Fundamentos Fısicos de la Ingenierıa I.

Problemas. Tema 2: Teoremas de Conservacion.

1. Una partıcula esta sometida a una fuerza ~F = (3x+6y)~i−14yz~j+20xz~k. Calcularel trabajo realizado por dicha fuerza cuando la partıcula se traslada del punto(0,0,0) al (1,1,1) a lo largo de las siguientes trayectorias:a) de la curva x = t, y = t2, z = t3.b) a lo largo de la bisectriz x = y = z.c) a lo largo del eje OX hasta el punto (1,0,0), paralelo al eje OY hasta el (1,1,0)y luego paralelo al eje OZ hasta el (1,1,1).¿Se trata de un campo de fuerzas conservativo?.

2. Una partıcula de 1 kg esta sometida al campo de fuerzas ~F = 192πy~i N. Se desplaza,

partiendo con velocidad inicial v0 = 10 m/s, a lo largo de una semicircunferenciade radio R = 1 m, situada en el plano XY y cuyo centro esta en C(1,0). Calcular:a) El trabajo realizado por el campo de fuerzas.b) La velocidad de la partıcula al alcanzar el final de la semicircunferencia.c )Si se completa la circunferencia como trayectoria de la partıcula, repita el calculode las cantidades anteriores para la segunda semicircunferencia.

3. Una partıcula de masa m esta situada en el instante t=0 en el punto (0,5,2) y llevauna velocidad (v0/2,

√3v0/2, 0). A partir de ese instante empieza a actuar sobre

la masa una fuerza dada por ~F = −x~i+ e−t/20~k. Calcular:a) la cantidad de movimiento de la partıcula en funcion del tiempo.b) el vector de posicion de la partıcula en funcion del tiempo.

4. Describir los tipos de movimiento que puede tener una partıcula en un potencialunidimensional de la forma V (x) = x3 − 10x2 + 21x+ 15.

5. La energıa potencial de una partıcula en un cierto campo se expresa como U =a/r2 − b/r donde a y b son constantes positivas y r es la distancia al origen decoordenadas. Calcular:a) El valor de r correspondiente a la posicion de equilibrio de la partıcula.b) ¿Es estable o inestable la posicion de equilibrio anterior?c) El valor maximo de la fuerza de atraccion.

6. a) Encuentre las coordenadas del centro de masas del sistema formado por doscuerpos de masas m1 = 1 kg y m2 = 2 kg situadas en los puntos P1 = (0, 0, 0)y P2 = (1, 1, 1) en metros. b) Si sobre m1 actua la fuerza F = (0, 1, t) N, siendot el tiempo en segundos, determinar la nueva posicion del centro de masas tras2 segundos, suponiendo que las dos masas se encuentran en reposo en el instanteinicial.

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7. Un cuerpo de masa m desliza sin rozamiento por una rampa de superficie curva.La rampa de masa M esta apoyada sobre el suelo que no ejerce ninguna fuerza derozamiento sobre la rampa. a) Si el cuerpo comienza a deslizar desde una alturah respecto de la mesa, calcular la velocidad del cuerpo en el momento de salir dela rampa. b) ¿Cual es la velocidad de la rampa en ese instante?

8. Supongamos n masas M en lınea de modo que cada una toca con la siguiente.Desde la izquierda incide una masa 2M con velocidad v que choca con la fila de nmasasM . Probar que es imposible que debido a una colision elastica sea expulsadauna sola masa de la derecha o dos masas con velocidades diferentes.

9. Sea una masa m con velocidad v0 que se dirige hacia otras dos cuerpos alineados yen reposo, primero una de masam y separado de este otro de masaM . Suponiendoque las colisiones sean frontales, demostrar:a) Si M es menor o igual que m hay dos colisiones. Encontrar las velocidadesfinales.b) Si M es mayor que m hay tres colisiones. Encontrar las velocidades finales.

10. (examen extraordinario 2010/11) En la edicion ALCABOT 2010 tuvo lugar lalucha entre dos robots combatientes que se deslizaban sobre una superficie sinfriccion, como se muestra en la figura. El evento se puede describir del siguientemodo. Un robot A, con masa mA = 2 kg, inicialmente se mueve con una velocidadvA1 = 2.0~i m/s y choca con un robot B, de masa mB = 1.2 kg, y que estainicialmente en reposo. Despues del choque, el robot A se mueve con una velocidadvA2 = 1.0 m/s en una direccion que forma un angulo de 30o con su direccion inicial;

(a) determine la velocidad despues del choque del robot B (modulo y orientacion),

(b) calcule la energıa conjunta de los dos robots despues del choque,

(c) razone que tipo de choque ha tenido lugar entre ellos.

Nota: Ignorese todo rozamiento con el aire.

