Principios Fundamentales estatica

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

SISTEMAS PLANOS

DE FUERZAS

ESTRUCTURAS IA

APUNTE DE CLASE

U

N

L

P

ING. ASDRÚBAL E. BOTTANI ING. FEDERICO C. ANTICO

AÑO 2009

Rhod Rothfuss, Superestructura Madí, 1946 Esmalte sobre cartón y madera terciada Colección privada

I N G E N I E R I A

SINTESIS

TEMATICA

UNIDAD I

FACULTAD DE INGENIERIA - UNLP DEPTO. DE CONSTRUCCIONES - CATEDRA DE ESTRUCTURAS I A APUNTE DE CLASE

AÑO 2009 1

SINTESIS TEMATICA DE LA UNIDAD I

SISTEMAS PLANOS DE FUERZAS PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

INDICE

1 NOCION DE FUERZA 2 PRIMER PRINCIPIO DE LA ESTATICA Y APLICACIONES

- Descomposición ortogonal de una fuerza - Resultante de n fuerzas concurrentes a un punto - Descomposición de una fuerza en dos direcciones concurrentes

3 SEGUNDO PRINCIPIO DE LA ESTATICA Y APLICACIONES

- Equilibrio de tres o más fuerzas aplicadas en un punto

4 SEGUNDO PRINCIPIO DE LA ESTATICA Y APLICACIONES

- Teorema de transmisibilidad - Caso de tres o más fuerzas concurrentes a un punto

5 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO

- Definición - Teorema de Varignon - Aplicación al caso de Componentes ortogonales - Pares de fuerzas o cuplas - Traslación de fuerzas - Fuerzas paralelas - Resultante - Fuerzas paralelas - Equilibrio - Fuerzas no concurrentes - Resultante - Fuerzas no concurrentes - Equilibrio

6 CUARTO PRINCIPIO DE LA ESTATICA – ACCION Y REACCION

- Vínculos y reacciones


AÑO 2009 2

SINTESIS TEMATICA DE LA UNIDAD I

SISTEMAS PLANOS DE FUERZAS PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

1.- NOCION DE FUERZA 2. PRIMER PRINCIPIO DE LA ESTATICA (STEVINIUS 1586):

NOCION DE FUERZA

ACCION DE UN CUERPO SOBRE OTRO QUE TIENDE A ALTERAR EL ESTADO DE REPOSO O

MOVIMIENTO DE ESTE ULTIMO F=m dv/dt

MAGNITUD DIRECCION (RECTA DE ACCION)

SENTIDO

MAGNITUD VECTORIAL

CARACTERISTICAS QUE DEFINEN UNA FUERZA

F1

F2

A

F1

F2

R

A

R = F1 + F2

“La acción de dos fuerzas F1 y F2 aplicadas en un punto A de un cuerpo rígido es equivalente a la acción de una única fuerza llamada resultante R de F1 y F2, aplicada en el mismo punto A y que se obtiene como la diagonal del paralelogramo que tiene como lados adyacentes a F1 y F2.”

SI F1 Y F2 SON COLINEALES LA SUMA VECTORIAL SE TRANSFORMA EN SUMA ALGEBRAICA


AÑO 2009 3

iFsenFyiicosFiFxi

α=α=

APLICACIONES DEL PRIMER PRINCIPIO: Descomposición y composición de fuerzas en el plano: - Descomposición ortogonal de una fuerza: DESCOMPOSICION: COMPOSICION:

α=

α=

FsenFy

cosFFx

FxFytg

FyFxF 22

=α

+=

- Resultante de n fuerzas concurrentes a un punto: polígono de fuerzas

F

O X

Y

α

Fx

Fy

O

F1

F2

F3 R1-2

R

F1

F2

F3

SOLUCION GRAFICA: POLIGONO AUXILIAR DE FUERZAS Construcción auxiliar dibujando cada fuerza una a continuación de la otra, siendo la resultante el vector con origen en el origen de la primera y extremo en el extremo de la última

SOLUCION ANALITICA: PASO 1: Se adopta un sistema de referencia ortogonal X e Y con origen en O Descomposición de cada una de las fuerzas en sus componentes ortogonales Fxi y Fyi

Y

X

F1

F2

F3

F3x

F2x

F1x

F3y

F2y

F1y

O

SOLUCION ANALITICA: PASO 2: Obtención de cada una de las componentes Rx y Ry de la resultante y finalmente obtención de la misma por composición.

