Mecánica y Ondas para biociencias - Serie 2 de Problemas

3 de Octubre de 2012

Los problemas se deberán entregar en grupos de máximo 4 personas el día del segundo parcial, miércoles 24 de octubre,antes de finalizar la clase. Solo se reciben trabajos realizados en procesador de textos (computador).

No se recibirán ejercicios después de la fecha arriba mencionada.

Sección 1 - Magnitudes de Fuerzas ComunesEstime el valor, en Newtons, de las siguientes fuerzas:

Fuerza gravitacional del sol sobre la tierra.

Atracción eléctrica entre un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno.

Repulsión eléctrica entre dos electrones que están separados por una distancia de un Angstrom (10−10 m).

Fuerza ejercida por el suelo al detener una persona que pesa 70 kg al caer desde una distancia de 3 metros. Supongaque el suelo detiene la caída de la persona en 0.1 s.

Sección 2 - Carácter vectorial de las fuerzas1. Dos fuerzas tienen la misma magnitud F . ¿Qué angulo hay entre los dos vectores si su resultante (la magnitud de la

suma vectorial de los dos vectores) es:

a) 2F?

b)√2F?

c) cero?

2. Una masa de 5 kilogramos se mueve bajo la influencia de una fuerza F = (4t2i − 3tj) Newtons, en donde t es eltiempo en segundos. La masa comienza a moverse desde el origen en reposo en t = 0. Encuentre:

a) Su vector velocidad (~v) para todo tiempo t.

b) Su vector posición (~r) para todo tiempo t.

c) El angulo formado por los vectores velocidad y posición para todo tiempo t.

d) El producto ~r × ~v.e) El valor del producto ~r × ~v para t = 1 ∼segundo.

3. Dos caballos tiran horizontalmente de cuerdas atadas al tronco de un árbol. Las fuerzas ~F1 y ~F2 que aplican altronco son tales que la fuerza neta resultante ~Ftotal tiene la misma magnitud que la fuerza ~F1 y esta a 90◦ de ~F1. Si~|F 1| = 1300 ∼N y |~Ftotal| = 1300 ∼N. Calcule:

a) la magnitud de ~F2.

b) la dirección relativa de ~F2 con respecto a la dirección de ~F1.

1

Sección 3 - Fuerzas en la vida diaria1. Una bala de rifle calibre 22 que viaja a 350 m/s golpea un árbol grande, penetrando a una profundidad de 13 cm,

la masa de la bala es de 1.8 gramos. Conteste

a) ¿Cuál es la velocidad de la bala en kilómetros por hora?.

b) Suponga que la fuerza de frenado es constante y haga una gráfica de velocidad contra tiempo.

c) ¿Cuánto tarda la bala en detenerse?.

d) Calcule la aceleración de la bala al entrar en el árbol.

e) ¿Qué fuerza (en Newtons) ejerce el árbol sobre la bala?.

2. Una mezcladora de concreto, los elementos del concreto (cemento, gravilla, y agua) son combinados de manerauniforme al colocarlos dentro de un tambor especial que rota lentamente. Si el tambor gira muy rápidamente losingredientes se pegan a las paredes del tambor en lugar de mezclarse. Supongase que una mezcladora posee untambor de radio R y es colocada de tal forma que el eje del tambor se encuentra en posición horizontal.

a) ¿Por qué se pegan los ingredientes de la mezcla a las paredes del tambor si este gira muy rápido?.

b) ¿Cuál es la máxima velocidad a la cual el tambor puede rotar sin que los ingredientes de la mezcla se peguena las paredes?

3. La fuerza gravitatoria que una esfera, de densidad uniforme, ejerce sobre una partícula con masa m que se encuentraa una distancia R del centro de la esfera es de la forma

F = −GM ·mR2

en donde la masa M es la masa encerrada por la esfera de radio r (en donde r ≤ R). Esta masa ejerce una fuerzaequivalente a la de un punto de masa M . En la pagina 101, nota 2.1, del libro “An Introduction to Mechanics” sedemuestra que una masa encerrada dentro de un cascaron esférico siente una fuerza total igual a cero dentro delcascaron, solamente la masa que se encuentra por debajo de la partícula ejerce una fuerza gravitatoria.

a) Utilice el resultado anterior para probar que si se taladra un agujero que pase por el centro de la tierra, y ustedse lanza por el agujero, usted va a efectuar un movimiento oscilatorio (armónico simple) alrededor del centrode la tierra.

b) Encuentre el tiempo que usted demora en ir y volver al mismo punto de la superficie.

c) Compare el resultado del punto (b) con el tiempo de órbita de un satélite que se encuentra a una alturar = rtierra.

4. Un péndulo se encuentra suspendido del techo de un ascensor. El péndulo tiene una longitud l y de él pende unamasa m.

a) Cual es el periodo del péndulo si el ascensor asciende a una velocidad constante de 2 ∼ m/s?.b) Cual es el periodo del péndulo si el ascensor asciende con una aceleración constante de 10 ∼ m/s2.

Sección 4 - Movimiento en un medio viscosoSuponga que existe una tipo especial de fuerza viscosa se opone al movimiento con una fuerza inversamente proporcional

al cuadrado de la velocidad, es decir, siguiendo la ecuación

F = −C · v2

1. Demuestre que la segunda ley de Newton, F = m · a = mdvdt , puede ser escrita como

F = m · v dvdx

2. Utilice la segunda ley de Newton, F = mdvdt , para demostrar que

x− x0 =m

Cln(

v0v)

2

Sección 5 - Oscilador en un medio viscosoEl movimiento de un masa (m) atada a un resorte, de constante k, que se encuentra sumergida en un medio viscoso,

con constante de viscosidad b, está descrito por la ecuación

x+b

mx+

k

mx = 0

1. Demuestre que una posible solución a esta ecuación tiene la forma

x(t) = A exp(−γ2t) cos(ω1t+ ψ)

en donde γ = bm y ω1 =

√ω0 − γ2

4 (con ω0 = km ).

