Prob Hiperestaticos 2015I
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7/24/2019 Prob Hiperestaticos 2015I
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Resistencia de
MaterialesTema 6.1Estructuras Estaticamente
indeterminadas
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7/24/2019 Prob Hiperestaticos 2015I
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ndice de contenido
Introduccin
Seccin.1 - Estructuras estticamente indeterminadas
Seccin.2 - Tensiones de origen trmico
Seccin.3 Espfueros por monta!e o pre esfueros
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SISTE"#S $I%E&EST'TI()S ) EST'TI(#"E*TE I*+ETE&"I*#+)S
,n sistema se dice ue es iperesttico cuando /as fueras ue act0an sore uncuerpo no pueden determinarse so/o por /as ecuaciones de /a esttica poruea mas fueras desconocidas ue ecuaciones de eui/irio.%ara so/ucionar /os sistemas iperestticos es necesario sup/ementar /asecuaciones de/ eui/irio con ecuaciones de /as deformaciones4 esto es deemosdisponer de n ecuaciones independientes para a//ar /os 5a/ores de n incgnitas.En /os e!emp/os siguientes se i/ustra /a forma de so/ucionar pro/emasiperestticos o estticamente indeterminados. os sistemas anteriormenteestudiados se denominan sistemas Isostticos o estticamente determinados.
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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos
Las Condiciones de equilibrio
Se usa para determinar las fuerzasresistentes
Utiliza las ecuaciones de equilibrio de laesttica
Relaciones Compatibilidad y
eometr!aSe usa para deducir el cambio en la
longitud de la barra debido a fuerzasaxiales.
Relaciona la geometra y compatibilidad delas barras a nivel de desplazamientos
Condici"n Constituti#a
Ley de Hooe !"sf# $eformaci%n&
'ermite calcular las deformaciones axialesentre secciones.
7= PL/EA
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RESISTENCIA. Problemas HiperestaticosTracci"n y compresi"n $iperest%ticas.
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(uando /as reacciones de /as /igaduras no pueden determinarse uti/iando 0nicamente/as ecuaciones de /a Esttica se dice ue e/ sistema es iperesttico.
SistemaIsosttico
Sistema$iperesttico
9/ida so/o unaecuacin de /a esttica
0R P R P = =
Son necesarias ecuacionesen deformaciones
Ecuacin de /aesttica
A BR R P+ =
Estas ecuaciones deene:presar ue; laslasdeformaciones del sistemadeformaciones del sistema
deben ser compatibles condeben ser compatibles con
las ligaduras del mismolas ligaduras del mismo
0AB =
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E!emp/o
,na arra de seccin recta cuadrada de 8 cm de /ado est su!eta rgcomo se 5e en /a figura. +eterminar /as reacciones en /os e:tremos de /a arra e/ a/argamiento de /a parte dereca. (onsiderar E?21:1=6>g@cm2
+S de /a arra
&aA&?2= === >g
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(omo /a arra est fi!a a muros indeforma/es entonces /a deformacin de /aporcin iuierda de /a arra ser igua/ a /a deformacin de /a porcin dereca4entonces;
di
di
di
RRx
R
x
R
LL
5,1)101,2)(25(
)15(
)101,2)(25(
)10(66
=
=
=
Entonces;
)/101,2)(25(
)15(262 cmkgxcm
cmRL dd=
amientoalcmLd
arg0023,0 =
kgR
kgR
d
i
8000
12000
=
=
uego;
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E!emp/o;
(onsiderar /a arra #B de /a figura aso/utamente rg articu/ada en # soportada por /a 5ari//a de aceroEB por /a 5ari//a de core (+. a /ongitud de (+ es C= cm /a de EB es 18=cm. Si /a seccin de (+ es de 8 cmD /a de EB 3 cmD determinar e/ esfuero encada 5ari//a 5ertica/ e/ a/argamiento de /a de acero. +espreciar e/ peso de #B considerar para e/ core E?12:1=6>g@cm2 para e/ acero E?21:1=6>g@cm2
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+S de /a arra #B;
0)180(20000)240()120(0
0200000
00
=+=
=++=
==
acCuA
acCuyy
xx
FFM
FFAF
AF
(omo se puede 5er /as ecuaciones de/ eui/irio de/ sistema no son suficientespara so/ucionar e/ pro/ema4 deemos entonces sup/ementar estas ecuacionescon otras pro5enientes de /a deformacin ocurrida en e/ sistema.
