Oscilaciones de un péndulo acoplado

Presentado por:

Nathalia Andrea Girón.

Lina Isabel Aristizábal.

Juan Sebastián Bravo.

Popayán, 18 de Septiembre de 2014

Universidad del Cauca

Oscilaciones de un péndulo acoplado

Presentado por:

Nathalia Andrea Girón.

Lina Isabel Aristizábal.

Juan Sebastián Bravo.

Presentado a:

Mg. Carlos Felipe Ordoñez U.

Popayán, 18 de septiembre de 2014

Universidad del Cauca

Resumen

El desarrollo de esta práctica de laboratorio se centra en comprender el comportamiento físico de un péndulo físico acoplado, y de esta manera encontrar la relación que hay entre sus periodo de oscilación, la longitud del péndulo y su amplitud de movimiento para sus dos modos de vibración. Los datos obtenidos en la práctica realizada son analizados en el presente informe.

Introducción

El principio que se encuentra en un sistema de péndulos acoplados, es el de la transferencia de energía por medio del cual ambos péndulos que se encuentran acoplados por un resorte, tienen movimientos en fase y en desfase, sin llegar estos a la situación de choque ya que el resorte se encarga de recibir la energía de un péndulo para luego transferirla al otro. En la práctica se pretende obtener los modos propios de oscilación utilizando un sistema de osciladores acoplados, compuesto por dos péndulos de longitud L, un resorte de constante K y unas masas conocidas (m1 y m2).

Marco teórico

La práctica consiste en 2 péndulos físicos de igual masa acoplados por un resorte de constante K, los cuales tendrán 2 desplazamientos S1 y S2. Cuando se separan los péndulos de su posición de equilibrio un ángulo θ, suficientemente pequeño para que las oscilaciones sean armónicas, las fuerzas que actúan sobre cada uno de los péndulos están dadas por su respectivo peso y por el resorte. Por lo tanto las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo serán:

Ya que la fuerza que actúa en dirección de S es mgsen(θ) , pero sen (θ )= Sl ,

entonces.

F1=−mglS1−k (S1−S2)

F2=−mglS2−k (S2−S1 )

Para el primer modo normal de vibración S1=S2, los dos péndulos oscilan en fase con igual amplitud. Por lo tanto las ecuaciones de fuerza serian:

F1=F2=−mglS1

Ya que por la ley de Newton tenemos que F=ma y siendo a=s’’, entonces:

S1' '+

mglmS1=0

S1' '+ glS1=0

Como se puede ver para este caso la ecuación de movimiento para la variable S1 se convierte en la ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple donde

la frecuencia natural está dada por w02=gl , por lo tanto la frecuencia del primer

modo normal de vibración, es decir cuando los péndulos oscilan en fase, será:

w12=w0

2=gl

w1=√ glEsto ocurre ya que el resorte no está ni estirado ni contraído cuando los péndulos están oscilando en fase por lo tanto la frecuencia de cada péndulo seria la misma que la que tendrían sin acoplamiento.

Para el segundo modo normal de vibración S1=−S2. En este caso los péndulos oscilan en direcciones contrarias por lo tanto el resorte se comprime y se estira, entonces:

F1=−(mgl +2K )S1F2=(mg

l+2K )S1

Por la ley de Newton y la ecuación de movimiento, w2 sera:

w22=

mgl

+2K

m

w2=√ 2Km +w1

Datos y resultados

Procedimiento 1.

Se realiza el montaje de un péndulo físico acoplado (Figura 1), el cual es un ejemplo de un sistema que presenta un movimiento oscilatorio. Consiste en 2 barras con ejes de oscilación a sus respectivos extremos que están acopladas por un resorte.

Figura 1. Péndulo físico acoplado

Con el montaje realizado, se procede a medir 3 veces el tiempo que tarda el péndulo en realizar 4 oscilaciones en fase completas, para una posición del resorte en L/4, L/2, 3L/4 y L, con un ángulo de 50.

T(s)

L (cm) T1 (s) T2(s) T3(s) T promT =

Tprom/n Sx Sx/n28 ± 0.1cm 6,84 6,83 6,85 6,84 1.71 0,0082 0,002156 ± 0.1cm 6,92 6,94 6,90 6,92 1.73 0,0163 0,004184 ± 0.1cm 6,92 6,92 6,93 6,923 1.73 0,0047 0,00117

112±0.1cm 6.87 6.94 6.86 6.89 1.722 0.035 0.00875

Tabla 1. Datos obtenidos en el procedimiento #1.

Procedimiento 2.

Se realiza el mismo montaje del procedimiento anterior (Figura 1). Con el montaje realizado, se procede a medir 3 veces el tiempo que tarda el péndulo en realizar 4 oscilaciones en desfase completas, para una posición del resorte en L/4, L/2, 3L/4 y L, con un ángulo de 50.

T(s)

L (cm) T1 (s) T2(s) T3(s) T promT =

Tprom/n Sx Sx/n28 ± 0.1cm 6,19 6,18 6,2256 ± 0.1cm 5.75 5.73 5.7484 ± 0.1cm 4.92 4.88 4.91

112±0.1cm 4.50 4.52 4.51

Tabla 2. Datos obtenidos en el procedimiento #2.

Análisis de resultados.

Aplicaciones del péndulo físico acoplado

Algunas aplicaciones del péndulo son:

La medición del tiempo, el metrónomo, la plomada, péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la tierra.

Conclusiones

El periodo se ve afectado por la posición del resorte con respecto al centro de masa

Las oscilaciones en fase de este sistema son equivalentes a la oscilación de un péndulo simple ya que el resorte no afecta el movimiento armónico que realizan los 2 péndulos

Es recomendable que el desplazamiento angular del péndulo físico acoplado sea menor a 8° ya que a un ángulo mayor el sistema no se comporta como un oscilador armónico y puede llegar el caso de colisión entre los 2 péndulos físicos