Avenidas Máximas

Hidrología Superficial Unidad 5; Avenidas Máximas

Unidad 5

Avenidas Máximas

Objetivo:Aplicará los métodos para determinar la avenida máxima en cuencas

hidrológicas

Recopilado por: M.C. Gaspar Salas Morales 223


Avenidas Máximas

Escurrimiento en cuencas no aforadas.

Métodos empíricos.

Estos métodos arrojan resultados poco confiables, pues proporcionan el gasto prácticamente con base en las características fisiográficas, por lo que sólo deben emplearse cuando no se disponga de información sobre las precipitaciones o los escurrimientos dentro de la cuenca en estudio, o bien para tener una idea preliminar de los escurrimientos que podrían ocurrir y programar los trabajos de campo.

De los métodos empíricos existentes, no deben emplearse aquellos en los que no intervengan aforos de las corrientes o intensidades de precipitación, ya que éstas tienen amplias variaciones.

Método de Creager

Es el método empírico más comúnmente utilizado y, que se aplica en cuencas mayores de treinta (30) kilómetros cuadrados.

El Método de Creager se basa en la asociación gráfica de los gastos máximos por unidad de área con diferentes periodos de retorno, medidos en cuencas hidrológicas de todo el mundo. Los puntos graficados quedan comprendidos abajo de una curva envolvente de todos ellos, cuya ecuación es la siguiente:

-------

Donde:

Gasto unitario, [(m³/s) / km²]

Área de la cuenca, (km²)

Parámetro adimensional que depende de la región hidrológica en que se encuentre la cuenca en estudio y que puede obtenerse en la publicación Envolventes de Gastos Máximos Observados y Probables en la República Mexicana, que edita la Comisión Nacional del Agua, dependencia que dividió la República Mexicana en 37 regiones hidrológicas, y utilizando la ecuación de Creager, elaboró para cada región las curvas envolventes para períodos de retorno de 5, 10, 20, 50, 100, 1000 y 10 000 años (figura 5.1)

Para calcular el gasto máximo correspondiente a un periodo de retorno, se procede como sigue:

1. Con el área de la cuenca (A), en kilómetros cuadrados, se entra en la gráfica correspondiente a la región hidrológica donde se localice la cuenca en estudio (figura 5.1), hasta cortar verticalmente la curva correspondiente al período de retorno ( ) establecido; desde este punto, trazando una línea horizontal permite determinar el gasto unitario por unidad de área (q) correspondiente.



Figura 5.1 Curva envolvente región hidrológica No 20



2. Con el gasto unitario obtenido como se describe en la Fracción anterior y el área de la cuenca, se calcula el gasto máximo para el periodo de retorno considerado con la siguiente fórmula:

-------

Donde:

Gasto máximo para el periodo de retorno establecido, (m³/s)

Gasto unitario para el periodo de retorno establecido, obtenido para la región hidrológica donde se ubique la cuenca en estudio, [(m³/s)/km²]


Relaciones precipitación - Escurrimiento.

Métodos semiempíricos.

Los métodos semiempíricos se aplican cuando se dispone de información que caracterice la precipitación, la que relacionada con las características fisiográficas de la cuenca en estudio, permite calcular la magnitud de los escurrimientos en el sitio donde se proyecte la nueva estructura, para los periodos de retorno que se establezcan.

Estos métodos arrojan resultados más confiables que los métodos empíricos, particularmente si la respuesta de la cuenca a una precipitación es rápida, deben emplearse siempre que se disponga de información sobre las precipitaciones dentro de la cuenca en estudio.

Las hipótesis en que se basan los métodos semiempíricos, en general suponen que la duración de la tormenta coincide con el tiempo de pico del escurrimiento, que todas las porciones de la cuenca contribuyen a la magnitud de éste, que la capacidad de infiltración es constante en el tiempo, que la intensidad de lluvia es uniforme sobre toda la cuenca y que sus antecedentes de humedad y almacenaje son despreciables.

Estos métodos proporcionan el escurrimiento debido a la precipitación, por lo que, si la corriente en el cauce es perenne, los gastos máximos que se determinen con ellos se corrigen adicionándoles el gasto de dicha corriente (gasto base), para obtener los que han de utilizarse en el diseño hidráulico de la estructura.

Los métodos semiempíricos más utilizados son:

• Método Racional.

• Método de Horton.

• Método de Chow.

Método Racional.



Este método es aplicable a cuencas con área de hasta veinticinco (25) kilómetros cuadrados, aunque también se puede aplicar en cuencas hasta de cien (100) kilómetros cuadrados, considerando que el grado de confiabilidad disminuye al incrementarse el área.

Para calcular con este método el gasto máximo correspondiente a un periodo de retorno, se procede como sigue:

1. Con la longitud del cauce principal (L) y la pendiente media del cauce principal ( ), se calcula el tiempo de concentración ( ), que es el tiempo requerido para que el agua escurra desde el punto más lejano de la cuenca hasta el sitio donde se construirá el puente, mediante la fórmula de Kirpich:

-------

Donde:

Tiempo de concentración, (h)

Longitud del cauce principal, (km)

Pendiente media del cauce principal, adimensional.

2. Con el tiempo de concentración en horas o transformado a minutos, según se requiera, y con las curva de intensidad-duración-periodo de retorno, obtenida como se indicó en la unidad 2 de esta antología, correspondiente al periodo de retorno establecido, se determina la intensidad de lluvia en milímetros por hora ( ).

3. El gasto máximo correspondiente a un periodo de retorno, se calcula mediante la siguiente expresión:

-------

Donde:

Gasto máximo para el periodo de retorno ( ) establecido, (m³/s)

Intensidad de lluvia para una duración de tormenta igual al tiempo de concentración , para el periodo de retorno establecido, (mm/h)




Coeficiente de escurrimiento de la cuenca en estudio, adimensional. Es el coeficiente que permite inferir, la infiltración del agua en el suelo y la relación entre el agua que escurre y la que se precipita, factores que determinan el escurrimiento en el cauce principal debido a la precipitación sobre la cuenca. Este coeficiente está determinado por las condiciones de la superficie de la cuenca, dadas por la geología, el tipo y el uso del suelo, el tipo y densidad de la vegetación, y la existencia de cuerpos de agua, naturales o construidos por el hombre.

