Vol. 4 •N°4 • diciembre 1997 p. 29

PREDICCIÓN DE AVENIDAS MEDIANTE LA TEORÍA DE LOS SUBCONJUNTOS BORROSOS

Gabriel Soto y Carlos A. Escalante1

RESUMEN: Se discuten las bases matemáticas fundamentales de la modelación borrosa en términos de la función de membresía. Se presenta un modelo para la predicción de avenidas a tiempo real a partir de inferencias borrosas y bajo la hipótesis de que la información disponible es escasa. Para construir el modelo, el problema es dividido en tres etapas. En la primera de ellas, se infiere el tiempo pico a partir del gasto base inicial. En una segunda etapa se determina el gasto pico. Finalmente, se infieren las restantes variables temporales que dan forma al hidrograma de la avenida a partir de una correlación lineal ordinaria. Se discute la mejora sustancial de la respuesta del modelo al agregar nueva información. La metodología propuesta se aplica exitosamente al registro de avenidas máximas en la estación Huites, México. Los resultados obtenidos son muy satisfactorios.

INTRODUCCIÓN Una vez que en cierta cuenca la lluvia inicia, desearía-mos ser capaces de inferir con tiempo suficiente, de qué manera dicha precipitación se traducirá en escu-rrimiento, lo que permitiría tomar medidas preventivas suficientes para mitigar los efectos indeseables de las inundaciones. Desafortunadamente, transcurridas unas pocas horas de iniciada la lluvia, solamente conocemos descripciones verbales de su intensidad. En tales casos la modelación basada en las técnicas clásicas resulta imposible, debido principalmente a que éstas no permiten cuantifícar a las variables verbales que describen el fenómeno. En este sentido, la teoría de los subconjuntos borrosos permite interpretar adecua-damente esta problemática. A la fecha, no se han publicado trabajos en el área de la Hidráulica en la literatura relacionada a la matemática borrosa y sus aplicaciones. En el caso de la Hidrología, existen un par de ellos, Fujita et al(1992) y Fujita y Hayakawa (1989), relativos al pronóstico de avenidas a tiempo real usando información de la distribución temporal y espacial de lluvias y con auxilio de un Sistema de Información Geográfica, GIS (siglas en inglés). Por lo anterior, el modelo descrito en este trabajo no ha podido ser comparado con algún otro semejante en la misma área de conocimiento, aunque un par de apli-caciones de las redes neuronales (Toledo 1996a y 1996b) con propósitos muy parecidos a los discutidos aquí, permiten establecer parámetros comparativos.

PROPOSICIONES BORROSAS De manera cotidiana nuestro lenguaje infiere o pronos-tica con base en estructuras gramaticales llamadas pro-posiciones borrosas:

Proposición: Si x es A entonces y es B

Premisa: x es A (1)

Inferencia: y es B

donde x es un evento conocido, mientras y es un evento asociado a x y de naturaleza desconocida. A y B son con-ceptos borrosos o ambiguos (generalmente adjetivos) los cuales pueden cuantificarse. Suponga que la expresión (1) relaciona al tiempo pico "tp" con el gasto pico "Qdp" así (Figura 1):

Figura 1. Componentes de un Hidrograma

1Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México. Subdirección de Hidráulica. Ciudad Universitaria. Aptdo. postal 70472. Coyoacan 04510. México D.F. Artículo publicado en Ingeniería del Agua. Vol.4 Num.4 (diciembre1997), páginas 29-36, recibido el 12 de junio de 1997 y aceptado para su publicación el 20 de octubre de 1997. Pueden ser remitidas discusiones sobre el artículo hasta seis meses después de la publicación del mismo. En el caso de ser aceptadas, las discusiones serán publicadas conjuntamente con la respuesta de los autores en el primer número de la revista que aparezca una vez transcurtido el plazo indicado.

