

4

1

84

1

4

1

84

1

4

84

1

44

1

2

1

22

22

1

2

21

2211

222

2

221

1

2

2

2

1

21

21

21

2

2

2

0

0

2

11

011

01

0

0

64

6)

xxxxxxph

xxxx

xxx

x

xx

x

xx

e

x

x

xx

xe

x

xxx

xx

xx

xx

xx

mx

mxmx

mxmx,

mx

eee

ee

ee

xe

ee

xe

e

xe

e

xe

e

e

e

e

m

x

eLneCeCyy)x(gy

eLneyuyu)x(py

:finalmente

u:con)e(LnedxdxW

Wu

u:coneLndxdxW

Wu

e

eW

eW

eeeee

eW

y,ey


CeC)x(hy

:essolucióncuya

m,m:sonraícescuyas

)m)(m(

dofactorizan

auxiliar.ec)m(e

eem

:doSustituyen

em´ý,meyey

:oproponiend

yy´ý


eyy´ý

22

21

22211

22

2

1

1

1

12

2

2

1

1

2

1

333

2

2

2

21

2

21

21

2

2

2

11

11

1

1

3

11

0

2

0

22

21

021

02

04

023

1

123

65

7)

)LnxxexeCeCyy)x(gy

:finalmente

)Lnxxexeyuyu)x(py

xxLnxLnxe

Lnxedx

W

Wu

partesporegrandointeedvyxucon

exexedxe

Lnxxedx

W

Wu

LnxeLnxee

eW

LnxxeexeLnxe

xeW

exeexeexee

eW

y,ey


CeC)x(hy

:essolucióncuya

mm:sonraícescuyas

)m)(m(

dofactorizan

auxiliar.ec)mm(e

emeem

:doSustituyen

em´ý,meyey

:oproponiend

yy´ý


Lnxeyy´ý

(exe

(e

dxx

x

xe

xe

xe

xxxxxph

xxx

dx

x

xxdx

x

x

x

x

xx

x

x

xxx

x

xxxx

xxx

xx

xx

xx

mx

mxmxmx

mxmx,

mx

x

14

1

2

1

14

1

2

1

4

1

2

1

0

0

1

011

012

02

02

2

233

21

2332211

2

2

2

222

2

21

1

22

21

2222

21

21

21

2

2

2

2

2

66

Ejercicios 3.3.2. Resuelva las siguientes Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas por el

Método de Variación de Parámetros

1) senxy´ý

2) xcosy´ý 2

3) xtanxsecy´ý

4) senhxy´ý

5) xseceyy´ý x22

6) 2144 2 xeyy´ý

x

7) 262 x´ý´´ý

67

E

R

L

C

3.4. APLICACIONES. CIRCUITOS ELECTRICOS R C L EN SERIE

Una gran cantidad de sistemas físicos pueden describirse por medio de una ecuación diferencial lineal

de segundo orden, entre ellos se encuentran los circuitos eléctricos, concretamente los circuitos R C L

en serie, como el de la siguiente figura:

Figura 3.4.1. Circuito R C L en serie

Si i(t) representa la corriente en el circuito eléctrico R C L en serie mostrado en la figura 3.4.1,

entonces la caída de voltaje a través de la resistencia, la capacitancia y la inductancia, de acuerdo a

la segunda ley de Kircchhoff es la siguiente:

)t(EqC

iRdt

diL

1

Es decir, la suma de la caída de los voltajes en los componentes del circuito R C L es igual al voltaje

E(t) suministrado al circuito.

Pero la carga q(t) en el capacitor está relacionada con la corriente i(t) mediante i= dq/dt, y así la

ecuación anterior se convierte en una ecuación diferencial lineal de segundo grado de la forma:

)t(EqCdt

dqR

dt

qdL

1

2

2

68

Si E(t)=0, las oscilaciones eléctricas del circuito se dice que son libres. Puesto que la ecuación

auxiliar correspondiente es

L m2 + R m + 1/C = 0

Existen tres formas de solución de la ecuación anterior cuando R ≠ 0, dependiendo del valor del

discriminante R2-4L/C. Se dice entonces que el circuito está:

Sobreamortiguado si R2-4L/C < 0

Críticamente amortiguado si R2-4L/C = 0

Y Subamortiguado si R2-4L/C > 0

Para cada uno de los tres casos, la solución general de la ecuación diferencial anterior contiene el

factor e-Rt/2L y así q(t)→0 cuando t→∞. Cuando E(t)=0 y R=0, se dice que el circuito no está

amortiguado y las oscilaciones eléctricas no tienden a cero a medida que t se incrementa sin tener

una cota; la respuesta del circuito es armónica simple.

69

E=60V

C=1/16 F

L=1 H

3.4. Ejemplos. Resuelva los siguientes circuitos en serie.

1) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito LC en serie, con L=1 Henry, C= 1/16

Faradios, E= 60 Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes. Evalúe la carga en el capacitor y la

corriente en el circuito a los 2 segundos.

00

44

41616

016

016

2

2016

16016

0

161

160

01

0

0

21

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)t(´´q,)t(q

arminerdetaecoeficientA)t(q

:ogeneahomnopartelaPara

tsenCtcosC)t(q

:complejasraícespara

iimm

m

eem

:)(endosustituyen

em)t´´(q,me)t´(q,e)t(q

:oproponiend

)....(qdt

qd

)....(qdt

qd

:Arreglando

qdt

qd

qCdt

diLV

VVVV

V

pp

p

h

mtmt

mtmtmt

S

cLS

Amperes.sen)seg(i

Coulombs.cos)seg(q

:Evaluando

tsen)t(i

tcos)t(q

CcosCsenC

C

senCcosC

:)(y)(ainiciales.condaplicando

)....(tcosCtsenCdt

dq)t(i

)....(tsenCtcosC)t(q

)t(q)t(q)t(q

:totanlopor

A

A

:)(endosustituyen

ph

8148152

295644

158

4

152

415

4

154

4

15

004040

4

15

4

15000

43

44444

34

1544

4

15

60160

1

221

1

21

21

21

70

E=0 V

R=20 ohms

L=1/4 H

C=1/300 F

2) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1/4 Henrys,

R=20 ohms, C= 1/300 Faradios, E= 0 Volts. Con q(0)=4 Coulombs e i(0)= 0 Amperes. Evalúe la carga

en el capacitor a los 3segundos.

:)4(y)3(ainicialesscondicioneaplicando

)4)....(t41.34cosC41.34t41.34senC41.34(e

)t41.34senCt41.34cosC(e4)t´(q)t(i

)3).....(t41.34senCt41.34cosC(e)t(q)t(q


i41.344m:sonraícescuyas

auxiliar.ec01200m8m

0e1200me8em

:)2(endosustituyen


:oproponiend

)2....(0q1200dt

dq80

dt

qd

)1....(0q300i20dt

qd

4

1

:Arreglando

0q

3001

1i20

dt

qd

4

10

0qC

1Ri

dt

diLV

0VVVVV

0V

21

t4

21

t4

21

t4

h

2

mtmtmt2

mt2mtmt

2

2

2

2

2

2

S

CRLS

71

Coulombs10x097.2)seg3(q

))3(41.34sen4698.0)3(41.34cos4(e)seg3(q

:Evaluando

)t41.34sen4698.0t41.34cos4(e)t(q

4698.0)4(41.34

4C

41.34

4C

C41.34C40

)0cosC41.340senC41.34(e

)0senCt0cosC(e40

4C

)0senC0cosC(e4

5

)3(4

t4

12

21

21

0

21

0

1

21

0

72

E=300 V

R=10 ohms

L=5/3 H

C=1/30 F

3) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=5/3 Henrys,

R=10 ohms, C= 1/30 Faradios, E= 300 Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.

)2....(1800q18dt

dq6

dt

qd

)1....(300q30i10dt

qd

3

5

:Arreglando

0q

301

1i10

dt

qd

3

5300

0qC

1Ri

dt

diLV

0VVVVV

0V

2

2

2

2

2

2

S

CRLS

73

100)t3sent3(cose100)t(q

100)t3sen100t3cos100(e)t(q

100CCC3C3

C3C30

)0senC0cosC(e3)0cosC30senC3(e0

100C100C0

100)0senC0cosC(e0

:)5(y)4(ainiciales.condaplicando

)5)....(t3senCt3cosC(e3

)t3cosC3t3senC3(edt

dq)t(i

)4....(100)t3senCt3cosC(e)t(q

)t(q)t(q)t(q

:totanlopor

100A1800A18

:)2(enosutituyend

0)t(´´q,0)t(q

arminerdetaecoeficientA)t(q

:ogenenahomnopartelaPara

)3).....(t3senCt3cosC(e)t(q


i33m:sonraícescuyas

auxiliar.ec018m6m

0e18me6em

:)2(deogéneahompartelaendosustituyen


:oproponiend

t3

t3

1212

12

21

0

21

0

11

21

0

21

t3

21

t3

21

t3

ph

pp

p

21

t3

h

2

mtmtmt2

mt2mtmt

74

E=50cost

R=4 ohms

L=1 H

C=1/4 F

4) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1 Henry, R=4

ohms, C= 1/4 Faradios, E= 50cos t (Volts). Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes.


