CALCULO II

PROFESOR: Gilmer Martell Campos

DERIVADAS I. Utilizando la definición, encuentre la derivada de las siguientes funciones:

1. 26)( xxf 5. 42)( xxf

2. 432)( 3 xxxf 6. 15)( xxf

3. 13

32)(

x

xxf 7. 8)( xxf

4. 3

14)(

x

xxf 8.

12

1546)(

2

x

xxxf

II. Utilizando las diferentes reglas de diferenciación halle la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el punto dado:

1.78

145

2

33

5

2)( 245 xxxxf

; 2x 2. 5

3

3

2

2

3

5

134)( xxxxf ; 1x

3. )643()( 242

3

xxxxf ; 1x 4. )(xf = 24x (3 38 2x x ); 1x

5. 1

( ) x

f xx

; 4x 6. 525)( 2 bxxxxf ; 1x

7. 2 / 3 3

1/ 3

2 3 2( )

4

x zx xf x

x

; 8x 8.

3 2 1( ) 2 2 3f x x x x

x

; 8x

9. 1 2 4 / 3

4

5 2 3( )

x x xf x

x

; 1x 10. )(xf =

2

3

(3 4 3)x x

x

; 64x

11. )(tf = 3 6

2

5 2 7x x x

x

; 64x 12. )(xf = 32 7)(3( xxxx ) ; 1x

EJERCICIOS: I. Derive las siguientes funciones:

1. )1(

)3)(2()(

x

xxxf 2.

6

2

3)(

x

xxf

3. 2( ) 2 3f x x x 4. 2 23( ) (4 3 2)f x x x

5. 3 24 2 5( ) x xf x e 6.

33 6 2( ) x xf x e

7. 3

5( ) ( 3) 2

xf x x 8.

24 3 6( ) (7 8) xf x x e

9. 1

1( ) ln

x

xf x

10. 2 3 3 2lny x x

11. 2 21 2lny x x x 12. 2 1lny x

13. ln

2

xy

x

14. 34 2 1lny x x

15. 32

1 2lny x x 16.

1 ln

1 ln

xy

x

17. 2 ln(2 1)y x x 18. 3 2ln( 2 5 ) 4 2y x x x x

19. 2

5log 1y x x 20.

x x

x xy

e e

e e

21.

2

22

1

x xy log

x

22.

22

32

1 1

4

lnx x

y

x

CALCULO II

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23.

3

2 4

6 5 ( 4 5)

(7 8) 8 1 ln

x xy

x x

24.

45

7

4 3 ( 2 7 )

( 2 7 ) 3 2 ln

x xy

x x

25. 1ln 1

xy x

26. ln( ) (1 )x xf x e

27. lnxe

y x 28 2 1( ) xf x x

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Halle la derivada indicada de las siguientes funciones y, evalúe en el punto correspondiente.

a. 3 25 6 4 2y x x x ; '''y ; 0

x = 1

b. ( ) 8f t t ; )('' tf ; 0

t = 4

c. 1

4 2y

x

;

2

2

d y

dx ;

0x = 1

d. 1

1

xy

x

; ''y ;

0x = 2

e. 5 xy e ; 2

2

d y

dx ;

0x = 1/5

f. ln (4 2)y x ; '''y ; )0(

x = 1

g. 3

( )1

xf x

x

;

3

3

d y

dx ; 0x .

APLICACIONES:

• Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular que tiene dimensiones 20cm x 30cm. Para ello se recortarán cuatro cuadrados idénticos de área x 2, uno en cada esquina y se doblarán hacia arriba los lados resultantes (véase la figura). Exprese el volumen V de la caja como una función de x y halle el volumen máximo

1. Encuentre la ecuación general de la recta tangente a la curva 2 1

( )2

xy f x

x

que pasa por el

punto (1,0) .

2. Halle la ecuación general de la recta tangente a la curva: ( ) 2 3 1f x x x ,en 2x .

3. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a la curva

2( 2 )( )

x - xy f x

x , en el punto

( 4 ) ( ), k f x .

4. Sea 1

( )3

xy f x

x

. Hallar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal, en el

punto de abscisa 1.

5. El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado por 245 5C q .

Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

20

?xx

x

x

?30

?

x

?

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6. El costo medio unitario en la producción de q unidades es 2100000

0.002 0.4 50C q qq

.

7. Determine la función del costo marginal y, en base a esta función, calcule el costo marginal luego de producir 40 unidades.