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Proposición: Si el tp es grande (G) entonces el Qdp es medio (M)

Premisa: tp es grande (2) Inferencia: Qdp es medio

Los conceptos borrosos grande y medio podrían repre-sentarse a través de las funciones µG(tp) y µM(tp) res-pectivamente, las cuales son llamadas funciones de membresía y determinan el grado con el cual un valor tp o Qdp es considerado elemento de los subconjuntos borrosos G (grande) y M (medio). Las funciones de membresía son funciones reales que toman sus valores en el intervalo [0, 1]. Un valor tp podría pertenecer totalmente al conjunto G (µG(tp)=1), no pertenecer (µG(tp)=0) o bien pertenecer parcialmente (µG(tp) ∈ (0, 1)). Se observa que el concepto de la función de membresía se transforma en la bien conocida "función característica" asociada a la operación entre conjuntos ordinarios, siempre que µG(tp) tome solamente los valores uno o cero. Kaufmman (1982) sugiere que en aplicaciones ingenie-riles las funciones de membresía sean del tipo triangular. Así, por ejemplo, la función de membresía asociada a µG(tp) podría interpretarse gráficamente como se muestra en la Figura 2:

Figura 2. Función triangular de membresía donde tpi, tpc y tpd representan las cotas izquierda, centro y derecha de la función de membresía asociada al conjunto grande. Analíticamente:

≤<−−

≤≤−−

=µtpdtptpc

tpctpdtptpd

tpctptpitpitpctpitp

tpG )( (3)

En la Figura 2, el eje de las abscisas se llama "universo de discusión de tp" y representa el rango de valores que puede tomar la variable tiempo pico. Retomando la proposición borrosa dada en la expresión (1), Zadeh (1975) propone interpretarla haciendo uso de una regla de inferencia titulada "regla compuesta de inferencia", la cual infiere B al tomar la composición lógica de A junto con

la relación borrosa traducida a partir de la proposición condicional. En este trabajo se hace uso de proposiciones de estructura más compleja que las representadas por la expresión (1) y son de la forma:

Proposición: Si x es A e y es B entonces z es C Premisas: x es A ; y es B (4) Inferencia: z es C

En forma abreviada, la expresión (4) se escribe como:

)CAB(P → (5) Según lo descrito arriba, Zadeh (1975) propone cuanti-ficar la expresión (4) a partir de las funciones de mem-bresía y la proposición condicional:

})y(µ),x(µ{Min)y(µ)x(µ'C BABA =Λ= (6)

donde C' determina el grado con el cual el pronóstico C se encuentra asociado a las premisas dadas en la expresión (4). Existen diversos métodos para interpretar el valor de membresía C' en términos de números ordinarios. En este trabajo se usa el criterio del centroide, el cual consiste en encontrar esta característica en la función de membresía µC(z) ajustada a un valor a (llamada alfa de corte) y que corresponde al valor C' ( α = C'), de tal forma que la función triangular se transforma en una función trapezoidal tal como lo ilustra la Figura 3.

Figura 3. Interpretación de C' usando el criterio del centroide

MODELOS BORROSOS En general, un modelo matemático borroso involucra una serie de tareas, entre ellas: a. Identificar, nombrar y determinar los universos de

discusión de las variables involucradas en el mode lo. b. Determinar las funciones de membresía necesarias

para describir el universo de discusión de cada varia-ble involucrada en el modelo.

c. Establecer las reglas lógicas que asocian el compor- tamiento de las variables del modelo.

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El conjunto de reglas lógicas descritas en el último punto, recibe el nombre de "base de conocimiento experto" y representa el alma del modelo matemático. Como veremos, la base de conocimientos tiene la cualidad de que se encuentra expresada en términos de proposiciones verbales del tipo dado en las expresiones (1) y (4). En lo que resta de este trabajo se desarrollará un modelo borroso para el pronóstico de avenidas. La intención es mostrar de manera concreta la metodología de la mode-lación y su alcance.

PRONÓSTICO DE AVENIDAS Se considera la siguiente hipótesis: • Hipótesis uno. Una vez iniciada la precipitación, la única información disponible corresponde al gasto base al inicio de la avenida "Qbi". El tiempo pico correspondiente se encuentra asociado a la "memoria histórica del cauce". El modelo borroso que se pretende deberá ser capaz de extraer de dicha memoria la regla natural bajo la cual se rige el comportamiento del escurrimiento. Información disponible para la modelación Para desarrollar la metodología que permita establecer un modelo matemático borroso para la predicción de avenidas a tiempo real, se cuenta con el registro histórico de gastos medios diarios de la estación Huites durante el período de 1942 a 1985. La estación Huites se ubica en el estado de Sinaloa, México, en la región hidrológica número 10 (Figura 4). El área correspondiente a su cuenca es de 26.020 km2 y la longitud del cauce principal es 267 km.