)3.....(teCeC)t(q

:igualesraícespara

2mm:sonraícescuyas

auxiliar.ec04m4m

0e4me4em

:)2(endosustituyen


:oproponiend

)2....(0q4dt

dq4

dt

qd

)1....(tcos50q4i4dt

qd

:Arreglando

0q

41

1i4

dt

qd1tcos50

0qC

1Ri

dt

diLV

0VVVVV

0V

t2

2

t2

1h

21

2

mtmtmt2

mt2mtmt

2

2

2

2

2

2

S

CRLS

75

tcos13

100sent

13

150te

13

800e

13

100

dt

dq)t(i

sent13

100tcos

13

150te

13

400e

13

150)t(q)t(q

finalmente

13

400

13

100

13

1502

13

100C2C

13

100CC20

0cos13

1000sen

13

150eC2eCeC20

13

150C

13

150C0

0sen13

1000cos

13

150e)0(CeC0

:)5(y)4(ainiciales.condaplicando

)5....(tcos13

100sent

13

150teC2eCeC2

dt

dq)t(i

)4....(sent13

100tcos

13

150teCeC)t(q

)t(q)t(q)t(q

:entonces

sent13

100tcos

13

150)t(q

13

100By

13

150A

:sistemaelsolviendoRe

0B3a2

50B2A3

:semejantesosmintérigualando

sent0tcos50sent)A2B3(tcos)B2A3(

tcos50Bsent4tcosA4tcosB2Asent2BsenttcosA

tcos50)BsenttcosA(4)tcosBAsent(2BsenttcosA

:)1(enosutituyend

BsenttcosA)t(´´q

tcosBAsent)t(q

arminerdetaescoeficientByAcon

BsenttcosA)t(q

t2t2

t2t2

1221

0

2

0

2

0

1

11

0

2

0

1

t2

2

t2

2

t2

1

t2

2

t2

1

ph

p

p

p

p

76

3.4. Ejercicios. Encuentre lo que se te pide en los siguientes circuitos RCL en serie.


Ohms, C= 0.0004 Faradios y E= 30 Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 2 Amperes. Evalúe la carga

en el capacitor y la corriente en el circuito a los 0.5 segundos.


Ohms, C= 0.25 Faradios y E= 50cost Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)=02 Amperes.

3) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1/2 Henry, R=20

Ohms, C= 0.001 Faradios y E= 100sen60t+100cos60t Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)=0 Amperes.

4) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RCL en serie, con L=1/2 Henry, R=10

Ohms, C= 0.01 Faradios y E= 50 Volts. Con q(0)=1 Coulomb e i(0)=0 Amperes.

5) Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito LC en serie, con L=0.1 Henry, C= 0.1

Faradios, E= 100senβt Volts. Con q(0)=0 Coulombs e i(0)= 0 Amperes

77

4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.1. INTRODUCCIÓN

La transformada de Laplace L {f(t)} es una integral que ayudará principalmente en la transformación

de una ecuación diferencial de orden n, en una ecuación diferencial lineal, bajo las condiciones y(0),

y´(0), y´´(0),……y(n-1)

(0). Como consecuencia de esta propiedad, la Transformada de Laplace L {f(t)}

resulta muy adecuada en la solución de ciertos problemas físicos de valor inicial. Por ejemplo, en el

análisis de circuitos eléctricos transitorios en serie y en paralelo, que involucran ecuaciones

diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, respectivamente.

4.2. La Definición de la Transformada de Laplace

Definición. Sea f(t) se define para t 0, entonces la integral

0

dt)t(fe)t(f st L

Se denomina Transformada de Laplace de f(t), siempre que la integral sea convergente, y su

resultado es una función de s. En términos generales, se utilizará una letra minúscula para denotar la

función que se transforma, y la correspondiente letra mayúscula para representar su transformada de

Laplace, por ejemplo:

)s(F)t(f L )s(G)t(g L y )s(G)t(g L

La Transformada de Laplace es una transformación lineal, ya que

)s(G)s(F)t(g)t(f)t(g)t(f L L L

78

4.2. Ejemplos. Utilice la definición de la Transformada de Laplace para evaluar L {f(t)} 1)

s

2)s(F

)01(s

10

es

2

0

es

2dte2

dte2dt)t(fe)t(f

2)t(f

st

st

0

st

0

st

0

st L

2)

1

101

1

01

1

7

77

77

7

7

1

0

1

0

00

s

e)s(F

see

se

dteedtee

dteedt)t(fe)t(f

e)t(f

)s(t

)s(ttst

sttst

t

L

3)

2

22

2

s

1)s(F

)01(s

10e

s

10

es

t

0e

s

1

0

es

t

dtes

1

0

es

t

es

1dvvdttdu

dtedvtu

dtetdte)t(f)t(f

t)t(f

stst

stst

0

stst

st

st

0

st

0

st L

79

9

33

93

33

9

013

001

39

1

39

0

33

0

31

33

0

313

0

31

133

3

33

0

31

133

3

3

3

222

2

22

2

22

2

2

0

0

0

0

0

0

00

sss

sdtetsen)s(F

sdtetsen

s

s

)(s

)(s

dtetsens

dtetsens

etcoss

etsens

dtetsens

etcosss

etsens

es

dvvtsendu

dtedvtcosu

dttecoss

etsens

es

dvvtcosdu

dtedvtsenu

dtetsendt)t(fe)t(f

tsen)t(f

st

st

st

st

stst

stst

st

st

st

stst

st

st

stst L

4)

5)

22

22

2

2

s

e

s

1)s(F

s

e

s

e

s

1

s

e

)0e(s

1

)e1(s

1)e0(

s

1

1

es

10

1e

s

10

1

es

t

dtedtetdte)t(f)t(f

1t1

1t0t)t(f

s

sss

s

ss

ststst

1

st

1

0

st

0

st L

80

6)

)s2

2

2

0

st

))s2

2

22

0

st

)s2

2

0

st

2

2

0

stst

st

st

st

stst

st

st

2

0

st

0

st

e1(s1

sdtetcos

e1(s

1(

s1

sdtetcos

e1(s

1dtetcos)

s

11(

dtetcoss

12

0

esents

1

s

1

0

2

es

tcos

es

1dvvtcosdu

dtedvsentu

dtesents

12

0

es

tcos

es

1dvvsentdu

dtedvtcosu

dtetcosdte)t(f)t(f

2t0

2t0tcos)t(f

L

81

4.2. Ejercicios. Utilice la definición de la Transformada de Laplace para evaluar L {f(t)}

1) t4te)t(f

2) t3sen)t(f 2

3) 3t4e3)t(f

4) t4cose)t(f t

5)

4

4

t,0

t0,t2sen)t(f

82

4.3. LA TRASFORMADA DE LAPLACE POR TABLAS

Generalizando, se pueden trabajar las Transformadas de Laplace a partir de tablas como la siguiente

y la del apéndice 5.2, para calcularlas.

f(t) L {f(t)} = F(s)

1 1 / s

tn

n! / (sn+1

)

eat

1 / (s-a)

sen k t k / (s2+k

2)

cos k t s / (s2+k

2)

senh k t k / (s2-k

2)

cosh k t s / (s2-k

2)

4.3. Ejemplos. Utilice las tablas de la

Transformada de Laplace para hallar F(s), dada f(t) 1)

s

3

s

13133)s(F

s

11

:utilizando

3)t(f

L L

L

2)

312

22

1n

2

s

8

s

!24t4t4)s(F

s

!nt

:utilizando

t4)t(f

n

L L

L

3)

s

10

s

6

s

110

s

!16)s(F

110t610t6)s(F

s

!nt

s

11

:utilizando

10t6)t(f

211

1n

n

L L L

Ly L

4)

s

1

s

3

s

6

s

6

s

1

s

!13

s

!23

s

!3)s(F

1t3t3t

1t3t3t)s(F

s

!nt

s

11

1t3t3t)t(f

:utilizando

)1t()t(f

234

111213

23

23

23

3

1n

n

L L L L

L

Ly L

83

5)

9s

3

3s

3t9sen)s(F

ks

kktsen

:utilizando

t3sen)t(f

222

22

L

L

6)

4s

1e)s(F

s

1e

:utilizando

e)t(f

t4

t

t4

L

L

7)

5s

53

5s

53)s(F

t5cos3t5cos3)s(F

ks

sktcos

:utilizando

t5cos3)t(f

222

22

L L

L

8)

5s

53

5s

53)s(F

t5cos3t5cos3)s(F

16s

s

2

1

s

1

2

1t2cos

t4cos2

11

2

1

2

t4cos

2

1

2

t4cos1t2cos

ks

sktcosy

s

11

2

t4cos1t2cos

:utilizando

t2cos)t(f

222

2

2

2

22

2

2

L L

L

L L

L L L L

L

L,

9)

8s

7

)8(s

17

e7e7)s(F

s

1e

:utilizando

e7)t(f

t8t8

t

t8

L L

L

84

10)

8s

1

4s

2

s

1

ee21

ee21)s(F

s

1e

s

11

:utilizando

ee21)e1()t(f

e1()t(f

t8t4

t8t4

t

t8t42t4

2)

t4

L L L

L

Ly L

11)

64s

3

9

1

8s

8

9

1t8senh

9

1)s(F

ks

kktsenh

:utilizando

t8senh9

1)t(f

222

22

L

L

12)

2s

1

2

1

s

1

2

1

e2

11

2

1

2

e

2

1

2

e1tsenhe)s(F

2

e1

2

eeetsenhe)t(f

ks

kktsenhy

2

eesenht

:utilizando

tsenhe)t(f

t2

t2t2t

t2tttt

22

tt

t

L L

L L L L

L

13)

25s

10

1s

2

t5sen2tsen2

t5sen2

1sent

2

14

t2cost3sen4t2cost3sen4)s(F

ks

kktsen

)t)(sent)(sen(2

1tcostsen

:utilizando

t2cost3sen4)t(f

22

22

L L

L

L L

L

y

85

4.3. Ejercicios. Utilice las tablas de la

Transformada de Laplace para hallar F(s), dada f(t)

1) 4t2)t(f

2) 3t6t)t(f2

3) 2)1

t2e(3)t(f

4) t

)2t3()t(f

2

5) t2cost2sen)t(f

6) tcoshe)t(f t

7) t2cos)t(f 2

8) t2costcos)t(f

9) tsen)t(f 3

10) 2

3

t

)2t()t(f

86

4.4. LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Anteriormente se transformó una función f(t) en una función F(s) mediante la transformada de

Laplace, simbólicamente esto se representó mediante L {f(t)}= F(s). .Ahora en esta sección se

trabajará con el problema inverso: dada una función F(s) hallar una función f(t) que corresponde a

esta transformada, en otras palabras se dice que f(t) es la Transformada inversa de F(s) y se

escribe de la siguiente manera:

)s(F)t(f 1-L

La Transformada inversa de Laplace es en sí misma una transformación lineal, ya que

)s(G)s(F)s(G)s(F 1-L 1-L 1-L

donde F y G son transformadas de algunas funciones f y g.

