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1 Orden y equivalencia de fracciones: Una experiencia de aula en grado quinto de educación básica primaria Ximena Paola Claros Osorio Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Maestría en Educación con Énfasis en Educación Matemática Bogotá D.C 2018
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Orden y equivalencia de fracciones:
Una experiencia de aula en grado quinto de educación básica primaria
Ximena Paola Claros Osorio
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación con Énfasis en Educación Matemática
Bogotá D.C
2018
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Orden y equivalencia de fracciones:
Una experiencia de aula en grado quinto de educación básica primaria
Ximena Paola Claros Osorio
Trabajo de investigación presentado como requisito parcial para optar el título de
Magíster en Educación con Énfasis en Educación Matemática
Director
Pedro Javier Rojas Garzón
Doctor en Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación con Énfasis en Educación Matemática.
Bogotá D.C.
2018
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Dedicatoria
A mis padres y hermanos, quienes siempre me han ofrecido su apoyo y amor.
Agradecimientos
A Pedro Rojas, por su tiempo, compromiso y orientación en mi proceso de formación.
A los docentes de la Maestría, por sus enseñanza y valiosos aportes.
A los estudiantes de grado quinto, por su disposición y participación en la investigación.
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Contenido
Resumen ...............................................................................................................................................9
Abstract ..............................................................................................................................................10
Introducción .......................................................................................................................................11
1. Contextualización de la problemática .......................................................................................14
1.1 Planteamiento del problema ..................................................................................................... 18
1.2 Objetivos de investigación ......................................................................................................... 19
2. Marco teórico.................................................................................................................................20
2.1 Antecedentes ................................................................................................................................... 20
2.2 El uso de diferentes representaciones semióticas........................................................................... 23
2.3 Relaciones de orden y equivalencia. ................................................................................................ 25
2.4 Educación Matemática Realista ....................................................................................................... 28
2.4.1 ¿Cómo se conciben las matemáticas? ...................................................................................... 29
2.4.2 Los niveles de comprensión ...................................................................................................... 31
3. Diseño metodológico .................................................................................................................33
3.1 Población .......................................................................................................................................... 33
3.2 Diseño de instrumentos ................................................................................................................... 34
3.3 Tareas ............................................................................................................................................... 35
3.4 Recolección de la información. ........................................................................................................ 37
3.5 Categorías ........................................................................................................................................ 39
4. Descripción y análisis de las actividades ..................................................................................41
4.1 Tarea 1: Reconocimiento de los atributos de la fracción como relación parte-todo ...................... 41
4.2 Tarea 2: Comparando alturas y pesos.............................................................................................. 49
4.2.1 Primer momento. ...................................................................................................................... 50
4.2.2 Segundo momento .................................................................................................................... 60
...........................................................................................................................................................62
4.3 Tarea 3: ¿Qué están representando los números que dan la información nutricional de un
alimento? ............................................................................................................................................... 69
4.4 Tarea 4. ¿Por qué es importante medir con precisión? ................................................................... 78
4.5 Tarea 5: Orden y equivalencia de fracciones. .................................................................................. 82
5. Resultados de la investigación ...................................................................................................90
5.1 Resultados generales ....................................................................................................................... 90
5.2 Logros y dificultades ........................................................................................................................ 94
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6. Conclusiones ..............................................................................................................................97
6. 1 Respuesta a la pregunta de investigación ....................................................................................... 97
6.2 Reflexión final .................................................................................................................................. 99
Bibliografía ......................................................................................................................................102
Anexos ..............................................................................................................................................105
6
Anexos
Anexo 1................................................................................................................................ 105
Anexo 2................................................................................................................................ 108
Anexo 3................................................................................................................................ 111
Anexo 4................................................................................................................................ 114
Anexo 5................................................................................................................................ 116
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Tablas e ilustraciones
Figura 1. Respuesta a la pregunta 1 del instrumento de indagación. ................................................16
Figura 2. Respuesta a la pregunta 2 del instrumento de indagación. ................................................17
Figura 3. Respuesta a la pregunta 3 del instrumento de indagación. ................................................17
Figura 4. Respuesta a la pregunta 5 del instrumento de indagación. ................................................18
Figura 5. Fases de la investigación acción planteadas por Coghaln y Brannick (2010, p. 10). .......33
Figura 6. Estudiantes midiéndose. .....................................................................................................50
Figura 7. Estudiantes buscando estrategias para medirse.................................................................53
Figura 8. Respuesta a la primera pregunta de la tarea 2. .................................................................54
Figura 9. Diagrama de barras utilizado por los estudiantes para representar sus alturas. ..............54
Figura 10. Representación propuesta por un grupo de estudiantes para describir su altura. ..........55
Figura 11. Respuesta de un grupo de estudiantes al planteamiento ¿cuál es el dato mayor y menor
de los integrantes del grupo? .............................................................................................................55
Figura 12. Respuesta de un grupo de estudiantes a la pregunta que indaga sobre la diferencia de la
altura entre el más alto y el más bajo. ...............................................................................................55
Figura 13. Representación de la altura utilizando diferentes unidades de medida. ..........................56
Figura 14. Equivalencias propuestas por un grupo de estudiantes para representar la altura de uno
de sus compañeros. ............................................................................................................................57
Figura 15. Tabla propuesta por un grupo de estudiantes para representar la altura. ......................57
Figura 16. Procedimiento matemático propuesto por uno de los grupos para hallar el promedio de
la altura. .............................................................................................................................................59
Figura 17. Estrategia planteada por un grupo de estudiantes para hallar el peso en Júpiter. .........63
Figura 18. Explicación de un grupo de estudiantes para hallar el peso en Júpiter. ..........................64
Figura 19. Respuesta de un grupo de estudiantes al planteamiento de Júpiter. ................................64
Figura 20. Estrategias utilizadas por los estudiantes para encontrar el camino más corto en la
situación del Zoológico. .....................................................................................................................67
Figura 21. Proceso realizado por los estudiantes para hallar el camino más corto. ........................67
Figura 22. Estrategia utilizada por un grupo de estudiantes para responder ¿cuál es mayor
12 o 13?........................................................................................................................68
Figura 23. Respuesta de un grupo de estudiantes a la pregunta ¿cuántos números hay entre
12 y 13? ...........................................................................................................................................68
Figura 24. Grupo de estudiantes analizando la información nutricional de los alimentos. ..............70
Figura 25. Estudiante analizando la información nutricional de un paquete. ...................................71
Figura 26. Respuesta de un grupo de estudiantes a la primera pregunta de la Tarea 3. ..................72
Figura 27. Respuesta de un grupo de estudiantes a la pregunta dos de la Tarea 3. ..........................73
Figura 28. Respuesta de un grupo de estudiantes a la pregunta tres de la Tarea 3. .........................73
8
Figura 29. Estudiantes escriben la cantidad de gramos o el porcentaje de cada nutriente. .............75
Figura 30. Estrategia utilizada por un grupo de estudiantes para representar los nutrientes de los
paquetes. ............................................................................................................................................76
Figura 31. Proceso de un grupo de estudiantes para establecer y comparar y determinar los
paquetes más perjudiciales. ...............................................................................................................76
Figura 32. Un grupo de estudiantes usa diferentes representaciones para mostrar los nutrientes de
cada uno de los paquetes. ..................................................................................................................77
Figura 33. Estrategia utilizada por un grupo de estudiantes para comparar la grasa de un
paquete. ..............................................................................................................................................77
Figura 34. Estudiantes clasifican los paquetes a partir de los nutrientes..........................................78
Figura 35. Estudiantes representan con dibujos los ingredientes de la receta. .................................80
Figura 36. Representación utilizada por un grupo de estudiantes para mostrar el porcentaje de la
leche. ..............................................................................................................................................81
Figura 37. Receta propuesta por un grupo de estudiantes para dieciséis. ........................................82
Figura 38. Explicación de un estudiante a la pregunta uno de la tarea 5. ........................................83
Figura 39. Estrategias utilizadas por los estudiantes para encontrar su peso en Marte y la Luna. ..92
Figura 40. Estudiantes describen las implicaciones que tiene una mala alimentación. ....................93
Tabla 1. Niveles de comprensión propuestos por Freudenthal. .........................................................32
Tabla 2. Descripción de las tareas............................................................................................... 35-36
Tabla 3. Modelo anticipado de tareas. ..............................................................................................40
Tabla 4. Respuestas de los estudiantes en el primer punto ……………………………………………..43
Tabla 5. Respuestas de los estudiantes en los cuatro ítems del segundo punto de la Tarea 1...........44
Tabla 6. Respuestas de los estudiantes en el primer ítem del tercer punto de la Tarea 1. ................45
Tabla 7. Respuestas de los estudiantes en el segundo ítem del tercer punto de la Tarea 1. ..............45
Tabla 8. Respuestas de los estudiantes en el cuarto punto de la Tarea 1. .........................................46
Tabla 9. Respuestas de los estudiantes en el quinto punto de la Tarea 1. .........................................47
Tabla 10. Respuestas de los estudiantes en el sexto punto de la Tarea 1. .........................................47
Tabla 11. Respuesta de los estudiantes a la primera pregunta de la tarea 5. ...................................84
Tabla 12. Respuestas de los estudiantes a la primera pregunta de la Tarea 5. .................................84
Tabla 13. Respuesta de los estudiantes a la pregunta dos de la Tarea 5...........................................85
Tabla 14. Respuestas de los estudiantes a la pregunta cuatro de la tarea 5. ....................................86
Tabla 15. Respuestas de los estudiantes a la pregunta seis de la tarea 5. .........................................87
Tabla 16. Respuestas de los estudiantes a la pregunta siete de la tarea 5. .......................................88
Tabla 17. Respuestas de los estudiantes a la pregunta nueve de la tarea 5. .....................................89
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Resumen
La presente propuesta de investigación da cuenta de una experiencia de aula, orientada a posibilitar
en estudiantes de quinto grado de una institución de carácter privado de la ciudad de Bogotá, la
comprensión del orden y la equivalencia de las fracciones en sus diferentes representaciones
(gráfica, lenguaje natural, porcentaje y número decimal). Las fracciones han sido objeto de estudio
en diversas investigaciones, varias de éstas con el propósito de aportar ideas que ayuden a mejorar
los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las fracciones en la clase de matemáticas, en tanto
se ha evidenciado que los estudiantes tienen dificultades al comparar y ordenar fracciones o al
escribir expresiones equivalentes a una fracción dada, estas dificultades también se encontraron en
varias de las respuestas dadas por los estudiantes al instrumento de indagación implementado al
iniciar esta investigación. Por esta razón, se diseñó e implementó un conjunto de tareas propuestas
desde los principios de la Educación Matemática Realista (EMR), en esta implementación los
estudiantes exploraron fenómenos de comparación que incluían procesos de orden y equivalencia
entre fracciones, la interpretación de la fracción como relación parte-todo y el uso de diferentes
expresiones para referirse a las fracciones. A partir de esta implementación se describe y analiza
las producciones de los estudiantes, este estudio de tipo descriptivo-interpretativo se realiza
tomando como referente los niveles de comprensión y principios de la EMR.
Palabras clave: fracciones, orden, equivalencia, expresiones matemáticas, comparación.
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Abstract
This research proposal is the outcome of a teaching experience in class, its approach looks forward
to make possible for students of a private institution of Bogota, the understanding of the order and
equivalence of fractions in their different representations (graphic, natural language, percentage
and decimal number). Fractions have been a subject matter in some researches, some of this
researches have the purpose of providing ideas to support the process of learning and teaching of
fractions into a mathematics class. It has been an evidence that students have found difficult to
compare and order fractions and also to write equivalents expressions to a given fraction. Those
difficulties were also found within the students' answers in the inquiry test implemented at the
beginning research. For this reason, a set of tasks proposed from the principles of Realistic
Mathematical Education (EMR) was designed and implemented, in this implementation the
students explored comparison phenomena that included processes of order and equivalence
between fractions, the interpretation of the fraction as part-whole relationship and the use of
different expressions to refer to fractions. From this implementation, the students' productions are
described and analyzed, this descriptive-interpretative study is carried out taking as reference the
levels of understanding and principles of the EMR.
Keywords: fractions, order, equivalence, mathematical, expressions, comparison.
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Introducción
La docente-investigadora ha escuchado a lo largo de su experiencia y formación docente varias
frases por parte de los estudiantes que muestran la percepción que tienen sobre las matemáticas,
algunas de estas son: “las matemáticas están en todo, por eso debemos aprenderlas”, “las
matemáticas son muy complejas para entenderlas”, “solo unos pocos pueden entender las
matemáticas”, “no me gustan, porque son aburridas”, “las matemáticas son muy difíciles porque
hay que aprender muchas cosas de memoria”, “quiero una carrera, que no tenga nada que ver con
matemáticas”, entre otras afirmaciones; estas frases cuestionan a la docente frente al qué y cómo
se están enseñando y aprendiendo las matemáticas en el aula.
Claro, no se puede afirmar que todos los estudiantes piensan así, ni siquiera se puede aseverar que
es una gran mayoría, sólo se puede decir que la docente-investigadora ha escuchado estas frases
en algún momento de su labor docente, y han generado inquietudes frente a las estrategias que se
están implementando en el aula para enseñar matemáticas, esta es una preocupación de muchos
investigadores porque la mayoría de las exploraciones surgen de la necesidad de aportar ideas, que
ayuden a mejorar las comprensiones de los conceptos en matemáticas (procesos de enseñanza y
aprendizaje). Por esta razón, se hace oportuno indagar sobre las fracciones porque las recientes
investigaciones muestran que siguen generando controversia en el aula, tanto para los estudiantes
en su aprendizaje y comprensión como para los docentes en su enseñanza y didáctica.
Al preguntarse por qué es oportuno investigar sobre las fracciones se evidencian las siguientes
razones: la primera es que éstas han sido objeto de estudio en numerosas investigaciones y varias
plantean que a los estudiantes se les dificulta ordenar, comparar y operar con fracciones; la segunda
razón se relaciona con la experiencia de la docente-investigadora, porque al analizar diferentes
producciones de estudiantes de grados cuarto y quinto de primaria al resolver situaciones con
fracciones ha evidenciado que los estudiantes tienen dificultades para comparar y ordenar
fracciones, reconocer los atributos de la fracción como relación parte-todo y comprender las
fracciones desde diferentes representaciones. La última razón y no menos importante, es que al
socializar con docentes que realizan sus prácticas pedagógicas en grados superiores tanto en
colegios como en universidades, se encuentra que los estudiantes resuelven operaciones (suma,
resta, multiplicación y división) entre fracciones sin llegar a comprender el algoritmo realizado.
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Estas tres razones se convierten en el insumo que incentiva la presente intervención en el aula,
intervención que tiene la finalidad de posibilitar en estudiantes de quinto grado la comprensión del
orden y la equivalencia de las fracciones, así como el uso de diferentes representaciones a través
de la exploración de fenómenos de comparación. Es relevante resaltar que las fracciones están en
diversas situaciones de la cotidianidad, siendo estos contextos cercanos a los estudiantes un insumo
relevante para la planeación y gestión de las tareas propuestas en esta investigación. Por ejemplo,
aparecen en las noticias cuando se hacen informes económicos, en los descuentos propuestos en
los centros comerciales, en las recetas y en los juegos compartidos por los estudiantes tanto en casa
como en el colegio.
En concordancia con las ideas expuestas hasta el momento, las tareas propuestas en esta
investigación se relacionan con el contexto y realidad de los estudiantes, así en la Tarea 2 los
estudiantes deben hallar su altura y establecer comparaciones entre esta medida y las medidas de
las alturas de sus compañeros, en otra tarea analizar la información nutricional de algunos paquetes
que son consumidos frecuentemente y de manera paralela analizar situaciones problema en
contextos realistas, por ejemplo, cuál es el camino más corto para llegar a determinado lugar en un
zoológico o situaciones que pertenecen netamente al campo de las matemáticas, como cuál es la
fracción más grande entre las fracciones dadas u ordenar una lista de fracciones de menor a mayor
o viceversa.
Se parte de reconocer las dificultades que encuentran los estudiantes de quinto grado de básica
primaria1 para abordar el trabajo con fracciones, no sólo desde la experiencia en el aula de
matemáticas por parte de la profesora-investigadora sino también desde reportes en diversas
investigaciones, estas dificultades están relacionadas con el no reconocimiento de la relación parte-
todo, de la congruencia de sus partes y de la unidad, así como de la poco relación que establecen
los estudiantes entre las diferentes representaciones semióticas de la fracción en diversas
situaciones.
1 En Colombia el sistema educativo está conformado por: Educación Inicial, Educación Preescolar (1 o 2 grados antes
de los 6 años), Educación Básica Primaria (5 grados, edades entre 6 y 10/11 años), Educación Básica Secundaria (4
grados, edades entre los 11/12 y 15 años) y Educación Media Vocacional (2 grados, edades entre los 15 y 18 años).
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La intervención en el aula se realiza con estudiantes de quinto grado en una institución educativa
de carácter privado de la ciudad de Bogotá, a partir de un conjunto de tareas orientadas a posibilitar
procesos de comparación entre fracciones, aportando de esta manera al reconocimiento de
“atributos” de la fracción, especialmente desde su relación parte-todo, así como el reconocimiento
y uso de la equivalencia y el orden desde diversas representaciones (gráficas, lenguaje natural,
fraccionario, decimal y porcentaje). Posteriormente se realizará una descripción y análisis del
trabajo realizado por los estudiantes, este estudio de tipo descriptivo-interpretativo, se desarrollará
desde un enfoque cualitativo, tomando como referente principios de la Educación Matemática
Realista (EMR) y haciendo uso de la investigación-acción
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1. Contextualización de la problemática
Los números surgieron a partir de las diferentes necesidades que ha tenido el hombre a lo largo de
la historia, estas necesidades se encuentran asociadas a contar, medir o repartir, entre otras
actividades que les permitían resolver situaciones cotidianas (Llinares y Sánchez, 2000). Las
fracciones aparecieron cuando los números naturales no fueron suficientes para resolver los
problemas cotidianos que tenían las personas, especialmente aquellas que referían al reparto de los
objetos y terrenos en partes iguales, por lo tanto, las fracciones surgieron para responder y
solucionar problemas cotidianos, por esta razón es importante que su enseñanza no se encuentre
alejada de las necesidades que posibilitaron su aparición, especialmente situaciones relacionadas
con la medida y el reparto.
Desde los Lineamientos Curriculares de Matemáticas de Educación Nacional (MEN, 1998) se
propone que la comprensión del significado de número se fortalece al reconocer diferentes
interpretaciones y representaciones de éste, por ejemplo “cuando se considera la fracción 5/8, uno
puede imaginársela gráficamente (como parte de un círculo o sobre una recta numérica) o en una
fracción equivalente o en forma decimal” (p. 26), en otras palabras, la fracción es concebida desde
diferentes representaciones y contextos para ser comprendida. En concordancia con estos
planteamientos, los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas (MEN,2006) proponen
que los estudiantes que se encuentran en el segundo conjunto de grados (cuarto y quinto de
Educación Básica Primaria), deben utilizar la notación decimal para expresar fracciones en
diferentes contextos y relacionar estas dos notaciones con la de porcentaje, es decir, que el
estudiante debe estar en la capacidad de establecer relaciones entre una y otra representación tanto
de manera gráfica, verbal y numérica, este enunciado se complementa con los estándares de sexto
a séptimo en los cuales se propone que los estudiantes deben utilizar números racionales en sus
diferentes expresiones (fracciones, decimales o porcentajes) para resolver problemas.
De igual manera, el Plan de Área de la institución donde se realiza esta investigación propone que
en tercer grado los estudiantes deben caracterizar la noción de fracción desde la relación parte-
todo, fomentando la comprensión de la parte respecto al todo, la congruencia de las partes en área
y el reconocimiento de la unidad en contextos continuos o discretos, este trabajo de la fracción se
completa con el propósito de cuarto grado enfocada en la solución situaciones problema utilizando
las operaciones de tipo aditivo y multiplicativo entre fracciones, inicialmente desde lo gráfico, para
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posteriormente utilizar los algoritmos. Y en quinto grado propone que el estudiante resuelva
situaciones problema relacionadas con los números decimales y porcentaje, es decir, en este grado
se comienzan a utilizar diferentes expresiones matemáticas para referirse a las fracciones. Sin
embargo, es oportuno resaltar que la manera en que se “presenta” a los estudiantes las fracciones
en la institución, en los grados de tercero a quinto, no permite que ellos establezcan relaciones
entre las diferentes representaciones.
Las fracciones han sido objeto de estudio durante varias décadas en la educación matemática,
porque los investigadores encuentran que los estudiantes presentan dificultades cuando abordan
situaciones en las que deben interpretar fracciones, además en algunas ocasiones los docentes no
poseen los conocimientos suficientes para abordar con idoneidad la enseñanza de estos números,
ya que las maneras de abordar el tema en el aula carecen de riqueza, desde aspectos como la
interpretación y sus diferentes representaciones (Konic, 2011). Fazio y Siegler (2010) plantean que
los estudiantes en todo el mundo tienen dificultades en el aprendizaje de las fracciones, para citar
un ejemplo, el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas en el 2007 encontró que solamente
el 50% de los estudiantes norteamericanos de grado octavo, ordenaron adecuadamente de menor
a mayor tres fracciones. Ellos afirman que una de las razones para que las fracciones sean un tema
difícil de aprender y enseñar, es que muchas de las ideas que tienen los estudiantes sobre los enteros
comienzan a invalidarse en las fracciones, por esta razón Fazio y Siegler plantean una serie de
actividades para mejorar la enseñanza de este objeto en el aula.
En el marco de investigaciones nacionales, Torres (2013) plantea en los resultados de una
experiencia de aula las dificultades que encuentran los estudiantes de grado once, cuando realizan
tareas que requieren el reconocimiento de la fracción como relación parte-todo y de las relaciones
de orden y equivalencia entre fracciones; el autor concluye que el diseño e implementación de un
conjunto de actividades posibilitaron avances en la comprensión del número racional por parte de
los estudiantes. Asimismo, Meza y Barrios (2010) plantean una propuesta didáctica para la
enseñanza de las fracciones con 40 estudiantes de grado sexto, a través de un juego enfatizando en
el concepto de fracción, el orden y la equivalencia y la suma de fracciones; al finalizar el juego los
autores afirman, que se lograron aprendizajes por parte de los estudiantes frente a los conceptos
propuestos inicialmente.
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Las apreciaciones anteriormente mencionadas sobre las fracciones, muestran que la fracción
requiere ser dotada de significado desde diferentes contextos y situaciones, para que los estudiantes
lo comprendan. Por lo tanto, se hace oportuno contrastar lo propuesto en cada uno de los referentes
con los procesos realizados por 22 estudiantes que han cursado grado quinto, procesos
evidenciados al resolver un instrumento (ver Anexo 1) de 8 preguntas (tomadas y modificadas de
otras investigaciones); algunas de estas preguntas son analizadas.
En la pregunta en la que los estudiantes debían ordenar de menor a mayor la siguiente lista de
números: 0,1; 0,25; 1,0; 0,100; 0,4; 0,98 (primera pregunta), se evidenció que la mayoría de los
estudiantes (alrededor de un 80%) organizó los números decimales utilizando las ideas que han
construido sobre los naturales, por lo que es preciso considerar que estos estudiantes no tienen
claridad del valor posicional cuando las cantidades son menores a la unidad (ver Figura 1), además
organizar los números teniendo como referente los números naturales, no permitió que los
estudiantes establecieran una relación de equivalencia entre 0,1 y 0,100. En relación a estas
respuestas, Ávila (2008) plantea que cuando los estudiantes comienzan a trabajar con números
decimales, varias ideas o propiedades que habían construido sobre los números naturales
comienzan a invalidarse, por ejemplo, el número de cifras no es el elemento que determina el
orden.
Figura 1. Respuesta a la pregunta 1 del instrumento de indagación.
En la pregunta en la que debían completar una tabla escribiendo, en cada caso, un número menor
y mayor al número dado (segunda pregunta), la interpretación que realizó la mayoría de los
estudiantes (alrededor de un 70%) sobre la fracciones de dos números separados por una línea, por
lo tanto al buscar el número menor o mayor suman o restan a una parte de la fracción, lo mismo
sucedió con los decimales porque buscaron números que se encontraran lo más cercano posible a
la cantidad que estaba después de la coma, es decir, que resuelven lo propuesto, teniendo como
punto de partida los números naturales (ver Figura 2). Centeno (1988) propone que los estudiantes
organizan y comparan las fracciones con las ideas que tienen de los naturales, porque por muchos
años estas ideas se han reforzado en la clase de matemáticas.
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Figura 2. Respuesta a la pregunta 2 del instrumento de indagación.
En relación con la pregunta tres, en la que debían escribir en palabras y en número a qué parte de
área, de la figura dada en cada ítem, correspondía la región sombreada, se evidenció que la mayoría
de los estudiantes (alrededor de un 70%) no reconocen la congruencia de las partes en cada figura,
como se evidencia en los primeros tres ítem del ejemplo presentado en la Figura 3, en los cuales,
aunque reconocen la relación entre la parte y el todo, no reconocen la congruencia (equivalencia)
en área entre las partes.
Figura 3. Respuesta a la pregunta 3 del instrumento de indagación.
Finalmente, en la pregunta en la que debían encontrar una expresión numérica equivalente a cada
una de las dadas, alrededor del 50% de los estudiantes no respondió y de quienes respondieron
sólo dos escribieron una representación equivalente, como se puede apreciar en la primera imagen
de la Figura 4. Las producciones de la mayoría de quienes respondieron este ítem, ponen en
evidencia las dificultades para establecer una relación adecuada entre las fracciones y los números
decimales, como ejemplo de esto, en la segunda imagen de la Figura 4, el estudiante considera que
la parte decimal corresponde al denominador de la fracción y esta idea la utilizó en todas las
equivalencias propuestas. En relación con este hecho, Cid, Godino & Batanero (2003) plantean
que no es fácil establecer relaciones entre las fracciones y los números decimales, porque en el
aula las primeras son concebidas desde lo geométrico, como parte de algo, y los segundos como
un conjunto que se diferencia de los naturales porque tienen una coma, esta situación dificulta
encontrar relaciones entre una y otra representación, además los autores resaltan que cuando los
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estudiantes logran encontrar estas equivalencias entre fracciones y decimales, no siempre son
adecuadas.
Figura 4. Respuesta a la pregunta 5 del instrumento de indagación.
En términos generales, las respuestas de los estudiantes en este instrumento de indagación,
muestran las dificultades que encuentran cuando resuelven situaciones que requieren del orden y
la equivalencia de las fracciones, así como de la interpretación de la fracción como relación parte-
todo y la relación entre diferentes expresiones matemáticas; dentro de la comprensión de las
fracciones, la comparación es un elemento clave, pues como lo plantea Konic, Godino & Rivas
(2010):
La comparación es el procedimiento que subyace a una de las propiedades más importantes
en la construcción de los conjuntos numéricos, la densidad. Por ello es que, desde la
escolaridad elemental debieran establecerse las bases necesarias y adecuadas para ir
generando de manera progresiva el infinito potencial y llegar en cursos avanzados a una
aproximación conceptual del infinito actual. Tener esto presente implica considerar vías
adecuadas de enseñanza que “garanticen” la transición y minimicen la presencia de conflictos
(p.70).
Como se puede apreciar en la anterior cita, la comparación es indispensable para la comprensión
de las fracciones y de otras propiedades que se trabajarán en años posteriores, de allí la importancia
de proponer situaciones problema a los estudiantes que minimicen la presencia de conflictos en
relación a la caracterización de las fracciones, ya que las situaciones propuestas son fundamentales
para fomentar aprendizaje en los estudiantes.