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E/ efecto de /a carga ap/icada deformar /as arras 5ertica/es por /o ue /a arra#B de!ar /a posicin orionta/ aparecer inc/inada como e/ esuema de /afigura;
CuAcCuAc == 2
120240
Teniendo en cuenta
ue;
AE
FLL=
)102,1)(5(
)90(2
)101,2)(3(
)150(66 x
F
x
F CuAc=
CuAc FF 26,1=&eso/5iendo e/ sistema deecuaciones tenemos;
2
2
/17005800
/360010700
cmkgkgF
cmkgkgF
CuCu
AcAc
==
==
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ES&'ER() *E )RI+ENT,RMIC)
L=L0
T
Lo L
L
C
A
L
OR
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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos -ariaciones trmicas
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En sistemas isostticos no se presentan esfueros por temperatura.
En sistemas indeterminados /os camios de temperatura ocasionan esfuerossignificati5os.
a deformacin /ongitudina/ deido a un camio de temperatura es;
T+
+onde a/fa es e/ coeficiente de di/atacin trmica /ongitudina/
(oef di/at. Trmica core? =.====16 @=(
(oef di/at. Trmica acero? =.====12 @=
(
TL =
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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos -ariaciones trmicas y de/ectos de monta0e.
13
(uando /as deformaciones producidas por5ariaciones de temperatura estn tota/ o
parcia/mente impedidas aparecentensiones.
+eformacin ue seimpide;
L T
(ompatii/idad dedeformaciones. NLL T
E =
ProblemaHiperesttico
( )E
N L TL
=
0L T N >
0L T N =
T+
Si /a arra dee uedar montada entre /as dos paredes fuese F cm cortadeemos ap/icar/e una carga % ue /e produca esa deformacin. Esta carga uedaen /a arra despus de montada se superpone con /as dems cargas ap/icadas a/a arra.
EP
L
=
TL =
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( se denomina )oe*ciente de dilataci%n t+rmica y escaracterstica de cada material, sus valores estntabulados y se expresan en unidades -/)."n el caso mas simple0 se tiene una barra de longitudLo1
LoLodilata una cantidad 2L cuando la temperatura de Lose incrementa.
Lo2L
L
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Locontrae una cantidad 2L cuando la temperaturadisminuye
L 2L Lo
L3Lo#2L 532LLo3! L#Lo &Lo 5 es negativo
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a e:periencia a demostrado ue sia e:periencia a demostrado ue siincrementamos /a temperatura de un cuerpoincrementamos /a temperatura de un cuerpo
ste se di/ata G aumenta sus dimensionesH ste se di/ata G aumenta sus dimensionesH si se decrementa /a temperatura ste sesi se decrementa /a temperatura ste secontrae Greduce sus dimensionesH4 estecontrae Greduce sus dimensionesH4 estefenmeno es re5ersi/e es decir cuando e/fenmeno es re5ersi/e es decir cuando e/cuerpo 5ue/5e a /a temperatura inicia/cuerpo 5ue/5e a /a temperatura inicia/recupera /as dimensiones ue ten
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ci/mente se comprende ue en un cuerpoci/mente se comprende ue en un cuerpoen cuo interior e:ista un gradiente deen cuo interior e:ista un gradiente de
temperaturas /as di/ataciones de /astemperaturas /as di/ataciones de /assuperficies ue se encuentren en un instantesuperficies ue se encuentren en un instantedeterminado a maor temperatura serndeterminado a maor temperatura sernsuperiores a /as de temperaturas ms a!assuperiores a /as de temperaturas ms a!as
esta di/atacin re/ati5a de unas superficies esta di/atacin re/ati5a de unas superficiesrespecto de otras sern causa de un estadorespecto de otras sern causa de un estadode tensiones ue en a/gunos casos Gcomode tensiones ue en a/gunos casos Gcomoocurre en /as turinas de 5apor motoresocurre en /as turinas de 5apor motores+iese/H puede ser de e:traordinaria+iese/H puede ser de e:traordinariaimportancia su conocimiento.importancia su conocimiento.
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(onsideraremos en primer /ugar e/ caso(onsideraremos en primer /ugar e/ casoen ue e/ gradiente de temperaturas esen ue e/ gradiente de temperaturas esnu/o es decir cuando en todo e/ materia/nu/o es decir cuando en todo e/ materia/
/a temperaturas es nu/o es decir cuando/a temperaturas es nu/o es decir cuandoen todo e/ materia/ /a temperatura esen todo e/ materia/ /a temperatura esuniforme.uniforme.