En seguida se muestran Transformadas inversas de Laplace de algunas funciones:

L -1 { F(s)} f(t)

1 / s 1

n! / (sn+1) tn, n=1, 2, 3, ……..

1 / (s-a) eat

k / (s2+k2) sen kt

s / (s2+k

2) cos kt

k / (s2-k2) senh kt

s / (s2-k2) cosh kt

87

4.4. Ejemplos. Utilice las tablas de la

Transformada Inversa de Laplace para hallar f(t), dada F(s) 1)

2

12123

n

1n

3

t2

1)t(f

s

!2

!2

1

s

!2

!2

1

s

1

t

s

!n

:utilizando

s

1)s(F

1-1-1-

1-

L L L

L

2)

32

13

1211

n

1n

432

4

23

4

3

t6

1t

2

3t31)t(f

s

!3

!3

1

s

!2

!2

3

s

!1

!1

3

s

1)s(F

t

s

!n

:utilizando

s

1

s

3

s

3

s

1

s

1s3s3s

s

)1s()s(F

1-

1-1-1-

1-

L

L L L

L

3)

4

1411

5252

n

1n

52

t2t)t(f

s

!4

!4

48

s

!1

s

148

s

1

s

48

s

1

t

s

!n

:utilizando

s

48

s

1)s(F

1-1-

1-1-1-

1-

L L

L L L

L

4)

t4

1

41

41

ta

41

e)t(f

s

1

4

1

s

1

4

1

eas

1

:utilizando

s

1

4

1

1s4

1)s(F

1s4

1)s(F

4

1

1-1-

1-

L L

L

88

5)

t7sen7

5)t(f

7s

7

7

5

49s

5

ktsenks

k

:utilizando

49s

5)s(F

222

22

2

1-1-

1-

L L

L

6)

tcos)t(f

s

s

s

s

ktcosks

s

:utilizando

s

s

1s4

s4)s(F

1s4

s4)s(F

21

224

12

22

4122

2

21

1-1-

1-

L L

L

7)

t8senh8

3)t(f

8s

8

8

3

64s

3

ktsenks

k

:utilizando

64s

3)s(F

222

22

2

1-1-

1-

L L

L

8)

t3sen2t3cos2)t(f

3s

3

3

6

3s

s2

9s

16

9s

s2

9s

6

9s

s2

9s

6

9s

s2

9s

6s2

ktsenks

kyktcos

ks

s

:utilizando

9s

6

9s

s2

9s

6s2)s(F

9s

6s2)s(F

2222

22

22

222

2222

222

2

1-1-

1-1-

1-1-

1-1-

1-1-

L L

L L

L L

L L

L L

9)

t

ta

e)t(f

ss

ssss

eas

ys

:utilizando

ssss)s(F

).apendicever(

:parcialesfraccionescon

ss)s(F

3

3

1

3

1

31

31

31

31

2

31

31

2

2

3

11

33

1

11

1

33

1

15

3

1

1-1-

1-1-

1-1-

L L

L L

L L

89

10)

tt

ta

eetf

ss

ssss

s

eas

utilizando

ssss

ssF

apéndicever

parcialesfraccionescon

ss

s

ss

ssF

dofactorizan

ss

ssF

3

4

3

4

1

1-

43

1-

41

43

41

1-

2

1-

1-

43

41

2

2

)(

3

1 L

1

1 L

31 L

32 L

1 L

:

31)3)(1()(

)1.5(

:

)3)(1(32)(

:

32)(

11)

tsent)t(f

ss

ss)s(s

ktsenks

k,t

s

!n

:utilizando

ss)s(s)s(F

).everapéndic(


)s(s)s(F

n

n

2

2

21

24

1

44

1

15

4

1

81

41

2281

241

22

41

2

41

22

221

2

41

2

41

22

22

1-1-

1-1-

1-1-

L L

L L

L L

90

4.4. Ejercicios. Utilice las tablas de la

Transformada Inversa de Laplace para hallar f(t), dada F(s)

1) 5s

)3s2()s(F

3

2) 2

3s

2)s(F

3) 2s5

1)s(F

4) 16s

s10)s(F

2

5) 81

1)(

2s

ssF

6) 20ss

1)s(F

2

7) )3s)(3s(

3s)s(F

8) )2s)(1s)(1s(s

1s)s(F

2

9) 9s

1)s(F

4

10) )4s)(1s(

3s6)s(F

22

91

4.5. TEOREMAS DE TRASLACIÓN DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

La definición de la Transformada de Laplace de una función f(t), dada por

0

dt)t(fe)t(f st L

No es conveniente utilizarla siempre, por ejemplo al evaluar ktsenet t2 L con tal definición,

resulta bastante complicada. En adelante se presentan algunos Teoremas que ahorran bastante

trabajo, éstos a su vez, permiten elaborar una tabla más extensa de Transformadas de Laplace sin

necesidad de utilizar la definición de la Transformada Laplaciana.

4.5.1. El Primer Teorema de Traslación

Si se sabe que L {f(t)}= F(s), entonces puede calcularse la Transformada de Laplace )t(feat L

sin más esfuerzo que trasladar o correr F(s) a F(s - a). Este resultado se conoce como el Primer

Teorema de Traslación o primer Teorema de corrimiento.

Definición.

Si a es un número real cualquiera, entonces

)as(F)t(feat L

Donde

F(s) = L {f(t)}

La forma inversa del Primer Teorema de Traslación puede escribirse como

ass

at )s(F)as(F)t(fe 1-L 1-L

92

4.5.1. Ejemplos. Utilice el Primer Teorema de

Traslación para calcular la Transformada de Laplace de f(t), o la Transformada Inversa de Laplace F(s), según sea el caso.

1)

3

6ss

36ss22t6

at

1n

2t6

)6s(

2)s(F

s

!2tte

)as(F)t(feys

!nt

:utilizando

te)t(f

n

L L

L L

2)

t3

4

1t

4

1

41

41

41

41

2

t22

3

123

at

ass

n

1n

33

3

ee)t(f

3s

1

1s

1

3s1s3s2s

s

et2

1

)2s(

1

s

!2

!2

1

)2s(

1

)t(fe)s(F

t

s

!n

:utilizando

s

1

)2s(

1

)2s(

1)s(F

2ss

2ss

1-1-

1-1-

1-

1-1-

1-

1-

1-1-

L L

L L

L

L L

L

L

L L

3)

2

210sst10

at

1n

t10

)10s(

1)s(F

s

!1tet

)as(F)t(feys

!nt

:utilizando

et)t(f

10ss

n

L L

L L

4)

tt

1ss1ss

ete)1s(

s

)t(fe)s(F

yt

s

!nt

s

1

:utilizando

s

1

s

1

)1s(

1

)1s(

1s

)1s(

11s

)1s(

s

)1s(

s)s(F

2

at

ass

n

1n

2

22

22

2

1-

1-

1-1-

1-1-

1-1-

1-1-

Lf(t)

L

L, L

L L

L L

L L

93

5)

)sentt(cose)t(f

tsene2tcose5s4s

s

)t(fe)s(F

yktsenks

k,ktcos

ks

s

:utilizando

1s

12

1s

s

12)2s(1)2s(

2s

12)2s(1)2s(

2s

1)2s(

22s

1)2s(

s

5s4s

s

1)2s(

s

1)4s4s(

s

5s4s

s

:cuadradotrinomio.complet

5s4s

s)s(F

t2

t2t2

2

at

ass

2222

22

2

22

22

222

2

2ss2ss

1-

1-

1-1-

1-1-

1-1-

1-1-

1-1-

Lf(t)

L

L L

L L

2 L L

2- L L

L L

6)

4)1s(

1s

2

1

1s

1

2

1)s(F

4s

s

2

1

1s

1

2

1

t2cose2

1e

2

1

t2cose2

1e

2

1

2

t2cos1etsene

)as(F)t(fe

ks

sktcos

2

t2cos1tsen

:utilizando

tsene)t(f

2

tt

tt

t2t

at

22

2

2t

1ss2

L L

L

L L

L

L

7)

tsene10s6s

1

)t(fe)s(F

yktsenks

k

:utilizando

1s

1

10s6s

1

1)3s(

1

910)9s6s(

1

10s6s

1

:cuadradotrinomio.complet

10s6s

1)s(F

t3

2

at

ass

22

22

222

2

3ss

1-

1-

1-

1-1-

L

L

L

L L

94

8)

2

1

32

23223

32332

23232

233

32332

32

2

11

1

1

1

111

1

3

1

2

1

131

1

2

1

2

1

22

1

1

1

2

1

12

1

3

1

2

1

131

1

1

1

2

1

2

1

22

1

2

1

1

1

2

1

12

15

1

12

teet)t(f

)t(fe)s(F

yts

!n

utilizando

)s(sss)t(f

s)s()s(ss)s()s()s(s

)s(s)s(s)s(s

s

s)s()s(ss)s(s

)s()s()s(s)s(s

)s(s)s(s)s(s

s

.).apéndicever(

:parcialesfraccionesutilizando

)s(s

s)s(F

tt

at

ass

n

n

1-

1-

1-

1-1-

1-1-

L

L

L

L L

L L

95

4.5.1. Ejercicios. Utilice el Primer Teorema de

Traslación para calcular la Transformada de Laplace de f(t), o la Transformada Inversa de Laplace F(s), según sea el caso

1) 2)4s(

2)s(F

2) t74et)t(f

3) 5s2s

1)s(F

2

4) t3coshe)t(f t

5) 34s6s

5s2)s(F

2

6) t3cose)t(f 2t

7) 4)2s(

1s)s(F

8) 2t2t )ee(t)t(f

9) 4)1s(

1)s(F

10) t512et)t(f

96

4.5.2. EL SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACIÓN

En el primer teorema de traslación se vio que un múltiplo exponencial de f(t) resulta una traslación o

corrimiento de la Transformada F(s) sobre el eje s. En el siguiente teorema se verá que siempre que

F(s) se multiplique por una función exponencial apropiada inversa de este producto, se tendrá

también una función corrida, definida mediante el Segundo Teorema de Traslación o segundo

Teorema de corrimiento

Definición.