Forma de determinar el coeficiente de escurrimiento de la cuenca

Utilizando la información contenida en el estudio geológico, con apoyo en las fotografías aéreas y en las cartas topográficas, geológicas, edafológicas y de uso del suelo, y con base en los datos recabados durante el reconocimiento de campo, se determina el coeficiente de escurrimiento de la cuenca, definido por las condiciones de su superficie de la cuenca, de la siguiente manera:

1. Mediante el análisis de las cartas geológicas, edafológicas y de uso del suelo, se identifican y dibujan en las cartas topográficas, las zonas que representen las distintas condiciones de la superficie de la cuenca, cuidando que cada una tenga características uniformes de topografía, geología, tipo y uso del suelo, estado de humedad del suelo, así como tipo y densidad de la vegetación, ya que dichas características representan condiciones particulares de infiltración y escurrimiento. Cada una de las zonas se identifica mediante números progresivos (Z1, Z2, etc.).

2. Con un planímetro o, de preferencia, con el programa Auto Cad, se determinan las áreas ( ) de las zonas identificadas, expresándolas en kilómetros cuadrados, revisando que su suma corresponda al área total de la cuenca ( ). Para cada zona se calcula la pendiente ( ) en por ciento.

3. Se elabora una relación, con todas las zonas identificadas, indicando para cada una de ellas, su área ( ), su pendiente ( ), su coeficiente

de escurrimiento ( ) y las condiciones de su superficie, describiendo su geología, tipo y uso del suelo, así como tipo y densidad de la vegetación y, se determina su coeficiente de escurrimiento ( ), conforme a las condiciones de su superficie, utilizando la Tabla 5.1.

4. Finalmente, con los datos de la relación, obtenida en el paso 3, se obtiene el coeficiente de escurrimiento, ponderado o pesado, de la cuenca ( ) aplicando la siguiente fórmula:

-------

Donde:



Coeficiente de escurrimiento ponderado de la cuenca, adimensional

Coeficiente de escurrimiento de cada zona i, adimensional

Área de la zona i, (km²)

Área total de la cuenca, (km²)

Número de zonas “ ” identificadas



TABLA 5.1.- Coeficientes de escurrimiento (C) para el Método Racional

Tipo de superficie por drenarPendient

e (%)

Coeficiente de escurrimiento (C)Mínimo Máximo

A) Praderas:1. Suelo arenoso plano < 2 0,05 0,102. Suelo arenoso medio 2 a 7 0,10 0,153. Suelo arenoso empinado > 7 0,15 0,204. Suelo arcilloso plano < 2 0,13 0,175. Suelo arcilloso medio 2 a 7 0,18 0,226. Suelo arcilloso empinado > 7 0,25 0,35

B) Zonas pavimentadas:1. Pavimento asfáltico --- 0,70 0,952. Pavimento de concreto

hidráulico--- 0,80 0,95

3. Pavimento adoquinado --- 0,70 0,854. Estacionamientos --- 0,75 0,855. Patios de ferrocarril --- 0,20 0,40

C) Zonas residenciales:1. Unifamiliares --- 0,30 0,502. Multifamiliares, espaciados --- 0,40 0,603. Multifamiliares, juntos --- 0,60 0,754. Suburbanas --- 0,25 0,405. Casas habitación --- 0,50 0,70

D) Zonas comerciales:1. Zona comercial (áreas

céntricas)--- 0,70 0,95

2. Áreas vecinas --- 0,50 0,70E) Zonas industriales:

1. Construcciones espaciadas --- 0,50 0,802. Construcciones juntas --- 0,60 0,90

F) Campos cultivados --- 0,20 0,40G) Zonas forestadas --- 0,10 0,30H) Parques y cementerios --- 0,10 0,25I) Áreas de recreo y campos de

juego--- 0,20 0,35

J) Azoteas y techados --- 0,75 0,95



Ejemplo.

Método de Horton.

Este método fue desarrollado por el Cuerpo de Ingenieros del Ejército y Fuerza Aérea de los Estados Unidos, aprovechando las amplias investigaciones desarrolladas por el investigador R. E. Horton en materia de escurrimiento superficial.

Este método es aplicable a cuencas planas y de poca pendiente, en las que el escurrimiento no ha formado cauces y fluye en forma laminar, como puede ser el proveniente de una ladera o el de la superficie de rodamiento de una carretera, es aplicable especialmente al diseño de las obras de drenaje del interior de los aeropuertos, con áreas hasta de uno punto cinco (1.5) kilómetros cuadrados. En ocasiones se puede utilizar para cuencas más grandes, considerando que a mayores dimensiones los resultados serán menos confiables.


1. De acuerdo con las características de la superficie de la cuenca, de la Tabla 5.2 se determina el coeficiente de retardo ( ). Si existen varias zonas con características superficiales diferentes, para cada una de ellas se determina su coeficiente de retardo( ), así como su área ( ) y se obtiene el coeficiente de retardo medio de toda la cuenca aplicando la siguiente fórmula:

-------

Donde:

Coeficiente de retardo de la cuenca en estudio, adimensional

Coeficiente de retardo de la zona , adimensional

Área de la zona i, (km2)

Área total de la cuenca, determinada, (km2)

Número de zonas identificadas

TABLA 5.2.- Valores del coeficiente de retardo n’Superficie n’

Pavimentos 0,01Suelo desnudo compacto libre de piedra

0,10

Cubierta de pasto escaso o superficie descubierta moderadamente rugosa

0,30

Cubierta normal de pasto 0,40Cubierta densa de pasto 0,80



2. Con el coeficiente de retardo de la cuenca ( ) y con base en la longitud (L) convertida a metros (Longitud efectiva) y la pendiente media del cauce principal ( ), se determina la longitud equivalente del cauce (L”) como se muestra en la Figura 5.2.

3. Con la longitud equivalente del cauce (L”) se obtiene la duración de la tormenta que corresponde a la intensidad de lluvia que produce el gasto máximo, denominada duración crítica ( ), en minutos, como se muestra en la Figura 5.3.

4. Con la duración crítica en minutos o transformada a horas y con las curvas de intensidad-duración-periodo de retorno, obtenidas como se indica en la unidad 2, se determina la intensidad de lluvia en milímetros por hora, que se transforma a centímetros por hora.