1.1 Planteamiento del problema
Los resultados evidenciados en este primer instrumento, permiten deducir que los estudiantes
resuelven las situaciones a partir de las ideas que han construido sobre los naturales y estas ideas
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son traspoladas al trabajo a las fracciones, de allí que se generen conflictos y dificultades al
resolver situaciones que se relacionan con estos números. Frente a la enseñanza de las fracciones,
Freudenthal (2001) plantea que éstas pueden ser consideradas como un “objeto mental” que se
constituye en recurso fenomenológico para abordar el número racional como objeto matemático,
siendo una fuente que nunca se agota, porque aparece en contextos y situaciones problemáticas
realistas. Para dicho autor, un adecuado trabajo con las fracciones, inicialmente desde la
interpretación como relación parte-todo, posibilitará una comprensión de las relaciones de orden
y de equivalencia entre ellas, así como una posterior constitución del número racional.
En síntesis, se evidencia una diferencia, una tensión, entre lo propuesto desde los diferentes
referentes curriculares (Lineamientos, Estándares y Plan de área), lo esperado institucionalmente
con respecto al orden y la equivalencia de fracciones, y las producciones de los estudiantes al
respecto. Este hecho plantea la necesidad de diseñar una intervención en el aula, orientada a lograr
comprensión por parte de los estudiantes de dichos conceptos. Desde los planteamientos de
Freudenthal (2001), el docente debe buscar contextos y situaciones que generen la necesidad de
ser organizados matemáticamente y que permitan a los estudiantes hacer matemáticas. En tal
sentido, una pregunta que orienta esta investigación es:
¿Qué comprensiones se posibilitan en estudiantes de quinto grado sobre el orden y la equivalencia
de las fracciones al trabajar con fenómenos de comparación?
1.2 Objetivos de investigación
Esta investigación está orientada a analizar la comprensión que logran estudiantes de grado quinto
sobre el orden y la equivalencia de fracciones a partir de la exploración y el trabajo con fenómenos
de comparación. En particular se plantean los siguientes objetivos específicos:
1. Describir las producciones de los estudiantes de grado quinto, asociados con procesos de
comparación, en relación con el orden y la equivalencia de fracciones.
2. Identificar los niveles de comprensión logrados por los estudiantes de grado quinto en
relación con el orden y la equivalencia de fracciones.
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2. Marco teórico
En este apartado, además de los antecedentes de investigación, se presentan referentes teóricos
relacionados con la Educación Matemática Realista (EMR), Procesos de comparación,
Interpretación de la fracción como relación parte-todo, Relaciones de equivalencia y orden, así
como algunos referentes relacionados con los Sistemas de representación semiótica, los cuales se
constituyen en elementos a tener en cuenta en esta investigación.
2.1 Antecedentes
Al revisar diferentes investigaciones desarrolladas a lo largo de las últimas décadas, se encuentra
que se han realizado varias indagaciones a nivel local, nacional o internacional enfocadas en pensar
la enseñanza y aprendizaje de las fracciones. Estas investigaciones se llevan a cabo con estudiantes
de todos los niveles de escolarización, desde Educación Básica Primaria hasta Educación Superior
con estudiantes en formación.
En términos generales se evidencia que las fracciones siguen siendo un objeto de estudio e interés
de los investigadores y educadores matemáticos, porque las investigaciones han mostrado las
dificultades que encuentran los estudiantes para comprender las fracciones y los obstáculos que
perciben los docentes al enseñar este tema en el aula, por lo tanto, la finalidad de estas
investigaciones es aportar estrategias e ideas que ayuden a solventar estas dificultades, que
perciben los estudiantes y profesores en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las fracciones.
A nivel local, se han realizado diferentes investigaciones que dan cuenta de los procesos que
realizan los estudiantes cuando abordan las fracciones como relación parte-todo, una de estas
investigaciones es la García y Mayorga (1997) quienes concluyen que los estudiantes aunque tratan
de dividir el todo en partes iguales no lo logran siempre, dado que encuentran dificultades con
algunas figuras geométricas y con el reconocimiento de la congruencia de las partes en estas
figuras, por lo tanto a modo de conclusión, ellos afirman que es necesario un trabajo profundo con
los diferentes atributos de la fracción, especialmente el del reconocimiento de la unidad, para
posibilitar comprensiones de otros objetos y procesos matemáticos, como lo es el número racional
y los procesos de orden y equivalencia en las fracciones. De igual manera, Lascano y Perilla (1999)
diseñaron e implementaron una secuencia didáctica compuesta por 10 actividades, cuya finalidad
21
era facilitar en los estudiantes la comprensión de la fracción desde la interpretación como relación
parte-todo; dentro de las dificultades en los estudiantes aparece el poco reconocimiento y
apropiación de los atributos “considera las partes como totalidad” y “reconoce subdivisiones
equivalentes”, siendo estos atributos elementales para la comprensión de las fracciones.
Estas dos investigaciones enunciadas son una pequeña muestra de la preocupación que tienen los
docentes por investigar sobre el cómo y cuándo enseñar las fracciones. A nivel nacional, Obando
(2003) y Cisneros (2014) realizaron intervenciones en el aula a través de actividades relacionadas
con la medida, cuyo objetivo principal era la comprensión de los números racionales teniendo
como referente el trabajo con la medida y la comprensión de las fracciones desde la interpretación
como parte-todo.
A manera de conclusión y a partir de los desarrollos realizados por los estudiantes, Obando (2003)
plantea que la enseñanza de los números racionales se debe propiciar desde aspectos relacionados
con la medida, los diferentes tipos de magnitud (continua o discreta) y tipos de unidad (simple o
compuesto), porque las situaciones que se relacionan con la medida facilitan en los estudiantes la
comprensión de las relaciones de equivalencia y orden en los racionales, además este autor propone
que el trabajo de la fracción desde la interpretación parte-todo es puente para comprender la
división de la unidad en partes muy pequeñas, es decir, aporta a la comprensión del continuo real
y la densidad en los racionales, de igual manera Cisneros (2014) afirma que las situaciones de
medida les permitieron a los estudiantes dotar de significado las fracciones desde el uso de
expresiones del lenguaje cotidiano, como parte, mitad, tercio, entre otras.
Por otra parte, Pontón (2008) en su tesis de maestría analiza las variables que aparecen en los
enunciados y situaciones que introducen la noción de número racional en estudiantes de quinto
grado de primaria. La autora plantea la importancia de revisar la variedad de procesos que permiten
modelar el sistema numérico de las racionales, desde elementos cercanos a la cotidianidad.
Teniendo en cuenta esto, Pontón (2008) propone enunciados que involucran los dos tipos de
sistemas de los racionales, el sistema de numeración fraccionaria y el de los decimales, porque el
primero de estos sistemas permite tener diferentes tratamientos del objeto, mientras que el segundo
permite el trabajo con el valor posicional y la descomposición aditiva y multiplicativa de las
unidades.
22
Una de las secuencias didácticas que ha sido utilizada por varios investigadores al cuestionarse la
enseñanza de las fracciones en el aula, es la secuencia de Thompson (2001) conformada por cinco
fases que se centran en el progreso de los estudiantes, desde el razonamientos y comprensión de
las fracciones. En las tres primeras fases el autor enfatiza el trabajo con el reparto, la comparación
y la relación de las fracciones con las razones y en las últimas dos fases explica las operaciones de
suma, resta, multiplicación y división entre fracciones; es oportuno resaltar que no se tiene mucho
conocimiento del autor ni de la publicación realizada, pero varias investigaciones como la de
Jiménez y Rico en el año 2003 en su trabajo título “ Búsqueda de una propuesta de enseñanza de
fracciones en la educación básica” o la de Gutiérrez en el 2004 en su indagación “La enseñanza
de las fracciones como relación parte-todo”, muestran como la implementación de la secuencia
de Thompson permite que los estudiantes comprendan la fracción desde la interpretación de la
parte-todo.
Por otra parte, Godino, Ruíz, Roa, Pareja y Recio (2003) proponen tres programas interactivos en
los que se resuelven ejercicios o situaciones relacionadas con las fracciones y sus diferentes
representaciones, a manera de conclusión los autores manifiestan que al analizar estos tres micro-
programas se evidencia que “los conceptos no se muestran, ni se construyen: los conceptos se
hablan, se dialogan, se convienen; y son relativos a tipos o familias de situaciones” (p.13), por lo
tanto, es la riqueza de las actividades propuestas a los estudiantes la que permite que ellos
caractericen y comprendan el objeto matemático, en este caso las fracciones. Los programas
propuestos, fomentan en los estudiantes el análisis y la comprensión de diferentes situaciones a
través de la exploración y la búsqueda de estrategias, por ejemplo, en el primer programa los
estudiantes deben comparar fracciones, decimales y porcentajes y encontrar relaciones y
diferencias entre estos números, por lo tanto como lo proponen Godino et al. (2003) lo
transcendental del proceso de enseñanza-aprendizaje no es la transmisión de mera información,
sino por el contrario se debe analizar, hablar y construir el objeto matemático.
En concordancia con estos planteamientos, Freudenthal (2001) describe algunos de los aspectos
que deben emerger en el aula al momento de abordar las fracciones, estos aspectos refieren a:
relacionar las fracciones con el lenguaje cotidiano, repartir en partes equitativas el todo, identificar
si el todo es discreto o continuo, definido o indefinido y reconocer que se pueden comparar las
23
partes, aunque estas no estén relacionadas con el todo. Frente a este trabajo de las fracciones
Llinares y Sánchez (2000) afirman que:
De alguna manera se puede entender que la relación parte – todo se encuentra en el origen
de las demás interpretaciones del número racional. Esta interpretación es de las más
intuitivas en el niño, por tanto, el problema se plantea en que su uso la convierte en
generadora de lenguaje y símbolos, que van construir la base y el origen del trabajo con las
demás interpretaciones (p. 83).
Esta interpretación de la fracción como relación parte-todo da cuenta de la importancia de abordar
en el aula adecuadamente las fracciones y fomentar la comprensión de los diferentes atributos, sin
desconocer que las otras interpretaciones de la fracción también hacen parte del proceso de
constitución de la fracción.
2.2 El uso de diferentes representaciones semióticas
En relación con las diferentes representaciones de la fracción, y tomando como referente los
trabajos de Duval (1999) quien plantea que es necesario apropiarse de las diferentes
representaciones de un objeto matemático, y de las posibles transformaciones que se puedan
realizar para conocer a profundidad el objeto, se hace oportuno hablar sobre la importancia de las
representaciones semióticas en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Duval (2006) se
cuestiona si “¿el funcionamiento del pensamiento matemático, es independiente del lenguaje y de
otros sistemas de representación semiótico utilizados?” (p.145), siendo este el cuestionamiento
que le permitió encontrar la importancia de los cambios en los registros de representación en la
educación matemática, por esta razón Duval afirma que el trabajo con diferentes registros
semióticos permite a los estudiantes hablar del objeto desde diferentes situaciones y acciones.
En términos generales Duval (2006) describe que “lo que primero que importa para la enseñanza
de las matemáticas, no es la elección del mejor sistema de representación sino lograr que los
estudiantes sean capaces de relacionar muchas maneras de representar los contenidos
matemáticos” (p. 159), frente a estas ideas de las representaciones semióticas, se han realizado
diversas propuestas de investigación nacional que indagan sobre estos tratamientos de conversión,
24
dentro de estos reportes, Sánchez (2012) propone una serie de talleres para estudiantes de grado
séptimo relacionadas con la conversión de las fracciones a decimales y viceversa, al analizar las
respuestas de los estudiantes el autor concluye que el proceso de conversión, no debe convertirse
en un proceso algorítmico de ida y vuelta, sino debe ser un proceso que permita caracterizar los
números racionales, desde sus diferentes representaciones y desde la comprensión de las relaciones
de equivalencia y orden. Asimismo, Rojas (2014) reporta los resultados de una investigación
realizada entre 2010 y 2012 con estudiantes de grado noveno y once de cuatro instituciones
educativas de la ciudad de Bogotá, en la que describe las dificultades que encuentran los
estudiantes para articular los sentidos asignados a diversas expresiones matemáticas (numéricas
y algebraicas), en tanto reconocen la equivalencia sintáctica entre ellas pero no su equivalencia
semántica, es decir, realizan adecuadamente transformaciones de tratamiento de dichas
expresiones pero no las reconocen como representaciones de un mismo objeto matemático.
Una de las representaciones más utilizadas para simbolizar las fracciones es la notación decimal,
Centeno (1988) considera que el contexto de la medida es un buen pretexto y oportunidad para
introducir el uso de la coma decimal, con situaciones en las que se requiere comparar la parte
entera con lo decimal porque a través de este contexto se introducen los números evitando al
máximo obstáculos epistemológicos. La autora describe que para los niños no es una tarea fácil
dotar de significado, operar y caracterizar adecuadamente los decimales, porque muchas de las
ideas que han construido sobre los naturales comienzan a invalidarse, especialmente aquellas que
tienen que ver con la lectura y escritura de los de números, la comprensión del cero, el orden y las
operaciones con estos números.
La notación decimal ha sido objeto de estudio en diferentes reportes de investigación, a nivel
internacional Ávila (2008) describe que cuando los estudiantes comienzan a trabajar con los
números decimales, se generan confusiones porque las propiedades y las ideas que habían
construido sobre los números naturales comienzan a invalidarse en estos números, estas ideas
refieren a: el número de cifras no es el elemento que determina el orden, en los decimales al igual
que en los racionales, no hay ni antecesor ni sucesor y en medio de dos decimales, siempre hay
otro decimal.
25
Estas dificultades no sólo tienen que ver con los estudiantes, también se evidencian en las
didácticas y metodologías implementadas por los docentes, Ávila (2008) evidenció que la mayoría
de los profesores cuando tratan con el número racional en el aula no establecen relaciones entre
fracciones y decimales, porque la mirada que hacen a la fracción refiere únicamente a lo
geométrico, mientras que el número decimal es comprendido como aquel número que tiene un
punto, es decir, que los profesores consideran que las fracciones y los decimales no tienen nada en
común. Además, cuando la autora indagó con los docentes sobre sus prácticas pedagógicas,
muchos docentes manifestaron que el tema de los números decimales no es importante de abordar
en el aula, “se ven aquí dos cuestiones: la menor importancia (en comparación con las fracciones)
otorgada a los decimales que prevalece en los docentes y, por otra parte, la centralización en la
representación decimal de estos números” (p. 10).
En correspondencia con las ideas anteriores, Konic (2011) analizó los conocimientos didácticos-
matemáticos de futuros profesores, encontrando que en la solución de los ítems propuestos en la
investigación la mayoría presenta dificultades al interpretar el número decimal, porque se limita a
considerarlo un número conformado por una parte entera y una coma, por lo tanto, al resolver
diferentes situaciones ellos no encuentran relaciones entre la notación fraccionaria y decimal. A
manera de conclusión, Konic (2011) afirma que los docentes no poseen los conocimientos
suficientes para abordar en el aula con idoneidad la enseñanza de los números decimales, porque
las maneras de abordar el objeto matemático carecen de riqueza. Además, Konic plantea que “cabe
resaltar que el número decimal se define aquí como una forma de representación (la representación
con coma), pues dicha representación proviene de la equivalencia con una fracción” (p.164), pero
esto no sucede en el aula, porque la manera en que los docentes presentan a sus estudiantes el tema
no permite que se establezcan relaciones entre estas dos representaciones.
2.3 Relaciones de orden y equivalencia.
Dentro del trabajo con las fracciones aparece un elemento relevante que tiene que ver con el orden
y la equivalencia de estos números, siendo la caracterización y comprensión de estos procesos
matemáticos fundamentales para el planteamiento de las tareas. Maza y Arce (1991) proponen que
para que exista comprensión de la equivalencia entre fracciones es importante que “dos fracciones
26
como 1
2y
2
4 no se puedan considerar equivalentes desde su condición de pares ordenados. Como
números naturales, 1 es distinto de 2 y 2 es distinto de 4” (p. 87), por lo tanto, la equivalencia entre
fracciones debe permitir establecer relaciones de tipo dinámico, de tal manera que el análisis
realizado a las fracciones se haga desde la mirada del todo y no como un número que tiene dos
partes.
En cuanto a las relaciones de equivalencia y orden de las fracciones, Maza y Arce (1991) afirman
que “la base de la equivalencia de fracciones no reside en su constitución como par ordenado de
números naturales sino en su funcionamiento dinámico” (p. 87), los autores manifiestan que un
adecuado trabajo con material tangible, en este caso con el doblez de papel, permite comprender
la relación que puede haber de una fracción con otra y posteriormente aportar en la clasificación y
orden de las fracciones. Sobre la equivalencia y orden de las fracciones Llinares y Sánchez (2000)
proponen que:
La importancia de la idea de equivalencia de fracciones se debe al papel clave que juega
en diversos aspectos: en relación con el orden (ordenar dos fracciones, insertar varias
fracciones entre dos fracciones dadas), en el desarrollo de los algoritmos de la suma y resta
de fracciones de denominador diferentes. En un nivel más elevado, la conceptualización
del número racional como clases de equivalencia de fracciones (p. 117).
Lo anteriormente planteado por Llinares y Sánchez se relaciona con la idea de que las matemáticas
no se aprenden a partir del contacto directo con objetos, sino a través de diferentes signos y
representaciones que fomentan la comprensión y caracterización del objeto matemático (Duval,
2004), estas ideas dan cuenta que el uso de diferentes representaciones (gráficas, textual, entre
otras) posibilitan la comprensión de la equivalencia de las fracciones.
Al pensar la equivalencia entre los números decimales Konic, Godino & Rivas (2010) proponen
que “entendemos los números decimales como los números racionales para los cuales existe al
menos una expresión decimal finita, o de manera equivalente, los racionales expresables mediante
una fracción decimal” (p.58), los autores enfatizan que es trascendental no confundir los números
con sus posibles formas de expresión, dado que los números racionales pueden representare con
fracciones o con decimales, teniendo en cuenta estas ideas las tareas y situaciones propuestas a los
27
estudiantes deben permitir que ellos comprendan que el número decimal es considerado una forma
de representación de las fracciones.
En concordancia con estas ideas Konic, Godino & Rivas (2010) proponen que, para una
comprensión del concepto de número,
Es necesario un trabajo sistemático con los distintos tipos de representaciones y sus formas
de equivalencia que no queden reducidas a la mera manipulación de símbolos carentes de
significación. Evitando de este modo uno de los conflictos más importantes que deriva en
la concepción errónea de que un número se asocia a “un tipo” particular de representación
(p. 65).
Estas ideas expuestas muestran como la relación de equivalencia se encuentra permeada por el uso
de diferentes representaciones semióticas, pues como lo propone Maza (1999) existen dos razones
que dificultan la comprensión de la equivalencia de fracciones, la primera corresponde al paso de
las representaciones manipulativas a las simbólicas y el segundo aspecto tiene que ver con las ideas
que son creadas al hacer uso de material tangible, por lo tanto las situaciones propuestas a los
estudiantes deben evitar que se encuentren con estas dificultades en sus procesos de enseñanza y
aprendizaje. Bajo estas ideas, Maza (1999) argumenta que “la noción de equivalencia es adquirida
con mayor facilidad cuando se comienza con el plegado de papel o, incluso, con el modelo de área
que a través de una forma simbólica” (p.88), estas ideas muestran que el trabajo con material
tangible posibilita en los estudiantes acercamiento a los objetos matemáticos.
En cuanto a la relación de orden Maza (1999) describe que el estudiante se enfrenta a varias
dificultades cuando tiene que ordenar fracciones, estas dificultades tienen que ver con las ideas
que se han construido sobre los naturales y la comprensión que se hace de las fracciones, al
considerarla como un número que está conformado por dos números, por lo tanto al querer ordenar
fracciones, solo se mira una de las partes ya sea el numerador o el denominador, por eso al
cuestionar al estudiante con preguntas, como ¿dime cuál es mayor?, no es claro para él si la
pregunta está enfocada en mirar cual tiene más partes o cual tiene las partes más grandes. En cuanto
a la notación decimal Ávila (2008) argumenta que los estudiantes se enfrentan a problemas con
los decimales, porque a lo largo de sus años escolares han construido ideas fuertes con los números
naturales que comienzan a invalidarse en los decimales, por ejemplo, en los números decimales el
28
número de cifras no es el elemento que determina el orden o que, en medio de dos números
decimales, siempre es posible encontrar otro decimal.
Bajo esta idea de ordenar números, Konic (2011) describe que los estudiantes que se están
formando para docentes consideran que las centésimas son más grandes que las décimas, porque
lo relacionan con las fracciones al pensar que entre más grande es el número del denominador más
grande es el número. De igual manera Steinle y Stacey (2004, citado en Konic, 2011) realizaron
un estudio con 900 estudiantes de diferentes escuelas de Australia por un periodo de cuatro años,
encontrando que un grupo considerable de estudiantes tiene concepciones erróneas que son el
resultado de pensar que un número decimal que “se ve” más pequeño, es en realidad mayor,
colocando en este argumento las ideas que han construido sobre los naturales.
Frente a estas ideas de la equivalencia de las fracciones, Freudenthal (1983) describe algunos
ejemplos didácticos para la enseñanza este objeto matemático, indicando que no solo se debe
trabajar con la relación parte-todo, porque este acercamiento sólo permite comprender y trabajar
con fracciones propias, sino que de manera paralela recomienda trabajar con las magnitudes de
área y longitud las cuales posibilitan la comprensión de las relaciones de equivalencia en todos los
tipos de fracciones, tanto propias como impropias.
2.4 Educación Matemática Realista
Los principios básicos de la Educación Matemática Realista proponen que las matemáticas son
una actividad humana, actividad a la que todas las personas pueden acceder desde situaciones de
la vida cotidiana o problemas contextuales, por lo tanto, la enseñanza de las matemáticas es
considerada bajo esta perspectiva como una actividad social que requiere de la interacción entre
estudiantes y profesores para desarrollarse, de allí la importancia que en al aula se brinde a los
estudiantes las herramientas matemáticas que les permitan organizar y solucionar las situaciones
problemáticas (Alsina, 2009). En cuanto al trabajo en el aula, Freudenthal (2001) plantea que se
debe propiciar el proceso de matematización con los estudiantes, proceso en el que se traducen los
problemas desde el mundo real al matemático y una vez traducido se utilizan los diferentes
conceptos y destrezas matemáticas para la resolución.
29
2.4.1 ¿Cómo se conciben las matemáticas?
Freudenthal (2001) plantea que bajo el enfoque didáctico de la fenomenología los conceptos,
estructuras e ideas matemáticas deben servir para organizar los fenómenos (de la vida real o del
campo de las matemáticas), de tal manera, que el docente debe buscar esos contextos y situaciones
que le permiten al estudiante resolver y comprender con facilidad el objeto estudiado, en relación
a esto, el autor describe que en el desarrollo curricular es importante explorar la riqueza del campo
semiótico del objeto estudiado, para posibilitar la comprensión del mismo.
Frente a la concepción de las matemáticas, Alsina (2009) expresa que las matemáticas se
consideran una actividad humana, a la que todas las personas pueden acceder. Por lo tanto, la
finalidad de las matemáticas es matematizar (organizar) el mundo que nos rodea, de allí que se
conciba la idea de trabajar con situaciones realísticas, que permitan a los estudiantes la búsqueda
y la resolución de problemas, a través de la organización y caracterización del objeto estudiado.
Esto permite identificar como lo exponen Bressan, Zolkower & Gallego (2004) que no hay ningún
objeto matemático que sea de experiencia real, de allí que los estudiantes no puedan matematizar
la matemática, por lo tanto es importante que el docente posibilite al acceso a conocimientos y
destrezas mediante situaciones problemáticas realísticas, entendiendo que lo real son todas
aquellas situaciones que pueden ser imaginadas y tratadas. En cuanto a la fracción, Freudenthal
(2001) propone que la riqueza del campo semántico de las fracciones es bastante amplio, lo que
posibilita su comprensión y aplicabilidad en lo cotidiano, él indica que las fracciones son el recurso
fenomenológico del número racional, porque es una fuente que nunca se agota y es por esta razón
que existe variedad de situaciones y problemas que pueden ser propuestos para abordar el objeto
en el aula.
En relación al proceso de enseñanza y aprendizaje Freudenthal (2001) afirma que “las cosas están
al revés si se parte de enseñar el resultado de una actividad más que de enseñar la actividad misma”,
en esta idea se refleja que el objetivo de la secuencia de tareas es que los estudiantes a través de la
exploración de fenómenos se acerquen al objeto estudiado. Por lo tanto, el docente debe aportar
en el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir de la reinvención guiada, es decir, presenta a los
estudiantes situaciones problemáticas abiertas que promuevan el uso de una variedad de estrategias
y de discusiones por parte de los grupos de trabajo, en esta idea de reinvención guiada el docente
30
apoya a los estudiantes desde sus procesos heterogéneos de aprendizaje, lo que viabiliza que cada
estudiante trace su trayectoria de aprendizaje.
En relación a esto Bressan et al. (2004) exponen que la clase y la didáctica se nutren a partir de las
producciones y construcciones libres realizadas por los estudiantes, siendo estas producciones
puntos de partida para posteriores cuestionamientos discutidos en clase, y para encaminar las
diferentes rutas que puede tomar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, esto
permite afirmar que aunque las actividades o situaciones se tengan previstas desde el inicio, se
pueden ir modificando o retroalimentando a partir de las construcciones que realizan los
estudiantes, esta idea de retroalimentación concuerda con lo propuesto en la investigación-acción,
porque como lo expone Elliot (1990) bajo esta metodología se da inicio a un nuevo ciclo en la
investigación a partir del aprendizaje de los ciclos anteriores.
Junto a esta percepción de las matemáticas, Bressan, Zolkower y Gallego (2004) plantean que la
EMR no es una teoría general del aprendizaje, sino es una teoría global que se fundamenta en unos
principios que permiten su comprensión y caracterización, dentro de los principios se encuentra:
el principio de actividad, de realidad, de reinvención, de intervención, de interconexión y de
niveles, los cuales se describen a continuación.
El principio de actividad describe que las matemáticas deben ser pensadas como una actividad
humana a la que todas las personas pueden acceder, para Freudenthal la actividad refiere a la
indagación y resolución de problemas y a la organización de contenido, lo que fomenta el
planteamiento de diferentes estrategias por parte de los estudiantes para resolver las situaciones.
En cuanto al principio de realidad, Bressan et al., (2004) plantea que mantener el aprendizaje
ligado a la realidad, “no significa mantener esta disciplina conectada al mundo real o existente sino
también a lo realizable, imaginable o razonable para los estudiantes” (p. 75), por lo tanto, las
situaciones propuestas a los estudiantes les debe permitir explorar su imaginación y sentido común,
para posteriormente obtener herramientas más formales.
Frente a la idea de resolver situaciones problema, los docentes desempeñan un papel crucial en el
proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, porque deben mediar entre las
producciones informales de los estudiantes y las herramientas formales que requieren algunas
situaciones problema. Bajo este principio de reinvención, el docente observa continuamente a los
estudiantes para proponer cuestionamientos que les permita organizar la actividad, este principio
31
se relaciona con el de interacción, porque es el trabajo en grupo la clave para el avanzar en la
comprensión de los objetos matemáticos. Finalmente, el principio de los niveles describe que los
estudiantes pasan por unos niveles de comprensión, los cuales dan cuenta de la resolución de las
situaciones, describiendo de esta manera la trayectoria de aprendizaje de cada estudiante.
2.4.2 Los niveles de comprensión
Las ideas que fundamentan la EMR proponen que las matemáticas son accesibles a todos, porque
la resolución de situaciones contextualizadas permite que los estudiantes establezcan relaciones
entre sus conocimientos y las herramientas matemáticas que surgen al resolver la situación
problema o al interactuar con otros, de allí que exista un proceso de matematización progresiva,
en dicho proceso los estudiantes pueden pasar por distintos niveles de comprensión, desde el uso
de su sentido común hasta la construcción de modelos más formales. Freudenthal (1983) expone
que el estudiante puede estar en cualquiera de esos niveles, según el tipo de actividad mental, de
las estrategias y los modelos utilizados para solucionar la situación, es importante resaltar que
ninguno de estos niveles está por encima de otro, ni se llevan a cabo de manera jerárquica, sino
que ciertos procesos o actividades realizadas por los estudiantes permiten ubicarlo en alguno de
los estos niveles.