Si a es un número real positivo, entonces

)()()( sFeatuatf sa L

Donde

F(s) = L {f(t)}

Y la función escalón unitario U(t - a) se define mediante:

at,1

at0,0)at(u

Observe que la función U(t - a) quedará definida sólo en el eje t no negativo, ya que eso basta para

estudiar la Transformada de Laplace

La forma inversa del Segundo Teorema de Traslación puede escribirse como

)()()( sFeatuatf sa 1-L

97

4.5.1. Ejemplos. Utilice el Segundo Teorema

de Traslación para calcular la Transformada de Laplace de f(t), o la Transformada Inversa de Laplace F(s), según sea el caso

1)

s

2

s

2

s

1n

sa

es

1sF

es

1et1t1t

s

nt

ysFeatuatf

utilizando

1t1ttf

n

)(

)U()(

!

)()()(

:

)U()()(

L L

L

L

2)

s2

2

s2s2

2

s2s2

1n

sa

es

2

s

1sF

es

2e

s

1e12et

2t2

2t2t2t22t2t

s

nt

ysFeatuatf

utilizando

2t22t2ttf

2t22ttf

2tttf

n

)()(

)U(

)U()()U()U()(

!

)()()(

:

)U()U()()(

)U()()(

)U()(

L L

L

L L

L

L

3)

)()()(

)()(

)(!!

!

)()()(

!

:

)(

2tu2t2

1tf

2tu2t2

1

s

e

2tus

2

2

1e

s

2

2

1

s

e

atuatfsFe

yt

s

n

utilizando

s

esF

2

2

12

s2

12

s2

123

s2

sa

n

1n

3

s2

1-

1-1-1-

1-

L

L L L

1-L

L

4)

)()(

)(

)()()(

:

)(

tutsen1s

e

tu1s

1

1s

e

atuatfsFe

yktsen

ks

k

utilizando

1s

esF

2

s

222

s

sa

22

2

s

1-

1-1-

1-

L

L L

1-L

L

98

5)

s

s

s

et2sF

e2t2

et21tt2

ks

skt

ysFeatuatf

utilizando

tt2tf

22

sa

cos)(

)cos(

)(cos)U(cos

cos

)()()(

:

)U(cos)(

L

L

L

6)

))(()(

)()()(

)()(

tan

)(

)()()(

!

)()()(

:

)()(

ts

ts

s

s

1n

sa

s

e11tu1ss

e

1tue1tu1ss

e

1tu1s

1

s

1

1ss

e

tolopor

1s

1

s

1

1ss

1


1tu1ss

1

1ss

e

s

nt

ysFeatuatf

utilizando

1ss

esF

n

1-

1-

1-

1-1-

L

L

L

L L

L

L

4.5.1. Ejercicios. Utilice el Segundo Teorema

de Traslación para calcular la Transformada de Laplace de f(t), o la Transformada Inversa de Laplace F(s), según sea el caso

1) 2s

esF

s2

)(

2) )()( 2tuetf t2

3) )(

)(1ss

esF

2

s2

4) )()(2

tusenttf

5) 4s

essF

2

2s

)(

6) t3cose)t(f 2t

99

4.6. LA DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Si F(s) = L {f(t)} y si se supone que es posible intercambiar el orden de derivación e integración,

entonces

)(

)(

)(

)(

)()(

sFds

dt

tsFds

d

dttfte

dttfes

dttfeds

dsF

ds

d

0

st

0

st

0

st

- }f(t){ L

}f(t){ L

En forma similar

)(sFds

dt

2

22 - }f(t){ L

En general, para n=1,2,3,……

)(sFds

dt

n

nn n(-1) }f(t){ L

Donde

F(s) = L {f(t)}

100

4.6. Ejemplos. Utilice la derivada de una Transformada Laplace para calcular F(s), dada una función f(t). 1)

2

t5t5

at

n

nn

t5

5s

1

5s

1

ds

de

ds

det

as

1e

ysFds

dt

utilizando

ettf

}{ L }{ L

L

(-1) }f(t){ L n )(

:

)(

2)

22

at

n

nn

9s

s6

9s

s23

9s

3

ds

dt3sen

ds

dt3sent

as

1e

ysFds

dt

utilizando

t3senttf

22

2

)(

)(

:

)(

}{ L }{ L

L

(-1) }f(t){ L n

3)

222

222122

22

22

n

nn

1s

s2sF

1ss21sds

d

1s

1

ds

dhtsen

ds

dhtsent

ks

kktsenh

ysFds

dt

utilizando

htsenttf

)()(

)()(

)(

:

)(

}{ L }{ L

L

(-1) }f(t){ L n

4)

22

2

22

2

22

2

2

22

n

nn

9s

9ssF

9s

9s

9s

s2s9s1

9s

s

ds

dt3

ds

dt3t

ks

skt

ysFds

dt

utilizando

t3ttf

)()(

)()(

)()(

coshcosh

cosh

)(

:

cosh)(

}{ L }{ L

L

(-1) }f(t){ L n

101

4.6. Ejercicios. Utilice la Derivada de una Transformada Laplace para calcular F(s), dada una función f(t).

1) t72ettf )(

2) t6ttf cos)(

3) t2senttf 2)(

4) t52ettf )(

5) t3ttf 23 cos)(

102

4.7. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA DERIVADA

Ahora se utilizará la Transformada de Laplace para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Para lo cuál será necesario evaluar expresiones tales como

)()()´(

)()(

)(

)`()´(

0fssFtf

tfs0f

dttfese

dttfetf

0

st

0

0

st

st

L

L

L

De forma similar

)´()()()´´(

)´()()()´´(

)´()´(

)´()´(

)´´()´´(

0f0sfsFstf

0f0fssFstf

tfs0f

dttfestfe

dttfet

2

stst

st

0

0

0

L

L

L

L

Para la n-ésima derivada de f(t), se tiene:

)(......)()()()( )()()()( 0f0fs0fssFstf 1n2n1nnn L

Donde

F(s) = L {f(t)}

103

4.7. Ejemplos. Utilice la Derivada de una

Transformada Laplace para resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 1)

te)t(y

finalmente

ss)s(F)t(y

ss)s(s

ss)s(s

.).apéndicever(


)s(s)s(Y

s)s(Y)s(

s)s(Y)s(sY

s)s(Y)(y)s(sY

)(enosutituyend

s

y)s(Yy

)(y)s(sY)t´(y

utilizando

)......(..........yy

yy

)(y,yy

1

1

11

1

11

1

1

1

11

1

1

15

1

1

11

10

10

1

11

0

11

1

001

L LL

L L

L

L

L

L L L

L L

1-1-1-

1-1-

2)

tt

at

t

t

t

t

ete)t(y

finalmente

et)as(

con

)s(s)s(F)t(y

)s()s()s(s

)s()s()s(

s

.).apéndicever(


)s(

s)s(Y

)s(

s

)s(

s)s(Y)s(

s)s(Y)s(

s)s(Y)s(sY

s)s(Y)(y)s(sY

)(enosutituyend

se

y)s(Yy

)(y)s(sY)t´(y

utilizando

)......(..........eyy

eyy

)(y,eyy

44

2

2

2

22

2

4

4

4

4

172

1

4

117

4

12

4

17

4

2

1

1

4

17

4

2

4

92

15

4

92

4

92

4

8214

24

14

4

124

4

140

1

4

1

0

14

4

204

L

L LL

L L

L

L

L

L L L

L L

1-

1-1-1-

1-1-

104

3)

tt eett)t(y

finalmente

s)s(ss)s(F)t(y

s)s(sss)s)(s(

s

s)s(sss)s)(s(

s

).apéndicever(


s)s)(s(

s

s)ss(

s)s(Y

s

s

s)ss)(s(Y

s)s(Y)s(sY)s(Ys

s)s(Y))(y)s(sY()´(y)(sy)s(Ys

)(enosutituyend

st

y)s(Yy

)(y)s(sY)t´(y

)´(y(sy)s(Ys)t´´(y

utilizando

)......(..........tyy´´ý

tyy´ý

)´(y,)(y,tyy´ý

33

22

222

2

222

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

9

10

9

10

27

2

9

1

3

1

27

2

3

1

9

11

27

21

9

1

3

1

27

2

3

1

9

11

27

21

9

1

33

1

3

1

27

2

3

1

9

11

27

21

9

1

33

1

15

33

1

96

1

11

196

1961

190600

1

1

0

00

196

96

100096

L L L LL

L L

L

L

L

L

L L L L

L L

1-1-1-1-1-

1-1-

105

4)

)cos(cos)(

)()(

cos)(

cos

)()(

)()()(

)()(

))((

)()(

)()´()()(

)(

)()(

)´(()()´´(

)......(..........´´

´´

)´(,)(,´´

ttsent2

1tty

finalmente

1s

2

2

1

1s

sty

ktktsenktks

k2ykt

ks

s

utilizando

1s

1

1s

sty

1s

1

1s

ssFty

1s

1

1s

ssY

1s

1s1ssY

1s

1sYssYs

1s

1sY0y0sysYs

1enosutituyend

ks

kktsen

ysYty

0y0sysYsty

utilizando

1sentyy

sentyy

00y10ysentyy

222

222

3

22

222

222

222

2

2

2

2

2

2

22

2

L L

L L

L L

LL

L

L

L

L L L

L L

1-1-

1-1-

1-1-

1-1-

5)

t25

156

64242

4

2

4

2

4

2

1n

atn

2

t23

t23

t23

et15

2ty

finalmente

2s

5

5

6

2s

16sFty

2s

6

3s2s

6

2s4s4s

6sY

2s

64s4ssY

2s

6sY4ssY4sYs

2s

6sY40yssY40y0sysYs

1enosutituyend

as

net

ysYy

0yssYty

0y0sysYsty

utilizando

1ety4y4y

ety4y4y

00y00yety4y4y

)(

)(

!

