MatricesCurso: Preclculo Por: Kelvin Figueroa y Kevin Green Escuela Superior Dr. Juan J. Maunez Pimentel 4 de mayo de 2012

Qu es una matriz? Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros escrito en parntesis cuadrados (o corchetes), donde se utilizan los coeficientes de las variables para resolver sistemas de ecuaciones.

Ejemplo de una matriz

Elemento

Fila o Rengln

1 0 2 2 1 5 8 2 1 8 0 1 Columna

Dimensin (3 x 4)

Partes de una matrz Elemento Es cada nmero de una matriz.

Elemento

2 0

1 3

Partes de una matriz (cont.) Columna Es la alineacin de elementos en sucesin verticalmente.

Columna

2 0

1 3

Parte de una matriz (cont.) Fila o Rengln Es la alineacin de elementos en sucesin horizontalmente.

Fila o Rengln

2 0

1 3

Partes de una matriz (cont.) Tamao de una matriz Es expresado comnmente como m x n, siendo m la cantidad de filas o renglones, que multiplicadas por n, que representa la cantidad de columnas, equivale a el valor del tamao. m y n son tambien conocidos como dimensiones de una matriz. 3x2 3=m y 2=n

Nombre de una matriz El nombre de una matriz es la letra que la representa. Siempre se escribe en letra mayscula.

Nombre de la matriz

A =

2 3

1 2

Tipos de matrices Matriz de orden Cuando m=n, o sea, el nmero de de filas el igual al de columnas, se le denomina a la matriz de orden n.

m=2

2 0 2 3 n=2

Otros tipos de matrices Matriz de fila Es aquella matriz que solo tiene una fila o rengln. Matriz de columna Es aquella matriz que solo tiene una columna

Matriz nula Es aquella donde todos sus elementos son cero (0).

Ejemplos de otros tipos de matricesmatriz de columna

matriz de fila

1 0 0

1 0 3

matriz nula

0 0

0 0

Diagonal principal de una matriz Consiste en la secuencia de la posicin de los elementos 11 en una matriz 22 33 cuadrada.

a a a

diagonal principal

1 0 3 2 2 4 6 5 3 2 3 0 0 0 1 3

Notacin de la posicin de los elementos en la matriz La posicin de un elemento es una matriz es la fila y columna que contiene al elemento, y se expresa utilizando la notacin de la posicin de los elementos en la matriz. Vease que el nmero de la fila siempre aparece primero.

A =

1 0 3 5

2 1

a a a b b b11 12 21 22

13

23

Matriz aumentada Una matriz que contiene las partes esenciales del sistema, los coeficientes y las constantes, y que incluye una barra como ayuda visual para separarlos.Matriz de constantes Matriz aumentada de coeficientes Matriz de coeficientes

2 3 1 2

5 3

2 3 5 1 2 3

Rengln Equivalente As como dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solucin, dos matrices aumentadas son consideradas de rengln equivalente si son matrices aumentadas de sistemas de ecuaciones equivalentes.

Teorema 3 Consiste en operaciones elementales de rengln que producen matrices de rengln equivalente, y esas operaciones son las siguientes: El intercambio de dos renglones ( Ri R j ). La multiplicacin de un rengln por una constante diferente de cero ( k i ). i La suma del mltiplo constante de un rengln con el de otro rengln ( k R j + Ri R). i

R

R

Solucin de sistemas lineales mediante matrices aumentadas Se utiliza el Teorema 3 para la solucin de sistemas aumentados.Sistema de ecuacin lineal y matrices aumentadas El objetivo es conseguir la ecuacion:

3 4 1 1 2 7

1 0 m 0 1 n Donde m y n son nmeros reales

Ahora bien, para obtener un 1 en la posicin a11 , se intercambian las filas (usando la parte 1 del teorema).

3 4 1 1 2 7

R

1

~

R

2

1 2 7 3 4 1

Para obtener un 0 en la posicin a21, se utiliza la parte 3 del teorema (multiplicar R1 por 3 y sumarlo a R2 ).

1 2 7 3 4 1

( 3)R1

1 2 7 0 10 20

Para obtener un 1 en la posicin (teorema 3, parte 1).

a2

22,

se multiplica

R

2

1 por 10

1 2 7 0 10 20

1 10

R

~a

R

2

1 2 7 0 1 2

Para obtener un 0 en la posicin 12, se multiplica R2 por 2 y se suma el resultado a R1 (teorema 3, parte 3), cambiando R1 pero no a R2 .

1 2 7 0 1 2

2 R2 +

R

1

R

1

~

1 0 3 0 1 2

El resultado es la matriz aumentada para el sistema:

=3 x2 = 21

x

Sistemas Consistentes e Inconsistentes Para que un sistema sea consistente, debe tener un solo valor que cumple con todas las ecuaciones planteadas en el sistema. Hay dos tipos de sistemas consistentes: Dependientes Independientes n sistema inconsistente es aquel que no tiene ningun valor que cumpla con todas las ecuaciones planteadas.

Sistemas Consistentes Dependientes e Independientes Dependiente Es cuando el sistema consistente tiene un infinito de valores como solucin que cumplen con todas las ecuaciones planteadas en el sistema. Independiente Es cuando el sistema consistente tiene un solo valor como solucin que cumple con todas las ecuaciones planteadas.

Ejercicios de Prctica Utilizando los conocimientos adquiridos a travs de la presentacin resuelve los siguientes ejercicios, tal que:

3 2 0 A= 4 1 6 C=

3 2 0

4 D= 7

2 8 0 B = 3 6 9 4 2 0

Ejercicios de Prctica 1. Cul es el tamao de A? Y el de C? 2. Identifique todas las matrices de rengln.

3. Identifique todas las matrices cuadradas. 4. Para la matriz A, encuentre

a

12

y

a

23

.

5. Encuentre los elementos en la diagonal principal de la matriz B.

Ejercicios de Prctica Resuelva mediante el mtodo de matriz aumentada. 6. 3 x1 - x2 = 2 x1 + 2x2 = 10

Contestaciones 1. 2 x 3 = 6. 2. La nica matriz de rengln es la D.

3. La nica matriz cuadrada es la B. 4. a12 = 2, 5.1122

a

23

= 6

a a a33 = 2, 6, 0

Contestaciones 6.

x x

1

=2 2=4

Referencias Libro: PRE-CLCULO FUNCIONES Y GRFICAS Autores: Barnett, Ziegler y Byleen Cuarta Edicin

Opinin (Kelvin Figueroa) En la construccin de esta presentacin he adquirido una serie de conocimientos a la misma vez que se me propone transmitirlos. Anteriormente habia estudiado las matrices, pero esta informacin ms profunda me ha llevado a entenderlas mejor, y s que me ayudar en mi futura vida Universitaria. En fin, fue un trabajo distinto a cualquier otro que hemos realizado en cualquier otro grado pasado, y adquirir nuevos conocimientos de una manera distinta es grandioso. Espero que mis dems compaeros hayan aprendido y disfrutado de este trabajo sumamente educativo al igual que yo.

Opinin (Kevin Green) Pienso que este trabajo fue uno de mucho beneficio para m. Aprend sobre un material que tena un conocimiento limitado y mis horizontes intelectuales han sido ampliados, no solo con esta presentacion sino con todo el curso, de tal manera que me siento lo suficientemente preparado para afrontar lo que me espera en la Universidad. Espero que mis compaeros tambin se beneficien de esta presentacin como yo, y que los conocimientos adquiridos en este curso nos ayuden para toda la vida.