2. Haga una gráfica de la posición contra el tiempo de la ecuación solución al movimiento.

3. Diga qué pasa si la viscosidad del medio es igual a cero, es decir, si b = 0.

4. ¿Que pasaría si se elimina el resorte del sistema?, es decir si k = 0.

Sección 6 - Energía potencial

Para una fuerza conservativa la relación entre el trabajo realizado por una fuerza ~F , al mover un objeto entre lasposiciones inicial (ri) y final (rf ), y la energía potencial U(r) asociada a la fuerza esta dado por:

W =

ˆ rf

ri

~F · d~r = −[U(rf )− U(ri)] (1)

Encuentre la forma funcional de la energía potencial asociada a las siguientes fuerzas:

Oscilador armónico simple unidimensional: F = −kx.

La fuerza de la gravedad sobre la superficie de la tierra: F = −mg.

Una fuerza proporcional al inverso del cuadrado de la distancia: F = Cr2 , en donde C es una constante. Efectúe la

integral entre ri →∞ y rf = r0.

Sección 7 - Péndulo balísticoUna manera simple de medir la rapidez de una bala es con el péndulo balístico, en el una bala de masa “m”, la cual

va a una velocidad “V ”, impacta un bloque de madera de masa “M ” y se incrusta en el bloque, el bloque se encuentrasuspendido por medio de dos cuerdas de longitud l cada una, y el impacto de la bala hace que el bloque se eleve formandoun ángulo máximo de θ, tal y como se muestra en la figura inferior. Responda:

θ

l

v

m M

1. ¿Se conserva el momentum lineal?, si su respuesta es afirmativa plantee las ecuaciones de conservación del momentumlineal antes y después del choque de la bala.

2. ¿Que tan rápido se mueve el conjunto del bloque “M ” con la bala de masa “m” inmediatamente después de que labala se incrusta en el bloque de madera?, asuma que este proceso ocurre muy rápidamente.

3. ¿Se conserva la energía total del sistema?, si su respuesta es afirmativa plantee las ecuaciones de conservación de laenergía mecánica total.

4. Muestre como se puede medir la velocidad de la bala “V ” si se miden previamente las masas “m” y “M ”, la longitud“l”, y el ángulo θ.

(Ayuda: V = [(M +m)/m]√

2gl(1− cos θ))3

Sección 8 - Conservación de la energía1. Una masa m = 10 kg se encuentra oscilando atada a un resorte de constante k = 10N/m, se sabe que cuando la

masa pasa por el punto de equilibrio del resorte con una velocidad de v = 10m/s.

a) ¿Cuál es la energía cinética y potencial cuando la masa pasa por el punto de equilibrio del resorte?.

b) ¿Se conserva la energía mecánica total?.

c) ¿Cuál es el máximo desplazamiento de la masa?.

d) Plantee la ecuación de Newton que describe el sistema masa-resorte.

e) ¿Cuál es la solución a la ecuación diferencial, x(t), planteada en el punto anterior (d)?.

f ) ¿Cuál es la velocidad, v(t), del sistema masa-resorte?.

g) Utilizando las ecuaciones de movimiento y velocidad calcule el máximo desplazamiento de la masa. Compareeste resultado con el resultado obtenido en el punto (c).

2. Una bola de masa m = 1 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 5m/s, se deseaconocer la altura que tiene la bola cuando tenga una velocidad de 1m/s.

a) Haga el gráfico del sistema, plantee las ecuaciones de Newton y deduzca la altura de la bola.

b) Utilizando el principio de conservación de la energía mecánica deduzca la altura de la bola y compárela con laaltura obtenida en el punto (a).

Sección 9 - Conservación de la energía y momentum linealUna bola pequeña de masa m es colocada encima de una superbola de masa M , y las dos bolas son lanzadas desde

una altura h. Asuma que las dos bolas están separadas por una distancia muy pequeña y que M > m.

1. ¿Cuál es la velocidad de las bolas antes de llegar al suelo?.

2. Plantee las ecuaciones de conservación de momentum lineal.

3. Si asume una colisión totalmente elástica plantee las ecuaciones de conservación de la energía.

4. ¿A que altura llega la bola peque~na después de la colisión?. Si el resultado le parece sorprendente trate de realizarel experimento con una bola de basquetball y una canica de cristal.

m

M

g

Sección 10 - Leyes de Newton1. Se les pide llevar a cabo el montaje mostrado en la figura inferior donde θ1 = 60◦, θ2 = 70◦ y m = 10 kg, para

escoger el tipo de cables necesarios para que el montaje resista usted debe hallar la relación entre las tensiones de amboscables. ¿Cuál es esta relación entre T1 y T2?.

θθ1 2

M

T T1 2

4

2. Una masa m = 20 kg esta unida por una cuerda al techo de un ascensor como se muestra en la figura. El ascensoracelera hacia arriba con a = 15m/s2. ¿Cuál es la máxima tensión que resiste la cuerda?, ¿Qué pasaría si el ascensorademás de acelerar hacia arriba se moviera hacia la derecha con una velocidad constante de 2m/s?.

am

3. Con respecto a la figura inferior, si el coeficiente de fricción cinético entre la masa 3m y la superficie es µk = 0,3¿Cuál será la fuerza que debe aplicarse al bloque de masa 3m para mantener el sistema en equilibrio dinámico?, ¿si lafricción entre la pared y el bloque de masa 3m fuera despreciable que fuerza será necesaria para mantener el equilibriodinámico del sistema?.

3M

M

F

5