“Para empezar un gran

proyecto, hace falta valentía.

Para terminar un gran

proyecto, hace falta

perseverancia”

Medardo Galindo

8.6 Desigualdades cuadráticas y

otros tipos con una variable• Resolver desigualdades cuadráticas

• Resolver otras desigualdades

polinomiales

• Resolver desigualdades racionales

Desigualdades Cuadráticas

• Cuando el signo de igual en una ecuación

cuadrática se reemplaza por un signo de

desigualdad, obtenemos una desigualdad

cuadrática.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠

𝑥2 + 𝑥 − 12 > 0, 2𝑥2 − 9𝑥 − 5 ≤ 0

Ejemplo

Proporcione la solución

a) En una recta numérica

b) En notación de intervalos

c) En notación constructiva de conjuntos

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑥2 + 𝑥 − 12 > 0,

Resolver ecuaciones

cuadráticas de otros tipos• Escriba la desigualdad como una

ecuacion y resolverla

• Si resuelve una desigualdad racional,

determine los valores que hacen que el

denominador sea igual a 0

• Construya una recta numerica, marque las

soluciones obtenidas en los pasos 1 y 2.

Marque el valor mas pequeño a la

izquierda, e incremente a la derecha

• Seleccione un valor de prueba en cada

intervalo y determine si satisface la

desigualdad. También pruebe los valores

frontera

• Escriba la solución en la forma solicitada

Ejemplo

Proporcione la solución

• En una recta numérica

• En notación de intervalos

• En notación constructiva de conjuntos

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑥2 − 4𝑥 ≥ −4,

Resolver

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑥2 − 2𝑥 − 4 ≤ 0,

Resolver otras desigualdades

polinomiales

1) (3𝑥 − 2)(𝑥 + 3)(𝑥 + 5) < 0

2) 𝐷𝑎𝑑𝑎 𝑓 𝑥 = 3𝑥3 − 3𝑥2 − 6𝑥,

𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) ≥ 0

Resolver desigualdades

racionales

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑥 − 1

𝑥 + 3≥ 2,

𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑥 − 3 (𝑥 + 4)

𝑥 + 1≥ 0,

𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎

5.3 División de Polinomios y

división sintética• Dividir un polinomio entre un monomio

• Dividir un polinomio entre un binomio

• Dividir polinomios mediante la división

sintética.

• Utilizar el teorema del residuo

Dividir un Polinomio entre un

monomio• En la division de polinomios, la division

entre 0 no esta permitida. Siempre

supondremos que el denominador es

diferente de 0.

Resolver

𝑎) 𝑥7

𝑥4 𝑏)

5𝑥3𝑦5

2𝑥𝑦2 𝑐)

𝑝4

𝑝4 𝑑)

8𝑟5𝑠7

3𝑟𝑠7

Dividir un polinomio entre un

binomio• Se sigue un procedimiento muy semejante

al que se usa para realizar una división

larga.

Resolver

𝑎) 𝑥2 + 7𝑥 + 10

𝑥 + 2 𝑏)

6𝑥2 − 7𝑥 + 3

2𝑥 + 1

• Al dividir un polinomio entre un binomio,

debe listarse primero el polinomio y luego

el binomio, en orden descendente, si un

termino no aparece, con frecuencia es util

incluir este termino con un coeficiente

numérico 0

Resolver

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎 4𝑥2 − 12𝑥 + 3𝑥5 − 17 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 −2 + 𝑥2

División Sintética

• Cuando se divide un polinomio entre un

binomio con la forma x – a, el

procedimiento se puede reducir gracias a

un método llamado división sintética

Resolver

𝑎)2𝑥3 − 𝑥2 − 19𝑥 + 15

𝑥 − 3 𝑏) 6 − 𝑥2 + 𝑥3 ÷ (𝑥 + 2)

Teorema del Residuo

• Si el polinomio P(x) se divide entre x – a,

el residuo es igual a P(a)

Resolver

𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 3𝑥4 + 6𝑥3 − 2𝑥 + 4 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥 + 4