Parte 7. Derivación e integración numérica

Introduccion a la derivacion e integracion numericaDerivacion numericaIntegracion numerica

Formulas de Newton-CotesFormulas de cuadratura de Gauss

Formulas de cuadratura de compuestasResumen

Parte 7. Derivacion e integracion numerica

Gustavo Montero

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros IndustrialesUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria

Curso 2004-2005




1 Introduccion a la derivacion e integracion numerica

2 Derivacion numerica

3 Integracion numerica

4 Formulas de Newton-Cotes

5 Formulas de cuadratura de Gauss

6 Formulas de cuadratura de compuestas

7 Resumen




Los problemas de derivacion e integracion numericaComentarios sobre diferencias divididas







7 Resumen





Los problemas de derivacion e integracion numerica

El problema de derivacion numericaSe trata de aproximar el valor de la derivada de una funcion f en un punto a,

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

h; Casos particulares

8>>><>>>:

f ′(a) ≈1

hf (a + h)−

1

hf (a)

f ′(a) ≈1

2hf (a + h)−

1

2hf (a − h)

En general, f ′(a) =nX

i=1

αi f (xi ) + R(f )





Los problemas de derivacion e integracion numerica

El problema de derivacion numericaSe trata de aproximar el valor de la derivada de una funcion f en un punto a,

f ′(a) = limh→0

f (a + h)− f (a)

h; Casos particulares

8>>><>>>:

f ′(a) ≈1

hf (a + h)−

1

hf (a)

f ′(a) ≈1

2hf (a + h)−

1

2hf (a − h)

En general, f ′(a) =nX

i=1

αi f (xi ) + R(f )

El problema de integracion numericaSe trata de aproximar el valor de la integral de f (x) definida en [a, b],

Z b

af (x) dx =

Z c

af (x) dx +

Z b

cf (x) dx ≈ (c − a)f (a) + (b − c)f (b)

En general,Z b

af (x)dx =

nXi=1

αi f (xi ) + R(f )





Comentarios sobre diferencias divididas

Calculo de derivadasSea x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn ,

Si x0 6= xn : f [x0, . . . , xn ] =f [x0, . . . , xn−1]− f [x1, . . . , xn ]

x0 − xn

Si x0 = xn : f [x0, . . . , xn ] =f (n(x0)

n!

Entonces si,g(x) = f [x0, . . . , xn, x]

segun lo anterior,

g′(x) = f [x0, . . . , xn, x, x]

g′′(x) = 2!f [x0, . . . , xn, x, x, x]

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·g (n(x) = n!f [x0, . . . , xn, x, x, . . . , x| {z }

n+1

]




Formulas de tipo interpolatorioResolucion del problemaEstudio del errorFormulas usuales de derivacion numerica







7 Resumen





Formulas de tipo interpolatorio

Construccion de los polinomios de LagrangeSea f definida en [a, b], derivable en c ∈ [a, b]. Entonces si,

f (x) = p(x) + e(x) ⇒ f ′(c) = p′(c) + e′(c)

Si p(x) es el polinomio de Lagrange,

f ′(c) =nX

i=0

l′i (c)|{z}αi

f (xi ) + e′(c)| {z }R(f )

(exacta si e′(c) = 0)






Construccion de los polinomios de LagrangeSea f definida en [a, b], derivable en c ∈ [a, b]. Entonces si,

f (x) = p(x) + e(x) ⇒ f ′(c) = p′(c) + e′(c)

Si p(x) es el polinomio de Lagrange,

f ′(c) =nX

i=0

l′i (c)|{z}αi

f (xi ) + e′(c)| {z }R(f )

(exacta si e′(c) = 0)

TeoremaEsta formula de tipo interpolatorio es exacta para todo polinomio de grado no mayor que n.





Resolucion del problema

Derivacion del polinomio de Lagrange

Calcular los li (x) y entonces hacer αi = l′i (c)





Resolucion del problema

Derivacion del polinomio de Lagrange

Calcular los li (x) y entonces hacer αi = l′i (c)

Formula exacta para 1, x , x2, . . . , xn

Resolver,

0 = α0 + α1 + · · · + αn

1 = α0x0 + α1x1 + · · · + αnxn

2c = α0x20 + α1x2

1 + · · · + αnx2n

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·ncn−1 = α0xn

0 + α1xn1 + · · · + αnxn

n





Estudio del error

En la derivacion de primer orden

Si e(x) es de clase Cn+1 en [a, b],

e(x) = f [x0, . . . , xn, x]nY

i=0

(x − xi )

| {z }Q

(x)

=f (n+1(ξ)

(n + 1)!