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E:perimenta/mente se a otenido ue /aE:perimenta/mente se a otenido ue /a5ariacin de /a /ongitud con /a temperatura5ariacin de /a /ongitud con /a temperatura
es una funcin /inea/ por /o ue /oses una funcin /inea/ por /o ue /osa/argamiento sern directamentea/argamiento sern directamenteproporciona/es a /os incrementos deproporciona/es a /os incrementos detemperatura.temperatura.
JJ?? JJooG1 AG1 A KTHKTH
o ieno ien
K/ ?K/ ? JJKTKT
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a constante de proporciona/idada constante de proporciona/idad LLes unaes unacaracter
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En consecuencia e/ camio unitario en /aEn consecuencia e/ camio unitario en /a/ongitud de /a arra deido a /a 5ariacin de/ongitud de /a arra deido a /a 5ariacin de
temperatura KT ser;temperatura KT ser;
Tl
l
=
=
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Es e5idente ue si /a arra sometida a unEs e5idente ue si /a arra sometida a uncamio de temperatura es /ire nocamio de temperatura es /ire no
aparecer tensin a/guna a ue no e:isteaparecer tensin a/guna a ue no e:isteninguna fuera sore /a misma.ninguna fuera sore /a misma.
En camio si /a arra como frecuentementeEn camio si /a arra como frecuentementeocurre est impedida a a/argarse e/ocurre est impedida a a/argarse e/fenmeno es eui5a/ente a una compresinfenmeno es eui5a/ente a una compresincuo acortamiento sea igua/ a/ a/argamientocuo acortamiento sea igua/ a/ a/argamiento
trmico.trmico.
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%or /a /e de%or /a /e de $oo>e$oo>e en /a arra se crear en /a arra se crearuna tensin norma/ dada por /a ecuacinuna tensin norma/ dada por /a ecuacin
? -? -EE ? -E? -E KTKT
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En /a construccin en e/ diseMoEn /a construccin en e/ diseMo
de miemros de un mecanismo ode miemros de un mecanismo oe/ementos estructura/es ese/ementos estructura/es esnecesario tener en cuenta /asnecesario tener en cuenta /as
deformaciones trmicas sore tododeformaciones trmicas sore todocuando se emp/ean distintoscuando se emp/ean distintosmateria/es.materia/es.
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#/gunas 5eces /os 5a/ores de/#/gunas 5eces /os 5a/ores de/
coeficiente de di/atacin trmicacoeficiente de di/atacin trmicason casi igua/es entonces seson casi igua/es entonces sefa5orece su uso con!unto comofa5orece su uso con!unto como
ocurre con e/ ormign e/ aceroocurre con e/ ormign e/ acerocuando se uti/ian amos en e/cuando se uti/ian amos en e/ormign armado.ormign armado.
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Es con5eniente uti/iar e/ siguiente procedimientoEs con5eniente uti/iar e/ siguiente procedimientopara determinar /as tensiones trmicas cuando separa determinar /as tensiones trmicas cuando se
impiden /as di/ataciones;impiden /as di/ataciones;
Se ca/cu/a /a di/atacin como si sta fuera /ire.Se ca/cu/a /a di/atacin como si sta fuera /ire. Se ap/ica /a fuera de traccin o compresinSe ap/ica /a fuera de traccin o compresin
monoa:ia/ para ue /a piea ocupe /a posicin amonoa:ia/ para ue /a piea ocupe /a posicin a/a ue est o/igada por /as /igaduras impuestas./a ue est o/igada por /as /igaduras impuestas. Se ace un esuema grfico de /os dosSe ace un esuema grfico de /os dos
apartados anteriores se deducir de / /aapartados anteriores se deducir de / /a
re/acin o re/aciones geomtricas entre /asre/acin o re/aciones geomtricas entre /asdeformaciones deidas a /as 5ariacionesdeformaciones deidas a /as 5ariacionestrmicas /as fueras de traccin o compresintrmicas /as fueras de traccin o compresinap/icadas.ap/icadas.