Figura 4. Región hidrológica número 10

Bases de la primera hipótesis • Debido a que la superficie de la cuenca en estudio es

de una magnitud considerable, el tiempo de respues- ta de la misma permitirá aplicar políticas de preven- ción contra los efectos nocivos de las inundaciones.

• La información histórica que alimenta al modelo co rresponde a los eventos extremos anuales de tal for- ma que el tp inferido corresponde al comportamiento histórico más extremo.

• Aún cuando el modelo no considera como una de sus variables la información relativa a la lluvia, para establecer con cierta claridad el comportamiento his tórico de la misma, fue preciso estudiarla en térmi- nos estadísticos. La precipitación anual promedio en la región es de 576 mm. En el período de junio a octubre (lluvias de verano) se presenta el 80% de la precipitación total, aunque durante noviembre a marzo (lluvias de invierno) se presentan los even- tos más extremos que equivalen al 15% de la preci- pitación anual.

Modelo borroso para la determinación de tiempos de pico Con la información disponible se encontró una rela-ción entre las variables tiempo pico y gasto base, de acuerdo a lo acotado en la hipótesis uno. La Figura 5, que muestra el comportamiento histórico seguido entre Qbi y tp para los eventos extremos anuales en la estación Huites, permite establecer los universos de discusión correspondientes los cuales se resumen en la Tabla 1. En el aparente caos sugerido por la Figura 5, se ob-serva que una cantidad importante de puntos se ubica en el intervalo (10.400) m3/s. Es posible distinguir que los puntos históricos se agrupan en pequeños cúmulos, los cuales permiten definir los subconjuntos de los universos de discusión, así como la amplitud de las funciones de membresía correspondientes. El número de subconjuntos para cada variable depen- de de la extensión del universo respectivo, así como de la precisión que se desee en la respuesta del modelo. Por otra parte, la longitud, el espaciamiento y la forma de los subconjuntos en cada universo de discusión se rigen básicamente por el comportamiento de las variables.

RANGO

VARIABLE DESCRIPCIÓN UNIDADES MÍNIMO MÁXIMO

Qbi Gasto base inicial (entrada) m3/s 0 850

tp Tiempo pico (salida) días 0 8

Tabla 1. Variables del sistema y universos de discusión

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Figura 5. Comportamiento histórico de las variables del

modelo

GASTO BASE INICIAL m'/s MEMBRESÍA

SUBCONJUNTO IZQUIERDA CENTRO DERECHA

A 0 16 20 B 19 25 29 C 29 30 35 D 35 43 54

E 52 60 80

F 77 89 103

G 102 109 121

H 119 127 160

I 159 182 197

J 197 210 220

K 220 221 230

L 230 251 260 M 260 280 290 N 289 300 305 O 304 320 340 P 335 355 400

Q 395 449 550 R 525 675 725 S 711 779 850

Tabla 2. Variables del sistema. Subconjuntos borrosos y membresía TIEMPO PICO

días MEMBRESÍA

SUBCONJUNTO IZQUIERDA CENTRO DERECHA

A 0 1 2 B 1 2 3 C 2 3 4 D 3 4 5 E 4 5 6 F 5 6 7 G 6 7 8

Tabla 3. Variables del sistema. Subconjuntos borrosos y membresía

En las Tablas 2 y 3 se resumen las cotas de los Subcon-juntos correspondientes a los universos de discusión. Las cotas izquierda, centro y derecha corresponden a los vértices de las funciones triangulares de membresia. Al observar la información de las Tablas 2 y 3, se intuye que el comportamiento de la variable Qbi ha sido considerado radicalmente diferente al de la variable tp. La simetría de los Subconjuntos de esta última variable contrasta con la no uniformidad del universo de la va-riable Qbi. En términos de experiencia, el diseño de este sistema presupone que la variable dominante en el modelo es Qbi, de manera que los Subconjuntos correspondientes a este universo deben ser cuidadosamente establecidos (propuestos por el experto). En caso de desconocer el comportamiento funcional de la variable, podrían sugerirse universos uniformes, los cuales se ajustarían al comportamiento real en la etapa llamada de "ajuste del sistema". En este caso y por simplicidad, se supone una distribución uniforme al universo de discusión de la variable de salida tp. Al establecer las reglas lógicas que formarán la base del conocimiento se llega al punto crítico del planteamiento del sistema. Su obtención es posible en cualquiera de dos sentidos. • Vía el conocimiento experto.

Información obtenida de la experiencia cotidiana y tra-ducida en términos borrosos a partir de argumentaciones verbales.

• Vía inferencia. Basada en información estadística del fenómeno. En cualquier caso, la base será determinada relacionando las variables de entrada con la variable de salida según las proposiciones (1) y/o (4). En este estudio, la base de conocimiento que ha sido determinada vía inferencia se presenta en la Tabla 4 Qbi A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S tp B C F B C G F A D C D B C G B F B G C

Tabla 4. Base de conocimientos borrosos para caracterizar el tiempo pico

Etapa de ajuste del sistema A continuación se procede a la última etapa de la modelación borrosa llamada ajuste del sistema. En esta etapa se considera al modelo de manera que reproduzca adecuada-mente el comportamiento de la variable de salida tp, auxi-liándose para ello de la información histórica disponible. El ajuste fino se consigue por ensayo (acierto-error) mo-dificando las cotas propuestas en las Tablas 2 y 3.

Las modificaciones a las reglas de la base de conoci-miento propuesta en la Tabla 4 producirán cambios más bruscos en la respuesta del modelo. Es importante señalar que las Tablas 2, 3 y 4 muestran los valores finales considerados, los cuales fueron ajustados usando sola-mente el 50% de la información histórica disponible.

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La etapa de ajuste requiere una inversión de tiempo con-siderable previo a la puesta en operación de un modelo borroso. Como ya se mencionó en este trabajo, la base de conocimiento (Tabla 4) asocia las variables involu-cradas en el modelo. También se dijo que las reglas de correspondencia de la base son aplicables hasta cierto grado, el cual queda determinado por la función de membresía asociada. Ejemplo 1: Suponga que al inicio de la tormenta el Qbi es 109 m3/s. Este valor se ubica en el conjunto G (según la Tabla 2). Con el valor de Qbi, los datos correspon-dientes al subconjunto G y la Tabla 4, se establece que la regla lógica aplicable en este caso se escribe como:

"Como el valor de membresía para un Qbi =109 m3/s es 1.0, entonces la regla que aplica sobre el tiempo pico, subconjunto F (Tabla 3), tiene un valor de mem-bresía igual a 1.0. De la Tabla 3, para el subconjunto F y valor de membresía 1.0 el tiempo de pico asociado a Qbi = 109 m3/s es tp = 6 días"

Ejemplo 2: Suponga que al inicio de la tormenta el Qbi es 8 m3/s. Este valor se ubica en el conjunto A (según la Tabla 2). Con el valor de Qbi, los datos correspondientes al subconjunto A y la Tabla 4, se establece que la regla lógica aplicable en este caso se escribe como:

"Como el valor de membresía para un Qbi = 8 m3/s es 0.5, entonces la regla que aplica sobre el tiempo pico, subconjunto A (Tabla 3), tiene un valor de membresía igual a 0.5. De la Tabla 3, para el subconjunto A y va-lor de membresía 0.5 el tiempo de pico asociado a Qbi = 8 m3/s se calcula de la siguiente manera: Se modifica la función de membresía A correspondiente al tiempo de pico con un valor C'=0.5, de manera que la función de triangular se transforma en una función trapezoidal de membresía, ver Figura 3. Se calcula la abscisa del centro de gravedad de la fun-ción modificada. Dicha coordenada equivale al tiempo de pico asociado a Qbi y en este caso tp= 1 día."

Correlación histórica de los tiempos pico con respecto a los tiempos base Como complemento al modelo borroso para la determi-nación del tp, se propone correlacionar ordinariamente los tiempos base históricos con sus correspondientes tiempos pico, usando para ello un análisis de regresión lineal según el cual:

)8124.0R(;7975.2tp1214.1tb 2 =+= (7) mientras que para el tiempo de recesión:

tptdtr −= (8) Resultados de la predicción de las variables temporales Usando consecutivamente el modelo borroso para la pre-dicción del tp y el modelo de regresión lineal para la

determinación del tb y puesto que ambas variables se asocian con tr según la ecuación (8), pueden destacarse los siguientes resultados: • Error promedio absoluto en la inferencia borrosa de

tp: 0.55 días. • Error promedio absoluto de regresión para la inferen-

cia de tb: 0.92 días. • Error promedio absoluto en la inferencia ordinaria de

tr: 0.67 días. La Figura 6 muestra gráficamente la respuesta del modelo borroso comparando sus inferencias con respecto a los valores observados.