Y(x)

entonces,

e′(c) = f [x0, . . . , xn, c, c]Y

(x) + f [x0, . . . , xn, c]Y ′(c) =

f (n+2(ξ)

(n + 2)!

Y(c) +

f (n+1(η)

(n + 1)!

Y ′(c)

ξ, η ∈ [a, b]





Estudio del error

En la derivacion de primer orden

Si e(x) es de clase Cn+1 en [a, b],

e(x) = f [x0, . . . , xn, x]nY

i=0

(x − xi )

| {z }Q

(x)

=f (n+1(ξ)

(n + 1)!

Y(x)

entonces,

e′(c) = f [x0, . . . , xn, c, c]Y

(x) + f [x0, . . . , xn, c]Y ′(c) =

f (n+2(ξ)

(n + 2)!

Y(c) +

f (n+1(η)

(n + 1)!

Y ′(c)

ξ, η ∈ [a, b]

En derivadas de orden superiorSe utiliza en mismo procedimiento, derivando hasta el orden necesario











7 Resumen





Derivadas de primer orden

Formulas de 2 puntos

c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c)

hR(f ) = −

h

2f ′′(ξ)

c − h, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)

2hR(f ) = −

h2

6f ′′′(ξ)







c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c)

hR(f ) = −

h

2f ′′(ξ)

c − h, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)

2hR(f ) = −

h2

6f ′′′(ξ)


c, c + h, c + 2h f ′(c) =−f (c + 2h) + 4f (c + h)− 3f (c)

2hR(f ) =

h2

3f ′′′(ξ)

c − h, c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)

2hR(f ) = −

h2

6f ′′′(ξ),

(igual que con dos puntos)







c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c)

hR(f ) = −

h

2f ′′(ξ)

c − h, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)

2hR(f ) = −

h2

6f ′′′(ξ)


c, c + h, c + 2h f ′(c) =−f (c + 2h) + 4f (c + h)− 3f (c)

2hR(f ) =

h2

3f ′′′(ξ)

c − h, c, c + h f ′(c) =f (c + h)− f (c − h)

2hR(f ) = −

h2

6f ′′′(ξ),

(igual que con dos puntos)

Formula de 4 puntos

c − 2h, c − h, c + h, c + 2h f ′(c) =−f (c + 2h) + 8f (c + h)− 8f (c − h) + f (c − 2h)

12hR(f ) =

h4

30f v (ξ)





Derivadas de orden superior


c, c + h, c + 2h f ′′(c) =f (c + 2h)− 2f (c + h) + f (c)

h2R(f ) = −hf ′′′(ξ)

c − h, c, c + h f ′′(c) =f (c + h)− 2f (c) + f (c − h)

h2R(f ) = −

h2

12f iv (ξ)




Formulas de tipo interpolatorioFormulas usuales de integracion numerica







7 Resumen






Construccion de los polinomios de LagrangeSea f (x) definida en [a, b]. Entonces si

f (x) = p(x) + e(x)

se tiene que, Z b

af (x) dx =

Z b

ap(x) dx +

Z b

ae(x) dx =

nXi=0

f (xi )

Z b

ali (x) dx

| {z }αi

+

Z b

ae(x) dx

| {z }R(f )

siendo p(x) el polinomio de Lagrange.Esta formula se denomina cuadratura de tipo interpolatorio.






Construccion de los polinomios de LagrangeSea f (x) definida en [a, b]. Entonces si

f (x) = p(x) + e(x)

se tiene que, Z b

af (x) dx =

Z b

ap(x) dx +

Z b

ae(x) dx =

nXi=0

f (xi )

Z b

ali (x) dx

| {z }αi

+

Z b

ae(x) dx

| {z }R(f )

siendo p(x) el polinomio de Lagrange.Esta formula se denomina cuadratura de tipo interpolatorio.

Estudio del error

R(f ) =

Z b

ae(x) dx =

Z b

af [x0, x1, . . . , xn, x]

Y(x) dx

Aplicando el segundo teorema de la media del Calculo Integral:Sea g integrable y no cambia de signo en [a, b], y sea f continua en [a, b]. Entonces,

Z b

af (x)g(x) dx = f (ξ)

Z b

ag(x) dx, ξ ∈ [a, b]

resulta

R(f ) = f [x0, x1, . . . , xn, ξ]

Z b

a

Y(x) dx =

f (n+1(η)

(n + 1)!

