SISTEMA DIÉDRICO Intersecciones de planos y de rectas y planos.
Planos y Recyas
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51
2.3 Planos.
La gráfica de una ecuación de dos variables x e y, más simple en dos
dimensiones R2 es la recta y su ecuación general es Ax + By + C = 0. Para
determinar una recta en el plano xy usamos la pendiente. En el espacio
tridimensional, la gráfica de una ecuación de tres variables x, y y z, es una
superficie, la representación más simple de superficie es un plano. La
ecuación de un plano es una ecuación de primer grado de tres variables y se
obtiene a partir de un punto del plano y del vector Normal (perpendicular) a
él.
Definición2.3.1:
Si N es un vector dado no cero y P0(x0, y0, z0) es un punto; entonces el
conjunto de todos los puntos P(x, y, z) para los cuales V( PP0 ) y N son
ortogonales, se define como el plano que pasa por P0 y t iene a N como
vector Normal.
Teorema2.3.1:
Si P0(x0, y0, z0) es un punto en un plano y un vector normal al plano
cbaN ,,= , entonces una ecuación del plano es
a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
N
Po(xo,yo,zo) P(x,y,z)
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52
Demostración:
Considérese el plano que contiene a P(x, y, z) y que tiene por vector
Normal cbaN ,,= , como se ve en la figura y V( PP0 ) es el vector cuya
representación es V( PP0 )= 000 ,, zzyyxx −−− , para los cuales V( PP0 ) es
perpendicular a N . Empleando el producto escalar se t iene
( ) 0PPVN 0 =•
c,b,a 000 zz,yy,xx −−− = 0
a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) =0
es la ecuación del plano.
Ejemplos:
1) Encontrar una ecuación del plano que contenga al punto P(-1, 8, 3)
y que tenga -7i-j+k como vector Normal.
Solución:
Usando el teorema anterior P0(x0, y0, z0) = (-1, 8, 3) y
N = c,b,a = 1,1,7 −− , tenemos como ecuación del plano a
-7(x + 1) – (y – 8) + (z – 3) = 0
⇒ -7x – 7 – y + 8 + z – 3 =0
⇒ -7x – y + z – 2 =0
2) Obtener la ecuación general del plano que contiene los puntos
(3, 4, 1), (1, 7, 1) y (-1, -2, 5)
Solución:
Para aplicar el teorema necesitamos un punto del plano y un vector que
sea normal al plano, tenemos tres puntos del plano, pero no se nos da un
vector Normal. Para obtener el vector Normal N usamos el producto
vectorial de los vectores U y V , que van del punto (3, 4, 1) a los puntos
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53
(1, 7, 1) y (-1, -2, 5).
U = 11,47,31 −−− = 0,3,2−
V = 15,42,31 −−−−− = 4,6,4 −−
y se t iene que
N = U x V =
464
032
−−−
kji
= 12i + 12k – (– 12k – 8j)
= 12i + 12k + 12k + 8j
= 12i + 8j + 24k
N = 24,8,12 = 4 6,2,3
Ahora con el P(x,y,z) y el punto P0(3,4,1) encontramos el vector
V( PP0 )= 1z,4y,3x −−− y
N • V( PP0 ) = 0
24,8,12 1z,4y,3x −−− = 0
12(x – 3) + 8(y – 4) + 24(z – 1) = 0
12x – 36 + 8y – 32 + 24z – 24 = 0
12x + 8y + 24z – 92 = 0
Realicemos el ejercicio anterior con la ayuda del software MAPLE V
Para obtener el vector Normal usamos el producto vectorial de los vectores U y V,
que van del punto (3, 4, 1) a los puntos (1, 7, 1) y (-1, -2, 5).
U =<1-3,7-4,1-1> =<-2,3,0>
V =<-1-3,-2-4,5-1> =<-4,-6,4>
Ahora carguemos la librería de Álgebra con el comando with(linalg)
> with(linalg):
Para representar a los vectores en MAPLE, se usa el comando a:= vector(número de
coordenadas,[a,b,...,c]);
> U:=vector(3,[-2,3,0]);
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54
:= U [ ], ,-2 3 0
> V:=vector(3,[-4,-6,4]);
:= V [ ], ,-4 -6 4
Para realizar el producto vectorial, se usa el comando crossprod(u,v)
> crossprod(U,V);
[ ], ,12 8 24
> R:=%;# etiquetando al vector normal del plano
:= R [ ], ,12 8 24
Ahora si p=(x,y,z) y q=(3,4,1) entonces qp=<x-3,y-4,z-1>, representemos e vector qp
> qp:=vector(3,[x-3,y-4,z-1]);
:= qp [ ], , − x 3 − y 4 − z 1
Para realizar el producto punto el comandos es dotrod (los dos vectores),se obtiene la
ecuación del plano.