Figura 6. Respuesta del modelo borroso en la inferencia del

tiempo pico Concluida la predicción de las variables temporales y en particular la del tiempo pico, nos encontramos en con-diciones de complementar la primera hipótesis hecha al inicio de esta modelación: • Hipótesis dos. Una vez que se ha establecido un modelo que permita inferir un valor posible de "tp" podremos inferir otro sobre "Qdp", siempre y cuando sepamos algo acerca de la tendencia que sigue el crecimiento del gasto a través del tiempo, una vez iniciada la avenida. Modelo borroso para la determinación del gasto pico "Qdp" Bajo la hipótesis planteada, el sistema borroso a desa-rrollar para la predicción del gasto "Qdp" funcionará bajo dos ideas fundamentales: 1. Si el evento en observación corresponde a una ave-

nida extraordinaria, entonces tanto el tiempo pico in- ferido en términos borrosos como la tendencia observada por la avenida determinan el valor "Qdp".

2. La tendencia ( ∆Q/∆t ) quedará claramente estable- cida, lo suponemos así, cuando hayan transcurrido 0.5 días para avenidas cuyo "tp" inferido sea igual a uno y 1 día para avenidas cuyo "tp" inferido sea su- perior auno. Resulta claro que la tendencia observa- da por la avenida no responde a una ley lineal y, lo que es más, sea cual fuere dicha ley, ésta no es cons tante.

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La variable "tendencia" considerada para la modelación corresponde a la pendiente de la recta secante que une los puntos Qbi y Q(∆t), Figura 7, en donde ∆t (incremento de tiempo) representa el tiempo que se supone suficiente para que quede claramente establecida dicha tendencia. Bajo las ideas expuestas, esperamos que las variables Tendencia y tp, contengan la información mínima necesaria para la estimación de un valor posible de Qdp. Se hace notar, que según la teoría borrosa, la expresión "valor posible" sustituye a "valor probable" (Soto, 1997) Analizando los hidrogramas de escurrimiento directo para las avenidas máximas registradas en la estación Huites es posible establecer las cotas de los universos de discusión correspondientes al modelo que se pretende, información que se encuentra resumida en la Tabla 5.

Figura 7. Tendencia de la avenida transcurridas las primeras

horas de iniciado el escurrimiento

RANGO

VARIABLE DESCRIPCIÓN UNIDADES MÍN. MÁX.

Tendencia Tendencia (entrada) m3/s/día 0 5000

tp Tiempo pico (entrada)

días 0 9

Qdp Gasto de pico (salida)

m3/S 0 9000

Tabla 5. Variables del sistema y universos de discusión.

Etapa de ajuste del sistema Para mostrar el efecto que provoca incorporar información al modelo, se proponen dos etapas independientes de ajuste. En la primera se hace uso de tan sólo 16 de los 44 regis-tros históricos disponibles, aproximadamente un 37% del total. En este caso puede destacarse que el 43% de las inferencias estiman el valor de Qdp con un error inferior al 30% con respecto al valor observado, mientras que el 62% de las inferencias no sobrepasan el 50% de error en la predicción de dicho gasto. La Figura 8 muestra la res-puesta del modelo de inferencia para la primera etapa de ajuste.

TENDENCIA m3/s/día MEMBRESÍA

SUBCONJUNTO IZQUIERDA CENTRO DERECHA

A 0 0 8.3

B 8.3 20 66

C 66 75 83

D 83 95 150

E 150 158 412

F 412 433 666

G 666 683 845

H 845 870 975

I 975 1050 1125

J 1125 1200 1900

K 1900 2000 2400

L 2400 3000 3500

M 3500 4000 5000

TIEMPO PICO

días MEMBRESÍA

SUBCONJUNTO IZQUIERDA CENTRO DERECHA

A 0 1 1.5

B 1.3 2 2.5

C 2.3 3 3.5

D 3.3 4 4.5

E 4.3 5 5.5

F 5.3 6 6.5

G 6.3 7 7.5

H 7.3 8 9

Tabla 6 y7. Variables del sistema. Subconjunlos borrosos y

membresía En una segunda etapa, se propone realizar el ajuste del modelo con 32 de los 44 datos disponibles, aproxima-damente un 73% del total. Las Tablas 6,7 y 8 contienen la descripción de los subconjuntos borrosos correspon-dientes a cada universo de discusión.

En la Tabla 9 se muestra la base de conocimiento bo-rrosa establecida para esta segunda etapa.