8. Un fabricante vende un producto a 3 50q dólares/unidad. Determine la ecuación del ingreso marginal y el

ingreso marginal para 100q .

INTEGRALES Halle la antiderivada de las siguientes funciones:

a) 265)( 23 xxxf b) 87)( 4 xxxf c)3 2

2

4 6( )

x xf x

x

II. Encuentre ( )f x , sujeta a las condiciones iniciales dadas:

a) ( ) 5 4 , (2) 3 / 4f x x f

b) 2( ) 3 8 , (1) 2f x x x f

c) 2( ) 2 , (1) 0, (1) 1f x x x f f

d) ( ) 1, (0) 0, (0) 6y x x y y

e) ( ) 2 3 , (1) 1, ( 1) 3, ( 2) 4y x x y y y

f) ( ) 2 , ( 1) 3, (3) 10, (0) 12y x x y y y

g) ( ) 1, (0) 1, (0) 2, (0) 4y x x y y y

III. Halle la integral indefinida de las siguientes funciones:

1. 4dx 2.

1

24 x dx 3. 5xdx

4. 2

3

dx 5.

6

2 dx

x 6. 5x dx

7. 9

1 dx

x 8. ( 3) x dx

9. 3 4

1 2( ) x dxx x

10 5( 2 4) x x dx 11 3 2(8 7 10) x x dx

12 2 2

5( 4 3 1)x x dx

x

13 9

3

4(2 6 5) x x dx

x

14 2( 1) x dx 15 2(2 3) x dx

16 (2 4)( 5) x x dx 17 2 2( 4 )( 1) z z z dz

18 3 5 2

7 2

( )2

x x xdx

x

19

6 4

2

18 3( )

6

x xdx

x

20 2( 3 1) xt x dx 21 3 4( 3 6) za z dz

22 ( 3 ) x x x dx 23 2 3(2 3)( 6 ) x t x dx

24 3( 1)( ) x x x dx 25

3

3

( )( )

x x x xdx

x

26 4 1/26 3 9

( ) 3

x x x xdx

x

27

3 28 3 2( )

4

x x xdx

x

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28 3 2

3

7 3 2( )

x xdx

x

29

3 1/ 2 3/ 27 2 6( ) x x x x

dxx

APLICACIONES

a) Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es 20, 03 1, 8 6, 5dC

q qdq

y el

costo fijo es de $2400 , donde 𝑞 es el número de unidades producidas. Halle la función de costo y el costo cuando el nivel de producción es de 100 unidades.

b) Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es 20, 6 0,8 9,5dC

q qdq

y el costo fijo es

de $1800,donde 𝑞 es el número de unidades producidas. Halle el costo promedio cuando se producen 200

unidades.

c) Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es: 24( 5) 8dC

q qdq

.Siel costo de

producir 12 unidades es de $738, donde q es el número de unidades producidas, determine el costo

promedio de producir 30 unidades.

d) Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es 4(3 ) 80dC

qdq

y el costo de producir

40 unidades es de $6900, donde q es el número de unidades producidas. Determine el costo promedio

cuando el nivel de producción es de 50 unidades.

e) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es 29 200dr

q qdq

,donde 𝑞 es el

número de unidades producidas. Determine el ingreso cuando se producen y venden 50 unidades. f) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal, para un determinado producto es

15 2300dr

qdq

, donde 𝑞 es el número de unidades producidas. Encuentre la función de demanda.

g) Para cierta fabrica de artesanías, su función de ingreso marginal está dada por: 2275 4 3

drq q

dq , donde

q es el número de unidades producidas. Halle la función de demanda, si cuando se producen 50 artículos el

ingreso es de $ 5000.

h) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por (3 10)

502

dr q q

dq

(en

dólares), para q unidades producidas. Encuentre el precio para 30q .

i) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es 2 400dr

qdq

, donde 𝑞 es el

número de unidades producidas. Halle el precio cuando se demandan 120 unidades, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de$ 4200.

j) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por 20, 03 5dr

qdq

(en

dólares), para q unidades producidas. Se sabe que al vender 10 productos se obtiene un ingreso de $1000. Encuentreel precio cuando la demanda es de 20 unidades.

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

1. lndx

dx xx

k 4.

1( )

( ) ( )1

nf xn

f x f x dxn

k

2. ( ) ( )( )

f x f xf x dx ke e 5.