Efecto de n’ en la duración crítica tc’

0 20 40 60 80 100120 140 160 180 200Longitud equivalente L”, (m)

Efecto de Sc en la duración crítica tc’

n' = 0

,80

(cob

ertu

ra d

e pa

sto

dens

o)

0,60

0,50

0,40

(cob

ertu

ra d

e pa

sto

med

io)

0,30

0,25

0,20 (pasto ra

lo o sup. rugosa sin re

vestir)

0,15

0,10 (suelo compacto libre de piedras)

0,01 (pavimento liso)0,06

Sc =

0,5

00,

200,

100,

050,

030,

020,

015

0,01

0

0,00

7

0,005

0,003

0,002

0,001

0 20 40 60 80 100120 140 160 180 200Longitud efectiva L, (m)

FIGURA 5.2.- Gráfica para obtener la longitud equivalente L”

5. En la Tabla 5.3 se determina el coeficiente de infiltración ( ), en centímetros por hora, de acuerdo con los suelos y las características de la superficie de la cuenca. Si existen varias zonas con suelos y características superficiales diferentes, para cada una de ellas se determina su coeficiente de infiltración ( ), así como su área ( ) y se obtiene el coeficiente de infiltración de toda la cuenca aplicando la siguiente fórmula:



-------

Donde:

Coeficiente de infiltración de la cuenca en estudio, (cm/h)

Coeficiente de infiltración de la zona i, (cm/h)


Área total de la cuenca, (km2)


0 100 200 300 400 500 600

Longitud equivalente L”, (m)

Du

rac

ión

crí

tic

a tc’

, (m

in)

0

10

20

30

40

50

FIGURA 5.3.- Gráfica para obtener la duración crítica t c’

TABLA 5.3.- Valores del coeficiente de infiltración

Descripción del suelo

Clasificación del suelo, de acuerdo al

SUCS

Coeficiente de

infiltración cm/h

Mezcla de arena y gravaGW, GP, SW,

SP2.0 – 2.5

Grava limosa y arena limosa a limo inorgánico, y margas descubiertas

GM, SM, ML, MH, OL

0.8 – 1.5

Arena limoarcillosa a arcilla arenosa SC, CL 0.5 – 0.8

Arcilla, inorgánica y orgánica CH, OH 0.25 – 0.5

Roca desnuda, no demasiado fracturada --- 0 – 0.25



Los valores del coeficiente de infiltración indicados en la Tabla 5.3, son para suelos sueltos; para compactos decrecen entre 25 y 75%, dependiendo del grado de compactación y del tipo de suelo.

El efecto de la vegetación generalmente reduce la capacidad de infiltración de los suelos gruesos y aumenta la de los arcillosos, debido a que modifican su permeabilidad. Para superficies cubiertas de pasto comúnmente se supone una capacidad de infiltración de 1.2 cm/h, aunque en ocasiones se pueden usar valores hasta del doble de éste.

Para superficies pavimentadas se considera un coeficiente de infiltración nulo.

Aunque se sabe que la infiltración es variable, ya que depende, entre otros factores, de la estructura y la humedad del suelo, la cobertura vegetal, la humedad y la temperatura ambiente, se supone, para fines de cálculo, que es constante durante la tormenta considerada.

6. Se calcula la intensidad de lluvia en exceso ( ), asociada con la

duración crítica ( ), con la siguiente fórmula:

-------

Donde:

Ie = Intensidad de lluvia en exceso para el periodo de retorno Tr establecido, (cm/h)

Intensidad de lluvia para una duración de tormenta igual a la duración crítica tc’, para el periodo de retorno Tr establecido, (cm/h)

Coeficiente de infiltración de la cuenca en estudio, (cm/h)

Como se supone que la intensidad de lluvia ( ) es constante y uniforme durante la tormenta dentro de la cuenca, se acepta que la intensidad de lluvia en exceso ( ) también lo es.

7. Se calcula el gasto unitario de la cuenca ( ), por hectárea, para el periodo de retorno establecido, mediante la siguiente ecuación definida por Horton:

-------

Donde:

Gasto unitario de la cuenca para el periodo de retorno Tr establecido, [(m3/s) / ha]

Intensidad de lluvia en exceso para el periodo de retorno Tr establecido, (cm/h)

Duración crítica, (minutos)



Coeficiente de retardo de la cuenca en estudio, adimensional

Longitud del cauce principal, (m)

Pendiente media del cauce principal, adimensional.

8. Con el gasto unitario obtenido como se describe en el Inciso anterior y el área de la cuenca, se calcula el gasto máximo para el periodo de retorno considerado con la siguiente fórmula:

-------

Donde:

Gasto máximo para el periodo de retorno Tr establecido, (m³/s)

Gasto unitario para el periodo de retorno Tr establecido, [(m3/s) / ha]

Área de la cuenca, (ha)

Método de Chow.

Este método, fue deducido con base en los conceptos de hidrogramas unitarios e hidrogramas unitarios sintéticos, es probablemente el más confiable de los métodos semiempíricos, por lo que debe aplicarse siempre que sea posible, particularmente para cuencas hasta de veinticinco (25) kilómetros cuadrados, aunque también se puede aplicar en cuencas con áreas hasta de doscientos cincuenta (250) kilómetros cuadrados, considerando que a mayores dimensiones los resultados serán menos confiables. Para cuencas más grandes, cuyas corrientes no estén aforadas, es necesario comparar los resultados que se obtengan con los que se determinen mediante métodos estadísticos para otra cuenca aforada dentro de la misma región hidrológica.


1. Dependiendo de las características del suelo de la cuenca en estudio, éste se clasifica dentro de alguno de los siguientes tipos:

Tipo A Suelos con potencial de escurrimiento mínimo. Incluye gravas y arenas de tamaño medio, limpias y mezclas de ambas.

Tipo B Suelo con infiltración media inferior a la del tipo A. Incluye arenas finas, limos orgánicos e inorgánicos, mezclas de arena y limo.

Tipo C Suelos con infiltración media inferior a la del tipo B. Comprende arenas muy finas, arcillas de baja plasticidad, mezclas de arena, limo y arcilla.

