Problem as Todos

7/28/2019 Problem as Todos

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Problemas.

7.1 sea y . Dado el punto , encontrar: a) V en P; b) E en P; c)en P; d) la ecuacin de la superficie equipotencial que pasa por P; e) la ecuacin de la lnea que

pasa por P. f) Satisface V la ecuacin de Laplace?

a) V en P

b) E en P

c)

en P

d)

e)


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En P

Ahora:

En P

Por lo tanto, las ecuaciones son: y d) No satisface.

7.3 Sea en una regin del espacio Libre donde . Sesabe que tanto como V son cero en el origen. Encontrar .Solucin:

Como entonces utilizaremos la ecuacin de Laplace


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Entonces tendremos:

Integrando

Entonces

Evaluando en el origen tendremos:

Como

entonces sabemos que

Integrando nuevamente Evaluando en el origen

Entonces y Por lo tanto


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EJERCICIO 7.4

Dado un campo de potencial

a) Demostrar que satisfacen la ecuacin de Laplace.

b) Describir las superficies de potencial constante.

c) Describir especficamente las superficies en las que y

d) Escribir la expresin del potencial en coordenadas cartesianas.

Desarrollo:

a)

b)

stas sern las superficies en que es constante. En esta etapa, esto es til

para llamarla en la coordenada , de hecho en coordenadas rectangulares es

, nosotros identificar las superficies de potencial constante (plano) como

superficies de constante (paralelo al plano yz).


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c)

En el primer caso , nosotros deberamos tener (plano yz);

En el segundo caso , nosotros tenemos la superficie .

d)

Con los resultados de los literales anteriores nosotros podemos expresar la ecuacin delpotencial en coordenadas rectangulares de la siguiente manera:

Como , entonces

7.5) Dado el campo de potencial :a) demostrar que ,b) seleccionar A y B de tal forma que y el || en .

Solucin:a)

( )


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b) || en

( )

Sustituyendo los puntos q tenemos:

Primer punto:


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Segundo punto:

7.6 Un capacitor de placas paralelas tiene sus placas localizadas en . Laregin entre las placas est llena con un material que tiene un volumen de carga

de densidad uniforme y tiene una permitividad Ambas placas seencuentran aterrizadas. a) Determinar el campo de potencial entre las placas. b)Determinar la intensidad de campo elctrico E entre las placas. c) Repetir los

incisos a) y b) para el caso de que la placa en eleve su potencial a con laplaca aterrizada.

Solucin:

a)


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b)

[ ]

[ ] c)


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[ ]

7.7 Sea en el espacio librea) Encontrar la densidad del carga volumtrica en el punto

b) Encontrar la densidad del carga superficial en la superficie de un conductos que pasapor el punto B en

Solucin

a) Utilizaremos la ecuacin de Poisson

Remplazando en el punto A Tenemos:

b) Primeramente encontraremos E y luego encontraremos la densidad de carga superficial

en el conductor que pasa por el punto B


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Evaluando en punto B

La densidad de carga superficial nos quedara as:

|| La carga tiene valor dependiendo del lado de la superficie que consideremos.

7.9

Las funciones V1(, , z) y V2(, , z) satisfacen la ecuacin de Laplace en la regin

a


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7.11 Los planos conductores y estn a potenciales de 100V y 0 V, respectivamente. Sea y encontrar: a) V en b) E en P.Solucin:

a)

b)

EJERCICCIO 7.15)

Los dos planos conductores que se muestran en la figura estn definidos por , , ; desprecie los efectos de borde yencuentre a) v(,);E();c)D();d) en la superficie superior del plano de abajo; f) Repetir losincisos a) hasta c) para la regon 2 haciendo que la ubicacin del plano superior sea , y despus encontrar en la superficie de abajo del plano superior. g)Encontrar la carga total en el plano inferior y la capacitancia entre los planos

a)

La solucin general de la ecuacin de Laplace ser , y as


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Al Restar una ecuacin de la otra, encontramos

Entonces

20 = -2,00 104 (0.188) + C2 C2 = 3,78 103Por ltimo

b) E (): Utilice

c)

d) en la superficie superior del plano inferior: Usamos

| e)Q en la superficie superior del plano inferior: Esto ser

f)

A continuacin,

. Por lo tanto en laregin 2. Entonces

Y

s en la superficie inferior del plano inferior ser ahora


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La carga en la superficie que ser entonces

g) Determinar la carga total en el plano inferior y la capacitancia entre los planos:

. La capacitancia ser

7.16) Un capacitor de placas paralelas esta hecho de dos placas circularesde radio a, donde la placa inferior est en el plano xy, centrada en elorigen. La placa superior se ubica en y su centro esta sobre el eje z.la placa superior est a un potencial de ; la placa inferior estaaterrizada. La regin entre las dos placas esta rellena de materialdielctrico que tiene una permitividad que depende del radio. Lapermitividad est dada por el . Encontrar:

a) V(z);b) E;c) Q;d) C.