Figure 1: Problema 10

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11. (parcial 2010/11) Dos bolas B1 y B2, de masasm1 ym2 = 2m1 , estan suspendidasde dos hilos inextensibles de longitud 0.8 m. Las bolas estan en contacto y a lamisma altura cuando los hilos estan verticales. Se separa B1 de su posicion deequilibrio un angulo de 60o, manteniendo el hilo extendido y en el mismo planovertical que el otro hilo. Se suelta B1 y choca con B2 , que estaba inicialmenteinmovil. Calcule:

(a) La velocidad de B1 justo antes de chocar con B2.

(b) La velocidad de B1 justo antes de chocar con B2.

(c) Las velocidades de ambas bolas inmediatamente despues del choque, supuestoelastico.

(d) La altura a la que ascendera la bola B2 despues del choque.

12. a) Calcule el radio de la orbita circular de un satelite geostacionario (es decir, quetiene el mismo periodo de rotacion que la Tierra). b) Determine su velocidad yaceleracion en un sistema de referencia ligado con el centro a la Tierra. Datos:Radio de la Tierra RT = 6.380 km, aceleracion de la gravedad en la superficieterrestre g0 = 9.8 m/s2.

13. Las naves espaciales Voyager 1 y 2 al pasar por el satetite de Jupiter llamado Io,fotografiaron volcanes activos que arrojaban chorros de azufre lıquido que subıanhasta una altura de 70 km sobre su superficie. Sabiendo que la gravedad en Ioes g0 = 1.79 m/s2, y que es una luna de forma esferica de radio R = 1820 km,calcular:a) la aceleracion de la gravedad a una altura de 70 km.b) el modulo de la velocidad que deberıa tener el cuerpo para describir una orbitacircular a la altura de 70 km.c) la velocidad a la que sale el lıquido de azufre del volcan.

14. Una lanzadera espacial describe una orbita ecuatorial circular a una altura de1000 km sobre la superfice de la Tierra. Lanza un satelite que queda colocado enuna orbita ecuatorial y geostacionaria. Calcule la energıa que la lanzadera ha decomunicar al satelite. Datos: masa del satelite m = 1000 kg, RT = 6.380 km yg0 = 9.8 N/kg.

15. Un satelite de 450 kg que gira en trayectoria circular a 10 Mm/h en torno a laTierra, a una distancia r del centro de esta, esta sometido a una fuerza centralF = −k/r2, donde k es una constante. Suponiendo nulo el rozamiento con el aire,se pide:a) calcular el momento de la fuerza que actua sobre el satelite con respecto a O.b) calcular la energıa potencial del satelite en un cierto instante y la variacion dela energıa potencial del mismo al cabo de 2 minutos.c) Si en un cierto instante se lanza desde el satelite una masa de 50 kg, de maneraque caiga en direccion radial hacia O, calcular la componente tangencial de lavelocidad del satelite inmediatamente despues del lanzamiento.

16. Una partıcula de masa m realiza un movimiento circular uniforme de radio r,producida por una fuerza central ~F = −k~r/r3. Expresar en funcion de m, r, k, yde los vectores unitarios ~ur (radial) y ~ut (tangencial a la trayectoria) las siguientes

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magnitudes: a) el momento lineal de la partıcula, b) la energıa de la partıcula y,c) el momento angular de la misma.

17. Un planeta de masas m gira en orbita elıptica alrededor del Sol, cuya masa es My que ocupa uno de los focos. Se sabe que el momento en que la distancia al Soles r0, su velocidad es v0 y el angulo entre el radio vector ~r0 y el vector velocidad~v0 es α. Plantear las ecuaciones necesarias para calcular las distancias maxima(afelio) y mınima (perihelio) desde el planeta al Sol.

18. (examen 2002/03) Un meteoro se apoxima al Sol (masa: Ms = 2× 1030 kg; radioRS = 7 × 108 m), tal y como muestra la figura. Cuando esta muy lejos (lo sufi-ciente para ignorar todo efecto gravitatorio), su velocidad vi es de 10 km/s, y elparametro de impacto b (definido como en la figura) vale b = 1011 m.a) Determinar la distancia mınima d a la que el meteoro pasa del centro del Sol.b) Determinar la velocidad del meteoro en la posicion anterior de maximo acer-camiento.c) ¿Que tipo de orbita describira el meteoro?d) Calcular el valor maximo del parametro de impacto b para que, con las mismavelocidad inicial de 10 km/s, el meteoro se precipite sobre la superficie solar.

Figure 2: Problema 18

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19. ¿Con que velocidad llegarıa a la superficie de la Tierra un cuerpo que viniese desdeel infinito, estando inicialmente en reposo, al ser atraıdo por la fuerza gravitatoriaterrestre?. Datos: Radio de la Tierra RT = 6.370 km, aceleracion de la gravedaden la superficie terrestre g0 = 9.8 m/s2.