La Figura 9 ilustra los resultados obtenidos en la segun-da etapa de ajuste y que, comparados con los obtenidos en la primera etapa de ajuste, muestran notables mejoras en la inferencia de las avenidas extremas registradas.

De los resultados obtenidos en esta segunda etapa de ajuste puede destacarse que para este caso, el 64% de las inferencias estiman un valor de "Qdp" con un error inferior al 30% con respecto al valor observado mientras que el 80% de las inferencias no sobrepasan el 50% de error en la predicción de dicho gasto.

Como puede observarse, a pesar de lo pobre que resulta la información que alimenta al sistema para el primer ∆t propuesto y el hecho en extremo importante de que una de las variables de entrada es a su vez una inferencia borrosa, el modelo responde satisfactoriamente en un porcentaje amplio de los casos estudiados.

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Figura 8. Resultados de la inferencia borrosa de Qdp en la

primera etapa de ajuste

Figura 9. Resultados de la inferencia borrosa de Qdp en la se-

gunda etapa de ajuste

CONCLUSIONES

La inferencia borrosa sugerida, se dividió en dos etapas principales. En la primera de ellas, se determinan los valores posibles de las variables temporales "tp", "tb" y "tr" suponiendo que el tiempo pico se encuentra liga-do a una memoria histórica, la cual puede interpretarse en términos del gasto que escurre al inicio de la tor-menta (Qbi). Se establece un modelo de regresión para la inferencia del tiempo base. En la matemática ordina-ria y en concepciones más sofisticadas como las redes neuronales, resultaría bastante difícil y hasta imposible

GASTO PICO "Qdp" m3/s MEMBRESÍA

SUBCONJUNTO IZQ. CENTRO DER.

EP (pequeño en extremo) 0 510 930 MP (muy pequeño) 577 712 2010

P (pequeño) 2010 2062 3075 M (medio) 3007 3052 4695 G (grande) 3930 4117 6022

MG (muy grande) 5955 6750 8250 EG (grande en extremo) 7800 8385 9000

Tabla 8. Variables del sistema. Subconjuntos borrosos y

membresía

TENDENCIA

TIEMPO PICO A B C D E F G H I J

H •

MP •

MP • • • • • •

G • P • MP • • • • • •

F • MP EP • MP • • • • •

E • EP • MP • • • • • •

D • MP MP EP MP • • G • •

C EP EP MP P P EG P P • •

B • MP • • • EG MP P M •

A • • • • • • MP • • G

Tabla 9. Base de conocimientos borrosos para caracterizar el

gasto pico

separar las variables temporales del resto como se ha conseguido aquí con relativa facilidad.

En una segunda etapa, se establece una metodología para inferir el gasto pico, "Qdp", especulando sobre la relación de éste con respecto a la tendencia seguida por la avenida en cierto período de tiempo. Se debe consi- derar que tan sólo en una primera aproximación, el mo delo predice satisfactoriamente el gasto antes mencionado en el 80% de los casos y haciendo uso de sólo el 73% de la información disponible, porcentaje que se puede incrementar sustancialmente si se utiliza el 100% de la información (Soto, 1997). Las dos etapas consecutivas de ajuste demuestran la congruencia ma temática del modelo al alimentarse de mayor informa ción. La predicción puede complementarse al establecer etapas de inferencia ulteriores y posteriores con perío- dos de tiempo más reducidos. A diferencia de la mode lación ordinaria, la modelación borrosa "aprende" al extender y perfeccionar la base de conocimiento sin ne- cesidad de modificar la estructura fundamental o de ci- clos de retroalimentación como en el caso del entrenamiento de una red neuronal.

Los modelos de inferencia borrosa pueden ser desarro- llados aún con datos hisóricos escasos. Puesto que en la realidad la información disponible con propósitos de modelación no abunda, la anterior característica de los modelos borrosos es una cualidad única que, por sí sola, es digna de atención. El modelo de inferencia propues- to en este trabajo, se desarrolla en estos términos, razón por la cual se proponen dos etapas consecutivas de ajuste que muestren la capacidad del modelo a reproducir el fenómeno con información limitada.