> dotprod(qp,R)=0;
= − + + 12x 92 8 y 24z 0
Para graficar los planos con el software. Se carga la l ibrería de
graficación with(plots) y se usa el comando implici tplot3d(ecuación del
plano, x=a..b,y=c..d,z=e..f)
Ejemplo:
a) Graficar el plano 2x-3y+z=4 usando MAPLE V.
Solución:
> with(plots):
> implicitplot3d(2*x-3*y+z=4,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5);
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55
b) graficar los dos planos 3x+2y+z=2 y 2x-5y+3z=1 que se interceptan con la ayuda
del software.
> with(plots):
> implicitplot3d({3*x+2*y+z=2,2*x-5*y+3*z=1},x=-15..15,y=-
15..15,z=-10..10);
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56
Teorema2.3.2:
Si a, b y c no son todos ceros, la gráf ica de una ecuación de la forma
ax + by + cz + d = 0 es un plano y c,b,a es un vector Normal al plano.
Demostración:
Supongamos que a≠ 0; entonces el punto
− 0,0,a
d está en la gráfica de
la ecuación.
La ecuación dada se puede escribir como ( ) ( ) 00z0yba
dxa =−+−+
+
por el Teorema anterior es una ecuación de un plano que pasa por el punto
− 0,0,a
d y para el cual c,b,a es un vector normal. Esto demuestra el
teorema para a≠ 0. Un argumento similar es vál ido si a = 0 y b≠ 0 ó c≠ 0
Dos planos del espacio tridimensional o son paralelos o bien se
cortan en una recta. Si se cortan podemos determinar el ángulo entre el los
a parti r del ángulo entre sus vectores normales. (ver la figura)
Definición2.3.2:
El ángulo entre dos planos se define como el ángulo entre los vectores
normales a los dos planos.
n r
L
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57
Concretamente si los vectores N1 y N2 son normales a dos planos que se
cortan, entonces el ángulo θ entre los vectores normales es igual al ángulo
entre los dos planos y viene dado por
cosθ = 21
21
N.N
N.N
Ejemplo:
Encontrar la medida en radianes del ángulo entre los dos planos
2x – y – 2z – 5 = 0 y 6x – 2y + 3z + 8 = 0
Solución:
El vector normal de la ecuación del primer plano 2x – y – 2z – 5 = 0 es
1N = 2,1,2 −− y el vector normal de la ecuación 6x – 2y + 3z + 8 = 0 es
2N = 3,2,6 − por lo tanto el ángulo entre los dos planos es
cosθ = 21
21
N.N
N.N = ( )( )73
3,2,62,1,2 −−− ( ) ( ) 39212N 222
1 ==−+−+=
( ) ( ) 749326N 2222 ==+−+=
cosθ = 21
6212 −+=
21
8
⇒ θ = cos-1
21
8
Definición2.3.3:
Dos planos son paralelos si y solo si sus vectores normales son
paralelos.
Definición2.3.4:
Dos planos son perpendiculares si y solo si sus vectores normales son
ortogonales.
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58
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.- Encuentre la ecuación del plano, si el vector normal y el punto son los
siguientes:
a) ( )5,1,23,1,2 PyN −=
b) ( )5,3,13,4,2 −−= PyN
c) ( )4,2,1523 −−+= PykjiN
d) ( )2,3,424 PyjiN +=
2.- Dado los puntos P(1,-1,2) y Q(2,1,3) Hallar la ecuación de plano que
pasa por P y es ortogonal a PQ Resp: x + 2y + z - 1=0
3.- Encuentre el ángulo que forman los planos 2x + y - 4z = 3 y
x – y + z = 2 con una precisión de un grado. Resp: 1,18 rad ó 68º
4.- Halle la ecuación del plano que contiene a los puntos P, Q y R.
a) P(-1,2,1) , Q(0,-3,2 ) y R(1,1,-4) Resp: 26x + 7y +9z+3=0
b) P(1,-1,1), Q(2,0,2) y R(0,-2,1) Resp: x + y =0
5.- Grafique los siguientes planos:
a) 3x - 2y + z =4
b) 5x - 2y + 8z = 0
c) 6x + 7y –z = 7
6.- Demostrar que la ecuación de un plano cuya intersección con los ejes
x, y y z son respectivamente (a,0,0), (0,b,0) y (0,0,c) es 1=++c
z
b
y
a
x
7.- Hallar la distancia del punto al plano si:
a) P(1,0,-1) , x + y - z = 1 Resp: 3
3
b) P(1,1,-1) , x – y + z = 1 Resp: 6
8.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1.- 1 ,3) y es paralela
al plano 3x + y + z = 0 Resp: 3x + y + z =5
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59
9.- Obtener una ecuación del plano perpendicular al plano x + 3y – z = 7
que contenga a los puntos (2,0,5) y (0,2,- 1) Resp: 2x – y – z – 1 =0
10.- Real ice los ejercicios 1,2,4,5,8 y 9 con la ayuda del software
MAPLE V.