20. Desde la superficie de la Tierra se lanza un cohete de masa m = 800 kg convelocidad v = 4 km/s.a) Calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria cuando el cohete haalcanzado una altura de 500 km sobre la superficie terrestre.b) Calcular la velocidad del cohete a esa altura si ha ido durante el trayecto conlos motores apagados.c) Calcular el modulo del momento angular del cohete respecto al sistema dereferencia centrado en la Tierra, en el punto de lanzamiento y a la altura de 500km, si en el momento del lanzamiento el vector velocidad formaba un angulo de30◦ con la vertical.d) Determinar el angulo que forma el vector velocidad con la direccion radialcuando el cohete esta a esa altura de 500 km.Datos: RT = 6.370 km y g0 = 9.8 N/kg.

21. (examen 2007) Considere una nave en orbita elıptica alrededor de la Tierra. En elpunto mas bajo de su orbita, perigeo, la nave esta a una altura de 300 km sobrela superficie terrestre, y en el mas alto, perigeo, esta a 3000 km.a) Calcular la relacion entre la velocidad en el perigeo y el apogeo.b) Hallar la velocidad en el perigeo y el apogeo.c) Determinar el periodo de la orbita sabiendo que es igual al de una orbita circularde diametro igual al eje mayor de la elipse.d) Se desea que la nave abandone el campo gravitatorio terrestre; si se enciendenlos motores cuando esta en el perigeo, ¿cuanto tendra que aumentar la velocidadpara lograrlo?. ¿Y si los motores se encienden en el apogeo?. ¿Que punto de laorbita resulta energeticamente mas favorable para encender los motores?.Datos: RT = 6.370 km y g0 = 9.8 N/kg.

22. (examen 2006) Desde la superficie de la Tierra (RT = 6.370 km) se lanza un cohete.A una altura h = 500 km lleva una velocidad de 1200 km/h en la direccion radial,y para los motores.a) Determinar a que distancia sobre la superficie terrestre puede llegar con losmotores apagados.b) Si a la altura de 500 km suelta un cuerpo, sin comunicarle impulso alguno,razone que trayectoria describira respecto del cohete mientras este mantiene losmotores apagados.Nota: g0 = 9.8 m/s2.

23. (examen 2001) Un satelite artificial de 1000 kg gira en una orbita circular alrededorde la Tierra a una altura de 100 km. Si se lleva al satelite a una orbita circularde altura 200 km, calcular: a) variacion de energıa mecanica en el transito deuna orbita a otra, ¿cuanto varıa su energıa cinetica?, c) ¿cuanto varıa su energıapotencial?, d) explique por que la suma de las variaciones de la energıa cinetica ypotencial no es nula.

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24. (examen 2008) Se colocaron dos satelites en una misma orbita circular alrededorde la Tierra, pero por error el segundo satelite se le hizo orbitar en sentido opuestoal primero, y por tanto chocaron. Los dos satelites tenıan la misma masa m = 125kg y giraban en una orbita de radio r = 7.87× 106 m.a) Calcular la energıa mecanica total de los dos satelites con respecto a la Tierraantes de chocar.b) Si el choque es totalmente inelastico, formandose un cuerop de masa 2m, cal-cular la energıa mecanica total justamente despues del choque.c) ¿Seguira orbitando el cuerpo resultante justamente despues del choque o caeradirectamente al centro de la Tierra?d) Independientemente del resultado anterior, ¿con que velocidad llegarıa a la su-perficie de la Tierra el cuerpo resultante si cayera directamente hacia el centro dela Tierra desde el punto de choque e ignorando el rozamiento con la atmosfera?

25. (parcial 2010/11) Una lanzadera de masa ml = 500 kg lleva una sonda de masams = 100 kg, y el conjunto describe inicialmente una orbita circular alrededor dela Tierra de radio rini = 12000 km. Calcule:

(a) La velocidad y el momento angular del conjunto lanzadera+sonda en dichaorbita inicial.

(b) En un cierto instante, la lanzadera lanza la sonda en la direccion y sentidodel movimiento del conjunto, de manera que la sonda adquiere la velocidadmınima necesaria para escapar del campo gravitatorio terrestre. Determinelas energıas mecanicas de la sonda y de la lanzadera inmediatamente despuesdel lanzamiento, y razone que orbitas describiran.

(c) Calcule las velocidades de la sonda y de la lanzadera inmediatamente despuesdel lanzamiento.

Datos adicionales: aceleracion de la gravedad en la superficie terrestre, g0 = 9.8m/s2, radio terrestre, RT = 6370 km.

26. (examen final 2010/11) El momento angular de un satelite en orbita circular alrede-

dor de la Tierra vale ~L = 1.45× 1014 ~k kg m2/s. Si su masa es de 103 kg,a) dibuje en relacion con un sistema de referencia cartesiano el plano que contienela orbita y el sentido del movimiento;b) deduzca el radio de la orbita r;c) calcule el modulo del momento lineal;d) determine la energıa mecanica del satelite.Datos adicionales: aceleracion de la gravedad en la superficie terrestre, g0 = 9.8m/s2; radio de la Tierra, RT = 6370 km.

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