Teniendo en cuenta las ideas descritas anteriormente, lo vivenciado y realizado en la clase de
matemáticas debe aportar en la comprensión y participación en diferentes situaciones sociales y
naturales, por lo tanto, como lo expone Alsina (2009) la enseñanza de las matemáticas debe ser
tratada como actividad social, siendo la interacción la que promueve el alcance a niveles de
comprensión más altos (situacional, referencial, general y formal). Freudenthal describe 4 niveles
de comprensión en los que pueden estar los estudiantes cuando abordan las diferentes situaciones
problema y pueden dar cuenta de su proceso de enseñanza – aprendizaje.
La siguiente tabla muestra algunas características de cada uno de los niveles, esta construcción se
realiza tomando las ideas expuestas por Freudenthal (2001) y la investigación realizada por Henao
y Vanegas (2012) frente a la modelación de la función cuadrática a través de la EMR, siendo las
ideas expuestas en esta investigación clave para caracterizar cada uno de los niveles de
comprensión.
32
MATEMATIZACIÓN
HORIZONTAL
(concreto)
MATEMATIZACIÓN VERTICAL
( abstracto)
Nivel situacional
(contexto)
Nivel referencial
(modelo de)
Nivel general
(modelo para)
Nivel formal (procedimientos y
notaciones convencionales)
* Los estudiantes utilizan los
conocimientos informales, el
sentido común y la experiencia
para comprender las
situaciones problema.
* Se explora la situación
problema desde diferentes
puntos de vista.
* Aparecen
representaciones o
modelos gráficos y
matemáticos.
* Emergen diferentes
modelos matemáticos
particulares de la
situación problema.
* Los procesos realizados
por los estudiantes se
desprenden del contexto.
* Reflexión sobre
conceptos, procedimientos,
estrategias y modelos
usados.
* Aparecen conocimientos y
notaciones convencionales.
* Validación del modelo matemático
encontrado.
* Los estudiantes reconocen los
conceptos centrales implicados en la
situación problema.
Tabla 1. Niveles de comprensión propuestos por Freudenthal.
Bajo estas ideas de los niveles de comprensión, se evidencia que el aprendizaje de las matemáticas
es considerado una actividad constructivista, en la cual la reflexión es el motor que permite avanzar
al siguiente nivel, porque a través de la reflexión se generan conflictos cognitivos en los estudiantes
que promueven la duda y la exploración de nuevos caminos. Es importante precisar que estos
niveles no se llevan a cabo jerárquicamente, pero brindan herramientas para identificar los
procesos que realizan los estudiantes y fomentar que los conocimientos que son expresados a
través de la experiencia y el sentido común, puedan llegar a un proceso de formalización.
33
3. Diseño metodológico
En este apartado se describen los elementos metodológicos fundamentales de esta investigación,
la cual asume un enfoque cualitativo, de tipo descriptivo-interpretativo, a partir del método de
Investigación-Acción, en tanto permite comprender ampliamente la experiencia que es indagada y
mejorar la práctica desde lo cotidiano, además bajo esta perspectiva se considera que el
conocimiento lo construye cada individuo al interactuar con su mundo social, siendo los resultados
un vehículo para transformar y aportar a los procesos educativos (Taylor, 1998).
Frente a estos planteamientos de la investigación-acción Coghlan y Brannick (2010) afirman que
la idea interesante en esta investigación es que se inicia un nuevo ciclo partiendo del aprendizaje
de un proceso anterior (ver figura), lo que implica que cada una de las situaciones que se propongan
en el aula a los estudiantes de quinto grado se podrán modificar, a partir de las producciones que
van surgiendo en el aula, porque pueden aparecer elementos o conceptos que la docente-
investigadora no considero o planeó desde el inicio.
Figura 5. Fases de la investigación acción planteadas por Coghaln y Brannick (2010, p. 10).
3.1 Población
Los sujetos participantes serán estudiantes de quinto grado de la institución educativa de carácter
privado de la ciudad de Bogotá, cuyas edades oscilan entre los 9 y 11 años, la selección de esta
muestra se realizó bajo dos criterios específicos, el primero refiere a lo propuesto por diferentes
34
referentes nacionales y locales (estándares, lineamientos y malla curricular) que plantean la
pertinencia de abordar adecuadamente este objeto matemático en este grado y el segundo criterio
al vínculo que existe entre la institución y la docente-investigadora, lo que contribuye en la
implementación de las tareas propuestas. La institución Educativa posee un enfoque pedagógico
de coeducación, por ejemplo, en el grado quinto hay 4 cursos, de los cuales uno es de niñas y los
otros tres de niños, para esta investigación los participantes serán 25 niños.
3.2 Diseño de instrumentos
El primer pilotaje se realizó con 22 estudiantes que habían cursado grado quinto, este primer
instrumento se construyó tomando preguntas propuestas por García y Mayorga (1997) y Llinares
y Sánchez (2000) en sus investigaciones y se realizaron modificaciones, teniendo en cuenta que se
quiere analizar la comprensión que tienen los estudiantes frente a la fracción como interpretación
parte-todo y al proceso de comparación entre estos números.
En cuanto a la secuencia de tareas, ésta se construyó a partir de los elementos didácticos y
metodológicos propuestos por diferentes investigadores frente a la enseñanza de la fracción,
especialmente desde la interpretación como relación parte-todo, por ejemplo, investigadores como
Llinares y Sánchez (2000) proponen momentos y actividades interesantes para desarrollar con los
estudiantes y que contribuyen en la caracterización de las fracciones, junto a esta ideas Thompson
(2001) plantea una serie de fases enfocadas en la comprensión de las fracciones desde el trabajo
con los atributos; es importante precisar que esta propuesta ha sido utilizada o rediseñada por
algunos investigadores y los resultados muestran que los estudiantes avanzan en la comprensión
de las fracciones y los procesos de orden y equivalencia , este hecho permite considerar que es
pertinente tomar elementos de esta propuesta para el planteamiento de las tareas. Además Obando
(2003) y Cisneros (2014) proponen situaciones problemas relacionadas con la magnitud longitud
y el proceso de medición, siendo este contexto pertinente para caracterizar las fracciones y el uso
de diferentes representaciones.
De igual manera se revisó y analizó los instrumentos elaborados por otros investigadores en sus
tesis de posgrado o doctorado, esto con la finalidad de examinar cada uno de los fenómenos que
35
se plantean en las tareas y que posibilitarán la comprensión de las fracciones; es relevante explicitar
que desde el inicio las tareas tienen unos cuestionamientos específicos, pero que éstos se irán
modificando a partir de los procesos reflexivos que se realicen después de la implementación de
cada tarea.
3.3 Tareas
En la siguiente tabla se describe el conjunto de tareas propuestas en esta investigación, y cuya
finalidad es posibilitar en los estudiantes la comprensión del orden y la equivalencia de las
fracciones, estas tareas se plantean a partir de las ideas propuestas en el marco teórico, cuyas ideas
describen en términos generales que el contexto de la medida, es un buen pretexto para caracterizar
la fracción y los procesos de orden y equivalencia, además desde lo propuesto por la EMR es el
trabajo con contextos y situaciones realistas el punto de partida para aprender matemáticas. Bajo
esta idea de realidad, la primera y la última actividad se llevan a cabo a través de la implementación
de un instrumento, mientras que las otras tres tareas buscan que los estudiantes desde la
experiencia, el trabajo en grupo y las preguntas realizadas por la docente exploren situaciones que
requieren de la comparación de las fracciones y el orden y la equivalencia de éstas.
Tarea Descripción Propósito Duración
Reconocimiento
de los atributos
de la fracción
como relación
parte-todo
Los estudiantes desarrollan
individualmente un instrumento
de 8 preguntas, las cuales fueron
tomadas y modificadas de otras
investigaciones.
La intención de este primer instrumento es
conocer los diferentes procesos que realizan
los estudiantes, cuando se enfrentan a
situaciones que refieren a la interpretación
de la fracción como parte-todo y a los
procesos de orden y equivalencia entre
fracciones.
2 sesiones
de dos
horas.2
Comparando
alturas y pesos
Los estudiantes desarrollan tanto
de manera grupal como
individual actividades
relacionadas con la medición de
su altura y de su peso. En esta
actividad cada estudiante debe
hallar la medida de su altura,
comparar las alturas de los
Esta tarea desea posibilitar en los
estudiantes la comprensión del sistema
métrico y su relación con el sistema
numérico decimal, junto a esta comprensión
que los estudiantes caractericen la notación
decimal y realicen comparaciones que les
permita ordenar números decimales.
Además, la última parte de la tarea, tiene la
6 sesiones
de dos
horas cada
una.
2 En la institución educativa una hora académica corresponde a 50 minutos, por lo tanto una sesión está en un intervalo
de tiempo de 92 a 95 minutos (por los intercambios que se dan dentro de la institución entre una clase y otra).
36
integrantes del grupo, encontrar
el promedio de la altura de su
grupo de trabajo y en un segundo
momento pensar en los cambios
que tiene el peso si se encontrara
en otros planetas o satélites
intención que los estudiantes propongan
diferentes estrategias para establecer
equivalencias con la medida de su peso.
¿Qué están
representando
los números que
dan la
información
nutricional de un
alimento?
Los estudiantes analizan en
pequeños grupos la información
nutricional de diferentes
alimentos que consumen
diariamente; la docente les
plantea preguntas relacionadas
con los nutrientes para que
comprendan los problemas de
salud que se presentan cuando
estos paquetes no se consumen
con precaución.
La intención de esta tarea es que los
estudiantes al analizar la información
nutricional de varios paquetes, logren
establecer relaciones entre las diferentes
representaciones de las fracciones
(notación fraccionaria, notación decimal y
porcentaje). De igual manera que realicen
comparaciones entre los ingredientes, para
determinar cuáles son los más perjudiciales
para la salud.
3 sesiones
de dos
horas cada
una.
¿Por qué es
importante
medir con
precisión?
Los estudiantes analizan en
pequeños grupos una receta para
hacer batidos y hacen uso de
jeringas y agua para encontrar
equivalencias entre las diferentes
unidades de medida de
capacidad y responder a los
cuestionamientos propuestos por
la docente.
Con esta tarea se espera que los estudiantes
al analizar la receta (en ésta aparecen
diferentes representaciones de la fracción)
utilizando jeringas y agua, establezcan
relaciones entre las diferentes unidades de
medida de capacidad y logren interpretar las
fracciones que aparecen en la receta al
comprender los diferentes sistemas de
representación escritos (fracción, decimal y
porcentaje).
2 sesiones
de dos
horas cada
una.
Orden y
equivalencia de
las fracciones.
Los estudiantes resuelven
individualmente un instrumento
similar al realizado en la tarea 1,
algunas de las preguntas son
iguales, otras se modificaron y
otras son nuevas producto de las
observaciones realizadas durante
la implementación de las tareas.
La intención de este taller es evidenciar el
avance de los estudiantes frente al orden y
la equivalencia de las fracciones, dado que
se realiza una comparación con las
respuestas iniciales de la tarea uno. Además
dentro del instrumento, en cada una de las
preguntas se cuestionó a los estudiantes
sobre ¿cómo lo hiciste? o explica el proceso
que realizaste, para conocer con mayor
precisión la comprensión de los estudiantes
en cada uno de los puntos.
1 sesión de
dos horas.
Tabla 2. Descripción de las tareas.
En términos generales, estas son las tareas propuestas a los estudiantes, sin embargo, es importante
precisar que en la institución educativa se trabajan con guías de aprendizaje, en esta guía se
37
presentan situaciones problemas relacionadas con los contextos (ver anexo 5).Teniendo en cuenta
esto, es importante resaltar los siguientes elementos de la guía de aprendizaje:
La guía de aprendizaje es un requerimiento de la institución, por esta razón, a lo largo del
documento se explican las actividades a desarrollar, porque para la institución es
importante que tanto padres como estudiantes estén informados de las actividades a trabajar
durante el periodo.
El representante legal (el rector) invita a la docente-investigadora que describa de manera
general las tareas que se desarrollan en la investigación, para que los padres de familia
conozcan más específicamente la indagación en la que están participando sus hijos. Es
oportuno enfatizar, que estas descripciones o preguntas no orientan las tareas, porque a lo
largo de la implementación de las mismas se replantean o modifican a partir de las
interacciones y producciones de los estudiantes, del trabajo en equipo y la búsqueda de
estrategias propuestas por los estudiantes para solucionar las situaciones.
En la guía aparecen varias preguntas que no son analizadas dentro de la investigación,
porque fueron diseñados para dar respuesta a los propósitos planteados en la institución.
3.4 Recolección de la información.
En cuanto a los instrumentos de recolección de datos, se realizan grabaciones sesión a sesión con
el objetivo de analizar las estrategias y discusiones propiciadas por los estudiantes en el desarrollo
de las tareas, es relevante precisar que en algunas ocasiones se enfocan más unos grupos que otros,
según las discusiones generadas en el interior de cada uno y que desde la perspectiva de la docente
-investigadora son relevantes para el análisis de las tareas. Estas grabaciones son complementadas
por un segundo instrumento, que corresponde a la producción de los estudiantes, producción que
no puede ser evidencia en las grabaciones, sino que se encuentra en los cuadernos y hojas de
trabajo. Por lo tanto, las técnicas utilizadas hacen referencia a: observación participante, notas del
investigador, entrevistas semiestructuradas y la producción de los estudiantes. Es oportuno y
38
coherente utilizar estas técnicas, porque con éstas se pueden conocer los procesos y maneras de
abordar las situaciones por parte de los estudiantes tanto de manera individual como grupal.
Desde la perspectiva de Elliot (1990) la observación participante permite conocer de cerca la
experiencia que se quiere analizar, de allí que la información recolectada debe estar formada por
escenarios naturales, en este caso el aula se convierte en un espacio real, porque los estudiantes
pueden tanto de manera individual como grupal resolver las situaciones desde su experiencia y la
interacción con otros, además esta observación permite al investigador ver las cosas desde la
perspectiva de los participantes, a través de la escucha y la disposición para comprender lo
realizado sin juicios ni valoraciones. En cuanto a la entrevista semiestructurada basada en tareas,
Goldin (2010) propone que este tipo de entrevista implica mínimamente un sujeto (estudiantes) y
un entrevistador (el docente) que interactúan a través de la implementación de algunas tareas, por
lo tanto “las interacciones de los sujetos no son sólo con los entrevistadores, sino con el entorno
de la tarea” (p.519), esta idea se relaciona con el objetivo de la investigación, porque mientras los
estudiantes desarrollan las tareas, la docente-investigadora les plantea preguntas para conocer con
mayor precisión la manera en que analizaron y pensaron los situaciones.
Uno de los elementos relevantes dentro de la investigación, son las notas del observador, que como
lo describe McKernan (1999) estas notas refieren al quién, cómo y con quién de la acción
observada, éstas se realizan a partir de la escucha y de las observaciones directas de aquellas
situaciones que se presentan en el aula y se consideran relevantes a la luz de la investigación, estas
notas del observador, pueden aportar en el proceso de análisis de la información recolectada.
Teniendo en cuenta estas ideas, se realizan grabaciones sesión a sesión y se toman notas de las
acciones más relevantes que no se alcanzan a percibir en las grabaciones, de igual manera se
realizan entrevistas semiestructuradas cuando la docente-investigadora pregunta a los estudiantes
sobre sus procedimientos en cada una de las tareas, complementando este proceso se analizan las
producciones de los estudiantes que se encuentran en las hojas de trabajo y en los cuadernos de
cada uno de los estudiantes. Por lo tanto, el análisis de las tareas se realiza de manera general al
revisar las producciones de los estudiantes y las diferentes discusiones propiciadas en los pequeños
grupos de trabajo o en las socializaciones realizadas con todos los estudiantes.
Es oportuno precisar, que para realizar las grabaciones de las clases, se realizaron dos
consentimientos informados, en el primero de estos consentimientos se informa al representante
39
legal, el rector de la institución el propósito de la investigación, los participantes del estudio y los
procedimientos a realizar en el aula con los estudiantes. El segundo consentimiento va dirigido a
los padres y acudientes de los estudiantes, en el que se describe las condiciones de la participación
de los estudiantes en la grabación, esto con la finalidad de dar claridad frente a la investigación
que se está realizando (ver anexo 4).
3.5 Categorías
La categorización es un aspecto crucial en la investigación cualitativa, dado que brindan
orientaciones que le ayudan al investigador direccionar su labor como investigador, en
concordancia con esta idea Galeano (2004) describe que las categorías se entienden como
“ordenadores epistemológicos, campos de agrupación temática, supuestos implícitos en el
problema y recursos analíticos. Como unidades significativos que dan sentido a los datos y
permiten reducirlos, compararlos y relacionarlos” (p. 38). Las categorías que se presentan a
continuación se describen y construyen a partir de los principios teóricos y metodológicos
proporcionados por la Educación Matemática Realista (EMR) y los demás autores que constituyen
el marco teórico y metodológico.
Categoría orden
Categoría 1: Al comparar fracciones y decimales considera que entre más grande es una de las
partes de la fracción o la parte decimal respectivamente, mayor es el número (Ideas de los números
naturales).
Categoría 2: Al comparar fracciones reconoce que éstas deben estar en la misma unidad de medida
para ser ordenadas.
Categoría 3: Al comparar números decimales reconoce el valor posicional para ordenarlos.
Categoría de equivalencia (uso de distintas representaciones semióticas)
Categoría 4: Adiciona o quita símbolos o números a las diferentes representaciones de las
fracciones sin establecer equivalencias entre éstas.
Categoría 5: Utiliza diferentes sistemas de representación para expresar fracciones (gráfica,
decimal o porcentaje).
40
A través de las categorías y los niveles de comprensión se caracterizan las producciones escritas y
las interacciones de los estudiantes, esto con la finalidad de evidenciar el avance progresivo de los
estudiantes respecto a cada una de las tareas. A continuación se proponen algunas características
que permiten establecer el nivel de comprensión de los estudiantes en cada una de las tareas, para
la consolidación de estos procesos, se toman las ideas plasmadas por Sánchez (2016) quien
describe a través de un modelo anticipado del conjunto de tareas, los posibles procesos que pueden
ser desarrollados por los estudiantes, al resolver tareas que posibilitan la constitución de los objetos
metales variable y dependencia para la comprensión de la función afín y lineal.
Características y procesos en cada uno de los niveles de comprensión
Nivel situacional
Compara fracciones y decimales analizando una de las partes del número, ya sea el
denominador, el numerador o la parte decimal según corresponda.
Utiliza material concreto para representar la situación.
Concibe el problema desde diferentes puntos de vista.
Propone estrategias de solución a las situaciones a partir de las ideas que tiene sobre
los números naturales.
Nivel referencial
Justifica y explica tanto de manera escrita como oral, el proceso que realiza para
ordenar y comparar fracciones en el contexto de la medida.
Utiliza diferentes representaciones en el contexto de la medida para comparar y
ordenar fracciones.
Propone un modelo de solución, asociado al contexto de la medida, para encontrar
representaciones equivalentes a las fracciones.
Nivel general
Utiliza notaciones y símbolos generales de las matemáticas para comparar y ordenar
fracciones.
Reconoce y utiliza una unidad de medida para comparar y ordenar fracciones.
Enuncia modelos en los que se caracteriza el valor posicional y la unidad de medida
para utilizar diferentes sistemas de representación.
Establece equivalencias entre las diferentes representaciones de la fracción.
Nivel formal
Reconoce los conceptos centrales implicados en la situación problema para
comparar y ordenar fracciones.
Valida el modelo matemático encontrado. Tabla 3. Modelo anticipado de tareas.
41
4. Descripción y análisis de las actividades
En este apartado se describen y analizan las producciones de los estudiantes en cada una de las
tareas implementadas durante el segundo y tercer periodo3 del 2017 en una institución educativa
de carácter privado. El análisis se centró en las producciones de los seis pequeños grupos de
trabajo, porque en estos grupos se posibilitó la interacción entre ellos, la búsqueda de estrategias
para solucionar las situaciones, la toma de decisiones y la reflexión de las ideas puestas a
consideración en los espacios de socialización.
Al caracterizar las producciones de los estudiantes, se hace oportuno mencionar lo que se entiende
por comprensión, porque en los principios de la EMR se describen los niveles de comprensión,
pero de manera explícita no se puntualiza qué es comprender, sin embargo al reconocer que la
EMR no es una teoría general de aprendizaje, sino que es una teoría global que aporta ideas básicas
frente al cómo y qué se enseña en el aula de matemáticas (Bressan et al., 2004), es posible afirmar
que la comprensión desde los principios de la EMR se refiere al uso que hacen las personas de sus
experiencias, habilidades y conocimientos para resolver una situación problemática.
En cada una de las tareas, se realiza inicialmente una descripción de lo que pasó en el aula con los
estudiantes al momento de abordar las tareas, y posteriormente se analiza de manera específica las
producciones escritas y las interacciones entre los estudiantes, por lo tanto, a lo largo del análisis
se muestran producciones puntuales de los seis grupos de trabajo y algunas interacciones entre los
estudiantes y la docente-investigadora.
4.1 Tarea 1: Reconocimiento de los atributos de la fracción como relación parte-todo
Tarea 1: Los estudiantes desarrollan individualmente un cuestionario de 8 preguntas, las cuales fueron
tomadas y modificadas de otras investigaciones.
Propósito. Conocer los procesos que realizan los estudiantes, cuando se enfrentan a situaciones que
refieren a la interpretación de la fracción como relación parte-todo (reconocimiento de la unidad y de la
congruencia de las partes) y a los procesos de orden y equivalencia entre fracciones. Es importante resaltar
3 En la institución educativa se trabajan cuatro periodos de tiempo, el primer periodo inicia en febrero y termina la
primera semana de abril, el segundo periodo inicia la segunda semana de abril y termina la segunda semana de junio,
después de esto hay un de receso de dos semanas; el tercer periodo inicia la primera semana de julio y termina la
primera semana de septiembre y el último periodo inicia la segunda semana de septiembre y termina la tercera semana
de noviembre.
42
que no se proponen preguntas relacionadas con los números decimales, porque esta representación de la
fracción, no ha sido explorada ni trabajada por los estudiantes en el aula
Tiempo: 2 sesiones de dos horas académicas.
Descripción. Esta actividad se realizó en dos sesiones de clase, en la primera sesión los estudiantes
desarrollaron el cuestionario y en la segunda socializaron sus respuestas en grupos de tres
estudiantes, en la última parte de esta sesión se llevó a cabo una contextualización de la Tarea 2.
En la primera sesión, los estudiantes desarrollaron de manera individual cada una de las preguntas
propuestas en el cuestionario, al finalizar la clase se organizaron en grupos de dos o tres estudiantes
y socializaron sus respuestas. Dentro de este espacio de socialización surgieron varias preguntas
relacionadas con el orden y la equivalencia de las fracciones, por ejemplo, para ellos no fue fácil
desarrollar el punto 6, porque no sabían cuál de las dos partes de la fracción, si el numerador o el
denominador, determinaba cuál era la fracción más pequeña, entre las dos fracciones dadas.
En términos generales, se evidenció que los estudiantes tenían muchas dudas en las preguntas en
las que no se acudía a una representación gráfica para responderla, un claro ejemplo de esto, son
las preguntas cinco y seis, que fueron las que más dudas les generó y que varios estudiantes
alrededor de un 10% no respondió, pues en estas preguntas los estudiantes no tenían una
representación gráfica en la cual apoyarse para responder al planteamiento. El espacio de
socialización, permitió que los estudiantes identificaran las estrategias utilizadas por sus
compañeros para responder las preguntas, además que reconocieran las diferentes interpretaciones
que se daban a los puntos y las dudas que se generaban en cada una de éstas, por lo tanto la
interacción promovió el aprendizaje y el avance en los niveles de comprensión por parte de los
estudiantes (Goffre, 2000).
Análisis y toma de decisiones. A continuación se describen los resultados evidenciados en este
primer instrumento, este análisis permite conocer las inquietudes que tienen los estudiantes cuando
abordan situaciones relacionadas con la interpretación de la fracción como relación parte-todo y
al ordenar o comparar fracciones, es importante precisar que este análisis preliminar se convierte
en un insumo para la gestión e implementación de las tareas posteriores. Además las ideas
expuestas en el marco teórico describen que un adecuado tratamiento de la fracción como relación
parte-todo, es puente para la comprensión de la fracción en sus diferentes representaciones y de
algunas propiedades de los números racionales, como la equivalencia y la densidad, de allí la
43
importancia de preguntar a los estudiantes sobre la interpretación de la fracción como relación
parte-todo.
En el primer punto, en el que debían escribir en palabras y en números la región sombreada de
cada figura, se evidenció que el 40% de los estudiantes no caracterizó uno de los atributos
propuestos por Llinares y Sánchez (1988), el cual describe que en contextos continuos es
importante que las partes sean congruentes en área para establecer la relación parte-todo, como se
puede apreciar en la primera imagen de la Tabla 4. En la segunda imagen de la tabla, se evidencia
que algunos estudiantes adicionaron los segmentos en cada una de las figuras para obtener de esta
manera partes congruentes, pero al momento de escribir la fracción en palabras y en números, la
relación que establecieron fue de parte con parte, esto muestra que aunque los estudiantes
identifican la unidad y la congruencia de las partes, para ellos no es claro el todo. Finalmente el
resto de los estudiantes (40%) reconocieron la relación parte-todo, porque identificaron que las
partes deben ser congruentes en área, además la relación que establecieron fue de parte-todo y en
algunos casos, plasmaron el resultado de manera simplificada, por ejemplo, en las figuras 1 y 4,
escribieron la fracción ½.
No reconocen la congruencia de
las partes.
Reconocen la congruencia de las
partes, pero la relación que establecen
es parte – parte.
Reconocen la congruencia de las
partes, la unidad de medida y la
relación parte – todo.
40 % de los estudiantes 20 % de los estudiantes 40 % de los estudiantes
Tabla 4. Respuestas de los estudiantes en el primer punto.
El segundo punto fue desarrollado en el cuaderno por los estudiantes y los procesos de cada uno
de los ítems se encuentran en la tabla 5.
44
Primer ítem Segundo ítem Tercer ítem Cuarto ítem
Tabla 5. Respuestas de los estudiantes en los cuatro ítems del segundo punto de la Tarea 1.
En términos generales la mayoría de los estudiantes (80%) establecieron una relación parte-todo
en cada una de las situaciones propuestas, por ejemplo, en el primer ítem todos los estudiantes
realizaron el dibujo a partir de las indicaciones brindadas, este hecho se debe a que lo propuesto
es cercano a los estudiantes, porque cuando las fracciones se relacionan con el lenguaje cotidiano
de los estudiantes es más asequible de ser comprendido (Freudenthal, 2001). En el segundo ítem,
aunque la mayoría (70%) de los estudiantes logró dibujar lo planteado, algunos interpretaron la
palabra mitad, como posición por lo tanto al realizar el dibujo, hacen un circulo y alrededor de este
muchas figuras.
En el tercer ítem la mayoría de los estudiantes (80%) dividieron en tres partes el rectángulo, pero
la mitad de estos estudiantes colorearon dos o tres partes de color amarillo, es decir, que no
identificaron la parte respecto al todo. El resto de estudiantes (20%) dividieron en cuatro partes el
rectángulo y colorearon tres de éstas, desde lo expuesto por Pontón (2008) este hecho se debe a
que la interpretación de fracción que hacen los estudiantes, es de dos números que están separados
por una línea, por lo tanto, cuando el estudiante lee una tercera parte del rectángulo, divide el
rectángulo en cuatro partes, colorea tres y deja uno en blanco o por el contrario colorea uno y deja
tres en blanco.
Finalmente en el último ítem alrededor del 60% de los estudiantes dibujaron 10 figuras y
colorearon 4 de color negro, lo que deja ver la comprensión de la relación parte-todo. El resto de
los estudiantes (40%) realizó un análisis similar al anterior punto, que consistió en dibujar 14
figuras (que se obtienen de sumar la parte con el todo) y de esas catorce colorearon de color negro
cuatro figuras, esto muestra que la relación que establecen es parte con parte.
45
El primer ítem del tercer punto, en el que debían colorear la cuarta parte de un rectángulo que
estaba dividido en tres partes, generó en los estudiantes muchas controversias, porque varios
manifestaron que no sabían cómo colorear una cuarta parte del rectángulo, si la figura estaba
dividida en tres partes.
