Planos y rectas
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1
Espacio tridimensional (3D)
Planos y rectas en R3
Sesión 15.1
2
Planos y rectas en R3
Rectas en el espacio y sus formas de representar.
Planos en el espacio y sus ecuaciones.
Productos vectoriales
3
Las formas: vectorial, paramétrica y simétrica son usadas para representar una recta en el espacio 3D.
v es el vector dirección paralelo a la recta , donde v=tP0P; tR
y
z
x
v= a; b; c PO(xo; yo; zo)
P(x; y; z)
OP0
O
OP
OP=<x; y; z>
OP0=<x0; y0; z0>
Sean:
Ecuaciones de una recta en el espacio
4
Ecuaciones de una recta en el espacioSi es una recta que pasa por el punto Po(xo; yo; zo)y en la dirección del vector no nulo v = a; b; c,entonces un punto P(x; y; z) está en sí y sólo si
a, b y c son diferentes de cero
Vectorial:
Paramétrica:
czz
byy
axx 000
Simétrica:
Rt
ctzz
btyy
atxx
;
0
0
0
OP = OP0 + tv, tR
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a) Determine las ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por los puntos A(2; 4; -3) y B(3; -1; 1).
b) ¿En qué punto interseca esta recta al plano xy?
Determinación de la ecuación de la recta:1. Si se conoce dos puntos de la recta.
y
x
z
A=(2; 4; -3)
B=(3; -1; 1)
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2. Dado un punto de la recta y un vector director.
a) Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (5; 1; 3) y que es paralela al vector i+4j-2k.
b) Determine otros dos puntos sobre la recta.
v=i+4j-2k
y
x
z
P0=(5; 1; 3)
Determinación de la ecuación de la recta:
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3. Dado un punto y una recta paralela.
Determine las ecuaciones paramétricas y simétrica de la recta que pasa por el punto A(1; -1; 1) y paralela a la recta con ecuaciones: x+2 = y/2 = z–3.
x+2 = y/2 = z–3
y
x
z
P0=(1; -1; 1)
Determinación de la ecuación de la recta:
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Planos en el espacioPara describir un plano en el espacio no basta hacerlo mediante la ubicación de un vector paralelo al plano.
y
x
z
P(x; y; z)
n
P0(x0; y0; z0)
y
x
z
v
P0(x0; y0; z0)
Sin embargo un vector perpendicular o “normal” n al plano especifica por completo su dirección.
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Planos en el espacio
y
x
z
P(x; y; z)
P0(x0; y0; z0)
0000 zzcyybxxa
Dado un plano, se cumple que el producto escalar del vector normal n y el vector P0P debe ser cero.
n=a; b; c
0 000 ;;;; zzyyxxcba
0 PPn 0
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Vectorial:
General: 0 dczbyax
Las ecuaciones de un plano son:
Planos en el espacio
P0 : Punto conocido (xo; yo; zo)P : Punto genérico (x; y; z)n : Vector normal <a; b; c>
Los coeficientes de x, y, z, son las componentes del vector normal <a; b; c>
0 PPn 0
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Ejemplos
1. Determine una ecuación del plano que pasa por el punto P(2; 4; -1) con un vector normaln = 2; 3; 4
2. Halle la ecuación del plano determinado por los tres puntos A(2; 1; –1), B(–2; 0; 3) y C(1; 4; 0).
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Producto vectorial
Dado los vectoresEl producto cruz o vectorial u v es:
u v1 2 3 1 2 3; ; ; ;u u u y v v v
i j k
u v 1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
u v i j k2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )u v u v u v u v u v u v
Para ayudarnos a recordar la fórmula, usaremos la notación de determinante:
EjemploSi u = 4; -1; 2 y v = 1; -3; 2, halle u v.
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Propiedades del producto vectorialSi u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:
u v = – (v u)
u (v + w) = u v + u w
(v + w) u = v u + w u
c(u v) = (cu) v = u (cv)
0 u = u 0 = 0
u u= 0
14
Propiedades del producto vectorial
j k = i
i j = k
k i = j
Respecto a los vectores unitarios i, j, k se tiene que:
x
y
z
i
jk
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Características del producto vectorial
El producto u v es ortogonal a u y v.
0 v)vu(
0 u)vu(
u v
u
v
Si es el ángulo entre u y v (0 ), entonces:
|u v| = |u||v| sen senvh
u
v
área= b x h = |u||v|sen = |u v|
b
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Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro Cálculo de Varias Variablesde Stewart.
Ejercicios: 2, 4, 14, 22, 28,34 y 38 de las páginas 792 y793, así como 24, 26, 28, 30, 32 y 34 de las páginas 802 y803.
Bibliografía
1717
ClassPadcombine: Propiedad distributiva.
1818
ClassPad
Para hallar la ecuación del plano determinado por los tres puntos A(9; 5; 4), B(2; 8; 5) y C(7; 2; 6).
Paso 3: u v Vector normal al
plano
Ecuación del plano
1919
ClassPaddotP: Realiza producto escalar.
u.v
202020
ClassPadcrossP: Realiza producto vectorial.
u v