X

F1y

Y

Rx=ΣFxi

F2x

F1x

F3y

F2y

O

Ry=ΣFyi

∑∑

=

=

FyiRy

FxiRx

RxRytg

RyRxR 22

=α

+=

F3x

Fx es positiva si coincide con x positivo Fy es positiva si coincide con y positivo


AÑO 2009 4

-Descomposición de una fuerza en dos direcciones concurrentes:

1

F

2

O

SE DESEA DESCOMPONER LA FUERZA F EN DOS FUERZAS DE DIRECCIONES CONOCIDAS 1 Y 2

SOLUCION GRAFICA: CONSTRUCCION AUXILIAR Aplicando el principio del paralelogramo por el origen y extremo de f se trazan paralelas a 1 y 2 respectivamente obteniendo S1 y S2.

S1

S2 1

2 F

SOLUCION ANALITICA: PASO 1 Se elige un sistema ortogonal de referencia con origen en O. F, α1 y α2 son datos del problema

SOLUCION ANALITICA: PASO 2 Se adopta un sentido arbitrario para las fuerzas S1 y S2. Se plantean dos ecuaciones algebraicas según cada uno de los ejes igualando la suma de cada componente de S1 y S2 en cada eje con la componente de F en ese eje. Las incógnitas son S1 y S2. Si los resultados obtenidos tienen signo positivo significa que los sentidos adoptados son correctos, de lo contrario los sentidos reales son opuestos a los adoptados

1

F

2

X

Y

α

α1

α2

O

1

F

2

X

Y

α

α1

α2

S1

S2

S2x S1x

S2y

S1y

O

α=α+αα=α+α

Fsen2sen.2S1sen.1ScosF2cos2S1cos1S

LA DESCOMPOSICION DE UNA FUERZA EN MAS DE DOS DIRECCIONES CONCURRENTES ES UN PROBLEMA QUE NO TIENE SOLUCION MEDIANTE EL USO DE CUACIONES ESTATICAS SOLAMENTE


AÑO 2009 5

SI LA RESULTANTE DE DOS DE LAS FUERZAS ES IGUAL Y OPUESTA A LA TERCERA EL SISTEMA

TIENE RESULTANTE NULA Y ESTA EN EQUILIBRIO

O

F1

F2 F3

O

F1

F2 F3

R1-2

F3 ES LA EQUILIBRANTE DE F1 Y F2 F3=-R1-2

O

F1 F2

F3

EL TRIANGULO DE FUERZAS EN EQUILIBRIO RESULTA CERRADO

TRES FUERZAS PUEDEN ESTAR EN EQUILIBRIO SOLAMENTE SI SON CONCURRENTES. SOLO DE ESTA FORMA LA TERCERA ES IGUAL Y OPUESTA A LAS OTRAS DOS.

3. SEGUNDO PRINCIPIO DE LA ESTATICA: APLICACIONES DEL SEGUNDO PRINCIPIO: - Equilibrio de tres o más fuerzas aplicadas en un punto

“Dos fuerzas F1 y F2 están en equilibrio únicamente si tienen la misma magnitud, la misma recta de acción y sentido opuesto.”