Colorean una de las
partes del rectángulo
Agregan una parte al
rectángulo
Adicionan segmentos, pero
no colorean la cuarta parte
Adicionan segmentos y
colorean la cuarta parte
60 % de los estudiantes 8 % de los estudiantes 12 % de los estudiantes 20 % de los estudiantes
Tabla 6. Respuestas de los estudiantes en el primer ítem del tercer punto de la Tarea 1.
Como se pudo apreciar en la anterior tabla más de la mitad de los estudiantes tuvo dificultades
para colorear la cuarta parte de la figura, porque este grupo de estudiantes al no encontrar una
manera de dividirla, colorearon una de las tres partes. Otro grupo de estudiantes alrededor de un
10% adicionó varias líneas al interior de la figura, pero al momento de colorear, sólo tomaron una
de las partes, bajo esta misma idea algunos estudiantes (8%) adicionaron una parte al rectángulo y
colorearon una de las partes, aunque pareciera que cumplieran lo solicitado en el enunciado, no es
así, porque no se conserva el todo. El resto de los estudiantes adicionaron los segmentos que
necesitaba la figura para establecer la relación parte-todo.
En el segundo ítem de este tercer punto, en el que debían colorear 2
3 de un conjunto de 9 cuadros,
el 60% de los estudiantes colorearon los seis cuadros como correspondía, porque identificaron el
todo (9 cuadros) y al realizar las divisiones encontraron que cada tercio correspondía a 3 cuadros.
El resto de estudiantes coloreó dos cuadros, porque este número corresponde al numerador de la
fracción, es decir, que el análisis se hace sobre una de las partes de la fracción (ver Tabla 7).
Tabla 7. Respuestas de los estudiantes en el segundo ítem del tercer punto de la Tarea 1.
Colorean 2/3 del conjunto Colorean dos elementos del conjunto
60% de los estudiantes 40% de los estudiantes
46
En términos generales, en este tercer punto se evidencia que los estudiantes presentan mayor
dificultad cuando trabajan en contextos continuos, desde lo expuesto por Freudenthal (2001) es
oportuno trabajar con los estudiantes en contextos continuos y discretos, para no limitar la mirada
de las fracciones y de esta manera generar una comprensión más amplia sobre el todo y la parte en
cada una de las situaciones propuestas.
En cuanto al primer ítem del cuarto punto, todos los estudiantes lograron identificar y dibujar la
unidad, mientras que en la segunda ítem no sucedió lo mismo, porque la indicación no fue clara y
el espacio no era adecuado para que los estudiantes realizaran la representación. Omitiendo esta
dificultad del espacio alrededor de un 68 % de los estudiantes identificaron que el segmento era
un ¼ de la unidad y al hacer la representación dibujaron un cuadrado o trazaron cuatro líneas una
debajo de la otra como se puede apreciar en la tercera imagen de la tabla 8.
Primer ítem Segundo ítem
100 % de los estudiantes 32% de los estudiantes 68% de los estudiantes
Tabla 8. Respuestas de los estudiantes en el cuarto punto de la Tarea 1.
En el quinto punto, en el que los estudiantes tenían que escribir números menores y mayores al
dado, se evidenció el 25 % de los estudiantes no respondió la pregunta, porque para ellos no fue
fácil encontrar un número menor a la fracción dada, por lo que deciden dejarla en blanco. Frente a
los que lo hicieron se encuentra que 2 de ellos (8%) escribieron números naturales, tanto en los
números menores como en los mayores, por lo tanto es posible inferir que los estudiantes analizan
una parte de la fracción (numerador o denominador) y buscan un número menor o mayor a este,
en relación a esto, Maza (1999) describe que los estudiantes presentan dificultades cuando tienen
que ordenar fracciones, en este caso, pensar en un número menor y mayor al dado, porque no
realizan el análisis y la interpretación sobre un número, sino la mirada se enfoca en dos números,
el numerador y el denominador.
En consonancia con esta idea, alrededor de la mitad de los estudiantes suma o resta una unidad al
numerador y denominador para encontrar el número menor y mayor al dado. Finalmente el resto
de los estudiantes logra escribir en la mayoría de los números, un número menor y otro mayor, es
47
importante resaltar que dos estudiantes escriben un número decimal al buscar un número menor a
uno, el número 0,5, como se aprecia en la tercera imagen de la tabla 9.
Escriben un número natural, tanto
en los menores como en los
mayores.
Suman o restan una unidad al
numerador y denominador.
Escriben un número decimal.
8% de los estudiantes 50 % de los estudiantes 17 % de los estudiantes
Tabla 9. Respuestas de los estudiantes en el quinto punto de la Tarea 1.
Dentro del desarrollo de esta actividad, el punto 6 fue el que más generó dudas en los estudiantes,
porque ellos indicaban cuál era la fracción menor, pero no explicaban el porqué de su respuesta,
teniendo en cuenta esto, alrededor del 36% de los estudiantes no justificaron su respuesta y el 16%
de los estudiantes escribió en la justificación que era menor, pero no explicitaron los elementos
que consideraron para seleccionar una de las dos fracciones comparadas.
En relación a los estudiantes que respondieron, se encuentra que 10 de ellos utilizaron las ideas
que tienen sobre los números naturales, porque organizaron las fracciones mirando el
denominador, ya que este número indica las partes en que se ha dividido la unidad (Konic, 2011).
Finalmente, dos estudiantes justificaron la selección de alguna de las dos fracciones desde
representaciones gráficas, estas gráficas muestran que los estudiantes reconocen que es importante
tener la misma unidad de medida para ser comparadas, en correspondencia con estas respuestas
Godino, Cid y Batanero (2004) describen que el trabajo con material concreto y las gráficas
permite que los estudiantes comparen con mayor facilidad las fracciones, porque es fácil de
visualizar y por lo tanto las partes pueden ser comparadas por el tamaño, es decir, que la magnitud
área es un elemento clave para para realizar la comparación entre fracciones.
No justifican su
respuesta
Escriben porque era
menor.
Comparan una de las
partes de la fracción.
Comparan fracciones desde la
representación gráfica.
36% de los estudiantes 16% de los estudiantes 40% de los estudiantes 8% de los estudiantes
Tabla 10. Respuestas de los estudiantes en el sexto punto de la Tarea 1.
48
En el punto siete se evidencia que todos los estudiantes identifican con facilidad la mitad, la tercera
y la cuarta parte en cada una de las figuras, esto se debe a la cercanía que encuentran los estudiantes
a su lenguaje cotidiano.
A manera de síntesis, en esta primera actividad se evidencia que en la mayoría de los puntos
propuestos, los estudiantes presentan dificultades para establecer la relación parte-todo, ya sea
porque no reconocen la congruencia de las partes (tanto en contextos continuos como discretos),
no identifican la unidad y el todo o las relaciones que establecen son de parte-parte. Antes de
continuar con las siguientes tareas se hizo oportuno que los estudiantes socializarán con dos o tres
compañeros sus respuestas en cada una de las preguntas, con la finalidad de que mostraran la
manera en que pensaron y resolvieron cada uno de los cuestionamientos y que identificaran en qué
tenían inquietudes o dificultades sin llegar a categorizar en bien o mal lo realizado.
Este trabajo de la interpretación como fracción parte-todo, se convierte en un elemento relevante
a ser trabajado en cada una de las tareas, porque como lo propone Obando (2003) la interpretación
de la fracción como relación parte-todo, permite acceder a otros conceptos relacionados con el
número racional y aporta a la conceptualización de la unidad, además aporta en la comprensión de
algunas propiedades de las fracciones como la equivalencia y la densidad. Esta idea se
complementa por lo propuesto por Freudenthal (2001) quien explica que para realizar
comparaciones entre fracciones es indispensable comprender y caracterizar el todo y la parte.
A manera de conclusión esta primera actividad de reconocimiento, posibilitó que los estudiantes a
través del trabajo individual y los procesos de socialización reconocieran los atributos de la
fracción como relación parte-todo (congruencia de las partes, en contextos continuos y discretos y
reconocimiento de la unidad), además la docente-investigadora identificó la importancia de que
estos atributos sean trabajados y abordados en cada una de las tareas, para posibilitar
posteriormente la equivalencia y el orden de las fracciones. Teniendo en cuenta el análisis de esta
tarea, es oportuno afirmar que las producciones muestran que alrededor del 70% de los estudiantes
al comparar y ordenar fracciones, utilizan las ideas que tienen de los números naturales, porque
analizan solamente una de las partes de la fracción, ya sea el denominador o numerador (Categoría
1)
49
4.2 Tarea 2: Comparando alturas y pesos.
Tarea 2: Los estudiantes desarrollan tanto de manera grupal como individual actividades relacionadas
con la medición de su altura y de su peso. En esta actividad cada estudiante debe hallar la medida de su
altura, comparar las alturas de los integrantes del grupo, encontrar el promedio de la altura de su grupo
de trabajo y en un segundo momento pensar en los cambios que tiene el peso si se encontraran en otros
planetas o satélites.
Propósito. Esta tarea desea posibilitar en los estudiantes la comprensión del sistema métrico y su relación
con el sistema numérico decimal, junto a esta comprensión que los estudiantes caractericen la notación
decimal y realicen comparaciones que les permita ordenar números decimales. Además la última parte de
la tarea, tiene la intención que los estudiantes propongan diferentes estrategias para establecer
equivalencias con la medida de su peso.
Tiempo: 7 sesiones (se planeó para ser desarrollado en seis sesiones pero por las dinámicas presentadas
a lo largo de la tarea, ésta se prolongó una sesión más).
La descripción de esta segunda tarea se realiza en dos momentos, en el primer momento (tres
sesiones y media) se presentan los procesos y estrategias propuestas por los grupos de trabajo para
responder las preguntas relacionadas con la altura y en el segundo momento (tres sesiones y media)
se describen las estrategias utilizadas por los estudiantes para responder los cuestionamientos
relacionados con el peso y preguntas relacionadas netamente con el campo de las matemáticas,
como ¿cuál de las fracciones es mayor 1
2 o
1
3 ?
La contextualización de esta tarea se realizó al final de la actividad anterior, en esta
contextualización se propuso a los 25 estudiantes dos retos, que debían ser solucionados en grupos.
En el primer reto, la docente indicó a los estudiantes que se organizaran en grupos de cinco o seis
y se ubicarán en una fila del más joven al más viejo, cuando comenzaron a organizarse ellos se
dieron cuenta que todos tenían nueve o diez años, y que por lo tanto era necesario revisar el mes
en el que nacieron. Después de estar organizados según la indicación, la docente comienza a
preguntarles la edad y estos cuestionamientos permitieron que los estudiantes observarán que no
estaban bien organizados, porque era importante en algunos casos conocer en qué día nacieron,
para poder organizarse con más precisión. Además este primer reto, les permitió pensar en los
números decimales como una representación para describir con un poco más de precisión la edad,
por ejemplo, algunos decían que tenían 9,5 años, porque tenían 9 años y seis meses, quedándoles
el cuestionamiento de cómo representar con un número decimal tres meses, cinco meses o
cualquier otro mes que no correspondiera a seis.
50
Terminado este primer reto, la docente indicó a los estudiantes que todos debían organizarse del
más alto al más bajo, a diferencia del anterior reto este les tomó menos tiempo, porque la
organización se podía realizar a simple vista. Cuando ya estaban organizados, la docente cuestionó
a los estudiantes que tenían medidas similares, con preguntas como: ¿cómo sabes que él es más
alto?, ¿cómo saben que ustedes no miden lo mismo? , estas preguntas permitieron que los
estudiantes comprendieran que requerían tener medidas exactas para organizarse con mayor
precisión. Por lo tanto los estudiantes propusieron que era importante para la próxima clase,
consultar sobre los aspectos y elementos que se deben tener en consideración para medir y traer
un metro4 para realizar el proceso de medición con mayor precisión.
4.2.1 Primer momento.
Descripción. Los retos planteados en la sesión anterior generaron inquietudes en los estudiantes
frente al proceso de medición (como escribir con un número decimal la edad exacta, especificando
meses y días y cómo utilizar la cinta métrica para hallar la altura), por esta razón antes de comenzar
a medirse, los estudiantes socializaron lo que investigaron sobre el proceso medición, dentro de
los aportes más relevantes están: para hallar la altura de una persona es importante inicialmente
tener una cinta métrica, las personas que se quieren medir se deben quitar los zapatos, es relevante
tener una superficie firme para que la cinta métrica no se mueva, además la cabeza debe estar en
una posición derecha y el cabello recogido, los estudiantes afirmaban que si todos elementos no
eran considerados, no se podía garantizar que la medida fuera exacta (ver figura 6).
Figura 6. Estudiantes midiéndose.
Después de que los estudiantes socializaron lo que habían consultado en la casa, se organizaron en
grupos de cuatro (conformando seis grupos) e iniciaron el proceso de medición de la altura de cada
4 Culturalmente en Colombia, la palabra metro se utiliza para indicar un instrumento de medida que tiene entre 1,50
m o 1,52 m. Se hace esta aclaración porque metro es la unidad principal de unidades de longitud del Sistema
Internacional de Unidades, por lo tanto, a lo largo del documento se utilizará la palabra cinta métrica para no generar
confusiones en la lectura.
51
uno de sus integrantes, haciendo uso de la cinta métrica que pegaron a un pared y, en algunos
casos, usaron adicionalmente reglas o escuadras colocadas sobre las cabezas de cada uno en
posición horizontal para garantizar mayor precisión en la medida. Después de realizar las
mediciones solicitadas, dieron respuesta a los siguientes aspectos específicos planteados por la
docente en esta tarea.
En relación con la indicación de usar diferentes representaciones, ésta no fue clara para ellos pues
manifestaron no saber cómo usar diferentes representaciones de los datos; la profesora planteó un
ejemplo sobre diversas maneras de representar una misma cantidad, como es el caso de la “mitad
de una torta”, expresándola en escritura fraccionaria (1/2 de torta) o en porcentaje (50% de la torta).
En la última pregunta, 4 de los 6 grupos plantearon que la “diferencia” es que uno era más alto y
el otro más bajo, por lo que la docente debió replantear la pregunta inicial: ¿cuál es la diferencia
en centímetros entre el estudiante más alto y el más bajo de tu grupo?
Posteriormente la profesora propuso la siguiente pregunta a los estudiantes:¿en promedio, cuál es
la medida de los integrantes de tu grupo?, realizado este cuestionamiento la docente evidenció que
los estudiantes comenzaron a proponer (dentro de los grupos de trabajo) situaciones en las que
habían escuchado la palabra promedio, por ejemplo, uno de los grupos afirmó que en la parte
inferior del boletín académico aparecía la palabra promedio y había una nota que representaba su
desempeño general durante todo el periodo. En varios grupos se generaron inquietudes sobre lo
que era promedio o entre los estudiantes manifestaban que no estaban seguros de lo que sabían,
por esta razón decidieron que para la siguiente sesión indagarían que era promedio y cómo se
usaba.
En la siguiente sesión, los estudiantes nuevamente se reunieron en los grupos de trabajo para
terminar de responder las preguntas propuestas en la sesión anterior y para resolver las inquietudes
que tenían sobre el promedio y las representaciones. En varios grupos comenzaron a cuestionarse
sobre las relaciones entre las unidades de medida, apareciendo preguntas tales como: ¿en un
centímetro cuántos milímetros hay?, ¿un metro es lo mismo que cien centímetros?, estos
- Escribe la altura de cada uno de los integrantes de tu grupo.
- Registra cada uno de los datos obtenidos y utiliza diferentes representaciones (mínimo tres).
- ¿Cuál de los datos recogidos en el grupo es el mayor valor y cuál de menor valor?
- ¿Cuál es la diferencia entre el más alto y el más bajo de tu grupo?
52
cuestionamientos permitieron que los estudiantes caracterizaran las diferentes unidades de medida
del metro y que en algunos grupos usaran la coma decimal para representar la altura de los
estudiantes; la docente al escuchar las diferentes interacciones entre los estudiantes evidenció que
usaban la coma para separar la parte entera del pedazo, por ejemplo, si ellos estaban midiendo con
centímetros y ahora pasaban a milímetros, utilizaban la coma para separar las unidades de medida,
en este caso los centímetros de los milímetros.
Al final de esta sesión, los estudiantes abordaron nuevamente la pregunta del promedio y a partir
de las indagaciones y consultas que habían realizado en casa, propusieron ejemplos como: “en
promedio los estudiantes de 502 tienen entre 9 y 10 años”, “en promedio somos bajitos”, “ en
promedio a todos los estudiantes de 502 nos gusta el fútbol”, estas afirmaciones por parte de los
estudiantes muestran que la interpretación del promedio la estaban realizando desde varios
contextos (altura, años y deporte). En dos grupos usaron un procedimiento matemático que habían
indagado en casa, que consistía en sumar todos los datos y dividir el resultado por el número de
datos sumados, aunque algunos estudiantes utilizaban el algoritmo sin tener claridad de porqué
funcionaba o porqué se hacía así.
Después de que los estudiantes discutieron y respondieron cada una de las preguntas en grupo,
socializaron sus dudas y procesos a través de un debate, uno de los grupos de manera voluntaria
explicó sus respuestas afirmando que utilizaban la coma cuando iban a representar un pedazo muy
pequeño, frente a esta dinámica se aprecia que varios estudiantes tenían inquietudes respecto a la
posición en la que se debe colocar la coma, mientras que otros manifiestan que no se requiere de
la coma para escribir la altura.
Al finalizar esta primera parte de la Tarea 2, en algunos estudiantes surgió la inquietud de la
relación que existe entre las fracciones y los números decimales, por esta razón, este grupo de
estudiantes utilizó un gráfico para representar una centésima y esta representación les permitió
afirmar que la fracción 1
100 era equivalente a 0,01.
Análisis y toma de decisiones. En términos generales, este primer momento de la Tarea 2 generó
en los estudiantes interés por investigar y responder cada uno de los planteamientos propuestos,
este hecho da cuenta de los principios de realidad y actividad expuestos en la EMR, porque en un
inicio los estudiantes utilizaron su experiencia y sentido común para dar respuesta a las preguntas
53
(ver figura 7), por lo tanto es posible afirmar que inicialmente las primeras estrategias utilizadas
por los estudiantes se acercan a un nivel de comprensión situacional y se enmarcan dentro de la
Categoría 1, porque utilizan las ideas que tienen de los números naturales para dar respuesta a los
cuestionamientos.
Cuando los estudiantes escribieron su altura, se evidenció que el 83% no utilizó explícitamente
una unidad de medida (ver figura 8) porque sin que ellos lo escribieran se referían a los centímetros,
por lo tanto al hacer las comparaciones entre las medidas (sus alturas) procedieron hacerlo con los
números naturales; es habitual que los estudiantes lo hicieran de esta manera, porque ellos tienen
ideas muy fuertes sobre los naturales y al resolver problemas lo van hacer inicialmente siempre
con este conjunto numérico (Centeno, 1988).
Figura 7. Estudiantes buscando estrategias para medirse.
Cuando la docente observa que los estudiantes no utilizan unidades implícitamente para escribir
su altura les propone preguntas que los lleven a reflexionar sobre éstas, como se evidencia en la
siguiente interacción.
- Profesora: Chicos, ¿cuánto mide José?
- Estudiante José: Mi altura es 137.
- Profesora: ¿Tu altura es de 137 metros?
- Estudiante Lorenzo: Nooooo, eso es mucho.
- Profesora: entonces ¿son 137 milímetros?
- Grupo (estudiantes): se ríen.
- Estudiante Luis: No profe, tampoco es tan pequeño.
- Estudiante José: mmmm, nos faltó especificar, son centímetros.
54
Figura 8. Respuesta a la primera pregunta de la tarea 2.
La pregunta de: registra cada uno de los datos obtenidos y utiliza diferentes representaciones
(mínimo tres), generó bastante controversias en los estudiantes porque ellos manifestaron que no
sabían que era una representación, sin embargo el ejemplo propuesto por la docente (explicado en
la descripción) permitió que los estudiantes tuvieran una idea más clara de lo que era una
representación, por ejemplo, uno de los grupos representó las alturas de los integrantes a través de
un diagrama de barras (ver figura 9).
Figura 9. Diagrama de barras utilizado por los estudiantes para representar sus alturas.
Otra de las representaciones utilizada por varios estudiantes (dos de los seis grupos) para
representar su altura fue la descomposición, esto se debe a que los estudiantes en años anteriores
(segundo y tercero de primaria) utilizaron la descomposición para caracterizar el valor posicional
(unidades, decenas, centenas) como se puede apreciar en la figura 10, siendo la comprensión del
valor posicional un elemento clave para la comprensión de los números decimales; es importante
apropiarse de diferentes representaciones de un objeto matemático, para comprender mejor el
objeto (Duval, 1999). La docente decide que en el transcurso de la tarea propondrá preguntas a los
estudiantes, que les permitan escribir otras representaciones de su altura, utilizando diferentes
unidades de medida.
55
Figura 10. Representación propuesta por un grupo de estudiantes para describir su altura.
Las siguientes preguntas relacionadas con cuál es el dato mayor y menor (ver figura 11), fueron
desarrolladas fácilmente por los estudiantes porque ellos utilizaron los conocimientos que tienen
sobre los naturales para dar respuesta al interrogante, posiblemente estas ideas cambien cuando
comparen decimales, porque muchas de éstas comienzan a invalidarse (Ávila, 2008).
Figura 11. Respuesta de un grupo de estudiantes al planteamiento ¿cuál es el dato mayor y menor de los integrantes
del grupo?
Cuando los estudiantes respondieron a la pregunta cuál es el la diferencia entre el más alto y el
más bajo, acudieron a una resta entre números naturales, es importante resaltar que la mayoría de
los estudiantes un 90% comienza hacer explícito el uso de la unidad de medida cuando escriben
sus alturas.
Figura 12. Respuesta de un grupo de estudiantes a la pregunta que indaga sobre la diferencia de la altura entre el más
alto y el más bajo.
En este primer momento de la tarea Comparando alturas y pesos, se puede afirmar que los
estudiantes están utilizando sus conocimientos informales y experiencia para responder las
preguntas, es decir que sus procesos reposan en el campo de los números naturales, por lo tanto
sus respuestas muestran aspectos del nivel situacional.
Desde lo propuesto por la EMR la clase se nutre a partir de las producciones e interacciones entre
los estudiantes, y aunque se tenían unas preguntas propuestas desde el inicio de las tareas, éstas se
56
van retroalimentando a partir de las interacciones entre estudiantes y profesora, como se puede
apreciar en el siguiente diálogo.
- Profesora: ¿Según lo que acabas de decir Juan Camilo tu altura es de 137 cm?
- Estudiante Juan; Si, profe.
- Profesora: ¿y miraron los milímetros?
- Grupo de estudiantes: nooooo
- Estudiante Juan: se nos olvidó.
- David: Profe, ¿son necesarios? ¿Cambia el orden y la respuesta?
- Profesora: No lo sé, tendrían que mirarlo ustedes.
- Los estudiantes se miren entre sí, con gesto de duda.
- Estudiante Santiago: yo no creo que cambie en nada [dice Santiago mirando a todos sus
compañeros], porque los milímetros son muy pequeños.
- Estudiante Henry: si cambia, o bueno eso creo yo, por eso están en el metro [muestra con su
dedo un milímetro del metro]
- Profesora: ¿qué opinan cómo solucionamos lo de los milímetros?
- David: Midiéndonos, y volviendo a revisar las alturas de todos.
Esta interacción entre los estudiantes y la profesora posibilitó que los estudiantes comenzarán a
pensar en la unidad de medida milímetros (ver figura 13) que no había sido contemplada
inicialmente en algunos grupos, esta representación acude a un nivel de comprensión más
referencial, porque la respuesta da cuenta de la situación particular, la medida, siendo está
caracterización de las unidades de medida fundamental para la comprensión de los números
decimales.
Figura 13. Representación de la altura utilizando diferentes unidades de medida.
Las discusiones entre algunos grupos de trabajo posibilitaron que los estudiantes escribieran sus
alturas utilizando diferentes unidades de medida (metros, decímetros, centímetros y milímetros),
lo que facilitó la aparición de cantidades equivalentes (ver figura 14), cuando la docente pregunta
a los estudiantes sobre sus procesos se evidencia que utilizaron la coma para separar la parte entera
de la que no lo era, dependiendo de la unidad de medida utilizada, por ejemplo, ellos afirmaban
que colocaban la coma después del número uno cuando estaban midiendo con metros, porque
había un metro completo y lo que sobraba no alcanzaba a ser otro metro.
57
Figura 14. Equivalencias propuestas por un grupo de estudiantes para representar la altura de uno de sus compañeros.
De manera paralela, otro grupo de estudiantes planteó una tabla similar a la que habían utilizado
en años anteriores para comprender el valor posicional (centenas, decenas y unidades) y en ésta
ubicaron la altura de uno de los estudiantes, para después plantear cantidades equivalentes, es
importante que los estudiantes caractericen el valor posicional en los decimales, para
posteriormente establecer relaciones con las fracciones (Pontón,2008), siendo este uno de los
propósitos de la investigación
Figura 15. Tabla propuesta por un grupo de estudiantes para representar la altura.
De los seis grupos de trabajo tres utilizaron la coma para representar de diferentes maneras la
altura, por lo tanto se puede afirmar que caracterizaron y comprendieron los números decimales
desde el valor posicional, al establecer relaciones entre las diferentes unidades de medida y al
comprender que esta coma separa la parte entera del decimal. Además, los estudiantes propusieron
diferentes relaciones entre las unidades de medida, como un decímetro es equivalente a diez
centímetros, un centímetro a diez milímetros y algunos de estos estudiantes encontraron la misma
relación entre unidades, décimas, centésimas o milésimas, estas relaciones que establecieron los
estudiantes muestran que la actividad de la medición es un buen pretexto y oportunidad para
introducir la coma decimal (Centeno, 1988) y los resultados encontrados dan cuenta de este avance.
En términos generales en esta actividad de la altura, se encuentra que alrededor de la tercera parte
de los estudiantes propuso que la coma podría ir ubicada en cualquier parte del número, y sigue
58
representando la altura del estudiante, otro grupo de estudiantes un 15% planteó que la coma
siempre debe utilizarse cuando se van a representar los milímetros, haciendo énfasis en que esto
pasa porque representa una parte muy pequeña y otro grupo de estudiantes, el 50% propusieron
que la coma se ubica según la unidad de medida que se esté utilizando. Por esta razón, es posible
afirmar que las diferentes respuestas de los estudiantes tienen elementos que corresponden desde
la matematización vertical a un nivel de comprensión referencial, porque las estrategias propuestas
son particulares a la situación. Es relevante resaltar, que aunque la tarea no tenía el objetivo de que
los estudiantes establecieran relaciones entre los números decimales y las fracciones, estas
relaciones surgieron en dos de los seis grupos, como se puede apreciar en el siguiente diálogo:
- Estudiante Alejandro: Profe, es que tenemos una pregunta. [Estudiante levanta la mano para
llamar a la docente]
- Profesora: Cuéntenme.
- Estudiante Luis: Lo que pasa es que estábamos buscando más representaciones iguales [señala
con su dedo las representaciones que tienen en el cuaderno] y creo que encontramos una.
- Profesora: ¿Iguales en qué?
- Estudiante Luis: iguales, mmmm.
- Estudiante Alejandro: Por ejemplo, un metro es igual a cien centímetros.
- Profesora: Ah bueno, teniendo en cuenta eso, ¿qué otra representación encontraron?
- Estudiante Alejandro: nosotros decimos que 1 sobre cien, es lo mismo que 0,01. Pero no
sabemos si funciona, porque uno es un número decimal y el otro una fracción [señala el
cuaderno].
- Profesora: ¿Y qué hicieron para decir que esos dos números eran iguales?
- Estudiante Sebastián: Yoooo quiero explicar.
- Estudiante Alejandro: mmm, bueno explica.
- Estudiante Sebastián: nosotros decimos que si queremos escribir centímetros como una
fracción, es 1 sobre cien.
