MATEMÁTICA

Sistemas de ecuaciones lineales

(S.E.L.)

Docentes: Susana Hueicha - Rocío Leal

Docente Diferencial: Verónica Jara

Cursos: Primero Medio A - Primero Medio B

Temuco, Julio de 2020

Ecuación lineal con dos incógnitas

Una ecuación lineal* con dos incógnitas es una igualdad algebraica del tipo:𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 = 𝒄, donde 𝒙 e 𝒚 son las incógnitas, y 𝒂, 𝒃 y 𝒄 son númerosconocidos.

Una solución de una ecuación lineal con dos incógnitas es un par de

valores (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖) que hacen cierta la igualdad.

Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones y si

las representamos forman una recta.

*Una ecuación de primer grado se denomina ecuación lineal.

Recordemos…

Ejemplo: 3𝑥 + 𝑦 = 12,

El coeficiente de 𝑥 es 3, coeficiente de 𝑦 es 1 y el término independiente es 12.

Una solución de la ecuación es (1, 9) ya que 3 ∙ (1) + 9 = 12

Para obtener más soluciones se da a “𝑥” el valor que queramos y se calcula “𝑦”. Paraesto es conveniente despejar la variable “𝑦”.

𝑥 𝑦 = 12 – 3𝑥 (x,y)

0 12 – 3 ∙ 𝟎 = 12 (0,12)

1 12 – 3 ∙ 𝟏 = 9 (1,9)

2 12 – 3 ∙ 𝟐 = 6 (2,6)

3 12 – 3 ∙ 𝟑 =3 (3,3)

Si representamos los puntos en un sistema de ejes coordenados,

forman una recta.

Recordemos…

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales (S.E.L.) con dos incógnitas está formado por dosecuaciones lineales de las que se busca una solución en común.

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 son números reales y “𝑥” e “𝑦” variables.𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

Obs: Dos sistemas con la misma solución se dicen equivalentes.

Una solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de

valores (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) que verifican las dos ecuaciones a la vez.

Resolver el sistema es encontrar una solución (punto en común) que satisfaga ambas

ecuaciones, esto es, encontrar el punto donde se intersectan ambas rectas.

Ejemplo:

Si se representa en una tabla algunos valores de x e y, se puede verificar que coinciden en unpunto en común correspondiente al (−1,−1).

𝑥 𝒚 =−𝟕 − 𝟑𝒙

𝟒

-1 −1

0 −7

4

1 −5

2

2 −13

4

el punto de intersección es (−1,−1).

𝑥 𝒚 =𝒙 − 𝟏

𝟐

-1 −1

0 −1

2

1 0

21

2

3𝑥 + 4𝑦 = −7𝑥 − 2𝑦 = 1

1

2

1 2

2

1

Existen métodos, llamados algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones. Estos son:sustitución, igualación y reducción.

Método de sustitución

Consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituir la expresión

obtenida en la otra ecuación, se llega así a una ecuación de primer grado con una sola incógnita;

hallada ésta se calcula la otra.

Ejemplo: Despejamos x en la 2da ecuación 𝐱 = 𝟏 + 𝟐𝐲

Sustituimos en la 1era 𝟑 (𝟏 + 𝟐𝐲) + 𝟒𝐲 = −𝟕

Desarrollamos la ecuación 𝟑 + 𝟔𝐲 + 𝟒𝐲 = −𝟕

Despejamos la variable y 𝟏𝟎𝐲 = −𝟏𝟎 → 𝐲 = −𝟏

Reemplazamos en 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒚 𝒙 = 𝟏 + 𝟐 ∙ −𝟏 → 𝒙 = 𝟏 − 𝟐 → 𝒙 = −𝟏

Por lo tanto, el punto solución es (−1,−1).

3𝑥 + 4𝑦 = −7𝑥 − 2𝑦 = 1

1

2

Método de igualación

Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones

obtenidas. De nuevo obtenemos una ecuación de primer grado con una sola incógnita.

Ejemplo: Despejamos x en ambas ecuaciones

𝒙 =−𝟕−𝟒𝒚

𝟑y 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒚

Igualamos −𝟕 − 𝟒𝒚

𝟑= 𝟏 + 𝟐𝒚

Despejamos la variable y −𝟕 − 𝟒𝒚 = 𝟑 + 𝟔𝒚𝟏𝟎𝐲 = −𝟏𝟎−𝟏 = 𝐲

Reemplazamos en 𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝐲 𝒙 = 𝟏 + 𝟐 ∙ −𝟏 → 𝒙 = 𝟏 − 𝟐 → 𝒙 = −𝟏

Por lo tanto, el punto solución es (−1,−1).