F2 F1

R = F1 + F2 = 0 2F1F = SISTEMA NULO

O EQUILIBRADO

F1 y F2 SON IGUALES Y OPUESTAS

INTERPRETACION GRAFICA


AÑO 2009 6

∑∑

==

==

0FyiRy

0FxiRx

Lo indicado para el caso de tres fuerzas se puede generalizar a más de tres fuerzas aplicadas en un punto:

O

F1

F2 F3

Y

X

F1y

F3y

F2y

F3x F1x

F2x

INTERPRETACION ANALITICA

SI LA RESULTANTE ES NULA SUS COMPONENTES Rx y Ry TAMBIEN LO SON

F1

F1

F2

F2

F3

F3 F4

F4

F5

F5

∑∑

==

==

0FyiRy

0FxiRx

O CONDICION

GRAFICA POLIGONO CERRADO

CONDICION ANALITICA

Y

X


AÑO 2009 7

-Aplicación: Dadas n fuerzas concurrentes encontrar la equilibrante del sistema. Establecer el número mínimo de direcciones necesarias para poder generar

siempre la equilibrante del sistema

F1

F2

F3

F4

O

Y

X

F4

F1

F2

F3

R

E

La equilibrante es igual y opuesta a la resultante y es la fuerza que cierra el polígono de fuerzas El número mínimo de direcciones para poder generar siempre esta equilibrante para cualquier conjunto de fuerzas F1 a F4 es dos porque E cambia su orientación de acuerdo a los valores de las fuerzas F1 a F4

SOLUCION GRAFICA

F4

F1

F2

F3 E

F1

F2

F3 F4

O

Y

X

A

B

SB

SA

SA

SB


AÑO 2009 8

∑∑

==

==

0FyiRy

0FxiRx

SOLUCION ANALITICA

F1

F2

F3 F4

O

Y

X

B

SA

SB

Datos del Problema: Fuerzas F1 a F4 (en general F1 a Fn) Direcciones A y B

Paso 1: Se asumen sentidos arbitrarios de las incógnitas SA y SB

Paso 2: Planteo de la nulidad de la resultante de todo el sistema de fuerzas F1 a Fn, SA y SB, aplicando nulidad según los ejes ortogonales X e Y

A

αA

αB

F1

F2

F3 F4

O

Y

X

B

SA

SB

A

αA

αB

SBy

SAy

SAx SBx

0senFsen.Ssen.S

0cosFcosScosS

iiBBAA

iiBBAA

=α+α+α+

=α+α−α−

∑

∑

Paso 3: La solución del sistema es la solución del problema. Si los resultados son positivos los sentidos supuestos son los reales


AÑO 2009 9

F

A FUERZA F CON RECTA DE ACCION r APLICADA EN A

r

F

A r

F

-F B

SE AGREGA SISTEMA NULO F Y –F EN B

LAS CONDICIONES NO SE ALTERAN

F

A r

F

-F B

SE QUITA SISTEMA NULO F EN A Y –F EN B

LAS CONDICIONES NO SE ALTERAN

A r

F B

LA FUERZA F SE HA TRASLADADO A LO

LARGO DE SU RECTA DE ACCION AL PUNTO B SIN QUE LAS CONDICIONES ESTATICAS SE ALTEREN

1

2

3

4

4. TERCER PRINCIPIO DE LA ESTATICA: APLICACIONES DEL TERCER PRINCIPIO: -Teorema de transmisibilidad:

“La acción de de un sistema de fuerzas dado no se altera si se agrega o quita a estas fuerzas cualquier otro sistema de fuerzas equilibrado”.

O

F1

O

F1

- P

P


AÑO 2009 10

EL TEOREMA DE TRANSMISIBILIDAD ES VALIDO SOLAMENTE EN EL CASO DE CUERPOS RIGIDOS

B

A

P

-P

B

A

-P

P

CASO 1: BARRA AB CON FUERZAS P y –P EN A y B RESPECTIVAMENTE. SI LA BARRA FUERA DEFORMABLE EL EFECTO DE P y –P ES UN ACORTAMIENTO DE LA BARRA AB

CASO 2: APLICANDO TRANSMISIBILIDAD LA FUERZA P SE LLEVA AL PUNTO B Y –P SE LLEVA AL PUNTO A. SI LA BARRA FUERA DEFORMABLE EL EFECTO DE P y –P ES AHORA UN ALARGAMIENTO DE LA BARRA AB