Tipo D Suelos con potencial de escurrimiento máximo. Incluye principalmente arcillas de alta plasticidad, suelos poco profundos con subhorizontes casi impermeables



2. Según el tipo de suelo, clasificado como se indica en el Inciso anterior, y de acuerdo con las características de la superficie de la cuenca, en la Tabla 5.4, se determina su número de escurrimiento.

Si existen varias zonas con suelos de tipos diferentes, para cada una de ellas se determina su número de escurrimiento ( ), así como su área ( ) y se obtiene el número de escurrimiento de toda la cuenca aplicando la siguiente fórmula:

-------

Donde:

Número de escurrimiento de la cuenca en estudio, adimensional

Número de escurrimiento de la zona i, adimensional


Área total de la cuenca, (km2)


Los resultados que se obtienen mediante el Método de Chow, son muy sensibles a la variación del número de escurrimiento, por lo que su determinación ha de hacerse cuidadosamente.

TABLA 5.4.- Selección del número de escurrimiento

Uso de la tierra o cobertura

Condición de la superficie

Tipo de suelo

A B C D

Bosques sembrados y cultivados

Ralo, baja transpiración 45 66 77 83Normal, transpiración

media36 60 73 79

Espeso o alta transpiración 25 55 70 77

CaminosDe tierra 72 82 87 89

De superficie dura 72 84 90 92

Bosques naturales

Muy ralo o baja transpiración

56 75 86 91

Ralo, baja transpiración 46 68 78 84Normal, transpiración

media36 60 70 76

Espeso o alta transpiración 26 52 62 69Muy espeso o alta

transpiración 15 44 54 61

Descanso (sin cultivo)

Surcos rectos 77 86 91 94

Cultivos de surcoSurcos rectos 70 80 87 90

Surcos en curvas de nivel 67 77 83 87Terrazas 64 73 79 82

Cereales Surcos rectos 64 76 84 88Surcos en curvas de nivel 62 74 82 85



Terrazas 60 71 79 82Leguminosas

(sembradas con maquinaria al voleo) o potrero de rotación

Surcos rectos 62 75 83 87Surcos en curvas de nivel 60 72 81 84

Terrazas 57 70 78 82

Pastizal

Pobre 68 79 86 89Normal 49 69 79 84Bueno 39 61 74 80

Curvas de nivel, pobre 47 67 81 88Curvas de nivel, normal 25 59 75 83Curvas de nivel, bueno 6 35 70 79

Potrero (permanente) Normal 30 58 71 78Superficie

impermeable 100 100 100 100



3. Con una duración de la tormenta ( ), seleccionada arbitrariamente, en minutos o en horas, según se requiera, se entra verticalmente en las curvas de intensidad-duración-periodo de retorno, obtenidas como se indica en la unidad 2, hasta la curva correspondiente al periodo de retorno requerido de diseño.

4. Se calcula la altura de precipitación ( ) correspondiente a la intensidad de lluvia determinada como se indica en el Inciso anterior, multiplicando ésta por la duración de la tormenta seleccionada y se transforma a centímetros.

5. Con el número de escurrimiento ( ) y la altura de precipitación ( ), se determina la precipitación en exceso ( ) con la siguiente fórmula:

-------

Donde:

Precipitación en exceso para la duración de tormenta seleccionada y el periodo de retorno establecido, (cm)

Altura de precipitación para la duración de tormenta seleccionada y el periodo de retorno establecido, (cm)

Número de escurrimiento de la cuenca en estudio, adimensional.

6. Con base en la precipitación en exceso ( ) y la duración de la tormenta ( ) seleccionada, se determina el factor de escurrimiento (), en centímetros por hora, con la siguiente ecuación

-------

Donde:

Factor de escurrimiento, (cm/h).

Precipitación en exceso para la duración de tormenta seleccionada y el periodo de retorno establecido, (cm)

Duración de la tormenta seleccionada, (h)

7. Con la longitud del cauce principal ( ) convertida a metros y su pendiente media ( ) expresada en por ciento, se calcula el tiempo de

retraso ( tr), mediante la siguiente:

-------

Donde:



Tiempo de retraso, (h)

Longitud del cauce principal, (m)

Pendiente media del cauce principal, (%)

8. Se calcula la relación entre la duración de la tormenta seleccionada y

el tiempo de retraso , y con ayuda de la siguiente ecuación, se

determina el factor de reducción del pico ( ), adimensional.

----

Valida para valores:

9. El gasto que producirá la precipitación con la duración de la tormenta seleccionada, para el periodo de retorno establecido, se calcula con la siguiente fórmula:



-------

Donde:

Gasto para la duración de la tormenta seleccionada y el periodo de retorno establecido, (m³/s)

Área de la cuenca, (km2)

Factor de escurrimiento, (cm/h)

Factor de reducción del pico, adimensional

10.Se repite el procedimiento indicado desde los Incisos 4 al 10, proponiendo otras duraciones ( ) de tormenta con el periodo de retorno ( ) establecido.

11.Se selecciona como gasto máximo ( ), el gasto que resulte mayor

de todos los calculados para ese periodo de retorno.

12.Para cuencas con áreas mayores de 250 km², cuyas corrientes no

estén aforadas, es necesario comparar el gasto máximo ( ) que se

obtenga con este método para un determinado periodo de retorno, con

el gasto (. .) , este gasto se calcula a partir del que se obtenga

aplicando un método estadístico para otra cuenca cercana, aforada y ubicada dentro de la misma región hidrológica, para el mismo periodo de retorno, con la siguiente fórmula:

-------

Donde:

Gasto máximo de la cuenca en estudio, inferido a partir de otra cuenca cercana aforada dentro de la misma región hidrológica, para el periodo de retorno Tr establecido, (m³/s)

Gasto máximo de la cuenca aforada, para el periodo de

retorno Tr establecido, (m³/s)

Área de la cuenca en estudio, (km2)

Área de la cuenca aforada, (km2)

Número de escurrimiento de la cuenca en estudio, adimensional

Número de escurrimiento de la cuenca aforada, adimensional

Pendiente media del cauce principal de la cuenca en estudio, (%)

Pendiente media del cauce principal de la cuenca aforada, (%)



Escurrimiento en cuencas aforadas.

