Presentacion semana8 intro
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“Si quieres triunfar, no te quedes
mirando la escalera. Empieza a
subir, escalón por escalón, hasta que
llegues arriba”
Medardo Galindo
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7.6 Ecuaciones con Radicales
• Resolver ecuaciones con un radical
• Resolver ecuaciones con dos radicales
• Resolver ecuaciones que contienen dos
términos radicales y uno no radical
• Resolver problemas de aplicación
mediante ecuaciones radicales
• Despejar una variable en un radicando
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Ecuaciones con una Radical
• Una ecuación radical es aquella que
contiene una variable en un radicando
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑥 = 5, 𝑦 + 43 = 9, 𝑥 − 2 = 7 + 𝑥 + 8
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Para resolver ecuaciones radicales
• Reescriba la ecuacion de modo que el
radical que contiene a la variable quede
solo.
• Eleve el lado de la ecuacion a una
potencia igual al indice del radical
• Combine los terminos semejantes
• Si la ecuacion aun contiene un termino
con una variable en un radicando, repetir
pasos 1 a 3
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• Despeje la variable de la ecuación
resultante
• Verifique todas las soluciones en las
ecuaciones originales
Resolver
𝑥 = 7
𝑥 2
= 7 2
𝑥 = 49
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• Resolver
𝑎) 𝑥 − 4 − 6 = 0
𝑏) 𝑥3
+ 9 = 7
𝑐) 2𝑥 − 3 = 𝑥 − 3
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Resolver ecuaciones con dos
radicales y un no radical
• Resolver
𝑎) 5𝑥 − 1 − 3𝑥 − 2 = 1
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Resolver Aplicaciones
• Ver ejemplos libro de texto
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Despejar una variabale de un
radicando• Despejar n de la siguiente ecuación
𝐸 = 𝑍𝜎
𝑛
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7.7 Números complejos
• Reconocer un números complejo
• Sumar y restas números complejos
• Multiplicar números complejos
• Dividir números complejos
• Determinar potencias de i
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Reconocer un numero complejo
• En la seccion 7.1 se determino que los
numero negativos como , no son
números reales.
• Todo numero imaginario tiene a como
factor, el numero , llamado unidad
imaginaria, se denota con la letra i.
−4
−1
−1
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• Por lo tanto
• Para cualquier numero real positivo n,
𝑖 = −1
−𝑛 = −1 𝑛 = 𝑖 𝑛
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• Por lo tanto, podemos escribir
• Todo numero con la forma , en
donde a y b son números reales, es un
numero complejo
Resolver
−4 = −1 4 = 𝑖2 𝑜 2𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎)3 + −36 𝑏)5 − −12 𝑐)19 𝑑) −50
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Sumar y Restar números
complejos• Cambie todos los números imaginarios a
la forma bi
• Sume o reste las partes reales de los
números complejos
• Sume o reste las partes imaginarias de los
números complejos
• Escriba la respuesta en a forma a + bi
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Resolver
𝑆𝑢𝑚𝑒 7 + 15𝑖 + −6 − 2𝑖 + 20
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑒 5 − −27 − (−3 + −48)
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Multiplicar números complejos
• Cambie todos los números imaginarios a
la forma bi
• Multiplique los números complejos como
si multiplicara polinomios
• Sustituya cada aparición de
• Sume las partes reales e imaginarias.
Escriba la respuesta de la forma a+bi
𝑖2 𝑐𝑜𝑛 − 1
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Resolver
Multiplique
𝑎)5𝑖 3 − 2𝑖
𝑏) −9 −3 + 7
𝑐) 2 − −18 −2 + 5
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Dividir números complejos
• Cambien todos los numeros imaginarios a
la forma bi
• Racionalice el denominador, multiplicando
el numerador y el denominador por el
conjugado del denominador
• Escriba la respuesta en la forma a + bi
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Resolver
• Dividir
𝑎)6 + 𝑖
𝑖
𝑏)3 − 2𝑖
4 − 𝑖
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Determinar potencias de i
podemos
determinar otras potencia de i, por
ejemplo
𝑃𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑖 = −1 𝑦 𝑑𝑒 𝑖2 = −1,
𝑖3 = 𝑖2 ∙ 𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖
𝑖4 = 𝑖2 ∙ 𝑖2 = −1 −1 = 1
𝑖5 = 𝑖4 ∙ 𝑖1 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖
𝑖6 = 𝑖4 ∙ 𝑖2 = 1 −1 = −1
𝑖7 = 𝑖4 ∙ 𝑖3 = 1 −𝑖 = −𝑖
𝑖8 = 𝑖4 ∙ 𝑖4 = 1 1 = 1
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8.1 Ecuaciones cuadráticas
completando el cuadrado
• Usar la propiedad de la raíz cuadrada
para resolver ecuaciones.