Z b

a

Y(x) dx η ∈ [a, b]





Formulas usuales de integracion numerica

Formulas de 1 punto

x0 = aR ba f (x) dx = (b − a)f (a) R(f ) =

(b − a)2

2f ′(ξ)

x0 = bR ba f (x) dx = (b − a)f (b) R(f ) = −

(b − a)2

2f ′(ξ)

x0 =a + b

2

R ba f (x) dx = (b − a)f (

a + b

2) R(f ) =

(b − a)3

24f ′′(ξ)





Formulas usuales de integracion numerica

Formulas de 1 punto

x0 = aR ba f (x) dx = (b − a)f (a) R(f ) =

(b − a)2

2f ′(ξ)

x0 = bR ba f (x) dx = (b − a)f (b) R(f ) = −

(b − a)2

2f ′(ξ)

x0 =a + b

2

R ba f (x) dx = (b − a)f (

a + b

2) R(f ) =

(b − a)3

24f ′′(ξ)

Formula de 2 puntos (Formula del trapecio)

x0 = a, x1 = bR ba f (x) dx =

(b − a)

2(f (b) + f (a)) R(f ) = −

(b − a)3

12f ′′(ξ)




Obtencion de las formulas de Newton-Cotes







7 Resumen






Formulas abiertas y formulas cerradasLas formulas de Newton-Cotes resultan de utilizar como puntos de integracion los xi que se obtienen dividiendo elintervalo [a, b] en partes iguales,

x0 = a h =b − a

nxj = x0 + h j j = 0, 1, 2, . . . , n

Si consideramos xj , ∀j = 0, 1, . . . , n ⇒ Formulas de Newton-Cotes cerradas

Si consideramos xj , ∀j = 1, . . . , n − 1 ⇒ Formulas de Newton-Cotes abiertas







x0 = a h =b − a

nxj = x0 + h j j = 0, 1, 2, . . . , n



Formulas cerradas2 puntos (n = 1)⇒ Formula del trapecio

3 puntos (n = 2)⇒ F. de SimpsonR ba f (x) dx =

b − a

6[f0 + 4f1 + f2] R(f ) = −

h5

90f iv (ξ)

4 puntos (n = 3)R ba f (x) dx =

b − a

8[f0 + 3f1 + 3f2 + f3] R(f ) = −

3h5

80f iv (ξ)


b − a

90[7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4] R(f ) = −

8h7

945f vi (ξ)







x0 = a h =b − a

nxj = x0 + h j j = 0, 1, 2, . . . , n



Formulas cerradas2 puntos (n = 1)⇒ Formula del trapecio

3 puntos (n = 2)⇒ F. de SimpsonR ba f (x) dx =

b − a

6[f0 + 4f1 + f2] R(f ) = −

h5

90f iv (ξ)


b − a

8[f0 + 3f1 + 3f2 + f3] R(f ) = −

3h5

80f iv (ξ)


b − a

90[7f0 + 32f1 + 12f2 + 32f3 + 7f4] R(f ) = −

8h7

945f vi (ξ)

Formulas abiertas1 puntos (n = 2)⇒ Formula del punto medio


b − a

2[f1 + f2] R(f ) = −

3h3

4f ′′(ξ)




IntroduccionFormulas de cuadratura de GaussFormulas de Gauss con funcion de peso







7 Resumen





Introduccion

DefinicionConsideremos, Z b

af (x) dx =

nXj=0

aj f (xj ) + R(f )

con aj =R ba lj (x) dx y lj (x) =

Qni=0i 6=j

x − xj

xi − xj

(formula exacta para 1, x, x2, . . . , xn).

Vamos a elegir convenientemente los puntos xi tal que la formula sea exacta para 1, x, x2, . . . , xm , con m > n,calculando asimismo cual es el mayor valor de m.





Introduccion

DefinicionConsideremos, Z b

af (x) dx =

nXj=0

aj f (xj ) + R(f )

con aj =R ba lj (x) dx y lj (x) =

Qni=0i 6=j

x − xj

xi − xj

(formula exacta para 1, x, x2, . . . , xn).

Vamos a elegir convenientemente los puntos xi tal que la formula sea exacta para 1, x, x2, . . . , xm , con m > n,calculando asimismo cual es el mayor valor de m.

Exactitud de la formulaLa formula de cuadratura anterior es exacta para todo polinomio de grado no mayor que n + q (q ≥ 1) si y solo si,R b

a

Q(x) xk dx = 0, con k = 0, 1, . . . , q − 1 y

Q(x) =

Qni=0 (x − xi ).

La formula es de tipo interpolatorio.