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a arra #( representada en /a figura es tota/mente rg e/ de /as otras dos arrases desprecia/e. Si /a temperatura de /as arras B+ (E aumenta 7= N(. $a//ar /osesfueros producidos en esas arras. B+ es de core para e/ cua/ E ? 1=8 : 1=6>g@cm2 L ? 1OO : 1=-6@ N( /a seccin 12 cm2 mientras ue (E es de acero parae/ cua/ E ? 21 : 1=6>g@cm2 L ? 11 : 1=-6 @ N( /a seccin 6 cm2 despreciar /aposii/idad de pandeo /atera/ en /as arras
EJEMPLO:
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E/ diagrama de s/ido /ire de /a arra #B( se muestra en e/ grfico siguiente;
+e/ eui/irio de/ sistema podemos otener /as siguientes ecuaciones;
00 == xx AFkgCEBDAF yy 50000 =++=
)120(5000)240()120(0 =+= CEBDMA kgCEBD 50002 =+(omo se aprecia e/ pro/ema es iperesttico por /o ue reuerimos sup/ementar/as ecuaciones de/ eui/irio con ecuaciones de deformacin de /os componentesde/ sistema en estudio.
----G1H
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as arras B+ (E se deforman por accin mecnica efecto trmico entonces/a arra #B( adoptar una posicin inc/inada como se muestra en e/ esuema
+e este esuema se otiene;
BDCECEBD
cm
=
=
2
240120
TAE
P+=
a deformacin cuando es originada por accin mecnica por efecto trmico see:presa de /a forma siguiente;
+=+ )40)(/107,17(90
)12(/1005,1
)90(2)40)(/1011(90
)6(/101,2
)90( 6226
6
226 CCxcm
cmcmkgx
cmBDCCxcm
cmcmkgx
cmCE
-------- G2H
+e /a ecuacin G2H con /os datos de/ pro/ema se tiene;
-
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+e donde; O172C (E-72P8O B+ ? PO P7= ----------G3H
(onsiderando /a ecuacin G1H tenemos;
O172C (E 172P8OG8 === >g 2 (EH ? POP7= de donde;
(E ? 7 78C82 >g B+ ? - 3 C1C=7 >g entonces /os esfueros sern;
26
52,4459
cm
kgCE =
2
/25,743 cmkgCE=
2
12
04,3919
cm
kgBD
=
2/59,326 cmkgBD =
-
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E!emp/os;E!emp/os; La viga rgida indeformable articulada en el punto OLa viga rgida indeformable articulada en el punto O
est colgada de dos tirantes elsticos iguales.est colgada de dos tirantes elsticos iguales.
Determinar los esfuerzos en los tirantes alDeterminar los esfuerzos en los tirantes al
calentarlos Tcalentarlos T ooC.C.
-
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(ortamos /os tirantes e introducimos /as fueras *(ortamos /os tirantes e introducimos /as fueras *11 * *22Qfigura GHR.Qfigura GHR.
Igua/ando a cero /a suma de /os momentos de /asIgua/ando a cero /a suma de /os momentos de /asfueras respecto a /a articu/acin ) a//aremosfueras respecto a /a articu/acin ) a//aremos
**11a A 2 *a A 2 *22a ? =a ? =
-
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Supongamos aora ue como resu/tado de/Supongamos aora ue como resu/tado de/ca/entamiento de /os tirantes /a 5iga r
-
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) de acuerdo con /a ecuacin ue nos da e/) de acuerdo con /a ecuacin ue nos da e/a/argamiento de una arra omognea so/icitada ena/argamiento de una arra omognea so/icitada ensus e:tremos ca/entada uniformemente;sus e:tremos ca/entada uniformemente;
T
SE
P+=
-
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+=+ T
SE
NT
SE
N
12 2
-
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Es decirEs decir
**22 2 * 2 *11? E S? E S LLKTKT
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&eso/5iendo esta ecuacin simu/tneamente con /a de&eso/5iendo esta ecuacin simu/tneamente con /a deeui/irio otendremoseui/irio otendremos
TSE5
1NyTSE5
2N 21 ==
E/ signo negati5o de *E/ signo negati5o de *11indica ue /a primera arra noindica ue /a primera arra no
traa!a a traccin como se supuso anteriormente sino atraa!a a traccin como se supuso anteriormente sino acompresin.compresin.