B

A

-P

P CASO 3: APLICANDO TRANSMISIBILIDAD SOLO LA FUERZA -P SE LLEVA AL PUNTO A LA BARRA EN ESTE CASO NO SE DEFORMA


AÑO 2009 11

∑∑

=

=

FyiRy

FxiRx

-Caso de tres o más fuerzas concurrentes a un punto:

POR APLICACIÓN DEL TEOREMA DE TRANSMISIBILIDAD TRES O MAS FUERZAS APLICADAS EN PUNTOS A, B, C, ETC DE UN CUERPO RIGIDO CON RECTAS DE ACCION CONCURRENTES A UN PUNTO O PUEDEN SUPONERSE APLICADAS EN DICHO PUNTO PARA EL ANALISIS ESTATICO DEL MISMO CON RESULTADOS EQUIVALENTES. ASI SE PUEDE DETERMINAR LA RESULTANTE R DE DICHAS FUERZAS EN FORMA GRAFICA O ANALITICA SABIENDO QUE EL PUNTO O ES UN PUNTO DE LA RECTA DE ACCION DE DICHA RESULTANTE.

F1

F2

F3

O

R

F3

F1

F3

F1

F2

F3

A

B

C

O


AÑO 2009 12

5. MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO - Definición

B

F

d A

EL MOMENTO MIDE LA CAPACIDAD DE UNA FUERZA DE PRODUCIR UN GIRO ALREDEDOR DE UN PUNTO. SE PUEDE AUMENTAR ESA CAPACIDAD AUMENTANDO LA FUERZA O EL BRAZO DE PALANCA “d”

MA = Fd

EL MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO ES IGUAL AL PRODUCTO DE LA FUERZA POR LA DISTANCIA DESDE LA RECTA DE ACCION DE LA FUERZA A ESE PUNTO. LA DISTANCIA DEL PUNTO A LA RECTA SE MIDE SOBRE LA PERPENDICULAR PASANDO POR EL PUNTO HASTA DICHA RECTA.

EL MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO ES UNA MAGNITUD VECTORIAL PORQUE ESTA CARACTERIZADO POR EL MODULO Fxd,Y UN SENTIDO: EL VECTOR MOMENTO ES PERPENDICULAR AL PLANO DE LA FUERZA Y SU SENTIDO SE ASIGNA SEGÚN LA REGLA DE LA MANO DERECHA.

M es positivo si produce giro antihorario M es negativo si produce giro horario

F

d

MA>0

A

Plano de la fuerza

X

Y

O

Z


AÑO 2009 13

- Teorema de Varignon - Aplicación al caso de componentes ortogonales:

B

FdA

Fy

Fx

O X

Y

dx

dy

XYYXA dFdFFdM −==

F1

“El momento de dos o más fuerzas respecto de un punto es igual al momento de su resultante respecto del mismo punto”.

2211RA dFdFRdM +==

F1

F2

R

F2

R

d 2

d 1

d R A


AÑO 2009 14

- Pares de Fuerzas o Cuplas:

“Dos fuerzas actuantes en un cuerpo rígido, de igual magnitud, sentido contario y rectas de acción paralelas constituyen una cupla o par”.

A B

d

F

F

M

FdM =

CARACTERISTICAS Y PROPIEDADES: - EL EFECTO DE UNA CUPLA ES PRODUCIR UNA ROTACION DEL CUERPO EN EL QUE ACTUA. - LA CUPLA ESTA CARACTERIZADA POR EL PRODUCTO Fd Y NO POR EL VALOR INDIVIDUAL DE F o d. SI

VARIAN AMBOS MANTENIENDO CONSTANTE EL PRODUCTO ELEFECTO ES EL MISMO. - EL MOMENTO RESPECTO DE CUALQUIER PUNTO DEL PLANO EN EL QUE ACTUA LA CUPLA ES IGUAL