- Estudiante Alejandro: si es uno sobre cien.
- Estudiante Sebastián: Porque, en un metro caben cien centímetros, nosotros los contamos [saca
el metro y señala en este]
- Estudiante Alejandro: entonces, como vimos el año pasado el número se lee un centeseavo, que
es lo mismo que 0,01.
- Profesora: ¿por qué es lo mismo que 0,01?
- (los estudiantes se quedan en silencio, hasta que Santiago levanta la mano)
- Profesora: ¿tú qué crees Santiago?
- Estudiante Santiago: Profe mmmm yo creo que es igual, porque centeseavos son parecidos a los
centímetros, por eso hay dos ceros, porque representan el cien.
En cuanto al cuestionamiento del promedio, en un primer momento los estudiantes asociaron la
pregunta a contextos cercanos como la altura o las notas del boletín, como se puede apreciar en el
siguiente diálogo.
- Profesora: ¿Cuánto les dio el promedio de este grupo?
- Estudiante Emiro: es que no estamos seguros, de lo que es promedio.
59
- Estudiante Sebastián: creemos que promedio es… es que no sé cómo explicarlo [mira a sus
compañeros con expresión de que está confundido].
- Profesora: ¿por qué es difícil explicarlo?
- Estudiante Kevin: porque... no sabemos qué es
- Profesora: entonces, díganlo con un ejemplo.
- Estudiante Emiro: Yo lo explico.
- Profesora: Cuéntanos.
- Estudiante Emiro: pues nosotros decíamos que por ejemplo, en el boletín aparece el promedio de
todas las materias.
- Profesora: ¿y eso que quiere decir?
- Estudiante Samuel: pues mmm no sé. Kevin sabe.
- Estudiante Kevin: mmm no yo no sé, bueno voy a explicar. Cuando estábamos hablando decíamos
que si el promedio del boletín decía que era 9.5, no en todas las materias se había sacado 9,5, pero
mmmm en la mayoría se había sacado esa nota, por eso era el promedio.
- Profesora: ¿Y qué pasa si en varias materias no tiene la misma nota?
- Estudiante Emiro: mm no sabemos.
- Profesora: bueno, sigan trabajando y piensen la pregunta que les acabe de hacer.
Esta interacción entre el grupo y la profesora muestra que los estudiantes asociaron inicialmente
la palabra promedio con situaciones cotidianas, por ejemplo, realizaban afirmaciones como el
promedio de los integrantes del grupo es alrededor de 1 metro con 40 centímetros, porque todos
los estudiantes se acercaban a esta medida o mi promedio el periodo pasado fue de 8 porque no
me fue muy bien en algunas materias. Por otra parte dos grupos de trabajo (33% de los estudiantes)
dedujeron que sumando todos los datos y dividiendo por la cantidad de datos que sumaron (ver
figura 16) podrían encontrar el promedio de la altura, esto lo lograron porque habían indagado en
casa cómo encontrar el promedio o lo relacionaron con el proceso de autoevaluación que hacen
periodo a periodo que consiste en sacar una nota de su comportamiento y convivencia.
Figura 16. Procedimiento matemático propuesto por uno de los grupos para hallar el promedio de la altura.
Este último procedimiento propuesto por dos grupos de trabajo, tiene aspectos y elementos relacionados
con un nivel de comprensión general, porque los estudiantes identificaron que siempre que querían hallar
el promedio de algunas cantidades lo que tenían que hacer era sumar todos los datos y dividir este resultado
por el número de datos sumados, además de este procedimiento matemático las frases o expresiones de los
estudiantes mostraban la comprensión que tenían del promedio desde situaciones cotidianas. Es
60
importante precisar, que aunque esta pregunta no aporta directamente a la comprensión del orden
y la equivalencia de las fracciones, es interesante mostrar las estrategias utilizadas por los
estudiantes, frente a un objeto que es nuevo para los ellos (promedio), además la pregunta
posibilitó que los estudiantes sumaran decimales desde la caracterización del valor posicional,
porque es la comprensión del valor posicional el que contribuye a la comprensión de las relaciones
y representaciones dentro del sistema decimal (Godino, Cid y Batanero, 2004).
Finalmente el espacio de socialización permitió que los estudiantes conocieran los procesos de sus
compañeros sin categorizar que lo que estaban haciendo estaba bien o mal, sino por el contrario
las interacciones entre ellos les mostró que habían varias maneras de solucionar las preguntas y les
dejó inquietudes, como el uso de la coma en un número decimal y como ordenar números cuando
son decimales.
4.2.2 Segundo momento
Descripción. Como se había explicado al inicio, en la institución educativa se trabajan con guías
de aprendizaje y algunas de las preguntas o actividades desarrolladas durante esta investigación se
encuentran en este documento, para facilitar en los estudiantes la lectura. Inicialmente la docente
propone a los estudiantes que individualmente lean, analicen y resuelvan la siguiente situación:
Después de la lectura, los estudiantes comenzaron a buscar de manera individual estrategias para
solucionar el planteamiento, dentro de las inquietudes estaban preguntas como ¿qué es la
gravedad? o ¿qué operación debemos hacer con el número 2,5 y nuestro peso? muchas de las
preguntas propuestas y planteadas por los estudiantes hacía la docente, se enfocaban en si debían
sumar, restar, multiplicar o dividir el número 2,5 con su peso, esto muestra que generalmente
cuando los estudiantes se enfrentan a una situación problemática operan sin llegar a comprender
el cuestionamiento del problema. La docente al evidenciar que varios estudiantes tenían dudas en
relación a lo que significa gravedad, decide explicarles diciéndoles que la gravedad es la fuerza
que los planetas ejercen sobre todos los cuerpos hacia su centro y que por esta razón no flotábamos
¿SABÍAS QUE? Se han realizado diferentes investigaciones que muestran que el peso cambia cuando nos
encontramos en diferentes planetas y esto se debe a que la aceleración de la gravedad es diferente en cada uno,
por ejemplo en el planeta Júpiter el peso de los objetos y personas es 2, 5 veces más grande. Teniendo en cuenta
esta información calcula el peso que tendrías si estuvieras en Júpiter.
61
en la Tierra; el ejemplo propuesto por la docente motivó a los estudiantes a participar y a
relacionarlo con una temática que habían abordado en clases anteriores en Ciencias Natural, esta
relación que encontraron los estudiantes entre Matemáticas y Ciencias da cuenta del principio de
interconexión propuesto por la EMR. Al finalizar esta sesión, los estudiantes sugieren que para la
siguiente clase es oportuno traer una balanza para tener las medidas exactas de todos los pesos de
los estudiantes y sugieren entre ellos traer una báscula digital, para poder obtener una medida más
precisa, con números decimales.
Al inicio de la siguiente sesión, los estudiantes tomaron su peso en pequeños grupos, la docente
hace la salvedad de que los estudiantes que no se sientan cómodos con la actividad no deben
hacerlo, sin embargo todos lo hicieron; aunque ellos habían recomendado traer una báscula digital
ninguno la pudo llevar a la institución, por esta razón la medida se realizó con una báscula manual.
Dado que los estudiantes ya habían leído y explorado la situación la sesión anterior, la docente les
solicita que se reúnan en pequeños grupos de trabajo y que expliquen a sus compañeros lo que
habían explorado anteriormente, de tal manera que al final de la sesión llegarán a una solución
conjunta como grupo.
Después de que los estudiantes trabajaron en los pequeños grupos, se evidenció que en varios
surgieron estrategias que les permitieron hallar su peso en Júpiter y de esta manera encontrar una
representación equivalente a su peso inicial. Finalizado el proceso de socialización algunos
estudiantes pasaron al tablero y explicaron la manera en que resolvieron la pregunta, durante esta
explicación, algunos comenzaron a reflexionar sobre lo que habían realizado porque se dieron
cuenta que algunos elementos de la situación no habían sido interpretados adecuadamente, son
estas reflexiones las que muestran que la interacción entre los estudiantes ayudan alcanzar niveles
más elevados de comprensión, además es a partir de estas interacciones que los estudiantes crean
sus trayectorias de aprendizaje (Bressan, et al., 2004).
Finalmente esta actividad de Júpiter, generó gran interés en los estudiantes por investigar los
cambios que experimentaban en su peso cuando estaban en otros lugares, por eso muchos de ellos
alrededor de un 80% investigó su peso en otros planetas y satélites, como en la Luna y Marte.
62
Finalmente, en esta primera tarea la docente propone a los estudiantes dos situaciones
problemáticas, las cuáles son exploradas en grupos. La primera es el análisis de una situación en
un Zoológico, como se propone a continuación:
Y en segundo momento la docente propone a los estudiantes las siguientes preguntas: ¿qué número
es mayor 1
2 o
1
3 ?, ¿qué número es mayor 1,4 o 1,35?, ¿cuántos números hay entre
1
2 y
1
3 ?
En términos generales en la actividad del Zoológico, algunos estudiantes tenían dudas porque no
sabían cómo realizar las conversiones entre las diferentes unidades de medida, pero poco a poco a
partir de las interacciones en el grupo establecieron y caracterizaron las unidades de medida. En
las preguntas del segundo momento no se tienen demasiadas evidencias de las respuestas de los
estudiantes, porque la mayoría de estas preguntas fueron respondidas oralmente, sin embargo en
los dos primeros cuestionamientos (¿qué número es mayor 1
2 o
1
3 ?, ¿qué número es mayor 1,4 o
1,35?) varios grupos respondieron a partir de las ideas que utilizaron en el contexto de la altura y
el peso, la pregunta tres (¿cuántos números hay entre 1
2 y
1
3 ?) generó bastantes inquietudes en los
estudiantes porque para varios estudiantes la pregunta no tenía sentido, ya que era imposible que
La familia Ramírez se encuentra en el Zoológico de Santa Cruz ubicado en San Antonio del Tequendama en
Cundinamarca, para celebrar en familia el cumpleaños de Jorge, el hijo menor de la familia. Cuando llegan al
Zoológico les entregan el siguiente mapa.
La familia Ramírez quiere comenzar por la visita a los caballos, ¿Cuál es el camino que la familia debería escoger
si quiere tomar el camino más corto?
63
hubieran más números. Uno de los grupos afirmó que habían infinitos números, porque al dibujar
1
2 y
1
3 con líneas hay un espacio entre el primer y segundo número y en este espacio hay muchos
números.
Con estas dos situaciones se da por finalizada tarea 2: Comparando alturas y pesos; la docente les
recuerda a los estudiantes que deben traer para la siguiente sesión paquetes vacíos de los alimentos
que consumen con frecuencia (todo rico, choclitos, papas, entre otros).
Análisis preliminar y toma de decisiones. En primera instancia, es importante resaltar que la
actividad de Júpiter motivó a los estudiantes a investigar sobre los cambios que experimentaba su
peso si se encontraban en otros planetas o satélites y fomentó la investigación, porque la mayoría
de los estudiantes consultaron la diferencia entre el peso y la masa y lo que significaba fuerza de
gravedad. Desde lo expuesto por Freudenthal (2001) el aprendizaje se debe mostrar a los
estudiantes desde la interconexión, de tal manera que ellos vean el conocimiento como un todo y
no como fragmentos de contenido, esto se evidenció en los diferentes grupos de trabajo porque los
estudiantes relacionaron sus estrategias con aspectos que habían abordado en Ciencias Naturales.
Además de manera implícita los estudiantes establecieron relaciones entre las fracciones y los
números decimales, por ejemplo, ellos identificaron que un kilómetro es equivalente a mil metros
y que ésta relación se mantiene cuando piensan en metros y milímetros.
Dentro del proceso de medición de la magnitud peso, hubiera sido interesante realizar la medición
con una báscula digital como lo manifestaron varios estudiantes, porque esto permitiría tener una
medida más precisa, al escribir el peso con números decimales. En el desarrollo de este punto,
aparecieron múltiples estrategias de los estudiantes, por ejemplo dos de los grupos sumaron 2,5 a
su peso (ver figura 17), esta estrategia muestra que los estudiantes no reconocen que para sumar
dos cantidades estas deben ser semejantes, de allí que sus razonamientos reposen en los números
naturales (Categoría 1).
Figura 17. Estrategia planteada por un grupo de estudiantes para hallar el peso en Júpiter.
64
Otro de los grupos halló el doble de cada uno de los pesos de los integrantes del grupo y luego
sumo una unidad, que corresponde al doble de 0,5 como se puede apreciar en la explicación
entregada por los estudiantes en la figura 18. Esta manera de proceder se relaciona con un nivel
referencial porque el procedimiento propuesto está ligado al contexto de la medida,
evidenciándose que los estudiantes caracterizan los decimales, desde la comprensión de la parte
entera y la decimal.
Figura 18. Explicación de un grupo de estudiantes para hallar el peso en Júpiter.
Finalmente, tres grupos que corresponden al 50% de los estudiantes proponen que para hallar el
peso en Júpiter deben hallar la mitad y el doble de su peso y sumar estos dos resultados, ellos
explican que esto se debe hacer porque el dos corresponde al doble, mientras que el cinco que está
después de la coma representa la mitad, porque equivale a 5 décimas (ver figura 19); este grupo
de estudiantes encuentra adecuadamente una representación equivalente a su peso.
Figura 19. Respuesta de un grupo de estudiantes al planteamiento de Júpiter.
65
La estrategia propuesta por el anterior grupo muestra características y elementos de un nivel
general, porque en el debate al interior de éste, los estudiantes afirmaron que para hallar el peso
de cualquier persona u objeto en Júpiter se debe hallar el doble y la mitad y después sumar estos
dos resultados, que corresponde a dos veces y media más grande. Además, la situación permitió
que los estudiantes encontrarán una cantidad equivalente a su peso, siendo esto uno de los
fundamentos de la investigación, porque la idea de equivalencia es comprendida cuando se utilizan
diferentes representaciones para referirse a un número (Konic, Godino y Rivas, 2010).
Antes de comenzar con el segundo momento, la docente solicita a algunos estudiantes que
socialicen lo que habían realizado, con la finalidad de discutir los procesos encontrados y conocer
las producciones de sus compañeros. Dentro de esta dinámica varios estudiantes reflexionaron
sobre sus procesos, porque se dieron cuenta que algunos elementos no fueron considerados dentro
de la estrategia propuesta o que habían realizado una interpretación diferente al número decimal
(2,5), este hecho muestra que la interacción es clave para que los estudiantes alcancen niveles de
comprensión más elevados (Alsina, 2009). El siguiente diálogo muestra una parte de la interacción
que se generó en el aula, cuando uno de los estudiantes estaban explicando cómo hallar el peso en
Júpiter:
- Estudiante Luis: Para que entiendan mejor. El peso que tienes lo sumas con el mismo número, por
ejemplo 35, pues 35 más 35 (va realizando las operaciones en el tablero).
- Estudiante Mateo: es decir el doble.
- Estudiante Luis: Ahora con el peso, 20 + 20 es igual a 40, es la misma cosa que 20 por dos. Pero
entonces lo que hacemos es como
- Estudiante Samuel: Pues la mitad de 10.
- Varios estudiantes: 5
- Estudiante Luis: Muy bien, esto es lo que es 0,5, porque ese cinco representa la mitad, o sea. En fin
a lo que estoy llegando es que cuando ustedes tengan cero coma cinco o cero como algo sólo súmenlo.
Todos los estudiantes comienzan a murmullar.
- Profesora: Un momento, si tienen preguntas las hacemos al final y en orden. Terminemos de escuchar
a Cruz.
- Estudiante Luis: si es que yo no he terminado, es que estaba explicando el 0,5, que siempre es la
mitad de algo.
- Estudiante Lorenzo: entonces, ¿qué hacemos con ese 0,5?
- Estudiante Luis: pues el doble de 0,5 ¿cuánto es?
- Grupo: Uno.
- Estudiante Luis: Entonces el peso es 41, porque le sumamos uno al resultado anterior.
- Estudiante Sebastián: Profe, ¿entonces está bien o está mal lo que hizo Cruz?
Murmullos
- Profesora: No vamos a decir si está bien o está mal, sólo quiero que analicen y miren lo que hizo Luis.
¿Qué cosas son importantes? Pedro
- Estudiante Pedro: por ejemplo, el doble, siempre es el doble.
66
- Profesora: Samuel, cuéntanos.
- Estudiante Samuel: o que 0,5 siempre va a representar la mitad, aunque no creo que se sume.
- Profesora: ¿Por qué?
- Estudiante Samuel: no sé pero esta raro.
- Estudiante Juan: yoooooooo.
- Profesora: ¿Qué paso Juan?
- Estudiante Juan: Lo que pasa es creo que yo lo hice diferente, puedo pasar a explicar.
- Profesora: Sii pasa.
- Estudiante Juan: Yo pesó 32, 32 por 2 (escribe en el tablero la operación) igual a 64.
- Estudiante Alejandro: Si.
- Estudiante Juan: Tomó la mitad de 32, que es 16 y se la sumo a 64 y entonces esto es igual a…
- Estudiante Alejandro: 80
- Estudiante Juan: Siii 80 kilogramos.
- Estudiante Samuel: O sea Giraldo si lo hizo bien, porque 0,5 es la mitad.
- Estudiante Alejandro: Si está bien.
La última parte de la interacción anterior, muestra que los estudiantes comienzan a cambiar su
mirada frente al problema, porque se dan cuenta a través de la interacción con sus compañeros que
las ideas iniciales no son adecuadas, esto no quiere decir que los estudiantes decían que lo que
hicieron está mal, sino que ellos mismos al reflexionar sobre sus respuestas comenzaban a validar
su proceso. Desde la perspectiva de la EMR, esto hace parte del proceso de enseñanza-aprendizaje
de cada estudiante, porque a través de la interacción entre pares y la reinvención guiada de la
docente los estudiantes avanzan en la comprensión de la situación.
Frente a la situación del Zoológico, los estudiantes asociaron los procesos que habían realizado en
la actividad de medición (desarrollada sesiones anteriores) con este planteamiento, estableciendo
relaciones entre las diferentes unidades de medida del metro (múltiplos y submúltiplos). Alrededor
del 50% de los estudiantes realizó conversiones entre las unidades de medida y la gran mayoría de
éstos acudieron a una tabla (ver figura 20) para comparar las cantidades y determinar el camino
que debería tomar la familia Ramírez, es decir, los estudiantes utilizaron sus conocimientos y
herramientas matemáticas para resolver y abordar la situación.
El uso de la tabla para representar y ubicar las distancias del Zoológico y posteriormente realizar
la suma, muestra la caracterización que han hecho los estudiantes de los números decimales desde
los múltiplos y submúltiplos del metro, es decir, que este grupo de estudiantes entiende que para
comparar decimales se necesita comprender el valor posicional cuando la cantidad es menor a uno
(categoría 3), además los procesos muestran elementos del nivel de comprensión general porque
los estudiantes afirman que la tabla la pueden utilizar para sumar cualquier número decimal.
67
.
Figura 20. Estrategias utilizadas por los estudiantes para encontrar el camino más corto en la situación del Zoológico.
Por otra parte, uno de los grupos no justificó la respuesta sino que solamente escribió cual
consideraba que era el camino más corto y los dos grupos restantes sumaron las medidas como
suman los naturales (figura 21), es decir, no tuvieron presente la coma y la unidad de medida
utilizada en cada distancia, por lo tanto sus procesos se encuentran bastante arraigados a los
números naturales (categoría 1), de allí que no logren identificar adecuadamente el camino más
corto.
Figura 21. Proceso realizado por los estudiantes para hallar el camino más corto.
En las últimas preguntas de esta segunda tarea, se evidenció que los estudiantes utilizaron la
caracterización que han hecho sobre los números decimales, para realizar inferencias sobre estos
números y responder a los cuestionamientos. En la pregunta de ¿cuál es mayor 1
2 o
1
3 ? un grupo de
estudiantes se remitió al contexto de la medida para dar respuesta al planteamiento (ver figura 22),
esta respuesta muestra que los estudiantes reconocen que las dos fracciones deben tener la misma
unidad de medida para ser comparadas (categoría 2), en este caso, la unidad de medida propuesta
es el metro (los estudiantes representan este metro con una cinta métrica). Luego de la
representación gráfica los estudiantes compararon la cantidad de centímetros que hay en cada
68
fracción, para posteriormente decidir cuál es la mayor; los estudiantes deben aprender a elegir el
mejor sistema de representación para resolver una situación problema (Duval, 2006), en este caso,
la representación gráfica de una situación que habían explorado anteriormente les permitió dar
respuesta al cuestionamiento.
Figura 22. Estrategia utilizada por un grupo de estudiantes para responder ¿cuál es mayor 1
2 o
1
3?
En términos generales, todos los estudiantes identificaron que 1
2 es mayor que
1
3, la mayoría lo hizo
desde contextos cotidianos, un ejemplo de esto, es que uno de los grupos afirmó que si se tenían
dos manzanas y la primera se dividía en dos partes iguales y la segunda en tres pedazos iguales,
comían más las personas que tomarán un pedazo de la primera manzana, es decir de la que se había
dividido en dos partes, infiriendo de esta manera que 1
2 era la fracción mayor.
Finalmente, en la pregunta ¿cuántos números hay entre 1
2 y
1
3 ? el 60% de los estudiantes afirmó
que no había ningún número entre estas dos fracciones, porque entre el número dos y el número
tres no existía ningún número, estas ideas muestran que los estudiantes al comparar fracciones
analizan una de las partes de ésta, ya sea el numerador o el denominador (categoría 1), por esta
razón los estudiantes no encontraron un número que estuviera en medio de las dos fracciones
(Maza, 1999). El otro grupo de estudiantes (40%) planteó que habían infinitos o millones de
números entre 1
2 y
1
3 como se puede apreciar en la figura 23, cuando la docente indagó sobre las
respuestas de los estudiantes encontró que ellos utilizaron una representación gráfica (un
segmento), para decir que habían infinitos números, además en uno de los grupos hicieron el
símbolo de infinito asociándolo a una pregunta que habían visto anteriormente.
Figura 23. Respuesta de un grupo de estudiantes a la pregunta ¿cuántos números hay entre 1
2 y
1
3?
69
4.3 Tarea 3: ¿Qué están representando los números que dan la información nutricional de
un alimento?
Tarea 3: Los estudiantes analizan en pequeños grupos la información nutricional de diferentes alimentos
que consumen diariamente; la docente les plantea preguntas relacionados con los nutrientes para que
comprendan los problemas de salud que se presentan cuando estos paquetes no se consumen con
precaución.
Propósito: La intención de esta tarea es que los estudiantes al analizar la información nutricional de varios
paquetes, logren establecer relaciones entre las diferentes representaciones de las fracciones
(notación fraccionaria, notación decimal y porcentaje). De igual manera que realicen comparaciones entre
los ingredientes, para determinar cuáles son los más perjudiciales para la salud.
Tiempo: 3 sesiones.
Descripción. El primer momento de esta tarea se desarrolla de manera individual, inicialmente los
estudiantes leyeron la siguiente situación 5 y respondieron las preguntas planteadas para esta tarea.
Después de que los estudiantes respondieron las preguntas, se realizó una socialización para que
expusieran a sus compañeros las respuestas; en términos generales ellos manifestaron que no
sabían que el sobrepeso era una problemática social y propusieron que una buena solución era
informar a todas las personas sobre los alimentos que son dañinos para el cuerpo y la salud, para
que éstos no fueran consumidos con frecuencia, además los estudiantes indicaron la importancia
de hacer ejercicio y buscar una alimentación adecuada para bajar o mantener el peso. De igual
5 La problemática se toma del artículo de Patricia Savino titulado “Obesidad y enfermedades no transmisibles
relacionadas con la nutrición” de la Revista Colombiana de Cirugía en el año 2011.
Los estudiantes de grado quinto se encuentran leyendo el periódico y una de las noticias que más le llamo la
atención, es una que tiene que ver con el tema de la mala alimentación y la obesidad, en este artículo se describe
como el tema del sobrepeso y de la obesidad en la población se considera un problema grave de salud pública.
Uno de los estudiantes lee el siguiente párrafo en la clase “Actualmente en el mundo existen cerca 1.600
millones de adultos con sobrepeso, de los cuales 400 millones son clínicamente obesos. Además es preocupante
registrar la alta incidencia de obesidad en niños, ya que 20 millones de menores de cinco años se encuentran en
sobrepeso. En el caso de Colombia, según la Encuesta de la Situación Nutricional, realizada en el 2005 por el
Instituto Colombiano de Bienestar Familiar, existe sobrepeso y obesidad en 46 % de la población adulta”
PREGUNTAS
* ¿Crees que en Colombia se han implementado estrategias para resolver este problema? Si crees que es así
¿cuáles?
* Si nosotros pudiéramos aportar en la solución de este problema social, ¿cuáles crees que son los aspectos o
características que se deberíamos analizar?
* ¿Qué relación encuentras entre las personas que actualmente en el mundo sufren de sobrepeso y las personas
que clínicamente son obesas?
* ¿Qué significa que un 46 % de la población adulta en Colombia sufra de obesidad y sobrepeso?
70
manera, en este pequeño debate los estudiantes expusieron algunos casos que habían escuchado
sobre obesidad, por ejemplo que en Estados Unidos muchas personas sufren de sobrepeso porque
no se alimentan de manera adecuada con frutas y verduras, sino que por el contrario consumen
mucha comida chatarra o ligera; otro de los casos expuesto, por un estudiante fue que en México
había una persona que pesaba más de 500 kilógramos y que por esta razón no podía realizar
ninguna clase de ejercicio ni de actividad física. Los diferentes ejemplos permitieron que los
estudiantes entendieran que la obesidad o sobrepeso, no se refería a la estética de ser feo o bonito,
sino que era un problemática que afectaba la calidad de vida de las personas.
Terminada esta socialización los estudiantes se organizaron en grupos de cuatro personas (cinco
grupos de 4 estudiantes y uno de cinco estudiantes), organizados de esta manera los grupos miraron
la información nutricional que aparecía en cada uno de los paquetes, para seleccionar los paquetes
que serían analizados (ver figura 24). Dentro de este proceso de selección la docente indicó a los
estudiantes que escogieran los tres paquetes que más información brindaran, porque en algunos de
estos paquetes aparecía el cero en varios o todos los nutrientes, con esta aclaración cada uno de los
grupos seleccionó tres o más paquetes.
Figura 24. Grupo de estudiantes analizando la información nutricional de los alimentos.
71
En un primer momento, la docente permitió que los estudiantes explorarán cada uno de los
paquetes seleccionados, a partir de esta exploración ellos comenzaron a preguntar sobre lo que
significaba calorías, proteína, grasas, colesterol, sodio, potasio y demás nutrientes (ver figura 25);
la docente al evidenciar que todos los estudiantes tenían las mismas inquietudes (nutrientes y
calorías) generó un espacio para discutir sobre estos aspectos mencionados. De manera general, la
docente-investigadora aclaró en la discusión aspectos como: en que alimentos están presentes estos
nutrientes, cuál es la función de estos nutrientes en el cuerpo y cuál es la cantidad mínima o
máxima de calorías que debía ser consumida diariamente.
Figura 25. Estudiante analizando la información nutricional de un paquete.
Este espacio de discusión dejó en los estudiantes bastantes dudas (¿por qué aparece el nombre de
varias grasas en los paquetes?, ¿sólo los paquetes tienen la información nutricional o todos los
alimentos lo tienen?, ¿por qué en algunos paquetes aparecen números decimales y en otros
porcentajes?) por esta razón los estudiantes decidieron que para la siguiente clase investigarían en
casa o con la profesora de Ciencias Naturales las dudas que habían quedado. Teniendo en cuenta
esto, en la siguiente sesión los estudiantes y profesora continuaron hablando sobre la información
nutricional de los paquetes, los aspectos más relevantes fueron: existen muchas clases de grasa,
algunas de estas son buenas para la salud (desde que se consuman con responsabilidad y en los
parámetros establecidos) y las otras grasas son perjudiciales, por esta razón en los paquetes aparece
que la grasa trans es cero.