Formulas de cuadratura de Gauss

Teoremas

No existe ninguna formula del tipo de la anterior exacta para todos los polinomios de grado 2n + 2

Existen n + 1 unicos puntos en la recta real tales que al formar con ellos una formula de cuadratura de tipointerpolatorio como la anterior, dicha formula es exacta para todos los polinomios de grado no mayor que2n + 1. Tales puntos pertenecen a [a, b].

Esta unica formula se denomina Formula de Cuadratura de Gauss o Gaussiana.





Formulas de cuadratura de Gauss

Teoremas

No existe ninguna formula del tipo de la anterior exacta para todos los polinomios de grado 2n + 2

Existen n + 1 unicos puntos en la recta real tales que al formar con ellos una formula de cuadratura de tipointerpolatorio como la anterior, dicha formula es exacta para todos los polinomios de grado no mayor que2n + 1. Tales puntos pertenecen a [a, b].

Esta unica formula se denomina Formula de Cuadratura de Gauss o Gaussiana.

Comentarios

Existen tablas para las integrales definidas en [−1, 1]. En caso de integrales definidas en el intervalo

[a, b] 6= [−1, 1], se realiza el cambio de variables x =b − a

2t +

b + a

2, resultando

Z b

af (x) dx =

Z 1

−1g(t) dt

Las formulas de Gauss tienen la siguiente propiedad de la que carecen las de Newton-Cotes,

limn→∞

nXi=0

ainf (xin) =

Z b

af (x) dx

Cuando f ∈ C2n+2 ([a, b]),

R)f ) =f (2n+2(ξ)

(2n + 2)!

Z b

a

�Y(x)�2

dx ξ ∈ [a, b]





Formulas de Gauss con funcion de peso

DefinicionSupongamos una integral de la forma,Z b

aω(x) f (x) dx con ω(x) continua y estrictamente positiva en [a, b]

Todo el desarrollo anterior es valido excepto que,

aj =

Z b

aω(x) lj (x) dx y

Z b

aω(x)

Y(x) xk dx = 0









aj =

Z b

aω(x) lj (x) dx y

Z b

aω(x)

Y(x) xk dx = 0

Gauss-LegendreZ 1

−1f (x) dx (ω(x) = 1)

n xi ωi2 ±0.57735 1.0000003 0 0.888889

±0.774597 0.5555564 ±0.339981 0.652145

±0.861136 0.3478555 0 0.568889

±0.538469 0.478629±0.90618 0.236927









aj =

Z b

aω(x) lj (x) dx y

Z b

aω(x)

Y(x) xk dx = 0

Gauss-LegendreZ 1

−1f (x) dx (ω(x) = 1)

n xi ωi2 ±0.57735 1.0000003 0 0.888889

±0.774597 0.5555564 ±0.339981 0.652145

±0.861136 0.3478555 0 0.568889

±0.538469 0.478629±0.90618 0.236927

Gauss-ChebyshevZ 1

−1

f (x)p1− x2

dx (ω(x) =1p

1− x2)

n xi ωi2 ±0.707107 1.57083 0 1.0472

±0.866025 1.04724 ±0.382683 0.785398

±0.92388 0.7853985 0 0.628319

±0.587785 0.628319±0.951057 0.628319






Gauss-LaguerreZ ∞

0e−x f (x) dx (ω(x) = e−x )

n xi ωi2 0.585786 0.853553

3.41421 0.1464473 0.415775 0.711093

2.29428 0.2785186.28995 0.0103893

4 0.322548 0.6031541.74576 0.3574194.53662 0.03888799.39507 0.000539295

5 0.26356 0.5217561.4134 0.3986673.59643 0.07594247.08581 0.0036117612.6408 0.00002337






Gauss-LaguerreZ ∞

0e−x f (x) dx (ω(x) = e−x )

n xi ωi2 0.585786 0.853553

3.41421 0.1464473 0.415775 0.711093

2.29428 0.2785186.28995 0.0103893

4 0.322548 0.6031541.74576 0.3574194.53662 0.03888799.39507 0.000539295

5 0.26356 0.5217561.4134 0.3986673.59643 0.07594247.08581 0.0036117612.6408 0.00002337

Gauss-HermiteZ ∞−∞

e−x2f (x) dx (ω(x) = e−x2

)

n xi ωi2 ±0.7071067812 0.886226933 0 1.1816359

±1.2247448714 0.295408984 ±0.5246476233 0.80491409

±1.6506801239 0.0813128355 0 0.94530872

±0.9585724646 0.39361932±2.0201828705 0.019953242




IntroduccionFormulas mas usualesError en las formulas de cuadratura compuestas







7 Resumen





Introduccion

MotivacionCuando el intervalo de integracion es grande,

Se comete un error considerable en las formulas de integracion.