!)()()(

)()()())(()(

)())((

)()()()(

)()())()(()´()()(

)(

)(

!

)(

)()()´(

)´(()()´´(

)......(..........´´´

´´´

)´(,)(,´´´

L LL

L

L

L

L

L L L L

L L

1-1-1-

106

6)

sentetcosee)t(y

finalmente

)s()s(

s

ss)t(y

)s()s(

s

ss)t(y

ssss

s

ss)s(F)t(y

ss

s

ss)ss)(s(s

s

ss

s

ss)ss)(s(s

s

).apéndicever(


)ss)(s(s

s)s(Y

)ss)(ss(

s

))s)((ss(

s)s(Y

)s(

s)ss)(s(Y

)s(

s)s(sY)s(Ys

)s(

s))(y)s(sY()´(y)(sy)s(Ys

)(enosutituyend

k)as(

asktcose

y)(y)s(sY)t´(y

)´(y(sy)s(Ys)t´´(y

utilizando

)......(..........tcosey´ý

tcosey´ý

)´(y,)(y,tcosey´ý

ttt

at

t

t

t

2

3

2

74

2

1

11

1

2

3

11

1

2

7

1

14

1

2

1

11

15

11

11

2

7

1

14

1

2

1

22

15

222

7

1

14

1

2

1

22

5

1

14

1

2

1

221

1

22

5

1

14

1

2

1

221

1

15

221

1

22

1

11

1

11

1

11

1

11

1000

1

0

00

1

0000

22

22

22

2

2

7

2

2

2

7

2

2

2222

2

2

2

2

2

2

22

2

L L L L

L L L L

L L L LL

L L

L

L

L

L L L

L L

1-1-1-1-

1-1-1-1-

1-1-1-1-1-

1-1-

107

7)

)cos(cos)(

)()(

cos)(

cos

)()(

)()()(

)()(

))((

)()(

)()´()()(

)(

)()(

)´(()()´´(

)......(..........´´

´´

)´(,)(,´´

ttsent2

1tty

finalmente

1s

2

2

1

1s

sty

ktktsenktks

k2

yktks

s

utilizando

1s

1

1s

sty

1s

1

1s

ssFty

1s

1

1s

ssY

1s

1s1ssY

1s

1sYssYs

1s

1sY0y0sysYs

1enosutituyend

ks

kktsen

ysYty

0y0sysYsty

utilizando

1sentyy

sentyy

00y10ysentyy

222

222

3

22

222

222

222

2

2

2

2

2

2

22

2

L L

L

L

L L

LL

L

L

L

L L L

L L

1-1-

1-

1-

1-1-

1-1-

4.7. Ejercicios. Utilice la Derivada de una

Transformada Laplace para resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

1) 10yty2y )(,´

2) 00ytsenyy )(,´

3)

30y00y0y13y6y )´(,)(,´´´

4) 00y10y0y4y4y )´(,)(,´´´

5) 00y00ytsenhey2y t )´(,)(,´´´

6)

00y10yey2y3y3y2 t )´(,)(,´´´´´´

7)

00y00y00y10ytyy 4 )´´´(,)´´(,)´(,)(,)(

108

4.8. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA INTEGRAL. EL TEOREMA DE

CONVOLUCIÓN

Definición. Sean f(t) y g(t) dos funciones continuas tramo a tramo en [0,∞) y de orden exponencial,

entonces:

dttgedftgtf

bieno

sGsFtgtf

0

st )()()(*)(

)()()(*)(

L

g(t) Lf(t) L L

Expresión conocida como el Teorema de Convolución.

Cuando g(t)=1 y G(s)=1/s, el Teorema de la Convolución implica la Transformada de Laplace de una

integral de una función f(t). Para lo cuál se tiene:

s

sFdf

t

0

)()( L

El Teorema de Convolución también es útil para encontrar la Transformada inversa de Laplace de

un producto de dos Transformadas. Para lo cual se tiene:

)(*)()()( tgtfsGsF-1 L

109

4.8. Ejemplos. Utilice la Transformada de

Laplace de una Integral o el teorema de la Convolución para resolver los siguientes problemas, según sea el caso 1)

2)

1s

1

s

1

s

1de

e1tde

e1tde

etde

evddu

dedvu

deede

partesporegrando

de

2

t

tt

tt

tt

t

t

ttt

t

t

0

t

0

t

0

t0

t

0

t

0

t

0

t

0

t

0

L

L- L L L

L L

L L

L L

L

int

3)

5

3

5

44

3

433

33

3

s

6t1

s

4

4

1t

4

1

4

tt1

4

uduut1

dudddu

tu

iabledecambiocon

dt1t1

t1

t

0

t

0

t

0

t

0

L

L L L

L L L

L L

L

!)(

var

)(

1s

1tsend

0tsensend

d

2

t

0

t

0

t

0

t

0

t

0

L L

L L L

L

cos

cos

cos

110

4)

1s

1

5

2

1s

s

5

1

2s

1

5

1dtsenesente

finalmente

tsen5

2t

5

1e

5

1dtsene

tsen2tedtsene5

tsene2tedtsene41

osterultimoyprimeragrupando

dtsene4tsene2tedtsene

tsenvde2du

dtdveu

partesporegrando

dte2tesente

tvde2du

dtsendveu

partesporegrando

dtsenesente

sente

22

2t2

t22

t22

2t22

22t22

2

2

2t2t2

2

2

2t2

t2

t

0

t

0

t

0

t0

t0

t

0

t

0

t0

t0

t

0

t

0

t0

t

0

)(

cos)(

cos)(

)()cos()()(

min

)()()cos()(

)(

)cos(

int

)cos()cos(

)cos(

)(

int

)(

L L

L L L L

L L

L L

L L

L L

L L

L

111

5)

t3t

t3

t3

3

3

2

t2

t

t2

ee3

1

1s2s

1

e1e3

1

1s2s

1

1ee3

1

1s2s

1

ee3

1

1s2s

1

dee1s2s

1

deee1s2s

1

dee1s2s

1

dtgf1s2s

1

tolopor

e1s

1

ye2s

1

donde

1s2s

1

t

t

t0

t

t

0

t

t

0

t

t

0

t

0

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

Lf(t)

L

L

L

L

L

L

L

Lg(t)

Lf(t)

L

)()(

:tan

6)

t11ss

1

t01ss

1

t1ss

1

dtsen11ss

1

dtgf1ss

1

tolopor

tsen1s

1

y1s

1

donde

1ss

1

2

2

2

2

2

2

2

t0

t

0

t

0

cos

)cos(cos

)cos(

)(

)()(

:tan

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

Lf(t)

L

L

L

L

Lg(t)

Lf(t)

L

112

7)

t4t

t4

t0

t4

t

0

t4

t

0

t

0

t

0

e3

1e

3

1

4s5s

1

1ee3

1

4s5s

1

ee3

1

4s5s

1

dee4s5s

1

deee4s5s

1

dee4s5s

1

dtgf4s5s

1

tolopor

e4s

1

ye1s

1

donde

4s1s

1

4s5s

1

4s5s

1

2

t3

2

3

2

3

2

4t4

2

t4

2

2

t4

t

2

2

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-

1-1-

1-

Lf(t)

L

L

L

L

L

L

Lg(t)

Lf(t)

L L

L

)(

)()(

:tan

4.8. Ejercicios. Utilice la Transformada de

Laplace de una Integral o el teorema de la Convolución para resolver los siguientes problemas, según sea el caso

1)

t

0

dtsen )cos( L

2)

t

0

d2 cos L

3)

t

0

det 2 L

4) sentt2 L

5) te t2 cos L

6) tee tt cos L

7) 8s4s

1 L 1-

8) 21s

1 L 1-

9) 7s8s

12

L 1-

113

4.9. APLICACIONES

4.9.1. SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Cuando se especifican condiciones iniciales, la Transformada de Laplace reduce un sistema de

ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de la forma:

)x(fy)x(adx

dya.............

dx

yda

dx

yda

)x(fy)x(adx

dya.............

dx

yda

dx

yda

n,n,nn

n

n

n,nn

n

n

n,n

n,n,nn

n

n

n,,nn

n

n

n,n

10011

111

1

1

111

001

11

1

1

1

.

.

.

.

)x(fy)x(adx

dya.............

dx

yda

dx

yda ,,n

n

n

n,,n

n

n

n, 00001

101

1

1

100

Sujetas bajo las condiciones iniciales o de frontera siguientes:

0010

2

10

1 y)x(y,.........y)x(y,y)x(y ón

n

nn

n

n

A un sistema de ecuaciones lineales bajo las funciones trasformadas bajo la variable s. Las cuales

se resolverán por los métodos adecuados (igualación, sustitución, suma y resta, Gauss, Cramer,

etc). Finalmente se aplicará la trasformada inversa para encontrar la solución al sistema de

ecuaciones diferenciales lineales.