MÉTODOS ESTADÍSTICOS

Los métodos estadísticos se aplican cuando se dispone de los gastos máximos anuales medidos en las estaciones hidrométricas instaladas en la corriente en estudio o en corrientes vecinas de características fisiográficas semejantes y son los más confiables para determinar la magnitud de los escurrimientos en el sitio donde se proyecte la nueva estructura, de acuerdo con los periodos de retorno que se establezcan, por lo que deben utilizarse siempre que sea posible.

Con los registros de los gastos máximos anuales aforados en las estaciones hidrométricas existentes sobre el cauce principal de la cuenca en estudio, se analizan estadísticamente, ajustando una función de distribución de probabilidad a dichos gastos, para caracterizar el escurrimiento y determinar los gastos que se utilizarán en el diseño hidráulico de la estructura, según los periodos de retorno que se establezcan.

Los métodos estadísticos que comúnmente se utilizan son el de Gumbel, Gumbel I, Log Gumbel, Log Gumbel I, Normal, Doble Normal, Log Normal, Log Normal 3 Parámetros, Pearson y Gamma, entre otros.

Para que un método estadístico se considere aplicable basta que su distribución de probabilidad muestre cierta concordancia con los datos que se procesen. Así el método que dará mejores resultados será aquel cuya distribución de probabilidades se ajuste más a los gastos máximos anuales registrados.

Prácticamente en todos los métodos estadísticos mencionados se sigue el mismo procedimiento de cálculo, sin embargo, el más frecuentemente utilizado es el de Gumbel, que a manera de ejemplo se describe a continuación:

Nota.

Antes de proceder a la aplicación del método estadístico y con el propósito de seleccionar los datos que sean útiles, se determina si durante el lapso que abarca el registro de gastos aforados en una estación hidrométrica, se realizaron obras en la cuenca que hayan provocado cambios en sus características hidrológicas, como por ejemplo, la construcción de alguna presa, en cuyo caso sólo pueden usarse los datos obtenidos a partir del momento en que la última obra construida haya entrado en operación normal. Los datos útiles han de ser ordenados como sigue:

1. Para cada año de registro se selecciona el mayor de los gastos medidos, que corresponde al gasto máximo anual de ese año, elaborando una relación como la ejemplificada en la Tabla 5.5.

TABLA 5.5.- Ejemplo de registro de gastos máximos anuales

AñoGasto máximo

anualQ, (m³/s)

1967 4 000



1968 5 1001969 3 2701970 2 8601971 2 6601972 4 4001973 3 6901974 3 1201975 3 4601976 2 5701977 2 7601978 2 990

2. Los gastos máximos seleccionados como se indica en el Párrafo anterior, se ordenan de mayor a menor, asignándoles un número de orden, como se muestra en la Tabla 5.6 y se calcula para cada uno su periodo de retorno (Tr) en años, mediante la ecuación que propone Weibull, siguiente:

-------

Donde:

Tr = Periodo de retorno, (años)

N = Número total de años de registro

j = Número de orden de los datos de gastos máximos anuales

TABLA 5.6.- Ejemplo de ordenación de gastos máximos anuales

Númerode orden

j

Gasto máximo

anualQ, (m³/s)

Periodo de retornoTr, (años)

1 5 100 13,002 4 400 6,503 4 000 4,334 3 690 3,255 3 460 2,606 3 270 2,177 3 120 1,868 2 990 1,639 2 860 1,44

10 2 760 1,3011 2 660 1,1812 2 570 1,08



3. Para ajustar la función de distribución de probabilidad de los gastos máximos anuales, ordenados como se indica en el Inciso anterior, el Método de Gumbel se basa en la siguiente función:

-------

En la cual:

Variable aleatoria que representa el gasto (buscado).

Valores de los gastos máximos anuales.

Base de los logaritmos naturales.

Parámetros.

Por otra parte, si un evento hidrológico igual o mayor que q ocurre en

T años, la probabilidad es igual a 1 en T casos, o sea:

-------

La probabilidad de que q sea menor o igual que Q es el complemento de la anterior, o sea:

-------

Entonces:

-------

Substituyendo esta ecuación en la ecuación en la (5.19), se obtiene:

-------

Sacando logaritmo, tenemos:

-------

Nuevamente obtenemos el logaritmo de esta última ecuación, pero como no existen logaritmos de números negativos, primero multiplicamos ambos miembros por -1, tenemos:

-------

Aplicando la ley de los logaritmos:



-------

Efectuando operaciones:

-------

Simplificando:

-------

Ahora, sí, obtenemos nuevamente su logaritmo:

-------

De la que despejamos (Q), obteniendo la ecuación:

-------

Donde:

Gasto máximo para el periodo de retorno Tr, (m³/s)

Periodo de retorno, (años)

Logaritmo natural (base e)

a y cson parámetros de la función de distribución, que se determinan como sigue:

-------

-------

Donde:

Promedio de los gastos máximos anuales, (m³/s)

Desviación estándar de los gastos máximos anuales, (m³/s)

y son funciones del tamaño de la muestra, es decir, del número total de años de registro N y se obtienen de la Tabla 6.7.

Sustituyendo los parámetros a y c, ecuaciones (5.31) y (5.32) en la ecuación (5.30) y llamando a se determina la ecuación correspondiente al gasto máximo en términos del periodo de retorno:



-------

O bien

-------

Con esta ecuación se calculan los gastos máximos para los periodos de retorno que se establezcan.

En la que:

-------

-------

4. Para calcular el intervalo de confianza, es decir, aquel dentro del cual puede variar el gasto máximo para un determinado periodo de retorno con una determinada probabilidad., dependiendo del número total de años de registro, primero se determina el parámetro como sigue:

-------

Donde:

Tr = Periodo de retorno, (años)

Si 0.2 0.8, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:

-------

Si 0.9, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:

-------

Donde:

Q = Intervalo de confianza, (m³/s)

Q = Desviación estándar de los gastos máximos anuales, (m³/s)

N = Número total de años de registro

N y son funciones del tamaño de la muestra, es decir, del número total de años de registro N y del parámetro , respectivamente. Se obtienen de las Tablas 5.7 y 5.8 de este Manual.



Si 0.80 < < 0.90, el intervalo de confianza se considera de transición y se determina interpolando entre los valores calculados con las dos fórmulas anteriores. Para valores de menores de 0.2, el intervalo de confianza es despreciable.