AL PRODUCTO Fxd - LAS CUPLAS SE PUEDEN DESPLAZAR EN TODO EL PLANO EN EL QUE ACTUAN SIN QUE VARIE SU

EFECTO (VALIDO SOLO PARA CUERPOS RIGIDOS) - LAS CUPLAS QUE ACTUAN EN UN PLANO SE PUEDEN SUMAR ALGEBRAICAMENTE (TODOS LOS

VECTORES ASOCIADOS SON PARALELOS Y PERPENDICULARES AL PLANO EN EL QUE ACTUA LA CUPLA)

F1

F1 d11

F2

F2

d21

M=F1d1=F2d2

M1 M1

F

F d

d1

d2

A

MA=Fd2-Fd1=Fd


AÑO 2009 15

- Aplicación a la traslación de fuerzas

PASO 1: APLICANDO EL TERCER PRINCIPIO SE AGREGA EN A UN SISTEMA NULO F Y –F. LAS CONDICIONES ESTATICAS NO SE ALTERAN

F

A

B

F

-F

Problema: Dada una chapa rígida imposibilitada de moverse por encontrarse el extremo A soldado a un apoyo fijo, y sometida a la acción de una fuerza F en su extremo B, se desea trasladar esta fuerza al centro del apoyo A.

PASO 2: LA FUERZA F EN A Y –F EN B CONSTITUYEN UN PAR DE VALOR Fxd QUE SE PUEDE APLICAR EN CUALQUIER PUNTO DEL PLANO

F

A

B

F

-F

d

A

B

F

d

F

M=-Fxd LA FUERZA F EN B SE HA TRASLADADO AL PUNTO A ADICIONANDO EL MOMENTO DE LA FUERZA CONSIDERADA EN SU POSICION ORIGINAL B RESPECTO AL PUNTO AL QUE SE TRASLADA A.

F

A

B

d


AÑO 2009 16

∑=

++=

i

321

PR

PPPR

IiR

332211R

dPRd

dPdPdPRd

∑=

++=

- Aplicación al caso de Fuerzas Paralelas - Resultante

P1 P2

A B

DATOS: FUERZAS P1, P2, P3 PARALELAS PUNTOS DE APLICACIÓN A,B Y C

P3

C

EL MODULO DE LA RESULTANTE ES IGUAL A LA SUMA ALGEBRAICA DE LOS MODULOS DE CADA UNA DE LAS FUERZAS

SU UBICACIÓN SE OBTIENE TOMANDO MOMENTO RESPECTO DE UN PUNTO ARBITRARIO Y APLICANDO TEOREMA DE VARIGNON

A B C

P1 P2 P3

R

d1

d2

d3

dR

O


AÑO 2009 17

0PR i == ∑

- Aplicación al caso de Fuerzas Paralelas - Equilibrio

P1 P3

1

P5

5

P2

P4

2 3 4

CONDICION 1: RESULTANTE NULA ASEGURA LA NO TRASLACION DEL SISTEMA PERO NO LA INEXISTENCIA DE UNA CUPLA

CONDICION 2: CUPLA NULA

0dPM iiO == ∑ASEGURA LA INEXISTENCIA DE UNA CUPLA PORQUE EL VALOR DE LA CUPLA NO DEPENDE DEL PUNTO QUE SE TOME PARA EVALUAR EL MOMENTO. ASEGURA LA NO ROTACION DEL SISTEMA

P1 P3

1

P5

5

P2

P4

2 3 4 O

d2

d4

d1 d3

d5

COMO ALTERNATIVA SE PUEDE PLANTEAR NULIDAD DE MOMENTOS RESPECTO A DOS PUNTOS CUALQUIERA DEL PLANO QUE NO ESTÉN SOBRE UNA LINEA PARALELA A LAS RECTAS DE ACCION DEL SISTEMA DE FUERZAS.