( )ln ( )

( )

f xdx f x

f xk

CALCULO II

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3. ( )

( )( )

ln

f xf x

f x dxa

ka

a

Calcular las integrales siguientes:

1) 4 1

1

xdx

x

2)9

2

xdx

x

3) 6 2

2 4

xdx

x

4)5

2

xdx

x

5)2 7

3

xdx

x

6) 2 4

1

xdx

x

7) 2

5

2 4

xdx

x 8)2

3 3

2 5

xdx

x x

9)2

3

3 1

2 2 1

xdx

x x

10)4 2

3

( 1)xdx

x

11)32 3( 1) x xx dxe 12)

43 4( 1)2x xx dx

13)2 2( ) at btat dtb e 14)

54 5( 1) 2x xx dx 15)ln

xdx

x

16)ln(ln )

ln

xdx

x x 17)2ln ( 1)

1

xdx

x

18) 2

x x

dxx

e e

e

19)

1

xdx

xe

e 20)2

4

1

xdx

xe

e 21)4

x x

dxx

e e

e

22) 3 2

16 4

4 2 5

xdx

x x

23)2

3 3

1

4 12 6

xdx

x x

24)

23

2

(2 )

xdx

x

25)2

3 3

1 2

xdx

x 26) 2 2 4( 1) 4 2 x x x x dx

27)32 4 6 2(2 1) x xx dxe

28)2

5 10 1

(20 20).4x x

x dx

29)32 3 5( 1) x xx dxe 30)

24 8 9(24 24) x xx dxe

31)2

2 2 1

(2 1).5x x

x dx

32)3

2 3

7( 1).3x x

x dx

33)

1

2

1(1 )

xx dx

xe

34) 43 4 4( )xx x dxe

35)ln2

x

dxx 36) ln5 (1 ln )x x x dx

37)

22 ln( 1)

2 1

xx

dxx

e

38) 2

2

1ln( 2 )

2

xx x dx

x x

39) 2

2

6 3ln

4 4

xx x dx

x x

40)

3 1 ln xdx

x

APLICACIONES 1. En la manufactura de un producto los costos fijos por semana son de $ 8000. Si la función de costo marginal

es: 2 3

500 3( )5 40

q qdC

dq donde C es el costo total de producir 𝑞 unidades del producto. Encuentre

la función costo total y el costo de producir 50 unidades.

CALCULO II

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2. Un fabricante ha determinado que la función costo marginal es 20, 03 20

dCq q

dq , donde 𝑞 es el

número de unidades producidas. Si los costos fijos son de $ 3500, determine la función de costo total y el costo promedio de producir 70 unidades.

3. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es:

23( 2)7

10

dC q

dq

.Siel costo de

producir 6 unidades es de $ 90, donde q es el número de unidades producidas, determine el costo cuando se

producen 30 unidades.

4. En la manufactura de un producto el costo marginal es: 21000 2(5 )

dCq q

dq donde C es el costo

total de producir 𝑞 unidades del producto. Si cuando se producen 30 unidades el costo asciende a $ 5800, halle el costo promedio cuando el nivel de producción es de 60 unidades.

5. Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es: 0, 7 35dr

qdq

, donde 𝑞 es el

número de unidades producidas. Determine el precio cuando se demandan 60 unidades. 6. Para cierta compañía la función de ingreso marginal, para un determinado producto, está dada por:

23 50dr

q qdq

, donde 𝑞 es el número de unidades producidas. Determine elprecio cuando se demandan

80 unidades, si cuando se producen y venden 25 unidades el ingreso es de $ 1200. 7. Si el ingreso marginal en miles de dólares en la producción de “ q ” unidades de un producto viene dado por

2( )

9

qr q

q

y el ingreso es nulo a un nivel de producción cero. Determine la función de ingreso ( )r q

y calcule dicho ingreso para un nivel de producción de 100 unidades.

8. La utilidad marginal diaria de una empresa está dada por 2

( ) 2900

xU x

x

. Si la empresa pierde

$130 por día cuando solo vende 40 unidades por día, determina la función de utilidad de esta empresa.

9. Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es:

23( 2)7

10

dC q

dq

.Siel costo de

producir 6 unidades es de $ 90, donde q es el número de unidades producidas, determine el costo promedio

cuando se producen 30 unidades.

10. Para el producto de un fabricante, la función de ingreso marginal es: (10 3 )

1502

dr q q

dq

, para q

unidades producidas . Siel ingreso está en dólares, determine el precio cuando se demandan 30 unidades.