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60
2.4 Rectas en R3
Al igual que en el plano, dos puntos distintos cualquiera en el espacio
determinan una recta única que pasa por esos puntos; También la recta en
R3 está determinada or un punto y una dirección. En el plano usamos la
noción de pendiente para denotar la dirección, pero en el espacio es
conveniente usar un vector.
Sea L una recta en R3 tal que contiene el punto P0(x0, y0, z0) y es
paralela a un vector dado R = c,b,a . (ver figura)
La recta L es el conjunto de todos los puntos P(x, y, z) tal que V( PP0 )
es paralelo al vector R y debe de existir un escalar t distinto de cero , por
lo tanto RtPPV =)( 0
cbatzzyyxx ,,,, 000 =−−−
ctbtatzzyyxx ,,,, 000 =−−−
Como o vectores son iguales tenemos que
=−=−=−
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
o equivalente a
R= <a,b,c>
P0 (x0, y0, z0) P (x,y,z)
y
x
z
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61
+=+=+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
Llamaremos a este conjunto de ecuaciones, Ecuaciones
paramétricas de la recta L.
Definición2.4.1: (Ecuaciones Paramétricas de la Recta en R3 ).
Sea L la recta que pasa por (x0,y0,z0) y t iene la dirección del vector
cbaR ,,= entonces el punto (x,y,z) pertenece a la recta L, si y solo si sus
coordenadas satisfacen a las ecuaciones ctzzbtyyatxx +=+=+= 000 ,,
donde t es un escalar. Esta ecuaciones se l laman Ecuaciones paramétricas
de la recta L.
Ejemplo:
Halle la ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (4, -5, 3) y
su vector dirección es kjiR 32 −+−= .
Solución:
Los números directorios son 3,2,1 −− y x0=4, y0=-5, z0=3
Por lo tanto las ecuaciones paramétricas son:
−=+−=
−=
tz
ty
tx
33
25
4
De las ecuaciones paramétricas, si ningunas de as componentes del
vector R son cero podemos eliminar el parámetro t y obtener a
c
zz
b
yy
a
xx 000 −=−=− Esta ecuación se l lama Ecuación Simétrica de la
Recta L en R3.
![Page 12: Planos y Recyas](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081801/55cf8fc4550346703b9f9834/html5/thumbnails/12.jpg)
62
Definición2.4.2: (Ecuaciones Simétrica de la Recta en R3)
Sea L la recta que pasa por (x0, y0, z0) y tiene la dirección del vector ckbjaiR ++=
donde ninguno de los números a, b y c son cero, entonces el punto (x, y, z) pertenece a la
recta L si y solo si sus coordenadas satisfacen las ecuaciones
c
zz
b
yy
a
xx 000 −=
−=
−
NOTA: Los números a, b y c se denominan números directores de la recta L en R3 .
EJEMPLO:
Encontrar la ecuación simétrica de la recta L que pasa por los puntos P (1,-3,-7) y
Q (-4,-2,1)
Solución:
El vector dirección de la recta L viene dado por
PQV( = 8,1,5)7(1),3(2,14 −=−−−−−−−
Los números directores son -5,1 y 8 y se puede elegir como ( )000 ,, zyx tanto a P como
Q. Tomemos a P se obtiene la ecuación simétrica:
8
7
1
3
5
1 +=+=−− zyx
EJEMPLO:
Demostrar que las rectas L1 : 4
2
1
1
2
1 −=+=− zyx y L 2 :
134
2 21
−−=
−=+ zyx
se
cortan y halle el punto de intersección.
![Page 13: Planos y Recyas](https://reader035.fdocuments.mx/reader035/viewer/2022081801/55cf8fc4550346703b9f9834/html5/thumbnails/13.jpg)
63
Solución:
Los números directores para L1 son 4,1,2 y para L2 son 1,3,4 −− como no hay
ningún numeral t tal que 4,1,2 = t 1,3,4 −− las rectas no son paralelas.