AÑO 2009 18

- Aplicación al caso de Fuerzas No Concurrentes - Resultante

P1 P2

P3

A B

C

DATOS: P1, P2, P3 FUERZAS NO CONCURRENTES INCOGNITA: RESULTANTE DEL SISTEMA Y SU RECTA DE ACCION

ELECCION DE UN SISTEMA DE COORDENADAS DE REFERENCIA XY DESCOMPOSICION DE C/U DE LAS FUERZAS EN SUS COMPONENTES PXi Y PYi

P1

P2

P3

A B

C

O

X

Y

α1

α2

α3

P2x

P3x

P1x

P1y

P2y

P3y


AÑO 2009 19

P1

P2

P3

A B

C

O

X

Y

α1

α2

α3

P2x

P3x

P1x

P1y P2y

P3y

MODULO Y DIRECCION DE LA RESULTANTE:

∑∑

=

=

FyiRy

FxiRx

X

YRRtg =α2

y2x RRR +=


AÑO 2009 20

UBICACION DE LA RESULTANTE: LO QUE SE DESEA ENCONTRAR ES LA ECUACION DE LA RECTA DE ACCION DE LA RESULTANTE O EN SU DEFECTO UN PUNTO DE LA MISMA PORQUE YA SE CONOCE LA ORIENTACION CON EL ANGULO α. UNA SOLUCION POSIBLE ES ENCONTRAR LA UBICACIÓN DE LA RESULTANTE Rx Y Ry SABIENDO QUE EL PUNTO DONDE SE CRUZAN AMBAS RECTAS DE ACCION ES UN PUNTO DE LA RECTA DE ACCION DE LA RESULTANTE

P1

P2

P3

A B

C

O

X

Y

α1

α2

α3

P2x

P3x

P1x

P1y P2y

P3y

Rx=ΣPxi

OR

y2 y1 yR

y3

xR

x1

x2 x3

Ry=ΣPyi

UBICACION DE LA RESULTANTE: EL PUNTO OR DE COORDENADAS XR E YR ES UN PUNTO DE LA RECTA DE ACCION DE LA RESULTANTE QUE TIENE EL MODULO R Y LA DIRECCION α ANTES CALCULADOS

∑∑=

Xi

iXiR P

yPy

∑∑=

Yi

iYiR P

xPx

α

R= Rx2+Ry2


AÑO 2009 21

- Aplicación al caso de Fuerzas No Concurrentes - Equilibrio

DATOS: Fuerzas P1, P2, P3, P4 (….Pn) EN PRINCIPIO DEBEN SER MAS DE TRES FUERZAS, PORQUE TRES FUERZAS NO CONCURRENTES NUNCA PUEDEN ESTAR EN EQUILIBRIO

CONDICION 1: RESULTANTE NULA

∑∑

==

==

0PR

0PR

YiY

XiX ASEGURA LA NO TRASLACION DEL SISTEMA PERO NO LA INEXISTENCIA DE UNA CUPLA

CONDICION 2: CUPLA NULA

∑ ∑ =+= 0xPyPM iYiiXiO

ASEGURA LA INEXISTENCIA DE CUPLA Y POR LO TANTO LA NO ROTACION DEL SISTEMA. EL PUNTO O PUEDE SER CUALQUIER PUNTO DEL PLANO NO NECESARIAMENTE EL ORIGEN DE COORDENADAS

P1 P2

P4

A B

D

P3

C

O

Y

X

P1y P2y

P3y

P4x

P4y

P3x

P2x P1x

y1 y2

y3

y4

x1 x2

x4 x3

COMO CONDICION ALTERNATIVA SE PUEDE ASEGURAR EL EQUILIBRIO DEL SISTEMA SI SE CUMPLE QUE LA SUMA DE LOS MOMENTOS RESPECTO A TRES PUNTOS NO ALINEADOS DEL PLANO RESULTA SIMULTANEAMENTE NULA.


AÑO 2009 22

6. CUARTO PRINCIPIO DE LA ESTATICA: ACCION Y REACCION

“Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre otro cuerpo B, éste ejerce una fuerza de igual magnitud, la misma recta de acción y sentido contrario sobre el primero. Estas dos fuerzas se denominan acción y reacción respectivamente”.