3𝑥 + 4𝑦 = −7𝑥 − 2𝑦 = 1

1

2

Método de reducción

Consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para ello se multiplica

una de las ecuaciones o ambas por un número de modo que los coeficientes de x o de y sean

iguales y de signo contrario.

Ejemplo:

Por lo tanto, el punto solución es (−1,−1).

Multiplicamos por 2 la 2da ecuación 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟏 /∙ 𝟐𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟐

Se obtieneฬ

𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 = −𝟕𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟐

Sumando ambas ecuaciones 𝟓𝒙 = −𝟓

Despejamos la variable x 𝒙 = −𝟏

Reemplazamos en cualquier ecuación 𝐱 = −𝟏 −𝟏 − 𝟐𝒚 = 𝟏 → −𝟐 = 𝟐𝒚 → 𝒚 = −𝟏

3𝑥 + 4𝑦 = −7𝑥 − 2𝑦 = 1

1

21)2)

Análisis de las soluciones de un S.E.L.

En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación representa unarecta en el plano. Resolver un sistema es estudiar la situación de estas rectas en el plano,que pueden ser:

Ejemplo 1:

Por lo tanto, el punto solución es (3, −1).

𝑥 + 𝑦 = 22𝑥 + 𝑦 = 5

1

2

Se despeja una variable, en este caso “𝒚” de la 1era ecuación

𝐲 = 𝟐 − 𝒙

Sustituimos en la 2da ecuación 𝟐𝐱 + (𝟐 − 𝐱) = 𝟓

Se resuelve la ecuación, despejando x

𝟐𝒙 + 𝟐 − 𝒙 = 𝟓 → 𝒙 = 𝟑

Reemplazamos en 𝐲 = 𝟐 − 𝒙 𝒚 = 𝟐 − 𝟑 → 𝒚 = −𝟏

Al realizar la gráfica de este sistemase obtienen rectas secantes queintersectan en un único punto. Por lotanto, el sistema tiene solución y esúnica.

Este tipo de sistemas se llamacompatible determinado.

A su vez, se puede observar que esto se produce si los coeficientes de x e y en el sistemano son proporcionales.

𝑎

𝑑≠𝑏

𝑒

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

1

2≠1

1

Ejemplo 2:

Al eliminarse las variables

¿Qué ocurre con la solución?

3𝑥 − 6𝑦 = 3𝑥 − 2𝑦 = 1

1

2

Se despeja una variable, en este caso “𝒙” de la 2da ecuación

𝒙 = 𝟏 + 𝟐𝒚

Sustituimos en la 1era ecuación 𝟑 𝟏 + 𝟐𝐲 − 𝟔𝐲 = 𝟑

Se resuelve la ecuación, despejando y

𝟑 + 𝟔𝒚 − 𝟔𝒚 = 𝟑𝟎𝒚 = 𝟎𝟎 = 𝟎

Al realizar la gráfica de este sistemase obtienen rectas coincidentes queintersectan en todos sus puntos. Porlo tanto, el sistema tiene infinitassoluciones.

Este tipo de sistemas se llamacompatible indeterminado.

A su vez, se puede observar que esto se produce si los coeficientes de x e y, además lostérminos libres son proporcionales.

𝑎

𝑑=𝑏

𝑒=𝑐

𝑓

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

3

1=−6

−2=3

1

Ejemplo 3:

¿0=1?

¿Qué ocurre en este caso con la solución?

𝑥 + 2𝑦 = 12𝑥 + 4𝑦 = 3

1

2

Se despeja una variable, en este caso “𝒙” de la 1era ecuación

𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒚

Sustituimos en la 2da ecuación 𝟐 𝟏 − 𝟐𝐲 + 𝟒𝐲 = 𝟑

Se resuelve la ecuación, despejando y

𝟐 − 𝟒𝒚 + 𝟒𝒚 = 𝟑𝟎𝒚 = 𝟏𝟎 = 𝟏

Al realizar la gráfica de este sistemase obtienen rectas paralelas que nointersectan en algún punto. Por lotanto, el sistema no tiene solución.

Este tipo de sistemas se llamaincompatible.

A su vez, se puede observar que esto se produce si los coeficientes de x e y sonproporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres.

𝑎

𝑑=𝑏

𝑒≠𝑐

𝑓

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓

1

2=2

4≠1

3

En síntesis, tenemos que en la representación gráfica las rectas son:

Secantes (se intersectan en un punto), el sistema tiene solución única, se llama

Compatible Determinado.

Coincidentes (se intersecta en todos sus puntos), el sistema tiene infinitas soluciones,

se llama Compatible Indeterminado.

Paralelas (no se intersectan), el sistema no tiene solución, se llama Incompatible.

𝑎

𝑑≠𝑏

𝑒

𝑎

𝑑=𝑏

𝑒=𝑐

𝑓

𝑎

𝑑=𝑏

𝑒≠𝑐

𝑓