5. Los gastos máximos para los periodos de retorno que se establezcan, se ajustan considerando sus correspondientes intervalos de confianza, para obtener los gastos que han de utilizarse en el análisis hidrológico de la estructura, aplicando la siguiente fórmula:

-------

Donde:

Gasto máximo ajustado para el periodo de retorno Tr establecido, (m³/s)

Gasto máximo para el periodo de retorno Tr establecido, calculado según el método estadístico seleccionado, (m³/s)

Intervalo de confianza para el periodo de retorno Tr, (m³/s)



TABLA 5.7.- Valores de YN y N para diferentes tamaños de muestras

N YN N N YN N N YN N

8 0,48430 0,90430 36 0,54100 1,13130 68 0,55430 1,28340

9 0,49020 0,92880 37 0,54180 1,13391 70 0,55477 1,18536

10 0,49520 0,94970 38 0,54240 1,13630 72 0,55520 1,18730

11 0,49960 0,96760 39 0,54300 1,13880 74 0,55570 1,18900

12 0,50350 0,98330 40 0,54362 1,14132 76 0,55610 1,19060

13 0,50700 0,99720 41 0,54420 1,14360 78 0,55650 1,19230

14 0,51000 1,00950 42 0,54480 1,14580 80 0,55688 1,19382

15 0,51280 1,02057 43 0,54530 1,14800 82 0,55720 1,19530

16 0,51570 1,03160 44 0,54580 1,14990 84 0,55760 1,19670

17 0,51810 1,04110 45 0,54630 1,15185 86 0,55800 1,19800

18 0,52020 1,04930 46 0,54680 1,15380 88 0,55830 1,19940

19 0,52200 1,05660 47 0,54730 1,15570 90 0,55860 1,20073

20 0,52355 1,10628 48 0,54770 1,15740 92 0,55890 1,20200

21 0,52520 1,06960 49 0,54810 1,15900 94 0,55920 1,20320

22 0,52680 1,07540 50 0,54854 1,16066 96 0,55950 1,20440

23 0,52830 1,08110 51 0,54890 1,16230 98 0,55980 1,20550

24 0,52960 1,08640 52 0,54930 1,16380 100 0,56002 1,20649

25 0,53086 1,09145 53 0,54970 1,16530 150 0,56461 1,22534

26 0,53200 1,09610 54 0,55010 1,16670 200 0,56715 1,23598

27 0,53320 1,00400 55 0,55040 1,16810 250 0,56878 1,24292

28 0,53430 1,10470 56 0,55080 1,16960 300 0,56993 1,24786

29 0,53530 1,10860 57 0,55110 1,17080 400 0,57144 1,25450

30 0,53622 1,11238 58 0,55150 1,17210 500 0,57240 1,25880

31 0,53710 1,11590 59 0,55180 1,17340 750 0,57577 1,26506

32 0,53800 1,11930 60 0,55208 1,17467 100000

0,57450 1,26851

33 0,53880 1,12260 62 0,55270 1,17700 0,57722 1,28255

34 0,53960 1,12550 64 0,55330 1,17930 --- --- ---

35 0,54034 1,12847 66 0,55380 1,18140 --- --- ---

TABLA 5.8.- Valores de para diferentes valores de

0,01 2,1607 0,35 1,2981 0,75 2,00690,02 1,7894 0,40 1,3366 0,80 2,24080,05 1,4550 0,45 1,3845 0,85 2,58490,10 1,3028 0,50 1,4427 0,90 3,16390,15 1,2548 0,55 1,5113 0,95 4,47210,20 1,2427 0,60 1,5984 0,98 7,07100,25 1,2494 0,65 1,7034 0,99 10,00000,30 1,2687 0,70 1,8355 --- ---



Método de Nash.

La curva de distribución de probabilidades utilizada por Nash es la misma del método de Gumbel, expuesto en el método anterior, pero ajustada con mínimos cuadrados en vez de por momentos.

Partiendo de la ecuación (B):

-------

Tomando 2 veces logaritmos (decimal) en ambos miembros, de igual forma que en el método de Gumbel, y despejando Q tenemos la ecuación (5.42):

--------

Si en esta ecuación se hace las siguientes sustituciones:

Se obtiene la expresión de Nash.

-------

Donde:

Gasto máximo para un periodo de retorno determinado, en m³/s.

y Parámetros que son función del registro de gastos máximos.

Periodo de retorno en años.

Los parámetros y se valúan, con base en los registros, en la forma siguiente:

-------

-------

Siendo:

-------



Donde:

Número de años de registro.

Gastos máximos anuales registrados, en m³/s.

Gasto medio en m³/s.

Constante para cada gasto registrado, función de su

correspondiente periodo de retorno calculado con la ecuación de Weibull.

-------

Rango o lugar de posición del gasto máximo anual al ordenarlos de mayor a menor.

Valor medio de las constantes .

El intervalo de confianza dentro del cual varía el calculado con la ecuación (5.43), se obtiene con la siguiente ecuación:

-------

-------

-------

-------

En la ecuación (5.48) se ve que varía solamente con x, la cual se calcula con la ecuación (5.46) y con el periodo de retorno para el cuál se

calculó el .

El gasto de diseño, de igual forma que en el método de Gumbel, queda comprendido entre:

-------

-------



Método de Lebediev.

Lebediev consideró una distribución del tipo III de Pearson, ajustada con base en experiencias obtenidas en ríos soviéticos.

El gasto máximo probable para un período de retorno determinado se obtiene con la ecuación siguiente:

-------

En la que es el gasto medio y se obtiene con la ecuación, suficientemente conocida, siguiente:

-------

Y es el coeficiente de variación, adimensional, que se obtiene con la siguiente ecuación:

-------

Coeficiente adimensional que depende de la probabilidad expresada en porcentaje de que se presente el gasto correspondiente al período de retorno de que se trate y del coeficiente de asimetría y que se obtiene de las tablas 5.9.

Gastos máximos anuales observados, en m³/s.

Número de años de observación.

Probabilidad de que se presente la avenida correspondiente al período de retorno de que se trate en un año en particular, expresada en porcentaje; se calcula con la ecuación:

-------

En esta ecuación es el período de retorno correspondiente al gasto de diseño, en años.