114

4.9.1. Ejemplos. Utilice el método de la

Transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 1)

tt eetx

sL

sLsXL

ssLsXL


sssssX

ss

sssX

ssssX

s

sXsYssX

yigualando

s

sXsY

sXssY

sXyssY

xLdt

dy

sYssX

sYsXssX

sYsXxssX

yLxLyxLdt

dx

xdt

dy

yxyxdt

dx

2

11

31

31

1

2

2

31

31)(

2

1

31

1

1

31)(

21)(

:

)3.....()1)(2(

1

2

1)(

12)(

121)(

1)(2)(1)(

:)2()1(

)2.....(1)(2

)(

)(21)(

)(2)0()(

2 L

)1).....((1)(

)()(0)(

)()()0()(

L

2

1)0(,0)0(,

1

1

tt

tt

eety

eety

sL

sL

sL

sL

sLty

sL

ssL

ssLsYLty


sL

ssL

ssLsYLty

ssssssssssY

endosustituyen

2

2

11

111

1

21

21

11

1

11

31

31

31

32)(

13

13

13

23

2)(

1

2

1

31

1

31

1

1

321

32)(

1

232

1

11

32)()(

:

1

)2(

1

32

)1(

1

32)()(

1

)2(

1

32

)1(

1

321

21

2)(

:)2()3(

1

1

115

2)

)t6cosht6(cosh2

1)t(x

6s

6

62

1 L

2

1

6s

s L

2

1)t(x

6s

6

62

1

6s

s

2

1 L)s(X L)t(x

6s

6

62

1

6s

s

2

1

6s

1s

2

1

s6

1s

2

1)s(X

2

1

1s

s6)s(X

1s

5s1)s(X

2

1

1s

5)s1)(s1()s(X

2

1

1s

5s1)s(X

1s

)s(X5)s(Y)s1)(s(X

2

1

:)2(y)1(igualando

)2....(1s

)s(X5)s(Y

)s(X5)s(Y)1s(

)s(Y)s(X5)s(sY

)s(Y)s(X5)0(y)s(sY

yLxL5yx5Ldt

dy L

)1)....(s1)(s(X2

1

2

)1s)(s(X1)s(Y

)1s)(s(X1)s(Y2

)s(Y211s)s(X

)s(Y2)s(X)1()s(sX

)s(Y2)s(X)0(x)s(sX

yL2xLy2xLdt

dx L

yx5dt

dy

0)0(y,1)0(x,y2xdt

dx

2

1-

2

1-

22

1-1-

2222

22

tttt

11

11

111

2

1

2

11

22

e3

1e3

21e3

13

1e3

23

2)t(y

2s

1L

31

s

1L

31

1s

1L

32

s

1L

32

2s

21

s

21

L3

21s

1

s

1L

32)s(YL


)6s)(1s(

6L

62

5

)6s)(1s(

sL

2

5)s(YL

6s

6

62

1

6s

s

2

1

1s

5

1s

)s(X5)s(Y

:)2(en)3(dosustituyen

116

3)

s1

1

s

1 L

2

3)t(y

s1

1

s

1

)s1(s

1


)s1(s

1

2

3 L)s(Y L)t(y

)3....()s1(s

1

2

3)s(Y

s

3s22)s(Y

___________________

s

4)s(sY2)s(sX2

s

1)s(Y2)s(sX2

)2por)2(ndomultiplicaepreviament(

:)1(de)2(dotanres

)2....(s

2)s(sY)s(sX

s

2)0(y)s(sY)0(x)s(sX

1 L2dt

dyL

dt

dx L

2 Ldt

dy

dt

dx L

)1....(s

1)s(Y2)s(sX2

s

1)s(Y2)0(x2)s(sX2

1 Ly L2dt

dx L2y2

dt

dx2 L

2dt

dy

dt

dx

0)0(y,0)0(x,1y2dt

dx2

1-

1-1-

t

1-1-

2

1-

2

1-

1-

2

22

22

22

22

t

1-1-

1-

e2

3

2

3t2)t(x

s1

1 L

2

3

s

1 L

2

3

s

1 L2)t(x

s1

1

2

3

s

1

2

3

s

12 L)t(x

X(s) L)t(x

s1

1

2

3

s

1

2

3

s

12)s(X

s1

1

2

3

s

1

2

3

s

1

2

3

s

1

2

1)s(X

s1

1

s

1

s

1

2

3

s

1

2

1)s(X

s1

1

s

1

s

1

)s1(s

1


)s1(s

1

2

3

s

1

2

1)s(X

s

1

)s1(s

1

2

32)s(sX2


e2

3

2

3)t(y

s1

1 L

2

3

s

1 L

2

3

s1

1

s

1 L

2

3)t(y

117

4)

34

13

1

14

1

4

1

5

1

45

11

45232

23

2

2

22

3

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

22

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t3

1t

24

1)t(y

s

!3L

!3

2

s

!4L

!4

1

s

2L

s

1L)t(y

s

2

s

1L)s(YL)t(y

)3....(s

2

s

1

s

4

s

2

s2

1)s(Y

s

4

s

2)s(Ys2

___________________

s

4)s(Yss8)s(Xs

s

2)s(Yss8)s(Xs

:)1(a)2(dotanres

)2....(s

4)s(Yss8)s(Xs

s

4))0´(y)0(sy)s(Ys

()0´(x)0(sx)s(Xs

t L4dt

ydL

dt

xd L

t4 Ldt

yd

dt

xd L

)1....(s

2)s(Yss8)s(Xs

s

2)0´(y)0(sy)s(Ys

)0´(x)0(sx)s(Xs

t Ldt

yd L

dt

xd L

t Ldt

yd

dt

xd L

0)0´(y,0)0(y,t4dt

yd

dt

xd

0)0´(x,8)0(x,tdt

xd

dt

xd

43

14

11

13

1

5

11

4

1

54

1

54

322

232

2

245

22

t24

18t

3

1)t(x

s

!4L

!4

1

s

1L8

s

!3L

!3

2)t(x

s

1L

s

8L

s

2L)t(x

s

1

s

8

s

6L)t(x

s

1

s

8

s

2)s(X

s

1s8

s

2

s

1)s(X

s

4

s

1

s

2s8)s(Xs

s

4

s

2

s

1ss8)s(Xs


118

5)

tt

1

2

11

2

11

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

2

2

t

2

2

2

2

2

2

2

2

t

2

2

2

2

e3

1te

3

1

3

1)t(y

1s

1L

3

1

1s

1L

3

1

s

1L

3

1)t(y

1s3

1

1s3

1

s3

1L)s(YL)t(y

)3....(1s3

1

1s3

1

s3

1

1ss3

1)s(Y


1ss3

1)s(Y

1s

1)s(sY3

_____________________________

1s

1)s(Y32)s(Xs

0)s(Y)1s(32)s(Xs

:)1(a)2(dotanres

)2....(1s

1)s(Y32)s(Xs

1s

1)s(Y3)0´(x)0(sx)s(Xs

te LyL3dt

xd L

te Ly3dt

xd L

)1....(0)s(Y)1s(32)s(Xs

0)s(Y3)0(y3)s(sY3)0´(x)0(sx)s(Xs

0 Ly L3dt

dy L3

dt

xd L

0 Ly3dt

dy3

dt

xd L

0)0´(y,0)0(y,tey3dt

xd

2)0´(x,0)0(x,0y3dt

dy3

dt

xd

t2

1

3

1

2

11

32

1

1

32

232

22

232

2

22

2

22

2

et2

1t1)t(x

1s

1L

s

!2L

!2

1

s

!1L

!1

1

s

1L)t(x

1s

1

s

1

s

1

s

1L)t(x

)s(XL)t(x

1s

1

s

1

s

1

s

1)s(X

1s

1

s

1

s

1

s

1

s

2)s(X

1s

1

s

1

s

1

)1s(s

1

:pàrcialesfraccionescon

)1s(s

1

s

1

s

2)s(X

1s

1

s

12)s(Xs

1s

1

1s

1

)1s(

1

s

12)s(Xs

1s

1

1s3

1

1s3

1

s3

132)s(Xs


119

4.9.1 Ejercicios. Utilice el método de la

Transformada de Laplace para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 1)

tx8dt

dy

1)0(y,1)0(x,ey2dt

dx t

2)

teydt

dyx

dt

dx

0)0(y,0)0(x,1dt

dyx3

dt

dx

3)

2y3x3dt

dy

dt

dx

0)0(y,0)0(x,1x2dt

dy

dt

dx

4)

5)0´(y,0)0´(x,0dt

dx4

dt

dy

dt

yd

1)0(y,1)0(x,0dt

dy

dt

dx

dt

xd

2

2

2

2

5)

0)0´(y,0)0´(x,0dt

xd2x2

dt

dx

0)0(y,0)0(x,tsen6dt

ydx4

dt

dx

2

2

2

2

===-+

===+-

120

E

R

L

C

4.9.2. CIRCUITOS RCL EN PARALELO

Un sistema físico se puede describir por medio de una sola ecuación diferencial, por ejemplo el

movimiento de un sistema masa-resorte o la respuesta de un circuito en serie. Sin embargo si se

sujetan dos (o mas resortes juntos o si se forma un circuito en paralelo o con mas de una malla,

como el de la figura, se necesitará un sistema de dos o mas ecuaciones diferenciales

simultáneas para describir la respuesta del circuito.