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Se trata de un pro/ema iperesttico por /o ue es con5enientesuponer ue e/ e:tremo superior se encuentra /ire. E/ +S sercomo e/ de /a figura. En esta condicin /a 5iga puede deformarse/iremente entonces;
mxCmCxTLL 46
1034,2)105)(1)(/104,23(
=== Esta ser
-
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L
EALF
..=+e /a re/acin;
kgm
cmkgxcmmx
F 2,6551
)/108,2)(10)(1034,2( 2524
==
%or /o tanto /a tensin GesfueroH ue se desarro//a en /a 5iga por efecto trmico es;
210
2,655
cm
kg
A
F
==
Entonces; 2/52,65 cmkg=
-
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Solucin:E/ camio de /ongitud GacortamientoH por efecto trmico ser;
TLL =
mmCmmCxL 1,62)20020)(300)(/105,11( 4 ==
162L
-
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a deformacin a:ia/ unitaria es; 207,0300
1,62==
=
mm
mm
L
L
uego e/ esfuero ue se desarro//a en /a arra es;
)/101,2(207,0 25 mmNxE==
2/43470 mmN=
%roa/emente despus de una /igera deformacin /a arra se rompa antes deue /a temperatura a/cance /os 2= N(.
-
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+e /a re/acin; TLL = )tenemos
CmmCx
mm
L
LT 26,5
)200)(/1019(
2,06
==
=
Solucin:
E/ aumento de temperatura necesario para ue e/ e:tremo # de /a arra a/cance /apared r
-
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Este incremento de temperatura es;
CCCT 74,4426,550 ==
E/ esfuero ue se genera en e/ interior de /a arra por efecto de este incrementode temperatura es;
TEE ==
GPaCCxGPa 0935,0)74,44)(/1019)(110( 6 ==
MPa5,93=
-
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45/56
Solucin:
%odemos determinar /a fuera cortante en e/ torni//o 5ertica/ en ase a / sepueden rea/iar c/cu/os para /a 5ari//a de acero.'rea de/ torni//o;
252
10854,74
)01,0(
4mx
mDA ===
-
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Entonces /a fuera cortante en e/ torni//o es;
NmxPaxAF 4,4712)10854,7)(1060( 256 ===
a fuera en /a 5ari//a ser; NNFP 8,9424)4,4712(22 ===E/ esfuero en /a 5ari//a es; MpaPax
mx
N
A
P120102,1
10854,7
8,9424 825
====
E/ aumento de temperatura ue genere este esfuero se puede ca/cu/ar uti/iando/a re/acin;
TE =
#s
-
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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos ES&'ER() INICIALES 1M)NTA2E
7O
E:isten esfueros inicia/es producidas por e/ monta!e deidas a errores en /as/ongitudes de /as arras o a 5ariaciones intencionadas de /os correctos de aue//as/ongitudes.
Estos esfueros e:isten aun cuando no actuen cargas e:teriores dependen de /asproporciones mecanicas de /os materia/es de /a magnitud de /os errores.
En sistemas isostticos no se presentan esfueros por efectos de monta!e
m
RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos
-
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48/56
RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos ES&'ER() INICIALES 1M)NTA2E
7P
En sistemas indeterminados /os efectos de monta!e ocasionan esfuerossignificati5os.
m
#
B
(1
2
3
a arra 3 es mas corta de su diseMo origina/
uego de rea/iado e/ monta!e se producen esfueros en /as tres arras por efecto
so/o de monta!e.
RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos
-
7/24/2019 Prob Hiperestaticos 2015I
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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos ES&'ER() INICIALES 1M)NTA2E
7C
P!O"LEMA #eterminar los es$uer%os &ue sur'en en las barras de acero(despu)s de *aberse e$ectuado el monta+e del sistema estructural( si labarra , $ue $abricada en O-. mm menor de lo pro0ectado- 1onsiderar -E= ,-232 4a 5'/cm,
RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos
-
7/24/2019 Prob Hiperestaticos 2015I
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RESISTENCIA. Problemas Hiperestaticos ES&'ER() INICIALES 1M)NTA2E
8=
Solucin:
Efectuamos e/ monta!e de/ sistema acemos un corte en todas /as arras;
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S S C ob e as pe es a cos ES&'ER() INICIALES 1M)NTA2E
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VE)"ET&I# W ()"%#TIBII+#+#na/iamos e/ diagrama de desp/aamientos;
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P!O"LEMA , En el sistema de barras de acero( la barra central $ue$abricada ma0or en &ue su lon'itud pro0ectada- #eterminar los
es$uer%os en las barras despu)s de e$ectuar el monta+e de la estructura en"( con la condicin de &ue son de reas i'uales- 1onsiderar - E= ,-2 32 46'/cm,
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