Coeficiente de asimetría, adimensional; cuando el número de años de registro es mayor de 40, este coeficiente se determina con la ecuación:

------



En caso de que el número de años de observación sea menor que 40, se recomienda calcular además los valores siguientes:

Para avenidas producidas por deshielo.

Para avenidas producidas por tormentas.

Para avenidas producidas por tormentas ciclónicas.

El valor de así obtenido se compara con el obtenido con la ecuación y se escoge el mayor.

El intervalo de confianza en este método se calcula con la ecuación:

-------

En la cual:

Intervalo de confianza, en m³/s.

Coeficiente adimensional que varia de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años de registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Sí

es mayor de 40 años, se toma el valor de 0.7.

Coeficiente adimensional que depende de los valores de y de la probabilidad P. se encuentra en forma grafica en la figura 5.4.

El gasto de diseño, de igual forma que en los métodos de Gumbel y Nash, queda comprendido entre:

-------

-------



Hidrograma unitario

Tomando como base la teoría del hidrograma unitario se puede relacionar la precipitación con el escurrimiento, teniendo en cuenta su distribución respecto al tiempo.

El hidrograma unitario de una cuenca se define como el hidrograma del escurrimiento directo resultante de un centímetro de lluvia en exceso, generada uniformemente sobre la superficie de la cuenca, con una intensidad también uniforme durante la duración de la lluvia en exceso.

Figura 5.5 Hidrograma Unitario

La teoría del hidrograma unitario se basa en las siguientes suposiciones:

a. La lluvia en exceso esta distribuida uniformemente en toda su duración efectiva.

b. La lluvia en exceso esta distribuida uniformemente en toda el área de la cuenca.

c. El tiempo base de duración del hidrograma del escurrimiento directo debido a una lluvia en exceso de duración dada es constante.

d. Las ordenadas de los hidrogramas de escurrimiento directo de un tiempo base común son directamente proporcionales a la cantidad total de escurrimiento directo representado por cada hidrograma.



e. Para una cuenca dada, en la forma de su hidrograma unitario se integran todas las características físicas de la misma.

En condiciones naturales, dichas suposiciones no se satisfacen en forma perfecta. Sin embargo, cuando la información hidrológica que va a utilizarse se selecciona cuidadosamente de tal manera que llegue a cumplir de forma aproximada dichas suposiciones, los resultados obtenidos por el método del hidrograma unitario generalmente son aceptables para propósitos prácticos (Heerdegen, 1974).

A pesar de que el método fue desarrollado originalmente para cuencas grandes, se ha encontrado que puede aplicarse a cuencas pequeñas desde menos de 0.5 hectáreas hasta 25 km².

En algunos casos no puede usarse el modelo debido a que una o más de las suposiciones no son satisfechas ni siquiera en forma aproximada. Por ejemplo, se considera que el modelo es inaplicable al escurrimiento originado por nieve o deshielo.

Con relación con la suposición a). Las tormentas seleccionadas para el análisis deben ser de corta duración, debido a que es más probable que éstas produzcan una tasa de exceso de lluvia intensa y aproximadamente constantes, arrojando un hidrograma bien definido, con pico único y de tiempo base corto.

Con relación a la suposición b). El hidrograma unitario puede volverse inaplicable cuando el área de la cuenca es demasiado grande para ser cubierta por una lluvia distribuida aproximadamente en forma uniforme. En tales casos, el área debe dividirse y cada subárea analizarse para tormentas que cubran toda la subárea.

Con relación a la suposición c). El tiempo base del hidrograma de escurrimiento directo es generalmente incierto, pero depende del método de separación del escurrimiento base (véase unidad 3). Usualmente el tiempo base es corto si se considera que el escurrimiento directo solamente incluye el escurrimiento superficial, pero es largo si el escurrimiento directo también incluye el escurrimiento subsuperficial.

Con relación a la suposición d). Los principios de superposición y proporcionalidad se suponen válidos, de tal manera que las ordenadas del H.U. pueden obtenerse como a continuación se indica:

Si disponemos del hidrograma unitario para una cuenca determinada, podemos construir el hidrograma producido por cualquier precipitación. Por

ejemplo, si llueve 2 cm, durante una duración en exceso igual al del

hidrograma unitario, bastará multiplicar por 2 las ordenadas de todos los puntos del hidrograma unitario (Figura 5.6).



De

Tiempo

Gas

to p

or

altu

ra d

e p

reci

pita

ción

hpe = 1 cm

hpe = 1 cm2 cm

2 cm

1 cm

Q(1 cm)

Q(1 cm)

Figura 5.6. – hidrograma para una lluvia en exceso de 2 cm.

Análogamente, si disponemos del hidrograma unitario de esa cuenca y llueve 1 cm. durante una duración en exceso igual a 2 veces la duración en exceso del hidrograma unitario de la cuenca, bastará dibujar dos hidrogramas

unitarios desplazados en sentido horizontal y sumar las ordenadas de sus

puntos (Figura 5.7).

De

De

Tiempo

Gas

to p

or a

ltura

de

pre

cipi

taci

ón

hpe = 1 cm

De

2 De

A

B

C

D

AD AB AC

Figura 5.7



El hidrograma resultante es solamente una aproximación, que es suficiente en muchos casos prácticos.

Con relación a la suposición e). El hidrograma unitario se considera único para una cuenca dada e invariable con respecto al tiempo. Este es el principio de invarianza temporal, el cual, junto con los principio de superposición y proporcionalidad es fundamental para el modelo del hidrograma unitario. Los hidrogramas unitarios se aplican solamente cuando las condiciones del cauce permanecen sin cambio y las cuencas no tienen almacenamientos apreciables. Esta condición se viola cuando el área de la cuenca contiene muchos embalses, o cuando las crecientes fluyen por planicies de inundación, produciendo almacenamiento considerable.

Obtención del hidrograma unitario.

Con base en lo anterior, para calcular el hidrograma unitario de una tormenta aislada, se hace lo siguiente:

1. Se separa del hidrograma de la tormenta, el escurrimiento base y el escurrimiento directo (unidad 3).

Escurrimiento directo

Escurrimiento base

Q (m³/s)

B

C

DA

t

E

F G

Figura 5.8. – Separación de los escurrimientos; base y directo.