Solucin:a) donde vara en la direccin normal de E

Por condiciones iniciales

b)


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c)

Obtenemos primero la densidad de flujo elctrico:

Donde la densidad de carga en la parte superior es:

De donde podemos obtener la carga en la parte superior:

Integrando desde

d)

La capacitancia:


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7.17 Dos esferas conductoras concntricas se encuentran en y . Laregin entre las esferas esta llena de un dielctrico perfecto. Si la esfera interior est a yla exterior a :a) Encontrar la ubicacin de la superficie equipotencial de

.

b) Encontrar

c) Encontrar si la densidad de carga superficial en la esfera inferior es de .


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7.19 Dos conos conductores coaxiales tiene sus vrtices en el origen y en el eje z como sus

ejes. El cono A tiene al punto A(1 , 0 , 2) sobre sus superficie, mientras que el cono B tiene elpunto B(0 , 3 , 2) sobre su superficie. Sea VA=100V y VB=20V. Encontrar:

a) para cada cono.

b) V en el punto P(1 , 1 , 1).

a).

1=? A(1, 0 , 2)

2=? B(0, 3 , 2)


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b). V en P(1 , 1 , 1)

Como Por lo tanto

Para 1

Para 2

Haciendo sistema de ecuaciones de primer grado obtenemos.

1.-

2.-


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Ya obtenidas las constantes solo nos queda obtener el ngulo.

()

Por tanto:

20. Un campo de potencial en el espacio libre est dado por V.a) Encontrar el valor mximo de || sobre la superficie para m, .b) Describir la superficie V=80V.

Solucin:

b.

V


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Igualando a V=80V

Depejando

Encontramos

7.21) Sea en el espacio libre. a) Utilizar la ecuacin de Poisson para encontrar V(r) sise supone que r

2Er0 cuando r0, y tambin que V0 a medida que r b) Encontrar V(r)

utilizando la ley de Gauss y una integral de lnea.

a)

Condiciones inciales: r

2Er0 cuando r0

b)


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Ejercicio 22

a travs de la solucin apropiada de las ecuaciones de Laplace y de Poisson

determinar el potencial absoluto en el centro de la esfera de radio a y que tiene una

densidad de carga volumtrica uniforme 0 . Suponer una permitividad e0 en

cualquier punto Pista: Que puede asegurarse respecto al potencial y campo

elctrico en r= 0 y en r= a?

Con la dependencia nica radial, la ecuacin de Poisson (aplicable a r a) se

convierte en

Para la regin 2 (r a) no hay ninguna carga y as se convierte en la ecuacin de Laplace

Ahora, a medida que r , V2 0, por lo tanto, C4 = 0. Tambin, como r 0, V1

debe ser finito, por lo que por lo tanto, C1 = 0. Entonces, V debe ser continua a travsdel lmite, r = a:

| | Ahora

As que los potenciales en sus formas finales son


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El potencial requerido absoluto en el origen es ahora

7.23 Un valle rectangular lo forman cuatro planos conductores ubicados en x=0 y 8 cm y y=0 y

5cm en el aire. La superficie que estn en y=5cm se encuentra a un potencial de 100 V, y los

otros tres a cero potencial y los orificios necesarios se localizan en las dos esquinas. Encontrar

el potencial en x=3cm, y=4cm.

Primeramente para utilizar esta formula

Tenemos que hacer cambio de variables debido que el potencial esta en la parte superior.

Por tanto tenemos que:

x y ; b d


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Remplazando tenemos

Con ; Remplazando lo s valores en la ecuacin tenemos:

7.27) Se sabe que V= XY es la solucin de la ecuacin de Laplace, donde X es una funcin

solamente de x y Y es una funcin solamente de y. Determinar cul de las siguientes funciones

de potencial son tambin soluciones de la ecuacin de Laplace:

a) V=100X

b) V=50XY

c) V=2XY+x-3y

d) V=xXY

e)Desarrollo:


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= 0La ecuacin anterior puede resolverse mediante separacin de variables por medio de la

divisin de XY.

= 0 Ambos de estos trminos deben ser igual a la misma constante , llamada constante deseparacin.

a) V= 100X

Donde

b) V= 50XY

Donde

c) V= 2XY +x -3y

Donde

0


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d) V= xXY

e) V=

Donde

7.28) Suponer una solucin producto V=PF de la ecuacin de Laplace en coordenadas

cilndricas, donde V no sea funcin de z, P es una funcin solamente de y F es solo funcinde .a) Obtener las dos ecuaciones separadas si la constante de separacin es .b) Demostrar que P= satisface la ecuacin .c) Construir la solucin V ( ). Las funciones de esta forma se denominan armnicascirculares.

Desarrollo:

a)


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Ahora se multiplica por y se divide para

Donde:

Donde:

Como el seno y coseno son funciones peridicas cada 2

, entonces la funcin ser repetitiva

cada periodo.

Si

b)


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( )( Para

7.29 en referencia al captulo 6, figura 6.14, el conductor interior de la lnea de transmisin

est a un potencial de 100 V, mientras que el exterior est a cero potencial. Construir un

enrejado de 0.5 de lado y utilizar la iteracin para encontrar V en un punto ubicado a unidades sobre la esquina superior de la derecha del conductor interior. Trabajar en el volt

ms cercano.

El voltaje es de 38 V.

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