P

BARRA A

CHAPA B

PUNTO DE VINCULACION ENTRE A Y B

LA BARRA A EJERCE UNA ACCION P EN LA CHAPA B Y ÉSTA UNA REACCION –P EN LA BARRA A, A TRAVES DEL PUNTO DE VINCULACION ENTRE A Y B

P

LA REACCION –P Y LA FUERZA P ACTUANTE EN EL EXTREMO DE

LA BARRA CONSTITUYEN UN SISTEMA EQUILIBRADO

CHAPA B

P

-P REACCION –P DE LA CHAPA B SOBRE LA BARRA A

ACCION P DE LA BARRA A SOBRE LA CHAPA B

BARRA AACCION Y REACCION ACTUAN SOBRE

CUERPOS DIFERENTES POR LO TANTO NO SON

UN SISTEMA NULO


AÑO 2009 23

APLICACIONES DEL CUARTO PRINCIPIO : - Apoyos o vínculos - Ejemplo 1

F

A

B

d

CHAPA 1 CHAPA 2

CHAPA 1 DE LONGITUD d CON UNA CARGA F EN EL EXTREMO B SOLDADA A UNA CHAPA 2 COMPLETAMENTE FIJA. SE DESEA ENCONTRAR LAS REACCIONES QUE LA CHAPA 2 LE APLICA A LA 1 ATRAVES DE LA SOLDADURA EN A PARA QUE EL SISTEMA EN SU CONJUNTO ESTE EN EQUILIBRIO

SE SEPARAN LAS DOS CHAPAS PONIENDO DE MANIFIESTO LA ACCION Y REACCION QUE SE APLICAN MUTUAMENTE EN A. ESTAS FUERZAS EN EL CASO DE LA CHAPA 1 SE DENOMINARAN REACTIVAS Y JUNTAMENTE CON LA FUERZA F DENOMINADA ACTIVA DEBEN CONFORMAR UN SISTEMA EN EQUILIBRIO

F

B

d

CHAPA 1

A

-F

M:Fd

LA FUERZA –F ASEGURA LA NULIDAD DE LA RESULTANTE (NO HAY TRASLACION). SE OBTIENE PLANTEANDO Rx=0 Y Ry=0. EL PAR M=Fd ANTIHORARIO ASEGURA LA INEXISTENCIA DE CUPLA (NO HAY ROTACION). SE OBTIENE PLANTEANDO LA NULIDAD DE

MOMENTOS RESPECTO A CUALQUIER PUNTO. LAS ACCIONES DE LA CHAPA 1 EN LA 2 SON IGUALES Y CONTRARIAS A LAS REACCIONES CALCULADAS EN VIRTUD DEL CUARTO PRINCIPIO

A

CHAPA 2

M

F

EL MEDIO DE UNION ADOPTADO ENTRE LAS DOS CHAPAS DEBE SER CAPAZ DE TRANSMITIR LA FUERZA Y EL PAR, O LO QUE ES LO MISMO IMPEDIR LA TRASLACION DE LA CHAPA 1 EN CUALQUIER DIRECCION E IMPEDIR SIMULTANEAMENTE LA ROTACION DE LA MISMA. ESTE TIPO DE APOYO SE DENOMINA VINCULO DE TERCERA ESPECIE O EMPOTRAMIENTO. EL SISTEMA SE PUEDE ESQUEMATIZAR DE ESTA FORMA:


AÑO 2009 24

- Ejemplo 2

CHAPA 1 CON CARGAS P1 A P3 ABULONADA CON UN SOLO BULON EN EL EXTREMO A A UNA CHAPA 2 COMPLETAMENTE FIJA.

EN TERMINOS CINEMATICOS: LA FORMA DE SUJECIÓN ELEGIDA ENTRE LAS CHAPAS 1 Y 2 LIMITA TODA POSIBILIDAD DE TRASLACION DE LA CHAPA 2 PERO NO IMPIDE LA ROTACION ALREDEDOR DE A.