Es importante recordar que se deben cumplir los principios de conservación de la energía, expresadas

mediante los teoremas de Nodos y Mallas de las Leyes de Kirchhoff:

Para cualquier nodo del circuito:

0si

Para cualquier malla del circuito:

0sV

121

E=120 V

L=1 H

C=0.2 F

R1=10 Ώ

i1

i2

i3

A

I II

R2=5 Ώ

4.9.2. Ejemplos Calcule lo que se te pide en los siguientes circuitos en paralelo

1) Determine las corrientes en el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:

Bajo las siguientes condiciones iniciales:

Amp)(i)(i)(i 0000 321

Aplicando las Leyes de Kirchhoff:

Nodo A:

)....(iii

is

1

0

321

Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:

Malla I:

)....(idt

di

:ordenando

dt

dii

dt

diLEiR

V

212010

012010

0

0

21

12

121

122

Malla II:

055155

05501505

0515

055155

7120

10

0000

120100

112010

12010

62

6055155

0555510

05510

45

5

1

401055

01055

301055

01

0

2121

212211

2121

2121

21

3211

211

21

21

2121

21212

21212

213

23

3

233

233

21332

)s(I)s(I)s(sI)s(sI

)s(I)s(I)(i)s(sI)(i)s(sI

iidt

di

dt

di

iidt

di

dt

di

)....(s

)s(I)s(sI

:)(i)(i)(iinicialesscondicionelasde

s)s(I)(i)s(sI

idt

di

idt

di

:)(y)(aLaplacededaTransformalaaplicando

)....(iidt

di

dt

di

iidt

di

dt

di

dt

di

)ii(iidt

d

dt

di

:)(en)(dosustituyen

)....(iii

:)(ecuacionlade

)....(dt

dii

dt

di

dt

didt)t(ii

dt

d

:derivando

)....(idt)t(ii

iRdt)t(iC

iR

V

L 5L L L 5L-

L L

L L L

L L

123

:)(en)(dosustituyen

)....(et)s(i

sss

)s(i

sss

)s(I)s(i

:)(aInversadaTransformalaaplicando

)....(

sss

ss

s)s(I

:parcialesfraccionesaplicando

)....(

ss

s)s(I

)s(s

s)s(I

ss

s

ss

s)s(I

s

s)s(Is

s

s)s(Is

s

s)s(I)s()s(

)s(I)s()s(I)s(s

s

)s(I)s(s

)s(I

s)s(

s

)s(I

s)s(I

:)(endosustituyeny)s(Idespejando

)....()s(I)s()s(I)s(

t

710

11121

26

11

13

121

26

13

11

1

121

261

11

131

121

26

13

11

1

121

261

11

131

121

26

10

10

13

11

1

121

261

11

131

121

26

13

11

1

13

120

9

13

11

1

13

120

1113

1120

1113

11120

1113

11

5

600

160011135

16005565

1600135150

01351501

600

013510120

15

10120

8

8013515

13

11

2

22

222

22

2

2

2

22

222

22

22

22

222

22

21

1

21

L L L

L L

1-1-1-

1-1-

124 213

13

11

2

1

321

3211

321

321

321

321

21

21

51511

151331

3380

1331

3380

22

130

121

14780

13

11

1

1331

33801

1331

33801

11

1301

121

14780

13

11

1

1331

33801

1331

33801

11

1301

121

14780

10

14

13

11

1

1331

33801

1331

33801

11

1301

121

14780

13

11

1

11

131

11

13

121

2601

11

1301

121

14780

13

11

1

11

131

11

13

121

2601

11

1301

121

14780

1213

13

13

11

1

11

131

11

13

13

11

1

12

12

13

11

1

121

2601

11

1301

121

14780

13

11

1

121

2601

11

1301

121

260120

120

13

11

1

121

261

11

131

121

2610

iii

:)(en)(y)(dosustituyen

)....(ett)t(i

ssss

)t(i

ssss

)s(I)t(i


)....(

ssss

)s(I

ssss

)s(I

ssss

)s(I

:)(en)(dosustituyen

)...(

ss

ss

:)(deominterultimoalparcialesfraccionesaplicando

)....(

ssss

)s(I

ssss

)s(sI

ss

ss)s(sI

t

L L L L

L L

1-1-1-1-

1-1-

125

E=10 V

R1=1 Ώ

C=0.2 F

L=2 H

i1

i2

i3

A

I II

R2=2 Ώ

)....(ett)t(i

etett)t(i

t

tt

161331

3094

22

130121

1331

3094

121

26

11

13

121

26

1331

3380

1331

3380

22

130

121

14780

13

11

2

3

13

11

13

11

2

3



Amp)(i)(i)(i 1000 321

Aplicando las Leyes de Kirchhoff:

Nodo A:

)....(iii

is

1

0

321

Recorriendo las mallas en el sentido de las manecillas del reloj y partiendo del nodo A:

Malla I:

)....(idt

di

:ordenando

idt

di

iRdt

diL

V

202

02

0

0

12

12

112

126

Malla II:

02212

002202

02

022

6352

01522

1000

005022

05

052

53

5022

02

24

4

1

3052

1052

52

01

0

131

13311

131

131

13

133

321

11333

13

3

13

3

131

131

312

13

3

331

331

11332

)s(I)s(sI)s(sI

)s(I)(i)s(sI)(i)s(sI

idt

di

dt

di

idt

di

dt

di

)....()s(sI)s(I)s(

)s(sI)s(I)s(sI

:)(i)(i)(iinicialesscondicionelasde

)(i)s(sI)s(I)(i)s(sI

dt

dii

dt

di

dt

dii

dt

di

:)(y)(aLaplacededaTransformalaaplicando

)....(idt

di

dt

di

i)ii(dt

d

:)(en)(dosustituyen

)....(iii

:)(ecuacionlade

)....(dt

dii

dt

di

dt

ddt)t(iii

dt

d

:derivando

Edt)t(iii

iREdt)t(iC

iR

V

L L L 2L

L L

L L L 2L

L L

127

)....(

s)s(

s

s)s(

s

sss

s

s

s)s(I

:)(en)(dosustituyen

)....(ee)s(I)t(i

)....(

ssss

)s(I)t(i


)....(

ssss

s)s(I

parcialesfraccionesaplicando

)....(

ss

s

ss

s

ss

)s(s

)s(s

s)s(I

ss

)s(s

ss)s(I

:)s(Idespejando

)s(s

ss)s(I

ss

s

s

s

s)s(I

ss

s)s(I

s

)s(

s

)s(sI

s

s

)s(I)s(

s

)s(sI

:)(y)(igualando

)....(s

)s(I)s()s(I

:)(de)s(Idespejando

)....(s

)s(sI)s(I

:)(de)s(Idespejando

)....()s(sI)s(I)s(

)s(I)s(sI)s(sI

tt

14

2

552

2

5

2

152

2

3

52

3

2

5

1

2

5

2

1

1

2

3

5252

3

811

132

5

2

3

12

2

5

1

2

5

2

1

1

2

3

2

5

1

2

5

2

1

1

2

3

11

11

2

5

1

2

5

2

1

1

2

3

2

5

2

1

54

10

2

5

2

1

54

5124

54

5124

522

522

54

5124

522

2

1

52

3

522

5124

2

1

52

3

2

12

522

1

52

3

2

1

2

12

5252

3

2

112

52

3

98

92

112

7

852

3

6

71212

122

3

2

5

2

1

11

11

1

221

21

1

2

1

1

11

11

13

3

13

3

31

131

L

L L L L

1-

1- 1-1-1-

128

)....(etee)t(i

eteeeei

iii


)....(etee)t(i

sss

)t(i

sss

)s(I)t(i

sssss

)s(I)t(i


)....(

ssss

s

)s(I

ssss

s

)s(I


)....(

ssss

s

s)s(

s

)...(

ss

s)s(

s

:parcialesfraccionesaplicando

ttt

ttttt

ttt

192

25

2

7

2

25

2

16

2

5

2

3

41813

182

25

2

16

2

1

1

2

25

2

1

1

2

1

2

5

16

2

5

1

2

25

2

1

1

2

1

2

5

16

2

5

1

2

25

2

5

15

2

1

1

2

1

2

5

15

2

5

16

17

17

2

5

1

2

25

2

5

15

2

1

1

2

1

52

1

2

5

2

5

16

2

5

15

2

5

12

2

5

2

1

1

3

1

52

1

3

5

2

3

2

5

16

141615

16

2

5

15

2

5

12

2

5

2

5

2

552

15

2

1

1

3

1

52

1

3

5

2

152

2

1

2

5

2

1

2

2

1

2

1

2

5

2

5

2

1

2

312

2

1

2

1

2

5

1

23

233

233

23

23

2

L L L

L L

L L

1-1-1-

1-

1-

1-

1-

129

E=cos t V

L=2 H

C=0.40 F

R1=1 Ώ

i1

i2

i3

A

I II

R2=2 Ώ

E=6 V

R1=3 Ώ

C=0.05 F

L=0.25 H

i1

i2

i3

A

I II

R2=1 Ώ

4.9.2. Ejercicios. Calcule lo que se te pide en los siguientes circuitos en paralelo



Amp)(i)(i)(i 0000 321



Amp)(i)(i)(i 0000 321

130

5. APENDICE

5.1. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES

Si Q(s) es una función racional, entonces Q(s)= F(s) / G(s), donde F(s) y G(s) son polinomios. En esta

sección se hará un recordatorio sobre las reglas para expresar a Q(s) en términos de fracciones mas

simples, que ayudan a calcular la Trasformada Inversa de Laplace de una función de la forma de Q(s)

Tal técnica tiene la misma finalidad al integrar a funciones racionales de la forma de Q(s).

Por ejemplo, puede verificarse fácilmente que

1

1

1

1

1

22 sss

La descomposición del lado derecho de la ecuación anterior se llama descomposición en fracciones

parciales

Teóricamente, cualquier expresión racional F(s) / G(s) se puede expresar como una suma de

expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de grado menor o igual a

2. Concretamente, puede demostrarse que si F(s) y G(s) son polinomios y el grado de F(s) es menor

que el de G(s), entonces

rf.......fff)s(G

)s(F321

Donde cada término fk de la suma es de la forma

nmcbsas

BAsbieno

qps

A

2

Donde A y B son números reales, m y n son enteros no negativos y as2+bs+c es irreducible en el

sentido de que es un polinomio cuadrático que no tiene ceros reales; es decir, b2-4ac<0. En este caso

as2+bs+c no se puede expresar como un producto de polinomios de primer grado.

