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7/23/2019 newton rhapsody
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Regla de Simpson
Es un mtodo para estimar el resultado de
una integral.
Es una mejor aproximacin a la reglaEs una mejor aproximacin a la reglaTrapezoidal, sin incurrir en un mayor nmero deTrapezoidal, sin incurrir en un mayor nmero de
subdivisiones.subdivisiones.
Ajusta una curva de orden superior en lugar deAjusta una curva de orden superior en lugar de
una lnea recta como en la regla trapezoidaluna lnea recta como en la regla trapezoidal
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Regla Trapezoidal
Error
a b
Polinomio de primer orde
2
!!
!
b
a dx"!x
bfafab
+=
= ancho* alturapromedio
o
o
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Regla Trapezoidal
a b
Dos segmentos
o
o
o
-
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Regla Trapezoidal
a b
Tres segmentos
o
o
o o o
o
oo
-
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Regla de Simpson (1/3)
a b
a b
Regla trapezoidal
Aproximacin a la Regla trapezoidal.Polinomio de Segundo ord
o
o
o
[ ]!!#!$ba dx"!x 2%&
xfxfxfh
++=
= ancho* altura promedio
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Regla de Simpson (3/8)
[ ]!!$!$!'
$b
adx"!x $2%& xfxfxfxf
h+++=
a b
o
o
o
o
Polinomio de tercer orden
a b
oo
o
o
Regla trapezoidal
= ancho* altura promedio
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Problemas
( Descripcin del problema 1
)e tiene un sistema magn*tico en un trans"ormador, en
donde la energa se almacena en la inductancia.+ecordemos ue la energa en este caso est- relacionada
con el enlazamiento de "lujo y sabemos ue la corriente en
"uncin de los enlazamientos de "lujo es/ i! 0 !12%&3.
4etermine la energa almacenada en la inductancia desde
02&, 5asta 0236b. Adem-s encuentre el error estimado
usando la regla de )impson.
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Problemas
( Solucin Matemtica problema 1
7a energa est- dada por la siguiente ecuacin/
)ustituyendo la ecuacin anterior en la integral/
=
0idw
++=
02345 )1002500025001258/2532/( dkw
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8tilizando el m*todo de )impson %1$, 5acemos la siguiente aproximacin/
( ) ( ))2(
6
)(4)( 210
iiiabw
++
4eterminacin de puntos/
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 6563.9732
312525
05176.31024
31259603.95.22
020
2
1
0
==
===
==
ii
ii
ii
)ustituyendo en !2
6
32
3125
1024
312540
)2025(
+
+
=w
Problema 1
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Problema 155273437.91=w
El error de truncamiento o error estimado en este ejemplo est- dado por la ecuacin/
!$( )4
5
2880
)(f
abEt
=
9acemos la siguiente aproximacin/
!#( )
( )
ab
di
i
b
a
=
)4(
)4(
-
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Problema 14erivando la expresin/
754/15)(
750758/15)('''
50007502/758/5)(''
2500050003752/2532/5)('
1000002500025001258/2532/)(
)4(
2
123
234
2345
=
+=
+=
++=
++=
i
i
i
i
xi
)ustituyendo la ecuacin anterior en la ecuacin !# y colocando los lmites de integracin se
obtiene/
( ) 375.98
75)4( =i
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Problema 1:a obtenido el valor anterior sustituimos en la ecuacin !$ para encontrar el error.
)i derivamos de manera analtica la solucin es/ '%.$'&2&'$$$$.
)i restamos el valor real menos el aproximado obtenido con la regla de );mpson se obtiene/ .
En este caso se concluye ue el error es el mismo.
1725.10
8
75
2880
)2025( 5
=
=
Et
Et
1725.1033381.380208355273437.91 =
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Problemas
( Descripcin del problema 2
8tilice la regla de %1$ )impson para evaluar la doble integral.
7os lmites de integracin son/ a0%, b0$, c!x0 ln!x, d!x0 $ < exp!x13.
+=a
b
xd
xc
dydxyxI
)(
)(
)sin(
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Problema 2
( Solucin matemtica problema 2
+
+=exp(x/5)3
ln(x),
)sin()( dyyxixif
=3
1)( dxxifI
( ) ( )6
)(4)( 210
xfxfxfabI
++
=ara aplicar la regla de )impson puede 5acer la siguiente sustitucin/
=or lo ue se obtiene/
Aplicando la regla de )impson se obtiene/
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7os puntos son los siguientes/
>&0 %? >
%0 2 ? >
20$
=or lo tanto sustituyendo !@ en !@@. btenemos/
6
)sin()sin(4)sin(
)(
exp(x/5)3
ln(x),
exp(x/5)3
ln(x),
exp(x/5)3
ln(x),
+++
+++++
dyyxidyyxidyyxi
abI
6
)3sin()2sin(4)1sin()13(
exp(3/5)3
ln(3),
exp(2/5)3
ln(2),
exp(1/5)3
ln(1),
+++
+++++
dyydyydyyI
Problema 2
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Problema 2
06458.0)1sin(
2214.4
0,
1 =+= dyyI
1086.2)2sin()2sin(
4918.4
0.6931
exp(2/5)3
ln(2),
2 =+=+=
+
dyydyyI
67454.0)3sin()3sin(
8211.4
1.0986
exp(3/5)3
ln(3)
3 =+=+= +
dyydyyI
0148.3
6
67454.0)1086.2(4064581.0)13(
++
I
I
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Problemas
( Solucin en atlab problema 2
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Problemas
( Descripcin del problema 3
=t
fS
f
sal VcdtVCR
V01
)0(1
El circuito de la "igura % corresponde al de un ampli"icador
operacional conectado como integrador. 7a ecuacin ue relaciona
el voltaje de salida con el voltaje de entrada es la siguiente/
)i , +%0 %&& Bo5m, C"0 #.Du
y Fc 0 2F. Calcule el voltaje
de salida en t de & a &.'
segundos.Figura 1 Ampli"icador operacional
conectado como un integrador.