La docente al evidenciar que los estudiantes estaban confundidos porque en todos los paquetes no
aparecían los mismos nutrientes, les propone que sólo analicen los siguientes nutrientes: las
calorías, la grasa total, el sodio, el azúcar y proteína, después de esta aclaración la docente le
formula a los estudiantes las siguientes preguntas o indicaciones: ¿qué clase de números aparecen
en la tabla nutricional?, ¿los números que aparecen en la información nutricional todos están
72
escritos de la misma manera?, si no es así, ¿en qué se diferencian?, compara los nutrientes de los
paquetes y ordena estos paquetes del más saludable al más perjudicial para la salud.
Estas preguntas, permitieron que la mayoría de los estudiantes (80%) establecieran relaciones entre
las fracciones y los números decimales y que al final de la tarea dedujeran porque algunos
alimentos eran más perjudiciales que otros, reconociendo la importancia de alimentarse
adecuadamente.
Análisis y toma de decisiones. Las respuestas en las primeras preguntas dan cuenta de que los
estudiantes acuden a la experiencia y al sentido común para responderlas, por ejemplo en la
primera pregunta (¿crees que en Colombia se han implementado estrategias para resolver este
problema? Si crees que es así ¿cuáles?) casi todos los estudiantes (90%) afirmaron que no había
escuchado nada de este problema en Colombia (figura 26), pero que habían oído de personas en
otros países que sufrían de esta enfermedad, como se evidencia en el siguiente diálogo.
Figura 26. Respuesta de un grupo de estudiantes a la primera pregunta de la Tarea 3.
- Estudiante Juan David: En el 2011 murió un señor de México que pesaba 505 kilogramos, no
podía caminar así que lo amarraron a la cama y para desplazarlo de un lugar a otro utilizaban una
grúa.
- Estudiante Luis: Ahhh siii yo también vi ese documental.
- Estudiante Emiro: debe ser muy feo pesar tanto, porque uno no se puede mover a ningún lugar,
además que se debe sentir triste porque no puede hacer nada.
- Estudiante Joshua: yo tengo una pregunta, profeeee.
- Profesora: Cuéntanos.
- Estudiante Joshua: si existe la enfermedad del sobrepeso, también existe la enfermedad de
delgadez.
- Profesora: si debe existir, tendríamos que investigar más sobre esto, pero creo que se llama
anorexia o bulimia.
- Estudiante Joshua: bueno profe, voy a investigar y le cuento a todos.
(Estudiantes comentan entre ellos el cuestionamiento propuestos por el estudiante Joshua)
- Profesora: bueno, los que quieran indagar sobre la pregunta que dijo Joshua lo pueden hacer y la
siguiente sesión la hablamos. Sigues Juan, tú nos quieres contar algo.
- Estudiante Juan: si es que yo vi la vez pasada que muchas personas en Estados Unidos y México
son gordas porque no comen bien, y por eso se enferman mucho y en algunos casos llegan a estar
hospitalizados por varios días o semanas o se mueren.
En la pregunta dos (Si nosotros pudiéramos aportar en la solución de este problema social,
¿cuáles crees que son los aspectos o características que se deberíamos analizar?) todos los
73
estudiantes escribieron y expusieron en la socialización la importancia de alimentarse
saludablemente y realizar actividad física, lo que se observa en la figura 27 y la siguiente
interacción entre la docente y los estudiantes.
Figura 27. Respuesta de un grupo de estudiantes a la pregunta dos de la Tarea 3.
- Estudiante Juan: una buena estrategia es aumento los precios de las alimentos y comidas que
tienen muchas grasas, para que las personas no puedan comprarlo mucho.
- Profesora: ¿qué piensan los demás de lo que propone Chivita? Luis cuéntanos.
- Estudiante Luis: yo creo que no serviría porque igual las personas van a conseguir el dinero, lo
van a comprar y se los van a comer.
- Estudiante Juan: pero aumentar mucho, por ejemplo si un perro caliente cuesta un millón de pesos
nadie lo va a comprar.
- (estudiantes murmullan entre ellos diciendo que es muy exagerado que cueste tanto dinero un perro
caliente)
- Profesora: ¿pero si dejamos de comer sólo perros calientes ya se habría solucionado el problema
del sobrepeso?
- Estudiante Juan: mmm no, tendríamos que dejar de comer muchas cosas, que nos hacen daño y
tienen mucha grasa (mira a sus compañeros, con cara de asombro).
En la pregunta tres (¿Qué relación encuentras entre las personas que actualmente en el mundo
sufren de sobrepeso y las personas que clínicamente son obesas?) las respuestas de los estudiantes
se relacionan con aspectos cualitativos, cuando afirman que los dos grupos son gordos (ver figura
28), que los dos grupos de personas se deben alimentar adecuadamente o que si las personas que
sufren de sobrepeso no se cuidaban podrían llegar a ser obsesos, es importante precisar que la
docente-investigadora deseaba que los estudiantes dedujeran que las personas que clínicamente
son obesas corresponden a la cuarta parte de las personas que sufren de sobrepeso, sin embargo
las respuestas de los estudiantes abordan elementos que no son considerados cuando la respuesta
se enfoca en lo numérico, es decir, cuando sólo se infiere que es la cuarta parte.
Figura 28. Respuesta de un grupo de estudiantes a la pregunta tres de la Tarea 3.
74
Finalmente, en la pregunta 4 (¿Qué significa que un 46% de la población adulta en Colombia
sufra de obesidad y sobrepeso?) todos los estudiantes dedujeron que el 46% es aproximadamente
la mitad de los colombianos; a partir de las afirmaciones de los estudiantes y las diferentes
interacciones entre ellos para responder esta pregunta, se evidenció que hay una caracterización
de la fracción como relación parte-todo, porque interpretaron que todos los adultos Colombianos
corresponden al 100% y las personas que sufren de obesidad o sobrepeso corresponden a una parte
de este cien por ciento (46%). Esta interpretación del porcentaje en los estudiantes tanto
explícitamente e implícitamente, muestra que ellos reconocen la parte y el todo en una situación
cotidiana.
En términos generales, se puede afirmar que cuando los estudiantes se enfrentan a una situación
problemática, acuden a su experiencia y sentido común para resolverla, es decir, que se remiten a
lo que aprendieron en años anteriores y establecen relaciones entre lo que saben y lo que están
indagando, además situaciones cercanas a ellos, se convierten en un referente para responder los
planteamientos propuestos (Alsina, 2009). Es relevante precisar, que estas preguntas se
propusieron con el objetivo de contextualizar a los estudiantes sobre la situación que sería
abordada, y de paso generar inquietudes en los estudiantes para investigar o consultar sobre el
contexto.
Cuando los grupos de trabajo comenzaron analizar la tabla nutricional de los paquetes, escribieron
los gramos que tenían cada uno de los nutrientes, pero al darse cuenta que no les daba mucha
información o que en algunos casos no tenían la misma unidad de medida (gramos o miligramos),
decidieron utilizar otro sistema de representación que les permitiera realizar más inferencias, el
porcentaje (figura 29); cuando un estudiante se está enfrentando a una situación problemática es
importante que relacione muchas maneras de representar los contenidos, y después elija el sistema
de representación que más se adecue a la situación (Duval, 2006). Este primer análisis de la tabla
nutricional, permitió que los estudiantes identificaran que había diferentes representaciones de la
fracción (decimales y porcentajes) que mostraban la cantidad de nutrientes que había en cada
paquete, y ellos tenían que decidir cuál de los dos sistemas facilitaba la comparación entre los
paquetes.
75
Figura 29. Estudiantes escriben la cantidad de gramos o el porcentaje de cada nutriente.
Después de este primer acercamiento a los paquetes, los estudiantes compararon los nutrientes
teniendo en cuenta los porcentajes que se describían en cada uno y en la mayoría de los grupos
(80%) buscaron estrategias para representar los datos, como se pude apreciar en el siguiente
diálogo:
- Estudiante Sebastián: profe podemos hacer el cuadro para representar los porcentajes.
- Profesora: si claro pueden utilizar lo que necesiten. ¿Y qué van a dibujar en el cuadro?
- Estudiante Juan: vamos a colorear los nutrientes, lo íbamos hacer primero con gramos, pero es más
fácil con porcentajes.
- Profesora: ¿por qué es más fácil?
- Estudiante Sebastián: yo quiero explicar.
(Mira a sus compañeros)
- Profesora: dale, explícanos Sebastián.
- Estudiante Sebastián: nosotros vamos hacer un cuadro que tiene cien cuadritos por dentro y
coloreamos cada uno de los nutrientes.
- (siii dicen los estudiantes del grupo)
- Profesora: ¿y por qué cien cuadros por dentro?
- Estudiante Santiago: porque es por ciento y esto quiere decir que el paquete se partió en cien
pedazos.
- Estudiante Luis: si el límite es cien.
- Profesora: ¿Y entonces como colorearon los nutrientes?
- Estudiante Santiago: pues si dice 16%, eso quería decir que de los cien pedazos tenemos que
colorear 16 cuadritos.
En el último planteamiento (compara los nutrientes de los paquetes y ordena éstos paquetes del
más saludable al más perjudicial para la salud) los estudiantes acuden a diferentes
representaciones para poder determinar cuáles son los alimentos más perjudiciales para la salud,
por ejemplo, en dos de los seis grupos propusieron un cuadro como el de la figura 30, esta
representación gráfica posibilitó que los estudiantes compararan los nutrientes de cada uno de los
paquetes, coloreando en cada cuadro con el mismo color los nutrientes iguales, para finalmente
decidir cuál era el más perjudicial.
76
La representación utilizada muestra que para los estudiantes es fácil comparar porcentajes al
interpretar la fracción como relación parte todo, en este caso esta relación se hace de manera
explícita, porque aunque no aparece el 100 % en la fracción, es la unidad de medida utilizada para
comparar los porcentajes (categoría 2), teniendo en cuenta esto se puede afirmar que la manera de
proceder de estos estudiantes se relaciona con el nivel referencial, porque se establecen
comparaciones desde el contexto (tabla nutricional).
Figura 30. Estrategia utilizada por un grupo de estudiantes para representar los nutrientes de los paquetes.
En relación a esta pregunta, otro de los grupos representó los nutrientes utilizando figuras
geométricas (rectángulos, cuadrados), y a partir de estas representaciones dedujeron cuales eran
los paquetes más perjudiciales y las implicaciones que tiene para la salud consumir mucha grasa o
azúcar (ver figura 31), esto muestra que las representaciones gráficas son una herramienta útil para
interpretar y resolver situaciones problemáticas.
Figura 31. Proceso de un grupo de estudiantes para establecer y comparar y determinar los paquetes más perjudiciales.
Bajo esta mirada de la comparación, dos grupos utilizaron diferentes representaciones para escribir
los nutrientes de los paquetes como se aprecia en la figura 32, en esta imagen se muestra las
relaciones que establecen los estudiantes entre el porcentaje, la fracción y los decimales, siendo la
apropiación de diferentes representaciones semióticas lo que permite conocer a profundidad el
objeto matemático (Duval, 1999). Teniendo en cuenta las respuestas de este grupo de estudiantes
(33,3%) es posible afirmar que éstas se relacionan con un nivel general, porque enuncian modelos
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que caracterizan el valor posicional y que posteriormente permiten establecer equivalencias entre
las diferentes representaciones. Además, al final de la tarea los estudiantes infieren que el paquete
que más tiene grasa es el más perjudicial, por lo tanto el uso de diferentes representaciones fomentó
en ellos análisis del impacto de los nutrientes en la salud.
Figura 32. Un grupo de estudiantes usa diferentes representaciones para mostrar los nutrientes de cada uno de los
paquetes.
Otro de los grupos utilizó diferentes representaciones (notación fraccionaria, decimal y porcentual)
para comparar los nutrientes de cada uno de los paquetes (ver figura 33), pero la interpretación que
realizaron no les permitió escoger adecuadamente el paquete con más grasa, porque deciden que
el paquete más grasoso es el que tiene el 25%, es decir, analizan solamente una de las partes de la
fracción (numerador o denominador) o de los números decimales (la parte entera o la decimal)
para comparar las cantidades (categoría 1), por esta razón las respuestas de este grupo de
estudiantes (16%) dan cuenta de aspectos relacionados con el nivel situacional, dado que los
estudiantes no identifican una unidad de medida para comparar las cantidades.
Figura 33. Estrategia utilizada por un grupo de estudiantes para comparar la grasa de un paquete.
Finalmente, la mayoría de los estudiantes, alrededor de un 80% hicieron tablas o listas (figura 34)
para determinar los alimentos que son más perjudiciales para la salud: en términos generales, se
infiere que para los estudiantes es más fácil comparar las fracciones cuando están escritas en
78
porcentaje, porque implícitamente tienen la misma unidad de medida (100%), un ejemplo de esto
se evidencia en el siguiente diálogo:
- Profesora: ¿Y cómo hicieron ésta clasificación?
(Estudiantes señalan con sus dedos el cuaderno)
- Estudiante Juan: profe
- Estudiante David: nosotros dijimos, es que…
- Estudiante Santiago: profe es que
- Profesora: esperen esperen, hable uno por uno, porque si hablan todos al tiempo no se entiende.
Bueno, primero Ayala y después Viloria.
- Estudiante David: yo cogí en mi cuadro, y mire cuál tenía menos, por ejemplo, cuál tenía menos
grasa, y así iba ubicando (va indicando con su dedo en la tabla dibujada), cuál tenía menos grasa
hasta llegar al que tenía más y en la mitad los que están intermedios.
- Profesora: O sea que lo hicieron por nutrientes.
- Estudiante Santiago: Siii, miramos quienes tenían más o menos de los nutrientes.
- Profesora: ¿Y tú qué ibas a decir Juan?
- Estudiante Juan: nada, es lo mismo profe que dijo Ayala, porque nosotros miramos cuáles eran
los nutrientes que tenían más y cuál los que tenían menos.
- Profesora: teniendo en cuenta esto, ¿cuál creen ustedes que es el paquete más perjudicial?
- Grupo de estudiantes: el todo rico
- Profesora: ¿y por qué éste es el más perjudicial?
- Estudiante Juan: porque tiene mucha azúcar y grasa, y el porcentaje de azúcar es muy alto.
- Estudiante David: porque tienen 8% de azúcar
Figura 34. Estudiantes clasifican los paquetes a partir de los nutrientes.
4.4 Tarea 4. ¿Por qué es importante medir con precisión?
Tarea 4: Los estudiantes analizan en pequeños grupos una receta para hacer batidos y hacen uso de
jeringas y agua para encontrar equivalencias entre las diferentes unidades de medida de capacidad y
responder a los cuestionamientos propuestos por la docente.
Propósito: Con esta tarea se espera que los estudiantes al analizar la receta (en ésta aparecen diferentes
representaciones de la fracción) utilizando jeringas y agua, establezcan relaciones entre las diferentes
unidades de medida de capacidad y logren interpretar las fracciones que aparecen en la receta al
comprender los diferentes sistemas de representación escritos (fracción, decimal y porcentaje).
Tiempo: 2 sesiones.
Descripción. Antes de describir como se desarrolló esta tarea, es importante precisar que por
cuestiones institucionales esta no se llevó a cabo en el segundo periodo (tiempo estipulado
79
inicialmente en la investigación), porque se realizaron actividades extracurriculares que se
cruzaron con el horario de la clase de matemáticas. Por esta razón, estas dos últimas tareas (4 y 5)
se realizaron al inicio del tercer periodo, además no se grabaron las sesiones porque la docente no
contaba con las herramientas (cámara o grabador de audio) necesarias para recolectar la
información, por lo tanto los instrumentos utilizados para el análisis de estas dos últimas tareas
son las producciones de los estudiantes y las notas de la docente-investigadora. Inicialmente la
profesora habla con los estudiantes sobre las tareas desarrolladas anteriormente, con la finalidad
de recordar lo propuesto en cada una de éstas y contextualizarlos con la nueva tarea a realizar.
Después de ésta contextualización, la docente invitó a los estudiantes a leer la siguiente situación
que se encontraba escrita en la guía de aprendizaje.
¿Por qué es importante medir con exactitud?
Para la celebración de cumpleaños los estudiantes de grado quinto han decido realizar un compartir. Mariana
dice que ella podrá traer ese día la bebida, porque la mamá hace unos batidos de frutas deliciosos.
Días antes del compartir, Mariana le dice a sus compañeros que tienen una dificultad porque en la casa se dañó
la probeta y por lo tanto ha sido difícil medir con exactitud los mililitros que se requieren. Ella le muestra la
receta a sus compañeros y le pide que la aconsejen para solucionar esta situación.
Uno de los compañeros de clase les señala a los demás que para solucionar el problema, es pertinente tomar las
medidas haciendo uso de algunas jeringas y botellas. Teniendo en cuenta esta socialización en la siguiente clase
cada uno de los estudiantes llevó al aula los siguientes materiales: dos jeringas una con capacidad de 5 ml y otra
de 20 ml, dos botellas de agua vacías de capacidad de 600 ml, 500 ml o 250 ml y otros dos botellas de las mismas
capacidades llenos de agua.
Ayúdale a Marina a resolver la situación, teniendo en cuenta las siguientes indicaciones:
La botella vacía de capacidad de 600 llénala con 1
10 litro de agua, ¿cómo podrías hacer esto utilizando
las jeringas?
Este 1
10 litro de agua a ¿cuántos mililitros equivale? De que otras maneras puedes representar esta
cantidad de agua.
Diseña una receta en la que muestres la cantidad que se requiere de cada ingrediente para realizar 16
batidos.
80
En seguida de que los estudiantes leyeron la situación, surgieron varias inquietudes en relación a
qué son los mililitros, litros o gramos, estas inquietudes se fueron resolviendo a medida que
llenaron las botellas con agua utilizando las jeringas y al responder los planteamientos propuestos.
En este proceso de llenar las botellas, los estudiantes leyeron en varias ocasiones la receta y
representaron (mayoría de los casos) los ingredientes propuestos utilizando gráficos como se
evidencia en la figura 35.
Figura 35. Estudiantes representan con dibujos los ingredientes de la receta.
En términos generales, la mayoria de los estudiantes más del 80% lograron interpretar los números
que aparecen en la receta, los cuales estaban escritos en diferentes sistemas de representación, dado
que sabían cuántos mililitros o gramos necesitaban para cada uno de los ingredientes. Al final de
la tarea los estudiantes manifestaron que sería interesante preparar alguna comida o alimentos con
ingredientes de verdad para saber si habían aprendido a leer una receta.
Análisis y toma de decisiones. Inicialmente se evidenció que los estudiantes llenaron las botelllas
utilizando las jeringas y que este proceso les permitió cuestionarse sobre los milílitros y los litros,
además les posibilitó establecer relaciones entre las unidades de capacidad y las unidades de
longitud que habían trabajado en la tarea anterior; por ejemplo, en uno de los grupos de trabajo los
estudiantes afirmaron que “un litro es equivalente a mil milítros y que un metro es equivalente a
mil milímetros, es decir, que los dos tienen la misma relación, porque son iguales”, estas
afirmaciones muestran que los estudiantes caracterizan el valor posicional desde la medida y sus
unidades, además la mayoria (70%) comienzan a establecer relaciones con lo que habían hecho
en tareas anteriores, porque el conocimiento se debe ver como un todo y no como fragmentos de
contenido (Freudenthal, 2002).
81
Es posible afirmar, al analizar las producciones de los estudiantes que casi todos (88%) utilizaron
una representación gráfica para simbolizar los ingredientes de la receta, un ejemplo de ello se
evidencia en la Figura 36 en la que un grupo de estudiantes representaron el porcentaje con una
botella y la interpretación que hicieron es de la fracción como relación parte-todo, porque
reconocen que los 1000 milílitros de la botella corresponden al 100% y que por lo tanto para
encontrar el 30% es necesario dividir la botella en 10 pedazos y tomar tres de estas partes, aunque
las partes no son iguales en área en el dibujo propuesto por los estudiantes muestra que ellos
reconocen que deben repartir en diez pedazos la leche y tomar tres estos para obtener el 30%.
Figura 36. Representación utilizada por un grupo de estudiantes para mostrar el porcentaje de la leche.
En síntesis y teniendo en cuenta el propósito de la tarea, la mayoría de los estudiantes (84%)
establecieron diferentes relaciones entre las unidades de capacidad (litros y milílitros) e
interpretaron los diferentes datos numéricos que aparecian en la receta, porque propusieron la
misma receta de bátidos para un grupo de 16 personas (Figura 37). Además tanto explicitamente
como implicitamente escribieron representaciones equivalentes al usar diferentes representaciones
de las fracciones para mostrar los ingredientes (categoría 5), mientras que el resto de estudiantes
(16%) no propusieron equivalencias entre los diferentes sistemas de representación de la fracción,
porque utilizaron solamente la representación que aparecía en la receta.
82
Figura 37. Receta propuesta por un grupo de estudiantes para dieciséis.
4.5 Tarea 5: Orden y equivalencia de fracciones.
Tarea 3: Los estudiantes resuelven en parejas un instrumento similar al realizado en la tarea 1, algunas
de las preguntas propuestas son iguales, otras se modificaron y otras son nuevas, producto de las
observaciones realizadas durante la implementación de las tareas.
Propósito: La intención de este taller es evidenciar el avance de los estudiantes frente al orden y la
equivalencia de las fracciones, dado que se realiza una comparación con las respuestas iniciales de la
tarea uno. Además dentro del instrumento, en cada una de las preguntas se cuestionó a los estudiantes
sobre ¿cómo lo hiciste? o explica el proceso que realizaste, para conocer con mayor precisión la
comprensión de los estudiantes en cada uno de los puntos.
Tiempo: 1 sesión.
Descripción. Los estudiantes desarrollaron en parejas el instrumento propuesto (doce grupos de
dos estudiantes y uno de tres), en términos generales se evidenciaron los siguientes aspectos: para
los estudiantes no fue fácil explicar o justificar las respuestas, porque ellos manifestaban que no
sabían cómo escribir o dibujar lo que habían hecho, por lo tanto en algunas preguntas el cuadro
que indicaba que explicaran su proceso o que justificaran lo que habían realizado no brindó mucha
información, como se puede apreciar en la figura 38, así como en varias respuestas los estudiantes
escribieron que respondieron analizando y leyendo la pregunta. Las preguntas seis y nueve fueron
las que más generaron controversias en los estudiantes, porque varías parejas manifestaron que no
sabían si debían mirar en la pregunta seis el numerador o el denominador de la fracción para saber
cuál era la menor o que en la pregunta nueve sabían que habían muchos números entre los dos
fracciones o decimales dados pero no sabían cuáles eran éstos. Finalmente, se evidencia que la
83
mayoría de los estudiantes se apoyan de representaciones gráficas para obtener e inferir
información y posteriormente responder el planteamiento, siendo la interpretación sobre la
representación gráfica lo que posibilita la compresión de la relación parte-todo y aunque en muchas
ocasiones las representaciones gráficas son imprecisas, éstas son importantes para comprender
aspectos relacionados con el proceso de medida (Escolano y Gairin, 2005).
Figura 38. Explicación de un estudiante a la pregunta uno de la tarea 5.
Análisis y toma de decisiones. De este instrumento sólo se van analizar algunos puntos, aquellos
que refieren explícitamente al orden y la equivalencia de las fracciones.
En la pregunta en la que debían ordenar de menor a mayor los siguientes números: 0,1; 1
4; 1,0; 0,4;
0,98 y 1
2, diez parejas de estudiantes (80%) transformaron las fracciones a números decimales,
después de esta transformación 16 estudiantes (80% de este grupo) organizaron los números
decimales de menor a mayor a partir de la caracterización del valor posicional (Categorías 2 y 3),
esto muestra que los estudiantes establecen relaciones entre los dos sistemas de representación
(fracciones y números decimales) para ordenar y comparar los números. Las respuestas de estos
estudiantes se asocian con un nivel general porque los procesos no se encuentran ligados a un
contexto y los estudiantes dan cuenta de las estrategias utilizadas para responder a las preguntas,
cuando en las interacciones de pareja afirman que miraron las décimas y centésimas. El resto de
estudiantes de este 80% aunque transformaron todas las fracciones a números decimales revisaron
la parte después de la coma para ordenar los números, es decir, que al comparar decimales
consideran que entre más números tenga la parte decimal mayor es el número (Categoría 1). Por
ejemplo, en la segunda imagen de la tabla 11 se evidencia que el estudiante supone que 0,25 es
mayor que 0,5, porque 25 es mayor que 5.
84
Transforman las fracciones a números decimales (80% de los estudiantes)
16 estudiantes después de transformar los números los
ordenan de menor a mayor los números.
4 estudiantes después de transformar los números los
ordenan revisando la parte decimal.
Tabla 11. Respuesta de los estudiantes a la primera pregunta de la tarea 5.
Una pareja de estudiantes (8%) ubicó primero los números decimales y al final de esta
organización las fracciones, aunque la explicación de los estudiantes no muestra explícitamente la
manera en que analizaron la pregunta, es posible afirmar que ellos consideraron que las fracciones
y los números decimales son dos clases de números diferentes, por lo tanto al analizar una de las
partes de la fracción, en este caso los denominadores 4 y 2, estos dos números son mayores que el
resto de los números decimales, por esta razón ubicaron las fracciones en los primeros puestos de
la lista de números (Tabla 12). Finalmente, el grupo de tres estudiantes realizó la equivalencia
entre las fracciones y los números decimales, pero al transformar una de las fracciones a número
decimal, ubicaron el numerador y denominador después de la coma, por ejemplo en la segunda
figura de la tabla 11 los estudiantes consideran que un ½ es equivalente a 0,12 (categoría 4), siendo
esta una de las dificultades que encuentran los estudiantes al escribir representaciones
equivalentes.
No ordenan los números de menor a mayor (20%)
Ordenan primero las fracciones y luego los números
decimales.
Algunas representaciones no son equivalentes (8%)
Tabla 12. Respuestas de los estudiantes a la primera pregunta de la Tarea 5.
85
En la segunda pregunta (ver tabla 13) en comparación con la tarea 1, se evidenció avance en la
interpretación que hicieron los estudiantes sobre la fracción como relación parte-todo, porque el
84% de los estudiantes adicionaron las líneas necesarias en las figuras para obtener partes
congruentes en área; la figura 3 fue la que más generó inquietudes en los estudiantes, porque no
sabían cómo hacer las partes congruentes. De igual manera se evidenció que al momento de
escribir tanto en palabras como en números las fracciones la mayoría de los estudiantes
establecieron una relación parte-todo y sólo en uno de los grupos la escritura fue de parte-parte. El
resto de los estudiantes (16%) no reconocen la relación parte-todo ni la congruencia de las partes,
como se puede apreciar en la primera imagen de la tabla 13.
Al comparar las respuestas de la primera tarea con ésta, se hace evidente una mayor comprensión
por parte de los estudiantes de la fracción como relación parte-todo, siendo ésta interpretación el
origen de las demás interpretaciones del número racional y fundamental para la comprensión de
los procesos de orden y equivalencia (Llinares y Sánchez, 2000).
No reconocen la congruencia de las
partes.
Reconocen la congruencia de las
partes, pero la relación que
establecen es parte – parte.
Reconocen la congruencia de las
partes, la unidad de medida y la
relación parte – todo.
16 % de los estudiantes 8 % de los estudiantes 76 % de los estudiantes
Tabla 13. Respuesta de los estudiantes a la pregunta dos de la Tarea 5.
En la pregunta en la que debían escribir números menores y mayores al dado, se evidenció avance
en las respuestas de los estudiantes porque inicialmente en la tarea 1 el 25% no respondió esta
pregunta y más de la mitad utilizó las ideas que tienen sobre los naturales (categoría 1) para
completar la tabla, mientras que en esta pregunta el 64% de los estudiantes escribió números
menores y mayores al dado, tanto en las fracciones como en los números decimales; en varias de
las justificaciones los estudiantes describieron que convirtieron las fracciones a números decimales
86
para organizarlos con mayor facilidad (categoría 5), es decir, que los estudiantes escogieron el
sistema de representación que consideraron más adecuado para la situación (Duval,2006).