• Entender los trinomios cuadrados
perfectos.
• Resolver ecuaciones cuadráticas
completando el cuadrado
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Propiedad Raíz Cuadrada
Resolver
𝑆𝑖 𝑥2 = 𝑎, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙,
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = ± 𝑎
𝑎)𝑥2 + 5 = 80 𝑏)𝑥2 + 7 = 0 𝑐) 𝑧 + 3 2 + 28 = 0
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Trinomios Cuadrado Perfectos
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Ecuaciones cuadráticas
completando el cuadrado• Si es necesario, utilice la propiedad de la
multiplicación (o división) de la igualdad
para hacer que el coeficiente sea 1
• Reescriba la ecuación aislando la
constante en el lado derecho.
• Tome la mitad del coeficiente numérico
del termino de primer grado, elévela al
cuadrado y sume la cantidad resultante en
ambos lados de la ecuación.
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• Reemplace el trinomio con el cuadrado de
un binomio
• Utilice la propiedad de la raíz cuadrada
para tomar la raíz cuadrada en ambos
lados de la ecuación
• Despeje la variable
• Compruebe sus soluciones en la ecuación
original
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Resolver completando el
cuadrado𝑎)𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0
𝑏) − 𝑥2 = −3𝑥 − 18
𝑐) − 3𝑚2 + 6𝑚 + 24 = 0
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8.2 Ecuaciones cuadráticas
mediante la formula cuadratica• Deducir la formula cuadrática
• Utilizar la formula cuadrática para resolver
ecuaciones
• Escribir una ecuación cuadrática dadas
sus soluciones
• Usar el discriminante para determinar el
numero de soluciones reales
• Problemas de aplicación
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Formula cuadrática para
resolver problemas• Escriba la ecuación cuadrática en la forma
general , y determine los
valores de a, b y c
• Sustituya a, b y con los valores
correspondientes en la formula cuadrática,
y luego evalúe la formula para obtener la
solución
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
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Formula Cuadrática
• Resolver
𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎)𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 0
𝑏)𝑝2 +2
5𝑝 +
1
3= 0
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Escribir Ecuación Cuadrática
dadas sus soluciones• Si nos dan soluciones, podemos deducir
la ecuación correspondiente siguiendo el
procedimiento a la inversa.
Resolver
𝑎) − 4 𝑦 1 𝑏)3 + 2𝑖 𝑦 3 − 2𝑖
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Usar el discriminante para
determinar soluciones• La expresión bajo el signo radical en la
formula cuadrática se denomina
discriminante
𝑏2 − 4𝑎𝑐
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Soluciones de una ecuación
cuadrática𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0:
1)𝑆𝑖 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0,
𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠
2)𝑆𝑖 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙
3)𝑆𝑖 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
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Resolver por Discriminante
𝑎)2𝑥2 − 4𝑥 + 6 = 0
𝑏)𝑥2 − 5𝑥 − 8 = 0
𝑐)4𝑥2 − 12𝑥 = −9
![Page 34: Presentacion semana8 intro](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022052400/559ee23a1a28ab310a8b459e/html5/thumbnails/34.jpg)
Aplicaciones con ecuaciones
cuadráticas• Ver ejemplos del libro
![Page 35: Presentacion semana8 intro](https://reader033.fdocuments.mx/reader033/viewer/2022052400/559ee23a1a28ab310a8b459e/html5/thumbnails/35.jpg)
8.3 Aplicaciones y resolución de
problemas• http://www.ceutec.unitec.edu/elearning/rep
ositorio/index.php?page=vfile&file_id=398
Soportar con ejemplos del libro
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8.4 Planteamiento Ecuaciones
en forma cuadrática
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Para resolver ecuaciones en la
forma cuadrática• Haga una sustitución que tenga como
resultado una ecuación de la forma
, en donde u es una
función de la variable original
• Despeje u en la ecuación
• Reemplace u con la función de la variable
original del paso 1 y resuelva la ecuación
• Verificar si hay soluciones extrañas
𝑎𝑢2 + 𝑏𝑢 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 0
𝑎𝑢2 + 𝑏𝑢 + 𝑐 = 0
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Resolver
𝑎)𝑥4 − 5𝑥2 + 4 = 0
𝑏)𝑝4 + 2𝑝2 = 8
𝑐)4 2𝑤 + 1 2 − 16 2𝑤 + 1 + 15 = 0
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Ecuaciones con exponentes
racionalesResolver
𝑎)𝑥2 5 + 𝑥1 5 − 6 = 0
𝑏)2𝑝 − 𝑝 − 10 = 0