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Problema !
a )olucin del problema en "orma analtica/
2)2(5)107.4(100000
1 8.0
0
6
= dttsenVsal
573.2)2(5
8.0
0
=
dttsen
47447.7=salV
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Problema !
b A continuacin se muestra la solucin del problema utilizando la +egla de )impson/
4eterminacin de los puntos
0)02(5)0( == senf
1,94709171)2.02(5)2.0( == senf
3,58678045)4.02(5)4.0( == senf
4,66019543)6.02(5)6.0( == senf
4,99786802)8.02(5)8.0( == senf
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Problema !)i n 0 #, para obtener la integral se utiliza la regla de )impson %1$, aplicacin mltiple.
7a primera sumatoria va de i0%,$,3 a n% y la segunda de j02,#,G a n2
n
xfxfxfxfabI
nji
3
)()(2)(4)()( 0 +++=
43
)58678045.3(2)66019543.494709171.1(40)08.0(
+++
=I
57337183.2=I
=or lo tanto el voltaje de salida es/
212766.2 = IVsal
47526,7=salV
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Problema !El error exacto es/
%01.010047447.7
)47526.7(47447.7=
=tE
El error estimado se calcula como/
5)4( )(90
1hfEt =
)2(80)4( xsenf =Como
46.5108.0
)2(80)(
)(
8.0
0
)4(
)4( =
=
=
dxxsenab
dxxf
f
b
a
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Problema !
As/
005855.04.046.5190
1 5
==tE
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Problemas
( Solucin en atlab problema !
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"egla de Simpson !#$
Por c%lculos
Programado
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Problema & 1
( Para los datos dem%'imo punto del
(olumen en untan)ue tabuladosen una +%brica de
,ugos - medidos
por un sensor cadacierto tiempo
Datos tabuladosDatos tabuladostt f(t)f(t)
11 /0!/0!
1$1$ 00
22 3!$3!$2222 2020
2/2/ 112!112!
22 1!//1!//
2$2$ 1//01//0!! 22
!2!2 2/0!!2/0!!
!/!/ 2/2/
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ntegrar !on trape!io de segmentosm"ltiples
( n41
( 5 = 6b4a7829 +6'i7 : +6'n7;#2n
i=1( 5 = 6!/417 /0!:2*61$10
:2/7
2*1$( 5 = 200/3
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Problema & 2 >hapra
( >on la regla deSimpson de !#$
integre la +uncin+6'7= 2:20'42'2:30'!4'/:/'0.
Desde a = hastab= $.
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"esolucin del problema
( n = ! ? h = $4 = 23 entonces
!
+67 = 2 +6237= 1/!!
+60!!!7 = !/$3 +6$7 = 2!2
( 5 =$*2:!61/!232/:!/$3133:2!2
$
( 5 = 10113.
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@rrores en el problema
( @rror de truncamientoA
( @t = 1./0!! 10113 =121!!
( @t = 3/B
( Para un error estimado deA
(@a= 46$72*642/7 /$
( @a = 121!!.
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Problema &! 4 programado
#in!lude $iostream%&'#in!lude $iostream%&'#in!lude $stdlib%&'#in!lude $stdlib%&'#in!lude $stdio%&'#in!lude $!onio%&'
#in!lude $mat&%&'
int eeDatos(*oid)+
int ,seg+ -oat a.b+ double i+ -oat 01+ -oat 401+
int main 6(oid7C int i Eoat Fase double
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@ncabeKados
print+6LMnDatos Tabulados.......L7
print+6LMn4444444444444444444444444L7 print+6LMnN i N Ji N OuncionL7
print+6LMn4444444444444444444444444L7
print+6LMnN N B.2+ NB./l+LaO'8;7
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5nicia Proceso 6>alculo de Sumatorias7
+or 6 i=1 iIseg i::7C Ji := Fase i+ 6 i == 6i#!7*! 7
Sumulti := 2*O'8i; else
Sum"esto := !*O'8i; print+6LMnN B2d N B.2+ N B./l+LiJiO'8i;7
Q print+6LMnN B2d N B.2+ N B./l+LIsegbO'8i;7
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*int GeeHDatos6(oid7
C
print+6LMn Iumero de Segmentos 6ultiplo
de !7 =L7scan+6LBdLIseg7
print+6LMn alor de a =RL7
scan+6LB+La7print+6LMn alor de b =RL7
scan+6LB+Lb7
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>ambiar (alores a)ui
J8; = O '8;=
J81; = 2 O '81;= /
J82; = / O '82;= 1J8!; = O '8!;= !
J8/; = $ O '8/;= /
J80; = 1 O '80;= 1J8; = 12 O '8;= 1//