La modelación borrosa hace muy pocas preguntas acer- ca de la naturaleza de los eventos que pretende repro ducir. Particularmente, se debe recordar que el modelo establecido intenta predecir avenidas máximas inde- pendientemente del período de precipitación en que suceden, haciendo a este tipo de modelación mucho

• No conocida con certeza

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más general. La capacidad que tiene la matemática bo-rrosa para manejar problemas conceptualmente más complejos radica en pensar que toda variable relacionada a los eventos en estudio, tiene algún grado de participación. En la matemática ordinaria, la partici-pación o influencia de las variables existe o no existe.

• La modelación e inferencia borrosa es versátil. En este trabajo ya se ha comentado acerca de los dos sentidos de razonamiento que permiten establecer el alma del modelo borroso representada por la base de conoci mientos borrosos. En este caso la base de conocimien to se estableció vía inferencia; lo anterior resulta evidente al observar los espacios vacíos de la Tabla 9, aunque el problema pudo plantearse bajo la idea de que existía cierto conocimiento de la relación que guar- dan las variables involucradas en el fenómeno de estu- dio.

• En el mismo sentido de versatilidad, de acuerdo a la forma en la que se ha ajustado el modelo de inferencia borrosa, éste puede atenuar la desviación absoluta con respecto a los valores observados, o lo que es más, po dría condicionarse su respuesta en dos sentidos: optimista o pesimista, y donde estos conceptos se en- cuentran ligados al tipo de fenómeno que se estudia y al propósito de la inferencia.

• Bajo las ideas expuestas, puede verificarse en la Figura 6, que para el caso de las variables temporales, éstas pueden inferirse aceptablemente para avenidas con tiempos pico mayores a dos días. La anticipación de dicho tiempo es en estos casos de al menos 1 día y hasta de 6 días para tiempos pico iguales a dos y ocho respectivamente.

• Como se ha mencionado, los resultados obtenidos en la estimación de "Qdp" hacen pensar que series conse- cutivas de inferencias bajo la misma estructura de co- nocimiento y para incrementos de tiempo más pequeños permitirían llevar la efectividad del modelo fácilmente a niveles superiores al noventa por ciento de los casos tratados. Se observa que la implantación del sistema no requeriría ninguna modificación a la estructura ac tual de seguimiento, pues unas pocas centrales serían capaces de llevar el control de las inferencias en pun- tos críticos de forma casi automatizada, usando para ello información obtenida vía telefónica y de manera en extremo económica si se compara con la implemen- tación de un sistema GIS.

• Puede observarse que el modelo propuesto queda sus- tentado en dos hipótesis fundamentales que aunque sim- ples en su enunciado, tienen serias implicaciones. Debe tenerse presente que el modelo presupone que la ave- nida en estudio corresponde a una del tipo máximo. En otro caso, y adicionalmente a lo comentado, la presen te modelación deberá complementarse con un criterio que establezca si la tormenta iniciada se traducirá en un avenida máxima o, en su defecto, prevenga sobre las limitaciones del presente modelo. Dicho criterio podría formularse en términos borrosos.

LISTA DE SÍMBOLOS α alfa de corte ⊂ contenido ≠ diferente o no equivalente µA(x) función característica (membresía) del subcon-

junto ordinario (borroso) A Qbf gasto base al final de la avenida Qbp gasto base al tiempo pico Qbi gasto base inicial Qdp gasto de pico con referencia al gasto base Qp gasto pico ⇒ implicación ∆ incremento MAX máximo V máximo (símbolo de disyunción lógica) ≥ mayor o igual ≤ menor o igual MIN mínimo Λ mínimo (símbolo de conjunción lógica) ∩ operación intersección ∪ operación unión ∀ para todo ∈ pertenece tb tiempo base tr tiempo de recesión tp tiempo pico tpc tiempo pico, centro tpd tiempo pico, derecha tpi tiempo pico, izquierda Vd volumen de escurrimiento directo después del

tiempo pico Vp volumen de escurrimiento directo hasta el

tiempo pico Vt volumen total de escurrimiento

REFERENCIAS Fujita, M., Zhu, M. y Nakao, T. (1992) An application of

fuzzy set theory to runoff prediction. Sixth IAHR International Symposium on Stochastic Hydraulics. Taipei, 727-734.

Fujita, M. y Hayakawa, H. ( 1989) An application of fuzzy inference to runoff prediction. Pacific International Seminar on Water Resources Systems

Kaufmann, A. ( 1982) Introducción a la teoría de los sub-conjuntos borrosos para el uso de ingenieros, vol. 1. Elementos teóricos de base. CECSA, México

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