2. Se calcula el volumen del escurrimiento directo.

Q (m³/s)

DA

t

Qi Qi+1



------- (5.62)

Se calcula la lluvia en exceso, dividiendo el volumen de escurrimiento directo entre el área de la cuenca.

------- (5.63)

Las ordenadas del hidrograma unitario , se obtienen dividiendo las

ordenadas del hidrograma de escurrimiento directo por la atura de lluvia

en exceso .

------- (5.64)

3. Para calcular la duración efectiva de la lluvia en exceso que

produjo el escurrimiento directo para el cuál se calculó el hidrograma unitario, se debe conocer el hietograma de las precipitaciones medias de esa tormenta y el índice de infiltración (unidad 3).

El hidrograma unitario así deducido solo servirá para tormentas que tengan la misma duración en exceso.

Cuando se necesite determinar el hidrograma unitario para del escurrimiento directo para una tormenta con duración en exceso, diferente de la que produjo el hidrograma unitario disponible, deberá ajustarse el hidrograma unitario mediante el método de la curva S.

Curva S.

Cuando se encuentra disponible un hidrograma unitario para un exceso de lluvia dado, pueden deducirse los hidrogramas unitarios para otras duraciones. Si las otras duraciones son múltiplos enteros de la duración dada, el nuevo hidrograma unitario puede calcularse fácilmente aplicando los principios de superposición y proporcionalidad. Sin embargo, puede utilizarse un método general de deducción aplicable a hidrogramas unitarios de cualquier duración requerida, con base en el principio de superposición. Este es el método del hidrograma o curva S.

El hidrograma o curva S teórico es aquel que resulta de un exceso de lluvia continuo a una tasa constante de 1 cm durante un periodo indefinido. La curva adopta una forma de S deformada y sus ordenadas finalmente se aproximan a la tasa de exceso de lluvia en el tiempo de equilibrio.

El hidrograma o curva S se obtiene desplazando, en el sentido positivo de las ábsidas, el hidrograma unitario, una distancia igual a la duración de la

lluvia en exceso de la cual es producto, tal como se indica en la figura

siguiente.



De

hpe=1 cm

Lluvia unitaria continua con duración infinita como una secuencia de pulso

De De De De De De De De De

Hidrigrama o curva S

Tiempo horas

Ga

sto

Q (

m³/

s)

Figura 5.9. - Desplazamiento del hidrograma unitario, una distancia igual a

Aplicando el principio de superposición se suman los , correspondientes a los H.U. que se superponen y coinciden con el valor de la ábsida, la suma de estos , da por resultado la ordenada de la curva S correspondiente a esa ábsida, como se indica en la figura siguiente:

De

hpe=1 cm

Lluvia unitaria continua con duración infinita como una secuencia de pulso

De De De De De De De De De

Hidrigrama o curva S

Tiempo horas

Gas

to Q

(m

³/s)

Figura 5.10. – Curva S



Teóricamente, el hidrograma o curva S obtenido de esta manera debería ser una curva suave, debido a que se supone que el exceso de precipitación de entrada tiene una intensidad constante y continua. Sin embargo, el proceso de suma producirá una línea ondulada, si existen errores en el calculo del índice de infiltración o en la separación del escurrimiento base y directo, o si la duración real del exceso de lluvia no es la duración deducida para el hidrograma unitario. Una duración que produce ondulaciones mínimas puede encontrarse mediante el proceso de prueba y error.

Una vez que el hidrograma o curva S ha sido construido, el hidrograma unitario para una duración requerida, puede deducirse como sigue:

Se avanza, o compensa, la posición de la curva S un periodo igual a la

duración requerida y se llama a este hidrograma S, el hidrograma S

compensado o curva S compensada.

Hid

rogr

a o

curv

a S

orig

inal

Hid

rogr

a o

curv

a S

com

pens

ada

Hidrigrama o curva S compensada

Tiempo horas

Gas

to Q

(m

³/s)

Dr

hpe=1 cm

Dr

Figura 5.11

La diferencia entre las ordenadas de la curva S original y la curva S compensada (figura 5.12), multiplicadas por el factor (duración de la lluvia en exceso del H.U. original entre la duración en exceso del H.U. requerido).

------- (5.65)

Donde:

Ordenada del hidrograma unitario para la duración requerida ,

correspondiente al tiempo .

Factor de ajuste e igual a .

Ordenada de la curva S original correspondiente al tiempo .

Ordenada de la curva S compensada correspondiente al tiempo .



Hid

rogr

a o

curv

a S

orig

inal

Hid

rogr

a o

curv

a S

com

pens

ada

Hidrigrama o curva S compensada

Tiempo horas

Gas

to Q

(m

³/s)

Dr

hpe=1 cm

Dr

Figura 5.12. – El área sombreada corresponde a diferencia entre las ordenadas de la curva S original y la curva S compensada

Hidrograma unitario de duración Dr

irS Sfq ioir

Tiempo horas

Ga

sto

Q (

m³/

s) Dr

hpe=1 cm

Figura 5.13



Bibliografía

1. Springal Galindo, Rolando. Escurrimiento en cuencas grandes, Faculta de Ingenieria UNAM.

2. Springal Galindo, Rolando. Escurrimiento en cuencas pequeñas, Faculta de Ingenieria UNAM.

3. Chow, Ven Te, Maidment David R. y Mays Larry W. (1994)., Hidrológica aplicada., Editorial Mc Graw Hill.

4. Linsley, Kohler y Paulus. (1988)., Hidrológica para ingenieros, 2ª. Edición, Editorial Mc Graw Hill..

5. Aparicio Mijares, Francisco Javier.(2001), Fundamentos de hidrológica de superficie., 10ª reimpresión. Editorial Limusa Noriega Editores.

6. Monsalve, Sáenz, Germán (1999), Hidrológica en la ingeniería, 2ª. Edición. Editorial Alfa Omega

7. REVISTAS DE INGENIERÍA HIDRÁULICA EN MÉXICO.

8. Notas del Seminario de Drenaje, parte I, Hidrología, Tema 4.- Métodos hidrológicos para previsión de escurrimientos., Ponentes: Ing. Ramón Domínguez, Ing. Francisco Jiménez Zúñiga e Ing. Osain Dabián Rojas.

9. Manual de la Secretaría de Comunicaciones y transporte: Nnorma M-PRY-CAR-1-06-003/00


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