El resto de los estudiantes (36%) buscaron números menores y mayores al dado utilizando las ideas
que tienen sobre los números naturales, por ejemplo en las fracciones sumaron o restaron una
unidad al denominador o numerador y en los decimales analizaron la parte decimal del número
(categoría 1), es importante resaltar que en esta pregunta a diferencia de la tarea 1, los estudiantes
al pensar un número menor a uno no escribieron cero, porque reconocen que hay números
decimales entre el uno y el cero.
Escriben números menores y mayores al dado. Analizan sólo una de las partes de la fracción o del
número decimal.
64% de los estudiantes 36 % de los estudiantes
Tabla 14. Respuestas de los estudiantes a la pregunta cuatro de la tarea 5.
La pregunta en la que debían comparar pares de fracciones y escoger la menor entre estas dos,
inicialmente generó inquietudes en los estudiantes, porque varios manifestaron que no sabían cómo
justificar o explicar lo que habían hecho para escoger la fracción más pequeña. En términos
generales se evidencia que los estudiantes se remitieron a varios contextos para comparar las
fracciones y decidir cuál era la más grande o la más pequeña, por ejemplo en una de las
justificaciones el estudiante escribió que entre más personas habían para comer una torta
(denominador), a cada uno le correspondía comer menos torta, por lo tanto ésta sería la fracción
más pequeña.
Al contrastar estas respuestas con las de la Tarea 1, se evidencia avance en las respuestas de los
estudiantes en cuánto al orden y comparación de las fracciones, porque en la Tarea 1 inicialmente
87
36% de los estudiantes no justificaron sus respuestas, mientras que en esta tarea todos los
estudiantes escogieron una de las fracciones y justificaron su respuesta utilizando gráficos o frases
que referían a un contextos específico. Teniendo en cuenta esto, se evidencia que más de la mitad
de los estudiantes (72%) lograron comparar las fracciones y decidir cuál era la más pequeña (ver
tabla 15) estas respuestas se relacionan con un nivel general porque los estudiantes logran comprar
y ordenar las fracciones al acudir a diferentes contextos y representaciones, por lo tanto reconocen
que las fracciones deben tener la misma unidad de medida para ser comparadas (categoría 2).
Otro grupo de estudiantes (20%) comparó adecuadamente la pareja de fracciones que tenía igual
denominador, pero no lo hicieron con las fracciones que no lo tenían y finalmente el 8% no
escogieron la fracción más pequeña en ninguna de las fracciones (categoría 1) y al revisar las
justificaciones de sus respuestas, los estudiantes describen que miraron una de las partes de la
fracción (denominador o numerador), al afirmar que por ejemplo 5 es más pequeño que 10 y que
por esta razón 4
5 es menor que
4
10, es decir, el análisis de los estudiantes lo realizaron desde las ideas
que tienen de los números naturales, como se evidencia en la tercera imagen de la tabla 15.
Compara las fracciones y escoge adecuadamente la más
pequeña.
Compara adecuadamente las fracciones que tienen
igual denominador
72% de los estudiantes 20% de los estudiantes
88
Tabla 15. Respuestas de los estudiantes a la pregunta seis de la tarea 5.
En la pregunta siete en la que debían encontrar una representación equivalente a algunos números,
se evidenció que alrededor del 76% de los estudiantes lograron lo solicitado en la indicación,
además las interacciones al interior de las parejas muestran que los estudiantes escriben la cantidad
equivalente pensando en lo que habían hecho en las anteriores tareas y varios estudiantes
(alrededor del 50%) escribieron más de una representación estableciendo relaciones entre
porcentajes, fracciones o decimales (categoría 5), para encontrar estas equivalencias varios
acudieron a representaciones gráficas. El resto de los estudiantes (24%) tomaron los números de
la fracción o el decimal y adicionaron números a la nueva expresión, sin llegar a encontrar
adecuadamente una representación equivalente (categoría 4).
Escriben cantidades equivalentes a cada una de las
cantidades dadas.
Adicionan o quitan números o símbolos a las
cantidades para encontrar las equivalentes.
76% de los estudiantes 24% de los estudiantes
Tabla 16. Respuestas de los estudiantes a la pregunta siete de la tarea 5.
Finalmente, en la pregunta en la que debían escribir cuántos números hay entre dos fracciones o
dos números decimales, el 68% de los estudiantes escribieron que habían infinitos o muchos
Compara las fracciones mirando una de las partes de la fracción (numerador o denominador)
8% de los estudiantes
89
números entre los dos números dados; al revisar la justificación de esta respuesta los estudiantes
propusieron que se podían agregar muchos números después de la coma, por esta razón habían
infinitos números. El resto de los estudiantes (32%), escribió que había un número entre 3
10 y
5
10 y
que no había ningún número entre 0,7 y 0,8 (ver tabla 17), este grupo de estudiantes no reconocen
que en medio de dos números racionales, siempre es posible encontrar otro. Es importante resaltar
que aunque la densidad no era un propósito planteado desde el inicio de la investigación, las tareas
propuestas posibilitaron que los estudiantes reconocieran que hay infinitos números en medio de
dos fracciones, estos resultados muestran que cuando las fracciones se caracterizan desde la
interpretación de la fracción como parte-todo se aporta a la comprensión de algunas propiedades
de los números racionales, entre estos, la densidad.
Escribieron que había infinitos o muchos números y
escribieron algunos ejemplos.
Escribieron que no había un número o que no había
ninguno.
68 % de los estudiantes 32% de los estudiantes
Tabla 17. Respuestas de los estudiantes a la pregunta nueve de la tarea 5.
En síntesis, se puede afirmar que las tareas propuestas permitieron que los estudiantes ordenaran,
comparan y escribieran representaciones equivalentes a las fracciones y al revisar las interacciones
entre los estudiantes, las representaciones utilizadas y las respuestas a cada una de las preguntas,
se hace evidente que en la mayoría de las situaciones los estudiantes utilizaron su experiencia,
sentido común y habilidades para responder los planteamientos, pero a través de la implementación
de las tareas las estrategias utilizadas se empezaron a desprender del contexto y se acercaban a un
nivel más referencial o situacional.
90
5. Resultados de la investigación
En este apartado se describen los resultados generales en cada una de las tareas y los avances de
los estudiantes en la comprensión del orden y la equivalencia de las fracciones, de igual manera se
puntualizan los logros y dificultades alcanzados durante la intervención en el aula.
5.1 Resultados generales
Cada una de las tareas propuestas en esta investigación buscó facilitar en estudiantes de quinto
grado la comprensión del orden y la equivalencia de las fracciones a partir de la exploración de
fenómenos de comparación. Estas tareas se plantearon desde el contexto de la medida porque es
un buen pretexto para caracterizar las fracciones y los procesos de orden y equivalencia en estos
números, como se puede evidenciar en las producciones e interacciones de los estudiantes a lo
largo de las tareas, ya que las estrategias utilizadas dan cuenta de comprensiones frente al orden y
la equivalencia de las fracciones, siendo este el propósito principal de la investigación.
Teniendo en cuenta que desde la EMR la comprensión refiere al uso de las experiencias,
habilidades y conocimientos de las personas para resolver situaciones problemáticas, se evidenció
en términos generales, que en cada una de las tareas los estudiantes utilizaron sus conocimientos,
experiencia y trabajaron en grupo para responder cada uno de los planteamientos. Por lo tanto, las
producciones de los estudiantes muestran que el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas
requiere de la interacción entre estudiantes y profesores para desarrollarse, esto corresponde a los
principios de actividad e interacción propuestas en la EMR. Además las tareas 2, 3 y 4 generaron
en los estudiantes varias inquietudes sobre los contextos de las situaciones problemáticas, por
ejemplo, ¿qué es la gravedad?, ¿por qué cambia nuestro peso?, ¿qué son las calorías?, ¿cuántas
calorías debemos consumir?, entre otras preguntas; estas inquietudes movilizaron a los estudiantes
a consultar sobre el tema, para aclarar las dudas y tener más herramientas al momento de responder
las situaciones, asimismo las tareas permitieron que los estudiantes establecieran relaciones con
otras asignaturas (ciencias naturales) o con su vida cotidiana, como se puede apreciar en el
siguiente diálogo.
91
- Estudiante Alejandro: Profe mira esta botella.
- Profesora: ¿qué tiene la botella?
- Estudiante David: es que en la tabla nutricional aparece que el 44% es azúcar.
- Profesora: ¿y ese 44% qué representa?
- Estudiante David: muchooo
- Estudiante Kevin: Demasiado.
- Estudiante Thomás: mmm es casi la mitad de la botella (señala con su mano la mitad de la botella)
- Estudiante Alejandro: eso que encontramos otro más malo, la coca cola.
- Profesora: ¿Y por qué es malo?
- Estudiante Alejandro: porque el 47% corresponde azúcar y eso es mucho.
- Grupo de estudiantes: Uy sí, mucho.
- Profesora: ¿Y qué pasa si es mucho?
- Estudiante Thomás: mmm pues según lo que hablamos la clase pasada, cuando consumimos
mucha azúcar nos podemos enfermar mucho.
- Estudiante David: siiii además en esa botella es sólo azúcar y el resto es… no sé cómo se llama.
- Estudiante Thomás: si profe, son como fabricantes y no son nutritivos.
La tarea 1 (Reconocimiento de los atributos de la fracción como relación parte–todo) posibilitó
que la mayoría de los estudiantes reconocieran desde sus respuestas y la socialización de las
mismas, algunos de los atributos de la fracción como relación parte-todo, especialmente el atributo
que refiere a la congruencia de las partes (área) y reconocimiento de la unidad de medida, asimismo
esta primera tarea permitió que la docente-investigadora identificará las ideas que utilizan los
estudiantes al momento de comparar y ordenar fracciones, evidenciando que la mayoría (70%)
utilizan las ideas que tienen sobre los naturales al pensar que la fracción se compone de dos
números (denominador y numerador), por lo tanto al ordenarlos analizan solo una de estas partes.
Además, las respuestas en esta primera tarea fueron un insumo para la implementación y gestión
de las tareas que se desarrollaron posteriormente.
La implementación y gestión de la tarea 2 (Comparando alturas y pesos) posibilitó en términos
generales que los estudiantes caracterizaran la notación decimal y ordenaran decimales a partir de
los resultados que habían obtenido al medir su altura, es decir que la mayoría de los estudiantes
(68%) comprendiendo los números decimales y establecieron relaciones entre el sistema numérico
decimal y las unidades de medida del metro, otro grupo de estudiantes (16%) compararon los
números decimales analizando la cantidad de números que habían después de la coma o ubicando
la coma según la unidad de medida utilizada (centímetros, metros o milímetros), finalmente el
resto de los estudiantes (16%) no acudieron a números decimales para representar y comparar su
altura con las de sus compañeros, sino que lo hicieron a partir de la unidades de medida
92
(centímetros, metros o milímetros), esto muestra que este grupo de estudiantes implícitamente
reconocen que hay una parte entera y otra decimal, pero que prevalecen las ideas que tienen sobre
los naturales.
La segunda parte de la tarea 2 en la que debían encontrar su peso en Júpiter, generó gran inquietud
en los estudiantes, a tal punto que la mayoría (80%) indagó cómo cambiaría su peso si estuvieran
en otros planetas o satélites como la Luna y Marte, por ejemplo, ellos infirieron que cuando un
planeta tenía más fuerza de gravedad el peso de las personas y de los objetos aumentaba, esta
dinámica de consulta posibilitó que los estudiantes encontraran representaciones equivalentes a su
peso y utilizaran las operaciones (suma o multiplicación) para encontrar éstas cantidades
equivalentes (Figura 39), es decir, que acudieron a sus conocimientos para resolver lo pregunta.
Figura 39. Estrategias utilizadas por los estudiantes para encontrar su peso en Marte y la Luna.
En la tarea 3 (¿Qué están representando los números que dan la información nutricional de un
alimento?) los estudiantes analizaron en los grupos de trabajo los diferentes nutrientes que
aparecían en los paquetes seleccionados, lo que les permitió inicialmente cuestionarse sobre estos
nutrientes y su función en la nutrición. En términos generales, la mayoría de los estudiantes (80%)
utilizaron representaciones gráficas para decidir cuál era el alimento más perjudicial para la salud
y caracterizar el porcentaje desde la interpretación de la fracción como relación parte-todo,
comprendiendo que 15% es equivalente a la fracción 15
100, y asimismo reconociendo implícitamente
que los porcentajes son una fracción que tienen la misma unidad de medida (100%), como se
evidencia en la siguiente interacción:
93
- Estudiante Luis: mira este paquete profe.
- Profesora: ¿cuál?
- Estudiante Luis: el 28% de este paquete que es un manimoto es grasa.
- Profesora: ¿y qué quiere decir eso?
- Grupo de estudiantes: (hablan al tiempo) una parte.
- Estudiante Luis: una parte que no es muy grande.
- Estudiante Henry: eso quiere decir que en el manimoto, del cien pedazos 28 son grasa.
- Profesora: ¿y eso es harto o poquito?
- Estudiante Henry: harto, por lo menos... es más que uno entonces es mucho.
- Estudiante Luis: Más o menos, lo que pasa es que no es la mitad, pero si llega a la mitad de la
mitad, por eso es mucho.
- Profesora: ¿y por qué no llega a la mitad?
- Estudiante Henry: porque no alcanza porque la mitad es 50.
Teniendo en cuenta el objetivo de la tarea 3, se puede afirmar que todos los grupos de trabajo
establecieron relaciones entre todas o algunas representaciones de la fracción (gráfica, verbal,
decimal, fracción o porcentaje), siendo los dibujos una herramienta útil para establecer estas
equivalencias entre las cantidades. De igual manera, esta tarea permitió que los estudiantes
realizaran inferencias sobre las implicaciones que tiene alimentarse de manera inadecuada, o las
enfermedades que se pueden tener por mala alimentación (figura 40).
Figura 40. Estudiantes describen las implicaciones que tiene una mala alimentación.
En relación a la Tarea 4 (¿Por qué es importante medir con precisión?), se evidenció que todos
los estudiantes leyeron con facilidad la receta y relacionaron los ingredientes con algunas recetas
que habían hecho en casa con amigos o la familia. En términos generales la mayoría de los
estudiantes (88%) utilizaron una representación gráfica para mostrar los ingredientes de la receta,
lo que facilitó la comprensión e interpretación de la misma, además relacionaron ésta situación
con lo desarrollado en tareas anteriores, porque alrededor del 84% de los estudiantes propuso una
receta para 16 personas, mostrando relaciones entre fracciones, decimales, porcentajes o graficas
al representar los ingredientes de la nueva receta.
94
Finalmente, al contrastar las respuestas de la tarea uno con la tarea 5, se evidencia avance en las
comprensiones de los estudiantes frente al orden y la equivalencia de las fracciones, porque en la
tarea 1 se encontró que alrededor del 70% de los estudiantes en al menos una de las preguntas
utilizó las ideas que tienen de los números naturales para ordenar y comparar las fracciones,
mientras que en la tarea 5, en todas las preguntas entre el 70% y 80% de los estudiantes al comparar
las fracciones o números decimales lo hacen desde el reconocimiento de la unidad y la
comprensión de valor posicional en los decimales, al igual que en varias de las preguntas los
estudiantes utilizan representaciones equivalentes o se remiten a los contextos de las anteriores
tareas para responder los cuestionamientos, es decir, que las tareas 2, 3 y 4 dotaron de herramientas
a los estudiantes para responder preguntas que se relacionan netamente con el campo de las
matemáticas.
5.2 Logros y dificultades
Al revisar las estrategias de los estudiantes, las interacciones en los diferentes grupos de trabajo,
las respuestas en cada uno de los planteamientos y el interés por parte de los estudiantes de
investigar y consultar sobre los contextos de las situaciones, se evidencia que los estudiantes
utilizan sus conocimientos, experiencia y habilidades para explorar y resolver cada una de las
situaciones, siendo esta exploración la que permite posteriormente comprender poco a poco las
fracciones y las relaciones de orden y equivalencia en estos números, porque las tareas propuestas
permitieron que los estudiantes fueran participes activos de su proceso de aprendizaje y que las
experiencias en el aula fomentaran un aprendizaje significativo en cada uno ellos.
En términos generales, se encuentra que los estudiantes avanzaron en la comprensión del orden y
la equivalencia de las fracciones, porque inicialmente compararon las fracciones y decimales
analizando una de las partes del número, ya sea el denominador, el numerador o la parte decimal,
es decir, las ideas que utilizaron en esta primera tarea son las que han construido a lo largo de sus
años de estudio, las ideas de los números naturales. Además en las respuestas de las primera tarea,
se evidenció que los estudiantes conciben que las fracciones y los números decimales son
conjuntos numéricos totalmente diferentes, por esta razón inicialmente no establecieron relaciones
entre una y otra representación, pero estas ideas se fueron modificando con la implementación de
la secuencia de tareas.
95
Al analizar el avance de los estudiantes en cada una de las tareas, se encuentra inicialmente que
para dar respuesta a los planteamientos utilizan su sentido común y experiencia para resolver las
situaciones, pero estas estrategias y modelos cambian con la implementación de las tareas, porque
comienzan a emerger ideas que corresponden a un nivel más referencial y general, cuando ellos
caracterizan el valor posicional en cantidades menores a uno, reconocen que se requiere de la
misma unidad para comparar y ordenar fracciones y que existen diferentes representaciones para
referirse a las fracciones. Aunque los niveles de comprensión no se lleven a cabo de manera
jerárquica según lo planteado en la EMR, es oportuno resaltar que las tareas fomentaron el uso de
notaciones o símbolos generales de las matemáticas para comparar y ordenar fracciones, lo que se
puede contrastar con las respuestas iniciales, en las que se evidenció que las ideas puestas a
consideración por los estudiantes refieren a los números naturales.
Otro de los elementos a resaltar, es que las tareas proporcionaron a los estudiantes herramientas
para responder preguntas que corresponden netamente al campo de las matemáticas, porque en las
preguntas propuestas a lo largo de las tareas se evidenció que los estudiantes se remiten a los
contextos para responder y justificar los planteamientos, por ejemplo, cuando tenían que
seleccionar cuál era la fracción menor o mayor hacían dibujos de alimentos o nutrientes como los
analizados en la tarea 3, esto se relaciona con la matematización horizontal porque los estudiantes
pueden ir de los problemas reales hacia la matemática y viceversa. Además, las tareas propuestas
permitieron que los estudiantes usaran diferentes representaciones para referirse a las fracciones y
en cada una de las situaciones escogieran la representación que ellos consideraban más oportuna
para resolver el planteamiento, estos resultados son acordes a los planteamientos del marco teórico,
en el que se describe que es necesario apropiarse de diferentes representaciones para conocer a
profundidad el objeto matemático.
Finalmente, dentro de los logros alcanzados se evidenció que las tareas propuestas, especialmente
la 2, 3 y 4 fueron de interés para los estudiantes y promovieron el uso del sentido común, la
experiencia y constantemente motivaron a los estudiantes a buscar estrategias para responder los
planteamientos, establecer relaciones con otros espacios académicos diferentes al de matemáticas
y relacionar lo desarrollado con situaciones de su vida cotidiana. Lo anteriormente planteado
permite inferir que los contextos propuestos se eligieron adecuadamente, porque posibilitaron la
comprensión del orden y la equivalencia de las fracciones, además fomentaron la interacción entre
96
estudiantes y docente y los espacios de socialización permitieron que los estudiantes colocaran sus
ideas en discusión, reconocieran cuando no tenían claridad frente algo y avanzaran en la
comprensión de los planteamientos.
En cuanto a las dificultades, se encuentra que en algunos momentos pareciera que las tareas
estuvieran condicionadas por la guía de aprendizaje, por esta razón la docente constantemente les
dijo a los estudiantes que trabajarían en la solución de diferentes situaciones, y que por lo tanto las
preguntas se iban a responder a medida que se propusieran en los grupos de trabajo. Posiblemente
la dinámica de la institución y de la clase hizo que los estudiantes preguntaran inicialmente si lo
que estaban haciendo estaba mal o bien, pero con el transcurso de las tareas, ellos se dieron cuenta
que podían proponer varias estrategias para responder las situaciones y que el objetivo no era
categorizar en bien o mal lo realizado, sino proponer diversos caminos de solución, interactuar con
los compañeros y escuchar lo que habían encontrado otros grupos de trabajo al abordar cada una
de las preguntas o situaciones.
Otro de los elementos a considerar, tiene que ver con el tiempo, porque las dos últimas tareas no
se desarrollaron en los tiempos estipulados, lo que muestra una brecha considerable de realización
(un mes) entre las tres primeras tareas y las dos últimas, esta situación afecta los resultados de las
tareas porque no hay continuidad en los procesos de los estudiantes al interactuar con las
situaciones. Finalmente, es oportuno afirmar que los espacios de socialización permitieron que los
estudiantes compartieran sus ideas con sus compañeros, pero en algunas ocasiones algunos
invalidaron sus respuestas solamente porque veían que sus pares habían encontrado otra manera
de realizarlo, es decir, hacían los mismos procedimientos de sus compañeros, sin llegar a
comprender a profundidad el proceso realizado.
97
6. Conclusiones
En el siguiente apartado se plantea una posible respuesta a la pregunta de investigación, teniendo
en cuenta la articulación entre los objetivos planteados inicialmente, algunos elementos de la
Educación Matemática Realista y los resultados de la implementación de la secuencia de tareas;
posteriormente se muestran algunas reflexiones y consideraciones finales de la investigación.
6. 1 Respuesta a la pregunta de investigación
¿Qué comprensiones se posibilitan en estudiantes de quinto grado sobre el orden y la equivalencia
de las fracciones al trabajar con fenómenos de comparación?
Teniendo en cuenta que en esta investigación la comprensión es entendida como el uso que de las
experiencias, habilidades y conocimientos hacen las personas para resolver situaciones
problemáticas, se puede afirmar que la exploración de los diferentes fenómenos de comparación,
la interacción entre pares, la búsqueda de estrategias, la socialización de las respuestas y la
indagación constante de aspectos relacionados con los contextos, posibilitaron en los estudiantes
la comprensión del orden y la equivalencia de las fracciones. Además, al considerar las
producciones de los estudiantes en cada una de las tareas propuestas, se evidenció como las ideas
que tienen sobre los números naturales comienzan a invalidarse al resolver situaciones que
requieren de las fracciones, este avance es producto de las reflexiones individuales y los debates
que se generaron en cada una de las sesiones tanto de manera general como al interior de cada uno
de los grupos.
Cuando se proponen a los estudiantes situaciones cercanas y “reales” (no reducidos a contextos
cotidianos) se fomenta la participación de los estudiantes en sus procesos de aprendizaje, es decir,
las herramientas que usan para responder los planteamientos provienen de su experiencia y sentido
común, por lo tanto el estudiante entiende que lo que está aprendiendo es útil y que las matemáticas
no son solamente la memorización de algoritmos, sino las estrategias que se propongan para
resolver situaciones o preguntas, dicho de otra manera, cuando la docente presenta a los estudiantes
situaciones problemáticas que los lleve a interactuar con el otro, buscar estrategias, indagar con
otros (libros, internet, amigos), tomar decisiones, utilizar los conocimientos y conceptos
aprendidos en años anteriores, poner en discusión sus ideas y reflexionar sobre lo realizado, están
aprendiendo matemáticas.
98
En consonancia con lo anteriormente planteado, las tareas propuestas generaron interés en los
estudiantes por investigar sobre los elementos y las características de los contextos, obteniendo de
esta manera más herramientas para responder cada uno de los planteamientos, de allí que la
motivación sea un elemento clave del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas,
porque cuando las tareas generan inquietudes en los estudiantes se fomenta la búsqueda de
estrategias y la interacción entre pares para dar respuesta a los planteamientos. Además, estas
tareas dotaron de ideas a los estudiantes para responder preguntas que no tenían que ver con el
contexto de la situación, sino por el contrario correspondían netamente al campo de las
matemáticas, a manera de ejemplo, cuando respondieron qué número era mayor si 1
2 o
1
3.
Un hecho importante relacionado con el trabajo de los estudiantes, tiene que ver con los procesos
y las estrategias que surgieron al interior de cada uno de los grupos, ya que las interacciones y las
discusiones realizadas de cada una de las preguntas, posibilitaron avances en la comprensión del
orden y la equivalencia de las fracciones por parte de los estudiantes, en tanto requerían llegar a
consensos con respecto a los procesos realizados y las respuestas obtenidas, para lo cual cada uno
debía hacer explícito lo que pensaba o había analizado; es decir, la resolución de problemas le dio
a los grupos de trabajo la libertad de buscar estrategias, indagar y reflexionar sobre lo elaborado
para continuar avanzando, además con el transcurso de las tareas los estudiantes comprendieron
que existen varias maneras para abordar y dar respuesta a los cuestionamientos.
En cuanto a los fenómenos de comparación, se evidencia que la exploración de éstos fomentó en
los estudiantes comprensiones frente al orden y la equivalencia de las fracciones, como se puede
apreciar en las diferentes producciones de los estudiantes a lo largo de las tareas, además
aparecieron otras comprensiones que no se habían planeado desde el inicio de la investigación,
como lo es la densidad, porque las tareas permitieron que la mayoría de los estudiantes entendieran
que en medio de dos números racionales, ya sean fracciones o decimales, siempre es posible
encontrar otra fracción.
Teniendo en cuenta los objetivos de la investigación, es oportuno afirmar que en las primeras tareas
las ideas usadas por los estudiantes para comparar fracciones fueron la de los números naturales y
las estrategias planteadas estaban ligadas al contexto, lo que da cuenta de un nivel situacional, pero
con la implementación de las tareas los estudiantes comenzaron a comparar y ordenar fracciones
utilizando notaciones y símbolos generales de las matemáticas (niveles general y referencial),
99
desprendiéndose poco a poco del contexto. Como se describió en las ideas teóricas cuando los
estudiantes ordenan fracciones se enfrentan a varias dificultades y la implementación de esta
secuencia de tareas muestra que se posibilitó una mayor comprensión del orden de fracciones en
la medida en que los estudiantes adquirieron más herramientas para responder a los
planteamientos. Es oportuno recordar que los niveles de comprensión propuestos por Freudenthal
no se llevan a cabo de manera jerárquica, sin embargo al revisar las producciones de los estudiantes
a lo largo de las tareas, se encuentra que las estrategias se relacionan poco a poco con las
características de los niveles referencial y general, producto de la reflexión e interacción entre
estudiantes y la docente.
Finalmente se puede concluir, que la implementación de la propuesta diseñada permitió
comprensiones frente al orden y equivalencia de las fracciones y que el contexto de la medida fue
un buen pretexto para introducir los números decimales, porque desde la caracterización de las
unidades de medida de longitud los estudiantes comprendieron el valor posicional, ordenaron y
compararon decimales y encontraron expresiones equivalentes, este último aspecto es relevante
dentro de la investigación porque los estudiantes utilizaron en cada una de las tareas diferentes
representaciones (grafica, lenguaje natural, decimales y porcentaje) para referirse a las fracciones.
Es importante resaltar, que los avances de los estudiantes frente a la comprensión de las fracciones
no se hubieran alcanzado sin el trabajo en grupo, puesto que en los grupos de trabajo los estudiantes
propusieron diferentes estrategias de solución, discutieron sus ideas y escucharon las de sus
compañeros, aunque al principio se presentaron algunos inconvenientes para tomar decisiones y
llegar acuerdos para las respuestas, paulatinamente los estudiantes se dieron cuenta que cuando
mediaban y escuchaban a sus compañeros lograban resolver los planteamientos propuestos.
6.2 Reflexión final
A manera personal, considero que esta investigación muestra algunos elementos que pueden ser
considerados en el aula, para posibilitar en los estudiantes comprensiones respecto al orden y la
equivalencia de las fracciones, dentro de los aspectos a resaltar están: los contextos fueron
llamativos, lo que incrementó paulatinamente el interés de los estudiantes por conocer
características y elementos de los contextos, por ejemplo, para ellos fue interesante pensar como
cambiaba su peso cuando estaban en otros planetas, primero porque no lo habían visto antes y
segundo porque les permitía pensar que las matemáticas se relacionan con otros espacios
100
académicos y no se refiere solamente a realizar procesos matemáticos o seguir unos pasos para
llevar a cabo un algoritmo, por esta razón considero que cuando se proponen a los estudiantes
contextos interesantes es posible motivarlos y fomentar en ellos actividad matemática.