EN TERMINOS DE FUERZAS: EL APOYO A PUEDE GENERAR UNA REACCION CON CUALQUIER DIRECCION DEL PLANO PARA IMPEDIR LA TRASLACION EN ESA DIRECCION. COMO NO ES CAPAZ DE IMPEDIR LA ROTACION ALREDEDOR DE A EL MOMENTO DE LAS FUERZAS ACTIVAS RESPECTO DE A DEBE SER NULO ES DECIR LA RESULTANTE DE LAS FUERZAS ACTIVAS DEBERIA PASAR POR A. SI LA RESULTANTE DE LAS FUERZAS ACTIVAS NO PASA POR A LA REACCION RA Y ESA RESULTANTE FORMAN UNA CUPLA QUE PRODUCE LA ROTACION.

A

P1

P2

P3

R

RA=-R

A

-RA=R Resultante fuerzas activas

Acción de la chapa 1 en la 2

Reacción de la chapa 2 en la 1

RA y R:Cupla no equilibrada Rotación no impedida

EL APOYO EN A ES UN APOYO DE SEGUNDA ESPECIE, VINCULO DOBLE O ARTICULACION

CHAPA 1

CHAPA 2

A

P1

P2

P3


AÑO 2009 25

SE DEBE AGREGAR UN ELEMENTO QUE SEA CAPAZ DE LIMITAR LA ROTACION ALREDEDOR DE A. EN TERMINOS DE FUERZA EL ELEMENTO A AGREGAR DEBE SER CAPAZ DE GENERAR UNA FUERZA EN UNA DIRECCION DADA CUYA UNICA CONDICIÓN ES QUE NO PASE POR EL PUNTO A DE MANERA QUE PUEDA ANULAR EL MOMENTO RESPECTO DE DICHO PUNTO.

MOVIMIENTOS QUE LA BIELA NO IMPIDE

B

C

Traslación normal al eje de la biela BC

Rotación de la chapa 2 Respecto de B

Rotación de la biela Respecto del punto C

Bulón o pasador

CHAPA 1

CHAPA 2

A

P1

P2

P3 B

CHAPA 3 BIELA

C

Bulón o pasador

MOVIMIENTOS QUE LA BIELA IMPIDE

B

C Traslación en La dirección del Eje de la biela BC

UN APOYO QUE LIMITA EL MOVIMIENTO EN UNA DIRECCION SE LLAMA DE

PRIMERA ESPECIE O VINCULO SIMPLE


AÑO 2009 26

A

P1

P2

P3 B

ESQUEMA SIMPLIFICADO:

APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE ACCION Y REACCION: Los vínculos se reemplazan por las reacciones que aplican sobre la chapa 2 El vínculo doble en A aplica una fuerza RA a la chapa 2 en cualquier dirección del plano, por lo tanto tiene dos componentes desconocidas: RAX y RAY. El vínculo simple en B aplica a la chapa 2 una fuerza RB de dirección conocida αB, por lo tanto las componentes en X e Y son función de la incógnita RB.

DATOS DEL PROBLEMA: Geometría de la chapa Fuerzas activas P1, P2 y P3 (magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación) Disposición de los vínculos

INCOGNITAS DEL PROBLEMA: Reacción en A (magnitud, dirección y sentido) Reacción en B (magnitud y sentido) RAX, RAY y RB

A

P1

P2

P3 B

RA

RB

αB

αA

RAX

RAY

Y

X O

El ángulo αA es una incógnita del problema Porque RA puede tener cualquier dirección


AÑO 2009 27

A

P1 P2x

P3

B

RB

αB

RAX

RAY

Y

X O

RBcosαB

RBsenαB

RESOLUCION DEL PROBLEMA:

P3x

P3y

P2 P2y

El problema se resuelve aplicando las condiciones de equilibrio para un sistema de n fuerzas no concurrentes. Se asumen sentidos arbitrarios para las reacciones incógnitas. Si resuelto el sistema de ecuaciones las incógnitas son positivas significa que los sentidos supuestos son los reales, si son negativos los sentidos reales son contrarios a los supuestos.

∑∑ ∑∑ ∑

=

=+

=+

0M

0RP

0RP

O

yiYi

xiXi

CUPLA NULA / NO ROTACION (O punto cualquiera del plano)

RESULTANTE NULA / NO TRASLACION

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