Las ecuaciones simétricas
L 1 :
+=+−=
+=
sz
sy
sx
42
1
21
L2 :
−=−=
+−=
tz
ty
tx
21
3
42
las
rectas se cortan si y solo si existen dos números s y t que verifique
x =1+2s = -2+4t
y = -1+s = -3t
z = 2+4s = t−21
−=+
=+−=−
)3(2
34
)2(13
)1(342
ts
ts
ts
Resolviendo para las ecuaciones (1) y (2)
=+−=−
13
342
ts
ts Multiplicando por (-2) a la siguiente
−=−−−=−
262
342
ts
ts
-10t = -5
2
1=t (4) sustituyendo (4) en (1) se tiene
)5(2
12
232
322
32
142
−=
+−=−=−
−=
−
s
s
s
s
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64
Ahora sustituyendo a (4) y (5) en (3)
2
3
2
12
2
3
2
1
2
14
−=−−
−=
−+
−
Para hallar las coordenadas del punto de intersección se pone a 2
1−=s en las
Paramétricas de L1 ( ó 2
1=t en los de L2 ) y se tiene
02
142
2
3
2
11
02
121
0
0
0
=
−+=
−=
−+−=
=
−+=
z
y
x
Por lo tanto donde se cortan las rectas es
− 0,2
3,0
Ejemplo:
Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta de intersección de los planos
4=−+ zyx y 132 =+− zyx
Solución:
Si resolvemos las dos ecuaciones de los planos para x e y en términos de z, tenemos
132
4
=+−=−+zyx
zyx
3x + 2z = 5
Ahora multiplicando por -2 a la primera ecuación en
=+−=−+
132
4
zyx
zyx tenemos que
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65
132
8222
=+−−=+−−
zyx
zyx
- 3y + 5z = -7
Despejando z en ambos resultados
3
53
7
3
23
55
73
2
53
375352
−=
−
−=
−=+−=
+−=−=
yz
xz
yz
xz
yzxz
La ecuación simétrica de la recta es 1
0
35
37
32
35 −=
−=
−
− zyx ó
equivalente a
3
0
53
7
23
5 −=−
=−
− zyx
Ejemplo:
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, -1, 1),
perpendicular a la recta zyx == 23 y paralela al plano 0=−+ zyx
Solución:
Sean a, b y c os números directorios de la recta buscada. La ecuación de
la recta se puede escribir en la forma simétrica 1
0
21
0
31
0 −=−=− zyx sus
números directorios son
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66
1,2
1,
3
1 ya que esta recta es perpendicular a la recta buscada se obt iene
01,2
1,
3
1,, =cba
( )10632023
=++=++ cbaocba
un vector normal R al plano 0=−+ zyx es 1,1,1 −=R como la recta
requerida es paralela a este plano, es perpendicular a la representación del
vector normal por lo tanto el vector cba ,, es perpendicular al vector
1,1,1 − entonces se tiene que 01,1,1,, =−cba o ( )20=−+ cba
Resolviendo el sistema con las ecuaciones (1) y (2)
( )( )
=−+=++
20
10632
cba
cba multipl icando por -2 a la ecuación (2) se t iene
( )38
08
0222
0632
cb
cb
cba
cba
−==+
=+−−=++
Sustituyendo a (3) en (2) se obtiene
ca
ca
cca
9
09
08
==−
=−−
La recta requerida tiene entonces como conjunto de números directorio a
1,8,9,8,9 −− coccc y como la recta contiene al punto ( )1,1,1− , la ecuación
simétrica de la recta buscada es 1
181
91 −=
−+=− zyx
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67
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Encontrar las ecuaciones simétricas y paramétricas para la recta que
sasti face las condiciones:
a) Pasa por los puntos (1, 2, 1) y (5, -1, 1) Resp: 1,3
2
4
1 =−−=−
zyx
b) Pasa por el punto (4, -5, 20) y es perpendicular al plano
863 =−+ zyx Resp:
−=+−=
+=
tz
ty
tx
620
35
4
6
20
3
5
1
4
−−=+=− zyx
c) Pasa por el punto (1, -2, -2)y es paralela a kji 523 +−
Resp:
+−=−−=
+=
tz
ty
tx
52
22
31
5
222
31 +=
−+=− zyx
d) Pasa por el punto (0, 4, -3) y es paralela a 10
1
6
2
22
12 −=−+=− zyx
Resp:
+−=−=
=
tz
ty
tx
103
64
11
10
364
11+=
−−= zyx
2.- Determine si las rectas dadas coinciden, son secantes, paralela o se
cruzan. Si son secantes encuentre el punto de intersección.
10
3
6
2
45
2
3
6
2
4 −=−+=+=
−−=− zyx
yzyx
Resp: son paralelas
3.- Realice los ejercicios anteriores con el software MAPLE V