Una de las dificultades que enfrenté durante la implementación de las tareas, fue el de no interferir
o conducir las respuestas de los estudiantes, porque dentro de los procesos de “reinvención guiada”
se podía caer en el error de sesgar las ideas de los estudiantes o darles las respuestas a los
planteamientos desde las respuestas deseadas o esperadas, esto ocurre porque como docentes en
muchas ocasiones esperamos que todos los estudiantes alcancen los mismos niveles de
comprensión en el aula o respondan como lo esperamos; sin embargo, es importante resaltar que
a lo largo de las tareas adquirí más herramientas para ayudar a los estudiantes a responder las
preguntas desde sus habilidades, sus inquietudes y los resultados de las interacciones en los grupos
de trabajo.
En términos generales, considero que las tareas propuestas ayudaron alcanzar los propósitos
planteados desde el inicio de la investigación, pero al revisar los resultados de cada una de las
tareas y que es la primera vez que se implementa esta secuencia de tareas en el aula, es oportuno
pensar que la propuesta puede mejorarse porque las fracciones siguen siendo un objeto matemático
que genera controversias o dificultades tanto en los estudiantes como en los profesores. Por
ejemplo, considero que después de la Tarea 1 debería proponerse una situación problema cotidiana,
con el propósito de ahondar en los atributos de la fracción como relación parte-todo, porque los
resultados de la primera tarea muestran que los estudiantes no identifican esta interpretación de la
fracción en varias preguntas, siendo fundamental para la comprensión del orden y la equivalencia
de las fracciones.
En cuanto a las otras tareas, considero que en la Tarea 4 ¿por qué es importante medir con
precisión? sería interesante que se preparan alimentos con los estudiantes en el aula, con la
finalidad de que caractericen las unidades de medida de capacidad desde una situación cotidiana y
además que ellos puedan identificar la equivalencia de las unidades y la interpretación de diferentes
representaciones de la fracción en los ingredientes.
Finalmente, como docente-investigadora considero que la investigación realizada me dio
herramientas para continuar pensando la enseñanza las matemáticas en el aula, al reflexionar sobre
la importancia que tiene escoger contextos idóneos que fomenten en los estudiantes la exploración
101
de las situaciones, la investigación de nuevos contextos y la búsqueda constante de estrategias para
resolver los planteamientos, además que al iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje de un
objeto matemático en el aula, es relevante conocer las dificultades a las que se pueden enfrentar
los estudiantes para buscar estrategias que ayuden a solventar los conflictos que se pueden
presentar,por lo tanto, como docente tengo la responsabilidad de buscar contextos que sean de
interés para los estudiantes y fomenten pensar matemáticamente.
102
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once (tesis de especialización). Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá.
Colombia.
105
Anexos
Anexo 1
Nombre: ___________________________________________________ Curso: ___________
1. Reescriba la siguiente lista de números, ordenándolos de menor a mayor.
0,1; 0,25; 1,0; 0,100; 0,4; 0,98
_________________________________________________________________________
2. Complete la lista escribiendo, en cada caso, un número menor y uno mayor al número dado.
Número menor Número dado Número mayor
0,25
0,1
0,10
1
4
3
12
1
3. Escriba en palabras y en número a qué parte de área, de la figura dada en cada ítem,
corresponde la región sombreada.
FIGURA DADA ESCRIBA EN PALABRAS ESCRIBA EN NÚMEROS
106
4. Compare los siguientes pares de fracciones, marque con una equis (x) la menor fracción y
explique el porqué de su respuesta.
4
5
4
10 Porque: ______________________________________________________________
1
6
5
6 Porque: ______________________________________________________________
2
3
1
6 Porque: ______________________________________________________________
2
5
1
3 Porque: _______________________________________________________________
5. Encuentre una cantidad equivalente a cada una de las siguientes cantidades:
1
10 =
0,25=
0,1=
6. Dibuja o colorea según la indicación.
a. Si este rectángulo es 1
5 de la unidad, ¿Cuál es la unidad?
b. Si este triángulo es 0,25 de la unidad, ¿Cuál es la unidad?
c. Colorea los 47 de la figura.
Dibújala
Dibújala
107
7. Responde las siguientes preguntas:
a. ¿Cuántos números hay entre 0,3 y 0,5? ___________________-
Escribe uno de ellos: _________________________________
b. ¿Cuántos números hay entre 3
10 y
5
10 ? ______________________________
Escribe uno de ellos: _________________________________
c. ¿Cuántos números hay entre 0,7 y 0,8? ___________________-
Escribe uno de ellos: _________________________________
d. ¿Cuántos números hay entre 7
10 y
8
10 ? ______________________________
Escribe uno de ellos: _________________________________
8. Analiza las siguientes situaciones problema y resuelve.
a. Camilo y su hermana Alejandra fueron a comer pizza. Camilo se comió 1
4 de pizza y Alejandra
3
8
de pizza. ¿Cuánta pizza comieron Camilo y Alejandra?
Representación gráfica
Camilo Alejandra Total
Procedimiento numérico
108
Anexo 2
Nombre: ______________________________________ Curso: ____________________
1. Escriba en palabras y en número a qué parte de área, de la figura dada en cada ítem, corresponde
la región sombreada.
Fuente: García, R. y Mayorga, D. Dificultades en la comprensión del concepto de número fraccionario: La relación Parte-todo (tesis de
especialización). Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá. (1997)
2. Dibuja en tu cuaderno según la indicación dada.
Una bandera que tenga tres de las cinco partes pintadas de verde.
Un grupo de figuras en el que la mitad sean círculos.
Un rectángulo y pinta la tercera parte de amarillo.
Un grupo de figuras en el que cuatro de las diez partes estén pintadas de color negro.
3. Coloreé según la indicación.
Un cuarto del rectángulo
Dos tercios (𝟐
𝟑) de los elementos del conjunto.
FIGURA DADA ESCRIBA EN PALABRAS ESCRIBA EN NÚMEROS
109
4. Dibuja según la indicación.
a. Si este rectángulo es 1
3 de la unidad, ¿Cuál es la unidad?
b. Si este segmento es 1
4 de la unidad, ¿Cuál es la unidad?
5. Complete la lista escribiendo, en cada caso, un número menor y uno mayor al número dado.
Número menor Número dado Número mayor
1
1
2
1
4
3
12
6. Compare los siguientes pares de fracciones, marque con una equis (x) la menor fracción y
explique el porqué de su respuesta.
4
5
4
10 Porque: ______________________________________________________________
1
6
5
6 Porque: ____________________________________________________________
2
3
1
6 Porque: _______________________________________________________________
2
5
1
3 Porque: ______________________________________________________________
Dibújala
Dibújala
110
7. Observa las siguientes imágenes y contesta las preguntas.
a) ¿ En qué figura o figuras está coloreada la mitad de la superficie? _______________________
b) ¿ En qué figura o figuras está coloreada la tercera parte de la superficie? _____________________
c) ¿ En qué figura o figuras está coloreada la cuarta parte de la superficie? _________________________
111
Anexo 3
Nombre: __________________________________________________ Curso: ___________
1. Reescribe la siguiente lista de números, ordenándolos de menor a mayor.
2. Escribe en palabras y en número a qué parte de área, de la figura dada en cada ítem,
corresponde la región sombreada.
FIGURA DADA ESCRIBA EN PALABRAS ESCRIBA EN NÚMEROS
Explica el proceso que utilizaste para ordenar los números.
0,1 1
4 1,0
1
2 0,98 0,4
Explica lo que hiciste para encontrar el área sombreada en cada figura.
112
3. Dibuja según la indicación.
Un grupo de figuras en el que la mitad sean círculos.
Un rectángulo y pinta la tercera parte de amarillo.
4. Completa la tabla, en cada caso, con números menores y mayores al número dado.
Números menores Número dado Número mayores
0,25
0,1
0,10
1
4
3
12
1
5. Colorea según la indicación.
Un cuarto del rectángulo
Dos tercios (𝟐
𝟑) de los elementos del conjunto.
Explica el proceso que utilizaste para encontrar los números.
113
6. Compara los siguientes pares de fracciones, marque con una equis (x) la menor fracción y explica
el porqué de tu respuesta.
4
5
4
10 Porque: ______________________________________________________________
1
6
5
6 Porque: ______________________________________________________________
1
2
1
3 Porque: ______________________________________________________________
7. Encuentra una cantidad o representación equivalente a cada una de las siguientes cantidades:
1
10 =
0,25=
0,1=
50% =
8. Responde las siguientes preguntas:
¿Cuántos números hay entre 0,3 y 0,5? ___________________-
o Escribe uno de ellos: _________________________________
¿Cuántos números hay entre 3
10 y
5
10 ? ______________________________
o Escribe uno de ellos: _________________________________
¿Cuántos números hay entre 0,7 y 0,8? ___________________-
o Escribe uno de ellos: _________________________________
¿Cuántos números hay entre 7
10 y
8
10 ? ______________________________
o Escribe uno de ellos: _________________________________
Explica el proceso que utilizaste para
encontrar la cantidad o representación
equivalente.
Explica tu proceso
114
Anexo 4
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE
CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN CON ÉNFASIS EN
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
2017
CONSENTIMIENTO
TÍTULO DEL ESTUDIO: Las fracciones en la constitución del número
racional. Una experiencia de aula con estudiantes de quinto grado de
educación básica primaria.
LUGAR DONDE SE LLEVARÁ A CABO EL ESTUDIO: Liceo
Hermano Miguel de la Salle- Bogotá
I. INTRODUCCIÓN
Su institución educativa ha sido escogida para participar en el estudio de
investigación “Las fracciones en la constitución del número racional. Una
experiencia de aula con estudiantes de quinto grado de educación básica
primaria”. Es importante que usted, como representante legal de la misma,
pueda estar informado sobre los procedimientos y técnicas que se llevarán a
cabo, asimismo, que toda la información recolectada tendrá un uso
exclusivamente académico y se reservará el nombre e identidad de quienes
participen en los procesos de indagación.
II. PROPÓSITO DEL ESTUDIO
Diseñar e implementar una secuencia de situaciones o fenómenos que
requieren ser organizados desde la equivalencia y el orden de las fracciones,
como un medio para favorecer la constitución del número racional en
estudiantes de quinto grado.
III. PARTICIPANTES DEL ESTUDIO
Estudiantes del curso 502.
IV. PROCEDIMIENTOS
En la clase de matemáticas en el segundo periodo del año lectivo 2017, los
estudiantes de grado quinto desarrollarán una secuencia de tareas relacionada
con las fracciones, durante esta implementación se realizará observación a
través de notas observacionales, audios o fotografías de los procedimientos y
estrategias que los estudiantes utilizan para abordar las situaciones, de igual
manera se llevarán a cabo algunas entrevistas semiestructuradas frente al
trabajo individual o grupal que desarrollen.
V. PARTICIPACIÓN Y RETIRO VOLUNTARIO
La participación suya en este estudio es voluntaria. Usted puede decidir no
participar o retirarse del estudio en cualquier momento. De ser necesario, su
participación en este estudio puede ser detenida en cualquier momento por el
investigador del estudio o por el patrocinador sin su consentimiento.
No firme este consentimiento a menos que usted haya tenido la oportunidad
de hacer preguntas y recibir contestaciones satisfactorias para todas estas.
VI. CONSENTIMIENTO
He leído la información provista por este consentimiento. Todas mis
preguntas sobre el estudio y mi participación en este han sido atendidas.
Libremente consiento a que el Liceo Hermano Miguel de la Salle (Bogotá),
de la cual soy el representante legal, participe en este estudio de investigación.
Al firmar esta hoja de consentimiento, no he renunciado a ninguno de mis
derechos legales.
Institución Educativa: Liceo Hermano Miguel de la Salle
________________________________________________
Representante legal
Nombre: ____________________________________
C.C: ____________________
115
CONSENTIMIENTO INFORMADO PADRES O ACUDIENTES DE
ESTUDIANTES
Institución Educativa: Liceo Hermano Miguel de la Salle Código DANE:
311001001839
Yo _________________________________________________________________________,
representante legal del estudiante ____________________________________ de ______________ años
de edad, he sido informado acerca de la grabación de un video de práctica educativa, el cual se requiere
para que la docente Ximena Paola Claros Osorio, realice una observación para la Maestría en Educación
con Énfasis en Educación Matemática de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Luego de haber sido informado sobre las condiciones de la participación de mi hijo en la grabación, resuelto
todas las inquietudes y comprendido en su totalidad la información sobre esta actividad, entiendo que:
La participación de mi hijo en este video o los resultados obtenidos por el docente en su práctica
educativa no tendrán repercusiones o consecuencias en sus actividades escolares, evaluaciones o
calificaciones en el curso.
No habrá ninguna sanción para mi hijo en caso de que no autoricemos su participación.
La identidad de mi hijo no será publicada y las imágenes y sonidos registrados durante la grabación
se utilizarán únicamente para los propósitos de la investigación y como evidencia de la práctica
educativa del docente.
El docente garantizará la protección de las imágenes de mi hijo y el uso de las mismas, de acuerdo
con la normatividad vigente, durante y posteriormente al proceso de evaluación del docente.
Atendiendo la normatividad vigente sobre consentimientos informados, y de forma consciente y voluntaria
DOY [ ] NO DOY [ ] EL CONSENTIMIENTO para la participación de mi hijo en la grabación del video
de la práctica educativa de la docente en las instalaciones de la Institución Educativa donde estudia.
Lugar y fecha: _________________________________________
Firma Acudiente: ___________________________________________ C.C: ___________________
116
Anexo 5
Números decimales
Propósitos
Propósito 1: Que el estudiante comprenda las características de los números decimales y los represente
simbólicamente.
Propósito 2: Que el estudiante solucione y explique la solución de situaciones problema matematizables
con números decimales.
Niveles de
desempeño
Básico
Propósito 1: Representa a través de material concreto números
decimales. Propósito 2: Reconoce situaciones problema matematizables de
números decimales.
Temáticas
* Números
decimales
* Números
fraccionarios
* Operaciones
entre números
decimales.
* Solución de
situaciones
problema.
Alto
Propósito 1: Resuelve ejercicios utilizando las operaciones aritméticas
con números decimales.
Propósito 2: Desarrolla el proceso de resolución de situaciones
problema matematizables.
Superior
Propósito 1: Establece relaciones entre la notación fraccionaria y la
notación decimal.
Propósito 2: Realiza implicaciones a la solución encontrada de
situaciones problema y las comunica por medio de un lenguaje claro.
CONTEXTUALIZACIÓN Y ESTRUCTURACIÓN
¿Cuánto mido y peso?
En una clase de matemáticas la profesora propone a sus estudiantes diferentes retos que requieren del trabajo
en grupo y de la organización. Estos retos consisten en ubicarse en círculo de manera ordenada según la
característica proporcionada, por ejemplo, ella les pide que se organicen según la talla de su calzado de
mayor a menor. Los estudiantes lo realizan rápidamente, ¿cómo crees que lo hicieron?
Después de esta actividad la profesora les propone que se organicen por la medida de su altura, del más
bajo al más alto, a diferencia del anterior reto este le tomó más tiempo a los estudiantes. Cuando la profesora
revisa el circulo se da cuenta que algunos no están bien ubicados, aunque a simple vista pareciera que sí,
¿por qué crees que paso esto? ¿Qué estrategias propondrías para ayudar a solucionar esta situación?
Recuerda que para que el proceso de medición sea adecuado debes tener presente algunas características y
elementos que facilitan esta técnica, ¿cuáles utilizas cuando mides?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
Para contribuir en la solución del reto propuesto por la profesora, los estudiantes decidieron trabajar en
grupos y haciendo uso de la cinta métrica determinar con exactitud su altura.
117
Desarrolla y ten presente las siguientes preguntas:
Registra cada uno de los datos obtenidos y utiliza diferentes representaciones (mínimo tres).
¿Cuál de los datos recogidos en el grupo es el mayor valor y cuál de menor valor?
¿Cuál es la diferencia entre el más alto y el más bajo de tu grupo?
Si tú no eres el más alto de tu grupo ¿Cuántos centímetros te hacen falta para alcanzarlo?
En promedio ¿cuál es la medida de los integrantes de tu grupo?, ¿qué entiendes por promedio? ¿por
qué es pertinente hablar de promedio?
Ahora cumple el reto con todos tus compañeros, escribe todos los datos obtenidos de menor a mayor y
responde las siguientes preguntas:
¿Quién es el más alto del salón y quién es el más bajo?
¿Cuántos estudiantes miden más de 1, 23 metros?
¿Cuántos estudiantes miden menos de 1 metro y 41 centímetros?
¿Cuál es el promedio de los estudiantes qué miden más de 1 metro, 1 centímetro y 4 milímetros?
Explica tu proceso.
Cuando se estaba realizando la actividad del reto llegaron dos niños nuevos al salón, Andrés y
Nicolás, al ver la situación los demás estudiantes les explicaron la actividad y tomaron sus medidas,
que fueron 1, 20 metros y 1, 34 metros respectivamente. Teniendo en cuenta este cambio organiza
nuevamente de menor a mayor la lista de los datos obtenidos.
Los estudiantes se encontraban muy interesados y felices por la actividad que realizaron sobre la medida
de la altura, por lo que decidieron estudiar y revisar su peso empleando una báscula digital.
Indaga en tu familia cuánto pesabas cuándo naciste, cuándo tenías dos años, cinco años y el año pasado y
responde las siguientes preguntas:
¿Cuántos kilos has aumentado desde que naciste hasta el día de hoy? ¿es posible representar este
resultado de varias maneras?
¿Cuál es la diferencia de tu peso cuando tenías dos y cinco años?
¿SABÍAS QUE?
Se han realizado diferentes investigaciones que muestran que el peso cambia cuando nos encontramos en
diferentes planetas y esto se debe a que la aceleración de la gravedad es diferente en cada uno, por ejemplo
en el planeta Júpiter el peso de los objetos y personas es 2, 5 veces más grande. Teniendo en cuenta esta
información calcula el peso que tendrías si estuvieras en Júpiter. Investiga lo que pasa en otros planetas y
cuéntanos en clase lo que indagaste.
118
¿Qué están representando los números que dan la información nutricional de un alimento?
Los estudiantes de grado quinto se encuentran leyendo el periódico y una de las noticias que más le llamo
la atención, es una que tiene que ver con el tema de la mala alimentación y la obesidad, en este artículo se
describe como el tema del sobrepeso y de la obesidad en la población se considera un problema grave de
salud pública.
Uno de los estudiantes lee el siguiente párrafo en la clase “Actualmente en el mundo existen cerca 1.600
millones de adultos con sobrepeso, de los cuales 400 millones son clínicamente obesos. Además es
preocupante registrar la alta incidencia de obesidad en niños, ya que 20 millones de menores de cinco años
se encuentran en sobrepeso. En el caso de Colombia, según la Encuesta de la Situación Nutricional,
realizada en el 2005 por el Instituto Colombiano de Bienestar Familiar, existe sobrepeso y obesidad en 46
% de la población adulta”
Teniendo en cuenta esta información responde las siguientes preguntas:
¿Crees que en Colombia se han implementado estrategias para resolver este problema? Si crees que
es así ¿cuáles?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Si nosotros pudiéramos aportar en la solución de este problema social, ¿cuáles crees que son los
aspectos o características que se deberíamos analizar?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________.
¿Qué relación encuentras entre las personas que actualmente en el mundo sufren de sobrepeso y las
personas que clínicamente son obesas?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
¿Qué significa que un 46 % de la población adulta en Colombia sufra de obesidad y sobrepeso?
_____________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
119
Uno de los temas abordados con los estudiantes es la alimentación balanceada, porque un estudiante
manifestó en clase que había leído sobre esta problemática social y encontró que una buena alimentación
es el punto de partida para prevenir esta enfermedad y conservar la buena salud. Pero ¿que implica una
buena alimentación? ¿Estamos nosotros alimentándonos de manera adecuada?
Te invito analizar la información nutricional de algunos de los paquetes que consumimos cotidianamente
en casa o en clase. Para realizar este análisis revisaremos las siguientes preguntas e indicaciones:
Describe todo lo que ves en los paquetes.
Observa la información nutricional de los paquetes ¿qué crees están representando los números que
dan la información nutricional de un alimento?
¿Por qué crees que es importante la información nutricional que aparece en cada uno de los
productos? ¿Será que todos los productos que consumimos lo tienen?
¿Consideras que todos los productos deberían tener la información nutricional? ¿Por qué?
Comparte las anteriores respuestas con tus compañeros y describe cuáles son las ideas más importantes de
esta discusión.
Como has evidenciado a lo largo de las diferentes actividades y discusiones en clase una buena nutrición
es importante a lo largo de toda la vida, porque de esta manera favorecemos nuestro desarrollo, crecimiento
y salud, pero para lograr esto es indispensable tener una dieta saludable. ¿Cómo crees que podemos deducir
esta información a partir de la tabla nutricional?
Para dar respuesta a este cuestionamiento ten presente estas preguntas:
¿Qué clase de números aparecen en la tabla nutricional?
Los números que aparecen en la información nutricional todos están escritos de la misma manera,
si no es así, ¿en qué se diferencian?
Ordena de menor a mayor los números que aparecen en la tabla, lo puedes hacer sin ninguna
dificultad. ¿Cómo sabes que hay unos números más grandes que otros o más pequeños?
¿Qué crees que representa la coma en algunos números?
Compara los componentes que aparecen en los diferentes paquetes y alimentos analizados, ¿Cuál
consideras que es el paquete menos saludable de consumir? ¿Por qué?
Propón en el siguiente espacio otras preguntas que consideras que son pertinentes para analizar la
información nutricional de los paquetes.
120
¿Por qué es importante medir con exactitud?
Para la celebración de cumpleaños los estudiantes de grado quinto han decido realizar un compartir.
Mariana dice que ella podrá traer ese día la bebida, porque la mamá hace unos batidos de frutas deliciosos.
Días antes del compartir, Mariana le dice a sus compañeros que tienen una dificultad porque en la casa se
dañó la probeta y por lo tanto ha sido difícil medir con exactitud los mililitros que se requieren. Ella le
muestra la receta a sus compañeros y le pide que la aconsejen para solucionar esta situación.
Uno de los compañeros de clase les señala a los demás que para solucionar el problema, es pertinente tomar
las medidas haciendo uso de algunas jeringas y botellas. Teniendo en cuenta esta socialización en la
siguiente clase cada uno de los estudiantes llevó al aula los siguientes materiales: dos jeringas una con
capacidad de 5 ml y otra de 20 ml, dos botellas de agua vacías de capacidad de 600 ml, 500 ml o 250 ml y
otros dos botellas de las mismas capacidades llenos de agua.
Ayúdale a Marina a resolver la situación, teniendo en cuenta las siguientes indicaciones:
La botella vacía de capacidad de 600 o 500 mililitros llénala con 1
10 litro de agua, ¿cómo podrías
hacer esto utilizando las jeringas?
Este 1
10 litro de agua a ¿cuántos mililitros equivale? De que otras maneras puedes representar esta
cantidad de agua.
Busca una estrategia utilizando las jeringas para llenar la otra botella con 200 mililitros de agua
(esta cantidad corresponde a la leche desnatada)
Diseña una receta en la que muestres la cantidad que se requiere de cada ingrediente para realizar
16 batidos.
RECETA (para ocho batidos)
0,25 de 250 gramos de azúcar.
1
10 de un litro de agua.
15% de la taza de leche (recuerda que la taza debe ser de 600 mililitros).
4
10 de un litro de helado
Hielo (Opcional)
Mezclar todo en la licuadora
121
APLICACIÓN NIVEL ALTO Y SUPERIOR
Entregable 1
Resuelve las siguientes situaciones
1. Un día en el Zoológico
La familia Ramírez se encuentra en el Zoológico de Santa Cruz ubicado en San Antonio del Tequendama
en Cundinamarca, para celebrar en familia el cumpleaños de Jorge, el hijo menor de la familia. Cuando
llegan al Zoológico les entregan el siguiente mapa.
La familia Ramírez quiere comenzar por la visita a los caballos, ¿Cuál es el camino que la familia debería
escoger si quiere tomar el camino más corto?
122
Explica el proceso que realizaste para responder el anterior cuestionamiento y responde las siguientes
preguntas:
¿Cuál es la diferencia en kilómetros del camino de las ovejas con el de los monos?
Después de analizar en varias ocasiones el mapa, la Familia Ramírez decide que quiere recorrer
todos los lugares del zoológico, pero que desean caminar la menor cantidad de kilómetros,
teniendo en cuenta esto ¿de qué manera deben recorrer ellos el zoológico si deben empezar y
terminar en la entrada?
2. Sumando
En la clase de matemáticas los estudiantes están realizando sumas entre números decimales y
algunos pasan al tablero a realizarlas y compartirlas con sus compañeros, en cuál o cuáles de las
sumas se encuentran mal ubicados los sumandos:
Entregable 2
1. ¡De compras!
- ¡Estamos a fin de mes! – dice la mamá a Mateo.
- Sí, mamá y tenemos que ir a comprar el mercado para el mes siguiente. Ya casi no queda nada de
lo comprado el mes anterior, afirma Mateo.
Después de esta charla, Mateo y su mamá deciden ir al Éxito a comprar lo que necesitan, aprovechando que
en el almacén hay productos en oferta. Estando en el almacén, Mateo observa que la leche no la venden por
unidad sino que viene en paquetes de seis bolsas y que en cada bolsa de leche está escrito1, 1 litros. Al
observar esto, Mateo le pregunta a su mamá acerca de la cantidad de leche que viene en cada paquete, a lo
que ella le responde que es un valor entre 6 y 7 litros. Mateo un poco confundido le dice a su mamá que
entre 6 y 7 no hay ninguna cantidad ¿Qué le podría responder la Mamá a Mateo? ¿Cuál es la cantidad de
leche que viene en cada paquete?
123
2. ¿Cómo solucionar el problema?
En uno de los problemas que están solucionando los estudiantes de grado quinto en la clase de matemáticas
se han generado diferentes controversias, porque para los estudiantes no es claro el procedimiento que
deben realizar para solucionarlo.
El problema es el siguiente: Nancy caminó 1,7 kilómetros en una hora. Si camina a la misma velocidad,
¿cuánto caminará en 1,5 horas?
Para solucionar esta situación Mauricio realiza la siguiente estimación:
1, 7 𝑥 1, 5 Si aproximamos estos dos números llegamos a: 2 𝑥 2 = 4
Por lo tanto lo que recorrió Nancy debe ser entre 2 o 4 kilómetros.
Alejandro otro de los estudiantes afirma que el hizo una estimación similar a la de Mauricio y se la explica
a sus compañeros de la siguiente manera:
- En una hora Nancy recorre 1, 7 kilómetros, si queremos hallar lo que recorre en hora y media sólo
tenemos que dividir 1, 7 kilómetros entre dos y sumarlo con 1, 7 kilómetros. Obteniendo de esta
manera 2, 55 kilómetros.
Paula al ver lo que han realizado sus compañeros les dice que su procedimiento es parecido y le muestra lo
que realizó a través la siguiente imagen:
Responde:
- Explica el procedimiento que realizo Paula.
- ¿Estás de acuerdo con todos los procedimientos de los estudiantes en la clase de matemáticas? ¿Por
qué?
- ¿Qué similitudes y diferencias encuentras en los procedimientos realizados por los estudiantes?
- ¿Cómo resolverías tú el problema de Nancy? ¿El procedimiento que realizaste se parece al de los
estudiantes de la clase de matemáticas?
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Verificación
Marque con una X la siguiente autoevaluación teniendo en cuenta su proceso en la clase de matemáticas.
Actividades a evaluar Superior Alto Básico Bajo
Participo constantemente en las diferentes actividades propuestas en
clase.
Comprendo la utilidad de los números decimales en situaciones reales.
Establezco relaciones entre la notación fraccionaria y la notación
decimal.
Resuelvo situaciones problema y las comunico por medio de un
lenguaje claro.
Entrego los trabajos y talleres en las fechas estipuladas.