Los coeficientes de la formula de Newton son tambien grandes y se producen grandes errores de redondeo.





Introduccion

MotivacionCuando el intervalo de integracion es grande,

Se comete un error considerable en las formulas de integracion.

Los coeficientes de la formula de Newton son tambien grandes y se producen grandes errores de redondeo.

EstrategiaVamos a dividir el intervalo de integracion en varios subintervalos y a aplicar a cada subintervalo una formula deintegracion sencilla.

La suma de resultados genera una Formula de Cuadratura Compuesta.





Formulas mas usuales

Descomposicion de una integral ensuma de integralesConsideremos una integral en [a, b] como suma de integralesen n subintervalos,

Z b

af (x) dx =

n−1Xj=0

Z xj+1

xj

f (x) dx

siendo x0 = a, xn = b, xj+1 − xj = h







Z b

af (x) dx =

n−1Xj=0

Z xj+1

xj

f (x) dx


Con la formula del trapecioZ xj+1

xj

f (x) dx ≈h

2

�fj + fj+1

�

Z b

af (x) dx ≈

h

2

24f0 + 2

n−1Xj=1

fj + fn

35







Z b

af (x) dx =

n−1Xj=0

Z xj+1

xj

f (x) dx



xj

f (x) dx ≈h

2

�fj + fj+1

�

Z b

af (x) dx ≈

h

2

24f0 + 2

n−1Xj=1

fj + fn

35

Con la formula de SimpsonZ xj+1

xj

f (x) dx ≈h

6

hfj + 4fj+1/2 + fj+1

i

Z b

af (x) dx ≈

h

6

24f0 + 4

n−1Xj=0

fj+1/2 + 2

n−1Xj=1

fj + fn

35







Z b

af (x) dx =

n−1Xj=0

Z xj+1

xj

f (x) dx



xj

f (x) dx ≈h

2

�fj + fj+1

�

Z b

af (x) dx ≈

h

2

24f0 + 2

n−1Xj=1

fj + fn

35

Con la formula de SimpsonZ xj+1

xj

f (x) dx ≈h

6

hfj + 4fj+1/2 + fj+1

i

Z b

af (x) dx ≈

h

6

24f0 + 4

n−1Xj=0

fj+1/2 + 2

n−1Xj=1

fj + fn

35

Con la formula del rectanguloZ xj+1

xj

f (x) dx ≈ h fj

Z b

af (x) dx ≈ h

n−1Xj=0

fj





Error en las formulas de cuadratura compuestas

TeoremaSi f es continua en [a, b], ξi ∈ [a, b] parai = 1, 2, . . . , n, αi ∈ R, αi 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n,y α =

Pni=1 αi , entonces ∃ξ ∈ [a, b] tal que

nXi=1

αi f (ξi ) = αf (ξ)








nXi=1


Con la formula del trapecio

Rj (f ) = −h3

12f ′′(ξj )

R(f ) = −b − a

12h2f ′′(ξ)








nXi=1



Rj (f ) = −h3

12f ′′(ξj )

R(f ) = −b − a

12h2f ′′(ξ)

Con la formula de Simpson

Rj (f ) = −h5

90f iv (ξj )

R(f ) = −b − a

180h4f iv (ξ)








nXi=1



Rj (f ) = −h3

12f ′′(ξj )

R(f ) = −b − a

12h2f ′′(ξ)

Con la formula de Simpson

Rj (f ) = −h5

90f iv (ξj )

R(f ) = −b − a

180h4f iv (ξ)

Con la formula del rectangulo

Rj (f ) =h2

2f ′(ξj )

R(f ) = −b − a

2h f ′(ξ)










7 Resumen




Resumen

Podemos encontrar una formula de tipo interpolatorio de derivacion numericatan precisa como se desee, si podemos emplear un numero de puntos tan grandecomo se quiera. El error cometido viene dado en funcion de la amplitud de lossubintervalos.

Lo mismo se puede decir de las formulas de tipo interpolatorio de integracionnumerica.

Las formulas de Newton-Cotes de n + 1 puntos son exactas para polinomios degrado no mayor que n.

Las formulas de Cuadratura Gaussina de n + 1 puntos pueden integrar de formaexacta polinomios de grado no mayor que 2n + 1.

En intervalos grandes, las formulas de cuadratura compuestas reducenconsiderablemente el error cometido por las formulas simples.

Parte 7. Derivación e integración numérica

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