131

La guía para obtener la descomposición en fracciones parciales de F(s) / G(s) debe usarse sólo si

F(s) tiene grado menor que G(s). Si no es así, hay que realizar previamente la división hasta llegar a

la forma apropiada. Por ejemplo, dada la siguiente función

1

3562

23

s

sss

Dividiendo entre polinomios se obtiene

1

966

1

35622

23

s

ss

s

sss

En seguida se podrá aplicar el método de las fracciones parciales en el último término de la anterior

ecuación

Reglas para obtener fracciones parciales:

Regla (A). Por cada factor de la forma (ps+q)m con m ≥ 1, la descomposición en fracciones parciales

contiene una suma de m fracciones parciales de la forma

m

m

qps

A.....

qps

A

qps

A2

21

Donde cada numerador Ak es un número real.

Regla (B). Por cada factor de la forma (as2+bs+c)

n con n ≥ 1, donde as2+bs+c la descomposición en

fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma

n

nn

cbsas

BsA.....

cbsas

BsA

cbsas

BsA

222

22

2

11

Donde todos los Ak y Bk son números reales.

Ejemplo. Descomponer en fracciones parciales el siguiente polinomio:

sss

ss

32

913423

2

132

De acuerdo con la regla (A), la descomposición de este polinomio tiene la forma:

1313

9134

32

9134 2

23

2

s

C

s

B

s

A

)s)(s(s

ss

sss

ss

En este caso los factores del denominador son lineales y no se repiten

Multiplicando el mínimo común denominador (el del lado izquierdo), se obtiene

4s2+13s-9=A(s+3)(s-1)+Bs(s-1)+Cs(s+3)

Desarrollando y agrupando los términos del lado derecho de la última ecuación

4s2 + 13s – 9 = As

2 + 2As - 3A + Bs

2 – Bs + Cs

2 + 3Cs)

4s2 + 13s – 9 = As2 + Bs2 + Cs2 + 2As – Bs + 3Cs - 3A

4s2 + 13s - 9 = (A+B

+C)s

2 + (2A-B+3C)s

1 -3As

0

Igualando los coeficientes a la misma potencia de s, del lado izquierdo y derecho de la ultima

ecuación

S2: 4 = A + B + C

S1: 13 = 2A – B + 3C

S0: -9 = -3A

Resolviendo el anterior sistema lineal de ecuaciones, se tiene:

A=3

B=-1

C=2

Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales es:

1

2

3

13

13

9134

32

9134 2

23

2

sss)s)(s(s

ss

sss

ss

133

5.2. TABLAS DE IDENTIDADES, DERIVADAS E INTEGRALES

udxd

uarcsenu

dxd

udxduuu

dxd

udxduuu

dxd

udxduu

dxd

udxduu

dxd

udxdsenuu

dxd

udxdusenu

dxd

vdxdvvuu

dxdvvuvu

dxd

udxdnnunux

d

v

vdxduu

dxdv

vu

dxd

udxdvv

dxduuv

dxd

nnxnxdxd

udxdccu

dxd

vdxdu

dxdvu

dxd

xdxd

h

xfhxf

h

eesenhh

eeh

ee

ee

senh

ee

eesenh

ee

eesenh

h

h

senh

21

1 .63

cotcsccsc .62

tansecsec .61

2csccot .60

2sectan .59

cos .58

cos .57

ln1 .56

1 .55

25 .54

)( .53

1.52

.51

)( .50

1 .49

,)()(

0lim

dx

df(x) .48

21csc .47

2

cosh

1sec .46

coshcoth .45

coshtanh .44

2cosh .43

2 .42

2csc12coth .41

2sec2tanh1 .40

122cosh 39.

AS.HIPERBÓLIC

RICAST RIGONOMÉT SIDENT IDADE .III

DERIVADALA

DE DEFINICIÓN

.DERIVACIÓN DE REGLAS IV.

0.x lnxe 36. xe

prerp

(e 38. q-p

eq

e

pe

35. qp

eq

ep

e 31

ua 34.

n(ab) 37. u(a

6. 5.

3.

2.

xx

ub

vuava

ua

ubuuvvvuavaua

sensen

sensensen

sensensen

sensen

sensensen

sensensen

sensen

sensen

sensen

sensensen

sensen

sensensen

ca

sen

hipco

sen

oc

ac

ac

hip

oc

hip

ac

oc

hip

ac

hip

ocsen

ln .32

).

b

a .30

aa) 33. 29.

AS.LOGARITMIC Y

CIÓNEXPONENCIA DE REGLAS II.

222coscos .28

22cos2 27.

2cos

2cos2coscos .26

2cos

22 .25

)cos()cos(21 .24

)cos()cos(21coscos .23

)()(21cos .22

)()(21cos .21

2tan1

tan22tan 20.

12cos222122cos2cos .19

cos22 .18

tantan1

tantan)tan(.17

coscos)cos( 16.

coscos)( 15.

tantan1

tantan)tan( 14.

coscos)cos( 13.

coscos .12

2cos1212cos 11.

cos2-1212 .10

2csc2cot1 .9

2sec2tan1 .8

12cos2 7.

..

.cot

.sec

..csc .4

.

..tan

.cos

.. .1

RICAS.TRIGONOMÉT SIDENTIDADE I.

θ

134

cuuudu

cuuudu

csenuudu

cuudu

cuuduu

cuuduu

cuudu

cuudu

csenuudu

cuduusen

udxduhuhu

dxd

udxduhuhu

dxd

udxduhu

dxd

udxduhu

dxd

udxdsenhuu

dxd

udxdusenhu

dxd

xgdxdxgf

dxdxgf

dxd

udxdueue

dxd

udxdauaua

dxd

udxd

auua

dxd

udxd

uu

uarcdxd

udxd

uu

uarcdxd

udxd

uuarc

dxd

udxd

uu

dxd

udxd

u

udxd

cotcsclncsc .88

tanseclnsec .87

lncot .86

seclntan .85

csccotcsc .84

sectansec.83

cotcsc .82

tansec .81

cos .80

cos .79

N.INTEGRACIÓ DE REGLAS V.

cothcsccsc.78

tanhsecsec.77

2csccoth.76

2sectanh.75

cosh.74

cosh.73

,)()))((())(( .72

.71

ln .70

ln1 log .69

12

1 csc .68

12

1 sec .67

21

1 cot .66

21

1 arctan .65

21

1 arccos .64

2

2

CADENA

LA DEREGLA

ba

afbfdxxf

cau

aaudu

auuaauudxau

cauarcsenauaudxua

cauau

aaudu

cauau

auadu

cau

aauu

du

cau

auadu

causen

ua

du

caa

dua

cee

cuudu

cucuduru

cun

duu

vduuvudu

chuuduhu

chuuduhu

cuuduh

cuuduh

cuhudu

csenhuhudu

csenhuudu

cuudu

csenhuudu

cusenhudu

uu

uu

r

nn

)()()( .113

arctan1 .112

ln22

.111

22 .110

ln21 .109

ln21 .108

sec1 .107

tan1 .106

.105

ln1 .104

.103

ln .102

-1r ,ln , -1r , .101

11 .100

, .99

csccothcsc .98

sectanhsec .97

coth2csc .96

tanh2sec .95

21tanhlncsc .94

1tansec .93

lncoth .92

coshlntanh .91

cosh .90

cosh 89.

22

222

2222

22222

22

22

1

22

1

22

1

22

1

1

PARTES PORNINTEGRACIÓ

135

5.3. TABLAS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

f(t) F(s)

1

1

s

1

2

t 2

1

s

3

tn

1ns

!n

4

Senkt

22 ks

k

5

Coskt 22 ks

s

6

Sen2kt

)ks(s

k22

2

4

2

7

Cos2kt

)ks(s

ks22

22

4

2

8

eat

as

1

9

senhkt 22 ks

k

10

coskt 22 ks

s

11

teat 2

1

as

12

tneat 1n

as

!n

13

senktcoshkt 24

22

4

2

ks

)ks(k

14

cosktsenhkt 44

22

4

2

ks

)ks(k

15

t

senat

s

aarctan

16

eatf(t)

F(s-a)

17

F(t-a)U(t-a)

e-asF(s)

18

U(t-a)

s

e as

19

tnf(t) )s(Fds

dn

nn

1

136

6. BIBLIOGRAFIA DE APOYO

1. Autor: ZILL DENNIS G.

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES

Editorial: THOMPSON

Edición: QUINTA 2. Autor: EDWARDS JR. C. H. Y PENNEY DAVID E.

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES CON APLICACIONES Editorial: ED. PRENTICE-HALL

Edición: PRIMERA

3. Autor: SPIEGEL

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS Editorial: ED. PRENTICE-HALL

Edición: PRIMERA

4. Autor: SANCHEZ, ALLLEN Y KINER

Titulo: DIFFERENTIAL EQUATIONS Editorial: ED. ADDISON WESLEY

Edición: PRIMERA

5. Autor: KREYSIG ERWIN.

Titulo: MATEMATICAS AVANZADAS PARA INGENIERIA, VOL. 1 Y II (5.1 EDICIÓN) Editorial: ED. LIMUSA

Edición: PRIMERA

6. Autor: SPIEGEL

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS Editorial: ED. PRENTICE-HALL

Edición: PRIMERA

7.. Autor: BORELLI/COLEMAN

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES Editorial: ED. OXFORD

Edición: PRIMERA

8. Autor: MARCUS

Titulo: ECUACIONES DIFERENCIALES Editorial: CECSA

Edición: PRIMERA

9. Autor: SWOKOWSKI EARL W.

Titulo: CALCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA Editorial: GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA

Edición: PRIMERA

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